6函数的一致连续性概念与应用练习参考解答

§6 函数的一致连续性概念与应用部分练习参考解答

1． 若对任何0,f ε>在[,]a b εε+-上连续，是否可推出f 在(),a b 上连续。 2． 试用一致连续的定义证明：若函数f 在[],a c 和[],c d 上都一致连续，则f 在

[],a b 上也一致连续。

3． 证明：若f 在[],a b 上连续，且不存在任何[],x a b ∈使得()0f x =，则f 在[],a b 上恒正或恒负。

4． 证明：(1) 函数x x f =)(在),0[+∞上一致连续。 (2) 函数2

)(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(+∞-∞上不一致连续。 5． 证明 ()f x ax b =+(0)a ≠在(,)-∞+∞上一致连续。

6． 求证下列函数在指定区间上一致连续：

(1) ()1

f x x

=， ()0a x <≤<+∞； 2) (

)f x = ()0x ≥。

证 (1) 0ε∀>，取2a δε=， 则当212x x a ε-<时， 有

12122121211

x x x x x x x x a ε---=≤<， ()12,x x a ∀≥。 即得()1

f x x

=在[),a +∞上一致连续。

(2) 设210x x >≥， 则有

=≤

即有

。

于是， 对0ε∀>， 30δε∃=>， 对12,0x x ∀≥， 当21x x δ-<时， 有

ε≤

<

即得()f x 在0x ≥上一致连续。

7． 求证下列函数在指定区间上不一致连续。

(1) ()()1

sin

01f x x x

=<<； (2) ()()ln 0f x x x =>。

证 (1) 取

'12n

x n π

=

，

''122

n x n π

π=

+

， ()1,2,n =，则有

()'''

lim 0n n n x x →∞

-=。而 ()()()

'''lim lim11n n n n f x f x →∞

→∞

-==。于是()f x 在()0,1上不一致连续。

(2) 取''n n x e -=， ()1'

n n x e -+=， ()1,2,

n =， 则有

()'''

lim 0n n n x x →∞

-=， 而()()'''lim lim11n n n n f x f x →∞→∞⎡⎤-==⎣⎦。 由此推出()f x 在()0,+∞上不一致连续。 8． 设()f x 在(),a b 上一致连续，求证：

(1) 0δ∃>， 使得对0x ∀， 当()()00,,x a b x x δδ∈⋂-+时，

()()01f x f x ≤+。

(2) ()f x 在(),a b 上有界。

证 (1) 由()f x 的一致连续性， 对 10ε=>，0δ∃>， 当

()()00,,x a b x x δδ∈⋂-+时，

有 ()()()()0011f x f x f x f x -<⇒≤+。

(2) 利用(1)中的δ把(),a b 分成n 个小区间， 设分点为

01n a x x x b =<<

<=，

使得()11max k k k n

x x δ-≤≤-<， 令(){}11

max

1k

k n M f x ≤≤-=+， 对(),x a b ∀∈， x 一定落在

某一个小区间， 即()11k k n ∃≤≤-， 使得[]1,k k x x x -∈。

于是根据(1)， 有()()1k f x f x -<， ()11k n ≤≤-，或

()()11k f x f x --<， ()2k n ≤≤。并由此推出 ()f x M ≤。 9． (1) 证明函数1y x =

在(0,1)内不一致连续。(2) 0c ∀>，证明 1

y x

=在(,1)c

内是一致连续的。 10．

证明 1

sin

x

在(,1)c (0)c >内是一致连续的，而在(0,1)内连续但非一致连续。 11．

设区间1I 的右端点为1c I ∈，区间2I 的左端点也为2c I ∈（12,I I 可分别为

有限或无限区间）。试按一致连续性定义证明：若f 分别在1I 和2I 上的一致连续，则f 在12I I I =⋃上也一致连续。 12．

设函数)(x f 和)(x g 在区间I 上一致连续。 证明函数)()(x g x f +在区间

I 上一致连续。 13．

设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内连续。 则)(x f 在有限开区间),(b a 内

一致连续， )0( +⇔a f 和)0(-b f 存在( 有限 )。 14．

设函数)(x f 在有限开区间),(b a 内连续。 则)(x f 在),(b a 内一致连续，⇔

)(x f 在),(b a 内一致连续。 15．

若f 在[,)a +∞上连续，且lim ()x f x →+∞

存在。证明：f 在[,)a +∞上有界。试

问f 在[,)a +∞上必有最大（小）值吗？ 16．

设函数)(x f 在R 内连续且 .)(lim +∞=∞

→x f x 则)(x f 在R 内有最小值。(

与)0(f 比较。)

17． 证明：任一实系数奇次方程至少有一个根。

18． 求证：三次方程3210x x +-=只有唯一根，此根在()0,1内。

19． 证明方程240x x -=在区间10,2⎛⎫

⎪⎝⎭

内有一根。

20．

证明方程01423=+-x x 在()1,0内至少有一个实根．

证 设()1423+-=x x x f ，()x f 在[]1,0上连续，又

()010>=f ， ()021<-=f

由推论１知：至少存在一点()1,0∈ξ，使得()0=ξf ．这表明所给方程在()1,0内