自控原理9(第九章418-437)

由于：
则： (9-65)
定义输入向量至输出向量之间的传递矩阵，为闭环传递矩 阵，记为 (s)，则：
（9-66） 它描述了 U(s) 至 Y(s) 之间的传递关系。 由于： 则： （9-67）
定义输入向量至偏差向量之间的传递矩阵为偏差传递矩阵， 记为e (s)，则： 它描述了 U(s) 至 E(s) 之间的传递关系。 （9-68）
(9-77) 成立，则称系统 (A, B, C, D) 是 G(s) 的一个实现。 简言之，实现问题就是由传递函数矩阵寻求对应的状态空 间表达式。前面曾就由传递函数导出几种标准型式动态方程问
题进行过研究，乃属于传递函数矩阵的实现。
由于多输入多输出系统传递函数矩阵的实现问题比较复 杂, 这里仅限于研究单输入多输出或多输入单输出系统, 它 们的传递函数矩阵是一列向量或行向量。
矩阵为一行向量，故不存在其对偶形式，即不存在可控标准型 实现。
[例9-12] 已知单输入-双输出系统的传递矩阵为：
求传递矩阵的可控标准型实现及对角型实现。 [解] 由于系统是单输入、双输出的，故输入矩阵只有一列，输 出矩阵有两行。 将 G(s) 化为严格有理真分式：
各元素的最小公分母 D(s) 为：
1) 单输入-多输出系统传递矩阵的实现 设单输入、q 维输出系统如图9-22所示，系统可看作由 q 个 独立子系统组成，
传递矩阵 G(s) 为：
(9-78) 式中，d 为常数向量； (i = 1, 2, …, q) 为不可约分的严格有 理真分式 (即分母阶次大于分子阶次) 函数。 通常 的特性并不相同，具有不同
故其输出方程为：
7. 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解
离散系统的特点是系统中的各个变量被处理成为只在离散 时刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的因果 关系和转换关系，因而这类系统通常称为离散时间系统，简称 为离散系统。 线性离散系统的动态方程可以利用系统的差分方程建立， 也可以利用线性连续动态方程的离散化得到。
考虑初始条件为零时的 z 变换关系有：
对式 (9-87) 两端取 z 变换并加以整理可得：
(9-88)
G(z)称为脉冲传递函数，式(9-88)与式(9-29)在形式上相同，故连
续系统动态方程的建立方法可用于离散系统。例如，在N(z)/D(z)
的串联分解中，引入中间变量 Q(z) 则有：
设：
则：
利用 z 反变换关系：
未引入 Gd(s) 时原系统的闭环传递矩阵 (s)为： (9-75)
引入 Gd (s) 后解耦系统的闭环传递矩阵 (s) 为：
(9-75)
式中 (s) 为所希望的对角阵。由式(9-75)可得： (9-76)
按式 (9-76) 设计前馈补偿器可使系统解耦。
[例9-11] 已知双输入双输出单位反馈系统结构图如图9-19所 示。试列写原系统的开、闭环传递矩阵，并求串联补偿器和前 馈补偿器，使解耦系统的
则
（9-55）
用幂级数展开式即可证明式(9-54)和式(9-55)成立。
[例9-6] 设系统的状态方程为：
试求状态转移矩阵及状态方程的解。 [解] 由于本例是线性定常系统，故状态转移矩阵可写作：
此题中：
因而有：
状态方程的解为：
[例9-7] 设系统状态方程为：
试求状态方程的解。 [解] 用拉氏变换求解：
图9-20用串 联补偿器实 现解耦的系 统结构图
前馈补偿器 Gd(s) 设计：由式 (9-75) 有：
式中 Gcij(s) 表示 Uj(s) 至 U i(s) (i, j =1,2) 通道的串联补偿器传递 函数。
用前馈补偿器实现解耦的系统结构图见图9-21。
(4) 传递函数矩阵的实现
给定一传递函数矩阵 G(s)，若有一系统 (A, B, C, D) 能使：
式中 (s) 为所希望的对角阵，阵中各元素与性能指标要求 有关。 由式(9-73)可见, 在 H(s) 为对角阵的条件下，[IH(s) (s)]1 仍为对角阵，故 Gp(s)Gc(s) 应为对角阵，且有：
(9-74) 按式 (9-74) 设计串联补偿器可使系统解耦。
2) 用前馈补偿器 Gd(s) 实现解耦 系统结构如图9-18所示, Gd (s) 的作用是对输入进行适当变 换以实现解耦。
其向量-矩阵形式为：
原系统闭环传递矩阵为：
串联补偿器 Gc(s) 的设计：由式 (9-74) 并考虑 H(s)=I，有：
式中Gcij(s)表示Uj(s)至Yi(s)(i, j=1,2)通道的串联补偿器传递函数。
可以验证这种解耦系统的开环传递矩阵 Gp(s) Gc(s) 为对角阵：
用串联补偿器实现解耦的系统结构图见图9-20。
记：
为了便于计算 G(T)，引入变量置换，令 (k+1)T = ，则：
故离散化状态方程为 (9-93) 式中 (T ) 与连续系统状态转移矩阵 (t) 的关系为： (9-94) 离散化系统的输出方程仍为： (9-95)
的分母，设最小公分母为：
(9-79)
则
的一般形式为：
(9-80)
将
作串联分解并引入中间变量 z，令：
若将 A 阵写为友矩阵，便可得到可控标准型实现的状态方程：
（9-81） 每个子系统的输出方程均表示为 z 及其各阶导数的线性组合，
即：
其向量-矩阵形式为：
（9-82）
可以看到，单输入、q 维输出系统的输入矩阵为 q 维列向 量， 输出矩阵为 (q×n) 矩阵，故不存在其对偶形式， 即不存 在可观测标准型实现。
制，其相应的系统称为解耦系统。解耦系统的输入向量和输出
向量必有相同的维数，传递矩阵必为对角阵，即：
（9-70）
可以看出，解藕系统是由 m 个独立的单输入-单输出系统组成：
（9-71）
为了控制每个输出量，Gii(s)不得为零，即解耦系统的对角 化传递矩阵必须是非奇异的。在系统中引入适当的校正环节使 传递矩阵对角化，称为解耦。 系统的解耦问题是一个相当复杂的问题，解耦的方法也很
闭环传递矩阵为： 并画出解耦系统的结构图。
图9-19 例9-11系 统结构图
[解] 求原系统开环传递矩阵 Gp(s)，只需写出输出量(y1, y2)与 偏差量 (e1, e2) 各分量之间的关系，即：
其向量-矩阵形式为：
原系统开环传递矩阵为：
输出量 (y1，y2) 与输入量 (u1, u2) 各分量之间的关系为：
(1) 由差分方程建立动态方程 在经典控制理论中离散系统通常用差分方程或脉冲传递函 数来描述。单输入-单输出线性定常离散系统差分方程的一般形 式为：
(9-87) 式中，k 表示 kT 时刻；T 为采样周期； y(k)、u(k) 分别为 kT 时 刻的输出量和输入量；ai、bi ( i =0, 1, 2, …, n 且 an =1) 为表征系 统特性的常系数。
(9-60)
令初始条件为零，进行拉氏变换，有：
则： (9-61) 系统的传递函数矩阵表达式为： (9-62) 若输入 u 为 p 维向量，输出 y 为 q 维向量，则 G(s) 为 (q×p) 矩 阵。式(9-61)的展开式为：
(9-63)
式中，Gij (s) (i =1, 2, …, q; j =l, 2, … , p) 表示第 i 个输出量与第 j 个输入量之间的传递函数。 [例9-10] 已知系 写成标量方程组：
(9-69)
可见一般多输入多输出系统的传递矩阵不是对角阵， 每一个 输入量将影响所有输出量，而每一个输出量也都会受到所有输 入量的影响。这种系统称为耦合系统，其控制方式称为耦合控 制。
对一个耦合系统进行控制是复杂的，工程中常希望实现某 一输出量仅受某一输入量的控制，这种控制方式被称为解耦控
(2) 定常连续动态方程的离散化
已知定常连续系统状态方程在 x(t0) 及 u(t) 作用下的解为：
令 t0=kT，则 x(t0) = x (kT ) = x (k)；令 t = ( k+1)T，则 x(t)=x[(k+1)T]=x(k+1)；在 t∈[k，k+1) 区间内，u(t)=u(k)=常数， 于是其解化为：
应。若取 t0 作为初始时刻，则有：
2) 拉普拉斯变换法。将式(9-56)两端取拉氏变换，有：
则：
进行拉氏反变换有：
由拉氏变换卷积定理：
在此将 (sIA)1。视为F1(s)，将 BU(s) 视为 F2(s)，则有：
结果与式(9-57)相同。上式又可表示为： (9-59)
有时利用式 (9-59) 求解更为方便。
故：
则可控标准型动态方程为：
由 D(s) = 0 可确定系统极点为 1、2，它们构成对角型状态矩阵 的元素。鉴于输入矩阵只有一列, 这里不能选取极点的留数来构 成输入矩阵，而只能取元素全为1的输入矩阵。于是，对角型实 现的状态方程为：
其输出矩阵由极点对应的留数组成， 分别为：
在 1、2 处的留数
9) 若 (t) 为
换
的状态转移矩阵，则引入非奇变
后的状态转移矩阵为：
（9-53）
[证明] 将
代入
式中：
有：
因而式(9-53)成立。
10) 两种常见的状态转移矩阵。
设 A =diag[1， 2，…， n]，即 A 为对角阵，且具有互异 元素，则：
（9-54）
设 A 阵为 (m×m) 约当阵：
多。下面仅介绍适于线性定常连续系统的两种简单解耦方法。
1) 用串联补偿器 Gc(s) 实现解耦 系统结构图如图9-17所示。未引入 Gc(s) 时，原系统为耦合 系统，引入 Gc(s) 后的闭环传递矩阵为：
（9-72）
以 [I+Gp(s)Gc(s)H(s)] 左乘式 (9-72) 两端，经整理有： （9-73）