肿瘤细胞生长规律与控制模型的研究

肿瘤细胞生长规律及控制模型的研究

【摘要】针对肿瘤在无限制生长条件与肿瘤生长在个体生理条件限制这两种情况下，分别逐步推进建立了Malthus模型与Logistic模型，并利用微分方程求解以及Matlab拟合实验计算得到以下结论：在肿瘤生长初期符合Malthus模型，而在肿瘤生长的中后期符合Logistic模型。并且进一步得到放射性疗法的规律，即对数杀灭，以及治疗过程中的建议。

【关键字】肿瘤增长的Malthus模型肿瘤增长的Logistic模型放射性治疗的对数杀灭微分方程原理

1 问题重述

1.1问题背景

细胞生长失控是肿瘤最基本的生物学行为。恶性肿瘤的生长呈现相对无限制性，在晚期的癌症患者体质极差的情况下，肿瘤细胞照生长不误。因此，肿瘤细胞的生长失控是肿瘤一切恶性行为的生物学基础，研究肿瘤的生长生物学在肿瘤防治中具有极其重要的作用。

1.2问题描述

肿瘤在生长过程中的特点并不是一成不变的，故需要针对不同时期的肿瘤细胞增殖特点，建立不同的数学模型，并寻找最佳治疗时间与治疗措施，本文以肺部肿瘤细胞为例。

2 问题分析

对肿瘤的防治除了在病因学上积极做好工作，另外主要就是“三早”措施，我们就“早期发现”结合模型做重点的分析与研究。

发现细胞癌变的途径主要有两种。第一种是通过检测血液与体液中的肿瘤标志物的浓度可以有效地反映病情的状况，即肿瘤越大或者越晚期，肿瘤标志物的

浓度越高。

第二种则是通过X线、B超或CT测出肿瘤的直径，并且，只有当肿瘤生长到一定的体积，才可利用现代医学仪器检测。目前，检查肿瘤最好的设备目前是PET/CT检查，可以发现直径大于0.5cm的肿瘤病灶，使得患者得以早发现早治疗。

在此我们主要研究第二种方法，因此，我们需要分析肿瘤体积（或直径）与时间的关系，并从较简单的模型入手，逐步递进，使模型逐步优化，更好的刻画实际问题。

3.模型假设

在建立模型之前，做如下的基本假设：

1.假设肿瘤细胞前期不凋亡，不转移；

2.肿瘤体积的变化率与肿瘤当前的体积成正比；

3.在肿瘤生长中后期，由于生理条件的限制，肿瘤的数量逐渐趋于一个稳定值。

4 符号说明

符号说明如表1所示

符号说明

V0t0时刻肿瘤的体积

D肿瘤的直径

r单位时间内肿瘤的增长率

α、β相关系数

V m肿瘤的最大体积

′

5 模型的建立与求解

5.1Malthus模型的建立与求解

1）记t时刻肿瘤的体积为V(t)，在一定时间∆t内, V(t)的增量∆V=V(t+∆t)−V(t)，即t时刻到t+∆t时刻的体积增量为V(t+∆t)−V(t)=rV(t)∆t,即：

lim ∆t→0V(t+∆t)−V(t)

Δt

=

dV

dt

=rV(t) (∆t≠0)

并得到如下方程：

{dV

dt

=rV(t) V(0)=V0

分离变量求解得：

V(t)=V0e r(t−t0)

其中t0为初始时刻，V0为肿瘤的初始体积。

2）肿瘤的直径比肿瘤的体积更容易测出。将肿瘤近似地看成一个球体，利用球的体积公式：V=π

6

D3 (D为直径）

可得：

D=D0e r(t−t0)(T=t−t0)

易见该模型服从指数模型，即Malthus 模型。

5.2Logistic模型的建立与求解

根据Malthus模型，我们考虑体内营养供应是有限的，随着肿瘤数的增多，肿瘤细胞的增长速度会慢慢减小，故对中晚期肿瘤增长的更好描述是Logistic模型，即：

dV

dt

=αV−βV2,

其解为：

V(t)=

α

β+(

α

V0−β)e−αt

并设V m是肿瘤的最大体积，则β=α

V m

，则方程为：

dV dt =αV(t)(1−

V(t)

V m

)

求解得：

V(t)=

V m

1+(

V m

V0−1)e−r(t−t0)

该表达式更加贴切的描述了中晚期肿瘤细胞的体积V与时间t的关系。

6 结果分析及结论

Malthus模型适用于分析肿瘤细胞增长前期的体积与时间的关系及增长速率，而Logistic模型则适用于肿瘤细胞中后期增长的特征分析；

6.1Malthus模型再分析

根据Malthus模型的特征，肿瘤体积增大一倍所需要的时间是一个常数t′, t′是肿瘤生长的一个重要的参数。

Nathan等人统计了177例肺部肿瘤病人的依据，发现肿瘤体积增大一倍的时间均在7～465之间，他们认为，当肺部肿瘤体积增倍时间位于[7,465]之间时应怀疑其为肺癌，t′<7时常为感染或炎症，t′>465则常为良性肿瘤。

根据计算，我们也可得到t′的值：

由Malthus模型可得：

在t1、t2时刻的细胞体积分别为V1=V0e r(t1−t0)、V2=V0e r(t2−t0)

假设 V2=2V1，

可得: t′=t2−t1=ln2

r

故肿瘤细胞体积增大一倍所需时间为t′=ln2

r

(其中r为增长率)。

根据Malthus模型，我们可以得出一个直径为10μm，重为0.001μg的肿瘤细胞由初始形成到临床上可检测出的直径1cm的肿块约需经过30次倍增，而从直径1cm到置人于死地的1kg的癌症肿块体积约增大1000倍，只需经过10次倍增。这说明癌症在发现前的平均增长期约为发现后的平均存活期的3倍，故及早发现、及早治疗在癌症诊治中起着至关重要的作用。