3 多元数量值函数的导数与微分-3 复合函数

z y
z u
u y
z v
v y
.
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链式法则如图示
u
x
z
v
y
z z u z v , x u x v x z z u z v . y u y v y
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类似地再推广，设u ( x, y) 、v ( x, y) 、
x
y
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特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y)
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
v 1, w 0,
x
x
z f u f , x u x x
两者的区别
v 0, w 1.
y
y
区
z f u f . y u y y
w w( x, y)都在点( x, y) 具有对x 和y 的偏导数，复合
函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点( x, y)
两个偏导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
u
z
v
z
w
.
z
y u y v y w y
u v w
多元复合函数的求导法则
链式法则 全微分形式不Байду номын сангаас性
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一、链式法则
定理 如果函数u (t) 及v (t ) 都在t点 可
导，函数 z f (u,v) 在对应点(u,v) 具有连续偏
导数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应t点 可
解 z z u z v x u x v x
eu sin v y eu cosv 1 eu( ysinv cosv),
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v x eu cosv 1 eu( xsinv cosv).
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例 3 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶 连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz;
记
f1
f
(u,v) , u
f12
2 f (u,v) , uv
同理有 f2, f11, f22 .
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
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二、全微分形式不变性
设函数z f (u,v)具有连续偏导数，则有全微分
dz z du z dv ;当u ( x, y)、v ( x, y)
如果u ( x, y)及v ( x, y) 都在点( x, y)
具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v) 在对应
点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z
z
u
z
v
，
x u x v x
w f u f v
x
u x v x
f1 yzf2;
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2w xz
z
(
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz f2; z
f1 z
f1 u f1 v u z v z
f11 xyf12;
f2 z
f2 u f2 v u z v z
f21 xyf22;
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例 2 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ， 求全导数dz . dt
解 dz z du z dv z dt u dt v dt t vet usin t cos t et cos t et sin t cos t
et (cost sin t) cost.
别 类 似
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
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例 1 设z eu sin v ，而u xy ，v x y ， 求 z 和z . x y
u
z v
v
1u
2v,
当u 0，v 0时， 1 0， 2 0
z t
z u
u t
z v
v t
1
u t
2
v t
当t 0时， u 0，v 0
u du , t dt
v dv , t dt
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dz lim z z du z dv . dt t0 t u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
如 dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数
dz dt
称为全导数.
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上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况：z f [( x, y), ( x, y)].
导，且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
证 设 t 获得增量 t，
则 u (t t) (t), v (t t) (t);
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由于函数z f (u, v)在点(u, v)有连续偏导数
z
z u
z u dx u dy u x y
z v dx v dy v x y
z du z dv. u v
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例 4 已知exy 2z e z 0，求z 和z . x y
解 d(exy 2z ez ) 0,
u v 时，有dz z dx z dy .
x y
全微分形式不变形的实质：
无论 z是自变量u、v的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
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dz z dx z dy x y
z u
u x
z v
v x
dx
z u
u y
z v
v y
dy