湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期月考(四)数学试题(解析版)
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故选：AD．
12.已知 ，具有下面三个性质：①将 的图象右移 个单位得到的图象与原图象重合；② ， ；③ 在 时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是（）
A. 在 时单调递减
B.
C.将 的图象左移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
D.若 与 图象关于 对称，则当 时， 的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据①可得 ，再根据③可得 ，由此可得 ，从而可求得 的值，再由②可知 ，可求得 的值，从而可求出函数 的解析式.求出函数 的单调区间，即可判断A的正误；计算出 的值，可判断B的正误；求出函数左移 个单位长度后的解析式，判断其奇偶性，即可判断C的正误；根据对称性求出 的对称区间后，再求函数 的值域，可判断D的正误.
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取得极大值，也是最大值，
，
要想使得 成立，只有 时，即 时，满足要求，
所以 ，
由定义域可知： ，
Leabharlann Baidu解得： ，
，A选项正确；
，BC错误.
，D错误；
故选：A.
【点睛】对不等式或方程变形后，利用同构来构造函数解决问题，
常见的同构型：（1） ；
（2） ；
三、填空题
13.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有______个.
【答案】120
【解析】
【分析】先排偶数，再使用插空法得到组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻的个数为144个，再计算出这144个六位数中，4在第四位的个数，相减后得到答案.
【详解】对于A，连接 、 ．
∵ 、 分别为 、 的中点，∴ ∥EF，
易知AB∥ ，且AB= ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ∥ ，∴ ∥EF．
∵ ⊥ ，∴ ⊥EF，故A正确；
对于B，设点 与点 到平面 的距离分别为 、 ，
∵ ，
又 ，
∴ ，故B错误；
对于C，取 的中点 ，连接 、 、EQ、 ，
易知EF∥ ∥GQ，GQ 平面AEF，EF 平面AEF，∴GQ∥平面AEF；
，且 可推出 ，但 ，不一定得到 ，且 ，
所以 “复数 为纯虚数”是“ ”的充分不必要条件．
故选：B.
2.已知集合 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合M，N中元素的范围，再求并集即可.
【详解】解：
，
.
故选：C.
3.已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 （）
A. B. C. D.1
由于 对称轴为 ，开口向下，所以在 上的单调递减区间为 ，
从而函数 的单调增区间为 .
故答案为： .
15.已知正方体 的棱长为 ，点E为棱 上一动点，点F为棱 上一动点，且满足 ，则三棱锥 的体积取最大值时，三棱锥 外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体的性质可知 进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为EF的中点O，从而得到球的半径，利用表面积公式计算得到球的表面积.
B：由 得，
， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴当 时， 的最大值为2，此时C为弧AB的中点，∴B正确，
C：当OC⊥OA时， 在 上的投影为0，∴C错误，
D：∵
，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴D正确．
故选：ABD．
10.已知 ， ， 均为正实数， ，则 的取值不可能是（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】ABC
C.直线 与平面 不平行
D.过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形
【答案】AD
【解析】
【分析】A：连接 、 ，证明 ∥EF∥ ， ⊥ 即可；B：设点 与点 到平面 的距离分别为 、 ，利用等体积法 和 即可判断 、 是否相等；C：取 的中点 ，连接 、 、EQ、 ，证明平面 ∥平面 即可；D：连接 、 、 ，易知过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形AEFD．
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的几何意义确定切线斜率，则可得 ，再利用和差公式与二倍角公式以及同角三角函数关系切化弦化简所求式子，得到含 的式子，即可得结果.
【详解】解：因为 ，则
则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，又倾斜角为
所以
则
.
故选：C.
4.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为 ，则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据： ）
【解析】
【分析】根据 得到 ，代入 ，化简后利用基本不等式求出 ，从而得到答案.
【详解】 ， ， 均为正实数，由 得： ，即 ，
所以 ，
由基本不等式得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：ABC
11.在正方体 中， 、 、 分别为 、 、 的中点，则()
A.直线 与直线 垂直
B.点 与点 到平面 的距离相等
【详解】如图所示：取EF的中点O，连接 ，
由正方体的性质可得 平面 ，
又∵ ，∴ ，即
同理 ，∴
由直角三角形的性质可得 ，
∴O为 的外接球的球心， 为外接球的直径，
∵ ，∴ 的外接球的半径恒为1，
∴ 的外接球的表面积恒为 ，
故答案为：
16.已知 是圆 上一个动点，且直线 与直线 相交于点 ，则 的取值范围是______；若双曲线 的一条渐近线必过点 ，则双曲线的离心率的最大值为______.
如图3，当 与圆 相切于点 时， 取得最大值，
由点到直线距离得： ，
即 ，方程两边同除以 得：
，解得： ，
其中 为图4中的情况，舍去，
故 ，此时离心率 .
故双曲线的离心率的最大值为 .
故答案为： ，
四、解答题
17.已知 是等差数列 前 项和， .
（1）求 的通项公式；
（2）在 中，去掉以 为首项，以 为公比的数列的项，剩下的项按原来顺序构成的数列记为 ，求 前100项和
易知 ∥ ∥EQ，且 = =EQ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，同理可得 ∥平面AEF，
∵ ∩GQ=Q， 、GQ 平面 ，∴平面 ∥平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ∥平面 ，故C错误；
对于D，连接 、 、 ，
由选项A知 ∥EF，且 =2EF，故过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形AEFD，故D正确．
剩余3个位置，3个奇数进行全排列，有 种选择，
则由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数种，奇数不相邻，4位于第四位共有 个，
所以由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数中，要求奇数不相邻，且4不在第四位的个数共有 个.
故答案为：120
14.已知函数 的定义域是 ，则函数 的单调增区间为______.
D. 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】依题意建立适当的直角坐标系，得到相关点的坐标，使得相应的向量运算转化为代数运算或三角函数问题进行讨论即可.
【详解】由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设 ，
可得 ， ，
A：当C为弧AB的中点时，θ＝60°，∴ ，
∴由 得，
， ，∴x＝1，y＝1，∴A正确，
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接 、 ，取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 ，即可得到 ， ，在 利用锐角三角函数求出 ，再在 利用锐角三角函数计算可得；
【详解】解：连接 、 ，取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 ，
由已知及双曲线的定义得 ， ， ，
∵ ，∴ 中， ，
又 ，∴ ，∴ ，
故选：A.
8.若实数 ， 满足 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对不等式变形得到 ，换元后得到 ，构造 ，求导研究其单调性，极值最值情况，得到 ，从而只有 时，即 时，满足要求，从而解出 ，依次判断四个选项.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
令 ，
则 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
2023届湖南师大附中高三月考四数学试卷
一、单选题（答案在最后）
1.若a， ，则“复数 为纯虚数（ 是虚数单位）”是“ ”的（）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】复数 为纯虚数，即 ，且 ，判断其与 推断关系.
【详解】复数 为纯虚数，等价于 ，且 ，
【分析】令 ，直接根据二项式定理求解即可.
【详解】令 ，则 ，
故 ，
中 得系数 ， 中 得系数为 ，
所以 ，
故选：C.
6.已知函数 满足 ，且对任意的 ，都有 ，则满足不等式 的 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】 可化为 ，构造函数 ，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
故点 的轨迹为以 为直径的圆 ，如图所示：
其中 ，即 ，且 ，
所以圆 的半径为 ，
连接 ，如图1，此时 取得最小值，长度为圆心距减去两圆半径，
即 ，
如图2，此时 取得最大值，长度为圆心距加上两圆半径，
即 ，
综上： 的取值范围是 ；
双曲线 的渐近线为 ，
由于点 在第一象限，所以渐近线 必过点 ，
双曲线的离心率为 ，当 取得最大值时，离心率最大，
【详解】先排偶数，有 种方法，3个偶数，共有4个空格，再将奇数插空，共有 种情况，
故组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻的个数为 种情况，
若4位于第四位，则第二位必须为偶数，可从数字2和6中二选一，有 种选择，
第五位与第六位，其中之一为偶数，故从两个位置中选择一个放入2和6中剩余的一个偶数，有 种选择，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出首项与公差，即可得到通项公式；
【详解】 ，
将 右移 个单位得到的函数解析式为 ，
又该函数的图象与原图象重合，所以 ，
所以 ，
又 在 时存在两个零点，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
由 得 ，
所以函数 的单调递减区间为
当 时，函数 在 上单调递减；
由 得 ，
所以函数 的单调递增区间为
A.72B.74C.76D.78
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，可得 ，再由 ，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．
【详解】由于 ，所以 ，
依题意 ，则 ，
则 ，
由 ，
所以，即 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故选：B
5.已知 ，则 （）
A. B.2C.4D.12
【答案】C
【解析】
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】求出 所过 定点，结合 始终垂直，从而得到点 的轨迹为以 为直径的圆 ，数形结合求出最值，求出 的取值范围，由双曲线的离心率为 ，当 取得最大值时，离心率最大，由点到直线距离公式得到 ，求出 ，得到离心率.
【详解】 变形为 ，故经过定点 ，
变形为 ，过经过定点 ，
又 ，所以 与 始终垂直，
当 时，函数 在 上单调递增；
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故A错误；
，
，
，
所以 ，故B正确；
将 图象左移 个单位长度后得到的图象的解析式为 ，
又 ，所以函数 为奇函数，
所以 的图象关于原点对称，故C正确；
关于 对称的区间为 ，
当 时， ，所以 ，
所以当 时， 的值域为 ，故D正确.
故选：BCD
【详解】根据题意可知，
可转化为 ，
所以 在[0，+∞)上是增函数，又 ，
所以 为奇函数，所以 在R上为增函数，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
即x的取值范围是 .
故选：A.
【关键点点睛】
本题的关键是将不等式 化为 ，从而构造函数 ，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.
7.如图所示，已知 和 分别是双曲线 ： ( ， )的左、右焦点，圆 与双曲线位于 轴上方的图像从左到右依次交于 、 两点，如果 ，则 的余弦值为（）
（3） ；
（4） ，
本题难点在于 变形为 ，换元后得到 ，从而构造 解决问题.
二、多选题
9.已知 ， 是平面内两个夹角为120°的单位向量，点C在以O为圆心的 上运动，若 ＝x +y （x，y∈R）．下列说法正确的有（）
A.当C位于 中点时，x＝y＝1
B.当C位于 中点时，x+y的值最大
C. 在 上的投影向量的模的取值范围为
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域，转化为一元二次不等式的解集，进而转化为一元二次方程的根，根据韦达定理得到 ，再由复合函数单调性求出答案.
【详解】由题意得： 的解集为 ，
则 的两根为 ，
故 ，解得： ，
设 ，则 ，
其中 在定义域为上单调递减，
根据复合函数单调性满足“同增异减”，故只需求解 在 上的递减区间，即为 的递增区间，
12.已知 ，具有下面三个性质：①将 的图象右移 个单位得到的图象与原图象重合；② ， ；③ 在 时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是（）
A. 在 时单调递减
B.
C.将 的图象左移 个单位长度后得到的图象关于原点对称
D.若 与 图象关于 对称，则当 时， 的值域为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据①可得 ，再根据③可得 ，由此可得 ，从而可求得 的值，再由②可知 ，可求得 的值，从而可求出函数 的解析式.求出函数 的单调区间，即可判断A的正误；计算出 的值，可判断B的正误；求出函数左移 个单位长度后的解析式，判断其奇偶性，即可判断C的正误；根据对称性求出 的对称区间后，再求函数 的值域，可判断D的正误.
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取得极大值，也是最大值，
，
要想使得 成立，只有 时，即 时，满足要求，
所以 ，
由定义域可知： ，
Leabharlann Baidu解得： ，
，A选项正确；
，BC错误.
，D错误；
故选：A.
【点睛】对不等式或方程变形后，利用同构来构造函数解决问题，
常见的同构型：（1） ；
（2） ；
三、填空题
13.由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有______个.
【答案】120
【解析】
【分析】先排偶数，再使用插空法得到组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻的个数为144个，再计算出这144个六位数中，4在第四位的个数，相减后得到答案.
【详解】对于A，连接 、 ．
∵ 、 分别为 、 的中点，∴ ∥EF，
易知AB∥ ，且AB= ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ∥ ，∴ ∥EF．
∵ ⊥ ，∴ ⊥EF，故A正确；
对于B，设点 与点 到平面 的距离分别为 、 ，
∵ ，
又 ，
∴ ，故B错误；
对于C，取 的中点 ，连接 、 、EQ、 ，
易知EF∥ ∥GQ，GQ 平面AEF，EF 平面AEF，∴GQ∥平面AEF；
，且 可推出 ，但 ，不一定得到 ，且 ，
所以 “复数 为纯虚数”是“ ”的充分不必要条件．
故选：B.
2.已知集合 ， ，则 （）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合M，N中元素的范围，再求并集即可.
【详解】解：
，
.
故选：C.
3.已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 （）
A. B. C. D.1
由于 对称轴为 ，开口向下，所以在 上的单调递减区间为 ，
从而函数 的单调增区间为 .
故答案为： .
15.已知正方体 的棱长为 ，点E为棱 上一动点，点F为棱 上一动点，且满足 ，则三棱锥 的体积取最大值时，三棱锥 外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体的性质可知 进而利用直角三角形的性质得到外接球的球心为EF的中点O，从而得到球的半径，利用表面积公式计算得到球的表面积.
B：由 得，
， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴当 时， 的最大值为2，此时C为弧AB的中点，∴B正确，
C：当OC⊥OA时， 在 上的投影为0，∴C错误，
D：∵
，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴D正确．
故选：ABD．
10.已知 ， ， 均为正实数， ，则 的取值不可能是（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】ABC
C.直线 与平面 不平行
D.过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形
【答案】AD
【解析】
【分析】A：连接 、 ，证明 ∥EF∥ ， ⊥ 即可；B：设点 与点 到平面 的距离分别为 、 ，利用等体积法 和 即可判断 、 是否相等；C：取 的中点 ，连接 、 、EQ、 ，证明平面 ∥平面 即可；D：连接 、 、 ，易知过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形AEFD．
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的几何意义确定切线斜率，则可得 ，再利用和差公式与二倍角公式以及同角三角函数关系切化弦化简所求式子，得到含 的式子，即可得结果.
【详解】解：因为 ，则
则曲线 在点 处的切线的斜率为 ，又倾斜角为
所以
则
.
故选：C.
4.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为 ，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为 ，则学习率衰减到 以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据： ）
【解析】
【分析】根据 得到 ，代入 ，化简后利用基本不等式求出 ，从而得到答案.
【详解】 ， ， 均为正实数，由 得： ，即 ，
所以 ，
由基本不等式得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故选：ABC
11.在正方体 中， 、 、 分别为 、 、 的中点，则()
A.直线 与直线 垂直
B.点 与点 到平面 的距离相等
【详解】如图所示：取EF的中点O，连接 ，
由正方体的性质可得 平面 ，
又∵ ，∴ ，即
同理 ，∴
由直角三角形的性质可得 ，
∴O为 的外接球的球心， 为外接球的直径，
∵ ，∴ 的外接球的半径恒为1，
∴ 的外接球的表面积恒为 ，
故答案为：
16.已知 是圆 上一个动点，且直线 与直线 相交于点 ，则 的取值范围是______；若双曲线 的一条渐近线必过点 ，则双曲线的离心率的最大值为______.
如图3，当 与圆 相切于点 时， 取得最大值，
由点到直线距离得： ，
即 ，方程两边同除以 得：
，解得： ，
其中 为图4中的情况，舍去，
故 ，此时离心率 .
故双曲线的离心率的最大值为 .
故答案为： ，
四、解答题
17.已知 是等差数列 前 项和， .
（1）求 的通项公式；
（2）在 中，去掉以 为首项，以 为公比的数列的项，剩下的项按原来顺序构成的数列记为 ，求 前100项和
易知 ∥ ∥EQ，且 = =EQ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，同理可得 ∥平面AEF，
∵ ∩GQ=Q， 、GQ 平面 ，∴平面 ∥平面 ，
又∵ 平面 ，∴ ∥平面 ，故C错误；
对于D，连接 、 、 ，
由选项A知 ∥EF，且 =2EF，故过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形AEFD，故D正确．
剩余3个位置，3个奇数进行全排列，有 种选择，
则由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数种，奇数不相邻，4位于第四位共有 个，
所以由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数中，要求奇数不相邻，且4不在第四位的个数共有 个.
故答案为：120
14.已知函数 的定义域是 ，则函数 的单调增区间为______.
D. 的取值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】依题意建立适当的直角坐标系，得到相关点的坐标，使得相应的向量运算转化为代数运算或三角函数问题进行讨论即可.
【详解】由题意，以O为原点，OA为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，
设 ，
可得 ， ，
A：当C为弧AB的中点时，θ＝60°，∴ ，
∴由 得，
， ，∴x＝1，y＝1，∴A正确，
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接 、 ，取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 ，即可得到 ， ，在 利用锐角三角函数求出 ，再在 利用锐角三角函数计算可得；
【详解】解：连接 、 ，取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 ，
由已知及双曲线的定义得 ， ， ，
∵ ，∴ 中， ，
又 ，∴ ，∴ ，
故选：A.
8.若实数 ， 满足 ，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】对不等式变形得到 ，换元后得到 ，构造 ，求导研究其单调性，极值最值情况，得到 ，从而只有 时，即 时，满足要求，从而解出 ，依次判断四个选项.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
令 ，
则 ，即 ，
所以 ，
令 ，则 ，
2023届湖南师大附中高三月考四数学试卷
一、单选题（答案在最后）
1.若a， ，则“复数 为纯虚数（ 是虚数单位）”是“ ”的（）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】复数 为纯虚数，即 ，且 ，判断其与 推断关系.
【详解】复数 为纯虚数，等价于 ，且 ，
【分析】令 ，直接根据二项式定理求解即可.
【详解】令 ，则 ，
故 ，
中 得系数 ， 中 得系数为 ，
所以 ，
故选：C.
6.已知函数 满足 ，且对任意的 ，都有 ，则满足不等式 的 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】 可化为 ，构造函数 ，再结合奇偶性可知该函数在R上单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
故点 的轨迹为以 为直径的圆 ，如图所示：
其中 ，即 ，且 ，
所以圆 的半径为 ，
连接 ，如图1，此时 取得最小值，长度为圆心距减去两圆半径，
即 ，
如图2，此时 取得最大值，长度为圆心距加上两圆半径，
即 ，
综上： 的取值范围是 ；
双曲线 的渐近线为 ，
由于点 在第一象限，所以渐近线 必过点 ，
双曲线的离心率为 ，当 取得最大值时，离心率最大，
【详解】先排偶数，有 种方法，3个偶数，共有4个空格，再将奇数插空，共有 种情况，
故组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻的个数为 种情况，
若4位于第四位，则第二位必须为偶数，可从数字2和6中二选一，有 种选择，
第五位与第六位，其中之一为偶数，故从两个位置中选择一个放入2和6中剩余的一个偶数，有 种选择，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用基本量代换列方程组求出首项与公差，即可得到通项公式；
【详解】 ，
将 右移 个单位得到的函数解析式为 ，
又该函数的图象与原图象重合，所以 ，
所以 ，
又 在 时存在两个零点，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
由 得 ，
所以函数 的单调递减区间为
当 时，函数 在 上单调递减；
由 得 ，
所以函数 的单调递增区间为
A.72B.74C.76D.78
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，可得 ，再由 ，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可．
【详解】由于 ，所以 ，
依题意 ，则 ，
则 ，
由 ，
所以，即 ，
所以所需的训练迭代轮数至少为74次．
故选：B
5.已知 ，则 （）
A. B.2C.4D.12
【答案】C
【解析】
【答案】①. ②.
【解析】
【分析】求出 所过 定点，结合 始终垂直，从而得到点 的轨迹为以 为直径的圆 ，数形结合求出最值，求出 的取值范围，由双曲线的离心率为 ，当 取得最大值时，离心率最大，由点到直线距离公式得到 ，求出 ，得到离心率.
【详解】 变形为 ，故经过定点 ，
变形为 ，过经过定点 ，
又 ，所以 与 始终垂直，
当 时，函数 在 上单调递增；
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，故A错误；
，
，
，
所以 ，故B正确；
将 图象左移 个单位长度后得到的图象的解析式为 ，
又 ，所以函数 为奇函数，
所以 的图象关于原点对称，故C正确；
关于 对称的区间为 ，
当 时， ，所以 ，
所以当 时， 的值域为 ，故D正确.
故选：BCD
【详解】根据题意可知，
可转化为 ，
所以 在[0，+∞)上是增函数，又 ，
所以 为奇函数，所以 在R上为增函数，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
即x的取值范围是 .
故选：A.
【关键点点睛】
本题的关键是将不等式 化为 ，从而构造函数 ，再根据奇偶性和单调性解抽象不等式.
7.如图所示，已知 和 分别是双曲线 ： ( ， )的左、右焦点，圆 与双曲线位于 轴上方的图像从左到右依次交于 、 两点，如果 ，则 的余弦值为（）
（3） ；
（4） ，
本题难点在于 变形为 ，换元后得到 ，从而构造 解决问题.
二、多选题
9.已知 ， 是平面内两个夹角为120°的单位向量，点C在以O为圆心的 上运动，若 ＝x +y （x，y∈R）．下列说法正确的有（）
A.当C位于 中点时，x＝y＝1
B.当C位于 中点时，x+y的值最大
C. 在 上的投影向量的模的取值范围为
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域，转化为一元二次不等式的解集，进而转化为一元二次方程的根，根据韦达定理得到 ，再由复合函数单调性求出答案.
【详解】由题意得： 的解集为 ，
则 的两根为 ，
故 ，解得： ，
设 ，则 ，
其中 在定义域为上单调递减，
根据复合函数单调性满足“同增异减”，故只需求解 在 上的递减区间，即为 的递增区间，