集总分析法基础

集总参数分析方法

求解非稳态导热问题最终可以归结为从数学上求解包含非稳态项的导热微分方程及相应单值性条件所构成的定解问题。完全从分析解得角度求解这类问题往往难度很大，如果能在合理假设下找到一种简便的方法，就会给一部分瞬态导热问题的求解带来很大的便利，这就是本节将要讨论的集总参数分析方法，简称集总参数法。

1.1.1基本概念

试考察一个小金属零件的热处理过程，设从加热炉中取出的零件具有均匀一致的温度t 。，把它投入容量相当大，温度等于t f 的液体中淬火。金属零件与液体间的表面传热系数等于h 。如果该零件的内部导热热阻相对于外部对流热阻足够小，就有理由认为从零件的核心处到冷却液的全部温降主要发生在液体一侧，而固体内部任何位置在整个冷却过程中随时保持均与一致的温度，这种近似处理的方法就好像把整个物体看做一个质点，无论它的实际体积，质量多大，在同一个时刻只具有一个温度值。于是该非稳态导热过程的解得形式只能是

)=τ(f t

即此时物体内部温度场只随时间，而不随几何位置变化。这正是它被称作“零维问题”的原因，这种在近似忽略物体内部导热热阻条件下求解瞬态导热问题的方法就是集总参数分析方法，它能使问题的分析求解变得十分简单，而由此引起的误差稍后可以从与精确解的对比中得到。

1.1.2集总参数分析方法

试考虑任意形状的物体，它的体积是V,表面积是A 具有均匀一致的初始温度t 0,把它突然投入到温度为t f 的流体中（t f ＞t 0）设流体与物体表面间的传热系数为h,以及物体的各项物性参数均保持常数，下面根据集总参数分析方法的指导思想推出物体温度随时间变化的具体关系式。

可以采用两种不同的指导思路，（1）从导热微分方程入手，把物体与流体之间的热量交换视为虚拟内热源，并注意这是零维问题。（2）从能量平衡的角度出发，建立非稳态导热问题的数学模型，这里采用后一种方法，它容易理解，而且物理概念清晰。 物体冷却过程中的能量平衡关系为

)(f t t hA d dt pcv -=-τ

该式表明，物体温降所释放的热流量等于流体所吸收的热流量，注意上式中的负号必不可少。令过余温度θ=t-t f,上式重新写成

θτ

θhA d d pcv =-

相应的初始条件表示为 f t t -=0)0(θ

采用分离变量法求解由上式组成的定解问题

τρθθτθθd cv hA d o ⎰⎰-=0

积分上式并表示成指数形式

)exp(00τρθθcv hA t t t t f f -=--=

上式即为采用集总参数法时物体温降随时间变化的基本关系式，如下图所示

可见过余温度随时间成指数规律递减，从初始时刻等于1，到无限长时间后趋于零。无论是加热还是冷却这个基本规律都是正确的。 对于hA cv

ρτ=这一特殊时刻，上式的指数等于-1，于是相应的过余温度比

368.0)1exp(0

=-=θθ。这一特定的时间被称作时间常数，他表示某个非稳态导热过程已经进行完成（即最大可能的温度变化幅度）的63.2％，常用这个指标来描述导热物体对外界流体瞬间变化作出反应的快慢成度。显然导热物体的热容量pcv 越小，单位面积的表面对流热阻hA 1越低，时间常数就越小，即物体对外界温度变化的反应越灵敏。这项指标对动态温度的测试的精度有极重要的影响。 上式还可以写成v v Fo Bi A

v c A v h cv hA ==2)()(ρλτλτρ于是 )exp()exp(00v v f f Fo Bi cv

hA t t t t -=-=--=τρθθ

这里的角码V 仅指其中的特征尺寸用比值A V 来表示。而2l a Fo τ=称为傅里叶数，它是非稳态导热过程时间进程的一种无量纲化的表示方法。

由温度分布可以求出求出任意时刻物体与流体间所交换的（瞬时）热流量

)exp(0τρθτθρcv

hA hA d d cv -=-=Φ 以及从非稳态过程起始时刻τ=0到某个指定的时刻τ这一时间间隔内流体和物体间所交换的总热量

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=Φ=⎰-)exp(1000τρρθττ

τcv hA cv d Q 以上计算温度场和换热量的公式虽然都是从物体被冷却的角度导出的，但他们对加热过程也同样适用。

1.1.3适用条件与误差计算

集总参数分析方法是对实际非稳态导热过程的一种抽象和理想化的近似。归根结底，任何物体内的导热热阻都不可能完全等于零。那么，这种简化处理会导致多大的误差？是否在工程计算中属于允许的计算误差？在什么条件下可以采用这种近似方法？

在研究非稳态导热的时候，经常把问题分成薄壁与厚壁两类，这里所说的薄与厚是从物体内温度场的特点出发的一个屋里概念，而不是简单的几何概念，下图给出了厚度等于2δ的大平壁在经历第三类边界条件下的非稳态导热过程时其温度场表现出来的三种典型状况：

（1）Bi 《1。根据Bi 的物理意义，这是指物体内部的导热热阻远远低于外部对流热阻的情形。由图可见，这是从流体到平壁中心的几乎全部温降都落在外部流体一侧，而物体内同一时刻的温度场几乎是均匀一致的。其实这就是集总参数法所针对的情况。在这种特定的条件下，无论该平壁实际上有多厚，均可以视为“传热意义上的薄壁”

Bi<<1

(2)Bi ≈1，这是物体内部的导热热阻和外部的对流换热热阻大致相当，两部分的温降也差不多，不能忽略任何一方，必须用其他方法进行精确求解。

Bi ≈1

（3）Bi 》1，这时流体温度几乎随时和物体的壁面温度保持一致，即第三类边界条件转化为了第一类边界条件，物体内的温度随地点和时间的变化仍需要精确解法求解。

Bi 》1

上述三种情况，显然后两种不可以当做薄壁，而必须作为厚壁来对待。

从定量的角度讲，Bi 数必须小到何种层度才可以把物体内的温度分布视为随时均匀而又保证误差在一般工程问题中达到可接受的范围之内？只要满足下述不等式：

1.0<=λC

hL Bi

采用集总参数法计算得出的瞬态温度场误差最高不会超过5％。就一般工程而言，5％的误差是可以接受的，C L 代表物体的特征尺寸，对厚δ2且双面对称加热或冷却的大平壁来说，C L =δ，对无限长圆柱或球来说，应取R 为特征尺寸，而对其他各种形状不规则的物体，可以近似按与之相当的圆柱体或球体来考虑。