13.2.4.三角形的判定_角边角_角角边(1)_导学案

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三角形全等的判定“边角边”判定定理教案

三角形全等的判定-“边角边”判定定理教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握“边角边”判定定理（SAS），能够运用该定理证明两个三角形全等。

2. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

二、教学内容1. 三角形全等的概念。

2. “边角边”判定定理（SAS）的定义及证明过程。

3. 运用“边角边”判定定理解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：掌握“边角边”判定定理（SAS），能够运用该定理证明两个三角形全等。

2. 教学难点：如何判断两个三角形是否全等，以及如何运用“边角边”判定定理进行证明。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解三角形全等的概念和“边角边”判定定理。

2. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用“边角边”判定定理解决问题。

3. 采用小组讨论法，培养学生团队合作精神，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入：通过复习三角形全等的概念，引入“边角边”判定定理。

2. 讲解：讲解“边角边”判定定理（SAS）的定义及证明过程，让学生理解并掌握。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用“边角边”判定定理解决问题。

4. 小组讨论：让学生分组讨论，运用“边角边”判定定理证明三角形全等。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调“边角边”判定定理的应用。

6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。

教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学效果。

关注学生在解决问题时的创新意识和逻辑思维能力，为后续教学做好准备。

六、教学评价1. 通过课堂讲解、案例分析和小组讨论，评价学生对“边角边”判定定理（SAS）的理解和掌握程度。

2. 评价学生在解决实际问题时，能否正确运用“边角边”判定定理，以及证明的逻辑性和准确性。

3. 观察学生在小组讨论中的表现，评估其团队合作能力和交流沟通能力。

七、教学拓展1. 引导学生思考其他三角形全等的判定定理，如“角边角”（ASA）、“角角边”（AAS）等，让学生了解并掌握更多判定定理。

八年级数学上册第十三章全等三角形13.2三角形全等的判定-角边角教案新版华东师大版

13.2 三角形全等的判定-角边角教学目标1．三角形全等的条件：角边角、角角边．2．三角形全等条件小结．3．掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．4．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题．教学重点已知两角一边的三角形全等探究．教学难点灵活运用三角形全等条件证明．教学过程Ⅰ．提出问题，创设情境1．复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边．（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？两种：①定义；②S.A.S．2．在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？Ⅱ．导入新课问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？1．两角和它们的夹边．2．两角和其中一角的对边．问题2：三角形的两个内角分别是60°和40°，它们的夹边为4.5cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等．提炼规律：两角和其夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“A.S.A.”）．问题3：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？D C AB FE证明：∵∠A +∠B +∠C =∠D +∠E +∠F =180°∠A =∠D ，∠B =∠E∴∠A +∠B =∠D +∠E∴∠C =∠F在△ABC 和△DEF 中∴△ABC ≌△DEF （A.S.A.）．两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）．小试牛刀：例：如图，∠ABC ＝∠DCB ，∠ABD ＝∠DCA ，试说明：AB ＝DC ．解：因为∠ABC ＝∠DCB ，∠ABD ＝∠DCA ，所以∠ABC －∠ABD ＝∠DCB －∠DCA ，即∠DBC ＝∠ACB ，∵∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB (公共边)，∠ACB ＝∠DBC ，∴△ABC ≌△DCB （A.S.A ）∴AB ＝DC （全等三角形的对应边相等）．试一试：如图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ．求证：AD =AE ．【解析】AD 和AE 分别在△ADC 和△AEB 中，所以要证AD =AE ，只需证明△ADC ≌△AEB 即可．证明：在△ADC 和△AEB 中所以△ADC ≌△AEB （A.S.A.）所以AD =AE ．Ⅲ．随堂练习（一）课本练习1.2．（二）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由．50︒50︒45︒45︒DC A B (1)29︒29︒DC A B (2)E【答案】图（1）中由“A .S.A.”可证得△ACD ≌△ACB ．图（2）由“A .A.S.”可证得△ACE ≌△BDC ． Ⅳ．课时小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法：1．全等三角形的定义2．判定定理：边角边（S.A.S.）角边角（A.S.A.）角角边（A.A.S.）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径．Ⅴ．作业1．课本习题。

2022年初中数学《三角形全等的判定——“角边角”》导学案精品

教学过程设计提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等〔可以简写成“角边角〞或“ASA 〞〕．问题3：我们刚刚做的三角形是一个特殊三角形, 随意画一个三角形ABC, •能不能作一个△A ′B ′C ′, 使∠A=∠A ′、∠B=∠B ′、AB=A ′B ′呢？问题4：如图, 在△ABC 和△DEF 中, ∠A=∠D, ∠B=∠E, BC=EF, △ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？D CABFE例题：如以下图, D 在AB 上, E 在AC 上, AB=AC, ∠B=∠C ．求证：AD=AE ．D CABE三、课堂训练1.如图, ∠B =∠DEF , AB =DE , 请添加一个条件使△ABC ≌△DEF , 那么需添加的条件是__________(只需写出一个).2.．如图, 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块, 现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃, 那么最省事的方法是〔〕 A ．带①去 B ．带②去 C ．带③去 D ．带②和③去3.如图, AE ∥CF , 且AE =CF , AB ⊥EF 于B , CD ⊥EF 于D . 求证：FB =DE .生类比“SSS 〞“SAS 〞归纳“角边角〞定理.学生利用尺规作图法, 作出△A ′B ′C ′, 并与△ABC 比拟. 最终形成三角形全等的判定定理——“角边角〞学生探究、证明, 获得“角角边〞判定定理.观察图形, 找全等三角形及三角形全等所需的条件.完成证明后与教材中对照.学生充分讨论, 综合应用所学知识解决问题.培养学生的类比、归纳能力. 复习用尺规作一个角等于角的方法及加深对“角边角〞定理的理解.应用“角边角〞定理解题, 强化知识间的联系.标准证明的过程的书写.稳固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力.板书设计一、阅读教科书二、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题．三、知识点：一般地, 形如____________________________的函数, 叫做二次函数. 其中x 是________, a 是__________, b 是___________, c 是_____________．四、根本知识练习1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中, 虽然函数有一项的, 两项的或三项的, 但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地, 如果y ＝ax 2＋bx ＋c 〔a 、b 、c 是常数, a ≠0〕, 那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3〔m 为常数〕．〔1〕当m__________时, 该函数为二次函数；〔2〕当m__________时, 该函数为一次函数．3．以下函数表达式中, 哪些是二次函数？哪些不是？假设是二次函数, 请指出各项对应项的系数．〔1〕y ＝1－3x 2 〔2〕y ＝3x 2＋2x 〔3〕y ＝x (x －5)＋2 〔4〕y ＝3x 3＋2x 2〔5〕y ＝x ＋1x五、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)xmm 2－3x ＋1是二次函数, 那么m 的值为_________________．2．以下函数中是二次函数的是〔〕 A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x3．在一定条件下, 假设物体运动的路段s 〔米〕与时间t 〔秒〕之间的关系为 s ＝5t 2＋2t, 那么当t ＝4秒时, 该物体所经过的路程为〔〕 A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米4．n 支球队参加比赛, 每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．5．y 与x 2成正比例, 并且当x ＝－1时, y ＝－3．求：〔1〕函数y 与x 的函数关系式；〔2〕当x ＝4时, y 的值；2〔3〕当y＝－13时, x的值．6．为了改善小区环境, 某小区决定要在一块一边靠墙〔墙长25m〕的空地上修建一个矩形绿化带ABCD, 绿化带一边靠墙, 另三边用总长为40m的栅栏围住〔如图〕．假设设绿化带的BC边长为x m, 绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式, 并写出自变量x的取值范围．六、目标检测1．假设函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数, 那么〔〕A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 D．a≠－1 2．以下函数中, 是二次函数的是〔〕A．y＝x2－1 B．y＝x－1 C．y＝8x D．y＝8x23．一个长方形的长是宽的2倍, 写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．4．二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时, y＝3, 求这个二次函数解析式．。

《三角形全等 “角边角”“角角边”》教案、导学案、同步练习

《12.2 第3课时“角边角”“角角边”》教学设计《12.2 第3课时“角边角”“角角边”》教学设计教学过程设计二、探究新知问题1：三角形中已知两角一边有几种可能？问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm ，•你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）．问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC ，•能不能作一个△A ′B ′C ′，使∠A=∠A ′、∠B=∠B ′、AB=A ′B ′呢？问题4：如图，在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D ，∠B=∠E ，BC=EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？例题：如下图，D 在AB 上，E 在AC 上，AB=AC ，∠B=∠C ．求证：AD=AE ．三、课堂训练1.如图，已知∠B =∠DEF ，AB =DE ，请添加一个条件使△ABC ≌△学生思考回答。

学生作图、比较。

生类比“SSS ”“SAS ”归纳“角边角”定理。

学生利用尺规作图法，作出△A ′B ′C ′，并与△ABC 比较。

最终形成三角形全等的判定定理——“角边角”学生探究、证明，获得“角角边”判定定理。

观察图形，找全等明确两角一边还可以分为两种情况：角边角、角角边。

培养学生的动手能力、合作能力。

培养学生的类比、归纳能力。

复习用尺规作一个角等于已知角的方法及加深对“角边角”定理的理解。

应用“角边角”定理解题，强化知识间的联系。

规范证明的过D CABFED CABEDEF，则需添加的条件是__________(只需写出一个).2.．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带②和③去3.如图，已知AE∥CF，且AE=CF，AB⊥EF于B，CD⊥EF于D.求证：FB=DE.4. 如图，已知：D在AB上，E在AC上，BE、CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C. 求证：OB=OC四、小结归纳1.用“角边角”和“角角边”来判定两个三角形全等；2.用三角形全等来证明线段的相等或角的相等；3.到目前已学了的判定三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS。

人教版八年级上册 12.2.3“角边角”和“角角边” 判定三角形全等导学案(无答案)

学（教）反思
（1）若以“SASn加油”为依据，还须添加的一个条件为____________n加油____.
（2）若以“ASA”为依据，还须添加的一个条件为____n加油____________.
（3）若以“AAS”为依据，还须添加的一个条件n加油为________________.
4.如图4，在△ABC中，∠C＝9n加油0°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
n加油2、下列条件：①已知两腰;②已知底边和顶角;③已知顶角与底角;④已知底边和n加油底边上的高,能确定一个等腰三角形的是( )
A.①和②B.n加油③和④C.②和④D.①和④
3、已知n加油：如图,AC=CD ,∠B=∠E=90°, AC⊥CD ,则不正确的结论n加油是( )
A.∠A与∠D互为余角B.n加油∠A=∠2
重点
“角边角”与“角角边”判定三角形全等的条件n加油。
难点
分析问题，寻找判定三角形全等条件。
学习过程
学（教）记录
【自n加油助学习·我尝试自学】
1、到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各n加油是什么？
2、在三角形中，已知三个元素的四种情n加油况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等n加油呢？三角形中已知两角一边又分成哪两种呢？
（2）归纳：由上面的证明可以得出全等n加油三角形判定（四）：
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三n加油角形
（可以简写成“”或“n加油”）
(3)用数学语言表述：在△ABC和中,
∵ ∴△ABCn加油≌
【求助交流·我愿意分享】
1、如下图，D在AB上，E在ACn加油上，AB=AC，∠B=∠C．
求证：AD=AE．

人教版八年级数学上册导学案：12.2 第3课时 “角边角”、“角角边”【精品】

第十二章全等三角形...猜想：两角及夹边对应相等的两个三角形_______.三、我的疑惑__________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________一、要点探究探究点1：三角形全等的判定定理3--“角边角”活动：先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A ∠B′=∠B.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC结论？要点归纳：相等的两个三角形全等(几何语言：如图，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF.例1：如图，已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC例2：如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC, ∠B=如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.探究点2：三角形全等的判定定理3的推论--“角角边”做一做：已知一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边的边长为3cm，你能画出这个三角形吗?追问：这里的条件与“角边角”中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为“角边角”中的条件吗？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS”).几何语言：如图，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF.例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．例4：如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是( )“角角边”是利用三角形内角和定理转化成“角边角”证明两个三角形全等当堂检测，判别下面的，AB=AD.拓展提升6.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝A′D′，并用一句话说出你的发现.。

12.2三角形全等的判定“角边角”“角角边”导学案2022-2023学年八年级数学上册人教版

12.2 三角形全等的判定“角边角” “角角边” 导学案一、学习目标1.了解三角形全等的判定方法：角边角、角角边；2.能够应用二者判定方法判断两个三角形的全等性。

二、学习重点1.三角形全等的判定方法“角边角”；2.三角形全等的判定方法“角角边”。

三、学习难点1.二者的比较和应用；2.需要注意的细节。

四、课前预习复习三角形内角和定理，了解三角形的基本性质，如三角形对边比例定理、角平分线定理等。

五、课堂讲解5.1 角边角（AAS）全等判定法角边角全等判定法又称AAS定理，是指在两个三角形中，若其中一个三角形的两个角和一个边分别与另一个三角形中的两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等。

具体的证明过程如下：AAS证明思路5.2 角角边（ASA）全等判定法角角边全等判定法又称ASA定理，是指在两个三角形中，若其中一个三角形的两个角和一边分别与另一个三角形中的两个角和同一边对应相等，则这两个三角形全等。

具体的证明过程如下：ASA证明思路5.3 两者的比较在实际运用中，需要注意两种全等判定法的区别和联系：1.两种判定法都涉及到三个共同点：一个角、一条边和另一个角；2.两种全等判定法不能互换，若角边角不成立，用角角边也不一定成立。

例如，下图中，已知∠ABC＝∠DEF，AC＝DE，BC＝EF，则两个三角形全等、对应的角和线段分别为：•∠ABC≌∠DEF•AC≌DE•BC≌EF•ΔABC≌ΔDEF （角边角定理成立）角边角形成的等边三角形而下图中，已知∠ABC＝∠DEF，AB＝DE，AC＝DF，则两个三角形全等、对应的角和线段分别为：•∠ABC≌∠DEF•AB≌DE•AC≌DF•ΔABC≇ΔDEF （角角边定理不成立）角角边不成立的情况六、课后练习6.1 选择题1.若有两个三角形的其中一对对应的角和另一对对应的边分别相等，则称这两个三角形为________。

（AAS / SSS / SAS / ASA）2.若有两个三角形的其中两条边和它们之间的夹角分别相等，则称这两个三角形为________。

13.2.4三角形全等的判定(角边角或角角边)

用符号语言表达为：
B E ∵BC EF C F
在△ABC和△DEF中，
A
D
B
\
C
E
\
F
练习
∴ △ABC≌△DEF (A.S.A.)
例1、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和 CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C。求证： △ABE≌△ACD
A
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A=∠A（公共角） ∵ AB=AC（已知）
C
A
O
B
D
探究2
在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ， BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
A D
C E B
F
探究反映的规律是：
有两角和其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或 “A.A.S.”）
用数学符号表示
在△ABC和△A`B`C`中 ∠A=∠A` A
例2.如图，已知AB=AC，∠ADB= ∠AEC，求证：△ABD≌△ACE
证明：∵ AB=AC， ∴ ∠B= ∠C（等边对等角） ∵ ∠ADB= ∠AEC， AB=AC，
A
∴ △ABD≌△ACE（A.A.S.）
B
D
E
C
练习：
1.如图,AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.求证AB=AD
2：如图，已知∠ABC＝∠D， ∠ACB＝∠CBD判断图中的两个三角形是否全等，并说明理由．
不全等。因为虽然有两组内角相等，且BC＝BC，但BC不都是两个三角形两组内角的夹边，所以不全等。
作业：
1.如图已知∠ABC＝∠DCB， ∠ACB＝ ∠DBC，求证：△ABC≌△DCB， AB=DC

初中数学最新版《“角边角”、“角角边”》精品导学案(2022年版)

12.2三角形全等的判定〔3〕学习目标“角边角〞和“角角边〞的条件“角边角〞和“角角边〞证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等.学习重点：应用“角边角〞和“角角边〞证明两个三角形全等，进而证明线段或角相等. 学习难点：理解，掌握三角形全等的条件：“ASA〞“AAS〞学习过程一、学习准备1．复习尺规作图(1)作线段AB等于线段a，(2)作∠ABC，等于∠α2．我们已经知道的判定三角形全等的方法有哪些?二、合作探究探究4：先任意画出一个△ABC，再画一个△A'B'C'，使A'B'＝AB，∠A'＝∠A，∠B'＝∠B(即使两角和它们的夹边对应相等)．把画好的△A'B'C'剪下，放到△ABC上，它们全等吗?结论：两角和分别相等的两个三角形全等〔可以简写成“角边角〞或“〞〕．例题讲解：例3 如图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．例4 在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?结论：两角和分别相等的两个三角形全等〔可以简写成“角角边〞或“〞〕．再次探究：三角对应相等的两个三角形全等吗?结论：三个角对应相等的两个三角形全等．现在为止，判定两个三角形全等我们已有了哪些方法?结论：三、稳固练习教材P41练习1教材P41练习1四、课堂小结我们有五种判定三角形全等的方法：1．全等三角形的定义2．判定定理：边边边〔SSS〕边角边〔SAS〕角边角〔ASA〕角角边〔AAS〕五、当堂清1.满足以下用哪种条件时，能够判定ΔABC≌ΔDEF〔〕(A)AB=DE,BC=EF, ∠A=∠E (B)AB=DE,BC=EF ∠A=∠D(C) ∠A=∠E,AB=DF, ∠B=∠D (D) ∠A=∠D,AB=DE, ∠B=∠E2.如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是〔〕〔A〕带①去〔B〕带②去〔C〕带③去〔D〕带①和②去3．以下说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS〞来判定全等，那么一定也可以依据“ASA〞来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的选项是〔〕A．①和②B．②和③C．①和③D．①②③4. 图中全等的三角形是〔〕A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅣC.Ⅱ和ⅢD.Ⅰ和Ⅲ5．：如图 , AC⊥BC于C , DE⊥AC于E ,AD⊥AB于A , BC=AE．假设AB=5 , 那么AD=___________．6、.如图，AB⊥BC, AD⊥DC, ∠1=∠2.求证：AB=AD6.提示：利用角角边或角边角证明△ADC≌△ABC.第4课时“斜边、直角边〞A 'A1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞．(重点)2．经历探究“斜边、直角边〞判定方法的过程，能运用“斜边、直角边〞判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个方法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的〞，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边〞判定三角形全等如图，∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL 〞即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL 〞判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边〞判定三角形全等的运用【类型一】利用“HL 〞判定线段相等如图，AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL 〞证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL 〞证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL 〞公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角〞这个隐含的条件．【类型二】利用“HL 〞判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt△ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】利用“HL 〞解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：此题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于此题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL 〞外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边〞1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边〞或“HL 〞．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL 〞，除此之外，还可以选用“SAS 〞“ASA 〞“AAS 〞以及“SSS 〞．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边〞时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习稳固所学的新知识．。

13_2_4_1角边角和角角边

《13.2.4全等三角形的判定（二、三）ASA 、AAS 》导学案课时安排：课时7 第3课时上课时间：2015年10月23日一、学习目标1、知识技能：探索出ASA 、AAS 的三角形全等的判定，并会理解使用。

2、数学思考：全等三角形对应边上的中线与对应角平分线相关系？3、问题解决：能使用ASA 、AAS 判定两三角形全等(重、难点)4、情感态度：学会灵活使用新旧知识，学会举一反三。

二、预习指导【评价：（由小组学科代表负责填写并反馈：A 、B 、C 、D ）】1、自主学习：教材6668P -内容，完成课本66P 做一做；补全68P 的证明过程。

2、知识点1：角边角公理和角角边定理在△ABC 和△DEF 中B E ∠=∠ B E ∠=∠= C F ∠=∠C F ∠=∠ = ∴△ABC ≌△DEF （） ∴△ABC ≌△DEF （）练习1：完成教材68P 练习1、2（其中第2题要写出证明过程，参考例1的格式）三、学习过程（一）导入新课：（二）预习反馈：就预习和练习中发现的问题实行交流。

（三）合作交流问题如图，AB ＝DE ， AC ∥DF ， BC ∥EF ，求证： △ABC ≌△DEF ．（四）归纳总结(主要内容、学习方法等）（五）当堂达标【评价：（由小组学科代表负责填写并反馈：A 、B 、C 、D ）】1、如图，已知∠1=∠2，AB ⊥AC ，BD ⊥DC ，AC 、BD 相交于点E ，•则图中的全等三角形是__________2、课本P76习题3、4、5题。

（六）巩固提升：练习册P33~34变式题及打夯基础1~4.四、学习反思（存有问题/错题记载等）[教师教学反思等]五、小黑板书写设计（教师板书设计等）⎧⎨⎩⎧⎨⎩ AB C D E F。

【精品】人教版八年级数学上册导学案：12.2 第3课时 “角边角”、“角角边”

第十二章全等三角形进而证线段或角相等...猜想：两角及夹边对应相等的两个三角形_______.三、我的疑惑_________________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________一、要点探究探究点1活动：先任意画出一个△∠B ′=∠B.把画好的△A 结论？要点归纳：相等的两个三角形全等几何语言：如图，在△ABC 和△ ∴△ABC ≌△DEF. 例1：如图，已知：∠ABC例2：如图，点D 在AB B=∠C,求证：AD=AE.. 如图，AD∥BC，BE∥DF，AE＝CF，求证：△ADF≌△CBE.探究点2：三角形全等的判定定理3的推论--“角角边”做一做：已知一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边的边长为3cm，你能画出这个三角形吗?追问：这里的条件与“角边角”中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为“角边角”中的条件吗？要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS”).几何语言：如图，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF.例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.求证：△ABC≌△DEF．例4：如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是( )“角角边”是利用三角形内角和定理转化成“角边角”证明两个三角形全等当堂检测，判别下面的，AB=AD.拓展提升6.已知：如图，△ABC ≌△A′B′C′，AD、A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高.试说明AD＝A′D′，并用一句话说出你的发现.。

“角边角”、“角角边” 精品导学案及练习

第十二章全等三角形
. . .
_____________.
B=∠C,求证：AD=AE.
证明线段或角度相等，可先证两个三角形全等，利用对应边或对应角相等来
CBE.
探究点2：三角形全等的判定定理3的推论--“角角边”
做一做：已知一个三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边的边长为3cm，你能画出这个三角形吗?
追问：这里的条件与“角边角”中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为“角边角”中的条件吗？
要点归纳：相等的两个三角形全等(简称“角角边”或“AAS”).
几何语言：
如图，在△ABC
和△DEF中，
ABC≌△DEF.
例3：在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF．
例4：如图，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.
如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是()。

八年级数学上册《三角形全等的判定》导学案

12.2 全等三角形的判定（第三课时）《“ASA ”及“AAS ”》导学案（一）学习目标1．掌握“角边角”及“角角边”条件的内容.2．能初步利用“角边角”及“角角边”条件判定两个三角形全等.（二）学习重点和难点学习重点：“角边角”及“角角边”条件学习难点：分析问题，确定适合判定三角形全等的方法.（三）学前准备1.回顾全等三角形的判定 “SSS ”和“SAS ”内容和作图方法.2.阅读教材P39，学习通过“ASA ”条件作图3.从问题2中，你得到了什么结论？（四）学习过程一、探究1：画一个三角形与已知三角形的两角和它们的夹边分别相等.活动1：画图：已知ABC ∆，求作'''C B A ∆，使得B B A A AB B A ∠=∠∠=∠=''',,'画图步骤：活动2：剪图形比较探究1结论:二、“ASA ”运用例1.如图，AC AB =，C B ∠=∠，求证：AE AD =.问题1：AD 和AE 分别在哪两个三角形中？由此，我们要证AE AD =，只需要证明 ≅证明过程：方法点拨：（1）本题应先确定所相等的一组边在哪两个三角形中，可通过证明三角形全等，根据对应边相等的性质即可说明线段相等；（2）注意公共角为一组相等的对应角的隐含条件.例2.如图，在ABC ∆和DEF ∆中，D A ∠=∠，E B ∠=∠，EF BC =，求证DEF ABC ∆≅∆问题2：若要利用“ASA ”证明DEF ABC ∆≅∆，还需要证明.证明过程：方法点拨：证明过程中，确定判定方法后，找缺少什么条件，则转化为先证明所缺条件成立，再写证明两个三角形全等过程.例2结论:三、综合运用1.如图，AD 和BC 相交于点O ，已知C A ∠=∠，请添加一个条件，使CD AB =，请说明理由.2.如图，已知DE AB //，DF AC //，CF BE =.求证：DEF ABC ∆≅∆（四）学习小结判断三角形全等的方法有哪些？你学了哪些数学方法？（五）学习延伸1.如图，在ABC ∆中，B C ∠=∠2，AD 是ABC ∆的角平分线，B ∠=∠1，点E 在AB 边上，求证：CD AC AB +=。

13.2.4角边角

13.2 三角形全等的判定
4.角边角（1）
你已经知道的判定三角形全等的方法有几种？
1.根据三角形全等的定义； 2.公理：当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时，两个三角形等．（SAS）注意：当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应相等时，两个三角形不一定全等。
夹角
√
×
两角一边又会有哪几种情况？请同学们探讨一下！
2.画∠MAB等=6吗0？°、∠NBA=40°，
与MA交于点C。
△ABC即为所求。
三角形全等判定方法
公理：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．（ASA）(或角边角)
A
D
用几何语言叙述为：
在△ABC与△DEF中
B
CF
E
∠A=∠D ( 已知 )
∵ AB=DE (已知 )
∠B=∠E (已知 )
∴△ABC≌△DEF(ASA)
∵ ∠1=∠2 (
)
AC=AC (
)
∴ △ ABC≌ △ ADC(AAS)
∴AB=AD(
)
A
A′
口答：
B
C
B′
C′
1.两个直角三角形中，斜边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
答：全等，根据AAS
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
∠A＝∠A′ (已知 ) ∵ AC＝A′C′(已知 )
∠C＝∠C′(已证 )
∴ △ABC≌△A′B′C′（ASA）
三角形全等判定方法定理:
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”）。
用几何语言叙述为：在△ABE和△A′CD中，

人教版数学八年级上册《三角形的边》最新导学案

、学1. 熟悉三角形的概念;习目标2. 会根据边和角对三角形进行分类;二、知识回顾三、新知讲解3. 掌握三角形三边之间的关系，并利用三边关系解决实际问题.1.我们身边有哪些事物是三角形的呢？请举出几个例子交通标志、红领巾等.2.你都知道哪几种三角形呢?锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.1.三角形相关概念及表示方法(1)由同一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.如F图，线段AB、BC、CA是三角形的边；点A、B、C是三角形的顶点；/A、/ B、/ C是分别相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的顶点是A、B、C的三角形, 记作△ABC ，读作三角形ABC△ABC 的三边，有时候也用a、b、c来表示，如上图，顶点A所对的边BC 用a 表示，顶点B所对的边AC用b 表示，顶点C所对的边AB 用c表示.(2)三边都相等的三角形叫做等边三角形;有两条边相等的三角形叫做腰三角形在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边.两腰的夹角叫做顶点，腰和底边的夹角叫做底角等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形.2.三角形的分类(1 )按角分类三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形(2 )按边分类不等边三角形三角形-「底边和峻不等的三角形等腰三角形-( I3. 三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边.1. 三角形的认识【例1】如图，在△ABC中，D, E分别是BC, AC上的两点，连接BE , AD交于F,问:(1)图中有几个三角形？并表示出来；(2)A BDF的三个顶点是什么？三条边是什么？(3)AB边是哪些三角形的边？(4)F点是哪些三角形的顶点？总结:数三角形的个数要做到不重不漏，可以从一边开始依次来数，也可以从一个顶点出发依次数.【例2】下列说法正确的是( )四、典例探究边的取值范围会有所变化.一个三角形两边的长分别为3和8,第三边的长为奇数，则第三边的长为()A . 5 或 7B . 7C . 9D . 7 或 9【例5】已知等腰三角形的两边长分别是 3和6,则等腰三角形的周长是 __________________总结：等腰三角形的特点是有两边相等，所以已知等腰三角形的两边(未指明腰和底) 求周长时，要分类讨论，并注意运用三角形的三边关系检验是否每一种情况都符合题意.练5 (1 )若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长a 的取值范围是 _________________ (2)若等腰三角形的底边长为4,则它的腰长b 的取值范围是 ________________练6 (1 )若等腰三角形的两边长分别为 3和7,则它的周长为 _______________ (2)若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为 ___________ .1. (2013春健瓯市校级期末)下列说法正确的有()(1) 等边三角形是等腰三角形； (2) 三角形的两边之差大于第三边；(3) 三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形; (4) 三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.2. (2013秋？赣县校级期中)如图中，三角形的个数为(4. (2015?杭州模拟)已知三角形的两边长分别是五、课后小测、选择题4和7,则这个三角形的第三条边的长CA . 2个B . 3个可能是（）5. （2015春？齐阳县期中）下列给出的各组线段的长度中，能组成三角形的是（二、填空题& （2013秋?惠阳区校级月考）如图所示，图中有 8个三角形；其中以 AB 为边的三角形有；含/ ACB 的三角形有；在 A BOC 中，OC 的对角是，/ OCB 的对边是A . 12B . 11A . 4, 5, 68, 15 C . 5， 7, 12 D . 3, 7, 136. (2014?包头)长为 9, 6, 5,4的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（7. （2014春?南京期中）如图，过 A 、B 、C 、D 、E 五个点中任意三点画三角形,（1）其中以AB 为一边可以画出，个三角形; （2）其中以C 为顶点可以画出个三角形.9. （2014?泗县校级模拟）已知三角形的两边为3和4,则第三边a的取值范围是10 . （2014?邻水县模拟）三角形的三条边长分别是2, 2x-3, 6,则x的取值范围是三、解答题11 （2014秋?长丰县校级期中）在△ABC中，AB=9 , AC=2，并且BC的长为偶数，求△ABC 的周长.12 . （2014春?苏州期末）一个不等边三角形的边长都是整数，且周长是形共有多少个?13.（2012春?海门市校级期末）把一条长为18米的细绳围成一个三角形, 别为x米和4米.（1 ）求x的取值范围；（2）若围成的三角形是等腰三角形时，求x的值. 12,这样的三角其中两段长分。

人教版数学三角形全等的判定(角边角、角角边)学案

人教版数学三角形全等的判定（角边角、角角边）
学案
一、学习目的
1、掌握三角形全等的角边角角角边条件。

能运用全等三角形的条件，处置复杂的推理证明效果
2.阅历探求三角形全等条件的进程，体会应用操作、•归结取得数学结论的进程。

3、积极投入，热情展现，体验成功的快乐。

二、重点难点
教学重点：两角一边的三角形全等探求。

教学难点：灵敏运用三角形全等条件证明。

三、协作探求
1、温习思索(由先生回答，教员引导、指正)
(1)。

到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种?各是什么?
(2)。

在三角形中，三个元素的四种状况中，我们研讨了三种，明天我们接着探求两角一边能否可以判别两三角形全等呢?三角形中两角一边又分红哪两种呢?
2、探求一：两角和它们的夹边对应相等的两
个三角形能否全等?
(1)入手试一试。

(先生协作、教员引导)
：△ABC
求作：△，使=B, =C，=BC，(不写作法，保管作图痕迹) (2) 把△剪上去放到△ABC上，观察△与△ABC能否可以完全重合?
(3)归结：由下面的画图和实验可以得出全等三角形判定
(三)：
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 (可以简写成
或 )。

2022年初中数学《利用“角边角”“角角边”判定三角形全等》精品导学案

4.3 第2课时利用“角边角〞“角角边〞判定三角形全等【学习目标】1．掌握“角边角〞、“角角边〞作为条件判断两个三角形全等；2．利用“角边角〞、“角角边〞的判定方法解决简单的实际问题。

【使用说明与学法指导】1.先精读一遍教材P100-P101页，利用“角边角〞、“角角边〞的判定方法解决简单的实际问题。

针对课前预习二次阅读教材，并答复以下问题.2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题，随时记录在课本或导学案上，准备课上讨论质疑.【课前预习】1．以下三角形全等的是 2．三边对应相等的两个三角形全等，简写为或3．如图，DB AC DC AB ==,,那么A ∠与D ∠相等吗？3．自主预习书本P100-P101页．【课堂探究】专题一、探究“角角边〞的判定方法 1．假设三角形的两个内角分别是 60和 80，它们所夹的边为2cm 。

你能用量角器和刻度尺画出这个三角形吗?2．你画的三角形与同伴画的一定全等吗?专题二、探究“角角边〞的判定方法1．假设三角形的两个内角分别是60°和45°，且45°所对的边为3cm ，你能画出这个三角形吗?2．你画的三角形与同伴画的一定全等吗?由此我们得到两种新的判定三角形全等的方法：▲规律整理表述：〔1〕对应相等的两个三角形全等，简写成“ 〞或“ 〞 54 25 4 2 4 2 3 4 2 3 (1) (2) (3) (4) A B DC 3cm〔2〕对应相等的两个三角形全等，简写成“ 〞或“ 〞专题三、三角形全等的条件的应用例1：如图，AB 与CD 相交于点O ，O 是AB 的中点，∠A=∠B ，△AOC ≌△BOD 吗？为什么?例2：如图，∠B ＝∠C ，AD 平分∠BAC ，你能证明△ABD ≌△ACD ？假设BD ＝3cm ，那么CD 有多长？【学习小结】1．判定两个三角形全等，我们学习了哪些方法？【课堂检测】1．如下列图，∠B=∠C ，AB=AC ，那么△ABE ≌△ACD 吗？请说明理由。