第一讲 合(1和2)

高中数学

第一讲 集合(一)

1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法,会判断一组对象是否构成集合。

2.理解元素与集合的“属于”关系，会判断某一个元素属于或不属于某一个集合，了解数集的记法，掌握元素的特征，理解列举法和描述法的意义。 3理解子集、真子集概念，会判

断

和证明两个集合包

4.会判断简单集合的相等关系

⑴结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念；

⑵掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集。 二．重点知识分析： 1.集合的基本概念及表示方法。 2.交集和并集的概念，集合的交、并的性质。 3.子集的概念、真子集的概念。 三．难点知识分析： 1.运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示。 2.元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算。 3.交集和并集的概念、符号之间的区别与联系。 4.集合的交、并的性质。 三．知识要点精讲 1.集合的概念 ⑴集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。

⑵元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

2.集合元素的性质：元素具有确定性、互异性、无序性。

◆确定性 我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合是一个“整体”，构成集合的对象必须是“确定的”。

怎样理解集合的“确定的”性呢？

其中“确定”是指构成集合的对象具有非常明确的特征，这个特征不能是模棱两可的，通过这个特征，我们能很容易判断一个元素是否是这个集合的元素。

例1

判断下列对象能否构成集合。

１.某校的年轻教师 ２.某校大于50岁的教师 ３.某校的女教师

◆互异性 集合中的元素是互不相同的，不能重复出现。

通俗地讲就是一个集合中不存在相同的元素，每个元素都是独一无二的。

例2 已知{

}12,12-∈a a ，则a ＝ .

◆无序性 集合中的元素是没有顺序的。

这个是从集合表示方法的角度来强调的。比如{1,2}和{2,1}其实表示的是同一个集合。元素前后顺序的不同并不影响相同集合的判断。

注意：数列的表示从外观看象集合的列举法表示，但是数列中元素的顺序不同，他所表示的数列也不一样。

例3 （湖北高考）设P 、Q 为两个非空数集，定义集合P+Q={}Q b P a b a ∈∈+,|，若

P={}5,2,0，Q={

}6,2,1，则P+Q 中元素的个数是（ ） A.9 B.8 C.7 D.6

2.集合的分类及表示方法

⑴集合通常用大写拉丁字母A 、B 、C ……表示，元素通常用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示。

这只是一个约定俗成，使用的时候便于区分。 ⑵常见数集的表示：

自然数集，即非负整数集，记作N ；（注：包括“0”） 正整数集，记作N + 或者N *；（注：不包括“0”） 整数集，记作Z ；

有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ； 复数集，记作Ｃ。

⑶集合的分类：

集合可以根据它含元素的个数分为“有限集”和“无限集”

⑷集合的表示方法有自然语言法、列举法、描述法，还有图像法。

◇自然语言法就是用文字叙述的形式描述集合的方法。使用此方法要注意叙述清楚即可。如“由所有正方形构成的集合”、“大于2且小于10的奇数构成的集合”都是用自然语言表示的。

◇列举法就是将集合中的元素一一列举说明来表示集合。比如{2，3，4，5}、{a ，b ，c ，d}。注意元素之间用“，”分隔开。

◇描述法就是通过将集合中元素的范围和共同特征描述出来，以此方法表示集合。用符号来表示就是{x ∈A|P （x ）}，其中x 表示集合中的代表元，A 指的是代表元x 的范围， P （x ）表示代表元x 的共同特征，“|”表示将代表元与其特征分隔开来，使得意思明确。 注意：①写清楚集合中的代表元的代号，如集合{x ∈R|x<1}不能写成{x<1}；

②集合与代表元素所采用的字母符号无关，如集合{x ∈R|x<1}也可以写成 {y ∈R|y<1}，还可以写成{a ∈R|a<1}，都是一样的集合； ③准确使用“且”和“或”；

④集合中不能出现未被说明的符号，如{x ∈Z|x=2k}中的k 未被说明，故此集合元素是不明确的；

⑤描述的内容应该都要写进集合符号内，如{x ∈Z|x=2k}，k ∈Z 不符合要求，应该写成{x ∈Z|x=2k ，k ∈Z}；

⑥有时联系上下文，元素的范围x ∈R 是明确的，则x ∈R 可以省略。

几种特殊数集的范围和意义需要牢记，经常会应用到。 注意区分下面集合中的元素所表示的含义：

⑴集合(){

,|x y y =中的元素是()x y ，，这个集合表示二元方程y =的解集，或

者理解为曲线y =

上的点组成的点集；

⑵集合{x |y =

中的元素是x ，这个集合表示函数y =

x 的取值范围，

即表示函数的定义域；

⑶集合{

y |y =

中的元素是y ，这个集合表示函数y =

y 的取值范围，

即表示函数的值域；

⑷集合{

y =中的元素只有一个（方程y =

），它是用列举法表示的单元素集合．

◇还有其他的一些表示方法，这里介绍一个常用的方法就是维恩图，也叫文氏图，用

于显示元素集合重叠区域的图示。

上图中圆圈A 内表示集合A ，圆圈Ａ以外的元素都不属于集合Ａ，同时我们还可以看出Ａ是Ｂ的子集。在解题中使用维恩图的方式比较直观，往往更易理解。

注：维恩图的应用往往起到帮助理解的作用。在集合类题目的求解中，特别是集合应用题中，往往数形结合的方法比较简易快捷的得到结果。

例4 向50名学生调查对A 、B 两件事的态度，有如下结果：赞成A 的人是全体人数的5

3

，

其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学

生比对A 、B 都赞成的学生数的3

1

多1人。问：对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各

有多少人？

3.集合与元素的关系

元素与集合有属于和不属于两种关系。如果a 是集合A 的元素，则a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，则a 不属于A ，记作a ∉A 。

注意a 与{a}的区别，a 表示一个元素，而{a}表示一个集合，两者是属于的关系，如0∈{0}。

4.集合与集合的关系

如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或称集合B 包含集合A ，记作A 包含于B 。这时，我们也说集合A 是集合B 的子集。任何一个集合是它本身的子集，注意不要漏掉。如果A 包含于B ，且A ≠B ，则集合A 是集合B 的真子集。如果A 包含B ，B 包含C ，则A 包含C 。（注：包含具有“传递性”）

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。 5.空集的特性

不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。∅只有一个子集，即它本身。注意∅与{∅}的区别，∅是不含任何元素的集合，{∅}是指以空集为元素的集合，已经成为非空集合了。