16.第十三讲 非平稳时间序列解析

问题3：伪回归
随机性趋势会使两个没有相关关系的时间序列 呈现出相关性，这个问题称为伪回归。
1965---1981 1982---2004
这个矛盾结论的来源是两个序列都含有随机 性趋势。这两个趋势碰巧在1965-1981年间 保持一致，但在1982-2009年期间却没有。 事实上，也不存在令人信服的经济或政治理 由相信这两个序列中的趋势是相关的。简言 之，这些回归是虚假的。
建立含随机性趋势的经济时间序列模型要
比建立含确定性趋势的时间序列模型更为恰当。 因为经济是一个很复杂的东西，很难调和确定 性趋势暗含的可预测性和面临的复杂因素和意 外。但这些变动同样也是复杂经济力量的结果， 由于这些力量的变化不可预测，因此通常认为 这些趋势中存在着较大的不可测或随机成分。
我们提到时间序列数据中的“趋势”时，除 非特别指出，一般我们指随机性趋势。
时间序列回归
平稳性时间序列的条件
平稳时间序列的期望、方差、自协方差、自相关系数 等数字特征均不随时间推移而改变。
E(Yt) E(Yt s) Y
Var(Yt) Var(Yt s) 2
COV (Yt,Yt s) E[(Yt Y)(Yt s Y)] s
(3)随机性趋势带来的风险的极端例子是包含 有随机性趋势的两个独立序列会以较高的概率 错误地呈现出相关关系，即所谓的伪回归。
问题1：偏向于零的自回归系数
自回归系数向左偏向于0。假设对于AR(1)：
Yt 0 1Yt 1 ut
其真实值为β1=1。然而，OLS 估计出的β1 却不是
随机游走的例子： use random,clear tsset t reg r1 L.r1 line r1 t
一般来说，对Y取一阶差分（first difference）: Yt=Yt-Yt-1=t
由于t是一个白噪声，则差分后序列是平稳的。
后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的， 它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
渐近正态分布，甚至不是对称分布，即使是在大样 本下，而是向左偏向于0。这是因为，由于{Yt} 不 是平稳序列，中心极限定理不再适用。
问题2：t统计量的非正态分布
若回归变量中包含随机性趋势，则常用的OLS t统计量在原假设成立时即使在大样本下也服 从非正态分布。这意味着常用的置信区间是不 正确的，也不能像往常一样进行假设检验。由 于这个t统计量的分布依赖于有问题的回归变 量和其他回归变量之间的关系，因此一般无法 列表给出其分布。
随机游走表明：明天的取值的最佳预测为今天的取 值。
带漂移的随机游走
随机游走是非平稳的
证明一：
Var(ut) 0
证明二：假设Y0=0 Y1=Y0+u1=u1 Y2=Y1+u2=u1+u2 Yt=u1+u2+…+ut
Var(Yt) Var(u1 u2 ... ut) t u2
• 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回 归AR(1)过程的特例
Yt=ßYt-1+t
不难验证:
1。 |ß|<1，平稳。
2。 |ß|=1，是一个随机游走过程，不平稳。
3。 |ß|>1，不平稳。该随机过程生成的时 间序列是发散的，表现为持续上升(>1)或持 续下降(<-1)，因此是非平稳的；
非平稳时间序列
非平稳时间序列：常规假设检验、置信区间、 预测均失效。
非平稳时间序列的两个例子：
1. 趋势 2. 突变
一个平稳的时间序列在图形上往往表现出 一种围绕其均值不断波动的过程；
而非平稳序列则往往表现出在不同的时间 段具有不同的均值（如持续上升或持续下 降）。
什么是趋势
趋势(trend)是指变量随时间持续长期的运动。
Yt 1LYt 2L2Yt L pLpYt ut
(1 1L 2L2 L pLp )Yt ut
定义特征多项式为Φ(L)：
(L) 1 1L 2L2 L pLp
AR(p)为平稳序列的条件是：
(L) 1 1L 2L2 L pLp 0
随机性趋势、自回归模型和单位根
对于AR(1)来说，时间序列平稳的条件 是|β1| <1。 对于AR(p)来说，需要引入滞后算子： 定义一阶滞后算子L为：
Lxt = xt -1 k阶滞后算子定义为
Lkxt = xt - k
由于常数项与是否平稳无关，因此，原方程可 以写为：
Yt 1Yt 1 2Yt 2 L pYp 1 ut
时间趋势中有确定性和随机性两种类型的趋势。其中确 定性趋势是时间的非随机函数。例如，确定性趋势为时 间的线性函数，若通货膨胀中有每季度上升0. 1个百分 点的确定性时间趋势，则该趋势可表为0.1t，其中t表示 季度。
随机性趋势是随机的且随时间变化的趋势。
例如通货膨胀中的随机性趋势显示出较长时间 的下降之后伴随着较长时间的上升。
的所有根的绝对值都大于1。
例如：
随机性趋势带来的问题
若回归变量中包含随机性趋势(有单位根)，则 其系数的OLS估计量及其OLS t统计量即使在 大样本下也不服从标准(即非正态)分布。
(1)当AR(1)中的自回归系数真值为1时其估 计量偏向于0；
(2)包含随机性趋势的回归变量系数的t统计量 即使在大样本下也服从非正态分布；
趋势的随机游走模型
AR(1) 为平稳时间序列的条件是： |β1| <1
其中ut是一个简单的随Hale Waihona Puke Baidu时间序列：具有零 均值同方差的独立分布序列：
t~i.i.d
ut被称为是一个白噪声（white noise）。 由于ut具有相同的均值与方差，且协方
差为零，白噪声序列ut是平稳的。
随机游走的基本思想是序列明天的取值就是它今天的 取值再加上一个不可测变化，因为Yt前进的路径是由 随机项ut组成的，所以这一路径为一个“随机游走”。
Yt 1Yt 1 2Yt 2 L pYp 1 ut
LYt Yt 1 L2Yt Yt 2 LpYt Yt p
Yt 1Yt 1 2Yt 2 L pYp 1 ut
LYt Yt 1 L2Yt Yt 2 将滞后算子带入到方程，得： LpYt Yt p