2019-2020年高三综合练习(一)理科数学

2019-2020年高三综合练习(一)理科数学高三数学(理科)学校 ______________ 班级 _________________ 姓名 _______________ 考号 _____________ 本试卷分第I 卷和第n 卷两部分，第I 卷1至2页，第n 卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡 一并交回。

第I 卷(选择题共40分)一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

(1 )已知全集U ={1,2,3,4},集合A={1,2}，那么集合$A 为(A) {3}(B) {3,4} (C) {1,2} (D) {2,3}【答案】BA 二{1,2}，所以 e u A={3,4}，选 B.(2)已知ABCD 为平行四边形，若向量7B”,忑二b ，则向量BC 为 (A) a-b (B) a + b (C) b-a(D) -a - b【答案】C*叮】因为BC = A A -AB ‘所以BC=b-a ‘选c.2 2(3)已知圆的丿丿悝为(x -1) (y-2) =4，那么该圆圆心到直线距离为(B) ff x = t + 3(t 为参数)的y 二11r =2，直线方程为x ・y ・2 = 0，所以圆心到直线的距离为d12 2 3>112渥选C.(4)某游戏规则如下：随机地往半径为 1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于 1成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于 一，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于 1丄，则2【答案】c【「卅.1】圆心坐标为(1,2)，半径1且小于一，则成绩为良好， 2那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为a A aiq nJ = 2 2nd =2n ，所以b n = log 2 a n = log 22n = n ，为等差数列。

所以数列 的前10项和为池亠一亠=55，选C.222(6)已知R (・c,0) ， F2 (C ,0)分别是双曲线G ：笃…每二12 0,b0)的两个焦点，双a b曲线G 和圆C2： x 2&的一个交点为P ，且2 PFF A PFFi ，那么双曲线G的离心率为(A)丄 (B) ( C) 2( D) '、3 12【答案】D【「*叮】因为圆的半径为C,所以三角形PF1F2为直角三角形，又2 PF1F2M/PF2F1 ，所以/PF I F 2 =§ » 所以丨 PF2 = c, PR = . 3c 。

又 PF Ai - PF2 =・ 3c - c = 2a ，即 c 2 3 1，选 D. a .3 -1(7) 已知定义在R 上的函数f (x)的对称轴为x=・3,且当x_-3时，f (x)=旷・3 •若函 数f (x)在区间(k-1,k) ( k-Z )上有零点，贝Uk 的值为 (A) 2 或・7( B) 2 或 -8 (C)1 或-7 (D) 1 或・8【答案】A(C)- 4(D)・16【答案】A*T I 】到圆心的距离大于-且小于■的圆环面积为42二 r) 2 .二(\2=3 二，所以所有2 4 16投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为3一兀16 嗚，选(5)已知数列｛a.｝中，耳=2，am -2a n 等于(A )130 (B )120【答案】Cbn =log 2a n ，那么数列｛0｝的前10项和(C) 55(D )50堆门】由%1-2务二0得a. 1=2%，所以数列 ｛a n ｝为公比数列‘公比q=2，所以【卅・1】当X__3时，由f (x) =2X —3=0，解得x=log 23，因为1乞log 23乞2,即函数的零点所在的区间为(1,2)，所以k = 2<>又函数矢于x ・_3对称，所以另外一个零点在区间(_8,_7)，此时k = _7,所以选A.(8)已知向量OA ，WB ，O 是坐标原点，若天B = kOA ，且TB 方向是沿oA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转二角得到的，则称OA 经过一次(v,k)变换得到TB •现有向量OA=(1,1)经过一次⑺，可变换后得到TA- TA 经过一次(鮎k2)变换后得到 AA 2，…，如此下去，后A 二经过一次(片，心)变换后得到石An.设A=Ai= (x,y), 1 1盯，人j ，贝【I 八%等于【答案】B解析】根据题意，日丨二丄二1判二小二丄，所以一次(o1, k1)变换就是将向2cosE cos1得，且■■x* = cosi —s in1一，所以，即向量「逆时针旋转1弧v* = si n1 +cos1得到向量a 二(cosi - sinl, sin 1+cosl),再将◎的模长度伸长为原来的 ......... 倍,COS1得至 U .、「二…(cosi ・ si nl, sin 1+cosl) = (1 一二」一、二」・・+1) 1 cosi cosi cosi.设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为 1= (x‘，y‘)(C) 2sin[2・G 丿“」〕1 1 sin 1sinsin p2 2n 2COS 侶一(；尸j ]1sin 1si n sin(B)1 n_/ 2si n[2_(?)n 」] 1 1 coslcos COS—JTT 222cos[2 —QU(D )COS1 COSMOS22一*量「逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的1 _______________ •一*一倍，即「「由「，逆时针旋转1弧度而COSlL则有cosi sinlsin1x = 1 -cos1，由此可得 y ・ x=Sm! sini' cosi+1y . 1COSI_（ 1 —三—：”cosi2s in[2n=l 时 ---2cos[2 一纣]时 2 1 sinlsin 刁川 sin 尹n=l 11 n _L2cos[2 七）U 时 2......1 1coslcos COS-A 2n综王所述，可密只有B 项符合题意2cos1sini ，与计算结果不相等，故°不正确； 2cos1詬二S 与计算结果不相等，故D 不正确故选：B第H 卷(共110分)二、填空题：本大题共6小题， 每小题5分，共30分。

(9) 复数z =(2 -i)i 的虚部是亠【答案】21琳门】z =(2-i)i = 2i-i 2 =1 • 2i ，所以复数的虚部为 2.对于n=l 2sin ［2 一（［）2］时2—11如込2川cos 尹 •，与计算结果相等，故B 正确; COSI 因此当n=l 时,''」+1）,即cosi对于=2，与计算结果不相等，故 A 不正确;sin1对于C,(10) (x21 22)6的展开式中x3的系数是一.【答案】160sinlsinsin 卫222I 卅1】展开式的通项公式为Tk严Ck(x2)6和)k=CkX巩2k，由12-3k=3，解x得k =3，所以T4 =C： x3 23 =160x3，所以x3的系数是160。

(11)如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的甲乙6 93 02 80 1平均数是，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是【答案】84 2【.「斗叮】甲的测试成绩的平均数是80 ±(-43 4 7 10) =84，51均数是80 (-1 28 11)=84，乙的测试成绩的中位数为82，所以乙5次测试成绩的平' 5均数与中位数之差是84 -82 = 2 o/“'力口冈・口in PA 匕南 C 炯4T1工 A ,半仅 CC CD ,OC =1 , OP =2 »贝I] PA = , PB =【答案】、3 、、3I 猝叮】连结OA、则0 A = 0C = 1，所以PA二..OP?匚0A? 「牡乎OC _ OP , ZOCB =ZOAB , 所以OBC ”ABP “PABPB 二PA「3. 〜(13)有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有 _______________ 种.【答案】144【厂堆厂I】把甲和乙看做一个元素，则有A?A2，若丙排在两头，此时有2A4A2，所以满足乙的测试成绩的平AC交PO于B ,若条件的排法有AjA2-2A4A| -144 O(14)数列｛不｝的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项'若a n=a n(a=O),则位于第10行的第8列的项a i fl3务尙at a a等于一,a^3在图中位于一・(填第几行的第几列) ................................【答案】a89第45行的第77列[G5U解析】因为第n行的最后一项为a n2，所以第9行的最后一项为asi，所以第10行的第8列的项为asi &=as9 =a89。

因为2013 =442• 77,所以比0)3在图中位于第45行的第77列。

三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

(15) (本小题共13分)在厶ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsi nA二3acos B .(i)求角B ；(n)若b=2、.3,求ac的最大值.(16) (本小题共14分)如图，已知ACDE是直角梯形，且ED//AC，平面ACD E平面ABC ,1NBAC =NACD =90* AB = AC = AE =2 ED AB p 毎BC :小|：山2 ，小'•(i)求证：DP 〃平面EAB ；(n)求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值.(17) (本小题共13分)某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有 1 , 2, 3, 4 , 5, 6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次(I)求所得奖品个数达到最大时的概率；(n)记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望・(18) (本小题共14分)已知函数f(X" (xax a)e A ,( a为常数，e为自然对数的底).(I)当a = 0 时，求f (2);(n)若f (x)在x = 0时取得极小值，试确定a的取值范围；(川)在(口)的条件下，设由 f (x)的极大值构成的函数为g(a)，将a换元为x，试判断曲线y二g(x)是否能与直线3x_2y-m = 0( m为确定的常数)相切，并说明理由.(19) (本小题共13分)22 1已知椭圆c ：/ y =1 (ab 0)的两个焦点分别为F-已，离心率为一，过F的C ： 2 .2 9直线I与椭圆C交于M , N两点，且△ MNF2的周长为8 •(I)求椭圆C的方程；(n)过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A , B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值.(20) (本小题共13分)设A是由n个有序实数构成的一个数组，记作：A= (a,aJILaJI|耳).其中a,(i =1,2,川，n)称为数组A的“元” ，i称为a,的下标•如果数组S中的每个“元”都是来自数组A中不同下标的“元”，则称S为A的子数组•定义两个数组A(ai,a2A l3a n), B =(3心川1,0啲矢系数为C(A,B)二aba?b2川务①.(I)若A =(-2,2), B =(-1,1,2,3)，设S是B的含有两个“元”的子数组，求C(A, S)的最大值；,B=(0, a,b,c)，且a2+b +2 =1, S 为B 的含有三个“元” 的子数组，求C(A,S)的最大值;(川)若数组A二(印42电)中的“元”满足詁・込 a?Ji •设数组B m(m=1,2,3,||),n)含有四个“兀”，且‘ bm 4A m，求A与Bm的所有含有三个“元”的子数组的尖系数C(A,B m)(m二1,2,3,(1)山)的最大值.北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习(一)数学参考答案(理科)、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)(1) B (2) C (3) C (4) A(5) C (6) D (7) A (8) B、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)(9) 2 (10) 160 (11) 84 2(n)若力=(12) .3 .3 (13) 144 (14)衣9第45行的第77列注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分.三、解答题(本大题共6小题，共80分)(15)(共13 分)解:(I)因为bsi nA = .. 3acosB ,由正弦定理可得sin B sin A二3sin AcosB,因为在△ ABC中，sin A = 0 ,所以tanB = 3.又0 :: B ::二所以B .3(n)由余弦定理b?二a2• c2 -2accosB ,因为B，八2.3,3所以12 = a? • &「ac.因为a2• c2 _ 2ac ,所以ac <12.当且仅当a二c = 2八3时，ac取得最大值12.(16)(共14 分)证明⑴取AB的中点F，连结PF, EF.因为P是BC的中占，1 所以FP//AC , FP AC2 ■1 1因为ED //AC，且ED AB AC ,2 2所以ED// FP，且ED =FP ,所以四边形EFPD是平行四边形.所以DP// EF .因为EF平面EAB , DP :二平面EAB ,所以DP 〃平面EAB .(n)因为・BAC = 90，平面EACD _平面ABC ,所以以点A为原点‘直线AB为X轴，直线AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A _xyz ，则z 轴在平面EACD 内.由已知可得 A(0,0,0) , B(2,0,0) , E(0,1,、，3) , D(0,2,、、3)・所以 EB =(2, -1A ,3),ED =(0,1,0),设平面EBD 的法向量为门=（x , y , z ）. 丄 n EB =0 , 由n ED =0.所以 2x -y i 、3z=o ，[y =0・取 z=2 ,所以 n 二（、30,2）.又因为平面ABC 的一个法向量为即平面EBD 与平面ABC 所成锐二面角大小的余弦值为乙7 .7 （17）（共 13 分）（I ）由题意可知所得奖品个数最大为10,概率为：_A|丄 P-Ae 2 15(n)X 的可能取值是：0,2,4,6,8,10 X 0 2 4 6 8 10 p1 1 r 1 4 1 1555151515111411所以EX =02 4 6 8104 .5 55151515（⑻（共 14分）解：（I ）当a =0 时，f (x) = x 2e ：f (x) = 2xe* _x 2e* = xe=(2 _x).所以 f (2) =0 .(n)f(x) =(2x a)e» -e 亠(x 2ax a)二 e A [-x 2 (2 _a)x]zi-e Ax[x -(2 -a)]. 令 f (x) = 0，得 x=0 或 x=2-a .当2 _a =0，艮卩a =2时，f(x)二・x 2e 公＜ 0恒成立,此时f(x)在区间(」：，・：：)上单调递减，没有极小值；m 二(0,0,1).所以cos c n , m x n||m|2眉7~当2 —a 0，即a ： : : 2 时，若x ： : : 0 ,则f (x) ： : : 0 .若0 ::: x : : : 2_a，贝【J f (x) .0 .所以x = 0是函数f (x)的极小值点.当2・a ： : : 0，即a.2时，若X0 ,则f (x) : : : 0 .若2 — a : : : x : : : 0，则f (x) . 0 .此时x = 0是函数f (x)的极大值点.综上所述，使函数f (x)在x = 0时取得极小值的a的取值范围是a：::2 .(川)由(n)知当a ::: 2，且x .2 - a 时，f (x) ： : : 0 ,因此x = 2-a是f (x)的极大值点，极大值为 f (2・a) = (4 -a)e aA .所以g(x)二(4 -x)e x °(x : : 2).g (x) = -e XA e x，(4 ・x)二(3 -x)e x,.令h(x) =(3-x)e x, (x : : 2).则h(x)=(2-x)e x, 0恒成立，即h(x)在区间(』,2)上是增函数.所以当x :: 2 时，h(x) :: h(2)二(3 -2)e2，n 1，即恒有g (x)::: 1 .(19)(共13 分)解(1)由题意知，4a=8,所以a =2.1因为e =—2222b a ...c- 2 3所以2 2 1 -e:a a 4所以b2 =3 .22(II)矗攣擊缪齬褊拿不存在’皿时可设A(Xo,Xo) , B(X O AX O).又A, B两点在椭圆C上，2212估…0X0 212所以一一=1 ，Xo4 3 7当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y = kx • m .y = kx m,22消去y 得x_.y_, i 4 3(3 4k 2)x 2 8kmx 4m 2-12=0.由已知・：o .设 A(Xi,vi . B (Xa, V2).所以 xix 2 ・ y,y2 =0.所以 NX2 (k A m)(kx 2 m) = 0.即(k 2 1)为 x km(xi X2) m A 0.整理得7m 2=12(k 21)，满足丄.0.(20)(共 13 分)解：(I)依据题意'当S=(,3)时，C(A,S)取得最大值为2.(n)①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等及B 中a,b,c 三个称性，可以只计算C(A,S) 3(a b)的最大值，其中a 2 b 2 c A1 .3由(a b)2 =a 2 b 2 2ab A 2(a 2b?)空 2(a? b 2 c 2) =2 ,所以x ・i X 2 =8km 3 4k 2NX? 4時・123 4k 28k 计 3 4k 2-m 2的对所以点o 到直线AB 的距离d 二所以点O 到直线AB 的距离得-i.2 - 8 ■ b -2 .当且仅当C = o ，且a=b =—2-H^t ，a b 达到最大值・、2 ,②当o 不是S 中的“元”时，计算C (代S)3(a b c)的最大值，3由于 a 2 b 2 c 2 =1,所以(a b c)2 = a 2 b 2 c 2 2ab 2ac 2bc.乞 3(a 2 b 2 c 2)二3 ,当且仅当a=b =c 时，等号成立.即当a=b=c 3时，a b c 取得最大值、、3，此时C( A, S)3 (a ■ b c) =1 .3 3综上所述，c (代S)的最大值为1. (川)因为 Bm = (bm1, bm2 , "3 , *4)满足bm22 bm32 - bm4A ITI .3于是 C (代 S) (a b)=363由bmi, bm2, bm3,bm4矢系的对称性，只需考(bm2，也也)与(印盘厶)的矢系数的情况.f (bm4 )2i 当bmi=O时，有(肓)Vm 」Vma? •噎a2 b2 b2兰m + m + 也a2 •皿m-2 2 2al a?? a3?.唸］bk 1 匪2m丄丄汀22a2 二-?3.maibm2« a2bm3 ■ aabm4 的最大值为―m •当£ =0 时，恥2*32*42m , 得4A2 ■ a2bms. aabnu 最大值小于■- m .所以C(A,Bm)的最大值为m (m =1,2,3,川,n).。