新人教B版必修1高中数学函数的单调性学案
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高中数学函数的单调性学案新人教B版必修1
一、三维目标:
知识与技能:
(1)理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征;
(2)能利用函数图象划分函数的单调区间,并能利用定义进行证明。
(3)理解函数的最值是在整个定义域上研究函数,体会求函数最值是函数单调性的应用之一。
过程与方法:
由一元一次函数、一元二次函数的图象,让学生从图象获得“上升”“下降”的整体认识;借助函数的单调性,结合函数图象,形成函数最值的概念,培养应用函数的单调性求解函数最值问题。
情感态度与价值观:
在形与数的结合中感知数学的内在美,在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美。
二、学习重、难点:
重点:理解增函数、减函数的概念。应用函数单调性求函数最值。
难点:单调性概念的形成与应用。理解函数最值可取性的意义。
三、学法指导:
阅读自学课本P44——P46,完成下面问题:
1.观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
○1 随x 的增大,y
○
2 ○3
2.
1.
f(x) = x
○
1 从左至右图象上升还是下降 ______? 在区间 ______上,随着x 的增大,f(x)2.f(x) = -2x+1
○
1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ______ 上,随着x 的增大,f(x)的值随着 ________。 3.f(x) = x 2
○
1在区间 ________ 上,f(x)的值随着x 的增大而 ________ 。 ○
2 在区间 _______ 上,f(x)的值随着x 的增大而 ________ 。 4.画出下列函数的图象,标出图象的最高点或最低点及其坐标。 (1)32)(+-=x x f ,]2,1[-∈x (2)(3)2)(x x f =-2x-15, ]2,1[-∈x
四、学习过程:
(一)函数单调性定义
1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A ,
如果对于定义域A 的某个子区间M 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义:(学生活动) _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 2.函数的单调性定义 如果函数y=f(x)在定义域的某个子区间M 上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性,区间M 叫做y=f(x)的单调区间。 3.判断函数单调性的方法步骤: 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤: ○1 任取x 1,x 2∈M ,且x 1 ○4 定号(即判断差f(x 1)-f(x 2)的正负); ○5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间M 上的单调性)。 注意:○ 1 函数的单调性是对定义域的某个子区间而言的,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间M 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1 )()(21x f x f ). ○ 3反映在图象上)(x f 是区间M 上的增(减)函数,则图象在M 上的部分从左到右是上升(下降)的。 4.函数最大(小)值定义 (1).最大值一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数D满足: ○1对于任意的x∈A,都有f(x)≤D;○2存在x0∈A,使得f(x0) = D 那么,称D是函数y=f(x)的最大值(Maximum Value)。 思考:仿照函数最大值的定义,给出函数y=f(x)的最小值(Minimum Value)的定义。 (2). 最小值一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在实数D满足: ____________________________________;○2 _____________________________________. 那么,称D是函数y=f(x)的最小值(Minimum Value)。 注意: ○1函数最大(小)值,是对整个定义域而言的,是函数的整体性质,是某一个函数值,即存在x0∈A,使得f(x0) = D; ○2函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈A,都有f(x)≤D(f(x)≥D)。 (二)典型例题 例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数? 例2. 求证:函数y = 1 x -1 在区间(1,+∞)上为单调减函数。 例3. 已知函数f (x )=x 2+2ax +2,x ∈[-5,5], (1)当a =-1时,求函数f (x )的最大值与最小值; (2)求实数a 的取值范围,使函数y =f (x )在区间[-5,5]上是单调函数。 五、课堂达标训练: 1. 写出f(x)=x 2-4x+5的单调递增区间,并证明。 2.函数f (x )=2x -x 2的最大值是 ( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 3.已知函数f (x )=3x -2+x ,则它的最小值是 ( ) A .0 B .1 C.2 3 D .无最小值