第三讲 导数(中值定理部分)

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第三章中值定理与导数的应用课件

第三章中值定理与导数的应用课件
那么在(a,b)内至少有一点 使等式
f (b) f (a) f ' ( ) 成立 F (b) F (a) F ' ( )
例1:验证罗尔定理对函数y ln sin x在区间
[
6
,
5
6
]的正确性
解:y ln sin x在[ , 5 ]上连续
66
y ln sin x在( , 5 )上可导
66
lim 2 cos3x 3 1 x0 3 cos2x 2
例6:求
lim
x
xn ex
(n 0, 0)
解:lim xn lim n xn1 lim n (n 1) xn2
e e x x x
x x
2 ex
lim n! 0
x n ex
例7:求 lim x sin x
且f ( ) ln 1 f (5 )
6
2
6

y'
c os x
ctgx

0
x
(
, 5 )sin x源自2 662罗尔定理正确
例2:证明arctgx arcctgx
2
证 : (arctgx arcctgx)' 1 1 0 1 x2 1 x2
arctgx arcctgx c
取x 1 c c
若f (x)是一般的函数,且它存在直到n 1 阶的导数,那么
n
f (x)
f (k) (a) (xa)k ?
k 0 k!
泰勒(Taylor)中值定理
泰勒(Taylor)中值定理 如果函数 f ( x)在含有 x0 的某个开区间(a, b)内具有直到(n 1)阶的导数,则
当 x在(a, b)内时, f ( x)可以表示为( x x0 )的一个

中值定理与导数的应用(高等数学)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

中值定理与导数的应用(高等数学)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
函数旳极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值旳点称为极值点.
定义 使导数为零的点(即方程f ( x) 0的实根)叫 做函数f ( x)的驻点.
定理(必要条件) 设 f ( x) 在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
注意:可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻 点, 但函数的驻点却不一定 是极值点.
2、罗必塔法则
(1). 0 型及 型未定式 0
定义 这种在一定条件下经过分子分母分别求导再 求极限来拟定未定式旳值旳措施称为罗必塔法则.
(2). 0 , , 00,1 , 0型未定式
关键:将其他类型未定式化为罗必塔法则可处理 旳类型 ( 0 ), ( ) .
0
定理 设(1)当x 0时,函数 f ( x) 及 F ( x) 都趋于零; (2) 在 a 点的某领域内(点 a 本身可以除外 ), f ( x) 及 F ( x) 都存在且 F ( x) 0; (3) lim f ( x) 存在(或为无穷大);
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内F(x) 0
至少存在一点
(a,b) , 使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
注意:若令F(x)=x,则柯西中值定理变为拉氏中值 定理,即拉
0
原式
lim
x
1
1
x 1 x2
2
lim
x
1
x
2
x
2
1.
例8

lim
x0
tan x x2 tan
x x
.

导数的中值定理

导数的中值定理

导数的中值定理
1 关于微分中值定理
微分中值(Differential midpoint)定理是数学中众多微分定理
中的一种,源于牛顿微分法,是一种求出微分值的方法。

简单地说,
微分中值定理就是一种计算某函数在某点的切线斜率的方法,也就是
求取函数的导数的值。

2 微分中值定理的原理
用微分中值定理可以求出函数的导数值,一般来说,根据微分中
值定理,可以计算一元函数在点`x=a`的导数值的大致近似值,即可以
得到公式`f'(a)≈(f(a+h)-f(a-h))/2h`。

简单来说,就是求取函数在
某个点处的导数,可以通过在该点处用微小量h去修正函数值,再计
算出新函数值后开始计算导数值,从而求得该函数在此处的导数值。

3 微分中值定理的应用
微分中值定理用于求解函数极值点、函数曲线方向、计算曲线元
素等,它又称作牛顿法,可以得到函数在某个点的切线斜率,就是求
函数的导数的一种方法,且很多时候也得到了理想的结果,因此,在
求函数非数值解的时候也有很好的应用。

4 微分中值定理的缺点
微分中值定理的缺点是该定理的不稳定性,比较小的误差就可能
引起它的结果发生改变,在使用时需要注意,尤其是在计算微分式时。

此外,在某些常用算法上,该定理给出的结果也并不准确,所以还是需要对函数进行详细分析,才能得到准确的结果。

第三章 中值定理与导数的应用

第三章 中值定理与导数的应用
第3章 中值定理与导数的应用
第一节第三节 函数单调性的判别法
第四节
函数的极值及其求法
2019/10/10
第五节 函数的最大值与最小值
第六节 曲线的凹凸性与拐点
第七节
函数图形的描绘
第一节 中值定理
微分学中有三个中值定理应用非常广泛,它们 分别是罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定 理.
从上述拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系,自 然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.但在拉 格朗日中值定理中,函数f(x)不一定具备f(a)=f(b)这个 条件,为此我们设想构造一个与f(x)有密切联系的函数 φ(x)(称为辅助函数),使φ(x)满足条件φ(a)=φ(b).然后对 φ(x)应用罗尔定理,再把对φ(x)所得的结论转化到f(x) 上,证得所要的结果.
一、0/0型未定式
第三节 函数单调性的判定法
如图3-4所示,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上 单调增加,那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线 ,这时,曲线上各点切线的倾斜角都是锐角,它们的 切线斜率f′(x)都是正的,即f′(x)>0.同样地,如图3-5所 示,如果函数y=f(x)在[a,b]上单调减少,那么它的 图像是一条沿x轴正向下降的曲线,这时曲线上各点切 线的倾斜角都是钝角, 它们的斜率f′(x)都是负的,即 f′(x)<0.由此可见,函数的单调性与导数的符号有着密 切的联系.下面,我们给出利用导数判定函数单调性的 定理.
根据上面三个定理,如果函数f(x)在所讨论的区间内各点处 都具有导数,我们就以下列步骤来求函数f(x)的极值点和 极值:
(1) 求出函数f(x)的定义域;
(2) 求出函数f(x)的导数f′(x);
(3) 求出f(x)的全部驻点(即求出方程f′(x)=0在所讨论的区 间内的全部实根)以及一阶导数不存在的点;

第三章 中值定理与导数的应用(1-6节)

第三章 中值定理与导数的应用(1-6节)
3
证明:不妨设
证毕
4
二、罗尔定理( R - Th)
若f ( x)满足
1在a,b上连续
2在a,b内可导 3 f a f b 则至少一点 a,b f 0
5
R-Th 的几何意义:
y
A
B
0
x
6
证:∵ f (x) 在 闭区间[ a, b ]上连续, ∴f (x)在[ a, b ]上必有最大值M及最小值m, 有两种情况: (1) M = m ; (2) M > m . (1) 若 M = m , 则 m = f (x) = M ,
且a b 0
由R Th至少一点 a,b,使 0

f
f F
b b

f F
a a
F



0
36
注 : 在C Th中令F( x) x即为L Th, 可见C Th是L Th的推广, 或L Th是C Th的一个特例.
其逆命题成立
若f ( x)在(a, b)上恒为常数,则f ( x) 0
19
推论2 若 f ( x) 和 g( x) 在区间I 上有 f ( x) g( x) 则 f (x)与 g(x) 在 I上相差一个常数
证:令F( x) f ( x) g( x) F ( x) 0 由推论1 F( x) C 即 f ( x) g( x) C
第三章 微分中值定理与导数的应用
1
罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 统称微分学中值定理,它们在理论上和应用上都有 着重大意义,尤其是拉格朗日中值定理,它刻划了 函数在整个区间上的变化与导数概念的局部性之间 的联系,是研究函数性质的理论依据。

中值定理导数的应用知识点

中值定理导数的应用知识点
第三章中值定理与导数的应用
一、四个中值定理பைடு நூலகம்关系
推 广 推 广
罗 拉格朗日定理 柯
尔 特例 推 特例 特例 西
定 广 定
理 理
泰勒定理
二、微分中值定理
名称
条件
结论
罗尔定理
在 内存在
使得
拉格朗日定理
在 内存在
使得
推论1
在定理条件下,若
则 ( 为常数)
推论2
若 都满足定理条件,


( 为常数)
柯西定理

、 在 内存在
使得
三、洛比达法则
类型
条件
结论


1若 时, (或 );
2在 内, 和 都存在,且
③ (有限或 )( 可以是 )
四、其他不定型转化为 或
不定型
转 化 过 程.
;或
五、泰勒公式
分 类
定 理
泰勒公式
设 在含有 的某开区间 内具有直到 阶的导数,则 其中 。
麦克劳林公式
六、可导函数单调性的判定
若 ,又 存在,则
是 的一条斜渐近线
九、弧微分
1. 时,
2. 时,
3. 时,
定理(判别法)
设 ,在 内可导,则
① 上单调递增
② 上单调递减
七、曲线凹凸性的判定定理
定理
补充说明
设 , 在 上存在, 为凹弧
设 , 上可导, 为凹弧 在 内上升。
曲线为凹弧 切线斜率
单调递增
八、曲线的渐近线
铅直渐近线
若 或 ,则 是
的铅直渐近线( 可以是 )
水平渐近线
若 或 ,则 是
的水平渐近线
斜渐近线

最新中值定理与导数的应用20728

最新中值定理与导数的应用20728

中值定理与导数的应用20728第三章中值定理与导数的应用§3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义,并且在x0处可导,如果对任意x∈U(x0),有f(x)≤f(x0) (或f(x)≥f(x0)),那么f'(x0)=0.罗尔定理如果函数«Skip Record If...»满足:(1)在闭区间«Skip Record If...»上连续,(2)在开区间«Skip Record If...»内可导,(3)在区间端点处的函数值相等,即«Skip Record If...»,那么在«Skip Record If...»内至少在一点«Skip Record If...»,使得函数«Skip Record If...»在该点的导数等于零,即«Skip Record If...».例:设函数«Skip Record If...»在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,«Skip Record If...»,证明:在(0,1)内存在«Skip Record If...»,使得«Skip RecordIf...».【分析】本题的难点是构造辅助函数,可如下分析:«Skip Record If...»【证明】令«Skip Record If...»,则«Skip Record If...»在[0,1]上连续,在(0,1)上可导,且«Skip Record If...»,«Skip Record If...»由罗尔中值定理知,存在«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...».即«Skip Record If...»仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除谢谢17例:设函数f(x), g(x)在[a, b]上连续,在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值,f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明:存在«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»【分析】需要证明的结论与导数有关,自然联想到用微分中值定理,事实上,若令«Skip Record If...»,则问题转化为证明«Skip Record If...», 只需对«Skip Record If...»用罗尔定理,关键是找到«Skip Record If...»的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点),而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点«Skip Record If...»,使得«Skip Record If...»,则在区间«Skip Record If...»上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点,再对«Skip Record If...»用罗尔定理即可。

第三章中值定理与导数的应用-PPT精选

第三章中值定理与导数的应用-PPT精选

推论
设f(x)在[a,b]上连续, (a,b在 )内可.导 (1)若x0[a,b)且x lixm0 f'(x)A(A为有限数 ) 或
则f'(x0)x lixm0 f'(x)
(2) 若x0(a,b]且x lixm 0 f'(x)A(A为 有 限 )数 则f'(x0)x lixm 0f'(x)
证(1) f'(x 0) lx i0 m f(x 0 x x )f(x 0)
x 0时, f'(0)x l i0m f'(x)xl im0 2x 0 f'(0)x l i0m f'(x)x l i0 m (s ixn xcox)s 0
f '(0)0
2x,
x0
f'(x)0,
x0
sinxxcoxs,x0
定理 如果函 f(x)数 在区 I上 间的导数 , 恒
那末 f(x)在区 I上 间是一.个常数
至 少 存 在 一个(数 0,1) 使 得
f(b) f(a) f[a(ba)](ba)
由于 (a,b), 0 a ba
从而 0 a 1 记 a 则 a(ba)
ba
ba
这样,拉格郎日公式可表示为
f ( b ) f ( a ) f ' [ a ( b a )b ] a ) ((,01)
y
y x
在( 2,2)内找不到
一点 使 f () 0
x
2
o
2
(3) f(x)ex2,x[1,4]
y
y ex2
o1
x
4
f(1)f(4),不满足条件(3)
(4) f(x)2xx21, 6x4,012xx123

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用讲义

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用讲义

第三章 微分中值定理与导数的应用讲义【考试要求】1.掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理并了解它们的几何意义. 2.熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“/∞∞”、“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“0∞”型未定式极限的方法.3.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法,会利用函数的增减性证明简单的不等式.4.理解函数极值的概念,掌握求函数的极值和最值(最大值和最小值)的方法,并且会解简单的应用问题.5.会判定曲线的凹凸性,会求曲线的拐点. 6.会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线.【考试内容】一、微分中值定理1.罗尔定理如果函数()yf x =满足下述的三个条件:(1)在闭区间[,]a b 上连续; (2)在开区间(,)a b 内可导; (3)在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =,那么在(,)a b 内至少有一点ξ(ab ξ<<),使得()0f ξ'=.说明:通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点,临界点),即若0()0f x '=,则称点0x 为函数()f x 的驻点.2.拉格朗日中值定理如果函数()yf x =满足下述的两个条件:(1)在闭区间[,]a b 上连续; (2)在开区间(,)a b 内可导, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(ab ξ<<),使得下式(拉格朗日中值公式)成立: ()()()()f b f a f b a ξ'-=-.说明:当()()f b f a =时,上式的左端为零,右端式()b a -不为零,则只能()0f ξ'=,这就说明罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.此外,由于拉格朗日中值定理在微分学中占有重要的地位,因此有时也称这定理为微分中值定理.3.两个重要推论(1)如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零,那么()f x 在区间I 上是一个常数.证:在区间I 上任取两点1x 、2x (假定12x x <,12x x >同样可证),应用拉格朗日中值公式可得2121()()()()f x f x f x x ξ'-=- (12x x ξ<<). 由假定,()0f ξ'=,所以 21()()0f x f x -=,即 21()()f x f x =.因为1x 、2x 是I 上任意两点,所以上式表明()f x 在区间I 上的函数值总是相等的,即()f x 在区间I 上是一个常数.(2)如果函数()f x 与()g x 在区间(,)a b 内的导数恒有()()f x g x ''=,则这两个函数在(,)a b 内至多相差一个常数,即()()f x g x C -=(C 为常数). 证:设()()()F x f x g x =-,则()[()()]()()0F x f x g x f x g x ''''=-=-=,根据上面的推论(1)可得,()F x C =,即()()f x g x C -=,故()()f x g x C -=.二、洛必达法则1.x a →时“0”型未定式的洛必达法则如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件:(1)当x a →时,函数()f x 及()F x 都趋于零;(2)在点a 的某个去心邻域内()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠;(3)()lim ()x a f x F x →''存在(或为无穷大),那么()()limlim()()x ax a f x f x F x F x →→'='. 说明:这就是说,当()lim ()x a f x F x →''存在时,()lim ()x a f x F x →也存在且等于()lim ()x a f x F x →'';当()lim()x af x F x →''为无穷大时,()lim ()x a f x F x →也是无穷大.2.x →∞时“”型未定式的洛必达法则 如果函数()f x 及()F x 满足下述的三个条件:(1)当x →∞时,函数()f x 及()F x 都趋于零;(2)当x X >时()f x '及()F x '都存在且()0F x '≠;(3)()lim ()x f x F x →∞''存在(或为无穷大),那么 ()()lim lim()()x x f x f x F x F x →∞→∞'='. 说明:我们指出,对于xa →或x →∞时的未定式“∞∞”,也有相应的洛必达法则. 3.使用洛必达法则求“00”型或“∞∞”型极限时的注意事项(1)使用洛必达法则之前要先判断所求极限是不是“00”型或“∞∞”型,如果不是则不能使用洛必达法则.例如:2sin lim x xx π→就不能运用洛必达法则,直接代入求极限即可,故2sinsin 22lim 2x x x ππππ→==.(2)洛必达法则可多次连续使用,也就是说,如果使用一次洛必达法则后算式仍然是“00”型或“∞∞”型,则可再次使用洛必达法则,依此类推.(3)洛必达法则是求“00”型或“∞∞”型未定式极限的一种有效方法,但最好能与其他求极限的方法结合使用,例如能化简时应尽可能先化简,可以应用等价无穷小替代或重要极限时,应尽可能应用,这样可以使运算简便.例如:求20tan lim tan x x xx x→-时,可先用~tan x x进行无穷小的等价替换,然后再用洛必达法则,故2223220000tan tan sec 1tan 1lim lim lim lim tan 333x x x x x x x x x x x x x x x →→→→---====. (4)如果求极限的式子中含有非零因子,则可以对该非零因子单独求极限(即可以先求出这部分的极限),然后再利用洛必达法则,以便简化运算.例如:求0lnsin 2limlnsin3x xx+→时,0000lnsin 2sin3cos 222sin323lim lim lim lim 1lnsin3sin 2cos333sin 232x x x x x x x x x x x x x x++++→→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅,从第二步到第三步的过程中,分子上的因子cos2x 和分母上的因子cos3x 当0x +→时极限均为1,故可先求出这两部分的极限以便化简运算.(5)当洛必达法则的条件不满足时,所求极限不一定不存在,也即是说,当()lim ()f x F x ''不存在时(等于无穷大的情况除外),()lim ()f x F x 仍可能存在.例如:极限sin lim x x xx→∞+,(sin )1cos lim lim lim(1cos )1x x x x x xx x →∞→∞→∞'++==+' 极限是不存在的,但是原极限是存在的,sin sin sin limlim(1)1lim 101x x x x x x xx x x→∞→∞→∞+=+=+=+=.4.其他类型的未定式除了“00”型或“∞∞”型未定式之外,还有其他类型的未定式,如“0⋅∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”及“0∞”型等.对于“0⋅∞”和“∞-∞”型的未定式,处理方法为将它们直接转化成“00”或“∞∞”型;对于“1∞”、“00”及“0∞”型的未定式,处理方法为先取对数将它们转化成“0⋅∞”型,然后再转化成“00”型或“∞∞”型未定式. 三、函数单调性的判定法1.单调性判定法设函数()yf x =在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,(1)如果在(,)a b 内()0f x '>,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调增加; (2)如果在(,)a b 内()0f x '<,那么函数()y f x =在[,]a b 上单调减少.说明:① 如果把这个判定法中的闭区间改为其他各种区间(包括无穷区间),结论也成立; ② 若判定法中()f x '在(,)a b 内只有有限个点上()0f x '=,而在其余点上恒有()0f x '>(或()0f x '<),则函数()f x 在区间[,]a b 上仍然是单调增加(或单调减少)的.2.单调区间的求法设函数()f x 在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,则求函数()f x 的单调性的步骤如下:(1)求出函数()f x 的定义域;(2)求出函数()f x 的导数()f x ',并令()0f x '=求出函数的驻点;此外,再找出导数不存在的点(一般是使得()f x '分母为零的点); (3)用函数()f x 的所有驻点和导数不存在的点来划分函数的定义区间,然后用单调性判定定理逐个判定各个部分区间的单调性.3.用单调性证明不等式函数()f x 的单调性还可以用来证明不等式,步骤如下:(1)将不等式的一边变为零,不等于零的一边设为()f x ,根据要证明的式子找出不等式成立的x 的范围I ; (2)求()f x 的导数()f x ',判断()f x '在上述I 范围内的符号(即正负); (3)根据范围I 的边界值与()f x '的情况,导出所需要证明的不等式即可.例如:试证明当1x>时,13x>-. 证明:原不等式即为13x -+,故令1()3f x x=-+,0x >,则2211()(1)f x xx '=-=- ,()f x 在[1,)+∞上连续,在(1,)+∞内()0f x '>,因此在[1,)+∞上()f x 单调增加,从而当1x >时,()(1)f x f >,又由于(1)0f =,故()0f x >,即130x -+>,亦即13x>-.四、函数的凹凸性与拐点1.函数凹凸性的定义设函数()f x 在区间I 上连续,如果对I 上任意两点1x 、2x ,恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭,那么称()f x 在I 上的图形是(向上)凹的(或凹弧);如果恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭,那么称()f x 在I 上的图形是(向上)凸的(或凸弧).如果函数()f x 在I 内具有二阶导数,那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性,如下所示.2.函数凹凸性的判定法设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,在(,)a b 内具有一阶和二阶导数,那么(1)若在(,)a b 内()0f x ''>,则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的; (2)若在(,)a b 内()0f x ''<,则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的.说明:若在(,)a b 内除有限个点上()0f x ''=外,其它点上均有()0f x ''>(或()0f x ''<),则同样可以判定曲线()y f x =在[,]a b 上为凹曲线(或凸曲线). 3.曲线的拐点的求法一般地,设()y f x =在区间I 上连续,0x 是I 的内点(除端点外I 内的点).如果曲线()y f x =在经过点00(,())x f x 时,曲线的凹凸性改变了,那么就称点00(,())x f x 为这曲线的拐点.我们可以按照下述步骤求区间I 上的连续函数()y f x =的拐点:(1)求()f x ''; (2)令()0f x ''=,解出这方程在区间I 内的实根,并求出在区间I 内()f x ''不存在的点;(3)对于(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点0x ,检查()f x ''在0x 左、右两侧邻近的符号,当两侧的符号相反时,点00(,())x f x 是拐点,当两侧的符号相同时,点00(,())x f x 不是拐点.在[,]a b 上单3.基本初等函数的微分公式说明:若要求函数()y f x =的凹凸区间,则用(2)中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点把区间I分成若干部分区间,然后在这些部分区间上判定()f x ''的符号,若()0f x ''>,则该部分区间为凹区间,若()0f x ''<,则该部分区间为凸区间.五、函数的极值与最值1.函数极值的定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义,如果对于去心邻域0()U x 内任一x ,有0()()f x f x <(或0()()f x f x >),那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值(或极小值).函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点. 说明:函数的极大值与极小值概念是局部性的,如果0()f x 是函数()f x 的一个极大值,那只是就0x 附近的一个局部范围来说,0()f x 是()f x 的一个最大值,如果就()f x 的整个定义域来说,0()f x 不见得是最大值.关于极小值也类似.2.函数取得极值的必要条件设函数()f x 在0x 处可导,且在0x 处取得极值,那么0()0f x '=.说明:这也就是说,可导函数()f x 的极值点必定是它的驻点.但反过来,函数的驻点却不一定是极值点.例如,3()f x x =的导数2()3f x x '=,(0)0f '=,因此0x =是这函数的驻点,但0x=却不是这函数的极值点,所以,函数的驻点只是可能的极值点.此外,函数在它的导数不存在的点处也可能取得极值.例如,函数()f x x =在点0x =处不可导,但函数在该点取得极小值.3.判定极值的第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续,且在0x 的某去心邻域0()U x 内可导.(1)若00(,)x x x δ∈-时,()0f x '>,而00(,)x x x δ∈+时,()0f x '<,则()f x 在0x 处取得极大值;(2)若00(,)x x x δ∈-时,()0f x '<,而00(,)x x x δ∈+时,()0f x '>,则()f x 在0x 处取得极小值;(3)若0(,)x U x δ∈时,()f x '的符号保持不变,则()f x 在0x 处没有极值.4.用第一充分条件求极值点和极值的步骤设函数()f x 在所讨论的区间内连续,除个别点外处处可导,则用第一充分条件求极值点和相应的极值的步骤如下: (1)求出导数()f x ';(2)求出()f x 的全部驻点与不可导点;(3)考查()f x '的符号在每个驻点或不可导点的左右邻近的情形,以确定该点是否为极值点;如果是极值点,进一步确定是极大值点还是极小值点; (4)求出各极值点的函数值,就得函数()f x 的全部极值.5.判定极值的第二充分条件设函数()f x 在0x 处具有二阶导数且0()0f x '=,0()0f x ''≠,那么(1)当0()0f x ''<时,函数()f x 在0x 处取得极大值; (2)当0()0f x ''>时,函数()f x 在0x 处取得极小值.说明:该极值判定条件表明,如果函数()f x 在驻点0x 处的二阶导数0()0f x ''≠,那么该驻点0x 一定是极值点,并且可按二阶导数0()f x ''的符号来判定0()f x 是极大值还是极小值.但如果0()0f x ''=,则该判定条件失效.事实上,当0()0f x '=,0()0f x ''=时,()fx 在0x 处可能有极大值,可能有极小值,也可能没有极值.例如,41()f x x =-,42()f x x =,33()f x x =这三个函数在0x =处就分别属于上述三种情况.因此,如果函数在驻点处的二阶导数为零,那么还得用一阶导数在驻点左右邻近的符号来判定.6.求()f x 在区间[,]a b 上的最值的步骤设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内除有限个点外可导,且至多有有限个驻点,则求()f x 在闭区间[,]a b 上的最值的步骤如下:(1)求出()f x 在(,)a b 内的驻点1x ,2x ,,m x 及不可导点1x ',2x ',,n x ';(2)计算()i f x (1,2,,i m =),()j f x '(1,2,,j n =)及 ()f a ,()f b ;(3)比较(2)中诸值的大小,其中最大的便是()f x 在[,]a b 上的最大值,最小的便是()f x 在[,]a b 上的最小值.说明:在实际问题中,往往根据问题的性质就可以断定可导函数()f x 确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得.这时如果()f x 在定义区间内部只有一个驻点0x ,那么不必讨论0()f x 是不是极值,就可以断定0()f x 是最大值或最小值.六、函数的渐近线的求法1.水平渐近线若lim()x f x a →∞=(包括lim ()x f x a →-∞=或lim ()x f x a →+∞=),则直线y a =就是函数()f x 的水平渐近线.2.垂直渐近线(或称铅直渐近线)若0lim()x x f x →=∞(包括0lim ()x x f x -→=∞或0lim ()x x f x +→=∞),则直线0x x =就是函数()f x 的垂直(铅直)渐近线.【典型例题】 【例3-1】验证罗尔定理对函数()lnsin f x x =在区间5[,]66ππ上的正确性.解:显然函数()lnsin f x x =在闭区间5[,]66ππ上连续,在开区间5(,)66ππ上可导,1()(lnsin )cos cot sin f x x x x x ''==⋅=,且5()()l n266f f ππ==-,故满足罗尔定理的条件,由定理可得至少存在一点5(,)66ππξ∈,使得()0f ξ'=,即cot 0ξ=,2πξ=即为满足条件的点.【例3-2】验证拉格朗日中值定理对函数2()482f x x x =--在区间[0,1]上的正确性.解:显然函数2()482f x x x =--在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,()88f x x '=-,根据拉格朗日中值定理可得至少存在一点(0,1)ξ∈,使得(1)(0)()(10)f f f ξ'-=-,即6(2)88ξ---=-,可得1(0,1)2ξ=∈,12ξ=即为满足条件的点.【例3-3】不求导数,判断函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的导数有几个零点,这些零点分别在什么范围. 解:显然()f x 是连续可导的函数,且(1)(2)(3)(4)0f f f f ====,故()f x 在区间[1,2],[2,3],[3,4]上满足罗尔定理的条件,所以在区间(1,2)内至少存在一点1ξ,使得1()0f ξ'=,即1ξ是()f x '的一个零点;在区间(2,3)内至少存在一点2ξ,使得2()0f ξ'=,即2ξ是()f x '的一个零点;又在区间(3,4)内至少存在一点3ξ,使得3()0f ξ'=,即3ξ也是()f x '的一个零点.又因为()f x '是三次多项式,最多只能有三个零点,故()f x '恰好有三个零点,分别在区间(1,2),(2,3)和(3,4)内.【例3-4】证明arcsin arccos 2x x π+=,其中11x -≤≤.证明:设()arcsin arccos f x x x =+,[1,1]x ∈-, 因为()(0f x '=+=,所以()f x C =,[1,1]x ∈-.又因为(0)a r c s i n 0a r c c o s 0022f ππ=+=+=,即 2C π=,故arcsin arccos 2x xπ+=.说明:同理可证,arctan arccot 2x x π+=,(,)x ∈-∞+∞.【例3-5】求下列函数的极限.1.求 332132lim 1x x x x x x →-+--+.解:该极限为1x →时的“”型未定式,由洛必达法则可得 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---.2.求arctan 2lim 1x x xπ→+∞-.解:本题为x →+∞时的“00”型未定式,由洛必达法则可得原式222211lim lim 111x x x x x x→+∞→+∞-+===+-.3.求0lnsin 2lim lnsin3x xx+→. 解:该极限为0x+→时的“∞∞”型未定式,由洛必达法则可得原式0001cos 222sin 323sin 2lim lim lim 113sin 232cos33sin 3x x x x x x x x xx x+++→→→⋅⋅⋅====⋅⋅⋅.4.求 2tan lim tan 3x xx π→.解:本题为2x π→时的“∞∞”型未定式,由洛必达法则可得原式2222222sec cos 32cos3(sin 3)3lim lim lim 3sec 33cos 6cos (sin )x x x x x x x x x x x πππ→→→⋅-⋅===⋅- 22cos33sin3lim lim 3cos sin x x x x x x ππ→→-===-.5.求2tan limtan x x xx x→-. 解:该极限为0x →时的“00”型未定式,结合等价无穷小的替换,运用洛必达法则可得原式22320000tan sec 12sec tan 21lim lim lim lim 3663x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⋅=====. 说明:此题也可这样求解(运用公式22sec1tan x x =+和等价无穷小替换来简化运算): 原式22232220000tan sec 1tan 1lim lim lim lim 3333x x x x x x x x x x x x x →→→→--=====. 6.求11lim()sin x x x→-. 解:该极限为0x →时的“∞-∞”型未定式,解决方法为先化为“1100-”型,然后通分化为“”型,故 原式20000sin sin 1cos sin lim lim lim lim 0sin 22x x x x x x x x x xx x x x →→→→---=====.7.求lim x x x +→. 解:该极限为0x +→时的“00”型未定式,解决方法为取对数化为“0ln0⋅”型,进而化为“”型,故 原式020001lim ln 1lim ln limlim ()ln 00lim 1x x x x xx x xx x x xx x e ee e e e +→+++→→→+--→=======.8.求cos limx x xx→∞+.解:原式1sin lim lim(1sin )1x x x x →∞→∞-==-,最后的极限不存在,不满足洛必达法则的条件,实际上,原式cos cos lim(1)1lim 101x x x xx x→∞→∞=+=+=+=.【例3-6】求下列函数的单调区间. 1.32()29123f x x x x =-+-.解:因2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--,令()0f x '=,得11x =,22x =.用1x ,2x 将函数的定义域(,)-∞+∞分成三个区间(,1)-∞,(1,2),(2,)+∞,其讨论结果如下表所示:由上表可得,函数的单调递增区间为(,1]-∞和[2,)+∞,单调递减区间为[1,2].2.()f x = .解:函数的定义域为(,)-∞+∞,()f x '=(0x ≠),当0x =时导数不存在.将函数定义域分成两个区间(,0)-∞和(0,)+∞,讨论结果如下表所示:所以函数的单调递增区间为[0,)+∞,单调递减区间为(,0]-∞. 【例3-7】利用函数的单调性证明不等式. 1.试证当0x>时,ln(1)x x >+成立.证明:设()ln(1)f x x x =-+,则1()111xf x x x'=-=++, 因()f x 在区间[0,)+∞上连续,在(0,)+∞内可导,且 ()0f x '>, 故()f x 在区间[0,)+∞上单调增加,又因为(0)0f =,所以当0x >时,()0f x >,即ln(1)0x x -+>,也即 ln(1)x x >+成立.2.试证当1x >时,13x>-.证明:令1()(3)f x x =--,则2211()(1)f x xx '=-=-, 因()f x 在区间[1,)+∞上连续,在(1,)+∞内可导且()0f x '>, 故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加,又因为(1)0f =,所以当1x >时,()0f x >,即1(3)0x -->,也即13x>- 成立.【例3-8】证明方程510x x ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根.证明:令5()1f x x x =++,因为()f x 在闭区间[1,0]-上连续,且(1)10f -=-<,(0)10f =>,根据零点定理,()f x 在区间(0,1)内至少有一个零点.另一方面,对于任意实数x ,有4()510f x x '=+>,所以()f x 在(,)-∞+∞内单调增加,因此曲线5()1f x x x =++与x 轴至多有一个交点.综上所述,方程510xx ++=在区间(1,0)-内有且仅有一个实根.【例3-9】求下列函数的极值. 1.32()395f x x x x =--+.解:函数的定义域为(,)-∞+∞,且有2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-,令()0f x '=,得驻点11x =-,23x =,列表讨论如下:由上表可得,函数的极大值为(1)10f -=,极小值为(3)22f =-.2.233()2f x x x =-.(,1]-∞-解:函数的定义域为(,)-∞+∞,且有13()1f x x-'=-=, 令()0f x '=,得驻点1x =,当0x =时()f x '不存在,驻点1x =以及不可导点0x =将定义域分成三个区间,列表讨论如下:由上表可得,函数的极大值为(0)0f =,极小值为1(1)2f =-.【例3-10】求函数32()231214f x x x x =+-+在区间[3,4]-上的最值.解:因为2()66126(2)(1)f x x x x x '=+-=+-,令()0f x '=,得 12x =-,21x =,计算(3)23f -=,(2)34f -=,(1)7f =,(4)142f =,比较上述结果可知,最大值为(4)142f =,最小值为(1)7f =.【例3-11】求下列曲线的凹凸区间和拐点. 1.43()341f x x x =-+.解:函数的定义域为(,)-∞+∞,且有32()1212f x x x '=-,2()36()3f x x x ''=-,令()0f x ''=,得10x =,223x =, 列表讨论如下:(,1]-∞-由上表可得,曲线()f x 的凹区间为(,0]-∞和2[,)3+∞,凸区间为2[0,]3,拐点为(0,1)和211(,)327.2.()f x =解:函数的定义域为(,)-∞+∞,当0x ≠时有231()3f x x -'=,532()9f x x -''=-,当0x =时,()f x '和()f x ''均不存在,但在区间(,0)-∞内,()0f x ''>,故曲线在(,0]-∞上是凹的;在区间(0,)+∞内,()0f x ''<,故曲线在[0,)+∞上是凸的.所以曲线的凹区间为(,0]-∞,凸区间为[0,)+∞,拐点为(0,0).【历年真题】 一、选择题1.(2009年,1分)若函数()y f x =满足0()0f x '=,则0x x =必为()f x 的(A )极大值点 (B )极小值点 (C )驻点 (D )拐点 解:若0()0f x '=,则0x x =必为()f x 的驻点,选(C ).2.(2009年,1分)当0x >时,曲线1sin y x x=(A )没有水平渐近线 (B )仅有水平渐近线23 x ()f x 2(,)3+∞ 0 (,0)-∞2(0,)3+-+对应拐点对应拐点凹凸凹()f x ''(C )仅有铅直渐近线 (D )既有水平渐近线,又有铅直渐近线解:由1sin1lim sin lim11x x x x x x→∞→∞==可知,1y =为曲线的水平渐近线;01lim sin 0x x x+→=,故曲线无铅直渐近线.选项(B )正确. 3.(2008年,3分)函数()ln f x x =在区间[1,2]上满足拉格朗日公式中的ξ等于(A )ln 2 (B )ln1 (C )ln e (D )1ln 2解:对函数()ln f x x =在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理,(2)(1)()(21)f f f ξ'-=-,即 1ln 20ξ-=,故 1ln 2ξ=.选(D ). 4.(2007年,3分)曲线33yx x =-上切线平行于x 轴的点为(A )(1,4)-- (B )(2,2) (C )(0,0)(D )(1,2)- 解:切线平行于x 轴的点即为一阶导数等于零的点.由2330y x'=-=可得,1x =±;1x =时,2y =-,1x =-时,2y =,故曲线33y x x =-上切线平行于x 轴的点为(1,2)-和(1,2)-.选项(D )正确. 5.(2007年,3分)若在区间(,)a b 内,导数()0f x '>,二阶导数()0f x ''<,则函数()f x 在该区间内(A )单调增加,曲线为凸的 (B )单调增加,曲线为凹的 (C )单调减少,曲线为凸的 (D )单调减少,曲线为凹的 解:()0f x '>可得()f x 单调增加,()0f x ''<可得曲线为凸的,故选(A ).二、填空题1.(2010年,2分)函数32()2912f x x x x =-+的单调减区间是.解:令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=,得驻点1x =和2x =;当1x <时,()0f x '>,当12x <<时,()0f x '<,当2x >时,()0f x '>,故函数的单调递减区间为[1,2].2.(2009年,2分)当62x ππ≤≤时,sin ()xf x x=是函数(填“单调递增”、“单调递减”).解:当6x π=时,sin36()66f ππππ==;当2x π=时,sin22()22f ππππ==;故当62x ππ≤≤时,sin ()xf x x=是单调递减函数. 3.(2009年,2分)函数32()29121f x x x x =-++在区间[0,2]上的最大值点是.解:令2()618126(1)(2)0f x x x x x '=-+=--=,得驻点1x =和2x =.比较函数值(1)6f =,(2)5f =,(0)1f =,可知,函数的最大值为(1)6f =,故函数的最大值点为1x =.4.(2007年,4分)曲线24x t y t⎧=⎨=⎩在1t =处的切线方程为.解:将1t =代入参数方程可得切点为(1,4),切线斜率11422t t t t y k tx =='===',故切线方程为42(1)y x -=-,即 22y x =+.5.(2005年,3分)x y xe -=的凸区间是.解:()(1)x x x x y xe e xe x e ----''==-=-,(1)(2)x x x y e x e x e ---''=---=-. 令 (2)0x y x e -''=-=可得,2x =,且当2x >时,0y ''>,当2x <时,0y ''<,故函数x y xe -=的凸区间是(,2]-∞.6.(2005年,3分)曲线x y x =通过(1,1)点的切线方程为.解:因ln ln ()()(ln 1)(ln 1)x x x x x x y x e e x x x '''===⋅+=+,故切线斜率1[(ln 1)]1x x k x x ==+=,所以切线方程为11(1)y x -=⋅-,即 y x =.三、应用题或综合题1.(2010年,10分)现有边长为96厘米的正方形纸板,将其四角各剪去一个大小相同的小正方形,折做成无盖纸箱,问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大? 解:设剪区的小正方形边长为x ,则纸盒的容积2(962)yx x =-,048x <<.2(962)2(962)(2)(962)(966)y x x x x x '=-+⋅--=--,令0y '=,可得 16x =(48x =舍去).因只有唯一的驻点,且原题中容积最大的无盖纸箱一定存在,故当剪区的小正方形边长为16厘米时,做成的无盖纸箱容积最大. 2.(2010年,10分)设函数()f x 在[0,1]上连续,并且对于[0,1]上的任意x 所对应的函数值()f x 均为0()1f x ≤≤,证明:在[0,1]上至少存在一点ξ,使得()f ξξ=.解:令()()F x f x x =-,由于()f x 在[0,1]上连续,故()F x 在[0,1]上也连续.(0)(0)0(0)F f f =-=,(1)(1)1F f =-.而对[0,1]x ∀∈,0()1f x ≤≤,故(0)0F ≥,(1)0F ≤. 若(0)0F =,即(0)00f -=,(0)0f =,则0ξ=; 若(1)0F =,即(1)10f -=,(1)1f =,则1ξ=;当(0)0F ≠,(1)0F ≠时,(0)(1)0F F ⋅<,而()F x 在[0,1]上连续,故根据零点定理可得,至少存在一点(0,1)ξ∈,使得()0F ξ=,即()0f ξξ-=,()f ξξ=.综上,在[0,1]上至少存在一点ξ,使得()f ξξ=.3.(2009年,10分)某工厂需要围建一个面积为2512m 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁.问堆料场的长和宽各为多少时,才能使砌墙所用的材 料最省?解:设堆料场的宽为xm ,则长为512x m ,设砌墙周长为y ,则5122y x x=+, 令251220y x'=-=,得 2256x =,16x =(16x =-舍去).因只有一个驻点,且原题中最值一定存在,故当16x =时,函数有最小值.即当宽为16m ,长为32m 时,才能使砌墙所用的材料最省. 4.(2009年,10分)当0x >,01a <<时,1a x ax a -≤-.解:原不等式即为 10a x ax a -+-≤.设()1a f x x ax a =-+-,则(1)当1x=时,()110f x a a =-+-=,即10a x ax a -+-=成立; (2)当01x <<时,111()(1)0a a f x axa a x--'=-=->,故()f x 单调增加,可得()(1)0f x f <=,即10a x ax a -+-<成立;(3)当1x>时,111()(1)0a af x ax a a x--'=-=-<,故()f x 单调减少,可得()(1)0f x f <=,即10a x ax a -+-<成立.综上,当0x>,01a <<时,不等式10a x ax a -+-≤成立,即1ax ax a -≤-. 5.(2008年,8分)求函数233y x x =-的单调区间、极值、凹凸区间与拐点.解:函数的定义域为(,)-∞+∞. 先求单调区间和极值.令2633(2)0y x xx x '=-=-=,得驻点0x =,2x =,用驻点将整个定义域分为三个区间(,0)-∞,(0,2),(2,)+∞.当(,0)x ∈-∞时,0y '<,函数单调减少;当(0,2)x ∈时,0y '>,函数单调增加;当(2,)x ∈+∞时,0y '<,函数单调减少.故函数的单调增加区间为[0,2],单调减少区间为(,0]-∞和[2,)+∞;极小值(0)0f =,极大值(2)4f =.再求凹凸区间和拐点.令660y x ''=-=,得1x =.当(,1)x ∈-∞时,0y ''>,函数为凹的;当(1,)x ∈+∞时,0y ''<,函数为凸的,且当1x =时,2y =,故函数的凹区间为(,1]-∞,凸区间为[1,)+∞,拐点为(1,2).6.(2007年,8分)求函数11y x x =++的单调区间、极值、凹凸区间和拐点. 解:函数的定义域为(,1)(1,)-∞--+∞.先求单调区间和极值.令221(2)10(1)(1)x x y x x +'=-==++,得驻点2x =-,0x =,用驻点将整个定义域分为三个区间(,2)-∞-,(2,1)--,(1,0)-,(0,)+∞.当(,2)x ∈-∞-时,0y '>,函数单调增加;当(2,1)x ∈--时,0y '<,函数单调减少;当(1,0)x ∈-时,0y '<,函数单调减少;当(0,)x ∈+∞时,0y '>,函数单调增加.故函数的单调增加区间为(,2]-∞-和[0,)+∞,单调减少区间为[2,1)--和(1,0]-;极大值(2)3f -=-,极小值(0)1f =.再求凹凸区间和拐点.因432(1)2(1)(1)x y x x -+''=-=++,故当(,1)x ∈-∞-时,0y ''<,函数为凸的;当(1,)x ∈-+∞时,0y ''>,函数为凹的,故函数的凸区间为(,1)-∞-,凹区间为(1,)-+∞.凹凸性改变的点为1x =-,不在定义域内,故函数没有拐点.7.(2007年,8分)在周长为定值l 的所有扇形中,当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大?解:设扇形的半径为x ,则弧长为2lx -,设扇形的面积为y ,则由题意211(2)22y l x x x lx =-=-+.令202l y x '=-+=得,4l x =.唯一的极值点即为最大值点.故当扇形的半径为4l时,扇形的面积最大.8.(2006年,10分)求函数321y x x x =--+的单调区间、极值及凹凸区间、拐点.解:函数的定义域为(,)-∞+∞.先求单调区间和极值.令2321(31)(1)0y x x x x '=--=+-=,得驻点13x =-,1x =,用驻点将整个定义域分为三个区间1(,)3-∞-,1(,1)3-,(1,)+∞.当1(,)3x ∈-∞-时,0y '>,函数单调增加;当1(,1)3x ∈-时,0y '<,函数单调减少;当(1,)x ∈+∞时,0y '>,函数单调增加.故函数的单调增加区间为1(,]3-∞-和[1,)+∞,单调减少区间为1[,1]3-;极大值132()327f -=,极小值(1)0f =. 再求凹凸区间和拐点.令620y x ''=-=,得13x=.当1(,)3x ∈-∞时,0y ''<,函数为凸的;当1(,)3x ∈+∞时,0y ''>,函数为凹的,且当13x =时,1627y =,故函数的凸区间为1(,]3-∞,凹区间为1[,)3+∞,拐点为116(,)327.9.(2006年,10分)设函数()f x 在[0,1]上连续,且()0f x >.证明方程11()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根.证明:先证存在性.设011()()()x xF x f t dt dt f t =+⎰⎰,[0,1]x ∈.因()f x 在[0,1]上连续,故()F x 在[0,1]上也连续,且011011(0)00()()F dt dt f t f t =+=-<⎰⎰,11(1)()0()0F f t dt f t dt =+=>⎰⎰,故由零点定理可得,至少存在一点(0,1)ξ∈使得()0F ξ=,即在(0,1)内方程至少存在一个根.再证唯一性,即证()F x 的单调性.1()()0()F x f x f x '=+>,故()F x 单调增加,所以结合上面根的存在性可知,方程011()0()xxf t dt dt f t +=⎰⎰在(0,1)内有且仅有一个根.10.(2005年,8分)已知()y f x =与2arctan 0xt y e dt -=⎰在(0,0)处切线相同,写出该切线方程并求2lim ()n nfn→∞. 解:切线斜率()22arctan arctan 02011x xtx x e k e dtx --==⎛⎫'===⎪ ⎪+⎝⎭⎰,故切线方程为01(0)y x -=⋅-,即 y x =.因()y f x =过点(0,0),故(0)0f =,且(0)1f '=,故 222()()()2lim ()lim lim 2(0)211()n n n f f n n n nf f n n n→∞→∞→∞'''===='.。

第三讲 中值定理篇

第三讲 中值定理篇

=

f (ξ ) g(ξ )
(乘函数因子法 ) 先变形为标准形式
f ′(ξ )g(ξ ) + f (ξ )g′(ξ ) = 0 F ( x) = f ( x)g( x)
(5)
cos ξ

sin ξ
+
1
1+ξ
2
[cosξ
+
sin ξ
]
=
0.
(新函数替换法 ) F ( x) = earctan x[cos x + sin x]
证: 令 f ( x) = a0 xn + a1 xn−1 + L + an−1 x
则 f ( x) 在[ 0,x0 ]上满足罗尔定理的全部 条件,
所以存在 0 < ξ < x0 ,有 f ′(ξ ) = 0 成立, 即 a0nξ n−1 + a1(n − 1)ξ n−2 + L + an−1 = 0 成立, 亦即 a0nxn−1 + a1(n − 1)xn−2 + L + an−1 = 0有一个根 ξ .
⇒ F ( x) = ekx g( x) = ekx[ f ( x) − x].
16/36
例7 设 f ( x) 在[ a,b ]上可导, 且 f (a) = f (b) = 0,
证明:存在一点 ξ ∈(a,b),使得 f ′(ξ ) = f (ξ ).
证:令 F ( x) = e− x f ( x) 则 F ( x) 在[ a , b ]上可导,
6/36
例3 设 f ( x) 在 [ a , b ] 上连续, a < c < d < b ,试证明:对

第三章 中值定理导数的应用

第三章 中值定理导数的应用
(x)
微积分
定理 设(1) 当x a时,函数 f (x) 及 F(x) 都趋于零; (2) 在a 点的某领域内(点a 本身可以除外), f (x) 及 F(x) 都存在且F(x) 0; (3) lim f (x) 存在(或为无穷大); xa F(x) 那末lim f (x) lim f (x) . xa F(x) xa F(x) 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
2 x
• 2、 lim( 1 1 ). x0 x1 ln x
微积分
例11 求limxx.
( 00 )
e x0
解 原式 lim exlnx
limxlnx
x0
x 0
ln x lim x0 1
e x 1
lim x
ex

0

1 x2
e0 1.
微积分
例14 求limxcoxs. x x
0或型 0
微积分
例9 limxlnx
x0
1

ln x
lim
x 0
1
x

lim x 0
x 1
x2
limx 0 x0
注意:对数因子不下放,要放在分子上
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
微积分
例10 求lim ( 1 1). x0 sinx x
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续在(1,3)上可,导且 f( 1 ) f(3 ) 0 , f(x ) 2 (x 1 ),取 1 ,(1 ( 1 ,3 ))f()0.
微积分
几何解释:
y
C
yf(x)
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第三讲 导数(中值定理部分)1.设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(1)0f =;证明至少存在一点(0,1)ξ∈,使得2()()f f ξξξ'=-。

证明:作2()()F x x f x =,(0)(1)0F F ==,2()()2()F x x f x xf x ''=+,由Rolle 定理知,至少存在一点(0,1)ξ∈,使得2()()2()[()2()]0F f f f f ξξξξξξξξξ'''=+=+=,因为0ξ≠,故有()2()0f f ξξξ'+=,即2()()f f ξξξ'=-。

(本题思路:由2()()f f ξξξ'=-得()2()0f f ξξξ'+=,疑似某个函数与()f x 相乘后求导,不难看出该函数的导数比原函数低1次且为2倍,考虑是2x ,即2()()F x x f x =。

)2.设()f x 在[,]a b 上二阶可导,1x ,2x ,3x 为[,]a b 内三点,123x x x <<,且123()()()f x f x f x ==;证明在[,]a b 上至少存在一点ξ,使得()0f ξ''=。

证明:因为12()()f x f x =,且()f x 在12[,]x x 上满足Rolle 定理条件,故至少存在一点112(,)y x x ∈,使得1()0f y '=;同理由于23()()f x f x =,故至少存在一点223(,)y x x ∈,使得2()0f y '=;综上,()f x '在区间12[,]y y 上可导且12()()0f y f y ''==,故至少存在一点12(,)[,]y y a b ξ∈⊂,使得()0f ξ''=。

3.设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内二阶可导;连接点(,())a f a 和(,())b f b 的直线与曲线()y f x =交于点(,())c f c (a c b <<),证明至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()0f ξ''=。

证明:由Lagrange 中值定理可知在[,]a c 上,存在11(,)a c η∈,使1()()()()()f c f a f b f a f c a b a η--'==--, 在[,]c b 上,存在2(,)c b η∈,使2()()()()()f b f c f b f a f b c b aη--'==--, 所以12()()f f ηη''=。

在12[,]ηη上,由Rolle 定理,至少存在一点12(,)ξηη∈,使()0f ξ''=。

4.设在[,]a b 上,()0f x >且可导;证明存在一点(,)a b ξ∈,使得()()ln ()()()f b f b a f a f ξξ'=-。

证明:因为()0f x >,作()ln ()F x f x =,()()()f x F x f x ''=在[,]a b 上运用Lagrange 中值定理,存在一点(,)a b ξ∈,使得()()()()()F b F a f F b a f ξξξ'-'==-,即得()()ln()()()f b f b a f a f ξξ'=-。

(本题思路:由()()ln()()()f b f b a f a f ξξ'=-得ln ()ln ()[ln ()]x f b f a f x b aξ=-'=-,故取()ln ()F x f x =。

)5.设()f x 在[,]a b 上可微,且()()0f a f b ''<,证明:存在(,)a b ξ∈,使()0f ξ'=。

证明:(这里再次【特别提醒】本题中()f x 可微,即可导,只是说()f x '存在,但()f x '不一定连续,所以不能使用零点定理。

本题思路参考“例题讲解5”的第4题) 因为()()0f a f b ''<,不妨设()0f a '<,()0f b '>,()()()lim0x a f x f a f a x a →+-'=<-,由极限的局部保号性,存在1(,)x a b ∈,使得11()()0f x f a x a-<-,因为10x a ->,则1()()f x f a <,所以()f a 不是()f x 在[,]a b 上的最小值;同理存在2(,)x a b ∈,使得2()()f x f b <;所以()f b 也不是()f x 在[,]a b 上的最小值; 综上,()f x 在[,]a b 上的最小值不在端点取得,而在(,)a b 内取得,又()f x 在(,)a b 内可导,故至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()0f ξ'=。

对于()0f a '>,()0f b '<情形同理可证。

6.设()f x 在[0,]a 上可导,()0f a =且(0)(0)0f f '≥;证明存在一点[0,]a ξ∈,使得()0f ξ'=。

证明:(1)若(0)(0)0f f '=,则(0)f 、(0)f '至少有一个为0,如果(0)0f =,则(0)()0f f a ==,由Rolle 定理,存在一点(0,)[0,]a a ξ∈⊂,使得()0f ξ'=; 如果(0)0f '=,取0[0,]a ξ=∈,有()0f ξ'=;(2)若(0)(0)0f f '>,不妨设(0)0f >,(0)0f '>,00()(0)()(0)limlim 0x x f x f f x f x x→+→+-'==>,由极限的保号性,存在(0,)y a ∈,使得()(0)()0f y f f a >==,所以()f x 在[0,]a 上的最大值不在端点而在(0,)a 内取得,故存在一点(0,)[0,]a a ξ∈⊂,使得()0f ξ'=。

当(0)0f <,(0)0f '<时同理可证。

综上,存在一点[0,]a ξ∈,使得()0f ξ'=。

7.设()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0f =,(1)1f =,试证:对任意给定的正数a和b ,在(0,1)内存在不同的ξ,η,使得()()a ba b f f ξη+=+''。

(本题思路:由()()a b a b f f ξη+=+''得1()()a ba b a b f f ξη+++='',其中1a ba b a b+=++恰好是区间[0,1]的长度,而且a a b +、1b a b <+,故取a c a b=+作为区间的一个分点,同时从ξ、η两个不同中值来看,它们应当在(0,1)的两个分区间内取,故分别在[0,]c 和[,1]c 内考虑。

)证明:取a c a b =+,1bc a b=-+因为0a >,0b >,所以01c <<,运用Lagrange 中值定理,在[0,]c 上,存在(0,)(0,1)c ξ∈⊂,使得()(0)()()f c f f c f c cξ-'==,则()()c f c f ξ='; 和[,1]c 上,存在(,1)(0,1)c η∈⊂,使得(1)()1()()11f f c f c f c cη--'==--,则11()()c f c f η-=-', 上面两式相加得11()()c c f f ξη-+='',即1()()a ba b a b f f ξη+++='',故有()()a ba b f f ξη+=+''。

8.设()f x 在[0,1]上有三阶导数,且(0)(1)0f f ==,又设3()()F x x f x =,试证明在(0,1)内至少存在一点ξ,使()0F ξ'''=。

证明:3()()F x x f x =,32()()3()F x x f x x f x ''=+,32()()6()6()F x x f x x f x x f x '''''=++;因为(0)(1)0F F ==,由Rolle 定理,存在一点(0,1)θ∈,使得()0F θ'=; 又(0)()0F F θ''==,故存在一点(0,)(0,1)ηθ∈⊂,使得()0F η''=;又(0)()0F F η''''==,故存在一点(0,)(0,)(0,1)ξηθ∈⊂⊂,使得()0F ξ''=。

9.设()(1)mnf x x x =-,m 、n 为自然数,[0,1]x ∈,则存在(0,1)ξ∈,使1m n ξξ=-。

证明:()(1)m n f x x x =-,11()(1)(1)m n m n f x mx x nx x --'=---,因为(0)(1)0f f ==,由Rolle 定理,存在一点(0,1)ξ∈,使得()0F ξ'=;即1111(1)(1)(1)[(1)]0m n m n m n m n m n ξξξξξξξξ-------=---=,因为0ξ≠,1,故(1)0m n ξξ--=,即得1m n ξξ=-。

10.设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()()0f a f b ==;证明至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()()0f f ξξξ'+=。

(本题思路:()()0f f ξξξ'+=,与常见的某个函数与()f x 相乘后求导形式恰恰相反,因此需要另辟蹊径。

由()()0f f ξξξ'+=变形得()()f f ξξξ'=-,即2[ln ()]|2x x x f x ξξ=='=-,22211222()x x x C C f x e e e Ce -+--===,则22()x ef x C =,故取22()()x F x ef x =。

) 证明:作22()()x F x ef x =,222222()()()[()()]x x x F x xe f x e f x e xf x f x '''=+=+,因为()()0F a F b ==,在[,]a b 上运用Rolle 中值定理,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得()0F ξ'=,又因为220e ξ≠,故有()()0f f ξξξ'+=。

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