一次函数的应用-方案选择问题
人教版七年级上册 第3章：一元一次方程的应用-方案选择问题(含答案)
人教版七年级上册 一元一次方程的应用-方案选择问题（含答案）一、单选题1．某汽车队运送一批货物，每辆汽车装4 t ，还剩下8 t 未装，每辆汽车装4.5 t 就恰好装完．该车队运送货物的汽车共有多少辆？设该车队运送货物的汽车共有x 辆，可列方程为( ) A ．4x ＋8＝4.5x B ．4x －8＝4.5x C ．4x ＝4.5x ＋8D ．4(x ＋8)＝4.5x2．某服装店出售一种优惠卡,花200元买这种卡后,凭卡可以在这家商店按8折购物,下列情况买购物卡合算的是( ) A ．购物高于800元 B ．购物低于800元 C ．购物高于1 000元 D ．购物低于1 000元3．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本．若设这个班有x 名学生，则依题意所列方程正确的是( ) A ．3x －20＝4x －25 B ．3x ＋20＝4x ＋25 C ．3x －20＝4x ＋25 D ．3x ＋20＝4x －254．41人参加运土劳动，有30根扁担，要安排多少人抬，多少人挑，可以使扁担和人数相配不多不少？若设有x 人挑土，则可列出的方程是（ ） A.2(30)41x x --= B.(41)302x x +-= C.41302xx -+= D.3041x x -=-5．小华带x 元去买甜点，若全买红豆汤圆刚好可买30杯，若全买豆花刚好可买40杯．已知豆花每杯比红豆汤圆便宜10元，依题意可列出下列哪一个方程式( )A.103040x x=+ B.104030x x =+ C.104030x x += D.104030x x+= 6．某土建工程共需动用15台挖运机械，每台机械每分钟能挖土3 m 3或者运土2 m 3.为了使挖土和运土工作同时结束，安排了x 台机械运土，这里x 应满足的方程是( )A．2x＝3(15－x) B．3x－2x＝15C．15－2x＝3x D．3x＝2(15－x)7．一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型办卡费用(元) 每次游泳收费(元) A类50 25B类200 20C类400 15例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45～55次之间，则最省钱的方式为（）A．购买A类会员年卡B．购买B类会员年卡C．购买C类会员年卡D．不购买会员年卡二、填空题8．张老师带学生乘车外出郊游，甲车主说：”不论师生，每人8折，＂乙车主说：“学生9折，老师免费，“张老师算了一下，不论坐谁的车，费用一样，则张老师带的学生人数是________.9．学校买来大、小椅子共20张，共花去275元.已知大椅子每张15元，小椅子每张10元，问买了大椅子共多少张？若设买了大椅子x张，填写下表：大椅子小椅子张数（张）x钱数（元）小椅子____张，大椅子的钱数为____,小椅子的钱数为________,本题中的等量关系为________________，列出方程为____________，解得x=_______.因此，买了大椅子_________张.10．将一批490吨的货物分给甲、乙两船运输，现甲、乙两船分别运走了其任务的57、37，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨，则分配给甲、乙两船的任务数分别是_______吨、_______吨.三、解答题11．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元. （1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）按规定，甲种商品的进货不超过50件，甲、乙两种商品共100件的总利润不超过760元，请你通过计算求出该商场所有的进货方案；（3）在“五一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折按上述优惠条件，若贝贝第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品各多少件？12．现有若干本书分给班上的同学，若每人分5本，则还缺20本；若每人分4本，则剩余25本．班上共有多少名同学？多少本书？(1)设班上共有x名同学，根据题意列方程；(2)设共有y本书，根据题意列方程；(3)选择上面的一种设未知数的方法，解决问题．13．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价的8折优惠；在乙超市购买商品超出200元之后，超出部分按原价的8.5折优惠，设某顾客预计累计购物x元(x＞300元)．(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；(2)当该顾客累计购物500元时，在哪个超市购物合算．14．小明用的练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两商店的标价都是每本2元，甲商店的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的70%出售；乙商店的优惠条件是，从第一本起按标价的80%出售．（1）设小明要购买x（x＞10）本练习本，则当小明到甲商店购买时，须付款元，当到乙商店购买时，须付款元；（2）买多少本练习本时，两家商店付款相同？（3）小明准备买50本练习本，为了节约开支，应怎样选择哪家更划算？15．淘淘到书店帮同学买书,售货员告诉他,如果用20元钱办会员卡,将享受八折优惠,请问在这次买书中,淘淘在什么情况下,办会员卡与不办会员卡费用一样?当淘淘买标价共计200元的书时,怎么做合算?能省多少钱?16．某班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元．经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）．问：（1）当分别购买20盒、40盒乒乓球时，去哪家商店购买更合算？（2）当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样？17．某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠办法：（1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠；（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元，全部9折优惠；（3）一次购买的超过3万元，其中3万元9折优惠，超过3万元的部分8折优惠．某人因库容原因，第一次在供应商处购买原料付7800元，第二次购买付款26100元，如果他是一次购买同样数量的原料，则应付款多少元？可少付款多少元？18．某地电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一：（A）计时制，0.05元∕分；（B）包月制，50元∕分（限一部个人住宅电话上网）；此外，每种上网方式都附加通信费0.02元∕分。
一次函数应用题(选择方案)(一)
一次函数应用题（选择方案）（一）1类型一: 利用函数值的大小选择方案例1 紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获得15%的利润，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付存储费700元，请根据商场的资金情况，判断一下选择哪种销售方式获利较多，并说明商场投资25000元时，哪种销售方式获利较多。
2 类型二选择购买方案例2 甲乙两家体育器材商店出售同样地乒乓球拍和乒乓球，球拍每幅定价60元，乒乓求每盒定价10元。
今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买1副乒乓球拍赠2盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠。
某校乒乓球队需要2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）设该校要买乒乓求x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需要用y2元。
（1）请分别写出y1、y2与之间的函数解析式（不注明自变量x的取值范围）；（2）对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜；（3）若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案。
例3、商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价为5元，该店制定了两种优惠办法：(1)买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款。
某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若设购买茶杯数为x（只），付款数为y(元)，试分别写出两种优惠办法中y(元)与x（只）之间的函数解析式，并讨论两种办法中哪种更省钱。
3类型三选择生产方案问题例4、某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为1万元，其原材料成本价（含其他损耗）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产出，为达到国家环保要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元。
方案二：工厂将废渣集中到废渣厂处理，每处理一吨需付0.1万元的处理费。
一次函数的应用 选择方案
一次函数的应用选择方案一、内容和内容解析1. 内容建立函数模型解决“选择上网收费方式”问题．2. 内容解析选择上网收费方式问题是生活中的常见问题，具有一定的开放性. 事实上生活中的数学问题大多是具有开放性的综合问题，所以对这类问题的探究是“数学回归生活，服务于生活”的需要．本课是一次函数的应用，但本课设置的目的不仅仅停留在如何解决这个问题，而是通过这个问题的解决过程让学生体验“建模解题”的过程，渗透建模思想．建立函数模型解决问题大致分为三个环节：首先，设置变量，建立实际问题中变量间的函数关系，将实际问题转化为函数模型；其次，利用函数的性质解决函数问题；最后，用函数问题的解解释实际问题，得到实际问题的解．在这三个环节中“建立模型”尤为重要，需要学生具有一定的分析、转化能力．本课涉及到一次函数间的大小比较问题．函数间比较大小，需在自变量为同一定值的前提下进行，在稍显复杂的问题中，我们多借助函数图像来确定函数间的大致关系以及重要节点的大致位置等．基于以上分析，本课的教学重点是：建立一次函数模型解决“选择上网收费方式”问题．二、目标和目标解析1. 目标（1）体验建立函数模型解决问题的一般过程．（2）体会函数模型思想，增强应用意识和应用能力．2. 目标解析达成目标（1）需经历以下过程：发现问题中的关键变量—“时间与费用”，并根据题意建立变量间的函数关系式；结合图像比较、分析不同函数在不同区间上的大小关系；根据函数问题的结果解释“选择上网收费方式”问题．达成目标（2）需要学生体会：如何通过感知问题的起点与目标，确定变量及变量间的函数关系？如何通过分析，将表格信息转化为函数解析式？如何借助图像分析，确定不同函数在各区间上的大小关系？如何利用函数问题的结果准确的解释实际问题？三、教学问题诊断分析本课要解决的是一个综合性问题，对学生的能力要求较高．首先，学生需根据问题的情境确定恰当的知识模型，并准确地将实际问题抽象为数学问题；其次，问题的起点与目标跨度较大，学生需自主将解决问题的过程分解为不同的阶段，并确定阶段任务和阶段目标；第三，阶段任务也没有明确的提示，需学生选择适当的知识及途径来解决．学生在以往的学习中，更习惯于利用知识解决任务单一且指向性明确的问题，在独立面对综合性问题的时候会感觉无从下手．学生面临的主要困难是：（1）对题意（尤其是表格信息）的准确理解；（2）由问题向函数模型的迁移；（3）合理的规划建模解题的过程等．所以本课要解决的关键问题不是一次函数本身的问题，而是如何建模、如何合理规划建模解题的完整过程的问题．本课的教学难点是：建立函数模型，规划解题思路．四、教学过程设计1.情境引入，明确目标引言做一件事情，有时有不同的实施方案．比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常有必要的．应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清楚的认识各种方案，作出理性的决策．当我们面对不同的方案，怎样运用数学方法进行比较并作出合理的选择？请看下面问题：下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式．选择哪种收费方式能节约上网费用？问题1 你了解表格中这些数字的含义吗？追问1：如果每月的上网时间为20小时，选择哪种收费方式能节约上网费用？追问2：如果每月的上网时间为150小时，选择哪种收费方式能节约上网费用？师生活动：学生阅读问题，教师引导学生表达对问题的初步认识．设计意图：通过提问和学生的回答，了解学生对表格信息的理解能力及理解水平，引导学生对表格信息做初步梳理和简单加工．通过两个追问，渗透收费方式的选择与上网时间相关．问题2 你能确定选择哪种收费方式能节约上网费用吗？为什么？师生活动：教师提问，学生思考并回答．设计意图：进一步明确上网费用的多少与上网时间相关，随着时间的变化，所选的最优方案也不同．问题3 面对这样一个问题，我们应从哪里入手呢？追问1：这个问题要我们做什么？追问2：选择方案的依据是什么？师生活动：教师引导学生，通过阅读问题明确问题的起点（条件）和目标，知道根据省钱原则方案．设计意图：感知问题首先要感知问题的起点和目标，即知道在什么条件下需要做什么事，从而为我们后续的工作指明方向．2．分析问题，规划思路问题4 要比较三种收费方式的费用，需要做什么？师生活动：教师引导学生认识到需要算出每种方案各自的费用并进行比较，追问1：方式C需要多少钱？追问2：方式A，B的费用确定吗？影响费用的因素是什么？追问3：方式A，B的费用与上网时间t有什么关系？师生活动：以教师引导的形式进行如下分析：（1）费用的构成要素及其关系当上网时间不超过规定时间时，费用=月费；当上网时间超过规定时间时，费用=月费+ 超时费用（即超时使用价格×超时时间）（2）用适当方法表示出A，B两种方案的费用（设上网时间为t h）方式A：当上网时间不超过25 h时，费用=30元；当上网时间超过25 h时，费用=30 + 0.05×60（t -25）方式B：当上网时间不超过50 h时，费用=50当上网时间超过50 h时，费用=50 + 0.05×60（t -50）用式子表示数量关系：方案A30,025345,25tyt t≤≤⎧=⎨->⎩方案B50,0503100,50tyt t≤≤⎧=⎨->⎩用函数图象表示数量关系，如图．追问4：怎样比较三种收费方式的费用？设计意图：感知问题的整体结构和数量关系，是从粗略到精细，从定性到定量的过程，要感知本题中费用随上网时间的变化而变化，并把这两个变量作为研究的对象，并不是自动生成的，需要经过费用构成要素分析、各要素的可变性分析、变量的确定、变量之间关系的确定及数量表示等过程．在感知问题中数量关系的基础上，教师要进一步引导学生标据，设出变量或未知数，用式子表示这些数量之间关系．最终把问题转化为比较一次函数大小．3．建立模型，解决问题任务l 请把原来的问题转化为函数问题．师生活动：学生独立建立函数模型，把实际问题转化为函数问题．设上网时间为t h，方案A费用为y1元，方案B费用为y2元，方案C费用为y3元，则130,025345,25t y t t ≤≤⎧=⎨->⎩250,0503100,50t y t t ≤≤⎧=⎨->⎩3120,0y t =≥．比较y 1， y 2， y 3的大小．设计意图：通过前面的分析，在写出函数式的基础上，通过建立一次函数模型，把实际问题转为一次函数的问题，这是感知问题、分析问题基础上的用一次函数模型对实际问题进行数学表征，通过这种表征，把实际问题转化为函数问题．任务2 独立解决上面的函数问题，并进行相互交流． 师生活动：教师引导学生解决函数问题． 当12y y =时，即34550t -=，解方程，得2313t =； 当23y y =时，即3100120t -=，解方程，得1733t =． 结合图象可知：（1）当2313t <时，123y y y <<； （2）当2313t =时，123y y y =<；（3）当21317333t <<时，21y y <且23y y <；（4）当1733t =时，231y y y =<；（5）当1733t >时，321y y y <<．设计意图：上述函数问题，需要在画出函数图象、观察函数图象的基础上对上网时间进行分段讨论，让学生体会根据函数图象作出整体时间分段规划，应用方程和不等式解决具体时间段中的函数值大小比较，精细分析数量关系的过程．任务3 请解释你得到结果的实际意义，并检查自己解题过程正确与否． 师生活动：教师引导学生解释上述结果的实际意义， 当上网时间不超过2313h 时，选择方案A 最省钱；当上网时间等于2313h 时，选择方案A 或B 均可；当上网时间为2313h至1733h时，选择方案B最省钱；当上网时间等于1733h时，选择方案B或C均可；当上网时间超过1733h时，选择方案C最省钱．设计意图：让学生解释数学模型解的实际意义，发展自我评价的意识．4．小结请大家带着下列问题回顾上述问题的解决过程，谈谈自己的感悟：（l）在解决“选择上网收费方式”问题的过程中，经历了哪些步骤？（2）明确解决问题的起点与目标有何作用？（3）你是怎样发现问题中的变量之间的函数关系的？设计意图：让学生带着问题回顾解决实际问题的过程，可以提高反思过程的针对性，突出反思问题解决的关键节点和核心思想这两个重点，帮助学生概括应用一次函数解决实际问题的基本思路．5.巩固应用甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，则小红在哪家商场购物的实际花费较少？师生活动：学生独立解决问题，教师巡视指导，学生交流展示．设计意图：让学生通过同类问题的解决，巩固问题解决的基本过程，进一步熟悉“确定起点、目标”，确定核心变量并建立适当的函数模型，等基本步骤，提升解决问题的能力.6.作业略。
一次函数的应用——方案选择问题“微课”教学设计
一次函数的应用——方案选择问题“微课”教学设计一. 教材分析本次微课的教学内容是一次函数的应用——方案选择问题。
一次函数是初中数学中的重要内容，也是实际生活中应用广泛的知识点。
通过本次微课的学习，让学生能够理解一次函数的概念，掌握一次函数的图像特征，并能运用一次函数解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本次微课之前，已经掌握了二次函数的相关知识，具备了一定的数学思维能力。
但部分学生对于一次函数的图像特征和实际应用可能还有一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对性地进行讲解和辅导。
三. 教学目标1.让学生掌握一次函数的概念和图像特征。
2.培养学生运用一次函数解决实际问题的能力。
3.提高学生分析问题和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.一次函数的概念和图像特征。
2.一次函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过生动的案例引导学生思考和探究，让学生在解决问题的过程中掌握一次函数的知识和应用。
同时，运用互动式教学，鼓励学生提问和发表见解，提高学生的参与度和积极性。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题，以便进行课堂讨论和练习。
2.准备一次函数的图像资料，以便进行直观讲解和分析。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出一次函数的概念，激发学生的兴趣。
例如：某商场举行打折活动，商品的原价可以表示为一次函数y=2x+1，其中x表示购买的商品数量，y表示需要支付的总金额。
请根据这个一次函数，回答以下问题：购买2件商品需要支付多少金额？购买5件商品需要支付多少金额？2.呈现（10分钟）讲解一次函数的一般形式y=kx+b，解释k和b的含义，并通过图像展示一次函数的特征。
同时，引导学生思考一次函数在实际生活中的应用，如路程、速度、单价等问题。
3.操练（10分钟）让学生通过实例计算和绘制一次函数的图像，加深对一次函数的理解。
例如：给出一次函数y=3x-2，让学生计算x=0、x=1、x=2时的y值，并绘制出函数的图像。
一次函数应用——方案选择
1、（2015•深圳模拟）将220吨物资从A 地运往甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好一次性运完这批物资，已知这两种货车的载重量分别为15（吨/辆）和10（吨/辆），运往甲、乙两地的运费如表1：（1）求这两种货车各需多少辆？（2）如果安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，填写表2，写出 运费w （元）与a 的函数关系式．若运往甲地的物资不少于110吨，请设计出货车调配方案，并求出最少运费． 表1 甲地（元/辆） 乙地（元/辆） 货车 700 800 小货车 400 600．国务院总理温家宝2011年11月16日主持召开国务院常务会议，会议决定建立青海三江源国家生态保护综合实验区．现要把228吨物资从某地运往青海甲、乙两地，用大、小两种货车共18辆，恰好能一次性运完这批物资．已知这两种货车的载重量分别为16吨/辆和10吨/辆，运往甲、乙两地的运费如表：（1）求这两种货车各多少辆？（2）如果安排9辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a 辆，前往甲、乙两地的总运费为w 元，求出w 与a 的函数关系式（写出自变量的取值范围）；（3）在（2）的条件下，若运往甲地的物资不少于120吨，请你设计出使总运费最少的货车调配方案，并求出最少总运费． 【思路点拨】（1）设大货车用x 辆，则小货车用18－x 辆，根据运输228吨物资，列方程求解； （2）设前往甲地的大货车为a 辆，则前往乙地的大货车为（8－a ）辆，前往甲地的小货车为（9－a ）辆，前往乙地的小货车为[10－（9－a ）]辆，根据表格所给运费，求出w 与a 的函数关系式；（3）结合已知条件，求a 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案.【答案与解析】解：（1）设大货车用x 辆，小货车用y 辆，根据题意得，解得 答：大货车用8辆，小货车用10辆．（2）根据题意，得w=720a+800（8-a ）+500（9-a ）+650[10-（9-a ）] =70a+11550，⎩⎨⎧=+=+228101618y x y x ⎩⎨⎧==.108y x∴w=70a+11550（0≤a≤8且为整数）.（3）16a+10（9-a）≥120，解得a≥5，又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8且为整数，而w=70a+11550，k=70＞0，w随a的增大而增大，∴当a=5时，w最小，最小值为W=70×5+11550=11900（元）答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车，4辆小货车前往甲地；3辆大货车，6辆小货车前往乙地．最少运费为11900元．【总结升华】这是一道典型的三个“一次”携手结伴的中考试题，把一元一次方程（组）、一元一次不等式和一次函数有机地结合起来，和谐搭配，形成知识系统化、习题系列化，可谓“一石三鸟”. 思路点拨】（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，根据两种货车的运货总量为220吨建立方程求出其解即可（2）由安排8辆货车前往甲地，其余货车前往乙地，设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，由总运费=两地费用之和就可以表示会出W与a的关系式，由运往甲地的物资不少于110吨建立不等式求出a的取值范围，由一次函数的性质就可以求出结论．【答案与解析】解：（1）设需要大货车x辆，则需要小货车（18﹣x）辆，由题意，得15x+10（18﹣x）=220，解得：x=8，需要小货车18﹣8=10辆．答：需要大货车8辆，则需要小货车10辆；（2）设前往甲地的大货车为a辆，则甲地的小货车为（8﹣a）辆，乙地的大货车为（8﹣a）辆，小货车（2+a）辆，表格2答案为：大货车去乙地（8﹣a）辆，小货车去甲、乙两地各（8﹣a）辆，（2+a）辆．由题意，得W=700a+800（8﹣a）+400（8﹣a）+600（2+a），W=100a+10800．15a+10（8﹣a）≥110，a≥6．∵k=100＞0，∴W随a的增大而增大，∴a=6时，W最小=11400，∴运往甲地的大货车6辆，小火车2辆，运往乙地的大货车2辆，小火车8辆．最小运费为11400辆．【总结升华】此题主要考查了一次函数的应用以及不等式的解法和一次函数的最值问题，根据题意用x表示出运往各地的台数是解决问题的关键．16．（2015齐齐哈尔）母亲节前夕，某淘宝店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为2：3，单价和为200元．（1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？（2）该店主购进这两种礼盒恰好用去9600元，且购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，共有几种进货方案？（3）根据市场行情，销售一个A钟礼盒可获利10元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，在（2）的条件下，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？【答案】（1）A种礼盒单价为80元，B种礼盒单价为120元；（2）三种；（3）m=3，1200元．【解析】（2）设购进A种礼盒a个，B种礼盒b个，依据题意可得：801209600362a bab a+=⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，解得：30≤a≤36，∵a，b的值均为整数，∴a的值为：30、33、36，∴共有三种方案；（3）设店主获利为w元，则：w=10a+（18﹣m）b，由80a+120b=9600，得：3 1202a b=-，则w=（3﹣m）b+1200，∵要使（2）中方案获利都相同，∴3﹣m=0，∴m=3，此时店主获利1200元．考点：1．一次函数的应用；2．一元一次方程的应用；3．一元一次不等式组的应用；4．方案型；5．综合题．22．（2015内江）某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？（2）现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润为y 元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k （0＜k ＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及（2）问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．【答案】（1）1600，2000；（2）有7种，当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元；（3）当50＜k ＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k ＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大；当k =50时，每种进货方案的总利润都一样． 【解析】试题解析：（1）设每台空调的进价为x 元，则每台电冰箱的进价为（x +400）元，根据题意得：8000064000400x x=+，解得：x =1600，经检验，x =1600是原方程的解，x +400=1600+400=2000， 答：每台空调的进价为1600元，则每台电冰箱的进价为2000元．（2）设购进电冰箱x 台，这100台家电的销售总利润为y 元，则y =（2100﹣2000）x +（1750﹣1600，第1题，100﹣x ）=﹣50x +15000，根据题意得：1002501500013000x xx -≤⎧⎨-+≤⎩，解得：133403x ≤≤，∵x 为正整数，∴x =34，35，36，37，38，39，40，∴合理的方案共有7种，即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台；∵y =﹣50x +15000，k =﹣50＜0，∴y 随x 的增大而减小，∴当x=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元），答：当购进电冰箱34台，空调66台获利最大，最大利润为13300元．（3）当厂家对电冰箱出厂价下调k（0＜k＜100）元，若商店保持这两种家电的售价不变，则利润y=（2100﹣2000+k）x+（1750﹣1600）（100﹣x）=（k﹣50）x+15000，当k﹣50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，∵133403x≤≤，∴当x=40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；当k﹣50＜0，即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，∵133403x≤≤，∴当x=34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台；当k=50时，每种进货方案的总利润都一样；答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大；当k=50时，每种进货方案的总利润都一样．考点：1．一次函数的应用；2．分式方程的应用；3．一元一次不等式组的应用；4．分类讨论；5．方案型；6．最值问题．温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球．某制笔企业欲将n件产品运往A，B，C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x件产品运往A地．(1)当n＝200时，②若运往元，则有哪几种运输方案？(2)若总运费为5800元，求n的最小值．【思路点拨】(1)①运往B地的产品件数＝总件数n－运往A地的产品件数－运往C地的产品件数：运费＝相应件数×一件产品的运费；②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整数解的个数即可；(2)总运费＝A产品的运费＋B产品的运费＋C产品的运费，进而根据函数的增减性及(1)中②得到的x的取值求得n的最小值即可．【答案与解析】(1)①根据信息填表：②由题意得解得40≤x ≤4267.∵x 为正整数，∴x ＝40或41或42，∴有3种方案，分别为： (ⅰ)A 地40件，B 地80件，C 地80件； (ⅱ)A 地41件，B 地77件，C 地82件； (ⅲ)A 地42件，B 地74件，C 地84件． (2)由题意得30x ＋8(n －3x )＋50x ＝5800， 整理得n ＝725－7x .∵n －3x ≥0，∴x ≤72.5.又∵x ≥0，∴0≤x ≤72.5且x 为正整数．∵n 随x 的增大而减小，∴当x＝72时，n 有最小值为221. 【总结升华】考查一次函数的应用，得到总运费的关系式是解决本题的关键，注意结合自变量的取值n 的最小值. 23．（10分）荆州素有“鱼米之乡”的美称，某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售，按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种鱼，辆，求y 与x 之间的函数关系式； （2）如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆，那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大？并求出最大利润．考点： 一次函数的应用．分析： （1）设装运鲢鱼的车辆为x 辆，装运草鱼的车辆为y 辆，则由（20﹣x ﹣y ）辆汽车装运青鱼，由20辆汽车的总运输量为120吨建立等式就可以求出结论；（2）根据建立不等装运每种鱼的车辆都不少于2辆，列出不等式组求出x 的范围，设此次销售所获利润为w 元，w =0.25x ×8+0.3（﹣3x +20）×6+0.2（20﹣x +3x ﹣20）×5=﹣1.4x +36，再利用一次函数的性质即可解答． 解答： 解：（1）设装运鲢鱼的车辆为x 辆，装运草鱼的车辆为y 辆，则由（20﹣x ﹣y ）辆汽车装运青鱼，由题意，得 8x +6y +5（20﹣x ﹣y ）=120， ∴y =﹣3x +20．答：y 与x 的函数关系式为y =﹣3x +20； （2），根据题意，得1600564000x ⎧⎨+≤⎩∴，解得：2≤x≤6，设此次销售所获利润为w元，w=0.25x×8+0.3（﹣3x+20）×6+0.2（20﹣x+3x﹣20）×5=﹣1.4x+36∵k=﹣1.4＜0，∴w随x的增大而减小．∴当x=2时，w取最大值，最大值为：﹣1.4×2+36=33.2（万元）．∴装运鲢鱼的车辆为2辆，装运草鱼的车辆为14辆，装运青鱼的车辆为4辆时获利最大，最大利润为33.2万元．点评：本题考查了一次函数的解析式的运用，一次函数的性质的运用，一元一次不等式组的运用，解答时求出函数的解析式是关键．。
一次函数模型的实际应用
一次函数模型的实际应用1. 购买方案问题(中考临沂)新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售. 某楼盘共23层，销售价格如下：第八层楼房售价为4 000元/m2,从第八层起每上升一层，每平方米的售价提高50元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低30元，已知该楼盘每套楼房面积均为120m2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%，另外每套楼房赠送 a 元装修基金；方案二：降价10%，没有其他赠送．(1) 请写出售价y(元/m2)与楼层x(1叹w 23 x取整数)之间的函数关系式；(2) 老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算．跟踪训练1.(中考孝感)孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升.某校计划购进A, B两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买A种树木2棵，B种树木5棵，共需600元；购买A种树木3棵，B种树木1棵，共需380 元.(1) 求A种，B种树木每棵各多少元.(2) 因布局需要，购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素),实际付款总金额按市场价九折优惠,请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用.2 .仲考包头)甲、乙两个商场出售相同的某种商品，每件售价均为3 000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一件按原售价收费，其余每件优惠30%;乙商场的优惠条件是：每件优惠25%.设所买商品为x件时, 甲商场收费为y1元，乙商场收费为y2元.(1) 分别求出y1, y2与X之间的关系式.(2) 当甲、乙两个商场的收费相同时,所买商品为多少件？(3) 当所买商品为5 件时,选择哪个商场更优惠？请说明理由.2. 利润方案问题(中考 济宁)小明到服装店参加社会实践活动，服装店经理让小明帮助解决以下问题： 服装店准备购进甲、乙两种服装，甲种每件进价 80元，售价120元；乙种每件进价 60元，售价90元.计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于 65件.(1)若购进这100件服装的费用不得超过 7 500元，则甲种服装最多购进多少件？ ⑵在⑴的条件下，该服装店对甲种服装以每件优惠 a(0 v a v 20)元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变， 那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？跟踪训练“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继 投放市场，顺风车行经营的 A 型车2017年6月份销售总额为 3.2万元，今年经过改造升级后 A 型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份2与去年6月份卖出的A 型车数量相同，则今年 6 月份A 型车销售总额将比去年 6月份销售总额增加 25%.(1)求今年A 型车每辆销售价为多少元(用列方程的方法解答);B 型车共50辆，且B 型车的进货数量不超过 A 型车数量的两倍，应如何3. 租车方案问题(中考广安)为了贯彻落实市委市政府提出的 精准扶贫”精神.某校特制定了一系列关于帮扶A ,B 两贫困村的计划，现决定从某地运送152箱鱼苗到A , B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗•已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆，其运往A , B 两村的运费如下表：(1) 求这15辆车中大小货车各多少辆？(2) 现安排其中的10辆货车前往A 村，其余货车前往 B 村，设前往A 村的大货车为x 辆，前往A , B 两村总费用为y 元，试求出y 与x 的函数表达式.⑶在(2)的条件下，若运往 A 村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少总费用.(2)该车行计划7月份新进一批A 型车和 进货才能使这批车获利最多？A 、B 两种型号车的进货和销售价格如下表：跟踪训练（中考 甘孜州）某学校计划组织 500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有 A , B 型两种客车,它们的载客量和租金如下表所示：经测算，租用 A , B 型客车共13辆较为合理，设租用 A 型客车x 辆，根据要求回答下列问题: （1）用含x 的代数式填写下表：⑵采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？跟踪训练（中考 阜新）随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加.某汽车经销 商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车.两种轿车的进价和售价如下表： （1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？⑵如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润.（注：其他费用不计，利润=售价-进价 ）4. 合理决策问题现从A, B 两个蔬菜市场向甲、 乙两地运送蔬菜, 乙地需要蔬菜13吨，从A 蔬菜市场到甲地的运费为 运费为60元/吨，到乙地的运费为 45元/吨.A ,B 两个蔬菜市场各有蔬菜 14吨，其中甲地需要蔬菜 15吨, 50元/吨，到乙地的运费为 30元/吨；从B 蔬菜市场到甲地的（1） 设A 蔬菜市场向甲地运送蔬菜 x 吨，请完成下表:（2） 设总运费为 W 元，请写出 W 与x （3）怎样调运蔬菜才能使总运费最少?5. 选择方案问题(中考 黄冈)我市某风景区门票价格如图所示•黄冈赤壁旅游公司有甲、乙两个旅行团队，计划在五一小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为 120人，乙团队人数不超过 50人•设甲团队人数为 x 人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W 元.(1)求W 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；⑵若甲团队人数不超过 100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少钱; (3) 五一小黄金周之后，该风景区对门票价格作了如下调整：人数不超过 人但不超过100人时，每张门票降价 a 元；人数超过100人时，每张门票降价 个旅行团队五一小黄金周之后去游玩，最多可节约呂屮 ----70 ------ 勺 -- •--------- -； ------ 9-跟踪训练某区人畜饮用水紧张.每天需从社区外调运饮用水120吨，有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出 80吨，乙厂每天最多可调出 90吨.从两水厂运水到该社区供水点的路程和运费如下 表：(1) 若某天调运水的总运费为 26 700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？(2) 设从甲厂调运饮用水 x 吨，总运费为 W 元.试写出 W 关于x 的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天 的总运费最省？50人时，门票价格不变；人数超过 502a 元.在(2)的条件下，若甲、乙两3 400元，求a 的值.。
一次函数的应用
一次函数的应用一次函数在数学中有着广泛的应用。
在平面直角坐标系中，一次函数的图像是一条直线，其解析式为y=kx+b。
其中，k表示斜率，b表示截距。
斜率k的正负决定了直线的方向，截距b则决定了直线与y轴的交点。
正比例函数是一种特殊的一次函数，其解析式为y=kx，其中k为比例系数。
正比例函数的图像是一条经过原点的直线，斜率k决定了直线的斜率和方向。
当k>0时，随着x的增大，y也随之增大；当k<0时，随着x的增大，y则会减小。
一次函数在实际生活中也有着广泛的应用。
例如，某航空公司规定旅客携带行李的质量与运费之间的关系为一次函数。
旅客可携带的免费行李的最大质量可以通过函数图像得出。
另外，XXX从家门口骑车去单位上班，他的上班时间与路程的关系也可以用一次函数表示。
通过求解函数，我们可以得到他从单位到家门口需要的时间。
在解决实际问题时，我们还需要注意一次函数的性质。
例如，一次函数y=2x-3的图像不经过第二象限。
因此，在应用中需要注意这些性质，避免出现错误的结果。
总之，一次函数是数学中重要的概念之一，其应用也十分广泛。
在备考中，我们需要掌握其定义、性质和图像，以及应用解题的方法。
直线y=kx+b表示一次函数，其中k和b决定了直线的位置和增减性质。
当k>0时，随着x的增大，y也增大。
如果b>0，则直线会经过第一、二、三象限；如果b0，则直线会经过第一、二、四象限；如果b<0，则直线会经过第二、三、四象限。
一次函数y=kx+b可以进行平移操作，分为沿着y轴平移和沿着x轴平移。
沿着y轴平移m个单位，得到函数y=kx+b±m；沿着x轴平移n个单位，得到函数y=k(x±n)+b。
这两种平移往往是同时进行的。
直线y=kx+b与x轴的交点为(-b,0)，与y轴的交点为(0,b)，这两个交点与坐标原点构成的三角形面积为S=1/2*│-b│*│b│/k。
对于一次函数y=kx+b，当k>0时，直线上升，y随着x的增大而增加；当k-b。
一次函数应用及方案选择问题(含阶梯计费问题)
（升）(小时)6014504540302010876543210y t 一次函数应用题与方案选择问题一次函数图像及应用1.某企业有甲、乙两个长方体的蓄水池，两个蓄水池中水的深度y （m ）与注水时间x （h ）之间的函数图像如图所示，结合图像回答下列问题：（1）未注水前甲池水高____m ，乙池水高_____m（2）分别求出甲，乙两个蓄水池中水的深度y 与注水时间x 之间的函数关系式，并说明斜率表示的实际意义（2）求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水的深度相同；（3）若甲池中的水以6立方米/小时的速度注入乙池，求注水多长时间甲，乙两个蓄水池水的体积相同．2.张师傅驾车运送荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y (升)与行驶时间t (小时)之间的关系如图所示． 请根据图象回答下列问题： （1）汽车行驶 小时后加油，中途加油 升； （2）求加油前油箱剩余油量y 与行驶时间t 的函数关系式； （3）已知加油前、后汽车都以70千米/小时匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．3.小明、小颖两名同学在学校冬季越野赛中的路程y（千米）与时间x（分）的函数关系如图所示。
（1）根据图象提供的数据，求比赛开始后，两人第一次相遇所用的时间；（2）根据图象提供的信息，请你设计一个问题，并给予解答4.小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留2 min后沿原路以原速返回．设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1 m，小明爸爸与家之间的距离为s2 m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间函数关系的图象。
（1）求s2与t之间的函数关系式；（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？阶梯定价问题OA BCED F t(min) 24001012s(m)1.根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2012年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：一户居民一个月用电量的范围电费价格（单位：元/千瓦时）不超过150千瓦时 a超过150千瓦时但不超过300千瓦时的部分 b超过300千瓦时的部分a+0.32012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．该市一户居民在2012年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元．（1）上表中，a=；b=；（2）请直接写出y与x之间的函数关系式；（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？2.为鼓励居民节约用水，某市决定对居民用水收费实行“阶梯价”，即当每月用水量不超过15吨时（包括15吨），采用基本价收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分每吨采用市场价收费．小兰家4、5月份的用水量及收费（2）设每月用水量为n吨，应缴水费为m元，请写出m与n之间的函数关系式．（3）小兰家6月份的用水量为26吨，则她家要缴水费多少元？3.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a、b的值；（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？4.为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案．人均住房面积（平方米）单价（万元/平方米）不超过30（平方米）0.3超过30平方米不超过m（平方米）部分（45≤m≤60）0.5超过m平方米部分0.7根据这个购房方案：（1）若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；（2）设该家庭购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元，请求出y关于x的函数关系式；（3）若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且57＜y≤60 时，求m的取值范围．生产方案的设计1.某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完成，并（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人，那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案．（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值．2.某高科技公司根据市场需求，计划生产A．B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：信息一：A．B两种型号的医疔器械共生产80台．信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，但不超过1810万元．且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械．根据上述信息．解答下列问题：（1）该公司对此两种医疗器械有哪几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？（2）根据市场调查，每台A型医疗器械的售价将会提高a万元（a＞0）．每台B型医疗器械的售价不会改变．该公司应该如何生产可以获得最大利润？（注：利润=售价﹣成本）营销方案的设计1.某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台，三种家电的进价和售其中购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半．国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．设购进电视机的台数为x台，三种家电国家财政共需补贴农民y元．（1）求出y与x之间的函数关系；（2）在不超出现有资金的前提下，商场有哪几种进货方案？（3）在（2）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？2.两种T恤的相关信息如下表：根据上述信息，该店决定用不少于6195元，但不超过6299元的资金购进这两种T恤共100件．请解答下列问题：（1）该店有哪几种进货方案？（2）该店按哪种方案进货所获利润最大，最大利润是多少？（3）两种T恤在夏季销售的过程中很快销售一空，该店决定再拿出385元全部用于购进这两种T恤，在进价和售价不变的情况下，全部售出．请直接写出该店按哪种方案进货才能使所获利润最大．优惠方案的设计1.实验学校计划组织共青团员372人到某爱国主义基地接受教育，并安排8们老师同行，经学校与汽车出租公司协商，有两种型号客车可供选择，它们的载客量和租金如下表，为保证每人都有座位,学校决定租8辆车。
一次函数方案选择问题
利用一次函数选择最佳方案(1)根据自变量的取值范围选择最佳方案:A 、列出所有方案,写出每种方案的函数关系式；B 、画出函数的图象,求出交点坐标,利用图象来讨论自变量在哪个范围内取哪种方案最佳; 2根据一次函数的增减性来确定最佳方案：A 、首先弄清最佳方案量与其他量之间的关系,设出最佳方案量和另外一个量,建立函数关系式;B 、根据条件列出不等式组,求出自变量的取值范围;C 、根据一次函数的增减性,确定最佳方案; 根据自变量的取值范围选择最佳方案:例1、某校实行学案式教学,需印制若干份数学学案;印刷厂有甲、乙两种收费方式,除按印数收取印刷费外,甲种方式还需收取制版费而乙种不需要;两种印刷方式的费用y 元与印刷份数x 份之间的函数关系如图所示：1填空：甲种收费方式的函数关系式是_______ ____;乙种收费方式的函数关系式是___________;（2）该校某年级每次需印制100∽450含100和450份学案, 选择哪种印刷方式较合算;例2、某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游,甲旅行社说：“如果老师买全票,其他人全部半价优惠,”乙旅行社说：“所有人按全票价的6折优惠,”已知全票价为240元,设学生人数为x,甲旅行社的收费为甲y 元,乙旅行社的收费为乙y 元;（1）分别表示两家旅行社的收费甲y ,乙y 与x 的函数关系式； （2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠； 2根据一次函数的增减性来确定最佳方案：例3、博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本,购书款不高于2224元,预计这100本图书全部售完的利润不低于1100元,两种图书的进价、售价如下表所示：甲种图书 乙种图书 进价元/本 16 28 售价元/本 26 40 请解答下列问题： 1有哪几种进书方案2在这批图书全部售出的条件下,1中的哪种方案利润最大最大利润是多少3博雅书店计划用2中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校,那么在钱恰好用尽的情况下,最多可以购买排球和篮球共多少个请你直接写出答案;例4、某学校计划在总费用2300元的限额内,利用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动,每辆汽车上至少有1名教师;现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表 ：甲种客车 乙种客车载客量单位：人/辆 45 30 租金 单位：元/辆 4002801共需租多少辆汽车2给出最节省费用的租车方案;例5、某市的A 县和B 县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨,该市的C 县和D 县分别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A 县和B 县,已知C 、D 两县运化肥到A 、B 两县的运费元/吨如下表所示： 1设C 县运到A 县的化肥为,并写出自变量x 的取值范围；2求最低总运费,一、 生产方案的设计例1 ,某医药器械厂接受了生产一批高,其中Ａ型口罩不得少于万只,该厂的生产能力是：若生产Ａ型口罩每天能生产万只,若生产Ｂ型口罩每天能生产万只,已知生产一只Ａ型口罩可获利元,生产一只Ｂ型口罩可获利元．1设该厂在这次任务中生产了Ａ型口罩x 万只．问：１该厂生产Ａ型口罩可获利润_____万元,生产Ｂ型口罩可获利润_____万元；２设该厂这次生产口罩的总利润是y 万元,试写出y 关于x 的函数关系式,并求出自变量x 的取值范围；３如果你是该厂厂长：①在完成任务的前提下,你如何安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数,使获得的总利润最大最大利润是多少②若要在最短时间内完成任务,你又如何来安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数最短时间是多少 分析：１x ,5－x ； ２y ＝x ＋5－x ＝x ＋,首先,≤x ≤５,但由于生产能力的限制,不可能在８天之内全部生产Ａ型口罩,假设最多用t 天生产Ａ型,则８－t 天生产Ｂ型,依题意,得t ＋８－t ＝５,解得t ＝７,故x 最大值只能是×7＝,所以x 的取值范围是万只≤x ≤万只；３错误!要使y 取得最大值,由于y ＝x ＋是一次函数,且y 随x 增大而增大,故当x 取最大值时,y 取最大值×＋＝万元,即按排生产Ａ型万只,Ｂ型万只,获得的总利润最大,为万元；错误!若要在最短时间完成任务,全部生产Ｂ型所用时间最短,但要求生产Ａ型万只,因此,除了生产Ａ型万只外,其余的万只应全部改为生产Ｂ型．所需最短时间为÷＋÷＝７天．1、2011岳阳某工厂有一种材料,可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天1设加工甲种配件的人数为x,加工乙种配件的人数为y,求y 与x 之间的函数关系式．2如果加工每种配件的人数均不少于3人,那么加工配件的人数安排方案有几种并写出每种安排方案．3要使此次加工配件的利润最大,应采用2中哪种方案并求出最大利润值． 二、营销方案的设计例２湖北 一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份元,销售价是每份１元,卖不掉的报纸还可以元的价格退回报社．在一个月内以30天计算,有20天每天可卖出100份,其余10天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同．若以报亭每天从报社订购的份数为自变量x ,每月所获得的利润为函数y ．１写出y 与x 之间的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围；２报亭应该每天从报社订购多少份报纸,才能使每月获得的利润最大最大利润是多少分析：１由已知,得x 应满足60≤x ≤100,因此,报亭每月向报社订购报纸30x 份,销售20x ＋60×10份,可得利润20x ＋60×10＝6x ＋180元；退回报社10x －60份,亏本×10x －60＝5x －300元,故所获利润为y ＝6x ＋180－5x －300＝x ＋480,即y ＝x ＋480．自变量x 的取值范围是60≤x ≤100,且x 为整数．２因为y 是x 的一次函数,且y 随x 增大而增大,故当x 取最大值100时,y 最大值为100＋480＝580元．2、2011营口某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台,三种家电的进价和售价如下表所示：其中购进电视机的数量和冰箱的数量相同,洗衣机数量不大于电视机数量的一半．国家规定：农民购买家电后,可根据商场售价的13%领取补贴．设购进电视机的台数为x 台,三种家电国家财政共需补贴农民y 元． 1求出y 与x 之间的函数关系；2在不超出现有资金的前提下,商场有哪几种进货方案3在2的条件下,如果这15台家电全部销售给农民,国家财政最多需补贴农民多少元三、优惠方案的设计例３南通市 某果品公司急需将一批不易存放的水果从Ａ市运到Ｂ市销售．现有三家运输公司可供选择,这三家运输公司提供的信息如下：解答下列问题:１若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的２倍,求Ａ,Ｂ两市的距离精确到个位；２如果Ａ,Ｂ两市的距离为s 千米,且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元／小时,那么要使果品公司支付的总费用包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和最小,应选择哪家运输公司分析：１设Ａ,Ｂ两市的距离为x 千米,则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是：甲公司为6x ＋1500元,乙公司为8x ＋1000元,丙公司为10x ＋700元,依题意,得8x ＋1000＋10x ＋700＝２×6x ＋1500,解得x ＝21632≈217千米；２设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为1y ,2y ,3y 单位：元,则三家运输公司包装及运输所需的时间分别为：甲60s ＋４小时；乙50s ＋２小时；丙100s ＋３小时．从而 1y ＝6s ＋1500＋60s＋４×300＝11s ＋2700,2y ＝8s ＋1000＋50s＋２×300＝14s ＋1600,3y ＝10ｓ＋700＋100s＋３×300＝13ｓ＋1600, 现在要选择费用最少的公司,关键是比较1y ,2y ,3y 的大小．∵s ＞０,∴2y ＞3y 总是成立的,也就是说在乙、丙两家公司中只能选择丙公司；在甲和丙两家中,究竟应选哪一家,关键在于比较1y 和3y 的大小,而1y 与3y 的大小与Ａ,Ｂ两市的距离s 的大小有关,要一一进行比较．当1y ＞3y 时,11s ＋2700＞13s ＋1600,解得s ＜550,此时表明：当两市距离小于550千米时,选择丙公司较好；当1y ＝3y 时,s ＝550,此时表明：当两市距离等于550千米时,选择甲或丙公司都一样； 当1y ＜3y 时,s ＞550,此时表明：当两市的距离大于550千米时,选择甲公司较好．3、实验学校计划组织共青团员372人到某爱国主义基地接受教育,并安排8们老师同行,经学校与汽车出租公司协商,有两种型号客车可供选择,它们的载客量和租金如下表,为保证每人都有座位,学校决定租8辆车;1写出符合要求的租车方案,并说明理由; 2设租甲种客车x 辆人,总租金共y 元,写出y 与x 之间的函数关系式;3在1方案中,求出租金最少租车方案;四．调运方案的设计例４ Ａ城有化肥200吨,Ｂ城有化肥300吨,现要把化肥运往Ｃ,Ｄ两农村,如果从Ａ城运往Ｃ,Ｄ两地运费分别是20元／吨与25元／吨,从Ｂ城运往Ｃ,Ｄ两地运费分别是15元／吨与22元／吨,现已知Ｃ地需要220吨,Ｄ地需要280吨,如果个体户承包了这项运输任务,请你帮他算一算,怎样调运花钱最小分析：根据需求,库存在Ａ,Ｂ两城的化肥需全部运出,运输的方案决定于从某城运往某地的吨数．也就是说．如果设从Ａ城运往Ｃ地x 吨,则余下的运输方案便就随之确定,此时所需的运费y 元也只与x 吨的值有关．因此问题求解的关键在于建立y 与x 之间的函数关系．解：设从Ａ城运往x 吨到Ｃ地,所需总运费为y 元,则Ａ城余下的200－x 吨应运往Ｄ地,其次,Ｃ地尚欠的220－x 吨应从Ｂ城运往,即从Ｂ城运往Ｃ地220－x 吨,Ｂ城余下的300－220－x ＝15220－x ＋2280＋x ,即y ＝２x ＋10060,因为y 随x 增大而增大,故当x 取最小值时,y 的值最小．而０≤x ≤200, 故当x ＝０时,y 最小值＝10060元．因此,运费最小的调运方案是将Ａ城的200吨全部运往Ｄ地,Ｂ城220吨运往Ｃ地,余下的80吨运往Ｄ地．4、某商业集团新进了40台空调机,60台电冰箱,计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售,其中70台给甲连锁店,30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润元如下表：y元．1求y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围；2为了促销,集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售,其他的销售利润不变,并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润,问该集团应该如何设计调配方案,使总利润达到最大练习题：１．某工厂现有甲种原料360千克,乙种原料290千克,计划利用这两种原料生产A,B两种产品,共50件．已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克,可获利润700元；生产一件B种产品,需用甲种原料4千克、乙种原料10千克,可获利润1200元．1要求安排A,B两种产品的生产件数,有哪几种方案请你设计出来；2生产A,B两种产品获总利润是y元,其中一种的生产件数是x,试写出y与x之间的函数关系式,并利用函数的性质说明1中的哪种生产方案获总利润最大最大利润是多少２．北京某厂和上海某厂同时制成电子计算机若干台,北京厂可支援外地10台,上海厂可支援外地4台,现在决定给重庆8台,汉口6台．如果从北京运往汉口、重庆的运费分别是4百元/台、8百元/台,从上海运往汉口、重庆的运费分别是3百元/台、5百元/台．求：1若总运费为8400元,上海运往汉口应是多少台2若要求总运费不超过8200元,共有几种调运方案3求出总运费最低的调运方案,最低总运费是多少元3．某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游．甲旅行社说：“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优待．”乙旅行社说：“包括校长在内,全部按全票价的6折即按全票价的60%收费优惠．”若全票价为240元．1设学生数为x,甲旅行社收费为y甲,乙旅行社收费为y乙,分别计算两家旅行社的收费建立表达式；2当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样；3就学生数x讨论哪家旅行社更优惠．4．下表所示为装运甲、乙、丙三种蔬菜的重量及利润．某汽车运输公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售每辆汽车按规定满载,1若用82公司计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬菜36吨到B地销售每种蔬菜不少于一车,如何安排装运,可使公司获得最大利润最大利润是多少5．某童装厂现有甲种布料38米,乙种布料26米,现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装共50套,已知做一套L型号的童装需用甲种布料米,乙种布料1米,可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料米,乙种布料米,可获利润30元．设生产L型号的童装套数为x,用这批布料生产这两种型号的童装所获利润为y元．1写出y元关于x套的函数解析式；并求出自变量x的取值范围；2该厂在生产这批童装中,当L型号的童装为多少套时,能使该厂所获的利润最大最大利润为多少。
决胜2020年中考数学压轴题专题06《一次函数的应用问题》
专题 06一次函数的应用问题【典例分析】【考点1】行程问题【例1】（2019·浙江中考真题）某校的甲、乙两位老师同住一小区，该小区与学校相距2400米. 甲从小区步行去学校，出发10分钟后乙再出发，乙从小区先骑公共自行车，途经学校义骑行若干米到达还车点后，立即步行走回学校. 已知甲步行的速度比乙步行的速度每分钟快5米. 设甲步行的时间为x (分)，图1中线段OA 和折线B C D --分别表示甲、乙离开小区的路程y (米)与甲步行时间x (分)的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人之间的距离s (米)与甲步行时间x (分)的函数关系的图象(不完整).根据图1和图2中所给信息，解答下列问题：(1)求甲步行的速度和乙出发时甲离开小区的路程；(2)求乙骑自行车的速度和乙到达还车点时甲、乙两人之间的距离；(3)在图2中，画出当2530x ≤≤时s 关于x 的函数的大致图象. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)【变式1-1】（2019·山东中考真题）小王骑车从甲地到乙地，小李骑车从乙地到甲地，小王的速度小于小李的速度，两人同时出发，沿同一条公路匀速前进．图中的折线表示两人之间的距离()y km 与小王的行驶时间()x h 之间的函数关系．请你根据图象进行探究：（1）小王和小李的速度分别是多少？（2）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【变式1-2】（2019·江苏中考真题）“低碳生活，绿色出行”是一种环保，健康的生活方式，小丽从甲地出发沿一条笔直的公路骑车前往乙地，她与乙地之间的距离y(km)与出发时间之间的函数关系式如图1中线段AB 所示，在小丽出发的同时，小明从乙地沿同一条公路骑车匀速前往甲地，两人之间的距离S(km)与出发时间x(h)之间的函数关系式如图2中折线段CD-DE-EF 所示.（1）小丽和小明骑车的速度各是多少？（2）求E 点坐标，并解释点的实际意义.【考点2】方案选择问题【例2】（2019·天津中考真题）甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg ．在乙批发店，一次购买数量不超过元50kg 时，价格为7元/kg ；一次购买数量超过50kg 时，其中有50kg 的价格仍为7元/kg ，超出50kg 部分的价格为5元/kg ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 kg x (0)x ．（Ⅰ）根据题意填表： 一次购买数量/kg30 50 150 … 甲批发店花费/元300 … 乙批发店花费/元350 … （Ⅱ）设在甲批发店花费1y 元，在乙批发店花费2y 元，分别求1y ，2y 关于x 的函数解析式；（Ⅲ）根据题意填空：①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为____________kg ；②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为120kg ，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买花费少；③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的________批发店购买数量多．【变式2-1】（2019·山西中考真题）某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y1(元)，选择方式二的总费用为y2(元).(1)请分别写出y1，y2与x之间的函数表达式.(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.【变式2-2】（2019·湖南中考真题）某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．【考点3】最大利润问题【例3】（2019·辽宁中考真题）某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为x元，平均月销售量为y 件．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？【变式3-1】（2019·四川中考真题）某水果商计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解，甲种水果的进价比乙种水果的进价每千克少4元，且用800元购进甲种水果的数量与用1000元购进乙种水果的数量相同．（1）求甲、乙两种水果的单价分别是多少元？（2）该水果商根据该水果店平常的销售情况确定，购进两种水果共200千克，其中甲种水果的数量不超过乙种水果数量的3倍，且购买资金不超过3420元，购回后，水果商决定甲种水果的销售价定为每千克20元，乙种水果的销售价定为每千克25元，则水果商应如何进货，才能获得最大利润，最大利润是多少？【变式3-2】（2019·辽宁中考真题）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：（1）根据图象，直接写出y 与x 的函数关系式；（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？【考点4】几何问题【例4】（2019·四川中考真题）如图，已知过点(1,0)B 的直线1l 与直线2l ：24y x =+相交于点(1,)P a -.（1）求直线1l的解析式；（2）求四边形PAOC 的面积.【变式4-1】（2019·浙江中考真题）已知在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 分别交x 轴和y 轴于点()()3,0,0,3A B -.(1)如图1，已知P e 经过点O ，且与直线1l 相切于点B ，求P e 的直径长；(2)如图2，已知直线2: 33l y x =-分别交x 轴和y 轴于点C 和点D ，点Q 是直线2l 上的一个动点，以Q 为圆心，22为半径画圆.①当点Q 与点C 重合时，求证: 直线1l 与Q e 相切；②设Q e 与直线1l 相交于,M N 两点， 连结,QM QN . 问:是否存在这样的点Q ，使得QMN ∆是等腰直角三角形，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【变式4-2】（2019·四川中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，已知(0,2)A ，动点P 在33y x =的图像上运动（不与O 重合），连接AP ，过点P 作PQ AP ⊥，交x 轴于点Q ，连接AQ ．（1）求线段AP 长度的取值范围；（2）试问：点P 运动过程中，QAP ∠是否问定值？如果是，求出该值；如果不是，请说明理由．（3）当OPQ ∆为等腰三角形时，求点Q 的坐标．【达标训练】1．（2019·辽宁中考真题）一条公路旁依次有,,A B C 三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村，甲乙之间的距离()s km 与骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示，下列结论：①,A B 两村相距10km ；②出发1.25h 后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8km ；④相遇后，乙又骑行了15min 或65min 时两人相距2km ．其中正确的个数是（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2019·四川中考真题）如图，一束光线从点()4,4A出发，经y轴上的点C反射后经过点()10B,，则点C的坐标是()A．1 0, 2⎛⎫⎪⎝⎭B．40,5⎛⎫⎪⎝⎭C．()0,1D．()0,23．（2019·湖北中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点1A、2A、3A…nA在x轴上，1B、2B、3B…nB在直线33y x=上，若()11,0A，且112A B A∆、223A B A∆…1n n nA B A+∆都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积分别记为1S、2S、3S…nS．则nS可表示为( )A．223B．223n-C．223n-D．223n-4．（2019·广西中考真题）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为()()()()4,0,2,1,3,0,0,3A B C D---，当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（）A．116105 y x=+B．2133y x=+C．1y x=+D．5342y x=+5．（2019·山东中考真题）某快递公司每天上午9：00～10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲，乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（）A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：306．（2019·重庆中考真题）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x（分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是______米．7．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到达B地，他们之间的距离s(km)与甲出发的时间t(h)的关系如图所示，则乙由B地到A地用了______h．8．（2019·山东中考真题）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中1l 、2l分别表示去年、今年水费y （元）与用水量x （3m ）之间的关系．小雨家去年用水量为1503m ，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多_____元．9．（2019·辽宁中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 是边长为4的正方形，点D 为AB 的中点，点P 为OB 上的一个动点，连接DP ，AP ，当点P 满足DP+AP 的值最小时，直线AP 的解析式为_____．10．（2019·湖南中考真题）已知点()00,P x y 到直线y kx b =+的距离可表示为0021kx b y d k +-=+，例如：点(0,1)到直线26y x =+的距离2512d ==+．据此进一步可得两条平行线y x =和4y x =-之间的距离为_______．11．（2019·辽宁中考真题）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条多路上的,A B 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A 处后行走的路程y （单位：m ）与行走时x （单位：min ）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离（单位：m ）与甲行走时间x（单位:min）的函数图象，则a b-=_____．12．（2019·四川中考真题）如图，点P是双曲线C：4 yx=（0x>）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：122y x=-于点Q，连结OP，OQ.当点P在曲线C上运动,且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是______.13．（2019·江苏中考真题）某工厂计划生产甲、乙两种产品共2500吨，每生产1吨甲产品可获得利润0.3万元，每生产1吨乙产品可获得利润0.4万元．设该工厂生产了甲产品x（吨），生产甲、乙两种产品获得的总利润为y（万元）．（1）求y与x之间的函数表达式；（2）若每生产1吨甲产品需要A原料0.25吨，每生产1吨乙产品需要A原料0.5吨．受市场影响，该厂能获得的A原料至多为1000吨，其它原料充足．求出该工厂生产甲、乙两种产品各为多少吨时，能获得最大利润．14．（2019·吉林中考真题）甲、乙两车分别从,A B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地，甲、乙两车距B地的路程()y km与各自行驶的时间()x h之间的关系如图所示．⑴m=________，n=________；⑵求乙车距B地的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；⑶当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程15. （2019·新疆中考真题）某水果店以每千克8元的价格收购苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果以每千克降价4元销售，全部售完。
一次函数的应用——选择方案
19.3 课题学习 选择方案教学设计一、教学目标 ：1、知识与技能： 会分析实际问题中的数量关系建立函数模型来解决实际问题，根据实际问题来选择合理的方案2、过程与方法 ： 经历分析实际问题的数量关系，解决实际问题确定选择方案的过程培养学生分析问题解决问题的能力，渗透数学建模的思想方法。
3、情感态度与价值观：通过解决实际问题体会数学与生活的联系，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重难点 ：1、重点：应用一次函数模型解决方案选择问题。
2：难点：规划解决问题思路，建立函数模型。
三、教学方法 自主学习，合作探究四、教学过程 今天我们一起来学习用一次函数的相关知识的选择方案。
（一）自主学习 一家公司给顾客提供两种上网收费方式： 方式A 以每分0.1元的价格按上网时间计费； 方式B 除收月基费20元外再以每分0.05元 的价格按上网时间计费。
如何选择收费方式 能使上网者更合算？ （师板书学生列出的函数解析式，强调 关键节点和数学思想。
）（二）确定目标，提出问题 请看下面的问题：下表给出A ，B ，C 三种上宽带网的收费方式：收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费（元/min ）A 30 25 0.05B 50 50 0.05C 120 不限时选取哪种方式能节省上网费？问题1费用的多少取决于什么? （自主探究）(取决于上网时间，师提问以A 为例，让学生讲)问题2 请表示出三种方式的费用。
（合作探究）学生得出：设上网时间为x 小时，A 、B 、C 三种方式的收费分别为y1元,y2元,y3元。
方案A 费用： 方案B 费用： 方案C 费用：问题3 请比较三种方式哪种方式最省。
（合作探究）（师点明：这个问题看起来还是有点复杂，难点在于每一个函数的解析式都是分类表示的，如果从解析式即数的角度需要分类讨论，而怎样分类是难点。
怎么办？——先画出图象看看。
）130, (025)345. (25)x y x x ≤≤⎧=⎨-⎩＞250, (050)3100. ()x y x x ≤≤⎧=⎨-⎩＞504、画出函数图象。
一次函数的应用的六大类题型
一次函数的应用六大类常见题型一、方案择优问题1.某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费；乙厂提出：每份材料收2元印制费，不收制版费.（1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x（份）之间的函数关系式；（2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制的宣传材料能多一些？（3）怎样选择厂家？二、方案调运问题2.A市和B市分别有某种库存机器12台和6台，现决定支援C村10台，D村8台，已知从A市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元，从B市调运一台机器到C村和D村的运费分别是300元和500元．(1)设B市运往C村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式；(2)若要求总运费不超过9000元，共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？三、方案设计问题3、下岗职工王阿姨利用自己的一技之长开办了“爱心服装厂”，计划生产甲、乙、丙三种型号的服装共40套投放到市场销售．已知甲型服装每套成本380元，售价460元；乙型服装每套成本400元，售价500元．丙型服装每套成本360元，售价450元；服装厂预计三种服装的总成本为15120元，且每种服装至少生产6套，设生产甲种服装x套，乙种服装y套。
（1）用含x，y的式子表示生产丙种型号的服装套数（2）求出y与x之间的函数关系式；（３）求服装厂有几种生产方案？（4）按照（3）中方案生产，服装全部售出最多可获得利润多少元？6题 四、最大利润问题4.某商场欲购进A 、B 两种品牌的饮料500箱，此两种饮料每箱的进价和售价如下表所示。
设购进A 种饮料x 箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y 元. ⑴求y 关于x 的函数关系式？⑵如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润。
（注：利润＝售价－成本）五、几何问题5.如图，在直角梯形ABCD 中，∠C ＝45°，上底AD ＝3，下底BC ＝5，P 是CD 上任意一点，若PC 用x 表示，四边形ABPD 的面积用y 表示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当四边形ABPD 的面积是梯形ABCD 面积的一半时，求点P 的位置．六、行程问题6．小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O －A －B －C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分 钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：（1） 小聪在天一阁查阅资料的时间为________分钟， 小聪返回学校的速度为_______千米/分钟。
一次函数实际应用题方案问题
一次函数实际应用问题练习1.甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s （千米）与时间t （时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A 处，求A 点距山顶的距离；⑶在⑵的条件下，设乙同学从A 点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B 处与乙同学相遇，此时点B 与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？ 12623S（千米）t（小时）CD EF B甲乙2.教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。
课间同学们到饮水机前用茶杯接水。
假设接水过程中水不发生泼洒，每个学声所接的水量是相等的。
两个放水管同时打开时，它们的流量相同。
放水时先打开一个水管，过一会再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着。
饮水机的存水量y （升）与放水时间x(分钟)的函数关系如下图所示：O 21281718y（升）x（分钟）⑴求出饮水机的存水量y （升）与放水时间x(分钟)（x ≥2）的函数关系式；⑵如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水接束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？ ⑶按⑵的放法，求出在课间10分钟内最多有多少个同学能及时接完水？3.甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度()m y 与挖掘时间()h x 之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：⑴乙队开挖到30m 时，用了 h ． 开挖6h 时甲队比乙队多挖了 m ；⑵请你求出：①甲队在06x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式；②乙队在26x ≤≤的时段内，y 与x 之间的函数关系式； ⑶当x 为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？4.日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝类产品西施舌是日照特产．沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨．根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资以及产值如下表：（单位：千元/吨）为x吨（1）求x的取值范围；（2）设这两个品种产出后的总产值为y（千元），试写出y与x之间的函数关系式，并求出当x等于多少时，y有最大值？最大值是多少？5.某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元。
一次函数的应用 选择方案(教案)
《一次函数的应用--选择方案（2）》教学设计【教材】义务教育教科书八年级下 19.3课题学习：选择方案（第二课时）【课时安排】 1个课时 40分钟.【教学对象】 B10学生【授课教师】数学科林轩腾.【教学目标】1、巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题．2、有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力．3、让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．【教学重、难点】 1.建立函数模型。
２．灵活运用数学模型解决实际问题。
【教学方法】讲练结合、讨论交流.【教学手段】powerpoint【教学过程设计】【引入】生活中，我们常常遇到这种问题：一群人结伴去春游，他们选择租车出行. 这个时候，负责人就会站出来，开始设计方案. 车有两种：大客车和小客车. 每辆大客车可乘坐45人，费用是400元；每辆小客车可乘坐30人，费用是280元. 那么我们应该如何选择方案呢？●学生活动：学生看PPT动画，思考老师提出的问题.●教师活动：教师旁白，引导学生开始进入数学的思维.●设计意图：用一个比较有趣的动画及旁白的形式引入，让学生对公开课的紧张心理及第八节课的疲惫心理得以缓解，并引起学生的兴趣.问题1：如果全年级有450名同学，并且以每辆车都要求坐满为原则.问题2：如果全年级有450名同学，并且以最舒适为原则.问题3：如果全年级有450名同学，并且以车辆尽可能少为原则.问题4：如果全年级有450名同学，并且以最节省为原则.●学生活动：学生思考，回答问题.●教师活动：教师引导，并对问题加以总结：可供选择的方案很多，但精明的我们总是希望找到一个最大程度满足我们要求的最佳方案，引出今天课题的主要内容--方案选择（二）.●设计意图：通过一组较简单的问题，让学生踊跃回答，提起学生的学习积极性.【探究新知--如何租车】某学校计划在总费用2300元的限额内，利用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少有1名教师. 现有甲、乙两（1（2）给出最节省费用的租车方案。
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教学过程
一、课堂导入
在学习一次函数之前，我们解决应用题的时候大多是列一元一次方程，如行程问题，一般是先画线段示意图，然后标上各个距离来观察它们之间的联系。
学习过一次函数后，加入了一次函数的图像，很多原本题目直接给出的信息就需要通过图像，那么应用题中的一次函数需要怎么去判断呢，今天要研究的是方案选择问题，那么在题目就会出现不等式，如何在根据题目的意思及给出的一次函数图像列出正确的不等式组，再判断出何种方案更加合适呢？今天就来学习一下。
二、复习预习
利用一次函数解决实际问题
在一次函数的应用题里，有很多题目中是和图像相关的，那么在解决这类问题的时候，最为关键的就是对图像的理解和分析了，那么在分析图像给我们带来的信息时最为关键的是什么呢？有两点，一是搞清楚解析式中的k在实际问题中所代表的含义，比如有时代表的是速度有时代表的是排水量等等，二是要将图像上每一个转折点的实际意义分析到位，弄清楚这两点，想必难题都能迎刃而解。
三、知识讲解
考点1 方案选择问题
方案选择问题其实是一次函数的综合问题，可能会涉及利润问题、面积问题，也可能会涉及桥梁问题、运输问题，所以解决方案选择问题就是将每个方案都当作一个单独的应用题来列式解决，那么最终的结果去判断哪个更合适。
第二种情况是将多种情况都视为一种，列出表达式后再根据题目的限制条件来得出一个取值范围，结合运用一次函数的增减性来判断取什么值时最合适。
考点2 一次函数与一元一次方程
从数的角度去看，一次函数y=kx+b（k≠0），当y=0时，就变成了一元一次方程，而事实上是，不论y取什么样的值，都可以求出一个对应的x值，这就表明一次函数和一元一次方程有必然的关系，也就是说在解决一次函数的问题时通常是转化成一元一次方程的问题加以计算解决的。
考点3 一次函数与一元一次不等式
由于任何的一元一次不等式都可以化作ax+b＞0或ax+b＜0，所以解一元一次不等式可以看作是但一次函数的值大于或小于零时求自变量的范围，所以一次函数和一元一次不等式也有莫大的关系，解题时要能区分出等式和不等式的区别。
四、例题精析
例1 文具店的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元，该文具店为促销制定了两种优惠办法．甲：买一支毛笔就赠送一本书法练习本；
乙：按购买金额打九折付款．
实验中学欲为校书法兴趣小组购买这种毛笔10支，书法练习本x（x≥10）本．
（1）请写出用甲种优惠办法实际付款金额y甲（元）与x（本）之间的函数关系式；
（2）请写出用乙种优惠办法实际付款金额y乙（元）与x（本）之间的函数关系式；
（3）若购买同样多的书法练习本时，你会选择哪种优惠办法付款更省钱？
【答案】
解：（1）买一支毛笔就赠送一本书法练习本，相当于一支毛笔20元，一本书法练习本5元，所以y甲=20×10+5x=200+5x （2）y乙=（25×10+5x）×0.9=225+4.5x
（3）y甲-y乙=（200+5x）-（225+4.5x）=0.5x-25．
当0.5x-25＜0时，即x＜50时，y甲＜y乙，所以当x＜50时，选择甲种优惠办法更省钱；
当0.5x-25=0时，即x=50时，y甲=y乙，所以当x=50时，甲乙两种方式付费一样；
当0.5x-25＞0时，即x＞50时，y甲＞y乙，所以当x＞50时，选择乙种优惠办法更省钱．
【解析】
（1）买一支毛笔就赠送一本书法练习本，相当于一支毛笔20元，一本书法练习本5元，则解析式即可求出；
（2）y乙=（25×10+5x）×0.9；
（3）方案决策问题．根据书法练习本的数量x的大小比较函数值的大小从而选择付款方式．i
例2 A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡、从A城往C、D两乡运肥料的费用分别是每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料的费用分别是每吨15元和24元，现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨，怎样调运总运费最少？（提示：可以把调运总费用看成运往某地肥料数量的函数）．
【答案】
解：设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200﹣x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240﹣x）吨和[260﹣（200﹣x）]=（60+x）吨．
由总运费与各运输量的关系可知，反映y与x之间的函数关系为
y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）
化简得y=4x+10040（0≤x≤200）
∵k=4＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y的最小值10040．
因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元．
【解析】
设总运费为y元，A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200﹣x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240﹣x）吨和（60+x）吨，然后根据总运费和运输量的关系列出方程式，最后根据x的取值范围求出y的最小值．本题主要考查对于一次函数的应用，要找好题中的等量关系．
例3 运动会将于2014年12月18日在本市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务．为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是，全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费．另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人．
（1）分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式；（2）问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．
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解：（1）总费用y1（元）和y2（元）与参演男生人数x之间的函数关系式分别是：y1=0.7[120x+100（2x﹣100）]+2200=224x﹣4800，
y2=0.8[100（3x﹣100）]=240x﹣8000；
（2）由题意，得
当y1＞y2时，即224x﹣4800＞240x﹣8000，解得：x＜200
当y1=y2时，即224x﹣4800=240x﹣8000，解得：x=200
当y1＜y2时，即224x﹣4800＜240x﹣8000，解得：x＞200
即当参演男生少于200人时，购买B公司的服装比较合算；
当参演男生等于200人时，购买两家公司的服装总费用相同，可任一家公司购买；当参演男生多于200人时，购买A公司的服装比较合算．
（1）根据总费用=男生的人数×男生每套的价格+女生的人数×女生每套的价格就可以分别表示出y1（元）和y2（元）与男生人数x之间的函数关系式；
（2）根据条件可以知道购买服装的费用受x的变化而变化，分情况讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时，求出x的范围就可以求出结论．
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课堂小结
能够根据题目所表达出来的意思列出一次函数关系式。
在解题的过程中能将一次函数和一元一次方程或者一元一次不等式组结合起来思考。
能在区分是一次函数与不等式结合的问题还是与一元一次方程结合的问题。