电磁场理论第21讲-磁通连续性原理-安培环路定律

y′, z′)
−J(x′,
y′,
z′)⋅∇×∇(
1 r
)
∇×J(x′, y′, z′) = 0
∇
×
∇(
1 r
)
=
0
∫ ∇ ⋅ B
=
µ0 4π
V′
∇
⋅J
( x′,
y′,
z′) × ∇(
1 r
)dV
′
=
0
∇⋅B =0
表表明明BB是是无无头头无无尾尾的的闭闭合合线线，，恒恒定定磁磁场场是是无无源源场场，， 散散度度为为零零可可以以作作为为判判断断一一个个矢矢量量场场能能否否成成为为恒恒定定磁磁 场场的的必必要要条条件件。。
磁通连续性原理 安培环路定律
作业: 要求：推导过程要详细清晰
恒定磁场的散度
从 Biot-Savart Law 直接导出 恒定磁场 B 的散度。
∫ B(x,
y,
z)
=
µ0 4π
V′
J ( x′,
y′, z′)× er r2
dV ′
两边取散度
∫ ∇ ⋅ B ( x,
y, z)
=
µ0 4π
V
′
∇
⋅
J
(
x ′,
取安培环路r < R1 交链的部分电流为
I′
=
I πR12
⋅ πρ 2
=
I
ρ2 R12
应用安培环路定律,得
∫ ∫ B⋅dl = l
2π 0
Bρdφ
=
µ0
Iρ 2 R12
B
=
µ0Iρ 2πR12
eφ
2) R1 ≤ ρ < R2
2π
∫ ∫ B ⋅dl = l
0
Bρdφ = µ0 I
3) R2 ≤ ρ < R3
反反之之，，稀稀疏疏。。
真空的安培环路定律
以长直导线的磁场为例
B
=
µ0I 2πρ
eφ
（1）安培环路与磁力线重合
∫ ∫ B ⋅dl = L
2π 0
µI 0 2πρ
ρdφ
=
µ0I
（2）安培环路与磁力线不重合
∫ ∫ B ⋅ dl = B cosθdl
L
L
∫=
2π 0
µ0I 2πρ
ρdφ
=
µ0I
（3）安培环路不交链电流
∫ ∫ ∫ B ⋅dl = L
B cosθdl =
L
0 µ0I 0 2πρ
ρdφ
=
0
（4）安培环路与若干根电流交链
∫ ∑ B L
⋅ dl
=
µ0
Ik
该该结结论论适适用用于于其其它它任任何何带带电电体体 情情况况。。强强调调：：环环路路方方向向与与电电流流 方方向向成成右右手手，，电电流流取取正正，，否否则则 取取负负
从从BBiioott--SSaavvaarrtt LLaaww直直接接导导出出恒恒定定磁磁场场BB的的散散度度
Biot Savart Law
∫ B
=
µ0 4π
V
′
J
( x′,
y ′, r
z′) × (r − r′3
−
r ′)dV
′
Let r − r ′ = R
∫ ∇
×
B
=
∇
×

µ0 4π
V′
J (x′,
)
∇× J
×∇(
1 R
)
=
∇(
1 R
) ⋅ ∇J
− (J
⋅ ∇)∇(
1 R
)+
∇2 (
1 R
)J
− (∇⋅ J)∇(
1 R
)
对对场场点点的的导导数数项项为为零零
∇⋅J = 0 矢量恒等式
∇ × J
×∇(
1 R
)
=
∇2 (
1 R
)J
− (J
⋅∇)∇(
3）磁化电流
∑ M
=
lim
∆V →0
1 ∆V
n
mi
i =1
体磁化电流 面磁化电流
Jm = ∇× M Km = M × en
结结论论：： 有有磁磁介介质质存存在在时时，，场场中中任任一一点点的的BB是是自自由由电电流流
和和磁磁化化电电流流共共同同作作用用在在真真空空中中产产生生的的磁磁场场。。 磁磁化化电电流流具具有有与与传传导导电电流流相相同同的的磁磁效效应应
取安培环路（与I交链），
∫LH ⋅ dl = NI
H ⋅ rθ = NI
NI H = rθ eφ
B
=
µ0 NI rθ
eφ
例例有有一一磁磁导导率率为为µµ，，半半径径为为aa的的无无限限长长导导磁磁圆圆柱柱，，其其轴轴线线 处处有有无无限限长长的的线线电电流流II，，圆圆柱柱外外是是空空气气（（µµ0 0 ）），，如如图图所所示示。。 试试求求圆圆柱柱内内外外的的BB，，HH与与MM的的分分布布。。
B=
µ0I 2πρ
eφ
穿过半径为ρ的圆面积的电流为
I′ = I − I
ρ2 R32
−
R
2 2
−
R
2 2
=
I
R32 − ρ 2 R32 − R22
应用安培环路定律，得
∫ ∫ B ⋅ dl = l
2π 0
Bρdφ
=
µ0 I (R32 R32 −
− ρ2) R22
B
=
µI 2πρ
⋅
R32 R32
− −
ρ2 R2
χm—磁化率，无量纲量，代入 H = B µ0 − M
B = µ0( H + M ) = µ0 H( 1 + xm ) = µ0µr H = µH µr— 相对磁导率，无量纲， µ=µ0µr ，单位 H/m。
构成关系 B = µH
例例一一矩矩形形截截面面的的镯镯环环，，如如图图示示，，试试求求气气隙隙中中的的BB和和HH。。 解：在镯环中, µr→∞, B有限，则 H=0
eφ
4) R3 ≤ ρ < ∞
B=0
磁偶极子
磁偶极子
磁偶极子受磁场力而转动
磁偶极矩 m = IdS I—分子电流，电流方向与ds方向成右手螺旋关系
媒质的磁化（Magnetization）
无外磁场作用时，媒质对外不显磁性，
n
∑ mi = 0o
i =1
在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，
n
∑ mi ≠ 0o
环环路路上上的的BB不不仅仅与与环环路路交交链链的的电电流流有有关关，，它它 是是整整个个系系统统中中所所有有电电流流激激励励的的结结果果。。
例例试试求求无无限限大大截截流流导导板板产产生生的的磁磁感感应应强强度度BB
解：分析场的分布，取安培环路（与电流交链，成右手螺 旋）
无限大载流导板
∫B L
⋅ dl
i =1
转转矩矩为为TTi=i=mmi×i×BB，，旋旋转转方方向向使使 磁磁偶偶极极矩矩方方向向与与外外磁磁场场方方向向一一 致致，，对对外外呈呈现现磁磁性性，，称称为为磁磁化化现现 象象。。
磁化前的分子环流 磁化后的分子环流
磁化强度（Magnetization Intensity）M 表示磁化的程度，
V
′
−
∇

J
⋅
∇
(
1 R
)
+
∇
2
(
1 R
)
J
dV
′
∫V ∇f dV = ∫S f dS
SS’’为为包包围围体体电电流流曲曲 面面，，对对于于恒恒定定直直流流，， 电电流流密密度度无无法法向向分分 量量，，故故该该面面积积分分为为零零
∫ ∫ ∇×
B
=
µ0 4π

磁偶极子与电偶极子对比
项
目
模型
密度场分布电Fra bibliotek偶σ p = P ⋅en
极
子
P = qd ρp = −∇⋅ P
磁
偶 极
Km = M ×en
子
m = I0dS Jm = ∇× M
一一般般形形式式的的安安培培环环路路定定律律
有磁介质时
∫ ∫ B ⋅ dl L
= µ0I
= µ0(I + Im) = µ0I + µ0
1 R
)
∇(C ⋅ D) = (C ⋅∇)D + (D ⋅∇)C + C ×(∇× D) + D× (∇×C)
C = J(x′, y′, z′)
D
=
∇(
1 R
)
∇J
⋅∇(
1 R
)
= (J
⋅∇)∇(
1 R
) + ∇(
1 R
)⋅∇J
+
J ×∇×∇(
1 R
)
+∇(
1 R
y′, z r2
′)
×
er
dV
′
∫ =
µ0 4π
V′
∇
⋅J (x′,
y′,
z′)
× ∇(
1 r
)dV
′
矢量恒等式 ∇⋅( A×C ) = C ⋅∇× A− A⋅∇×C
A= J(x′, y′,z′)
C
=
∇(
1 r
)
∇⋅J(x′,
y′, z′)×∇(
1 r
)
=∇(
1 r
)⋅∇×J(x′,
)×∇×J
对对场场点点的的导导 数数项项为为零零