二次型练习题
考研数学二(二次型)模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学二（二次型）模拟试卷20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列二次型中是正定二次型的是( )A．f1=(x1一x2)2+(x2一x3)2+(x3一x1)2。
B．f2=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2。
C．f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3一x4)2+(x4一x1)2。
D．f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4一x1)2。
正确答案：D解析：f=xTAx正定对任意的x≠0，均有xTAx＞0；反之，若存在x≠0，使得f=xTAx≤0则f或A不正定。
A选项因f1(1，1，1)=0，故不正定。
B选项因f2(一1，1，1)=0，故不正定。
C选项因f3(1，一1，1，1)=0，故不正定。
由排除法，故选D。
知识模块：二次型2．关于二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( )A．是正定的。
B．其矩阵可逆。
C．其秩为1。
D．其秩为2。
正确答案：C解析：二次型的矩阵所以r(A)=1，选项A、B、D都不正确。
故选C。
知识模块：二次型3．n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )A．二次型xTAx的负惯性指数为零。
B．存在可逆矩阵P使P—1AP=E。
C．存在n阶矩阵C使A=C—1C。
D．A的伴随矩阵A*与E合同。
正确答案：D解析：选项A是必要不充分条件。
这是因为r(A)=p+q≤n，当q=0时，有r(A)=p ≤n。
此时有可能p＜n，故二次型xTAx不一定是正定二次型。
因此矩阵A不一定是正定矩阵。
例如f(x1，x2，x3)=x12+5x32。
选项B是充分不必要条件。
这是因为P—1AP=E表示A与E相似，即A的特征值全是1，此时A是正定的。
但只要A的特征值全大于零就可保证A正定，因此特征值全是1是不必要的。
第4章 二次型 练习题
1 / 2 1 / 2 ； C 0 2 0 0
1 3 ，r = 2，p = 2， 0
2p r = 2，不是正定二次型。 ）
11、设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x22 2x32
12、设 3 元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 + x2 x3 x3 x1 ， （1） 用初等变换法将二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 在实数域 R 内化为规范形，并写出可逆线性替换 的矩阵 C ； （2）求二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) 正惯性指数，并判断其是否为正定二次型。 （规范形 f = y1 + y2 y3
（3）试证：对实数域上的任一 n 阶可逆矩阵 A，都有 AT A 是正定矩阵。
（4）设 A 为 n 阶实对称矩阵，r ( A ) = n ，证明：A2 是正定矩阵。
A1 （5）已知矩阵 A1 ~ B1 ， A2 ~ B2 ，对于分块矩阵 A O
B 。 求证： A ~
O B1 ， B O A2
2 2 2
1 1 1 ，可逆线性替换的矩阵 C 1 1 1 ；p = 2 < 3 = n ，不是正 0 1 0
定二次型 ）
13、已知三元二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1 x2 2x1 x3 + 2x2 x3 ， 求：（1）用合同变换法求其标准形及可逆线性替换矩阵 C ； （2）写出二次型的规范性； （3）写出二次型的负惯性指数及符号差。 （
第5章 二次型(解答题)(63题)
1.设二次型()12,,,n f x x x 的矩阵为n 阶三对角对称矩阵110111111011A -⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪=- ⎪- ⎪⎪-⎝⎭试写出二次型（二次齐次多项式）的表示式.解：()222121212231,,,222.n n n n f x x x x x x x x x x x x -=+++----2设二次型()212111,,,nnn ii n i i i f x x x axb x x -+===+∑∑ ,写出二次型f 的矩阵.解：设二次型f 的矩阵为A ,当2n m =时,ab a b A b a b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；当21n m =+时,.a b a b A a b b a b a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭3.证明实二次型211mn ij j i j f a x ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑的秩等于矩阵()ij m nA a ⨯=的秩.证：令()()()121211,2,,,,,,,,,ni ijjmnj y a x i m Y y y X x x x =''====∑则Y AX =,而21.mii f yY Y X A AX ='''===∑因此,二次型f 的矩阵是A A ',而秩()A A '=秩()A ,所以f 的秩等于秩.A4．设A,B 是两个复n 阶对称矩阵,则A 与B 合同⇔秩A=秩B证：必要性：因为A 与B 合同,即存在可逆矩阵P 使得设A =秩A P BP '=,故秩A =秩B充分性：设秩A =秩B r =,则A 合同于000r E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B 合同于000rE ⎛⎫⎪⎝⎭,由合同的对称型与传递性知A 合同与B .5.将二次型()2121213233,,,4223n f x x x x x x x x x x =--+ 化为标准型,并写出相应的非退化线性替换.答：初等变换法,对矩阵A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭的列,行做同步初等换变换（即设1T 为初等矩阵,则用11T 与1T 左,右乘A ）,将A 化为对角矩阵,即30002110020131130081000010100150011123⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭,于是,非退化线性替换1122330010151123x y x y x y ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭将二次型化为标准型2221231383f y y y =-+.6.用非退化线性替换化下列二次型为标准型（并写出相应的非退化线性替换）；1）21n i i x d -∑+1ni j i j nx x ≤≤≤∑；2）_1ni i j n x x ≤≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭∑,其中,()_121n x x x x n =+++解：1）设原式为f,经过展开配方整理得()22222212123311143212nn i in n n i i n n f x x x x x x x n n n -==⎛⎫⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑ . 令2112222311131nii n i i n n nn n y x x y x x y x x n y x ===--⎧=+⎪⎪⎪⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪=+⎪⎪⎪=⎩∑∑ , 则非退化线性替换,112312231111111231111311n n n nn n n n n x y y y y y n nx y y y yn n x y y nx y ----⎧=-----⎪-⎪⎪=----⎪-⎪⎨⎪⎪=-⎪⎪=⎪⎩, 将二次型f 化为标准型()2222121314212n n n n f y y y y n n-+=++++- 2）令112211n n n n y x xy x x y x x y x --=--=-=⎧=-⎪⎪-⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎪⎩, 则11221232111222nii n ii n n i n n i n n x y y x y y yx y y y x y ===--=-==⎧=+⎪⎪⎪⎪++⎪⎨⎪⎪⎪++⎪⎪⎩∑∑∑ , 注意到1nii yx -==∑,故原式22111122211111112n n n n n i n i i i i i j i i i i i i j n f y y y y y y y y ----=====≤≤≤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑,由1）知,线性替换112312231111112311131n n n n n n y z z z z n y z z zn y z y z ----⎧=----⎪-⎪⎪=---⎪-⎨⎪⎪=⎪⎪=⎩, 将二次型f 化为标准型()2221213221n n f z z z n -=+++- , 由1,2）可得所用非退化线性替换为11223311200013100121410123111123100001n n n n x z x z x z x z n x z n --⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪⎝⎭7.已知二次型()2221232323320f x x x ax x a =+++>通过正交替换化为标准形22212325f y y y =++,求出参数a 和相应的正交矩阵.解：二次型矩阵为2000303A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因()()222690E A a λλλλ-=--+-=.已知A 的特征值1231,2,5λλλ===.将11λ=代入上式,解得24a =.又0a >,故2a =.分别求出属于特征值1231,2,5λλλ===的特征值()()()1230,1,1,1,0,0,0,1,1ααα'''=-==.123,,ααα两两正交,在单位化得正交矩阵01000Q ⎛⎫⎪ ⎪ =⎝8.设()1234121314232434,,,f x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++,分别在实数和复数域上将它化为规范性,并写出相应的非退化线性替换.解：11223344111122111122100120001x y x y x y x y ⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭, 则二次型化为标准型222212341344f y y y y =--- 1）在实数域上,令11223344,2,,3y z y z y z y z ====,则二次型的规范形为22221234f z z z z =---非退化线性替换为1X C Z =,其中111111311100022020011111110010221001001300020001000C ⎛⎫--- ⎪⎛⎫---⎪⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪== ⎪⎪ - ⎪ ⎪ - ⎪⎪⎝⎪⎪⎝⎭⎪⎝⎭.2）在复数域上,令11223344,2,,3y z y iz y iz y ====, 则二次型的规范形为22221234f z z z z =+++.非退化线性替换为1X C Z =,其中211003000i i i i C i i ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭.9.设000a b A a c b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,试求可逆矩阵T,使得T AT '为对角矩阵.解：设以A 为矩阵的二次型是()123121323,,222f x x x T XT ax x bx x cx x '==++当0a b c ===时,A=0,T=E 即为所求. 当,,a b c 不全为0时,不妨设0a ≠,令112233110110,001x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 则()()2222212132313133222222222.22b c b c cb f ay ay a b y y b c y y a y y a y y y a a a ++⎛⎫⎛⎫=++++-=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令112233102012001b c a y z b c y z a y z +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭, 则二次型化为标准型222123222bc f az az z a=--.可逆矩阵 1011211011001112001001001b c c a a b c b T a a +⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,使得22,2,bc T AT diag a a a ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭.10.秩等于r 的对称矩阵可以表成r 个秩等于1的对称矩阵之和 证：因为对称矩阵A 的秩为r,于是存在可逆矩阵C,使11200rr d d C AC D D D ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪'==+++⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,这里,()1,2,,i D i r = 表示主对角线上第i 个元素为i d ,其余元素为零的对角矩阵.由此,得()()()11111112r A c D C c D C c D C ------'''=+++ .显然,()11ic DC --'的秩为1,且为对称矩阵,故A 可表成r 个秩为1的对称矩阵之和.11.确定实二次型222212212n n f y y y y -=-++- 的秩和符号差.解：做非退化线性替换112212212122212n n n n n nx y y x y yx y y x y y ---=+⎧⎪=-⎪⎪⎨⎪=+⎪=-⎪⎩ , 则二次型(),,f x y z ayz bxz cxy =++,故其秩为2n,符号差为零.12.设11122122A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭是一对称矩阵,且110A ≠,则存在0EX T E ⎛⎫= ⎪⎝⎭使得,1100*A T AT ⎛⎫'=⎪⎝⎭,其中*表示阶数与22A 相同的矩阵. 证：取111120EA A T E -⎛⎫-=⎪⎝⎭, 则()11220111,.1011B C f x B B λλ-⎛⎫⎛⎫===+⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.13.证明12n λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 与12n i ii λλλ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭合同,其中,12,,,n i i i 是1,2, ,n 的一个排列.设两个矩阵分别为A,B 其相应的的二次型分别为2221122,A n n f x x x λλλ=+++ 1222212,n B i i i n f y y y λλλ=+++ 做非退化线性替换,1,2,t t i y x t n == 则B f 化成A f .因此,A,B 合同.14.设B C A C B ⎛⎫=⎪⎝⎭,其中0111,.1011B C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()f x 是实系数多项式,证明：在实数域上存在实数12,λλ和4阶方阵12,,B B 使得1）()1122f x B B λλ=+；2）12210B B B B ==；3）221122,.B B B B ==证：()()()313E A λλλ-=-+,而A 为实对称阵,故存在正交矩阵T ,()1,1,1,3T AT diag '==-,那么()()()()()()()()()()1,1,1,311,1,1,030,0,0,1T f A T diag f f f f f diag f diag '=-=+-令()()()()12121,1,1,0,0,0,0,1.1,3.B Tdiag T B Tdiag T f f λλ''====-则,()1122,f A B B λλ=+12210B B B B ==；3）100A BD CP MP D -⎛⎫-'=⎪⎝⎭.15.设A,B,C,D 为n 阶对称矩阵,A 合同于B,C 合同于D.试问下列结论是否正确？为什么？1）（A+B ）=(C+D);2)00A C ⎛⎫⎪⎝⎭合同于00B D ⎛⎫⎪⎝⎭. 解：1）不正确. 例如,在复数域上,取10101001,,,,01010110A B C D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则A 与B 合同,C 与D 合同,但是A+B 与B+D 不合同.2 ）正确.因1122,,B Q AQ D Q CQ ''==取可逆矩阵121,1Q Q -⎛⎫ ⎪-⎝⎭则11220000.0000Q Q B A Q Q D C '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭16.设分块矩阵M=A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭是对称矩阵,其中,D 为非奇异矩阵,则矩阵M 合同与矩阵10.0A BD C N D -⎛⎫-=⎪⎝⎭证：由M M '=知,,,.A A B C D D '''===令矩阵10Ep D C E -⎛⎫=⎪⎝⎭,则100A BD CP MP D -⎛⎫-'=⎪⎝⎭,即矩阵M 与N 合同.17.n 阶矩阵是反对称矩阵的充分必要条件是：对任意n 维列向量X ,都有0X AX '=.证明：充分性：若对任意X 有0X AX '=,设(),iji n nA a e ⨯=表示第i 个分量为1其余分量为零的n 维列向量,,i j X e e =+则()()0i jije e A e e '++=,即0.iijj ij ji aa a a +++=当i=j 时,得0ii jj a a ==；当i j ≠时,得ij ji a a =-,故得A 是反对称矩阵.必要性：若,A A '=-则对任意X 有(),X AX X AX X A X X AX ''''''====-移项后,可得0X AX '=18.如果n 阶对称矩阵A 对任意n 维列向量X 都有0,X AX '=那么A=0..证：因为A A '=,对任意n 维列向量X 都有0X AX '=,由第761条知,A A '=-,即20A =,故0A =.19.n 阶实矩阵A 是对称矩阵的充分条件是2A A A '=.证：必要性：显然.下面证明充分性：设(),ijn nA a ⨯=由于2AA A '=,故有2,trAA trA '=即21111n nn nijij ji i j i j aa a =====∑∑∑∑整理得()20ij ji i ja a ≠-=∑因A 是实矩阵,故()()ij ji a a i j =≠即12,,,,n λλλ .20.设A,B 为n 阶实对称矩阵,λ是AB 的一个非实特征值,X 是AB 对应于λ的一个特征向量,则. 0X BX '=证：在ABX X λ=的两边取共轭转置得X BA X λ''=,所以X BABX X BX λ''=.即X BX X BX λλ''=,()0X BX λλ'-=.因λ是非实数,即0λλ-≠,所以0X BX '=.21.设A 为一个n 阶实对称矩阵,且0A <,则必存在实n 维向量0X ≠,使0.XBX < 证：设222211,p p r f y y y y +=++--- 的n 个实特征值为12,,,,n λλλ 则由120n A λλλ=< 知A 至少有一个实特征值为负,不妨设10.λ<由第754条的注,存在0β≠,使得10A ββλ'=<.22.设()12,,,n f x x x X AX '= 是一实二次型,若有n 维实向量12,,X X 使11220,0,X AX X AX ''><则必存在n 维实向量00,X ≠使000.X AX '= 证：设秩A=r,则存在非退化线性替换X=CY ,将二次型化为规范形222211,p p r f y y y y +=++--- 由1,p r ≤<若取1211,0,1,r r y y y y -=====则0.f =取()001,0,,0,1,0,,0,0,Y X CY '==≠ 则000.f X AX '==23.设实二次型()2221122,1n n X AX y y y Y BY X X QY QY Y Y λλλ'''''=+++==== ,矩阵A 的特征值12,n λλλ≤≤≤ 则在条件222121n x x x +++= 下,二次型f 的最小值和最大值分别是1λ和2λ.证：存在正交矩阵Q 使()12,,,n Q AQ diag B λλλ'== .作正交替换X=QY,则2221122n n X AX y y y Y BY λλλ''=+++= ,而()1,n Y Y Y BY X AX Y Y X X QY QY Y Y λλ'''''''≤=≤==,故1n X X X AX X X λλ'''≤≤. （1）条件222121n x x x +++= 即1X X '=,因此1n X AX λλ'≤≤.易知上述不等式里X AX '可达到等号,即f 的最小值和最大值分别是1,.n λλ24.设A 是n 阶实对称矩阵,则存在一正实数c,使对任一实n 维向量X 都有X AX cX X ''≤ 证：由767条（1）式,令c={}12max ,,λλ则.X AX cX X ''≤25.设A,B 是n 阶对称矩阵,12,λλ是0A B λ-=的不同根,并且()()1212,,,,,,,n n X x x x Y y y y ''== 分别是()()120,0A B X A B Y λλ-=-=的解,则0,0.X AY X BY ''==证：因为()()()1111,X BY X BY Y BX Y BX Y AX Y AX X AY X BY λλλλ''''''''''=======而12λλ≠,故0,0X BY X AY ''==.26.一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式之积的充分必要条件是：它的秩等于2和符号差等于0,或者秩等于1.证：必要性：设()()()11110,,1,2,,n n n n i i f a x a x b x b x a b i n =++++≠= 均为实数.1）若两个一次式系数成比例,即()1,2,,,i i b ka i n == 不妨设0i a ≠,则非退化线性替换()111,1,2,,,n n i i y a x a x y x i n =++⎧⎨==⎩ 化二次型21f ky =,此时f 的秩为1. 2）若两个一次实系数式不成比例,不妨设1212,a a b b ≠则连续进行下列非退化线性替换()111211,,3,,,n n n n i i y a x a x y b x b x y x i n =++⎧⎪=++⎨⎪==⎩ 及()1121,,3,,,n n ii y z z y z z y z i n =+⎧⎪=-⎨⎪==⎩ 化为二次型221212,f y y z z ==-此时f 的秩为2且符号差为0.充分性：1）若f 的秩等于1,则存在非退化线性替换X=CY 化为二次型为()()()()221212121,11,1n n n n f y y y y y y a x a x a x a x =-=-+=++++ .2）若f 的秩等于2,符号差为0,则存在非退化线性替换X=CY 化为二次型为12,,,,n x x x27.设.s p ≤其中()1,2,,i L i p q =+是12,,,n x x x 的一次齐次式,则()12,,,n f x x x 的正惯性指数,p ≤负惯性指数.q ≤证：()11221,2,,,i i i in n L b x b x b x i p q =+++=+ 再设()12,,,n f x x x 的正惯性指数为s,秩为r,则存在非退化线性替换()()11221,2,,,1i i i in n y c x c x c x i n =+++= 使()2222212121222211,,,.n p p p qs s rf x x x L L L L L y y yy +++=+++---=++--- （2）先证.s p ≤用反证法.假设,s p >注意到线性方程组1111111,111,110,0,0,0,n n p pn n s s n n n nn n b x b x b x b x c x c x c x c x ++++=⎧⎪⎪⎪++=⎪⎨++=⎪⎪⎪++=⎪⎩ 的未知量的个数为n,方程个数为,p n s n +-<故次线性方程组存在非零解()12,,,,n a a a 将它代入（2）,得()22221211,,,0.n p p q s f a a a L L y y ++=---=++=22110p p q s L L y y ++======因此,对一组不全为零的数1122,,,,n n x a x a x a === 使得120n y y y ==== ,这与非退化线性替换（1）的条件相矛盾.类似地可证得f 的负惯性指数q ≤.28.任何一个n 阶可逆复对称矩阵必定合同于以下形式的矩阵之一：0,0r rE E ⎛⎫ ⎪⎝⎭若n=2r ；0000,01r r E E ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭若n=2r+1. 证：设A 为n 阶可逆复对称矩阵.由于两个复对称矩阵合同的充分必要条件是其秩相等,故当n=2r 时,秩(A)=秩0,0r r E n E ⎛⎫=⎪⎝⎭因而A 合同于0;0r r E E ⎛⎫⎪⎝⎭当n=2r+1时,秩(A)=秩0000,001r r E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭因而A 合同于0000001r rE E ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.29.任何一个n 阶可逆实对称矩阵必合同于以下形式的矩阵之一：2000000r rn r E E E -⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭或20000.00r r n r E E E -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ 证：设A 为n 阶可逆实对称矩阵.当A 的符号差0,≥且-1的个数为r 时,A 合同于2;rrn r E E E -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭当A 的符号差<0,且1的个数为r 时,A 合同于11n n ij i j i j A g x x A===∑∑令2rr r r E E P E E -⎛⎫=⎪-⎝⎭,则00rr r r E E P P E E ⎛⎫⎛⎫'= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.故存在可逆矩阵20,0n r PQ E -⎛⎫= ⎪⎝⎭使22,r rrrn r n r E E Q E Q E E E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪'-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22.r rrrn r n r E E Q E Q E E E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪'-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭30设A 是反对称矩阵,则A 合同于矩阵01100110.011000⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭证：用归纳法,当1n =时, ()0A =,命题显然成立.当n=2时,设1212.0a A a ⎛⎫=⎪-⎝⎭若12a =0,命题成立；若120a ≠,A 的第一行,第一列均乘以112a -,得01,10⎛⎫ ⎪-⎝⎭故A 与0110⎛⎫ ⎪-⎝⎭合同.即当1n =或2时,命题都成立.假定n k ≤时命题成立,往证1n k =+时命题成立.设11,11,11,1,1.00k k k k k k k k a a A a a a a ++++⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭若最后一行,一列元素全为零,由归纳假定,命题成立；若最后一行,一列元素不全为零,则经过行,列同时对换,假定,10,k k a +≠于是,110,k k a +-≠去乘最后一行,一列,则A 化成11110110k ka b a b ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭由此将最后两行,两列的其他元素化为零,则A 合同于1,11,10.00000010010k k b b --⎛⎫ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭经过行,列同时对换,将右下角的0110⎛⎫⎪-⎝⎭移到左上角.再有归纳假定即知命题对1n k =+也真,归纳法完成.31.设n 阶是对称矩阵A 是满秩的,ij A 是()ij A a =中元素ij a 的代数余子式,则二次型11n nij i j i j A g x x A===∑∑和二次型f X AX '=有相同的正,负惯性指数.证：因为A 是满秩的,设AX Y =,则1X A Y -=.于是()()1212.2n n N n ++=+++=其中,()12,,,.n Y y y y '= 而1,A A A*-=因此11111,nnijiji j f Y A Y Y A Y A y y A A-*==''===∑∑即()()1212,,,,,,.nnf x x xg y y y = 由于非退还线性替换不改变二次型的秩和符号差,故f 和g 有相同的正负惯性指数.32.如果n 阶实对称矩阵按合同分类,即两个n 阶实对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同,问共有多少类？解：设A 为n 阶实对称矩阵,秩A=r,由742条知,A 仅与下列r+1个对角矩阵之一合同：1220,1,,.00000r r r r E E E E E --⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而r 又可以取0,1, ,n 之一,故按合同分类,n 阶实对称矩阵的类数为()()()12121.2n n N n ++=++++=33.设a bi λ=+为n 阶实方阵A 的任一特征值,则11min max ,22i i a μμ≤≤其中,1,,n μμ 为A A '+的 全部特征值.证：存在正交矩阵T,使()()1,,n T A A T diag μμ''+= .设β是A 属于λ的特征向量,即,A βλβ=则()()2.A A a ββλλββββ''''+=+=令()12,,,,n Y T y y y β''== 则()1,,2,n Y diag Y aY Y μμ''=21111;n nni iii i i i i j nu y y xx x +==≤≤≤=+∑∑∑()()2211min max ,nni ii i i i y a y μμ==≤≤∑∑210.ni i y =≠∑所以min 2max .i i a μμ≤≤同乘以12即得欲证的不等式.34.设A,B,AB 都是n 阶实对称矩阵,λ是AB 的一个特征根,则存在A 的一个特征根s,和B 的一个特征根t,使得.st λ=证：由A,B 都相似于对角矩阵及(),AB AB B A BA '''==故存在可逆矩阵T,使()()()()()()()()111111111,,,,,,,,,n n n n T AT diag s s T BT diag t t TAB T T A T T B T diag s t s t -----====由于11,,n n s t s t 为AB 的全部特征值,从而即得结论.35.设A 为n 实对称矩阵,A 为正定矩阵的充分必要条件是A 的各阶顺序主子式都大于零.36.判定下列二次型是否正定：（1）211;nnii j i i j nxx x =≤≤≤+∑∑（2）2111;nni i i i i j nx x x +=≤≤≤+∑∑解1）记二次型的矩阵为()ij A a =其中1,;1,2ij i j a i j =⎧⎪=⎨≠⎪⎩设A 的k 阶顺序主子式为,k A 则()110,1,2,,.2kk B k k n ⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭由第780条A 为正定矩阵,从而二次型为正定的. 2）记二次型的矩阵为B,并设B 的k 阶顺序主子式为.k B 而110000211100022.10000121000012B ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭()110,1,2,,.2kk B k k n ⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭因此由第780条知二次型是正定的.37.设0,0B A C ⎛⎫=⎪⎝⎭其中B,C 分别为k 阶和m 阶实对称矩阵,那么1）A 为实对称矩阵；2）B,C 都是正定矩阵⇒A 为正定矩阵；3）B,C 都是半正定矩阵⇒A 为半正定矩阵.证：1）显然.2）()1,,0,n X x x '∀=≠ 其中n=k+m,令()1,,,n X Y Y '''= 其中()()1121,,,,,,k k n Y x x Yx x +''== 则12,Y Y 不全为零,于是11220,X AX Y BY Y CY '''=+>即A 为正定矩阵.3）仿照2）可证.38.当a,b,c 取何值时,二次型223123132ax bx ax cx x +++是负定的？解：设二次型矩阵为A,则0000,00.00a c a c A b A b c a c a --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭由于-A 正定⇔A 负定,-A 正定的条件是()()()220,0,0,a a b b a c->-->-->即当0,0,a b a c <<>时,此二次型为负定.39.设12,,,n a a a 为n 个实数,当12,,,n a a a 满足什么条件时,二次型()()()()()22221112223111,,n n n n n n f x x x a x xa xx a x x a x--=++++++++ 是正定的？ 解：由于对任意1,,n x x 都有()1,,0n f x x ≥ ,故二次型()1,,n f x x 半正定.()11122231111122,,0100001000010n n n n n n n n f x x x a x x a x x a x x a x a x a x a x --=⇔+=+==+=+⇔⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）因此f 为正定⇔()1,,0n f x x = 仅有零解⇔方程组（1）仅有零解⇔系数行列式D ()112110.n n a a a +=+-≠ 故当()121.nn a a a ≠- 时,二次型f 正定.40.设A 为正定矩阵,则1）()()1,0,,mA kA k Am Z A -*>∈都是正定矩阵；2）()10,m m g x a x a x a =+++ 其中,又至少有一个为正,则()g A 正定.证：1）设A 的全部特征值为12,,,,n λλλ 则由A 正定知()01,2,,.i i n λ>= 因为1A -是实对称矩阵,它的全部特征值为12111,,,,nλλλ 也全为正,故1A -为正定.同样；kA 实对称,其特征值()12,,0m k k k k λλλ> 全为正,故kA 为正定.m A 实对称,其特征值12,,,,m m m n λλλ 全为正,故m A 正定.因为1,A A A *-=而0,A >由前数述可知m A 正定.2）()g A 的全部特征值为()()()()12,,,,0n g g g k λλλ> 由假设知,他们的全为正,故()g A 为正定.41.设A 是实对称矩阵,则存在实数0,0,αβ>>使得22212.n n n nn b b B b b -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为正定矩阵.证：设A 的特征值为12,,,,n λλλ ,令(),g x x a =+则()g A E A α=+的特征值为12,,,.n a a a λλλ+++ 取max{},i αλ>则E A α+的特征值全为正,E A α+正定.取1,βα=则0β>,()1.E A E A βαα+=+由10,E A αα>+正定知E A β+也正定.42.主对角线上全是1的上三角矩阵称为特殊上三角矩阵.1)设A 是一对称矩阵,T 为特殊上三角矩阵,而,B T AT '=则A 与A 对应的顺序主子式有相同的值；2）如果对称矩阵A 的顺序主子式全不为零,那么一定有一特殊上三角矩阵T 使T AT '成对角形；3）利用以上结果证明：如果实对称矩阵A 的各阶顺序主子式全大于零,则A 是正定矩阵.证：1）设,k k A B 分别为A 和B 的k 阶顺序主子矩阵,下证,1,2,,.k k A B k n == 令,0kn k T T T -*⎛⎫= ⎪⎝⎭其中,i T 为特殊上三角矩阵.0,0*****i i ik k k n k n k T T T T A T B T T --⎛⎫⎛⎫''**⎛⎫⎛⎫*== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则k k k B T A T '=,两边取行列式,并注意1,k T =得.k k B A =2)设n 阶对称矩阵(),ij A a =因为110,a ≠则对A 的第一行和第一列同时进行相应的第三种初等变换 A,可化为T '其中22212.n n n n n b b B b b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 由假设及1）的结论知11111222212200.0a a ab a a =≠从而220,b ≠把1n B -看成上面的A,1n B -又可化为2220.0n bB -⎛⎫ ⎪⎝⎭这继续样下去,可以讲A 化为对角矩阵.由于每进行一次行,列的第三种初等变换,相当于右乘特殊上三角矩阵T 而左乘T ',又特殊上三角矩阵之积仍为特殊上三角矩阵,因此即得2）.3）由2）的结论知,存在特殊上三角矩阵使()12,,,,n T AT diag λλλ'= 由1）知11121111221220,0,a a a a a λλλ⎛⎫=>=>⎪⎝⎭从而20.λ>这样继续下去证得一切0,1,2,,.i i n λ>= 考虑实二次型,X AX '令X TY =则()2211,n nX AX Y T AT Y y y λλ'''==++ 因此,当0X ≠时有0Y ≠,从而得知0,X AX '>即A 为正定矩阵.43若()11n nij ijijji i j a x x aa ===∑∑是正定二次型,则f 为负定二次型,其中()111121221,111,,,.0nn nn ij j i i j n nn n na a y a a y f y y A y y a a y y y ==-∑证：令(),ijn nA a ⨯=由第402条知()1,1,,,nn ij j i i j f y y A y y ==-∑ 其中ij A 是ij a 的代数余子式.上式说明二次型f 的相应的矩阵为().A *'-由A 正定知A *正定,这样()A A **'-=-负定.故f 为负定二次型.44.设A 为正定矩阵,则1）1,nn n A a P -≤这里1n P -是A 的n-1阶顺序主子式；2）()1122.nn A a a a ≤证：1）设1,n nnA X A X a -='其中()1112,1,,,,.n n n n n n P A X a a a ---'== 于是111,00n n n nnnnA X A X A X A X a a X ---==+''由第791条知1c o c os 1c o s .c o sc o s 1A B A A C B C --⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭由A 正定知1n A -正定,从而11n A --正定,1110.n n A X A X ---'>所以1.nn n A a P -≤2）反复利用1）,则2）显然成立45.设()ij T t =是n 阶实可逆矩阵,则()()22211.nij i ni i T t T t t ==≤++∏ 证：因T是n阶实可逆矩阵,所以T T '是正定矩阵,于是21122121*,*n k k nk k nkn k t t T T t ===⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪'=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑由第792条知()22211.n i ni i T T T t t ='=≤++∏ 46.设A,B,C 为三角形的内三角,则对任意实数x,y,z 有2222cos 2cos 2cos .x y z xy A xz B zy C ++≥++证：考虑二次型()222,,2cos 2cos 2cos .f x y z x y z xy A xz B yz C =++---其矩阵为1cos cos cos 1cos .cos cos 1A B A AC B C --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭由于A 的全部一阶主子式都等于一,二阶主子式都有形式21c o s ,α-因而221cos sin 0,αα-=≥唯一的三阶主子式22212cos cos cos cos cos cos ,A A B C A B C =----故二次型半正定,所以,对任意实数x,y,z 有(),,0.f x y z ≥故2222cos 2cos 2cos .x y z xy A xz B zy C ++≥++47.t 为何值时,二次型()222123123121323,,5222f x x x tx tx x tx x x x x x =+-+--是半负定的.解：设f 所对应的矩阵为A,则11.115t t A tt --⎛⎫⎪-=-- ⎪ ⎪⎝⎭f 为半负定二次型A ⇔-为半正定矩阵A ⇔-的一切主子式都非负01.5105t t t -≥⎧⇔⇔≤-⎨--≥⎩48.2211nn ii i i n x x ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑是半正定二次型.证：1）()2221110.nn i i i j i i i j nn x x x x ==≤≤≤⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭∑∑∑49.设A,B 都是n n ⨯实对称B,则A-B 与B-A 均为半正定矩阵.A B ⇔= 证：充分性 显然必要性,令C=A-B.设C 的n 个特征值为1,,,n λλ 那么A-B=B-A 的n 个值为1,,.n λλ-- 由于C 半正定得0,1,2,,i i n λ≥= 再由-C 半正定得0,1,2,,i i n λ-≥= 故0,1,2,,.i i n λ== 则存在正交矩阵T 使得()11,,0.n T CT diag λλ-== 所以C=A-B=0,即A=B.50.设A,B 和A-B 都是半正定矩阵,则.A B ≥ 1）当0,B =结论显然成立.2)当0,B >时,则B 为正定矩阵,由正定矩阵的充分必要条件易得存在正定矩阵G,使得2B G =.由A-B 是半正定知()11G A B G ---半正定矩阵.令 ()1111.C GA B G G AG E ----=-=-（1）由于11G AG--是实对称矩阵,因此存在正交矩阵T,使()()111,,,n T G AG T diag λλ--'= （2）其中,1,,n λλ 为11G AG --的全部特征值.由（1）,(2)得1111n T CT λλ--⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（3）因为C 是半正定矩阵,由（3）得10,i λ-≥即1,1,2,,.i i n λ≥= （2）式两边取行列式得111 1.n G A G λλ--=≥ 两边乘以B ,并注意2,B G=得.A B ≥51.设半正定矩阵11122122,A A A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭其中1122,A A 为方阵,则1122.A A A ≤ 证：由于A 是半正定的,所以1122,A A 也是半正定的.1）若0.A =则结论显然成立.2）若0,A ≠由A 半正定知A 为正定矩阵,从而11A 为正定矩阵.令11112,0EA A T E -⎛⎫-=⎪⎝⎭则111222211120.0A T AT A A A A -⎛⎫'=⎪-⎝⎭(1)两边取行列式得11122221112A A A A A A -=∙-（2）由T AT '半正定知122221112A A A A --半正定,若()()112222221112221112A A A A A A A A ----=,则由798条知12222221112,A A A A A -≥-将它代入（2）式即得结论.52.()hadamard 设()ij A a =为n 阶实方阵,则2211n nij j i A a ==≤∑∏证：令,B A A '=则B 为半正定矩阵,在21122121*,*n k k nkk nnk k a aB a ===⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑的两边取行列式,再由799条得2211.n nij j i A B a ===≤∑∏53.设实对称矩阵A 的特征值全部大于a,实对称矩阵B 的特征值全部大于b,则A+B 的特征值全部大于a+b.证：设A 的特征值为1,,,n λλ 则A-aE 的特征值为1,,,n a a λλ-- 由假设知A-aE 的特征值全为正,故A-aE 正定.同理可证B-bE 也是正定.由于（A+B ）-(a+b)E=（A-aE ）+(B-bE),故知（A+B ）-(a+b)E 正定,则（A+B ）-(a+b)E 的特征值为λ-（a+b ）.从而λ>a+b,即A+B 的特征值全部大于a+b.54.()Schur 设n 阶矩阵()(),ij ij A a B b ==均为正定矩阵,(),ij C c =其中,ij ij ij c a b =则C 为正定矩阵.证：由B 为正定矩阵知,存在可逆矩阵P 使得.B P P '=令(),ij P p =则1.nij kikj k b pp ==∑由于是对任意()1,,0,n X x x '=≠有11111n n n nn ij ij i j ij ki kj i j i j i j k X CX a b x x a p p x x =====⎛⎫'== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑ ()()()111111111,,,k nnnnnij ki i kj j k kn n k k i j k k k kn n p x a p x p x p x p x A Y AX p x =====⎛⎫ ⎪'=== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑ 其中()11,,.k k kn n Y p x p x '= 由0X ≠及P 可逆易知0.s Y ≠由A 正定知0,s s Y AY '>从而0,X CX '>故知C 是正定矩阵.55.设A,B,是正定矩阵,AB 是正定矩阵的充分必要条件AB=BA.证：必要性,显然,下证充分条件.由于A,B 均相似于对角矩阵,且AB=BA,从而存在可逆矩阵T,使()()1111,,,,,.n n T AT diag T BT diag λλμμ--== 由A,B 为正定矩阵知0,0,1,2,,.i i i n λμ>>= 但()()111,,,n n T AB T diag λμλμ-= 所以AB 的特征值11,,n n λμλμ 都大于零,故AB 正定.56.设A 是n 阶正定矩阵,B 是n 阶实对称矩阵,则必存在n 阶可逆矩阵T,使得1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= 其中1,,n μμ 是0A B λ-=的n 个实根.证：因为A 合同于E,故存在可逆矩阵P 使得1,P AP E -=由于B 是实对称矩阵,则1P BP -也是实对称矩阵.从而存在正交矩阵Q 使得()()111,,,n QPBP Q diag μμ--= 其中1,,n μμ 为1P BP -的实特征值.令T=PQ,则1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= ()()11,,.n TA B T diag λλμλμ--=--两边取行列式有()()21,n T A B λλμλμ-=-- 故1,,n μμ 为0A B λ-=的全部实根.57.设A 是n 阶正定矩阵,AB 是n 阶实对称矩阵,则AB 是正定矩阵等价于B 的特征值全大于零.证：必要性：由第805条得知1T AT E -=,()()1,,.n T AB T diag μμ'= 由于合同不改变正定性,故0,1,2,,i i n μ>= .所以()1111T AB T T ATT BT T BT ----==可知B 的特征值全大于零.充分性：有必要性证明知（1）式的1,,n μμ 是B 的特征值,而0,1,2,,i i n μ>= ,所以()1TAB T -正定,因而可知AB 也正定.58.设A 是n 阶是矩阵,C 是n 阶正定矩阵,若存在正定矩阵B 使得 ,AB BA C '+=-则A 的全部特征值全小于零.证：由假设及第805条可知存在可逆矩阵使得,T BT E '=()1,,,n T CT diag c c '= 其中1,,n c c 都大于零.用T '左乘,T右乘,A B B A C '+=-两边得()()11,T A T T BT T BT TAT T CT --'''''''==-()()()()111,,.nT A T T A T diag c c --'''''+=-- 任取A 的一个特征值ia b λλ=+,则知11max min 0.22i i c a c -≤≤-<59.设2111,nnii n i i i f a xb x x -+===+∑∑其中a,b 为实数,问a ,b 满足什么条件时,二次型f 正定的.解：设对应的矩阵为A,k ∆为A 的k 级顺序主子式（k=1,2,...,n ）,由735条知：1）当n=2m时,有()22,1,2,,;,1,2,,.k k km k m k a k m a a b k m -+⎡⎢⎢∆==∆=-=⎣故当a >0,220a b ->时,f 为正定二次型.2）当n=2m+1时,有()()()221,1,2,,;;,1,2,,.kk m m km k m k a k m a b a a b a a b k m -++∆==∆=+∆=⎡⎢⎢⎢⎢⎣+-= , 故当a >0,0,0a b a b ->+>时f 为正定二次型.60.设,A A '=则A 可逆等价于存在矩阵B 使得AB B A '+正定.证：必要性：令1B A -=即可.充分性：由于AB B A '+正定,故对任意n 维列向量00,X ≠有()()()()0000000002.X AB B A X AX BX BX AX AX BX '''''<+=+=由此知,00,A X ≠这就是说0A X =只有零解,故A 可逆.61设A 为n 阶半正定矩阵,则1）当B 是n 阶正定矩阵时,,A B B +≥当且仅当A=0时等号成立；2）当0A ≠时1A E +>.证：1）由第805条,存在可逆矩阵T 使得1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= （1）()()111,,1.n T A B T diag λμμ-+=++ （2）由A 半正定知0,1,2,,.i i n μ>= 于是在（1）,（2）两式两边取行列式可得()()()11110,1,2,,.0.n i i n A μμμ++=⇔==⇔= (3)消去2T即得.A B B +≥由于（3）式成立等号的条件是()()()11110,1,2,,.0.n i i n A μμμ++=⇔==⇔=2)在1）中令B=E 即可.62.设A 是n 阶正定矩阵,B 为n 阶非零半正定矩阵,证明：.A B A B +>+证：由805条知存在可逆矩阵T,使得1T AT E -=,()11,,,n T BT diag μμ-= 其中0,1,2,,.i i n μ≥= 并至少有一个0k μ>不然B 就等于零.于是()0.0,0.A B X A B X X A X X ''+>+=>∀≠两边消去2T ,即得所要证明.63 设A 是n 阶正定矩阵,B 是非零实反对称矩阵,则0.A B +>证：由B 是反对称矩阵及由第761条知0,X BX '=故由假设A 为正定矩阵得()00100,0.X A B X X AX X ''+=>∀≠(1)若0.A B +=则()0A B X +=由非零解0X .于是()000X A B X '+=,这与（1）式矛盾.（2）若0A B +<,则由第765条知存在10X ≠,使得()110X A B X '+<,这也与（1）式矛盾.故原命题成立.。
二次型基础练习及参考答案
二次型基础练习及参考答案一. 填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为 ，秩为 ，正惯性指数为 ，规范形为 .2、与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由 所唯一确定.4、实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n.5、写出3级实对称矩阵所有可能的规范形：， ， ， ，， ， ， ，， . 6. 实二次型12(,,,)n f x x x =AX X T 正定⇔ ⇔ .二. 判断题1、设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使T C AC B =，则A 与B 合同. （ ）2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ ）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ ）4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ ）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ ）6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ ）7、若实二次型1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)n nn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ ）三. 求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换.四. 证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使0=+P P A T .2. 设A, B 都是正定矩阵, 证明A+B 也是正定矩阵.3. 如果A 是正定矩阵, 证明1-A 也是正定矩阵.第五章 二次型基础练习及参考答案一. 填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1332，秩为 2，正惯性指数为 1 ，标准形为22212112x x -，规范形为2221x x -. 二次型的矩阵必须是对称矩阵.2、与对称矩阵合同的矩阵只能是 对称 矩阵.设A 是对称矩阵, A 与B 合同, 则AC C B T =, 其中C 是可逆矩阵, 于是AC C C A C AC C B T T T T T T ===)(, 所以B 也是对称矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由 它的秩 所唯一确定.因为复二次型的规范形为22221r y y y +++ , 其中r 是二次型的秩. 4、实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ >0，i=1,2,…,n.该二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d21, 二次型正定的充要条件是其矩阵的顺序主子式都大于零, 于是有0,0211>>d d d , 得0,03212>>d d d d 又, 得03>d ,…, 依次下去得所有n i d i ,...,2,1,0=>.反之,若n i d i ,...,2,1,0=>,则对于任意的nn Rc c c ∈),...,,(21,0),...,,(222221121>+++=n n n c d c d c d c c c f , 所以二次型正定.5、写出3级实对称矩阵所有可能的规范形：0 ， E ， -E ， E 11，-E 11 , E 11+E 22 , -(E 11+E 22) , E 11-E 22 ，E 11+E 22-E 33， E 11-E 22+E 33 6. 实二次型12(,,,)n f x x x =AX X T 正定⇔|A|的顺序主子式均大于零⇔ 对任意的n n R c c c ∈),...,,(21, 0),...,,(21>n c c c f .二. 判断题1. 设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同. （ F ）应该是存在可逆矩阵.2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ T ）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ F ）当A 是奇数阶矩阵时, 结论成立.4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ T ）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ F ）正确答案应该是奇数阶的顺序主子式小于零, 偶数阶的顺序主子式大于零. 6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ T ） 非退化的线性替换不会改变二次型惯性指数.7、若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ T ）这是因为1211(,,,)n nn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑= -1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑, 所以它们的秩相等, 正负惯性指数互为相反数.三. 求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换. 写出该二次型的秩, 正惯性指数和符号差. 这是一个什么二次型(正定,负定,不定)解法1：用合同变换把二次型的矩阵化为对角形:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−→−--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100431043114900040001434310001001103034000110001000103033101123231212r r c c r r c c E A . 经过非退化线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132110043104311y y y x x x ，标准形为.494232221x x x +- 解法2. (配方法) 22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---=23232221322222149)43(4)(64)(x x x x x x x x x x ++--=--- 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=3332221143x y x x y x x y , 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=3332232114343y x y y x y y y x , 则二次型化为标准形:222221231212231239(,,)32644f x x x x x x x x x y y y =---=-+. 该二次型的秩为3, 正惯性指数是2, 符号差为1. 这是一个不定二次型.四. 证明题1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.证明：因为A 是负定矩阵，所以-A 是正定矩阵, 于是存在可逆矩阵Q 使得Q T (-A)Q=-E, 则A= --(Q T )-1Q -1, 令P=Q -1为所求.2. 设A, B 都是正定矩阵, 证明A+B 也是正定矩阵.证明: 由于A, B 都是正定矩阵, 所以AX X X f T =)(, BX X X g T =)(都是正定二次型, 所以对任意的n T n R c c c ∈=),...,,(21α,0)(,0)(>=>=ααααααB g A f TT0)(>+=+ααααααB A B A T T T , 所以A+B 也是正定矩阵.3. 如果A 是正定矩阵, 证明*A 和1-A 也是正定矩阵.证明: 因为A A A A A T T ==-1, 所以A 与1-A 合同, 由A 正定, 得1-A 正定.对于*A , 因为1*||1-=A A A , 由A 正定得|A|>0, 所以0||1>A . 再由1-A 正定得1-A 的所以顺序主子式均大于零, 而*A 的k 阶顺序主子式等于kA ||1乘以1-A 的一个相应的k 阶顺序主子式, 所以*A 的所有k 阶顺序主子式大于零. *A 正定.。
高等代数习题-二次型
2 2 原式 =-z1 + 4 z2 2 + z3 .
(3)
此即原二次型的标准型. 将式(3)代入式(1), 得
ì 1 1 ï ï x1 = z1 + z2 + z3, ï ï 2 2 ï ï ï 1 1 ï í x2 = z1 - z 2 + z3, ï 2 2 ï ï ï x3 = z3 , ï ï ï î ï
2 aij = 0
(i , j = 1,2,L , n) ,
A =0 .
例 5、 如果把实 n 级对称矩阵按合同分类, 即两个实 n 级对称矩阵属于同一类当
且仅当它们合同, 问共有几类? 解 ： 当实对称矩阵 A 与 B 合同时, 则有 d1 T ' BT = C ' AC = 反之亦然. 下面考虑相应二次型的情况 : 在 d i 中可分为 r 个 正， r − 1 个 正， M 2 1 0 个 正， 个 正， 个 正， 0 1 个 负 个 负 d2 dr 0 . 0
1ù ú 2ú ú 1ú -1 ú 2ú 0 1 úú ú û 1
ì z1 = t3 , ï ï ï ï (II) 令 í z 2 = t 2 / 2, 得 ï ï ï ï î z3 = t1,
é-1 0 0ù ê ú = êê 0 4 0úú . ê 0 0 1ú ë û
ì x1 = (t1 + t2 + t3 )/2, ï ï ï ï í x2 = (t1- t2 + t3) / 2, ï ï ï ï î x3 = t1,
f = t12 + t22 - t32 ；
则实二次型的规范形为
再令
ì t1 = w1, ï ï ï ï ít 2 = w2 , 得 ï ï ï ï ît3 = i w3 ,
线性代数二次型习题及答案
第六章 二次型1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T2222=B C A C .令 12⎛⎫=⎪⎝⎭C C C ，则C 可逆，于是有 TT 1111111T2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同.2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T=A A .因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T=B C AC ，于是T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B即B 为对称矩阵.3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使E AM M =T记T1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使T 11diag(,,)n D μμ==Q B QT 11,,.n μμ=B M BM 其中为的特征值令P=MQ ，则有D BP PE AP P ==T T ,,A B 同时合同对角阵.4．设二次型2111()mi in n i f ax a x ==++∑，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .证：方法一 将二次型f 写成如下形式：2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑设A i = 1(,,,,)i ij in a a a ),,1(m i =则 1111111jn i ij in i m mj mj m a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A于是 1T T T TT 11(,,,,)mi m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A A A A A A A A A故 2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑=1211[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑=1T11(,,)()mj n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A=X T(A TA )X因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．方法二 设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=. 记T 1(,,)m y y =Y ，于是=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X ，则222T T T 11()m i m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X .因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ． 5．设A 为实对称可逆阵，Tf x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规范形.证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=.因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即T T T T T1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y22211i i n n y y y λλλ=++++ （*）因为A 是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规范形.⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规范形，于是T T()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---T =Y DY其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D .显然D 是正交矩阵，由T =D Q AQ ，故T=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A是正交矩阵.6．设A 为实对称阵，||0<A ，则存在非零列向量ξ，使T0<ξAξ. 证：方法一因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D其中(1,,)i i n λ=是A 的特征值，由||0<A ，故至少存在一个特征值k λ，使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξP ，则有T T0(0,,1,,0)10⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ξAξP AP 1(0,,1,0,0)kn λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭010⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0k λ=< 方法二（反证法）若∀≠X 0，都有T0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与||0<A 矛盾.7．设n 元实二次型AX X T =f ，证明f 在条件122221=+++n x x x 下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．解：设f n 是λλλ,,,21 的特征值，则存在正交变换=X PY ，使2222211T T T )(n n y y y f λλλ+++=== Y AP P Y AX X设k λ是n λλλ,,,21 中最大者，当122221T =+++=n x x x X X 时，有122221T T T T =+++===n y y y Y Y PY P Y X X因此k n k n n y y y y y y f λλλλλ≤+++≤+++=)( 222212222211这说明在22221n x x x +++ =1的条件下f 的最大值不超过k λ．设 TT 10)0.,0,1,0,,0(),,,,( ==n k y y y Y 则 10T0=Y Yk n n k k y y y y f λλλλλ=+++++=22222211令00PY X =，则1T 00T0==Y Y X X并且k f λ===0T T 00T00)()(Y AP P Y AX X X这说明f 在0X 达到k λ，即f 在122221=+++n x x x 条件下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．8．设A 正定，P 可逆，则T P AP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使T=A Q Q ， 于是 TTTT()==P AP P Q QP QP QP ，显然QP 为可逆矩阵，且T T T T ()()==P AP QP QP P AP ，即T P AP 是实对称阵，故T P AP 正定.9．设A 为实对称矩阵，则A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵B ，使AB +A B T 正定． 证：先证必要性取1-=B A ，因为A 为实对称矩阵，则2E A A E A B AB =+=+-T 1T )(当然A B AB T+是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．若A 不是可逆阵，则r （A ）<n ，于是存在00,≠=X AX 使00因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有0 )()()(0T T00T 00T T 0=+=+AX B X BX AX X A B AB X这与AB T+AB B A 是正定矩阵矛盾．10．设A 为正定阵，则2*13-++A A A 仍为正定阵.证：因为A 是正定阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值全大于零，易见2*1,,-A A A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,-A A A 全是正定矩阵，2*13-++A A A 为实对称阵. 对∀≠X 0，有T 2*1T 2T *T 1(3)0--++=++>X A A A X X A X X A X X A X即 2*13-++A A A 的正定矩阵.11．设A 正定，B 为半正定，则+A B 正定.证：显然,A B 为实对称阵，故+A B 为实对称阵. 对∀≠X 0，T0>X AX ，T 0≥X BX ，因T ()0+>X A B X ，故+A B 为正定矩阵.12．设n 阶实对称阵,A B 的特征值全大于0，A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定.证：设,A B 的特征值分别为,(1,,)i i i n λμ=.由题设知0,0,1,,i i i n λμ>>=.因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)i n =P P P P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ=P AP即 ,i i i i λ=AP P P 为A 的特征向量，1,,i n =. 由已知条件i P 也是B 的特征向量，故1,,,i i ii i n μ==BP P因此 ()i i i i i i μλμ==ABP A P P ，这说明i i λμ是AB 的特征值，且0i i λμ>，1,,i n =.又因为 T 111diag(,,,,),i i n n λμλμλμ-==ABP P P P .故 11diag(,,,,)i i n n λμλμλμ=AB P P ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13．设n n ij a ⨯=)(A 为正定矩阵，n b b b ,,,21 为非零实数，记()ij i j n n a b b ⨯=B则方阵B 为正定矩阵．证：方法一 因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即ji ij a a =，所以i j ji j i ij b b a b b a =，这说明B 是对称矩阵，显然211112*********222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =1111110000n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任给的n 维向量1(,,)T 0n x x =≠X ，因n b b b ,,,21 为非零实数，所以),,(11n n x b x b T 0≠，又因为A 是正定矩阵，因此有1111110000TT n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X BX X X =),,(11n n x b x b 1111n n nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11n n b x b x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0> 即B 是正定矩阵． 方法二 记211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B则因为A 是实对称矩阵，显然B 是实对称矩阵，B 的k 阶顺序主子阵k B 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100n b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭而得到，即=k B 1111110000k k k kk k a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 计算k B 的行列式，有012>=∏=k k A B ni i b故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则0>+B A .证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n 阶实矩阵M ，如果对任意非零列向量X ，均有0T >MX X可推出M 的特征值(或者其实部)大于零． 由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有0>M ．因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X ，均有,0)(T >+X B A X而A +B 显然是实矩阵，故0>+B A .15．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，则r (B TAB )=r (B )．证：考虑线性方程组T00==BX B ABX 与，显然线性方程组0=BXT 0=B ABX 的解一定是的解．考虑线性方程组T0=B ABX ，若0X 是线性方程组T 0=B ABX 的任一解，因此有0T 0=B ABX ．上式两端左乘有T0XT 00()()0=BX A BX因为A 是正定矩阵，因此必有00=BX ，故线性方程组0=BX 与 T0=B ABX 是同解方程组，所以必有r (B T AB )= r (B ).16．设A 为实对称阵，则存在实数k ，使||0k +>A E . 证：因为A 为实对称阵，则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i i λλλ-=P AP .其中i λ为A 的特征值，且为实数，1,,2i =. 于是11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()ni i k λ==+∏取1max{||1}i i nk λ≤≤=+，则1()0nii k λ=+>∏，故 ||0k +>A E .17．设A 为n 阶正定阵，则对任意实数0k >，均有||nk k +>A E . 证：因为A 为正定矩阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值0,1,,i i n λ>=. 则存在正交矩阵P ，使1111,iin n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP A P P 于是对任意0k >，有11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()n i i k λ==+∏1ni k =>∏n k =.18．设A 为半正定阵，则对任意实数0k >，均有||0k +>A E . 证：因为A 为半正定矩阵，故A 为实对称矩阵，且A 的特征值0i λ≥，1,,i n =. 则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i n λλλ-=P AP ，11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P于是对任意0k >，有11||||diag(,,,,)||i n k k k k λλλ-+=+++A E P P 1()ni i k λ==+∏n k ≥0>.19．A 为n 阶实矩阵，λ为正实数，记Tλ=+B E A A ，则B 正定.证：T T T T()λλ=+=+=B E A A E A A B ，故B 是实对称矩阵. 对∀≠X 0，有(,)0,(,)0>≥X X AX AX ，因此有TTT()λ=+X BX X E A A X T T Tλ=+X X X A AX (,)(,)λ=+X X AX AX 0>故 Tλ=+B E A A 为正定矩阵.20．A 是m ⨯n 实矩阵，若A A T 是正定矩阵的充分必要条件为A 是列满秩矩阵． 证：先证必要性方法一设A A T 是正定矩阵，故00∀≠X ，有0)()()(0T 00T T 0>=AX AX X A A X由此00≠AX ，即线性方程组0=AX 仅有零解，所以r (A )=n ，即A 是列满秩矩阵．方法二因为A A T是正定矩阵，故r(A A T)=n ，由于n r r n ≤≤≤)()(T A A A所以r (A )=n ． 即A 是列满秩矩阵．再证充分性：因A 是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，0∀≠X ，X 为实向量，有0≠AX ．因此0),()()()(T T T >==AX AX AX AX X A A X显然A A T 是实对称矩阵，所以A A T 是正定矩阵．21．设A 为n 阶实对称阵，且满足2640-+=A A E ，则A 为正定阵.证：设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的属于特征值λ的特征向量，故≠ξ0，则22,λλ==A ξξA ξξ由 2640-+=A A E 有 264-+=A ξAξξ02(64)λλ-+=ξ0由 ≠ξ0，故 2640λλ-+=.30λ=>.因为A 为实对称矩阵，故A 为正定阵.22．设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为T T 12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，求一正交变换=X PY ，将二次型Tf =X AX 化成标准形.解：设T3123(,,)x x x =ξ为A 的属于特征值3的特征向量，由于A 是实对称矩阵，故123,,ξξξ满足正交条件12312310000110x x x x x x ⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩ 解之可取3(0,1,1)=-ξ，将其单位化有T T T123(1,0,0),,===P P P令123100(,,)0⎛⎫⎪⎪⎪== ⎪⎪⎝P P P P.则在正交变换=X PY下，将f化成标准形为T T T222123()23f y y y===++X AX Y P AP Y23．设1222424aa-⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭A二次型Tf=X AX经正交变换=X PY化成标准形239f y=，求所作的正交变换.解：由f的标准形为239f y=，故A的特征值为1230,9λλλ===.故2122||24(9)24aaλλλλλλ---=--=----E A令0λ=，则12224024aa----=---解之4a=-.由此122244244-⎛⎫⎪=--⎪⎪-⎝⎭A对于12λλ==有1221220244000244000---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A可得A的两个正交的特征向量12222,112-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ对于39λ=，可得A 的特征向量为122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量单位化得1232211112,1,2333122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P则1232211(,,)2123122-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P P P P 为正交矩阵， 正交变换=X PY 为22112123122-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭X Y .注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P 不惟一.24．已知二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =++-++正定，求k .解：二次型的表示矩阵1120101kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A由A 正定，应有A 的各阶顺序主子式全大于0. 故 102||0k k A ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2220(2)0k k k k ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩. 解之 10k -<<.25．试问：三元方程2221231213231233332220x x x x x x x x x x x x +++++---=，在三维空间中代表何种几何曲面.解：记222123121323123333222f x x x x x x x x x x x x =+++++---则 111232233311(,,)131(1,1,1)113x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设 311131113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .则2||(2)(5)λλλ-=--E A . 故A 的特征值为1232,5λλλ===.对于122λλ==，求得特征向量为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ.由Schmidt 正交化得1212111,201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ββ.对于35λ=得特征向量3111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，标准化得123,,0⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P 令123(,,)0⎛ ==⎝P P P P则在正交变换=X PY 下2221233225f y y y =++于是0f =为2221233225(1020y y y ++-= 为椭球面.26．求出二次型222123123123(2)(2)(2)f x x x x x x x x x =-+++-+++-的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有2221231213234442f x x x x x x x x x =++--+2221231213234424x x x x x x x x x +++-+-2221231213234244x x x x x x x x x ++++--222123121323666666x x x x x x x x x =++---2221231213236()x x x x x x x x x =++---2221232323113336[()]22442x x x x x x x =--++-22123231196()()222x x x x x =--+- 令 1123223331122y x x x y x x y x⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即 11223311122011001y x y x y x ⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则可逆变换为1122331112011001x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭在此可逆线性变换下f 的标准形为2212962f y y =+. 27．用初等变换和配方法分别将二次型（1）222112412142432442f x x x x x x x x x =--++-+ （2）2122313262f x x x x x x =-+化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换. 解：先用配方法求解（1）2221112142424(44)322f x x x x x x x x x =-+--++2221242424(22)66x x x x x x x =--+++-222124244(22)(3)3x x x x x x =--++--令 11242243344223y x x x y x x y x y x =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即 11242243344243x y y y x y y x y x y =++⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩令 1204010300100001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211243f y y y =-+-若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11223344y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 则原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221124f y y y =-+-.（2）先线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩原二次型化成22212132313232()6622f y y y y y y y y y y =--+++221213232248y y y y y y =--+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩. 令1110110001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，2101012001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭P则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P z 化成标准形2222123226f z z z =-+若再令112233w w w ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 即11223322z w z w z w ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令22⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P Qw 化成规范形2222123f w w w =-+.用初等变换法求解（1）设1202230100002102--⎛⎫⎪- ⎪=⎪⎪ ⎪-⎝⎭A41202100023010100()0000001021020001--⎛⎫⎪- ⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121221021000010321000000001023020001r r c c +⨯+⨯--⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪⎪⎪--⎝⎭4141(2)(2)10001000010321000000001003062001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭42423310001000010021000000001000034301r r c c +⨯+⨯-⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭331000100001002100000000100001033r c -⎛⎫⎪⎪ ⎪→- ⎝⎭令 T11000210000104301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，T21000210000100⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=P则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211233f y y y =-+-. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221124f z z z =-+-.（2）设011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A3011100()103010130001⎛⎫⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭A E 3232(1)(1)010100103010036011r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭ 313133010100100010006311r r c c +⨯+⨯⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1212210100100010006311r r c c ++⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭21211()21()2200110111000222006311r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭112233,,,10000100001266r c r c r c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ - ⎝⎭令 T111011022311⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭P ，T200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝P 则原二次型2f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22221231262f y y y =-+ 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2222123f z z z =-+28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）2221122332343f x x x x x =+++（2）222221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+解：先用配方法求解（1）222112233423()33f x x x x x =+++22212332523()33x x x x =+++ 令 112233323y x y x x y x =⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即 112233323x y x y y x y =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩令 1002013001⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P则二次型1f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形 22211235233f y y y =++ 若再令1122333z z z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 即1122335y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩ 令35⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221123f z z z =++.（2）22222112142342334(22)22f x x x x x x x x x x x x =+-+++-+ 221243233424()222x x x x x x x x x x =+-+-++ 2222124324244()()(2)3x x x x x x x x x =+-+-+--+令 11242243234442y x x x y x x y x x x y x =+-⎧⎪=-⎪⎨=-++⎪⎪=⎩ 即 11242243234442x y y y x y y x y y y x y =--⎧⎪=+⎪⎨=++⎪⎪=⎩令 110101020*******--⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型2f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形2222212343f y y y y =-++若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即112233443y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 原二次型2f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形222221234f z z z z =-++.用初等变换法求解（1）设200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A3200100()032010023001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A E 32322()32()320010003001052000133r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112310000010000010155r c r c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→ ⎪ - ⎝⎭令TT1200100010,0020130⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ - ⎪ ⎝⎭⎝P P 则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211235233f y y y =++. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221123f z z z =++.（2）设1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A 41101100011100100()0111001010110001-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121(1)(1)10011000001111000111001011110001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭414110001000001111000111001001101001r r c c ++⎛⎫⎪-- ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 323210001000001111000112111001201001r r c c ++⎛⎫ ⎪-- ⎪−−−→ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭343410001000000111000032011101201001r r c c ++⎛⎫ ⎪- ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 3232(2)(2)10001000000111000030211101001001r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭242410001000020101010030211101001001r r c c ++⎛⎫⎪ ⎪−−−→ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 42421()21()210001000020001010030211111100010222r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭223344100010000100000010333300010r cr cr c⎛⎫⎪→ ⎪-⎪-⎝令T1100001012111111022⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎪-⎪⎝⎭PT210000022⎛⎫⎪=-⎝⎭P则原二次型2f可经可逆线性变换1=x P y化成标准形2222212341232f y y y y=++-.2f可经可逆线性变换2=x P z化成规范形222221234f z z z z=++-用正交变换法求解（1）1f的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，由200||032(1)(2)(5)023λλλλλλλ--=--=-----E A，知A的特征值为1,2,5.对11λ=，解123100002200220xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，取111⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭T，单位化1⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎝P，对22λ=，解123000001200210xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1231xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取21⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P，对35λ=解123300002200220xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取311⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭T，单位化得322⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭P，令0102222⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，则P为正交阵，经正交变换=X PY，原二次型f化为T22212325f y y y==++X AX.（2）2f的矩阵为1101111001111011-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪-⎝⎭A由11011110||01111011λλλλλ-----=----E A2(1)(3)(1)λλλ=+--知A的特征值为1,3,1,1-.对11λ=-，解12342101012100,0121010120xxxx--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪--⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取11111⎛⎫⎪- ⎪=⎪-⎪⎪⎝⎭T单位化得112121212⎛⎫⎪⎪⎪-⎪= ⎪⎪-⎪⎪⎪⎝⎭P，对23λ=，解12342101012100,0121010120xxxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭得12341111xxkxx-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.取 21111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得 212121212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P . 对341λλ==，解12340101010100,010*******x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12123410011001x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取 341001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T ， 再令340202,002⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭P P 令11022110222110222110222⎛⎫- ⎪ --⎪= ⎪- ⎪ ⎝⎭P ，则P 为正交阵，经正交变换=X PY ， 原二次型f 化为T 222212343f y y y y ==-+++X AX .29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）2221223121326422f x x x x x x x =---++解：二次型1f 的矩阵为211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭AA 的各阶顺序全子式2112120,110,1603801614---<=>-=-<--. 所以二次型1f 是负定二次型.（2）22222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：二次型2f 的矩阵为11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1110,2013->=>-，1121306029--=>，11211303240209613619---=>--- 所以二次型2f 是正定二次型.（3）222231234131423147644f x x x x x x x x x x =+++++-解：二次型3f 的矩阵为10320120321402007⎛⎫⎪- ⎪=⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1010,1001>=>，103012103214-=>-，1320120330321402007-=-<-. 所以二次型3f 是不定二次型.30．求一可逆线性变换=X CY ，把二次型2221123121325424f x x x x x x x =++--化成规范形2221123f y y y =++，同时也把二次型22221231313233322242f x x x x x x x x x =++--- 化成标准形2222112233f k y k y k y =++.解：记T1f =X AX ，其中212150204--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A31213121121220021290115022040121001112010*********r r r r c c c c ++++⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭A E 323229292009002160091101292019001r r c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123343410001000156610363004r r r c c c ⨯⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭取5661036004⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪3 ⎪ ⎪⎝⎭P ，则T =P AP E 记 T2f =X BX，其中3012032122⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B则T150036601210032061225133006644⎛⎫⎫⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P BP5066104636113100234⎛⎫⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314413444142⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎭2311113442⎛⎫== ⎪⎭B 其中231132⎛⎫ = ⎪⎭B 显然12,B B 都是实对称矩阵，它们的特征值为14倍的关系，特征向量相同.231||13λλλ---=--EB 30(3)14)1(3)04)4λλλλλ---=----2(4)0λλ=-=则2B 的特征值为230,4λλλ===，故1B 的特征值为0,1,1. 以下求2B 的特征向量.对于10λ=，求得11⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α，单位化后11212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪γ 对于234λλ==，求得2311,001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα由Schmidt 标准正交化后得23121,20⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭γγ令123112211(,,)220⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪Q γγγ. 则Q 为正交矩阵，且有T T T 10()11⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q B Q Q P BP Q令511662*********304⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭CPQ 23130⎫⎪⎪=⎪⎪⎭于是 TTT==Q P APQ Q EQ E即 T=C AC ET 011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C BC在可逆线性变换=X CY 下2221123f y y y =++22223f y y =+.（注：经验算本题所得C 是正确的，需要注意的是C 并不惟一）31．求一可逆线性变换=X PY ，将二次型f 化成二次型g .2221231213232938410f x x x x x x x x x =+++--222123121323236448g y y y y y y y y y =++--+解：Tf =X AX ，242495253-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， T g =Y BY ，222234246--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 将,A B 分别作合同变换如下：21313221323122242200200495011010253011000100121121010010011001001001r r r r r r c c c c c c -++-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 在可逆线性变换1=X C Z 下22122f z z =+ 其中 1121011001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C 21313221323122220020023401201024602400100111111010010012001001001r r r r r r c c c c c c ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 在可逆线性变换2=YC Z 下22122g z z =+.其中 2111012001-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C由 12-=Z C Y 得1112-==X C Z C C Y令 1112121111136011012003001001001-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P C C 在可逆线性变换=X PY 下22122f g z z ==+.32．A 是正定矩阵，AB 是实对称矩阵，则AB 是正定矩阵的充分必要条件是B 的特征值全大于零．证：先证必要性．设λ 为B 的任一特征值，对应的特征向量为,,0≠X X 则 且有X BX λ=用A X T 左乘上式有AX X X AB X T T )(λ=因为AB ，A 都是正定矩阵，故0,0)(T T >>AX X X AB X于是0>λ，即B 的特征值全大于零．再证充分性．因为A 是正定矩阵，所以A 合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P ，使E AP P =T （1）由AB 是对称矩阵，知P AB P )(T也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q ，使),,,,diag(])([1T T n i μμμ ==D Q P AB P Q （2）即有),,,,diag()()(1TT n i μμμ ==D PQ B A P Q （3）其中n i μμμ,,,,1 是P AB P )(T的特征值． 在（1）的两端左乘TQ ，右乘Q 有E PQ A P Q E Q AP P Q ==))(()(T T T T 即这说明)()(TTPQ A P Q 与互逆，也就是说1T T )()(-=PQ A P Q将上式代入（3），说明矩阵B 与对角阵D 相似，故它们的特征值相等；由条件知B 的特征值全大于零，因此对角阵D 的特征值也全大于零． 由（2）知AB 与D 合同，因此AB 的特征值全大于零．33．设,A B 为n 阶实正定阵，证明：存在可逆阵P ，使T =P AP E 且T 12diag(,,,)n λλλ=P BP ，其中120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的n 个实根.证：因A 正定，故存在可逆矩阵1P ，使T 11=P AP E因B 正定，故存在可逆矩阵2P ，使T 22=B P P于是T T T T 1112212121()()==P BP P P P P P P P P易见T11P BP 为正定矩阵，不妨设它的特征值为120n λλλ≥≥≥>.则 TTT11111||||λλ-=-E P BP P AP P BP T11||||||λ=-P A B P 故 T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B 即 120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的几个实根.由 T11P BP 为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使 T T 1112()diag(,,,)n λλλ=Q P BP Q 令 1=P PQ ，则 TT 12,diag(,,,)n λλλ==P AP E P BP34．设A 为n 阶实正定阵，B 为n 阶实半正定阵，则||||+≥A B A . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T =C AC E . 因为B 是n 阶半正定阵，则TC BC 仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q ，使得1T T T 1()()diag(,,,,)i n D -===Q C BC Q Q C BC Q λλλ其中 0,1,,i i n λ≥=为T C BC 的特征值，且有T T ()=Q C AC Q E令=P CQ ，则P 为可逆矩阵，于是T T ,==P AP E P BP DT T T ()+=+=+P A B P P AP P BP E D上式两端取行列式，得T1||||||||(1)1ni i λ=+=+=+≥∏P A B P E D ||||||T =P A P因 T||||0=>P P ， 故 ||||+≥A B A .35．设,A B 均为实正定阵，证明：方程||0λ-=A B 的根全大于0.证：由33题知T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B . 其中T11P BP 为正交矩阵，它的特征值0i λ>，1,,i n =，故||0λ-=A B 的根全大于0.36．设A 为n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B ，使2B A =． 证：因为A 是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P ，使12-1T n λλλ⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP P AP D 其中n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值，它们全大于零．令),,,2,1(n i i i ==λδ 则21111222222n n n n δλδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D而 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P 1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P 令 B =12Tn δδδ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P P显然B 为正定矩阵，且2B A =．37．设A 为n 阶可逆实方阵，证明：A 可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积．证：因为A 是n 阶可逆实方阵，故TA A 是正定矩阵，所以存在n 阶正定矩阵B ，使T 2=A A B .于是有1T 11T T 11T 21()()()()------===AB AB B A AB B B B E这说明1-AB 是正交阵. 令 1-=ABQ则 =A QB ，其中Q 是正交矩阵，B 是正定矩阵.38．A 、B 为n 阶正定矩阵，则AB 也为n 阶正定矩阵的充分必要条件是：AB =BA ，即A 与B 可交换．证：方法一 先证必要性．由于A 、B 、AB 都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有AB AB B B A A ===T T T )(,,于是BA A B AB AB ===T T T )(即A 与B 可交换．再证充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．因为,A B 是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P 、Q ，使Q Q B P P A T T ,==于是Q PQ P AB T T =上式左乘Q ，右乘1-Q 得)()()(T T T T T 1PQ PQ PQ QP Q AB Q ==-这说明AB 与对称矩阵)()(TTT PQ PQ 相似；因为P TQ 是可逆矩阵，故矩阵)()(TTT PQ PQ 是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零． 综合上述知AB 正定． 方法二必要性同方法一，以下证明充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．由于A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使A=Q T Q于是T T T T 1()λλλ--=-=-E AB E Q QB E Q QBQ QT T 1T T T 1T T T 1T()()()()λλλ---=-=-=-Q E Q Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQT 00λλ-=⇔-=E AB E QBQ这说明AB 与TQBQ 有相同的特征值．因为B 是正定矩阵，易见TQBQ 也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定．39．设A 、B 为实对称矩阵，且A 为正定矩阵，证明：AB 的特征值全是实数． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=， 于是有T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ即T||0||0λλ-=⇔-=E AB E QBQ .因为B 是实对称矩阵，所以TQBQ 也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB 的特征值也都是实数．40．设A 是正定矩阵，B 是实反对称矩阵，则AB 的特征值的实部为零． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ因为B 是实反对称矩阵，所以TQBQ 也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故AB 的特征值实部也为零．41．设A 是正定矩阵，B 是半正定的实对称矩阵，则AB 的特征值是非负的实数． 证：由于A 是正定的，所以1-A 也是正定的，于是存在可逆矩阵P ，使得P P A T 1=-，因此1T T T 11T T 111T 11T 111T 1()()()()()λλλλλλλλ-------------=-=-=-=-=-=-=-E AB A A B A P P B A P E P BP PA P P E P BP A A E P BP E P BP E P BP即0)(01T 1=-⇔=---BP P E AB E λλ.由于B 是半正定的实对称矩阵，故1T1)(--BPP 是半正定的实对称矩阵，因此0)(1T 1=---BP P E λ的根是非负实数．于是0=-AB E λ的根也是非负实数，即AB的特征值是非负的实数．42．求证实二次型∑∑==++=n r ns sr n xx s r krs x x f 111)(),,( 的秩和符号差与k 无关．证：二次型的矩阵为22334(1)2344652(2)3465963(3)(1)2(2)3(3)22k k k nk n k k k nk n k k k nk n nk n nk n nk n n k n +++++⎛⎫ ⎪+++++ ⎪+++++= ⎪⎪⎪+++++++⎝⎭A。
二次型练习题
二次型习题一、填空题1. 实二次型222123123121323(,,)33222f x x x x x x x x x x x x =++++-的矩阵为 ．2. 二次型()2111,,nn i i j i i j n f x x x x x =≤<≤=+∑∑的矩阵为 。
3. 二次型22212312323(,,)22f x x x x x x x x λμ=+++是正定的充分必要条件是λ与μ满足 。
4. A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=20001011k k 是正定阵，则k 满足条件__________________。
5. 实对称n 阶半正定矩阵A 的秩为n r <，则二次型AX X T 的规范形为 。
6. 实二次型()112323132(),,541433x f X x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵为 。
7. n 阶实对称矩阵A 正定，则二次型AX X T 的规范形为 .8. 二次型()()n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x f 12321312121222222),(-++++++++= 的矩阵为 。
二、选择题1. 设A 是实对称矩阵，二次型()AX X X f '=正定的充要条件是（ ）。
（A)0>A ； （B ）负惯性指数为0 ；（C ）A 的所有主对角线上的元素大于0； （D ）存在可逆矩阵C ，使C C A '=2. 设A 是任意实矩阵,那么二次型()AX A X x f ''=必是（ ）．A 、半正定;B 、半负定;C 、正定；D 、负定;3. 实方阵A 为正定阵，则下列结论正确的是（ ）.A. 0||>AB. 0||<AC. 0||=AD. 不确定4. 已知二次型AX X x x x f T =),,(321通过正交线性替换化为标准形22212y y -，则矩阵A （ ).A 。
二次型测试题
．
．
5
( )．
A. 正定
T
B. 负定
T
C. 不定
T
D. 以上都不对
)．
13、 设二次型 f X AX ,其中 A A , X x1, x2 ,, xn ,则 f 正定的充分必要条件是 (
A. A 的行列式 A 0 C. f 的秩为 n
1
B. f 的负惯性指数为 0 D. A M T M , M 为 n 阶可逆矩阵
C. A B
D. A B
新浪微博：万学丁勇
18、 n 阶方阵 A 与 B 的特征多项式相同,则 A. A 、 B 同时可逆或不可逆
( )． B. A 、 B 有相同的特征值和特征向量
C. A 、 B 与同一对角矩阵相似
19、n 阶实对称矩阵 A 合同于矩阵 B 的充要条件是
D. 矩阵 E A 与 E B 相等
二、填空题
2 2 2
பைடு நூலகம்
1 2 3 B. 2 5 4 3 4 6 5 2 1 D. 2 1 3 1 3 0
1、已知二次型 f x1 , x2 , x3 2 x1 3 x2 3 x3 2ax2 x3 通过正交变换化成标准
．
2 2 12、设二次型 f x1 , x2 , x3 xT Ax ax12 2 x2 2 x3 2bx1 x3 b 0 ,其中二次型矩阵 A
的特征值之和为 1,特征值之积为 12 ,则 a
2 2 2
,b
．
二次型练习题
二次型练习题§1 二次型及其标准形式1．用正交变换将下列二次型=),,(321x x x f 32312123222184444x x x x x x x x x -+-++化为标准形，并写出所用的变换。
2．利用配方法和初等变换法二次型=),,(321x x x f 323121232221844452x x x x x x x x x --+++化为标准形，并写出所用的变换。
3．若二次型=),,(321x x x f 323121232221246x x x x x x tx x x +++++的秩为2，求t 。
4．已知二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准形216y f =，求a 。
5．已知实二次型31232221321222),,(x bx x x ax x x x f +-+=（0>b ），其中二次型的相伴矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为12-。
（1）求参数a ，b ；（2）利用正交变换将f 化为标准形，并写出所用的变换。
6．已知实二次型32312322213214453),,(x x x x x x ax x x x f -+++=经正交变换Py x =化为标准形232221by ay y f ++=，求a ，b 。
（1）求参数a ，b ；（2）求所用的正交变换。
7．求二次型3223222132162),,(x x ax ax x x x x f +++=（3>a ）的规范形。
8．已知实二次型3231212322213212422),,(x x x x x x tx x x x x x f -+-++=的正惯性指数为3，求参数t 的取值范围。
9．设二次型32312123222132126255),,(x bx x x x x ax x x x x x f +++++=的相伴矩阵为A ，且已知A 的特征值为5-，6，6。
二次型问题练习题
二次型问题练习题一、选择题1．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2-=，则)(x f 在R 上的表达式是（ ）A )2(-=x x yB )1(-=x x yC )2(-=x x yD )2(-=x x y 2．设锐角θ使关于x 的方程0cot cos 42=++θθx x 有重根，则θ为（ ）A 6πB 12512ππ或C 1256ππ或 D 12π 3．如果在区间[]21，上，函数q px x x f ++=2)(与21)(xx x g +=在同一点取相同的最小值，则)(x f 在该区间上的最大值是（ ） A 33422114++B 3342254+-C 3342211+-D 以上答案均不对4．已知y x ,都在区间)2,2(-内，且1-=xy ，则函数229944yxu -+-=的最小值是（ ）A58 B1124 C712 D5125.函数()()02≠++=a c bx ax x f 的定义域分成四个单调区间的充要条件是( ) （A ）0402>->ac b a 且 （B ）02>-ab （C ）042>-ac b （D ）02<-ab6.已知函数()()30422<<++=a ax ax x f ，若a x x x x -=+<1,2121，则( ) （A ）()()21x f x f < （B ）()()21x f x f =（C ）()()21x f x f > （D ）()1x f 与()2x f 的大小不能确定7．已知4k -<, 则函数)1x (cos k x 2cos y -+=的最小值是 ( )A. 1B. 1-C. 1k 2+D. 1k 2+-8．设函数a x x a x a x x f 42)31)(()(+--+-++=的图象有对称中心，则a 的值（ ） A 32-B 32 C 43 D 43-二、填空题1．已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，则a 的值____________ ．2.若sin 2x+cosx+a=0有实根，则实数a 的取值范围_____________.3.函数()f x =的最小值为 .4.设全集为R ，集合{|s i n (2),}642A y y x x πππ==-≤≤，集合{|R B a =∈关于x 的方程012=++ax x 的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上}. 则( C RA )∩( C R B )=__________________________．三．解答题1.已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()'()n n n n f a a a f a +=-（n =1,2,……）（1）求,αβ的值；（2）证明：对任意的正整数n ，都有n a >α； （3）记αβ--=n n n a a b ln（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n .2、设函数2132()x f x x e ax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点． （Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性； （Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小．3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c ∈R).(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围.4．已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合； (Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值.。
线性代数二次型习题及答案
第六章二次型1 .设方阵A 1与B 1合同，A 2与B 2合同， 证: 因为 B iA i证明AiB i因为A i 与B i 合同，所以存在可逆矩 A 与B 2合同，所以存在可逆矩C 2与A 2Ci ，使 Bi C iAQ i ,，使B 2C 2 A 2C 2.C iC 2，则C可逆，于是有G AC iB 2C 2 A 2C 2GC 2TA iC iA 2C 2B i合同.B 22 .设A 对称， 证：由A 对称，故AT因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵 C ，使B C T AC , B T (C T AC)TC T A TC C TACB 与A 合同，则 A .B 对称 即B 为对称矩阵.3 •设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在 P T AP 与P TBP 均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵 M ,使 M TAME 记B i M TBM，则显然B i 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵 Q ,使 diag( i,|||, n ) Q T B i Q D 合同.B 2C T AiA 2C阶可逆矩阵P ,使其中 ij||, n 为B i M T BM 令P=MQ ，则有 的特征值. P T AP E , P TBP DA,B 同时合同对角阵 4 •设二次型fm(a ii X i 卅 a in X n )2，令 A (a ij )mn ，则二次型 i i f 的秩等于r(A).证：方法一 将二次型f 写成如下形式： m ... ... f (a ii X i 卅 a .j X j 卅 a ,n X n )2i i 设 Ai =(aiiJ||,a ij ain) (i i, , m)(a ii Xi i 1a11IA ai1amiI l l I I I I I Iaijamjb l b l 111 ainainamjA TA (A 「川,A iT,川,A ：)I I Ima ij X j ||| a in X n )2=i 1aiiA iA iIA mmA T A i1aii[(冷 |||Xj ,川 Xn ) a (ij]2a nx1Im [(X 1,|||x j ,i 1a n ma in ) X j ]=(X l ，|||Xj ,川 X n )( A TA) 1X n = X T (A TA)X 因为A T A 为对称矩阵，所以A T A 就是所求的二次型f 的表示矩阵. r (A TA )= r (A)，故二次型 f 的秩为 r (A). 方法二 设 y i a M X ! a in X n , iY AX ，其中 X (X 1」||,X n )T，则 mfy ： y ； |l| i 1 因为A T A 为对称矩阵，所以A T A 就是所求的二次型f 的表示矩阵. r (A TA )= r (A)，故二次型 f 的秩为 r (A).5.设A 为实对称可逆阵， f 化成规范形• a ii x 1,|||, n •记Y (y i ,川,y m )T，于 2 T T Ty m Y Y X (A A)X .X jX n显然显然 X T AX 为实二次型，则A 为正交阵 可用正交变换将 证： 设i 是A 的任意的特征值，因为 A 是实对称可逆矩阵，所以 i 是实数，且 0, i 1,|||,n .因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 P ，在正交变换 X PY 下，f 化为标准形,f X T AX Y T （P T AP ）Y Y T DY Y T diag （ 1,|||, i ,|||, n ）Y 1%2III i y i 2 III n y ； 因为A 是正交矩阵，显然D P TAP 对角实矩阵，故 i 21即知i 只能是1或 因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型 设在正交变换 X QY 下二次型f 化成规范形，于是 f X T AX Y （Q T AQ ）Y y" y y ；1diag （1,卅,1, 1,卅，1）. Q T AQ ，故 AQDQ T ，且有 （*） diag （ 1,|||, i ,|||, n ）也是正交矩阵，由D 为 1，这表明（*）恰为规范形•f 的秩为n . 曰II Iy Y T DY其中r 为f 的正惯性指数， 显然D 是正交矩阵，由 是正交矩阵• 6 •设A 为实对称阵，I A| 0，则存在非零列向量 A T A AA TE ,0.证：方法 因为 A 为实对称阵，所以可逆矩阵D 其中i （i P T AP1,川,n ）是A 的特征值,0 P ，使 diag （ 1,川,订||, n ）| A| 0，故至少存在一个特征值 k ，使k，则有(O ,|||,1|||,O )P TAP（反证法）0,都有X T AX方法二 若X | A | 0矛盾.7 •设n 元实二次型f X TAX 由A 为实对称阵，则 A 为半正定矩阵，故|A| ,证明f 在条件X 122 X 2 2 X n 1下的最大值恰 为方阵A 的最大特征值. 解：设1 , 2, , n 是f 的特征值，则存在正交变换f X T AX Y T （P T AP ）Y1y 12 1, 2,, n 中最大者，当X TX Xf X |X 2 2 y2 2XnPY ， 使 2 n y n 1时，有X T X Y T P T PY Y T Y y 12y 22y n 21因此f221 y 12 y2 这说明在 x 122x22x n2=1 的条件下 设Y(y 1, T,y k , ,y n )T则Y 0T Y 0f 22 1 y 12 2 y 22令 X 0 PY 0 ，则22n y nk(y 1 22y 2y n )kf 的最大值不超过k.(0, ,0,1,0, 0)T12y 2ky k 2n yn kX 0T X 0 Y 0T Y 1并且特征值．&设A 正定，P 可逆，则PTAP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵 Q ，使A QTQ ,于是 P T AP P T Q T QP (QP )T QP ，显然QP 为可逆矩阵，且 (P T AP)T (QP)T QP P T AP ，即 P TAP 是实对称阵，故 PTAP 正定.9 .设A 为实对称矩阵，则 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B ，使AB+BTA 正 定.证： 先证必要性 取B A 1，因为A 为实对称矩阵，则AB B T A E (A 1)T A 2E当然AB BTA 是正定矩阵. 再证充分性，用反证法.若A 不是可逆阵，则r (A ) <n ，于是存在X 0 0, 使 AX 0 0因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有X 0T (AB B T A)X 0 (AX 0)T BX 0 X 0T B T (AX 0)这与AB AB BTA 是正定矩阵矛盾.2 * 110.设A 为正定阵，则 A A 3A 仍为正定阵.2*证：因为A 是正定阵，故 A 为实对称阵，且 A 的特征值全大于零，易见 A , A ,A2 * 1 2 *全是实对称矩阵， 且它们的特征值全大于零， 故 A 2,A *,A 1全是正定矩阵， A 2 A *3A 为实对称阵•对 X 0 ，有T 2*1 T 2T * T 1X T (A2A *3A1)X X T A 2X X T A *X X T A 1X 0f (X 0) X 0T AX 0 Y 0T (P TAP)Y 0这说明f 在X 0达到k ，即f 在x ； x 2 2 x n 2 1 条件下的最大值恰为方阵A 的最大a2乃Q D上——扫2 2 mm b n d 6:，bn n ndaaaa10对任给的(b i X i , ,b n X n ) X TBX n 维向量 X (X i ,|||,X n )T0 ,因 b i ,b 2T0，又因为A 是正定矩阵，因此有D 111 0 a iiX T0 ||| b n a n iaii= (b i X i , ,b n X n):a ni,b n 为非零实数，所以n1 4 aan nna—0X1n* X即 A2A 3A 1的正定矩阵.11. 设A 正定，B 为半正定，则 A B 正定. 证：显然A, B 为实对称阵，故A B 为实对称阵•对 X 0 , X T AX 0 ,X TBX 0,因X T(A B)X 0,故A B 为正定矩阵•12. 设n 阶实对称阵A, B 的特征值全大于 0, A 的特征向量都是 B 的特征向量，则 AB 正定•证：设A,B 的特征值分别为 i, i (i 1,川，n).由题设知i 0, i 0, i 1,川，n .因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵P (R,川，R,|||,P n )，使P T AP diag( 1,, i , , n )即 AP ii P i, P i 为A 的特征向量，i 1, ,n .由已知条件P i 也是B 的特征向量，故BP ii P ii 1,|||i,|||,n因此 ABP i A i P ( i i )P i ,这说明i i 是AB 的特征值，且i i0, i 1,卅，n . 又因为 ABPPdiag( 1 1,, i i ,|||, n n ), P TP 1.故 AB Pdiag( 1 1, |||, i 「，n n )P ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13•设A (a j )nn 为正定矩阵，b 1,b 2, ,b n 为非零实数，记B (a j b b j )n n则方阵B 为正定矩阵.证：方法一 因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即a ija ji ,所以a jb j b j a ji b j b i ，这说明B 是对称矩阵，显然即B 是正定矩阵.2a^1aQainRb na 2nb 2b na ni bnD 3.204 川 a nn bA则因为A 是实对称矩阵，显然 B 是实对称矩阵， $||| 0B 的k 阶顺序主子阵B k 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵而bn得到，即b k计算B k 的行列式，有n 2B kb i A k 0i 1故由正定矩阵的等价命题知结论正确.14. 设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则 A B 0.证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对 出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于 n 阶实矩阵M ,如果对任意非零列向量 X ，均有X T MX 0可推出M 的特征值(或者其实部)大于零. 由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有M 0 .因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X ，均有X T(A B)X 0,而A + B 显然是实矩阵，故 A B 0.15. 设A 是n 阶正定矩阵，B 为n m 矩阵，则r(^AB )=r(B). 证：考虑线性方程组BX 0与BTABX 0，显然线性方程组BX 0 的解一定是B TABX 0的解.考虑线性方程组 B TABX 0,若X 。
二次型习题
d 1 T ' BT C ' AC
d2 dr 0
D 0
考虑对角矩阵D的相应二次型的合同分类情况，
共计r+1个合同类.但秩r又分别取n，n-1，…，2,1,0， 故共有
1 2 3 n ( n 1) ( n 1 )( n 2 ) 2 个合同类
2 2
( a 1 x 1 a 2 x 2 a n x n )( b 1 x 1 b 2 x 2 b n x n )
总之，f ( x
1
, x 2 , , x n )
可表成两个一次齐次式的乘积.
.
6.设A是实对称矩阵.证明：当实数t充分大之后，
tE+A是正定矩阵.
12 22
a a
s2
2n a sn
1n
的秩.
证:
f
(a
i1
s
i1
x 1 a in x n )
2
s
i 1
a i1 x1 a x i 2 (a , , a ) 2 in ( x1 , , x n ) i1 a in xn
f ( x 1 , x 2 , , x n ) ky 1
2
秩为1.
2) 若上式右边的两个一次式系数不成比例，设
a1 b1 a2 b2
.
y a x a x a x 1 1 2 2 n n 1 y 2 b1 x 1 b 2 x 2 b n x n y x ( i 3, , n ) i i
二次型测试题答案
一、选择题 1、 【答案】 D. 【解析】B E i, j AE i, j ,因 E i, j 等价,合同． 2、 【答案】 B. 【解析】因奇数阶顺序主子式为负,偶数阶顺序主子式为正,故 A 是负定的． 3、 【答案】 C. 【解析】因为 R( A) R( B) ,故 A 与 B 等价；
3
在 B. 中,由于 a33 6 ,易知 f 0, 0,1 6 即有 X 0 0, 0,1 0 ,而 X 0 AX 0 0 ,与
T
T
正定的定义不符； 在 D. 中,由于 a33 0 ,易知 f 0, 0,1 0 ,与 X 0 , X T AX 0 相矛盾； 二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零,在 A. 中,二阶主子式 因此 A.B.D. 均不是正定矩阵． 二、填空题 1、 【答案】 2
2
当 A 为正定时 ,应有 2 k 0 且 k k k 2 0 , 解此不等式组得 k 应满足的条件 为 1 k 0 ． 8、 【答案】 2 【解析】利用二次型的正惯性指数是其矩阵的正特征值的个数,
2
1 0 0 1 0 0 2 因为 A 0 0 1 , E A 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
,
i i 1
【解析】实对称矩阵 A 必合同于对角阵 diag 1,1, 1, , 1, 0, 0 ,其中 1 的个数为
p , 1 的个数为 r p ,0 的个数为 n r ,由合同的传递性知： A 合同于 B A 、 B 的
秩及正惯性指数相等,故选 D. 20、 【答案】 C. 【解析】二次型正定的必要条件是： aii 0
线性代数二次型习题及答案
第六章 二次型1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明12A ⎛⎫⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T1111=B C A C ，因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T2222=B C A C .令 12⎛⎫= ⎪⎝⎭C C C ，则C 可逆，于是有TT 1111111T 2222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B C A C C AC B C A C C A C 1T 2⎛⎫= ⎪⎝⎭A C C A 即 12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭A 与12⎛⎫ ⎪⎝⎭B B 合同.2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称证：由A 对称，故T=A A .因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B即B 为对称矩阵.3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵.证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使E AM M =T记T1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使T 11diag(,,)n D μμ==Q B QT 11,,.n μμ=B M BM 其中为的特征值令P=MQ ，则有D BP PE AP P ==T T ,,A B 同时合同对角阵.4．设二次型2111()mi in n i f ax a x ==++∑，令()ij m n a ⨯=A ，则二次型f 的秩等于()r A .证：方法一 将二次型f 写成如下形式：2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑设A i = 1(,,,,)i ij in a a a ),,1(m i =则 1111111jn i ij in i m mj mj m a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A于是 1T T T TT 11(,,,,)mi m i i i i m =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A A A A A A A A A故 2111()mi ij j in n i f a x a x a x ==++++∑=1211[(,,)]i m j n ij i in a x x x a a =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑=11111[(,,)(,,)]i m j n ij i ij in j i in n a x x x x a a a a x a x =⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑=1T11(,,)()mj n i i j i n x x x x x x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑A A=X T(A TA )X因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ．方法二 设11,1,,i i in n y a x a x i n =++=. 记T 1(,,)m y y =Y ，于是=Y AX ，其中T 1(,,)n x x =X ，则222T T T 11()m i m i f y y y ===++==∑Y Y X A A X .因为A A T为对称矩阵，所以A A T就是所求的二次型f 的表示矩阵． 显然r (A A T )=r (A )，故二次型f 的秩为r (A ) ． 5．设A 为实对称可逆阵，Tf x x =A 为实二次型，则A 为正交阵⇔可用正交变换将f 化成规范形.证：⇒设i λ是A 的任意的特征值，因为A 是实对称可逆矩阵，所以i λ是实数，且0,1,,i i n λ≠=.因为A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵P ，在正交变换=X PY 下，f 化为标准形，即T T T T T1()diag(,,,,)i n f λλλ====X AX Y P AP Y Y DY Y Y22211i i n n y y y λλλ=++++ （*）因为A 是正交矩阵，显然T1diag(,,,,)i n λλλ==D P AP 也是正交矩阵，由D 为对角实矩阵，故21i λ=即知i λ只能是1+或1-，这表明（*）恰为规范形.⇐因为A 为实对称可逆矩阵，故二次型f 的秩为n . 设在正交变换=X QY 下二次型f 化成规范形，于是T T()f ==X AX Y Q AQ Y 222211r r n y y y y +=++---T =Y DY其中r 为f 的正惯性指数，diag(1,,1,1,,1)=--D .显然D 是正交矩阵，由T =D Q AQ ，故T=A QDQ ，且有T T ==A A AA E ，故A是正交矩阵.6．设A 为实对称阵，||0<A ，则存在非零列向量ξ，使T0<ξAξ. 证：方法一因为A 为实对称阵，所以可逆矩阵P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ==P AP D其中(1,,)i i n λ=是A 的特征值，由||0<A ，故至少存在一个特征值k λ，使0k λ<，取010⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξP ，则有T T0(0,,1,,0)10⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ξAξP AP 1(0,,1,0,0)kn λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭010⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭0k λ=< 方法二（反证法）若∀≠X 0，都有T0≥X AX ，由A 为实对称阵，则A 为半正定矩阵，故||0≥A 与||0<A 矛盾.7．设n 元实二次型AX X T =f ，证明f 在条件122221=+++n x x x 下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．解：设f n 是λλλ,,,21 的特征值，则存在正交变换=X PY ，使2222211T T T )(n n y y y f λλλ+++=== Y AP P Y AX X设k λ是n λλλ,,,21 中最大者，当122221T =+++=n x x x X X 时，有122221T T T T =+++===n y y y Y Y PY P Y X X因此k n k n n y y y y y y f λλλλλ≤+++≤+++=)( 222212222211这说明在22221n x x x +++ =1的条件下f 的最大值不超过k λ．设 TT 10)0.,0,1,0,,0(),,,,( ==n k y y y Y 则 10T0=Y Yk n n k k y y y y f λλλλλ=+++++=22222211令00PY X =，则1T 00T0==Y Y X X并且k f λ===0T T 00T00)()(Y AP P Y AX X X这说明f 在0X 达到k λ，即f 在122221=+++n x x x 条件下的最大值恰为方阵A 的最大特征值．8．设A 正定，P 可逆，则TP AP 正定.证：因为A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使T=A Q Q ， 于是 TTTT()==P AP P Q QP QP QP ，显然QP 为可逆矩阵，且T T T T ()()==P AP QP QP P AP ，即T P AP 是实对称阵，故T P AP 正定.9．设A 为实对称矩阵，则A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵B ，使AB +A B T 正定．证：先证必要性取1-=B A ，因为A 为实对称矩阵，则2E A A E A B AB =+=+-T 1T )(当然A B AB T+是正定矩阵． 再证充分性，用反证法．若A 不是可逆阵，则r （A ）<n ，于是存在00,≠=X AX 使00因为A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有0 )()()(0T T 00T 00T T 0=+=+AX B X BX AX X A B AB X这与AB T+AB B A 是正定矩阵矛盾．10．设A 为正定阵，则2*13-++A A A 仍为正定阵.证：因为A 是正定阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值全大于零，易见2*1,,-A A A全是实对称矩阵，且它们的特征值全大于零，故2*1,,-A A A 全是正定矩阵，2*13-++A A A 为实对称阵.对∀≠X 0，有T 2*1T 2T *T 1(3)0--++=++>X A A A X X A X X A X X A X即 2*13-++A A A 的正定矩阵.11．设A 正定，B 为半正定，则+A B 正定.证：显然,A B 为实对称阵，故+A B 为实对称阵. 对∀≠X 0，T0>X AX ，T 0≥X BX ，因T ()0+>X A B X ，故+A B 为正定矩阵.12．设n 阶实对称阵,A B 的特征值全大于0，A 的特征向量都是B 的特征向量，则AB 正定.证：设,A B 的特征值分别为,(1,,)i i i n λμ=.由题设知0,0,1,,i i i n λμ>>=.因为A 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵1(,,,,)i n =P P P P ，使T 1diag(,,,,)i n λλλ=P AP即 ,i i i i λ=AP P P 为A 的特征向量，1,,i n =. 由已知条件i P 也是B 的特征向量，故1,,,i i ii i n μ==BP P因此 ()i i i i i i μλμ==ABP A P P ，这说明i i λμ是AB 的特征值，且0i i λμ>，1,,i n =.又因为 T 111diag(,,,,),i i n n λμλμλμ-==ABP P P P .故 11diag(,,,,)i i n n λμλμλμ=AB P P ，显然AB 为实对称阵，因此AB 为正定矩阵. 13．设n n ij a ⨯=)(A 为正定矩阵，n b b b ,,,21 为非零实数，记()ij i j n n a b b ⨯=B则方阵B 为正定矩阵．证：方法一 因为A 是正定矩阵，故A 为对称矩阵，即ji ij a a =，所以i j ji j i ij b b a b b a =，这说明B 是对称矩阵，显然211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭B =1111110000n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 对任给的n 维向量1(,,)T 0n x x =≠X ，因n b b b ,,,21 为非零实数，所以),,(11n n x b x b T 0≠，又因为A 是正定矩阵，因此有1111110000T T n n n nn n a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭X BX XX=),,(11n n x b x b 1111n n nn a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭11n n b x b x ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭0> 即B 是正定矩阵． 方法二 记211112121122121222221121n n n n n n n n nn n n a b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b b a b b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭B则因为A 是实对称矩阵，显然B 是实对称矩阵，B 的k 阶顺序主子阵k B 可由A 的阶顺序主子阵分别左，右相乘对角阵100n b b ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭而得到，即=k B 1111110000k k k kk k a a b b b a a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 计算k B 的行列式，有012>=∏=k k A B ni i b故由正定矩阵的等价命题知结论正确．14．设A 为正定矩阵，B 为实反对称矩阵，则0>+B A .证：因为M 是n 阶实矩阵，所以它的特征值若是复数，则必然以共轭复数形式成对出现；将M 的特征值及特征向量写成复数形式，进一步可以证明对于n 阶实矩阵M ，如果对任意非零列向量X ，均有0T >MX X可推出M 的特征值(或者其实部)大于零． 由于M 的行列式等于它的特征值之积，故必有0>M ．因为A 是正定矩阵，B 是反对称矩阵，显然对任意的 非零向量X ，均有,0)(T >+X B A X而A +B 显然是实矩阵，故0>+B A .15．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n ⨯m 矩阵，则r (B TAB )=r (B )．证：考虑线性方程组T00==BX B ABX 与，显然线性方程组0=BXT 0=B ABX 的解一定是的解．考虑线性方程组T0=B ABX ，若0X 是线性方程组T 0=B ABX 的任一解，因此有0T 0=B ABX ．上式两端左乘有T0XT 00()()0=BX A BX因为A 是正定矩阵，因此必有00=BX ，故线性方程组0=BX 与 T0=B ABX 是同解方程组，所以必有r (B T AB )= r (B ).16．设A 为实对称阵，则存在实数k ，使||0k +>A E . 证：因为A 为实对称阵，则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i i λλλ-=P AP .其中i λ为A 的特征值，且为实数，1,,2i =. 于是11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()ni i k λ==+∏取1max{||1}i i nk λ≤≤=+，则1()0nii k λ=+>∏，故 ||0k +>A E .17．设A 为n 阶正定阵，则对任意实数0k >，均有||nk k +>A E . 证：因为A 为正定矩阵，故A 为实对称阵，且A 的特征值0,1,,i i n λ>=. 则存在正交矩阵P ，使1111,iin n λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P AP A P P 于是对任意0k >，有11||||||i n kk kkλλλ-++=++A E PP 1()n i i k λ==+∏1ni k =>∏n k =.18．设A 为半正定阵，则对任意实数0k >，均有||0k +>A E . 证：因为A 为半正定矩阵，故A 为实对称矩阵，且A 的特征值0i λ≥，1,,i n =. 则存在正交矩阵P ，使11diag(,,,,)i n λλλ-=P AP ，11diag(,,,,)i n λλλ-=A P P于是对任意0k >，有11||||diag(,,,,)||i n k k k k λλλ-+=+++A E P P 1()ni i k λ==+∏n k ≥0>.19．A 为n 阶实矩阵，λ为正实数，记Tλ=+B E A A ，则B 正定. 证：TTTT()λλ=+=+=B E A A E A A B ，故B 是实对称矩阵. 对∀≠X 0，有(,)0,(,)0>≥X X AX AX ，因此有TTT()λ=+X BX X E A A X T T Tλ=+X X X A AX (,)(,)λ=+X X AX AX 0>故 Tλ=+B E A A 为正定矩阵.20．A 是m ⨯n 实矩阵，若A A T 是正定矩阵的充分必要条件为A 是列满秩矩阵． 证：先证必要性方法一设A A T 是正定矩阵，故00∀≠X ，有0)()()(0T 00T T 0>=AX AX X A A X由此00≠AX ，即线性方程组0=AX 仅有零解，所以r (A )=n ，即A 是列满秩矩阵．方法二因为A A T 是正定矩阵，故r(A A T )=n ，由于n r r n ≤≤≤)()(T A A A所以r (A )=n ． 即A 是列满秩矩阵．再证充分性：因A 是列满秩矩阵，故线性方程组仅有零解，0∀≠X ，X 为实向量，有0≠AX ．因此0),()()()(T T T >==AX AX AX AX X A A X显然A A T 是实对称矩阵，所以A A T是正定矩阵．21．设A 为n 阶实对称阵，且满足2640-+=A A E ，则A 为正定阵.证：设λ为A 的任意特征值，ξ为A 的属于特征值λ的特征向量，故≠ξ0，则22,λλ==A ξξA ξξ由 2640-+=A A E 有 264-+=A ξAξξ02(64)λλ-+=ξ0由 ≠ξ0，故 2640λλ-+=.30λ=>.因为A 为实对称矩阵，故A 为正定阵.22．设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,3，其中1,2对应的特征向量分别为T T 12(1,0,0),(0,1,1)==ξξ，求一正交变换=X PY ，将二次型Tf =X AX 化成标准形.解：设T3123(,,)x x x =ξ为A 的属于特征值3的特征向量，由于A 是实对称矩阵，故123,,ξξξ满足正交条件12312310000110x x x x x x ⋅+⋅+⋅=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩ 解之可取3(0,1,1)=-ξ，将其单位化有T T T123(1,0,0),,===P P P 令123100(,,)00⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎝P P P P . 则在正交变换=X PY 下，将f 化成标准形为T T T 222123()23f y y y ===++X AX Y P AP Y23．设1222424a a -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A二次型Tf =X AX 经正交变换=X PY 化成标准形239f y =，求所作的正交变换.解：由f 的标准形为239f y =，故A 的特征值为1230,9λλλ===.故 2122||24(9)24a a λλλλλλ---=--=----E A令0λ=，则 12224024a a ----=---解之 4a =-.由此 122244244-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭A对于120λλ==有1221220244000244000---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭E A可得A 的两个正交的特征向量12222,112-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ对于39λ=，可得A 的特征向量为122⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量单位化得1232211112,1,2333122-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P P P则1232211(,,)2123122-⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P P P P 为正交矩阵，正交变换=X PY 为22112123122-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭X Y . 注：因特征向量选择的不同，正交矩阵P 不惟一.24．已知二次型22212312132(1)22f x x k x kx x x x =++-++正定，求k .解：二次型的表示矩阵1120101kk k ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A由A 正定，应有A 的各阶顺序主子式全大于0. 故 102||0kk A ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即2220(2)0k k k k ⎧-<⎪⎨-->⎪⎩. 解之 10k -<<.25．试问：三元方程2221231213231233332220x x x x x x x x x x x x +++++---=，在三维空间中代表何种几何曲面.解：记222123121323123333222f x x x x x x x x x x x x =+++++---则 111232233311(,,)131(1,1,1)113x x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=+--- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭设 311131113⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .则2||(2)(5)λλλ-=--E A . 故A 的特征值为1232,5λλλ===. 对于122λλ==，求得特征向量为12111,001--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ξξ.由Schmidt 正交化得1212111,201⎛⎫- ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭ββ.对于35λ=得特征向量3111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ξ，标准化得123,,0⎛⎛ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P 令123(,,)0⎛ ==⎝P P P P 则在正交变换=X PY 下2221233225f y y y =++于是0f =为2221233225(20y y y ++-=为椭球面.26．求出二次型222123123123(2)(2)(2)f x x x x x x x x x =-+++-+++-的标准形及相应的可逆线性变换.解：将括号展开，合并同类项有2221231213234442f x x x x x x x x x =++--+2221231213234424x x x x x x x x x +++-+- 2221231213234244x x x x x x x x x ++++--222123121323666666x x x x x x x x x =++---2221231213236()x x x x x x x x x =++---2221232323113336[()]22442x x x x x x x =--++-22123231196()()222x x x x x =--+- 令 1123223331122y x x x y x x y x⎧=--⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩即 11223311122011001y x y x y x ⎛⎫--⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭则可逆变换为1122331112011001x y x y x y ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭在此可逆线性变换下f 的标准形为2212962f y y =+. 27．用初等变换和配方法分别将二次型（1）222112412142432442f x x x x x x x x x =--++-+ （2）2122313262f x x x x x x =-+化成标准形和规范形，并分别写出所作的合同变换和可逆变换. 解：先用配方法求解（1）2221112142424(44)322f x x x x x x x x x =-+--++2221242424(22)66x x x x x x x =--+++-222124244(22)(3)3x x x x x x =--++--令 11242243344223y x x x y x x y x y x =-+⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即 11242243344243x y y y x y y x y x y =++⎧⎪=+⎪⎨=⎪⎪=⎩令 1204010300100001⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211243f y y y =-+-若再令11223344z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即11223344y z y zy z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 则原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221124f y y y =-+-.（2）先线性变换11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩原二次型化成22212132313232()6622f y y y y y y y y y y =--+++221213232248y y y y y y =--+2221322332()282y y y y y y =--+-222132332()2(2)6y y y y y =---+令113223332z y y z y y z y =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即113223332y z z y z z y z =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩. 令1110110001⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P ，2101012001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P z 化成标准形2222123226f z z z =-+若再令112233w w w ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩即11223322z w z w z w ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令22⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q则原二次型2f 经可逆线性变换12=x P P Qw 化成规范形2222123f w w w =-+.用初等变换法求解（1）设120223010*******--⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭A41202100023010100()0000001021020001--⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A E 2121221021000010321000000001023020001r r c c +⨯+⨯--⎛⎫⎪- ⎪−−−→⎪⎪⎪--⎝⎭4141(2)(2)10001000010321000000001003062001r r c c+-⨯+-⨯-⎛⎫⎪- ⎪−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭4242331001000010021000000001000034301r r c c +⨯+⨯-⎛⎫⎪⎪−−−→⎪⎪⎪-⎝⎭3310001000010021000000001000010r c -⎛⎫⎪⎪ ⎪→- ⎝令 T11000210000104301⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，T2100021000010033⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211233f y y y =-+-. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221124f z z z =-+-.（2）设011103130⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A3011100()103010130001⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A E 3232(1)(1)01010103010036011r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪−−−−→- ⎪ ⎪--⎝⎭ 313133010100100010006311r r c c +⨯+⨯⎛⎫ ⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭1212210100100010006311r r c c ++⎛⎫⎪−−−→ ⎪ ⎪-⎝⎭ 21211()21()2200110111000222006311r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪⎪−−−−→-- ⎪ ⎪-⎝⎭112233,,,10000100001266r c r c r c ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ - ⎝⎭令 T 111011022311⎛⎫ ⎪ ⎪=-⎪ ⎪-⎝⎭P ，T200⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪⎝P 则原二次型2f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22221231262f y y y =-+ 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2222123f z z z =-+28．用三种不同方法化下列二次型为标准形和规范形.（1）2221122332343f x x x x x =+++（2）222221234121423342222f x x x x x x x x x x x x =++++--+解：先用配方法求解（1）222112233423()33f x x x x x =+++22212332523()33x x x x =+++ 令 112233323y x y x x y x =⎧⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩ 即 112233323x y x y y x y =⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩令 1002013001⎛⎫⎪⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭P则二次型1f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形22211235233f y y y =++ 若再令112233z z z y ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩即11223335y z y z y z ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩令5⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎝⎭Q原二次型1f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形2221123f z z z =++.（2）22222112142342334(22)22f x x x x x x x x x x x x =+-+++-+221243233424()222x x x x x x x x x x =+-+-++ 2222124324244()()(2)3x x x x x x x x x =+-+-+--+令 11242243234442y x x x y x x y x x x y x =+-⎧⎪=-⎪⎨=-++⎪⎪=⎩ 即11242243234442x y y y x y y x y y y x y =--⎧⎪=+⎪⎨=++⎪⎪=⎩ 令 110101020*******--⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P 则二次型2f 经可逆线性变换=x Py 化成标准形2222212343f y y y y =-++若再令11223344z y z yz y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 即112233443y z y z y z y z =⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩ 令111⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎝Q 原二次型2f 经可逆线性变换=x PQz 化成规范形222221234f z z z z =-++. 用初等变换法求解（1）设200032023⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A3200100()032010023001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭A E 32322()32()320010003001052000133r r c c +-⨯+-⨯⎛⎫⎪ ⎪−−−−→ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112310000010000010155r c r c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪→ ⎪ - ⎝⎭令TT1200100010,0020130⎫⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪== ⎪⎪ ⎪ - ⎪ ⎝⎭⎝P P 则原二次型1f 经过可逆线性变换1=x P y 化成标准形22211235233f y y y =++. 二次型经过可逆线性变换2=x P z 化成规范形2221123f z z z =++.（2）设1101111001111011-⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎪-⎝⎭A41101100011100100()0111001010110001-⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪⎪-⎝⎭A E2121(1)(1)10011000001111000111001011110001r r c c +-⨯+-⨯-⎛⎫⎪-- ⎪−−−−→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭41411001000001111000111001*********r r c c ++⎛⎫⎪-- ⎪−−−→⎪- ⎪⎪⎝⎭323210001000001111000112111001201001r rc c++⎛⎫⎪--⎪−−−→⎪---⎪⎪⎝⎭343410001000000111000032011101201001r rc c++⎛⎫⎪-⎪−−−→⎪⎪⎪⎝⎭3232(2)(2)10001000000111000030211101001001r rc c+-⨯+-⨯⎛⎫⎪-⎪−−−−→⎪-⎪⎪⎝⎭242410001000020101010030211101001001r rc c++⎛⎫⎪⎪−−−→⎪-⎪⎪⎝⎭42421()21()210001000020001010030211111100010222r rc c+-⨯+-⨯⎛⎫⎪⎪−−−−→ ⎪-⎪⎪--⎪⎝⎭2233441000100001000000100001022r cr cr c⎛⎫⎪→--⎝⎭令T1100001012111111022⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪⎪-⎪⎝⎭PT210000022⎛⎫⎪=-⎝⎭P则原二次型2f可经可逆线性变换1=x P y化成标准形2222212341232f y y y y=++-.2f可经可逆线性变换2=x P z化成规范形222221234f z z z z=++-用正交变换法求解（1）1f的矩阵为200032023⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，由200||032(1)(2)(5)023λλλλλλλ--=--=-----E A，知A的特征值为1,2,5.对11λ=，解123100002200220xxx-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，取111⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭T，单位化12⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，对22λ=，解123000001200210xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪--=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得1231xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取21⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭P，对35λ=解123300002200220xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得12311xx kx⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取311⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭T，单位化得322⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭P，令0102222⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪- ⎪⎝⎭P，则P为正交阵，经正交变换=X PY，原二次型f化为T22212325f y y y==++X AX.（2）2f的矩阵为1101111001111011-⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎪-⎝⎭A由11011110||01111011λλλλλ-----=----E A2(1)(3)(1)λλλ=+--知A的特征值为1,3,1,1-.对11λ=-，解12342101012100,0121010120x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12341111x x kx x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取11111⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得112121212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P ，对23λ=，解12342101012100,0121010120x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12341111x x k x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 取 21111-⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T 单位化得 212121212⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P . 对341λλ==，解12340101010100,010*******x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 得 12123410011001x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭取 341001,1001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T ， 再令340202,002⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭P P令11022110221102211022⎛⎫-⎪ --⎪= ⎪- ⎪ ⎝P ，则P 为正交阵，经正交变换=X PY ， 原二次型f 化为T 222212343f y y y y ==-+++X AX .29．判断下列二次型正定，负定还是不定.（1）2221223121326422f x x x x x x x =---++解：二次型1f 的矩阵为211160104-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭AA 的各阶顺序全子式2112120,110,1603801614---<=>-=-<--. 所以二次型1f 是负定二次型.（2）22222123412131424343919242612f x x x x x x x x x x x x x x =+++-++--解：二次型2f 的矩阵为11211303209613619-⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1110,2013->=>-，1121306029--=>，11211303240209613619---=>--- 所以二次型2f 是正定二次型.（3）222231234131423147644f x x x x x x x x x x =+++++-解：二次型3f 的矩阵为10320120321402007⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A A 的各阶顺序主子式1010,1001>=>，10312103214-=>-，103201203303214027-=-<-.所以二次型3f 是不定二次型.30．求一可逆线性变换=X CY ，把二次型2221123121325424f x x x x x x x =++--化成规范形2221123f y y y =++，同时也把二次型22221231313233322242f x x x x x x x x x =++--- 化成标准形2222112233f k y k y k y =++.解：记T1f =X AX ，其中212150204--⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A31213121121220021290115022040121001112010*********r r r r c c c c ++++⎛⎫ ⎪--⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎛⎫ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭A E323229292009002160091101292019001r r c c ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123123343410001000156610363004r r r c c c ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪−−−→⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭取5661036004⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪ ⎪3 ⎪ ⎪⎝⎭P ，则T =P AP E 记 T2f =X BX，其中3012032122⎛⎫- ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭B则T15003601210032063361225133006644⎛⎫⎫⎪⎪⎛⎫-⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B P BP5066106113100234⎛⎫⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭314413444142⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-⎪⎪⎭2311113442⎛⎫==⎪⎭B其中231132⎛⎫=⎪⎭B显然12,B B都是实对称矩阵，它们的特征值为14倍的关系，特征向量相同.231||13λλλ---=--EB30(3)14)1(3)04)4λλλλλ---=----2(4)0λλ=-=则2B的特征值为230,4λλλ===，故1B的特征值为0,1,1.以下求2B的特征向量.对于1λ=，求得11⎛⎪= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭α，单位化后11212⎛⎫-⎪⎪⎪= ⎪⎪γ对于234λλ==，求得2311,001⎛⎫⎪== ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα由Schmidt标准正交化后得23121,2⎛⎫⎪⎪⎪==-⎪⎪⎪⎪⎝⎭γγ令123112211(,,)220⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪==-⎪ ⎪Q γγγ. 则Q 为正交矩阵，且有T T T 10()11⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭Q B Q Q P BP Q令511662*********304⎛⎫⎛⎫⎪- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭CPQ 23130⎫⎪⎪=⎪⎪⎭于是 TTT==Q P APQ Q EQ E 即 T=C AC ET 011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C BC在可逆线性变换=X CY 下2221123f y y y =++ 22223f y y =+.（注：经验算本题所得C 是正确的，需要注意的是C 并不惟一）31．求一可逆线性变换=X PY ，将二次型f 化成二次型g .2221231213232938410f x x x x x x x x x =+++-- 222123121323236448g y y y y y y y y y =++--+解：Tf =X AX ，242495253-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ， T g =Y BY ，222234246--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B 将,A B 分别作合同变换如下：21313221323122242200200495011010253011000100121121010010011001001001r rr r r r c c c c c c -++-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 在可逆线性变换1=X C Z 下22122f z z =+ 其中 1121011001--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C21313221323122220020023401201024602400100111111010010012001001001r r r r r r c c c c c c ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫=−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B E 在可逆线性变换2=YC Z 下22122g z z =+.其中 2111012001-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭C由 12-=Z C Y 得1112-==X C Z C C Y令 1112121111136011012003001001001-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P C C 在可逆线性变换=X PY 下22122f g z z ==+.32．A 是正定矩阵，AB 是实对称矩阵，则AB 是正定矩阵的充分必要条件是B 的特征值全大于零．证：先证必要性．设λ 为B 的任一特征值，对应的特征向量为,,0≠X X 则 且有X BX λ=用A X T左乘上式有AX X X AB X T T )(λ=因为AB ，A 都是正定矩阵，故0,0)(T T >>AX X X AB X于是0>λ，即B 的特征值全大于零．再证充分性．因为A 是正定矩阵，所以A 合同于单位矩阵，故存在可逆矩阵P ，使E AP P =T （1）由AB 是对称矩阵，知P AB P )(T也是实对称矩阵，因此存在正交矩阵Q ，使),,,,diag(])([1T T n i μμμ ==D Q P AB P Q （2）即有),,,,diag()()(1TT n i μμμ ==D PQ B A P Q （3）其中n i μμμ,,,,1 是P AB P )(T的特征值． 在（1）的两端左乘TQ ，右乘Q 有E PQ A P Q E Q AP P Q ==))(()(T T T T 即这说明)()(TTPQ A P Q 与互逆，也就是说1T T )()(-=PQ A P Q将上式代入（3），说明矩阵B 与对角阵D 相似，故它们的特征值相等；由条件知B 的特征值全大于零，因此对角阵D 的特征值也全大于零． 由（2）知AB 与D 合同，因此AB 的特征值全大于零．33．设,A B 为n 阶实正定阵，证明：存在可逆阵P ，使T =P AP E 且T 12diag(,,,)n λλλ=P BP ，其中120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的n 个实根.证：因A 正定，故存在可逆矩阵1P ，使T 11=P AP E因B 正定，故存在可逆矩阵2P ，使T 22=B P P于是T T T T 1112212121()()==P BP P P P P P P P P易见T11P BP 为正定矩阵，不妨设它的特征值为120n λλλ≥≥≥>.则 TTT11111||||λλ-=-E P BP P AP P BP T11||||||λ=-P A B P 故 T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B 即 120n λλλ≥≥≥>为||0λ-=A B 的几个实根.由 T11P BP 为正定阵，知其为实对称矩阵，所以存在正交矩阵Q ，使 T T 1112()diag(,,,)n λλλ=Q P BP Q 令 1=P PQ ，则 TT 12,diag(,,,)n λλλ==P AP E P BP34．设A 为n 阶实正定阵，B 为n 阶实半正定阵，则||||+≥A B A . 证：因为A 是n 阶正定矩阵，所以存在n 阶可逆矩阵C ，使得T =C AC E . 因为B 是n 阶半正定阵，则TC BC 仍是实对称半正定阵，故存在正交阵Q ，使得1T T T 1()()diag(,,,,)i n D -===Q C BC Q Q C BC Q λλλ其中 0,1,,i i n λ≥=为T C BC 的特征值，且有T T ()=Q C AC Q E令=P CQ ，则P 为可逆矩阵，于是T T ,==P AP E P BP DT T T ()+=+=+P A B P P AP P BP E D上式两端取行列式，得T1||||||||(1)1ni i λ=+=+=+≥∏P A B P E D ||||||T =P A P因 T||||0=>P P ， 故 ||||+≥A B A .35．设,A B 均为实正定阵，证明：方程||0λ-=A B 的根全大于0.证：由33题知T11||0||0λλ-=⇔-=E P BP A B . 其中T11P BP 为正交矩阵，它的特征值0i λ>，1,,i n =，故||0λ-=A B 的根全大于0.36．设A 为n 阶正定矩阵，试证：存在正定矩阵B ，使2B A =． 证：因为A 是正定矩阵，所以是实对称矩阵，于是存在正交矩阵P ，使12-1Tn λλλ⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P AP P AP D 其中n λλλ,,,21 为A 的n 个特征值，它们全大于零．令),,,2,1(n i i i ==λδ 则21111222222n n n n δλδδλδδδλδδδ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪===⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D 而 1122TT n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭A PDP P P1122T T n n δδδδδδ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P P P令 B =12Tn δδδ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭P P显然B 为正定矩阵，且2B A =．37．设A 为n 阶可逆实方阵，证明：A 可表示为一个正定阵与一正交阵的乘积． 证：因为A 是n 阶可逆实方阵，故T A A 是正定矩阵，所以存在n 阶正定矩阵B ，使T 2=A A B .于是有1T 11T T 11T 21()()()()------===AB AB B A AB B B B E这说明1-AB 是正交阵. 令 1-=ABQ则 =A QB ，其中Q 是正交矩阵，B 是正定矩阵.38．A 、B 为n 阶正定矩阵，则AB 也为n 阶正定矩阵的充分必要条件是： AB =BA ，即A 与B 可交换．证：方法一 先证必要性．由于A 、B 、AB 都是正定矩阵，所以知它们都是对称矩阵，因此有AB AB B B A A ===T T T )(,,于是BA A B AB AB ===T T T )(即A 与B 可交换．再证充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．因为,A B 是正定矩阵，故它们皆为实对称矩阵，且有可逆矩阵P 、Q ，使Q Q B P P A T T ,==于是Q PQ P AB T T =上式左乘Q ，右乘1-Q 得)()()(T T T T T 1PQ PQ PQ QP Q AB Q ==-这说明AB 与对称矩阵)()(TTT PQ PQ 相似；因为P TQ 是可逆矩阵，故矩阵)()(T T T PQ PQ 是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零．综合上述知AB 正定． 方法二必要性同方法一，以下证明充分性． 由条件AB=BA 得AB B A BA AB ===T T T T )()(因此AB 是对称矩阵．由于A 正定，所以存在可逆矩阵Q ，使A=Q T Q于是T T T T 1()λλλ--=-=-E AB E Q QB E Q QBQ QT T 1T T T 1T T T 1T()()()()λλλ---=-=-=-Q E Q Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQT 00λλ-=⇔-=E AB E QBQ这说明AB 与TQBQ 有相同的特征值．因为B 是正定矩阵，易见TQBQ 也是正定矩阵，故它的特征值全大于零，所以AB 的特征值也全大于零． 综合上述知AB 正定．39．设A 、B 为实对称矩阵，且A 为正定矩阵，证明：AB 的特征值全是实数． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=， 于是有T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ即T||0||0λλ-=⇔-=E AB E QBQ .因为B 是实对称矩阵，所以TQBQ 也是实对称矩阵，因此它的特征值都是实数，故AB 的特征值也都是实数．40．设A 是正定矩阵，B 是实反对称矩阵，则AB 的特征值的实部为零． 证：因为A 是正定矩阵，故存在可逆矩阵Q ，使Q Q A T=T T T T 1T T T 1T()()()λλλλλ---=-=-=-=-E AB E Q QB E Q QBQ Q Q E QBQ Q E QBQ因为B 是实反对称矩阵，所以TQBQ 也是实反对称矩阵，因此它的特征值实部为零，故AB 的特征值实部也为零．41．设A 是正定矩阵，B 是半正定的实对称矩阵，则AB 的特征值是非负的实数．。
考研数学二(二次型)模拟试卷13(题后含答案及解析)
考研数学二（二次型）模拟试卷13(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．二次型f(x1，x2，x3)=x12+5x22+x32一4x1x2+2x2x3的标准形可以是( )A．y12+4y22。
B．y12一6y22+2y32。
C．y12一y22。
D．y12+4y22+y32。
正确答案：A解析：用配方法，有f=x12一4x1x2+4x22+x22+2x2x3+x32=(x1—2x2)2+(x2+x3)2，可见二次型的正惯性指数p=2，负惯性指数q=0。
所以选A。
知识模块：二次型2．二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32一4x1x2+4x1x3—8x2x3的规范形为( )A．f=z12+z22+z32。
B．f=z12一z22。
C．f=z12+z22一z32。
D．f=z12。
正确答案：D解析：利用配方法将该二次型化为标准形f(x1，x2，x3)=(x1—2x2+2x3)2，则该二次型的规范形为f=z12。
故选D。
知识模块：二次型3．设A是n阶实对称矩阵，将A的第i列和第j列对换得到B，再将B 的第i行和第j行对换得到C，则A与C( )A．等价但不相似。
B．合同但不相似。
C．相似但不合同。
D．等价，合同且相似。
正确答案：D解析：对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设AEij=B，EijB=C，故可得C=EijB=EijAEij。
因Eij=EijT=Eij－1，故C=EijAEij=Eij－1AEij=EijTAEij，所以A与C等价，合同且相似。
故应选D。
知识模块：二次型4．下列矩阵中，正定矩阵是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：二次型正定的必要条件是：aij＞0。
在选项D中，由于a33=0，易知f(0，0，1)=0，与x≠0，xTAx＞0相矛盾。
因为二次型正定的充分必要条件是顺序主子式全大于零，而在选项A中，二阶主子式△2==0，在选项B中，三阶主子式△3=｜A｜=一1。
第四章 二次型真题
第四章 二次型99103 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是 .设A 是n 阶矩阵，A ≠0, A * 为A 的伴随矩阵， E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值λ, 则2( *) A E +必有特征值 .95108 设三阶实对称矩阵A 的特征值为对应于的特征向量为求A .02103 填空题已知实二次型222123123121323,,)()444f x x a x x x x x x x x x =+++++(x 经正交变换可化成标准形21f =6y ，则a = 202203 填空题矩阵022222222A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的非零特征值是 404304 填空题二次型()()()()222123122331,,f x x x x x x x x x =++-++的秩为 2 。
9503 已知二次型（1）写出二次型f 的矩阵表达式；（2）用正交变换把二次型f 化为标准型，并写出相应的正交矩阵01103 选择题设1111111111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭，4000000000000000B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 与B (A) 合同且相似； (B) 合同但不相似； (C) 不合同但相似； (D) 不合同且不相似。
[ A ] 02303 选择题设A 为n 阶实对称矩阵，P 为n 阶可逆矩阵，已知n 维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵()1'PAP -属于特征值λ的特征向量是（A ）1P-α； (B) 'P α； (C)P α； (D)()1'P -α。
[ B ] 03404 选择题设矩阵001010100B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，已知矩阵A 相似于B ，则()2R A E -与()R A E -之和等于(A) 2； (B) 3； (C) 4； (D) 5。
[ C ]01108 计算题 已知3阶矩阵A 与3维向量x ，使得向量组2 A A x,x,x 线性无关，且满足32 32A A A -x =x x（1）记()2 PA A =x,x,x ，求3阶矩阵B ，使得1A PBP -=；（2）计算行列式A E+。
第五章 二型基础练习及参考答案
第五章 二次型基础练习及参考答案一. 填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为 ，秩为 ，正惯性指数为 ，规范形为 .2、与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由 所唯一确定.4、实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ ，i=1,2,…,n.5、写出3级实对称矩阵所有可能的规范形：， ， ， ，， ， ， ，， . 6. 实二次型12(,,,)n f x x x =AX X T 正定.二. 判断题1、设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使T C AC B =，则A 与B 合同. （ ）2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ ）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ ）4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ ）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ ）6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ ）7、若实二次型1211(,,,)nnn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)n nn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ ）三. 求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换.四. 证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使0=+P P A T .2. 设A, B 都是正定矩阵, 证明A+B 也是正定矩阵.3. 如果A 是正定矩阵, 证明1-A 也是正定矩阵.第五章 二次型基础练习及参考答案一. 填空题1、实二次型112222(,)41x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭的矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1332，秩为 2，正惯性指数为 1 ，标准形为22212112x x -，规范形为2221x x -. 二次型的矩阵必须是对称矩阵.2、与对称矩阵合同的矩阵只能是 对称 矩阵.设A 是对称矩阵, A 与B 合同, 则AC C B T =, 其中C 是可逆矩阵, 于是AC C C A C AC C B T T T T T T ===)(, 所以B 也是对称矩阵.3、复二次型12(,,,)n f x x x 的规范形由 它的秩 所唯一确定.因为复二次型的规范形为22221r y y y +++ , 其中r 是二次型的秩. 4、实二次型222121122(,,,)n n n f x x x d x d x d x =+++正定i d ⇔ >0，i=1,2,…,n.该二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n d d d21, 二次型正定的充要条件是其矩阵的顺序主子式都大于零, 于是有0,0211>>d d d , 得0,03212>>d d d d 又, 得03>d ,…, 依次下去得所有n i d i ,...,2,1,0=>.反之,若n i d i ,...,2,1,0=>,则对于任意的nn Rc c c ∈),...,,(21,0),...,,(222221121>+++=n n n c d c d c d c c c f , 所以二次型正定.5、写出3级实对称矩阵所有可能的规范形：0 ， E ， -E ， E 11，-E 11 , E 11+E 22 , -(E 11+E 22) , E 11-E 22 ，E 11+E 22-E 33， E 11-E 22+E 33 6. 实二次型12(,,,)n f x x x =AX X T 正定|A|的顺序主子式均大于零对任意的n n R c c c ∈),...,,(21, 0),...,,(21>n c c c f .二. 判断题1. 设A 、B 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵C ，使C AC B '=，则A 与B 合同. （ F ）应该是存在可逆矩阵.2、若A 为正定矩阵，则A 的主对角线上的元素皆大于零. （ T ）3、若A 为负定矩阵，则必有0A <. （ F ）当A 是奇数阶矩阵时, 结论成立.4、实对称矩阵A 半正定当且仅当A 的所有顺序主子式全大于或等于零. （ T ）5、若A 负定，则A 的所有顺序主子式全小于零. （ F ）正确答案应该是奇数阶的顺序主子式小于零, 偶数阶的顺序主子式大于零. 6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型. （ T ） 非退化的线性替换不会改变二次型惯性指数.7、若实二次型1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑的符号差为s ，令ij ij b a =-，则二次型1211(,,,)nnn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑的符号差为－s. （ T ）这是因为1211(,,,)n nn ij i j i j g x x x b x x ===∑∑=1211(,,,)n nn ij i j i j f x x x a x x ===∑∑, 所以它们的秩相等, 正负惯性指数互为相反数.三. 求二次型22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---的标准形，并写出所作的非退化线性替换. 写出该二次型的秩, 正惯性指数和符号差. 这是一个什么二次型(正定,负定,不定)解法1：用合同变换把二次型的矩阵化为对角形:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−→−--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100431043114900040001434310001001103034000110001000103033101123231212r r c c r r c c E A . 经过非退化线性替换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132110043104311y y y x x x ，标准形为.494232221x x x +- 解法2. (配方法) 22123121223(,,)326f x x x x x x x x x =---=23232221322222149)43(4)(64)(x x x x x x x x x x ++--=--- 令⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=3332221143x y x x y x x y , 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-+=3332232114343y x y y x y y y x , 则二次型化为标准形:222221231212231239(,,)32644f x x x x x x x x x y y y =---=-+. 该二次型的秩为3, 正惯性指数是2, 符号差为1. 这是一个不定二次型.四. 证明题1、证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P ，使A ＋P ´P ＝0.证明：因为A 是负定矩阵，所以A 是正定矩阵, 于是存在可逆矩阵Q 使得Q T (-A)Q=-E, 则A= --(Q T )-1Q -1, 令P=Q -1为所求.2. 设A, B 都是正定矩阵, 证明A+B 也是正定矩阵.证明: 由于A, B 都是正定矩阵, 所以AX X X f T =)(, BX X X g T =)(都是正定二次型, 所以对任意的n T n R c c c ∈=),...,,(21α,0)(,0)(>=>=ααααααB g A f TT0)(>+=+ααααααB A B A T T T , 所以A+B 也是正定矩阵.3. 如果A 是正定矩阵, 证明*A 和1-A 也是正定矩阵.证明: 因为A A A A A T T ==-1, 所以A 与1-A 合同, 由A 正定, 得1-A 正定. 对于*A , 因为1*||1-=A A A , 由A 正定得|A|>0, 所以0||1>A . 再由1-A 正定得1-A 的所以顺序主子式均大于零, 而*A 的k 阶顺序主子式等于kA ||1乘以1-A 的一个相应的k 阶顺序主子式, 所以*A 的所有k 阶顺序主子式大于零. *A 正定.。
二次型和矩阵复习题
一、填空题
1、二次型3231212322
213212623),,(x x x x x x tx x x x x x f +++++=是正定二次型，则t 满足_______ 2、若二次型2221231223312(,,22) f x x x x x x x x tx x =++++的秩为2，则=t
二、计算题
1、已知二次型32212322
213214422),,(x x x x x x x x x x f +++-=. （1）计算该二次型对应的实对称矩阵A 的全部特征值及其特征向量；
（2）用正交线性替换将该二次型化为标准形.
2、已知二次型()22212312312,,(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,
(1)求a 的值.
(2)请使用正交替换将该二次型化为标准形，并写出所用的正交线性替换.
三、证明题
1、设A,B 是n 阶正定矩阵，满足A 2=B 2，证明：A=B
2、设⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=O C C B
A T ，其中
B 是正定矩阵，
C 是秩为m 的m n ⨯型实矩阵（m n >）.证明：A 有n 个正特征值，m 个负特征值.
3、设n 阶实对称矩阵A 满足A 2=I.证明：存在正交矩阵C 使得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-r n r
T I O O I AC C .。
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二次型习题
一、填空题1.
实二次型2221231
2
3
121323(,,)
33222f x x x x
x
x
x x x x x x 的矩阵为
．
2.
二次型2111,,n
n
i
i j i i j n f
x x x
x x L 的矩阵为 .
3.
二次型2221231
2
3
23(,,)22f x x x x x x x x 是正定的充分必要条件是
与满
足。
4.
A
2
01011
k
k 是正定阵，则
k 满足条件__________________。
5.
实对称n 阶半正定矩阵A
的秩为n r
，则二次型AX X T
的规范形
为。
6.
实二次型1
123
23
1
32()
,,541
4
3
3
x f X x x x x x 的矩阵为。
7.
n 阶实对称矩阵
A 正定，则二次型
AX
X T
的规范形
为。
8.二次型
n
n n n n x x x x x x x x x x x x x x x f 123213
1212
1222222),(的矩阵为。
二、选择题1.
设
A 是实对称矩阵，二次型
AX X X f 正定的充要条件是（
）。
（A ）0A ；
（B ）负惯性指数为0 ；
（C ）
A 的所有主对角线上的元素大于
0；
（D ）存在可逆矩阵
C ，使C
C A 2.设A 是任意实矩阵，那么二次型
AX A X x
f 必是（
）．
A 、半正定；
B 、半负定；
C 、正定；
D 、负定；
3.
实方阵A 为正定阵,则下列结论正确的是( )。
A. 0|
|A B. 0||A C. 0||A D.
不确定
4.已知二次型AX X x x x f T
)
,,(321通过正交线性替换化为标准形
22
21
2y y
,则矩阵A
（
）。
A. 正定
B.
半正定 C. 负定 D. 不定
5.
二次型1(,,)n f x x L 的系数矩阵是（
）时必是正定的。
A. 实对称且主对角线上元素为正 B.
实对称且顺序主子式值都为正数C. 实对称且所有元素为正
D.
实对称且行列式值为正数
6.
已知二次型),,(321x x x f 通过非退化线性替换化为标准形2
22
1
3y y ,则二次型
),,(321x x x f （
）。
A. 正定
B.
半正定 C.
负定 D.
不定
三、计算题1.
设二次型
2
221231
2
3
121323
(,,)
44224f x x x x
x
x
x x x x x x 问取何值时，
f
为正定二次型？
2.
化二次型2221231
12132
3
23(,,)2443f x x x x
x x x x x
x
x x 为标准形，写出所作的非
退化的线性替换．并回答下列问题：
（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？3.
化二次型1231223()f x x x x x x x 为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下
列问题：
（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？4.
化二次型
为标准形，写出所作的非退化的线性替
换．并回答下列问题：
（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？5.
化二次型323121321224),,(x x x x x x x x x f 为标准形，写出所作的非退化的线性
替换．并回答下列问题：
（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？
6.用合同变换法化二次型
322122
21
321222),,(x x x x x
x
x x x f 为标准形；写出所作
的非退化线性替换；并分别写出其实数域和复数域上的规范形。
7. 试讨论a 取什么值时，
n 元二次型22
1
1
(
)n
n
i
i i i a
x
x 是正定的？。