第1课时 直接开平方法
一元二次方程直接开平方法的解法
练一练 1、下列解方程的过程中，正确的是（D ）
(A)x2=-2,解方程，得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3,
x1= ;74x2=
1 4
(D)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
∵ x就是2的平方根
∴x= 2
2 2 即此一元二次方程的根为： x1=
，x2=
概括总结
什么叫直接开平方法？
像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次 方程的方法叫做直接开平方法。
说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程 的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或 （x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方 根的意义求解
即x1=-1，x2=1
讨论
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么点？
如果一个一元二次方程具有（x＋h）2= k（k≥0）
的形式，那么就可以用直接开平方法求解。
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
首先将一元二次方程化为左边是含有未 知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式， 然后用平方根的概念求解
∴3-2x=±0.5
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴x1=
Hale Waihona Puke 5 4，x2=7 4
典型例题
例3.解方程(2x－1)2=(x－2)2 分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方 根，同样可以用直接开平方法求解
解：2x-1= (x 2)2
即 2x-1=±（x-2）
九年级数学上册-解一元二次方程21.2.1配方法第1课时直接开平方法教案新版新人教版
21.2 解一元二次方程21．2.1 配方法第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题．提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2＋c＝0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程,领会降次——转化的数学思想．难点通过根据平方根的意义解形如x2＝n的方程,将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、复习引入学生活动:请同学们完成下列各题．问题1:填空(1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2.解:根据完全平方公式可得:(1)16 4；(2)4 2；(3)(p2)2p2.问题2:目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x2＝9,根据平方根的意义,直接开平方得x＝±3,如果x换元为2t＋1,即(2t＋1)2＝9,能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评:回答是肯定的,把2t＋1变为上面的x,那么2t＋1＝±3即2t＋1＝3,2t＋1＝－3方程的两根为t1＝1,t2＝－2例1 解方程:(1)x2＋4x＋4＝1 (2)x2＋6x＋9＝2分析:(1)x2＋4x＋4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x＋2)2＝1.(2)由已知,得:(x＋3)2＝2直接开平方,得:x＋3＝± 2即x＋3＝2,x＋3＝－ 2所以,方程的两根x1＝－3＋2,x2＝－3－ 2解:略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m2提高到14.4 m2,求每年人均住房面积增长率．分析:设每年人均住房面积增长率为x,一年后人均住房面积就应该是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2解:设每年人均住房面积增长率为x,则:10(1＋x)2＝14.4(1＋x)2＝1.44直接开平方,得1＋x＝±1.2即1＋x＝1.2,1＋x＝－1.2所以,方程的两根是x1＝0.2＝20%,x2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2＝－2.2应舍去．所以,每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么？共同特点:把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握:由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程,那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程,那么mx＋n＝±p,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.。
【初中数学】人教版九年级上册第1课时 用直接开平方法解一元二次方程(练习题)
人教版九年级上册第1课时用直接开平方法解一元二次方程(353)1.已知关于x的方程a(x+m)2+n=0的两个根分别为x1=3，x2=6，关于x的方程a(x+m+b)2+n=0的两个根分别为x1=−1，x2=2，求b的值.2.一元二次方程(x+1)2+1=0的根的情况是（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.无实数根3.若关于x的方程x2=1−k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<1B.k<−1C.k≥1D.k>14.如图是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（）A.3或−3B.4或−2C.1或3D.275.给出一种运算：对于函数y=x n，规定y′=nx n−1．例如：若函数y=x4，则有y′=4x3．已知函数y=x3，则方程y′=12的解是（）A.x1=4，x2=−4B.x1=2，x2=−2C.x1=x2=0D.x1=2√3，x2=−2√36.定义\(\begin{vmatrix} a & b \\ c& d \end{vmatrix}\)为二阶行列式，规定它的运算法则为\(\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc\)．那么当\(\begin{vmatrix} x+1 & x-1\\ 1-x & x+1 \end{vmatrix}=6 \) 时，求x的值7.若关于x的方程a(x+m)2+n=0(a，m，n均为常数，a≠0)的解是x1=−2，x2=3，则方程a(x+m−5)2+n=0的解是（）A.x1=−2，x2=3B.x1=−7，x2=−2C.x1=3，x2=−2D.x1=3，x2=88.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，则另一个一元一次方程是.9.方程4x2−9=0的解为（）A.x=32B.x=23C.x=±32D.x=±2310.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m−4，则ba=．11.用直接开平方法解下列方程．(1)5x2−1=3;(2)5−x24=13;(3)(x+2√2)(x−2√2)=812.解一元二次方程(x−1)2=4，四名同学分别得到下列四个答案，你认为正确的一个答案是（）A.x1=2，x2=−2B.x1=1，x2=−3C.x1=3，x2=−1D.x1=3，x2=−313.若a为一元二次方程(x−√17)2=100的一个根，b为一元二次方程(y−4)2=17的一个根，且a，b都是正数，则a−b的值为14.已知一元二次方程x2−4x+1+m=5，请你选取一个适当的m值，使方程能用直接开平方法求解，并解这个方程．(1)你选的m值是；(2)解这个方程15.方程x2=9的解为（）A.x=3B.x=−3C.x=±3D.x=±916.若关于x的一元二次方程x2=−k有实数根，则（）A.k≤0B.k≥0C.k>0D.k<0参考答案1.【答案】:解：∵关于x的方程a(x+m)2+n=0的两个根分别为x1=3，x2=6，∴将方程a(x+m+b)2+n=0变形为a[(x+b)+m]2+n=0，则x+b=3或x+b=6，∴x1=3−b，x2=6−b．∵关于x的方程a(x+m+b)2+n=0的两个根分别为x1=−1，x2=2，∴x1=3−b=−1，x2=6−b=2，解得b=4.2.【答案】:D【解析】:∵(x+1)2=−1，∴方程无实数根.3.【答案】:A【解析】:由题意可得1−k>0，解得k<1.4.【答案】:B【解析】:由程序可得−3(x−1)2=−27，解得x1=4，x2=−25.【答案】:B6.【答案】:解：由题意可得\(\begin{vmatrix} x+1 & x-1\\ 1-x & x+1 \end{vmatrix}=(x+1)^2-(1-x)(x-1)=6\)，化简，得2x2=4，解得x1=√2，x2=−√2．故x的值为√2或−√27.【答案】:D【解析】:∵关于x的方程a(x+m)2+n=0的解是x1=−2，x2=3(a,m，n均为常数，a≠0)，∴将方程a(x+m−5)2+n=0变形为a[(x−5)+m]2+n=0，则此方程中x−5=−2或x−5=3，解得x 1=3，x 2=8.8.【答案】:x +6=−4【解析】:根据直接开平方法解一元二次方程，得出结果9.【答案】:C【解析】:移项，得4x 2=9.系数化为1，得x 2=94．直接开平方，得x =±32．故选C10.【答案】:4【解析】:利用直接开平方法得到x =±√b a ，得到方程的两个根互为相反数，所以m +1+2m −4=0，解得m =1，则方程的两个根分别是2与−2，则有√b a =2，然后两边平方得到b a =411(1)【答案】解：移项，得5x 2=4，系数化为1，得x 2=45，两边同时开平方，得x 1=2√55，x 2=−2√55 (2)【答案】去分母，得15−3x 2=4.移项，得3x 2=11.系数化为1，得x 2=113，两边同时开方，得x =±√333，即x 1=√333，x 2=−√333 (3)【答案】去括号，得x 2−(2√2)2=8.移项，得x 2=16.两边同时开平方，得x 1=4，x 2=−412.【答案】:C13.【答案】:6【解析】:由(x−√17)2=100，(y−4)2=17得x=±10+√17,y=±√17+4.因为a，b都是正数，所以a=10+√17,b=√17+4，所以a−b=10+√17−√17−4=614(1)【答案】答案不唯一，如8.(2)【答案】原方程可化为x2−4x+1+8=5，化简，得x2−4x+4=0，即(x−2)2=0，解得x1=x2=215.【答案】:C16.【答案】:A【解析】:∵关于x的方程x2=−k有实数根，∴−k≥0，∴k≤0.。
(完整版)直接开平方法教案
3、x+16=0;4、x=0。
（1、Xi=12,X2=—12;2、xi=3,X2=—3；3、无解负数没有平
方根；4、x=00有一个平方根，它是0本身）。
例2解方程：（x+3）2=2。
说明与分析：此例要求解出方程的根，同时通过此例的学习也为进一步 解公式法作准备。实际上，我们将用此例以及类似的题目推导出一元二 次方程的另一解法一一配方法。
［复习提问］
1、什么样的方程叫做一元一次方程？什么样的方程叫做一元二次方
程？（在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最咼次数是1,
这样的方程叫做一元一次方程；在整式方程中，只含一个未知数，并且
未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程。）
2、说明
兀一次方程与一兀二次方程的相同点和不同点？（都是整式
集体备课课时计划
第 周 星期第节年 月曰执教者:
课题
§12.2
一元二次方程的解法（1） 直接开平方法
教学
使学生掌握直接开平方法，并会解某些一元二次方程；使学生会解（x-
-a)
目标
2=b（b>0）型的方程，为进一步学习公式法作好准备。
教材
重点
掌握直接开平方法，并会解某些一兀二次方程。
分析
难点
会解（x—a）2=b（b>0）型的方程。
方程，并且都含有一个未知数，这是它们的相同点；它们的不同点是未
知数的次数，一个是一次，一个是二次。）
意
3、一兀二
【次方程的一般形式是什么？其中a应具备什么条件？（一元
见
二次方程的一般形式是：ax+bx+c=0,其中a应不等于零。因为a=0,
或
教
人教版九年级数学上用直接开平方法解一元二次方程
讨论p对方程根的影响，同学们谈谈自己的想法。
（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根；
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根：x1=x2=0；
（3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x²≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根.
互助探究2：
类比上面的方法，依据平方根的意义，思考：
课题
21.2.1配方法
第1课时用直接开平方法解一元二次方程
课型
新授课
共课时
第课时
教
学
目
标
知识与技能
理解直接开平方法解一元二次方程的依据，会用直接开平方法解简单的一元二次方程。
过程与方法
在理解平方根的基础上，探索解二次方程的方法，体会“降次”的必要性。
情感、态度、价值观
培养学生对数学知识的探索精神。
教学重点
4.如果实数a，b满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是．
5.解下列方程：
（1）x2=16（2）x2-0.81=0
（3）9x2=4（4）y2-144=0
6.解下列方程：
(1)(x-1)2=4 (2)(x+2)2=3
(3)(x-4)2-25=0
(4)(2x+3)2-5=0
(5)(2x-1)2=(3-x)2
（3）(x+6)²-9=0（4）3(x-1)²-6=0
解：整理，得解：整理，得3(x-1)²=6
(x+6)²=9.即(x-1)²=2
根据平方根的意义，得两边开平方，
x+6=±3，得x-1=
即x1=-3，x2=-9.即x1=，x2=
（5）x²-4x+4=5（6）9x²+5=1
直接开平方法解一元二次方程导学案
21.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程知识点梳理 ：解一元二次方程- - -直接开平方法形如x 2＝p 或（nx+m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程可采用 的方法解一元二次方程．◆如果方程化成x 2＝p 的形式，那么可得 ；◆如果方程能化成（nx+m ）2＝p （p ≥0）的形式，那么 ． ◎◎◎注意事项：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ①降次的实质是由一个二次方程转化为 个一元一次方程． ①方法是根据 的意义开平方．知识点训练：知识点1：解形如x 2＝p （p ≥0）的一元二次方程1．方程 12x 2﹣2＝0的根为（ ）A ．x ＝±1B ．x ＝±2C ．x ＝±√2D ．x ＝±2√22．方程9x 2﹣16＝0的根是 ． 3．解下列方程：（1）x 2﹣3＝5； （2）3x 2﹣1＝26； （3）12x 2﹣8＝0．4．已知x ＝3是一元二次方程x 2﹣p ＝0的一个根，求p 的值和方程的另一根．知识点2：解形如（nx+m ）2＝p （p ≥0）的一元二次方程5．一元二次方程（x+1）2＝4的解为 ．6．若关于x 的一元二次方程ax 2+k ＝0的一个根为1，则方程a （x ﹣1）2+k ＝0的解为 ． 7．解下列方程：（1）3（x ﹣1）2＝12； （2）2（x ﹣1）2=18． （3）14（3x+1）2＝64知识点提升训练：【●基础题●】1．如果2是方程x 2﹣c ＝0的一个根，这个方程的其他根是（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣2D ．±√22．方程（x ﹣1）2＝0的根是（ ）A ．x ＝﹣1B ．x 1＝x 2＝1C ．x 1＝x 2＝﹣1D ．x 1＝1，x 2＝﹣13．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根是m+1与2m﹣7，则m的值是．4．已知关于x的方程（x﹣1）2＝5﹣k没有实数根，那么k的取值范围是．5．已知一元二次方程mx2+n＝0（m≠0），若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（）A．n≠0B．m、n异号或n＝0C．n是m的整数倍D．m、n同号6．如图所示，在长和宽分别是a、b的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．（1）用a，b，x表示纸片剩余部分的面积；（2）当a＝6，b＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的长．【●提升题●】7．若关于x的一元二次方程a（x﹣h）2+k＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1，则关于x 的一元二次方程a（x﹣h+3）2+k＝0的解是．8．若（x2+y2﹣5）2＝64，则x2+y2等于（）A．13 B．13或﹣3 C．﹣3 D．以上都不对9．解下列方程：（1）（x﹣3）2﹣4＝0；（2）x2−8x+16=510．已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．【●拓展题●】11．对于实数a，b，定义运算“◎”如下；a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．（1）√3◎√2=．（2）若（m+2）◎（m﹣3）＝24，求m的值．。
21.2.1.1 直接开平方法(复习课件)
解：20秒
18．(8分)已知m是不等式3m＋2≥2m－2的最小整数解，
试求关于x的方程x2＋4m＝0的解．
解：∵3m＋2≥2m－2，∴m≥－4，∴不等式的最 小整数解为－4，当m＝－4时，原式为x2－16＝0
，∴x1＝4，x2＝－4
19．(12分)某工程队在实施棚户区改造过程中承包了一项 拆迁工程，原计划每天拆迁1 250 m2，因为准备工作不足， 答：该工程队第一天拆迁的面积为 1 000 m2 第一天少拆迁了 20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁 2＝1 (2)设这个百分数为 x ， 则有 1 000(1 ＋ x) 2，求： 速度，第三天拆迁了 1 440 m 440，x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)， 答：这个百分数为20% (1)该工程队第一天拆迁的面积； (2)若该工程第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天增长 的百分比相同，求这个百分数．
B ．0
10．若方程(a－2)x2＋ ax＝3 是关于 x 的一元二次方程， 则 a 的取值范围是( C ) A．a≠2 B．a≥0 D．a 为任意实数
C．a≥0 且 a≠2
11．若 2x2＋3 与 2x2－4 互为相反数，则 x 的值为( D ) 1 A .2 B． 2 C．±2 ) 1 D．±2
21.2
解一元二次方程
21.2.1 配方法 第一课时 直接开平方法
1．若方程能化成 x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p 的形式，则 ± p ． ± p 或 mx＋n＝ x＝____ ____ 2．方程(x＋n)2＝m 有解的条件是m≥0 ____．
可化为x2＝p(p≥0)型方程的解法
1．(3 分)一元二次方程 x2－4＝0 的根为( C A ．x ＝ 2 C．x1＝2，x2＝－2 D．x＝4 ) B．x＝－2 )
21.2.1配方法(第一课时)直接开平方法(人教版初中数学)
21.2.1配方法（第一课时）配方法是基本形式———直接开平方法（一）教学目标1.知识技能（1）理解一元二次方程降次的转化思想，会用直接开平方法解简单的一元二次方程.（2）会利用直接开平方法解形如x 2=p （p ≥0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n ）2=p （p ≥0）型的一元二次方程．2.过程方法通过观察思考，根据实际问题，向学生渗透知识来源于生活，获得一元二次方程的解法 “直接开平方法”.3.情感态度通过探究活动，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.（二）教学重难点1.重点：运用直接开平方法解形如（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程，领会降次转化的数学思想.2.难点：通过根据平方根的意义解形如x 2=p （p ≥0）的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解（mx+n ）2=p （p ≥0）的方程．（三）教学过程设计一、复习旧知：1.平方根的意义：2.说下列各数的平方根：9、81、0、8、1.5、916、34.3.判断下列方程是否是一元二次方程：（1）a 2−b 2=3； （2）1x +x 2=3；（3）2x 2+3=x −5； （4）3(x 2+2)=3x 2−2x +5.设计意图：课前准备二、探究新知1.探究一：出示问题1：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完了10同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设计意图：以学生身边的实际问题展开讨论，突出数学与现实的联系，培养学生自学的能力.让学生独立完成列方程的过程，对于部分学生可以给予一定帮助，鼓励同学互相帮助.解题过程：（1）审题；（2）设未知数正方体的棱长为x；（3）找等量关系，列方程：10×6×x2=1500；（4）解方程：10×6×x2=1500化简得x2=25根据平方根的意义，得x=±5既x1=5，x2=−5.检验5和-5是方程的两个根，因为棱长不能说负值，所以盒子的棱长为5cm.小结：（1）将方程转化为x2=p形式；（2）直接开平方将一元二次方转化成一元一次方程；（3）分别解这两个一元一次方程得出方程的两个解.2.探索二：（1）一元二次方程(x+3)2=5、4x2=9与x2=25的形式有何联系；（2）对比x2=25的解题过程，求解(x+3)2=5、4x2=9；（3）分析上述方程在形式和解法上的异同之处。
第1课时直接开平方法PPT课件(人教版)
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以
方程(I)无实数根.
归纳 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程 的根的方法叫直接开平方法.
典例精析
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=6； 解：（1） x2=6， 直接开平方，得
(3) 12（3－2x）2－3 = 0.
解析：第3小题先将－3移到方程的右边，再两边 都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都 除以-2即可.
解：(3)移项，得12（3-2x）2=3， 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴
5
x1= 4
，x2=
7. 4
例3 解下列方程：
1 x2 4x 4 5
解： x 22 5, x 2 5,
x 2 5, x 2 5,
方程的两根为
2 9x2＋6x＋1 4
解： 3x 12 4,
3x 1 2, 3x 1 2， 3x 1 2,
方程的两根为
x1 2 5 x2 2 5.
3. 解下列方程：
(1)x2-81＝0； 解：x1＝9, x2＝－9； (3)(x＋1)2=4 . 解：x1＝1, x2＝－3.
(2)2x2＝50； 解：x1＝5, x2＝－5；
4.（请你当小老师）下面是李昆同学解答的一道一
元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有
错，指出具体位置并帮他改正.x1来自1 3x2 1.
探讨交流
1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ 如果一个一元二次方程具有x2=p或（x＋n）2= p
(上)用直接开平方法解一元二次方程(最新)人教版九年级数学全一册课件(21张)-公开课
【名师示范课】上册 21.2.1 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程-2020 秋人教 版九年 级数学 全一册 课件(共 21张PP T)-公 开课课 件（推 荐）
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5．如果 x＝－3 是一元二次方程 ax2＝c 的一个根，那么该方程的另一个根是( A )
A．3
B．－3
C．0
D．1
6．解关于 x 的方程(x＋m)2＝n，正确的结论是( B ) A．有两个根 x＝± n－m B．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m C．当 n≥0 时，有两个根 x＝± n－m D．当 n≤0 时，无实数根
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九年级数学上册21一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法第一课时用直接开平方解一元二次
1．方程x2－64＝0解是( D)
A．x＝8
B．x＝－8
C．x＝4
D．x1＝8 ，x2＝－8
2．方程3x2＋9＝0根为( D)
A．3
B．－3
C．±3
D．无实数根
3．(滨州)以下方程中，一定有实数解是( B)
A．x2＋1＝0
B．(2x＋1)2＝0
C．(2x＋1)2＋3＝0
D．( －a)2＝a
4．方程(x＋1)2＝9解是( C)
∵一元二次方程(x－3)2＝1两个解恰好分别是等腰△ABC底边长和腰长， ∴①当底边长和腰长分别为4和2时，4＝2＋2，此时不能组成三角形； ②当底边长和腰长分别是2和4时，4＋4＞2，此时能组成三角形， ∴△ABC周长为：2＋4＋4＝10.
第8页
12．当m为何值时，方程
是关于x一元二次方程？
第9页
13．已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0，求xx－ 2＋2yy2的值． 【解】 已知：x2＋4x＋y2－6y＋13＝0， 变形得：(x2＋4x＋4)＋(y2－6y＋9)＝0， 即(x＋2)2＋(y－3)2＝0， 所以x＝－2，y＝3.
第10页
21.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
1．利用直接开平方法解一元二次方程，其依据是__平__方__根__意义，即：假 如x2＝p(p＞0)，则x1＝____，x2＝_____．
2．形如(ax＋m)2＝n(n＞0)一元二次方程，也可利用直接开平方法求
解，即：先利用平方根意义把原方程转化为两个_____一__元__一__次__方ax程＋m＝
A．x＝1或x＝－1
B．x＝3或Байду номын сангаас＝－3
C．x1＝2或x2＝－4
21.2.1第1课时用直接开平方法解一元二次方程课件
第1课时 用直接开平方法解 一元二次方程
一、教学目标
1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程． 2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法． 3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．
二、教学重难点
重点 运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次 方程．
∴原方程的根为 x1＝1＋2 5，x2＝1－2 5；
(2)原方程可化为(y－2)2＝8，直接开平方得 y－2＝±2 2， ∴原方程的根为 y1＝2＋2 2，y2＝2－2 2； (3)原方程可化为 4(3x－1)2＝9(3x＋1)2，两边开平方得 2(3x －1)＝±3(3x＋1)， ∴2(3x－1)＝3(3x＋1)或 2(3x－1)＝－3(3x＋1)，
∴x1＝－53，x2＝－115.
例3 已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的 值和另一个根． 解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，
∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2， ∴原方程为(x－3)2＝9， ∴另一个根为x＝0.
练习
1．教材P6 练习． 2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为( C )
提出问题： (1)一个正方体有几个面？若一个正方体的棱长为x dm ，则这个正方体的表面积是多少？ (2)本题中的等量关系是什么？请概括该等量关系，列 出方程； (3)你能根据平方根的意义解方程 x2＝25吗？本题中负 值为什么要舍去？
探究
对照上面解方Biblioteka （1）的过程，你认为应怎样解方程(x+3)²=5？
(1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是 如何转化为一次的？
(2)请谈谈如何降次．
八年级数学下册第17章一元二次方程17.2一元二次方程的解法第1课时直接开平方法教案新版沪科版
17.2 一元二次方程的解法第1课时直接开平方法【知识与技能】认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解.【过程与方法】培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力.【情感态度】通过两边同时开平方，将二次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知. 【教学重点】用直接开平方法解一元二次方程.【教学难点】（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法;（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解.一、创设情境，导入新课1.口答题：4 的平方根是，81的平方根是， 81的算术平方根是 .2.我们曾学习过平方根的意义及其性质，回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?学生回答：（1）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根.用式子表示：若x2＝a，则x叫做a的平方根.（2）平方根有下列性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；②零的平方根是零；③负数没有平方根.【教学说明】 以上问题让学生自主完成，教师归纳总结，重点强调正数有两个平方根，负数没有平方根.为后面的学习奠定基础.二、合作探究，探索新知1.教师设问：如何求出适合等式x 2＝4的x 的值呢?学生思考，尝试解答2.根据平方根的定义，由x 2＝4可知，x 就是4的平方根，因此x 的值为2和－2 即根据平方根的定义，得x 2＝4,x ＝±2即此一元二次方程的解为： x 1＝2，x 2 ＝-23.小结：这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.【教学说明】根据平方根的求法得到方程的解，让学生将它们对应起来，然后教师将这种方法进行总结，注意方程解的写法.4.提问：怎样解方程(x+1)2=256?让学生说出解法，教师板书.解:直接开平方，得x+1=±16所以原方程的解是x 1＝15，x 2＝－175.教师小结：对于形如x 2=a （a ≥0)或（x+h ）2=a(a ≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解.解一元二次方程的基本思想是降次，将一元二次方程转化为一元一次方程.【教学说明】 这里教师要对式子进行分析，然后类比上面的解法，进行求解，最后进行总结，用字母的式子表示，便于学生理解和记忆.三、示例讲解，掌握新知例1 解下列方程：（1）x 2＝2； （2）4x 2－1＝0.【分析】第1题直接用开平方法解；第2题可先将－1移项，再将两边同时除以4化为x 2＝a 的形式，再用直接开平方法解之.【教学说明】形如方程ax 2-k=0(a k ≥0)可变形为x 2=a k (ak ≥0)的形式，即方程左边是关于x 的一次式的平方，右边是一个非负常数，可用直接开平方法解此方程.例2 解下列方程：（1）（x ＋1）2＝2;（2）（x －1）2－4 ＝0;（3）12（3－x ）2－3 ＝0.【分析】 第1小题中只要将（x ＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样的解法；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边同除以12，再同第1小题一样去解即可.【教学说明】（1）解形如（x+h ）2=k(k ≥0)的方程时，可把（x+h ）看成整体，然后直接开平方；（2）注意对方程进行变形，方程左边变为一次式的平方，右边是非负常数；（3）如果变形后形如（x+h ）2=k 中的k 是负数，不能直接开平方，说明方程无实数根；（4）如果变形后形如(x+h)2=k 中的k ＝0这时可得方程两根相等.四、练习反馈，巩固提高1.若8x 2-16=0，则x 的值是 .2.如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是 .3.如果a 、b 为实数，满足43 a +b 2-12b+36=0，那么ab 的值是 .4.用直接开平方法解下列方程：（1）x2＝169；（2）45－x2＝0；（3）4x2-16＝0;（4）（x＋2）2－16＝0【答案】1.±2 2.9或-3 3.-8【教学说明】学生易错的是开方时应该是两种情况，学生可能只写一种，所以教师要进行强调.第2题应该先两边除以2，再进行开方求解.五、师生互动，课堂小结1.如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）.2.平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用.两边开平方实际上是二次方程由二次转化为一次，实现了由未知向已知的转化，由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径.3.一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解.【教学说明】教师引导学生自主总结，教师适当渗透相关的解题思想并进行总结，为后面的学习奠定基础.完成同步练习册中本课时的练习.一元二次方程的求解是初中数学学习中非常重要的一部分，而直接开平方法则是解一元二次方程的基础方法，它看似简单，却不容忽视.“直接开平方法解一元二次方程”是配方法解一元二次方程的基础；同时这一节的教材编写中还突出体现了“换元”、“转化”等重要的数学思想方法.因此这一节不仅是为后续学习打下坚实基础的一节课，更是让学生体验并逐步掌握相关数学思想方法的一节课.教学过程中，在合作探究过程中给学生较充分的时间进行独立思考、小组交流，让学生的思维互相启发互相碰撞，让个人智慧与集体智慧充分交融.在探究过程中适当巡视，适时指导点拨，保证各小组探究学习的有效性.同时，及时评价.对学生发现了不同解法时首先给予表扬和肯定，从而激发学生的求知欲.。
优质课教学设计《用直接开平方法解一元二次方程(第1课时)》公开课教案
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
解一元二次方程21.2.1 配方法第1课时用直接开平方法解一元二次方程【知识与技能】1.会利用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；2.初步了解形如（x+n）2=p（p≥0）方程的解法.3.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.【过程与方法】通过对实例的探究过程，体会类比、转化、降次的数学思想方法.【情感态度】在成功解决实际问题过程中，体验成功的快乐，增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】解形如x2=p(p≥0)的方程.【教学难点】把一个方程化成x2=p(p≥0)的形式.一、情境导入，初步认识问题我们知道，42=16,(-4)2=16，如果有x2=16，你知道x的值是多少吗？说说你的想法.如果3x2=18呢？【教学说明】让学生通过回顾平方根的意义初步感受利用开平方法求简单一元二次方程的思路，引入新课.教学时，教师提出问题后，让学生相互交流，在类比的基础上感受新知.解：如果x2=16，则x=±4;若3x2=18,则x=±6.二、思考探究，获取新知探究一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？思考1 设一个盒子的棱长为xdm，则它的外表面面积为，10个这种盒子的外表面面积的和为，由此你可得到方程为，你能求出它的解吗？解：6x2,10×6x2,10×6x2=1500，整理得x2=25,根据平方根的意义，得x=±5,可以验证，5和-5是原方程的两个根，因为棱长不能为负值，所以盒子的棱长为5dm,故x=5dm.【教学说明】学生通过自主探究，尝试用开平方法解决一元二次方程，体验成功的快乐.教师应关注学生的思考是否正确，是否注意到实际问题的解与对应的一元二次方程的解之间的关系，帮助学生获取新知.【归纳结论】一般地，对于方程x2=p,（Ⅰ）（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根x1=-p ,x2=p;(2)当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1=x2=0;(3)当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0,所以方程（Ⅰ）无实数根.思考2对上面题解方程（Ⅰ）的过程，你认为应该怎样解方程（x+3）2=5?学生通过比较它们与方程x2=25异同，从而获得解一元二次方程的思路.在解方程（Ⅰ）时，由方程x2=25得x=±5.由此想到：由方程（x+3）2=5,②得x+3=±5,即x+3=5或x+3=-5.③于是，方程（x+3）2=5的两个根为x1=-3+5,x2=-3-5.【教学说明】教学时，就让学生独立尝试给出解答过程，最后教师再给出规范解答，既帮助学生形成用直接开平方法解一元二次方程的方法，同时为以后学配方法作好铺垫，让学生体会到类比、转化、降次的数学思想方法.【归纳结论】上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.【教学说明】上述归纳结论应由师生共同探讨获得，教师要让学生知道解一元二次方程的实质是转化.三、典例精析，掌握新知例解下列方程：（教材第6页练习）(1)2x2-8=0; (2)9x2-5=3;(3)(x+6)2-9=0; (4)3(x-1)2-6=0;(5)x2-4x+4=5; (6)9x2+5=1.解：(1)原方程整理，得2x2=8,即x2=4,根据平方根的意义，得x=±2,即x1=2,x2=-2.（2）原方程可化为9x2=8,即x2=8/9.两边开平方，得x=±223,即x1=23,x2=-23.(3)原方程整理，得（x+6）2=9，根据平方根的意义,得x+6=±3,即x1=-3,x2=-9.（4）原方程可化为（x-1）2=2,两边开平方，得x-1=2，∴x12,x22;（5）原方程可化为（x-2）2=5,两边开平方，得x-2=5∴x1525（6）原方程可化为9x2=-4,x2=-4/9.由前面结论知，当p<0时，对任意实数x,都有x2≥0，所以这个方程无实根.【教学说明】本例可选派六位同学上黑板演算，其余同学自主探究，独立完成.教师巡视全场，发现问题及时予以纠正，帮助学生深化理解，最后师生共同给出评析，完善认知.特别要强调用直接开平方法开方时什么情况下是无实根的.四、运用新知，深化理解1.若8x2-16=0，则x的值是 .2.若方程2(x-3)2=72，那么这个一元二次方程的两根是 .3.如果实数a、b满足3a+4+b2-12b+36=0,则ab的值为 .4.解关于x的方程：(1)(x+m)2=n(n≥0);(2)2x2+4x+2=5.5.已知方程（x-2）2=m2-1的一个根是x=4,求m的值和另一个根.【教学说明】让学生独立完成，加深对本节知识的理解和掌握.五、师生互动，课堂小结教师可以向学生这样提问：(1)你学会怎样解一元二次方程了吗？有哪些步骤？(2)通过今天的学习你了解了哪些数学思想方法？与同伴交流.【教学说明】教师可引导学生提炼本节知识及方法，感受解一元二次方程的降次思想方法.1.布置作业：从教材“习题21.2”中选取.2.完成创优作业中本课时练习的“课时作业”部分.1.本课时通过创设问题情景，激发学生探索新知的欲望.2.本课时还通过回忆旧知识为新知学习作好铺垫.3.教师引导学生自主、合作、探究、验证，培养学生分析问题、解析问题的能力.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
华师版九年级数学上册第22章1 直接开平方法和因式分解法
开平方，得 x＝±3. ∴ x1＝3，x2＝－3 .
(2)2(x－3)2－50＝0.
将方程变成左边是完全平方
移项，得 2(x－3)2＝50.
的形式，右边是非负数的形 式(如果方程右边是负数，那
系数化为1，得(x－3)2＝25 . 么这个方程无实数根).
开平方，得 x－3＝±5. ∴ x1＝8，x2＝－2 .
3. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 (1)移项； (2)开平方； (3)解两个一元一次方程 .
知1－讲
知1－练
例 1 用直接开平方法解下列方程： (1)9x2－81＝0；(2)2(x－3)2－50＝0. 解题秘方：紧扣“直接开平方法”的步骤求解 .
(1)9x2－81＝0；
知1－练
解：移项，得9x2＝81. 系数化为1，得 x2＝9.
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
22.2.1 直接开平方法和 因式分解法
1 课时讲解 直接开平方法
因式分解法
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
知识点 1 直接开平方法
知1－讲
1. 定义 利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程解 的方法叫做直接开平方法 .
知1－讲
2-1. [中考·临沂]方程 x2－2x－24＝0的根是( B ) A. x1＝6，x2＝4 B. x1＝6，x2＝－4 C. x1＝－6，x2＝4 D. x1＝－6，x2＝－4
知2－练
知2－练
2-2. 如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2－5x＋4＝ 0 的两根，则这个等腰三角形的周长为( B ) A. 6 B. 9 C. 6 或 9 D. 以上都不正确
知2－讲
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21.2 解一元二次方程
21．2.1配方法
第1课时直接开平方法基础题
知识点用直接开平方法解一元二次方程
1．下列方程可用直接开平方法求解的是( )
A．9x2＝25 B．4x2－4x－3＝0
C．x2－3x＝0 D．x2－2x－1＝9
2．方程100x2－1＝0的解为( )
A．x1＝1
10，x2＝－1
10B．x1＝10，x2＝－10
C．x1＝x2＝1
10D．x1＝x2＝－1
10
3．方程2x2＋8＝0的根为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．没有实数根
4．(丽水中考)一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程
是( )
A．x－6＝4 B．x－6＝－4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
5．(鞍山中考)已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个实数根
6．一元二次方程ax2－b＝0(a≠0)有解，则必须满足( )
A．a、b同号B．b是a的整数倍
C．b＝0 D．a、b同号或b＝0
7．对形如(x＋m)2＝n的方程，下列说法正确的是( )
A．用直接开平方得x＝－m±n
B．用直接开平方得x＝－n±m
C．当n≥0时，直接开平方得x＝－m±n
D．当n≥0时，直接开平方得x＝－n±m
8．对于方程x2＝p.(1)当p>0时，方程有__________的实数根，x1＝________，x2＝________；(2)当p＝0时，方程有________的实数根，x1＝x2＝________；(3)当p<0时，方程__________．
9．(镇江中考)关于x的一元二次方程x2＋a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是________．
10．完成下面的解题过程：
(1)解方程：2x2－8＝0；
解：原方程化成________．
开平方，得________．
则x1＝________，x2＝________；
(2)解方程：3(x －1)2－6＝0.
解：原方程化成____________．
开平方，得____________．
则x 1＝__________，x 2＝__________．
11．用直接开平方法解下列方程：
(1)x 2－25＝0; (2)4x 2＝1；
(3)3(x ＋1)2＝13； (4)(3x ＋2)2＝25.
中档题
12．若a 为方程(x －17)2＝100的一根，b 为方程(y －4)2＝17的一根，且a ，b 都是正数，则a －b 的值为(
) A ．5 B ．6 C.83 D ．10－17
13．(枣庄中考)x 1，x 2是一元二次方程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( )
A ．x 1小于－1，x 2大于3
B ．x 1小于－2，x 2大于3
C ．x 1，x 2在－1和3之间
D ．x 1，x 2都小于3
14．(内江中考)若关于x 的方程m(x ＋h)2＋k ＝0(m 、h 、k 均为常数，m ≠
0)的解是x 1＝－3，x 2＝2，则方程m(x ＋h －3)2＋k ＝0的解是( )
A ．x 1＝－6，x 2＝－1
B ．x 1＝0，x 2＝5
C ．x 1＝－3，x 2＝5
D ．x 1＝－6，x 2＝2
15.(济宁中考)若一元二次方程ax 2＝b(ab>0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a ＝________．
16．若2(x 2＋3)的值与3(1－x 2)的值互为相反数，则代数式3＋x x2的值为________．
17．(台湾中考)若一元二次方程a(x －b)2＝7的两根为12±1
27，其中a ，b 为两数，则a ＋b 的值为________．
18．用直接开平方法解下列方程：
(1)(2x －3)2－1
4＝0；
(2)4(x－2)2－36＝0；
(3)x2＋6x＋9＝7；
(4)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.
19．已知方程(x－1)2＝k2＋2的一个根是x＝3，求k的值和另一个根．
20．在实数的范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则求方程(x＋2)*5＝0的解．
综合题
21．如图所示，在长和宽分别是m、n的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x的正方形．
(1)用m，n，x表示纸片剩余部分的面积；
(2)当m＝12，n＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．
参考答案
基础题
1.A
2.A
3.D
4.D
5.C
6.D
7.C
8.两个不相等 －p p 两个相等 0 无实数根
9.a ＞0
10.(1)x 2＝4 x ＝±2 2 －2 (2)(x －1)2＝2 x －1＝±2 1＋ 2 1－ 2
11.(1)x 1＝5，x 2＝－5.(2)x 1＝12，x 2＝－12.(3)x 1＝－23，x 2＝－43.(4)x 1＝1，x 2＝－73
. 中档题
12.B 13.A 14.B 15.23或0 16.4 17.92
18.(1)移项，得(2x －3)2＝14.∴2x －3＝±12.∴x 1＝74，x 2＝54
. (2)移项，得4(x －2)2＝36.∴(x －2)2＝9.∴x －2＝±3.∴x 1＝5，x 2＝－1.
(3)写成平方的形式，得(x ＋3)2＝7.∴x ＋3＝±7.∴x 1＝－3＋7，x 2＝－3－7.
(4)移项，得4(3x －1)2＝9(3x ＋1)2，即[2(3x －1)]2＝[3(3x ＋1)]2.∴
2(3x －1)＝±3(3x ＋1)，即2(3x －1)＝3(3x ＋1)或2(3x －1)＝－3(3x ＋1)．∴3x ＋5＝0或15x ＋1＝0.∴x 1＝－53
，x 2＝－115
. 19..把x ＝3代入方程得k 的值为±2，再把k ＝±2代入方程得另一个根为－1.
综合题
20.由题意可得(x ＋2)2－52＝0，∴x 1＝－7，x 2＝3.
21.(1)mn －4x 2.(2)根据题意得mn －4x 2＝4x 2，将m ＝12，n ＝4代入上式，得x 2＝6.解得x 1＝6，x 2＝－6(舍去)． 答：正方形的边长为 6.。