用行列式解二元一次方程组
拓展：方程组的行列式解法
拓展：方程组的行列式解法
一、二元一次方程组的行列式解法
1．设二元一次方程组
111222,,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩其中a 1、a 2、b 1、b 2 是系数且不全为零，c 1、c 2 是常数项。
通过消元得到x y
D x D D y D ⋅=⎧⎨⋅=⎩
则0D ≠时,.x y D x D D y D
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 2．设三元一次方程组111122223
333,,,a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（B ）
其中x 、y 、z 是未知数，a 1、a 2、a 3、b 1、b 2、b 3、c 1、c 2、c 3是未知数的系数且不全为零，d 1、d 2、d 3是常数项，那么如何通过行列式来求解？
二、三元一次方程组的行列式解法
1．通过加减消元法可将三元一次方程组（B ）转化为方程组,,.
x y z D x D D y D D z D ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪⋅=⎩
当0D ≠时，方程组（B ）的解为 ,,.x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
2．上述解法中的D ，x D 、y D 、z D 分别指哪些行列式？
3．对解法加以简单证明
4．三元一次方程组（B ）有唯一解的条件是什么？。
行列式口算二元一次方程组
行列式口算二元一次方程组
E
D B
A F
E C B BD AE B
F CE x BF y B BDx CE BEy x E
D
B A
F D
C A
BD AE CD AF y AF y A ADx CD BDy x F y Dx C By x ec
bf f
e c
b e
d b a f d c a y
e d b a
f e
c b x f
ey dx c by ax -
=
--=-=+⨯=+⨯=
--=-=+⨯=+⨯⎩⎨
⎧=+=+-==-
=⎩⎨
⎧=+=+:)6()5()
6(E ：B )2()5(AE ：E )1(:)4()3()
4(E ：A )2()3(AD ：D )1()
2(E )1(A 原理：
二阶行列式计算方法其中，则有在二元一次方程组中，
ΛΛΛΛΛΛ
2
3
*12*24*13*21
3*12*2)4*23*3(，直接写出结果得：3
2432例：=--=-=---=⎩⎨
⎧=+=+y x y x y x 自己随便找个题目来口算口算吧，数不出算我输，其实这个内容也没有什么神秘的，是大学《高等代数》的内容，我们先搬过来用了而已，别说，还挺好用的，平时左算算右算算还是这么点东西，现在干脆不算了，直接口算吧。
有不明白的童鞋欢迎大家私信我，把数学牢牢的抓在手里，要搞它的哟。
如果人多的话，砸门有时间讲讲课也是可以的。
好了今天的内容就到这里，感谢您的陪伴，下期再见！。
二元一次方程的几种表达式
二元一次方程的几种表达式
【原创版】
目录
1.二元一次方程的定义
2.二元一次方程的增广矩阵表达式
3.二元一次方程的行列式表达式
4.二元一次方程的克莱姆法则表达式
5.总结
正文
二元一次方程是指包含两个未知数的一次方程，其一般形式为：
ax + by = c
其中，a、b、c 为已知数，且 a 和 b 不同时为 0。
二元一次方程有多种表达式，下面我们将分别介绍。
1.增广矩阵表达式
二元一次方程可以表示为增广矩阵的形式，增广矩阵是在系数矩阵的基础上，添加一列常数项，如下所示：
[ a b | c ]
其中，方括号表示矩阵，a、b、c 分别为方程中的系数和常数项。
2.行列式表达式
二元一次方程的行列式表达式是将方程中的系数和常数项组成一个行列式，如下所示：
|a b|
|c|
该行列式等于 0，表示二元一次方程有解。
3.克莱姆法则表达式
克莱姆法则是求解二元一次方程组的一种方法，其表达式为：
x = [c*y - b] / a
y = [a*x + b] / c
其中，x 和 y 分别为方程组的解，a、b、c 为方程中的系数。
通过以上三种表达式，我们可以更直观地理解和求解二元一次方程。
总结：
二元一次方程是包含两个未知数的一次方程，有多种表达形式。
通过增广矩阵表达式，我们可以直观地观察方程的系数和常数项；行列式表达式可以帮助我们判断方程是否有解；克莱姆法则表达式为我们提供了求解方程组的方法。
用行列式解二元一次方程组
二阶行列式
• 对于二阶方阵
A
a11
a
21
a12
a
22
规定二阶行列式的值为
A a11 a21
a12 a22
a11a22a12a21
• 二阶行列式的计算方法可按下图记忆，即实线连 接的元素乘积减去虚线连接的元素乘积．
a11
a12
a21
a22
图5-1
计算下列二阶方阵的行列式
3 2
A
2
1
解：
用
代 入 法 解
二元一 次方程 组
解方程组
2x – 7y = 8
3x–8y–10 = 0
解： 2x – 7y = 8 ①
3x -8y- 10= 0 ②
由①得：2x =8 + 7y
87y
x= 把③代入②
2
③
得： 3(87y)8y100 2
3（8 +7y）-16y –20 = 0
24+21y – 16y –20 = 0 y = -4/5
1 2
a12=
1 3
b1= 1
a21= 1 a22=-1 b2= 2
1
X= 2
1 3
-1
1×(-1)-2× (
1) 3
=
=2
1 1
2
3
1
2 ×(-1)
-1×(
1 3
)
1 -1
∵ x-y=2
∴ y=x-2
x=2 ∴
y=0
练习题
解下列方程组： 5 = 3t 5–3+5=0
把y = -4/5代入③，得
x=
87y 2
8 7 ( 4)
初一版二元一次方程的行列式~解法
=
������1������2−������2������1 ������1������2−������2������1
������1������2−������2������1
好冗长俄。。。所以啦，还是记住这个公式比较好——
���|���a���12
������1 ������2
填空题：
{121������������
+ +
3������ 9������
= =
4 17
{4337������������
+ +
37������ 43������
= =
123 117
{115������������+−78������������==1023
{121������������
+ +
5������ 7������
{������������12������������
+ +
b1������ ������2������
= =
c1 ������2
这里咱们给出一个符号 D
（Determination 即行列式的意思）
D = |���a���12 ������������12| ������������ = |������������12 ������������12| Dy = |������������12 ������������12| 怎么展开你还记得吗？不记得看看上面一个章节哈！~
解二元一次方程组绰绰有余。】
习题的最后一道“！”的意思是阶乘，即 1！=1，2！=1*2=2
二：用行列式解二元一次方程组 话说咱们初中学过一种解二元一次方程组的基本方式叫
系数行列式与方程组解的关系
系数行列式与方程组解的关系系数行列式是线性方程组的一个重要概念，它与方程组解之间有着密切的关系。
在本文中，我们将探讨系数行列式与方程组解的关系，并深入了解它们之间的联系。
首先，我们来了解一下什么是系数行列式。
系数行列式是一个矩阵，它的元素是线性方程组的系数。
例如，对于一个二元一次方程组：$$\begin{cases}ax+by=c \\dx+ey=f\end{cases}$$它的系数行列式为：$$\begin{vmatrix}a &b \\d & e\end{vmatrix}$$系数行列式的值可以通过行列式的定义来计算，即将矩阵中每一行的元素与它们对应的代数余子式相乘，再将结果相加。
例如，对于上述方程组的系数行列式，它的值为：$$\begin{vmatrix}a &b \\d & e\end{vmatrix} = ae - bd$$接下来，我们来探讨系数行列式与方程组解的关系。
对于一个二元一次方程组，它的解可以表示为一个有序数对 $(x,y)$。
如果系数行列式的值不为零，即 $ae-bd\neq 0$，那么这个方程组有唯一解，可以用克拉默法则求解：$$x = \frac{\begin{vmatrix}c & b \\f & e\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a &b \\d & e\end{vmatrix}}, \quad y = \frac{\begin{vmatrix}a & c \\d & f\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a &b \\d & e\end{vmatrix}}$$其中，分子是将方程组中的常数项替换掉对应的未知数系数后得到的行列式，分母是系数行列式。
如果系数行列式的值为零，即 $ae-bd=0$，那么这个方程组可能有无穷多解，也可能无解。
解二元一次方程的方法
解二元一次方程的方法二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常形式为ax+by=c。
解二元一次方程是数学中的基础知识，也是解决实际问题的重要方法。
在解二元一次方程的过程中，我们可以运用一些基本的方法和技巧，使得解题更加简单和高效。
下面，我们将介绍几种解二元一次方程的方法。
一、代入法。
代入法是解二元一次方程的常用方法之一。
其基本思想是将一个方程中的一个未知数表示成另一个方程中的一个未知数的函数，然后代入另一个方程中，从而将两个未知数的方程转化为一个未知数的方程。
举个例子来说，对于方程组。
2x+3y=7。
x-y=1。
我们可以将第二个方程中的x表示为x=y+1，然后代入第一个方程中，得到2(y+1)+3y=7，然后解出y的值，再代入第二个方程中求得x的值。
二、消元法。
消元法是解二元一次方程的另一种常用方法。
其基本思想是通过加减消去一个未知数，从而将两个方程中的一个未知数消去，然后解出另一个未知数。
举个例子来说，对于方程组。
2x+3y=7。
x-y=1。
我们可以将第二个方程乘以2，得到2x-2y=2，然后将这个式子代入第一个方程中，得到y=3，再代入第二个方程中求得x的值。
三、图解法。
图解法是解二元一次方程的直观方法。
其基本思想是将两个方程表示成两条直线，然后通过观察两条直线的交点来求解方程组的解。
举个例子来说，对于方程组。
2x+3y=7。
x-y=1。
我们可以将这两个方程表示成两条直线，然后通过观察两条直线的交点来求得方程组的解。
四、克莱姆法则。
克莱姆法则是解二元一次方程组的另一种方法。
其基本思想是通过行列式的方法来求解方程组的解。
具体的求解过程可以通过构造行列式来实现，这里不再赘述。
总结起来，解二元一次方程的方法有很多种，代入法、消元法、图解法和克莱姆法则只是其中的几种。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来解题。
希望本文介绍的方法能够帮助大家更好地理解和掌握解二元一次方程的技巧，从而提高解题的效率和准确性。
二元一次方程组无数解
二元一次方程组无数解二元一次方程组无数解是指该方程组的解集中含有无限个不同的解。
这种情况下，方程组的解集中的每一个解都可以被写作一组形如(x, y)的有序数对，并且这些数对中的元素都是实数。
在解释二元一次方程组无数解的背景下，我们需要从几何角度出发来看待该问题。
因此，我们需要先了解什么是平面直角坐标系和解析几何中相关的概念以及定理。
平面直角坐标系是研究解析几何的基础。
在平面直角坐标系中，可以通过两条互相垂直的数轴来表示一个平面上的点的位置。
这两条数轴分别称作x轴和y轴，它们的交点处称作原点。
平面直角坐标系中的任何一点都可以用一个有序数对来表示它的位置。
这个有序数对的第一个元素是这个点在x轴上的坐标，第二个元素是这个点在y轴上的坐标。
例如，点(2,3)表示坐标轴上x坐标为2，y坐标为3的点。
解析几何是几何学和代数学的结合体。
它主要研究的是几何图形在坐标系中的表示和性质。
其中，直线是解析几何中最为基本的概念之一。
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一个一次方程来表示。
而二元一次方程可以被看作是一个用来确定平面上的点的坐标的方程，因此它们在解析几何中是有很重要的作用的。
我们以二元一次方程组来举例说明“无数解”的概念。
设方程组ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e和f均为已知常数，且(a,b)和(d,e)不对应为(0,0)的数对。
解法如下：方法一：首先，可以通过消元的方法来求出这个方程组的通解。
如果该方程组有无数解，则它的通解应该是形如(x, y) = (x0 +k1t , y0 + k2t)的形式，其中k1和k2均为任意实数，而x0和y0则是该方程组的一个特解。
方法二：利用行列式求解。
若方程组ax+by=cdx+ey=f有无数解，那么由克莱姆法则得$\frac{\begin{vmatrix} c&b\\f&e \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a&b\\d&e \end{vmatrix}}=\frac{ce-bf}{ae-db}=k$得证该方程组有无数解，且解的集合为$\{(x,y)|ax+by=c, dx+ey=f\}$转换为参数方程就是$x=k\frac{bf-ce}{ae-bd}+\frac{cy-bf}{ae-bd}$$y=k\frac{cd-af}{ae-bd}+\frac{af-md}{ae-bd}$从方法一和方法二我们可以看出，如果方程组的系数满足某些特定条件，那么该方程组就有无数解了。
怎样求解二元一次方程
怎样求解二元一次方程二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，通常表示为ax+by=c。
求解二元一次方程的方法有多种，下面将介绍其中几种常用的方法。
一、代入法代入法是求解二元一次方程的简单有效方法。
具体步骤如下：1. 可将其中一个方程中的一个未知数用另一个方程中的已知量表示，得到一个关于另一个未知数的一次方程。
2. 将该一次方程代入到另一个方程中，得到只含一个未知数的一元一次方程。
3. 解得该未知数的值后，将其代入到其中一个方程中，求得另一个未知数的值。
4. 检验解，将求得的未知数的值代入到原方程组中，若满足等式则是正确解。
二、消元法消元法是求解二元一次方程的常用方法之一。
具体步骤如下：1. 将两个方程中的某个系数相乘，使得两个方程的某个未知数的系数相同或倍数关系。
2. 将两个方程相减或相加，得到一个只含一个未知数的一元一次方程。
3. 解得该未知数的值后，将其代入到其中一个方程中，求得另一个未知数的值。
4. 检验解，将求得的未知数的值代入到原方程组中，若满足等式则是正确解。
三、图解法图解法是通过在平面坐标系上绘制方程的直线图像，并找到两条直线的交点来求解二元一次方程。
具体步骤如下：1. 将方程转换为标准形式，即使得x和y的系数为1。
2. 在平面坐标系上绘制两条直线，分别对应两个方程。
3. 找到两条直线的交点，即为方程组的解。
4. 检验解，将求得的未知数的值代入到原方程组中，若满足等式则是正确解。
四、Cramer法则Cramer法则是用行列式的性质来求解二元一次方程组的方法。
具体步骤如下：1. 将方程组的系数矩阵A与常数矩阵B分别写成行列式的形式。
2. 根据Cramer法则，方程组的解x和y可以分别用两个行列式的值来表示。
3. 计算行列式的值，得到未知数的解。
4. 检验解，将求得的未知数的值代入到原方程组中，若满足等式则是正确解。
五、高斯消元法高斯消元法是一种基于矩阵运算的求解线性方程组的常用方法。
初一数学二元一次方程组解法
初一数学二元一次方程组解法
一元一次方程是指方程中只有一个未知数的一次方程，而二元一次方程是指方程中有两个未知数的一次方程。
解二元一次方程的方法有三种：代入法、消元法和 Cramer 法则。
1. 代入法：
通过消元将其中一个方程变成只有一个未知数的一次方程，然后将该未知数的解代入另一个方程中求解。
2. 消元法：
通过对两个方程进行适当的加、减、乘、除运算，使得一个未知数的系数相等，然后进行消元，最后求解一个未知数，再带回原方程中求出另一个未知数。
3. Cramer 法则：
针对二元一次方程组，可以利用行列式的性质，通过计算行列式的值来求解未知数。
无论使用哪种方法，我们都需要遵循以下步骤来解决二元一次方程组：
1. 将方程组写出来，明确其中的未知数和系数。
2. 选择一种解法方法（代入法、消元法或 Cramer 法则）。
3. 根据选定的方法，进行相应的运算和代入，得出未知数的解。
4. 将解代入原方程组中验证，确保解是正确的。
需要注意的是，在使用代入法或消元法时，我们要先判断方程组是否有解、无解或有无穷多解。
如果方程组无解或有无穷多解，则应当相应地说明。
希望以上解法能够帮助你解决初一数学中的二元一次方程组问题。
一元二次方程与二元一次方程的关联
一元二次方程与二元一次方程的关联一、一元二次方程与二元一次方程的定义：1.一元二次方程：形如 ax^2 + bx + c = 0（a、b、c 是常数，且a ≠ 0）的方程，叫做一元二次方程。
2.二元一次方程：形如 ax + by = c（a、b、c 是常数，且 a、b 不同时为0）的方程，叫做二元一次方程。
3.共同点：一元二次方程和二元一次方程都是整式方程，都含有未知数，都可以通过变形、移项、合并同类项等方法进行简化。
4.不同点：一元二次方程的最高次项是二次项，而二元一次方程的最高次项是一次项；一元二次方程只有一个未知数，而二元一次方程有两个未知数。
三、一元二次方程与二元一次方程的求解方法：1.一元二次方程的求解方法：（1）因式分解法：将一元二次方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，然后根据零因子定律求解。
（2）公式法：利用求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a) 直接求解。
2.二元一次方程的求解方法：（1）代入法：将一个方程的未知数表示为另一个方程的未知数的函数，然后代入另一个方程求解。
（2）加减法：将两个方程相加或相减，消去一个未知数，然后求解剩下的未知数。
（3）行列式法：利用行列式求解二元一次方程组。
四、一元二次方程与二元一次方程的应用：1.一元二次方程的应用：（1）物理问题：例如，抛物线的运动轨迹方程。
（2）几何问题：例如，求解二次函数的最值问题。
2.二元一次方程的应用：（1）几何问题：例如，求解直线与直线的交点问题。
（2）实际问题：例如，线性规划问题，求解两条直线的交点等。
通过以上分析，我们可以看出，一元二次方程与二元一次方程在定义、求解方法和应用方面都存在一定的关联。
掌握这两种方程的性质和求解方法，有助于我们更好地解决相关问题。
习题及方法：1.习题：解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。
方法：因式分解法（1）找出方程的因式：(x - 2)(x - 3) = 0（2）根据零因子定律，得到 x - 2 = 0 或 x - 3 = 0（3）解得 x1 = 2，x2 = 3答案：x1 = 2，x2 = 32.习题：解一元二次方程：x^2 + 2x + 1 = 0。
二元一次方程的解法
二元一次方程的解法二元一次方程是指含有两个未知数的一次方程，它的一般形式可以表示为：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f都是已知的实数，而x和y则是未知数。
求解二元一次方程的目标是确定x和y的值，使得方程组中的每个方程都成立。
求解二元一次方程的方法多种多样，下面将介绍几种常用的解法。
1. 替换法替换法是一种直观且易于理解的方法。
首先从其中一个方程开始，将其中一个未知数表示成另一个未知数的式子，然后代入另一个方程中，化简得到只包含一个未知数的一元方程，继而求解。
例如，考虑以下二元一次方程组：2x + 3y = 7 (1)5x - 2y = 8 (2)我们可以从方程(1)中解出x：2x = 7 - 3yx = (7 - 3y)/2将得到的表达式代入方程(2)中：5((7 - 3y)/2) - 2y = 87 - 3y - 2y = 8-5y = 1y = -1/5将y的值代入x的表达式中：x = (7 - 3(-1/5))/2x = 3/2因此，该二元一次方程组的解为x = 3/2，y = -1/5。
2. 消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。
它的基本思路是通过消去一个未知数，将方程组化简为只含一个未知数的一元方程，然后求解该方程得到一个未知数的值，再代入原方程组中求解另一个未知数。
考虑以下二元一次方程组：3x + 2y = 10 (3)2x - 5y = -8 (4)我们可以通过将方程(3)的两倍加到方程(4)上来消去x：(6x + 4y) + (2x - 5y) = 20 - 88x - y = 12 (5)然后，将方程(5)代入方程(3)中消去y：3x + 2(-8 + 5x) = 103x - 16 + 10x = 1013x = 26x = 2将x的值代入方程(3)或(4)中求解y：3(2) + 2y = 106 + 2y = 102y = 4y = 2因此，该二元一次方程组的解为x = 2，y = 2。
行列式解二元一次方程组
行列式解二元一次方程组在研究用消元法解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 中，可得解的公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=．，1221122112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，显然，那个公式本身还看不出它的明显规律，也不易经历，因此那个公式还不够理想，那么能不能找一个更好的表现形式，使得它们之间的依赖关系表示得更明显，更有规律，且便利经历呢？下面介绍的用行列式解二元一次方程组的方法，就能够达到以上目的，由此，能够看出行列式能关心解决刚才提出的问题、1、符号2211b a b a 叫做二阶行列式，a 1、a 2、b 1、b 2叫做那个二阶行列式的元素，a 1、a 2、b 1、b 2这四个元素排成二行二列〔横排叫行，竖排叫列〕、例如，a 2是位于第二行第一列上的元素，b 1是位于第一行第二列上的元素、2、二阶行列式的展开形式为2211b a b a ＝a 1b 2－a 2b 1，它的展开方法是，将a 1、a 2、b 1、b 2四个数排列成正方形，即2211b a b a 能够看出a 1b 2－a 2b 1是如此两项的和，一项为哪一项正方形中实线表示的对角线〔叫做主对角线〕上两数的积，再添上正号；一项为哪一项虚线表示的对角线〔叫做副对角线〕上两数的积，再添上负号、这种方法叫做二阶行列式展开的对角线法那么、3、二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解的行列式表示法，22112211b a b a b c b c x =， 22112211b a b a c a c a y =，〔a 1b 2－a 2b 1≠0〕 为简便起见，设2211b a b a D =，2211b c b c D x =，2211c a c a D y =，那么当D ≠0时，二元一次方程组的解可表示为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==．，DD y DD x yx。
二元一次方程公式推导过程
二元一次方程公式推导过程咱来聊聊二元一次方程公式的推导过程哈。
话说当年我上初中的时候，有一次数学老师在黑板上写下了一个二元一次方程组，全班同学都瞪大了眼睛，一脸懵圈。
我也不例外，心里直犯嘀咕：“这可咋整？”二元一次方程的一般形式是 ax + by = c ，这里 a、b、c 都是常数，而且 a、b 都不等于 0 。
那怎么推导求解它的公式呢？咱先从消元法说起。
比如说有个方程组：2x + 3y = 8 ， 3x - 2y = -1 。
为了消除其中一个未知数，咱们可以想办法让两个方程中某个未知数的系数相等或者相反。
就拿上面这个例子，咱们可以让第一个方程乘以 2 ，第二个方程乘以 3 ，变成 4x + 6y = 16 ， 9x - 6y = -3 。
然后把这两个新方程相加，你看，y 这一项就消掉啦，就得到 13x = 13 ，x 就等于 1 啦。
再来说说代入消元法。
还是用个例子，比如 x + 2y = 5 ，咱们可以把 x 用 5 - 2y 来表示，然后把这个式子代入另一个包含 x 和 y 的方程中，这样就变成只有 y 的方程啦，就能求出 y 的值，再把 y 的值代回去就能求出 x 。
接下来咱们看看用行列式来推导二元一次方程的解。
行列式这东西听起来挺玄乎，其实也不难。
对于方程 ax + by = e ， cx + dy = f ，它的行列式 D 就是 ad - bc ，Dx 就是 ed - bf ，Dy 就是 af - ce 。
然后 x 就等于 Dx 除以 D ，y 就等于 Dy 除以 D 。
再说说矩阵法。
把二元一次方程组写成矩阵的形式，通过矩阵的运算来求解。
比如说上面那个方程组可以写成：\[\begin{pmatrix}a &b \\c & d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e \\f\end{pmatrix}\]然后通过矩阵的逆运算来求解 x 和 y 。
二元一次方程组唯一解与系数行列式的关系
二元一次方程组唯一解与系数行列式的关系
在克拉默法则中，解二元一次方程组时，确定方程组有唯一解的关键在于检查系数行列式（也称为主行列式或D行列式）是否不为零。
对于二元一次方程组
{ a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2
其系数行列式D定义为
D=| a1b1
a2b2| =a1b2−a2b1
如果D≠0，则根据线性代数的理论，该方程组有且仅有一组解。
这是因为系数行列式不为零意味着方程组中的两个方程是线性独立的，即它们不共线，因此可以在二维平面上交于一点，这一点就是方程组的唯一解。
相反，如果D=0，则方程组可能无解或有无穷多解。
这取决于常数项构成的行列式（在二元情况下，这通常不是一个真正的“行列式”，因为只有一个数，即常数项的和或差，但我们可以类比地考虑它）与方程组的关系。
具体来说：
●如果D=0，但由常数项构成的类似“行列式”也不满足方程组的解的条件
（在二元情况下，这通常意味着两个常数项不对应于通过零行列式得到的任何线性组合），则方程组无解。
●如果D=0，并且常数项满足方程组的某种线性关系（在二元情况下，这通
常意味着两个方程实际上是同一个方程的倍数，或者它们的和/差是一个恒等式），则方程组有无穷多解。
●然而，在二元一次方程组的简单情况下，我们主要关心的是D≠0的情况，
因为这直接告诉我们方程组有唯一解，并且我们可以使用克拉默法则来找到这个解。
行列式成比例
行列式成比例行列式是代数学中的一个重要概念，是在矩阵代数中经常使用的一个基本工具。
行列式可以判断矩阵是否可逆，是否有唯一解，还可以用来求解方程组的解。
在数学中，行列式成比例是指两个行列式之间存在某种比例关系。
本文将介绍行列式成比例的相关概念、性质以及具体的应用。
行列式成比例，指的是两个行列式之间存在某种比例关系。
如果在一组矩阵中，每个矩阵的行列式都能够表示成另一个矩阵的行列式的倍数，那么这些矩阵就成比例矩阵。
具体来说，如果两个n阶矩阵A和B的行列式分别为det(A)和det(B)，同时满足以下条件：det(A) = k*det(B)其中k是一个实数，则称矩阵A和矩阵B成比例矩阵，k称为比例因子。
下面介绍行列式成比例的一些基本性质。
1. 如果矩阵A中有一行元素全为0，则det(A) = 0。
4. 如果将矩阵A的某一行（列）元素乘以一个数k，其它行（列）不变，则det(A) = k*det(A)。
行列式成比例在矩阵求解方程组中有广泛的应用。
下面以二元一次方程组为例，来解释行列式成比例在求解方程组中的应用。
对于二元一次方程组：a1x + b1y = c1其中，a1、b1、c1、a2、b2、c2均为实数。
方程组的解为(x,y)。
如果将方程组写成矩阵的形式：|a1 b1| |x| |c1|| | | | = | ||a2 b2| |y| |c2|根据行列式的定义，方程组的解可以用行列式表示：如果用行列式的特殊性质对方程组进行调整，则可以得到另一个行列式：同理，对于y的行列式，也可以用相同的方式进行求解。
如果使用行列式成比例的概念，可以将两个行列式比较，得到如下的表达式：这个表达式就是方程组的解，可以直接使用它计算得到方程组的解。
行列式成比例在代数学的其他领域中也有广泛的应用。
例如，在计算向量的内积、外积、面积和体积时，行列式成比例也经常被使用。
方程组2x+2y=1,2x+y=1的三种解法
方程组2x+2y=1,2x+y=1的三种解法
主要内容：
本文通过方程代入法、消元法和行列式，介绍计算二元
一次方程组⎩
⎪⎨⎪⎧2x+2y=12x+1y=1的主要过程和步骤。
代入法：
对于方程组，设：
⎩⎪⎨⎪⎧2x+2y=1...(1)2x+y=1 (2)
由方程(1)得：x=1-2y 2
,代入方程（2）,有： 2.1-2y 2
+y=1,化简得： 2+2y-4y=2,即y=0,此时计算得到：x=12
, 所以此时方程组的解为：⎩⎪⎨⎪⎧x=12y=0。
消元法：
对于方程组，设：
⎩
⎪⎨⎪⎧2x+2y=1…(1)2x+1y=1…(2) 第一思路，先消去未知数x ，
方程(1).2-(2).2得：
4y-2y=2-2，即y=0；
代入方程(1)得：
2x+2.0=1,求出x=12
； 即方程组的解为：⎩⎪⎨⎪⎧x=12y=0。
第二种思路，先消去未知数y ， 方程(1).1-(2).2得：
2x-4x=1-2,即x=12
； 代入方程(2)得：
2.12
+1y=1,可求出y=0； 方程组的解为：⎩⎪⎨⎪⎧x=12y=0。
行列式法：
⎩⎪⎨⎪⎧2x+2y=1...(1)2x+y=1 (2)
，对于该二元一次方程组，其系数行列式为： D=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 22 1 =2-4=-2,对x 的行列式D 1,有：
D 1=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪1 21 1 =1-2=-1, 对y 的行列式D2,有：
D 2=⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪2 12 1 =2-2=0, 则：x=D 1D =12；y=D 2D
=0； 所以方程组的解为：⎩⎪⎨⎪⎧x=12y=0。
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• 二阶、三阶方阵的行列式相应地称为二阶、 三阶行列式．
二阶行列式
• 对于二阶方阵
A
a11
a
21
a12
a
22
规定二阶行列式的值为
A a11 a21
a12 a22
a11a22a12a21
• 二阶行列式的计算方法可按下图记忆，即实线连 接的元素乘积减去虚线连接的元素乘积．
24+21y – 16y –20 = 0
y = -4/5
把y = -4/5代入③，得
x=
87y 2
8 7 ( 4)
5
2
∴ x = 6/5
y = -4/5
=6/5
方阵的行列式
方阵的行列式
• 行列式是关于方阵的元素所定义的一种运算， 其运算的结果是一个数，称为方阵的行列式 值，简称为方阵的行列式．
)
1 -1
∵ x-y=2
∴ y=x-2
x=2 ∴
y=0
练习题
解下列方程组： 5 = 3t 5–3+5=0
y=
a21 b2 a a 11 12
a a 21 22
例1 解下列方程组：
3a – 5b = 6 a + 4b = -15
例2、 解下列方程组：
x y 1 23 6(2x13y2)5
23
例2、 解下列方程组：
x y 1 ① 23 6(2x13y2)5②
23
解：由②得 3(2x-1)-2(3y+2)=5
用行列式
解二元一次方 程组
用
代 入 法 解
二元一 次方程 组
Hale Waihona Puke 解方程组2x – 7y = 8
3x–8y–10 = 0
解： 2x – 7y = 8 ①
3x -8y- 10= 0 ②
由①得：2x =8 + 7y
87y
x= 把③代入②
2
③
得： 3(87y)8y100 2
3（8 +7y）-16y –20 = 0
a11
a12
a21
a22
图5-1
计算下列二阶方阵的行列式
3 2
A
2
1
解：
3 2
|A|
312(2)7
21
在二元一次方程组中，如果有
a11x+a12y=b1 a21x+a22y=b2
则：
b1 a12 b2 a22 X= a11 a12 a a 21 22
a11 b1
6x-3-6y-4=5
6x-6y=12
x-y=2 原方程变形为
x y 1 23 x y 2
列出行列式系数
a11=
1 2
a12=
1 3
b1= 1
a21= 1 a22=-1 b2= 2
X=
1 2
1 3
-1
1×(-1)-2× (
1 3
)
=
=2
1 1
2
3
1
2 ×(-1)
-1×(
1 3