三角形证明题集锦ppt课件
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三角形全等判定复习ppt课件
N 明方法与前题基本相同,只
须证明⊿ABN≌⊿BCM
A
C
B
变式4:如图,⊿ABD,⊿ACE都是正三角形, 求证CD=BE
D
A
E
B
C
分析:此题实质上是把题目中的条件B,A,C三点改为 不共线,证明方法与前题基本相同.
变式6:如图,分别以⊿ABC的边AB,AC为一边 画正方形AEDB和正方形ACFG,连结CE,BG.
求证BG=CE
E
分析:此题是把两个三
角形改成两个正方形而
D
A
G 以,证法类同
FBBiblioteka C小结:1.证明两个三角形全等，要结合题目的条件 和结论，选择恰当的判定方法
2.全等三角形，是证明两条线段或两个角相 等的重要方法之一，证明时
①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三 角形中。
②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺 什么条件。
AB=CB
A
AD=CD
BD=BD
_
=
P
∴ △ABD≌△CBD(SSS)
B
D
∴∠ABD=∠CBD
_
=
在△ABP和△CBP中
C
AB=BC
∠ABP=∠CBP
BP=BP
∴ △ABP ≌ △CBP(SAS)
∴PA=PC
例4。已知:如图AB=AE,∠B=∠E，BC=ED AF⊥CD 求证：点F是CD的中点
分析：要证CF=DF可以考虑CF 、 DF所在的两个三角形全等，为此可 添加辅助线构建三角形全等 ，如何 添加辅助线呢?
知识结构图
性质
全等三角形对应边相等 全等三角形对应角相等
全 全等 等三 形角
形
《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)
ห้องสมุดไป่ตู้
例1 已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边 上的中线且BD=B′D′ (如图)． 求证： Rt△ABC≌CORt△A′B′C′． 证明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中， ∵BD=B′D′,BC=B′C′, ∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′ (HL定理)． CD=C'D'． 又∵AC=2CD，A′C′=2C′D′，∴AC=A′C′． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中， ∵BC=B′C ′，∠C=∠C ′ =90°，AC=A′ C ′ ， ∴Rt△ABC≌CORt△A′B′C′(SAS)
跟踪检测
1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度 数是( C) A．30° B．60° C．90° D．120° 2．由下列 条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C ) A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A＝34°，∠B＝56° C．∠B＝42°，∠C＝38° D．∠A＝72°，∠B＝18° 3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重 合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D ) A．1 B．2 C．3 D．4
（4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （×）
（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （HL）
活动探究
活动1：如图，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； 那么， “两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”吗？.
观察下列演示，你有什么发现？
A
B
C
归纳
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等.
例1 已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边 上的中线且BD=B′D′ (如图)． 求证： Rt△ABC≌CORt△A′B′C′． 证明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中， ∵BD=B′D′,BC=B′C′, ∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′ (HL定理)． CD=C'D'． 又∵AC=2CD，A′C′=2C′D′，∴AC=A′C′． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中， ∵BC=B′C ′，∠C=∠C ′ =90°，AC=A′ C ′ ， ∴Rt△ABC≌CORt△A′B′C′(SAS)
跟踪检测
1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度 数是( C) A．30° B．60° C．90° D．120° 2．由下列 条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C ) A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A＝34°，∠B＝56° C．∠B＝42°，∠C＝38° D．∠A＝72°，∠B＝18° 3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重 合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D ) A．1 B．2 C．3 D．4
（4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （×）
（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （HL）
活动探究
活动1：如图，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； 那么， “两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”吗？.
观察下列演示，你有什么发现？
A
B
C
归纳
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等.
三角形内角和定理的证明证明教学PPT课件
15、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路上，就没有到不了的地方。 16、你若坚持，定会发光，时间是所向披靡的武器，它能集腋成裘，也能聚沙成塔，将人生的不可能都变成可能。 17、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者
1 2 1800 BDC(等式性质).
BDC BAC ABD ACD（等量代换）.
即BDC BAC B C.
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
A
M
B
N
C
F
D
练一练
A
1、 如图，已知AD是△ABD
34
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
12
B
D
证法一：
∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3，
C
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），
又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠4 ）
＝ ∠B+∠C+∠3+∠4.
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
证法二：
连接BC.
B
1
D
2
C
在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800,
1 2 1800 BDC(等式性质).
BDC BAC ABD ACD（等量代换）.
即BDC BAC B C.
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
A
M
B
N
C
F
D
练一练
A
1、 如图，已知AD是△ABD
34
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
12
B
D
证法一：
∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3，
C
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），
又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠4 ）
＝ ∠B+∠C+∠3+∠4.
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
证法二：
连接BC.
B
1
D
2
C
在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800,
三角形全等的证明ppt课件
∴AC=AD .
讲解新课
例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于 O点，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A= ∠A
AB=AC
∠B=∠C
∴ △ABE≌△ACD （ASA)
∴AD=AE
∵AB=AC
∴BD=CE
.
课
堂 如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件
E
的条件，不难发现图3是由图2平移而得。 利用AE=CF，可得：AF=CE
证明：∵AD∥BC（已知）
F
B
C
图3
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）
又 AE=CF
∴AE+EF=CF+EF（等式性质）
即AF=CE 在△AFD 和△CEB 中
AD=CB（已知）
问：若求证∠D=∠B ，
如何证明？
∠A=∠C（已证）
∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
D C
.
小结：四边形问题转化为三角形 问题解决。
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？A 在原有条件下，还能推出什么结论？
B
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
.
D C
归纳：二个三角形全等的判定方法
对应 相等 的元
素
两边一角 两角一边
两边及其 两边及其 两角及其 两角及其
写为“ASA”)
.
讲解新课:
例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 求证：AC=AD 证明：∵ ∠DAB=∠CAB，∠C=∠D
∴∠ABD=∠ACD (三角形内角和定理） 在△ACB和△ADB中
∠DAB=∠CAB AB=AB （共用边） ∠ABD=∠ACD
讲解新课
例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于 O点，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A= ∠A
AB=AC
∠B=∠C
∴ △ABE≌△ACD （ASA)
∴AD=AE
∵AB=AC
∴BD=CE
.
课
堂 如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件
E
的条件，不难发现图3是由图2平移而得。 利用AE=CF，可得：AF=CE
证明：∵AD∥BC（已知）
F
B
C
图3
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）
又 AE=CF
∴AE+EF=CF+EF（等式性质）
即AF=CE 在△AFD 和△CEB 中
AD=CB（已知）
问：若求证∠D=∠B ，
如何证明？
∠A=∠C（已证）
∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
D C
.
小结：四边形问题转化为三角形 问题解决。
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？A 在原有条件下，还能推出什么结论？
B
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
.
D C
归纳：二个三角形全等的判定方法
对应 相等 的元
素
两边一角 两角一边
两边及其 两边及其 两角及其 两角及其
写为“ASA”)
.
讲解新课:
例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 求证：AC=AD 证明：∵ ∠DAB=∠CAB，∠C=∠D
∴∠ABD=∠ACD (三角形内角和定理） 在△ACB和△ADB中
∠DAB=∠CAB AB=AB （共用边） ∠ABD=∠ACD
三角形内角和定理证明ppt课件
（1） ∠ACD是△ABC的
CD
（2）∵∠ +∠ ∠ +∠
∴∠ = ∠
+∠ =180°（三角形三个内角的和等于180° ）
=180°（平角的定义）
+∠
（
）
推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
公理、定理及由它们直接推出来的 结论(推论),以后可以直接运用. 9
练一练：
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长 线上一点，∠EAC=∠B,求证：∠ADE=∠DAE
B
∠A+∠B+∠AOB=180°(三角形三个内角的和等于180°)
O
∴∠A+∠B=180°-∠AOB
在⊿COD中 同理可得
∠C+∠D=180°-∠COD
∵∠AOB与∠COD是对顶角
C
D
∴∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D( 等量代换)
8
A
议一议：
B
如图所示：把△ABC的边BC延长，得到∠ACD.
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
1
2 C
辅助线
D
6
A
E
你还有什么
不同的方法?
B
P
AC
Q
B
H
C
B
A
E
C
7
试一试：
已知：如图,AC、BD相交于点O, 求证：∠A+∠B=∠C+∠D.
A 证明：
在⊿AOB中
CD
（2）∵∠ +∠ ∠ +∠
∴∠ = ∠
+∠ =180°（三角形三个内角的和等于180° ）
=180°（平角的定义）
+∠
（
）
推论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
公理、定理及由它们直接推出来的 结论(推论),以后可以直接运用. 9
练一练：
已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长 线上一点，∠EAC=∠B,求证：∠ADE=∠DAE
B
∠A+∠B+∠AOB=180°(三角形三个内角的和等于180°)
O
∴∠A+∠B=180°-∠AOB
在⊿COD中 同理可得
∠C+∠D=180°-∠COD
∵∠AOB与∠COD是对顶角
C
D
∴∠AOB=∠COD
∴∠A+∠B=∠C+∠D( 等量代换)
8
A
议一议：
B
如图所示：把△ABC的边BC延长，得到∠ACD.
∠2= ∠B(两直线平行,同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义）
∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换).
1
2 C
辅助线
D
6
A
E
你还有什么
不同的方法?
B
P
AC
Q
B
H
C
B
A
E
C
7
试一试：
已知：如图,AC、BD相交于点O, 求证：∠A+∠B=∠C+∠D.
A 证明：
在⊿AOB中
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10
例3（6分题） ：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AD ＝AB+CD
11
练4（6分题） ：如图，已知在△ABC中，AB=CD，∠BDA=∠BAD，AE为△ABD的BD边 上的中线，求证：AC=2AE
12
练2 （6分题） ：如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于F，BE平分∠ABC，E为AD的中 点，问：AB、BC和CD三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运 用下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等——简 写成“等角对等边”）。
8
例1（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论。 （2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。 （3）求证：AD＝AB+CD
9
练2（6分题） ：如图，AB∥CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求证：AD=AB+CD
△MBO， ∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中点， ∴AO⊥BC，即∠BOM+∠AOM=90°， ∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．
6. 延长CD到F，使DF=BC，连结EF ∵AE=BD ∴AE=CF ∵△ABC为正三角形 ∴BE=BF ∠B=60° ∴△EBF为=等 边三角形 ∴角F=60° EF=EB 在△EBC和△EFD中 EB=EF（已证） ∠B=∠F（已证） BC=DF（已作） ∴△EBC≌△EFD（SAS） ∴EC=ED
13
例3（9分题）：如图，已知在有公共顶点的△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，且 ∠AOB=∠COD。 （1）求证：CA=BD （2）若将△OCD绕点O沿着逆时针方向旋转，当旋转到A、C、D在同一条直线上时，问（1）
。 中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由
4.∵BP CD分别平分角∠ABC和∠ACB∴∠DBP=∠PBC∠ECP=∠PCB∵DE∥BC∴∠DPB=∠PBC∠EPC=∠ PCB ∴DP=DP EP=EC ∴DE-DP=DE-DB=EP=EC∴DE-DB=EC
5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等； （2）△OMN是等腰直角三角形。证明：连接OA，如图，∵AC=AB，∠BAC=90°， ∴OA=OB，OA平分∠BAC， ∠B=45°，∴∠NAO=45°， ∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO 中， AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，∴△NAO≌
6
7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
7
几何证明习题答案
1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,又由平行关系得,四边形RPQA为 矩形,所以AQ=RP,△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR由边角边,△BRD全等于△AQD,所以 ∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,所以△RDQ是等腰RT△。 2. 作AG平分∠BAC交BD于G∵∠BAC=90° ∴∠CAG= ∠BAG=45°∵∠BAC=90° AC=AB
A
DP
E
B 图⑴ C
4
5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。 (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形 状，并证明你的结论。
C N
O
AM
B
5
6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE
7. ∵DE⊥BC∴∠DEB=90∵BD平分∠ABC在直角三角形ABD和直角三角形DBE中 ∠A=∠DEB BD=BD ∠ABD=∠DBE ∴直角三角形ABD全等直角三角形DBE ∴BE=AB AD=DE ∵AB=AC
∴BE+CE=AC+CE △DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10
A
D E
B
F
C
A
D E
B
F
C
2
3、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB， 求证：MA⊥NA。
N
A
E D
M
B
C
3
4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于 D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．
∴∠C=∠ABC=45°∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90° ∵∠CAF+∠BAE=90° ∠CAF=∠ABE∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45° CD=AD∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB 3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°
14
练4 （9分压轴题） ：如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对 称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题（1）如图②，在△ABC中， ∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你 写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其 它条件不变。请问：你在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明 理由。（3）你还能得出什么结论？请给出证明。
八年级数学（上）几何证明练习题
1、已知：在⊿ABC中，∠A=90度，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于 Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。
A
Q
R
C
BPD1来自2、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于 F，求证：∠ADB=∠FDC。
例3（6分题） ：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AD ＝AB+CD
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练4（6分题） ：如图，已知在△ABC中，AB=CD，∠BDA=∠BAD，AE为△ABD的BD边 上的中线，求证：AC=2AE
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练2 （6分题） ：如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于F，BE平分∠ABC，E为AD的中 点，问：AB、BC和CD三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运 用下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等——简 写成“等角对等边”）。
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例1（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论。 （2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。 （3）求证：AD＝AB+CD
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练2（6分题） ：如图，AB∥CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求证：AD=AB+CD
△MBO， ∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中点， ∴AO⊥BC，即∠BOM+∠AOM=90°， ∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．
6. 延长CD到F，使DF=BC，连结EF ∵AE=BD ∴AE=CF ∵△ABC为正三角形 ∴BE=BF ∠B=60° ∴△EBF为=等 边三角形 ∴角F=60° EF=EB 在△EBC和△EFD中 EB=EF（已证） ∠B=∠F（已证） BC=DF（已作） ∴△EBC≌△EFD（SAS） ∴EC=ED
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例3（9分题）：如图，已知在有公共顶点的△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，且 ∠AOB=∠COD。 （1）求证：CA=BD （2）若将△OCD绕点O沿着逆时针方向旋转，当旋转到A、C、D在同一条直线上时，问（1）
。 中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由
4.∵BP CD分别平分角∠ABC和∠ACB∴∠DBP=∠PBC∠ECP=∠PCB∵DE∥BC∴∠DPB=∠PBC∠EPC=∠ PCB ∴DP=DP EP=EC ∴DE-DP=DE-DB=EP=EC∴DE-DB=EC
5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等； （2）△OMN是等腰直角三角形。证明：连接OA，如图，∵AC=AB，∠BAC=90°， ∴OA=OB，OA平分∠BAC， ∠B=45°，∴∠NAO=45°， ∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO 中， AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，∴△NAO≌
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7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
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几何证明习题答案
1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,又由平行关系得,四边形RPQA为 矩形,所以AQ=RP,△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR由边角边,△BRD全等于△AQD,所以 ∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,所以△RDQ是等腰RT△。 2. 作AG平分∠BAC交BD于G∵∠BAC=90° ∴∠CAG= ∠BAG=45°∵∠BAC=90° AC=AB
A
DP
E
B 图⑴ C
4
5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。 (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形 状，并证明你的结论。
C N
O
AM
B
5
6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE
7. ∵DE⊥BC∴∠DEB=90∵BD平分∠ABC在直角三角形ABD和直角三角形DBE中 ∠A=∠DEB BD=BD ∠ABD=∠DBE ∴直角三角形ABD全等直角三角形DBE ∴BE=AB AD=DE ∵AB=AC
∴BE+CE=AC+CE △DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10
A
D E
B
F
C
A
D E
B
F
C
2
3、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB， 求证：MA⊥NA。
N
A
E D
M
B
C
3
4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于 D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．
∴∠C=∠ABC=45°∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90° ∵∠CAF+∠BAE=90° ∠CAF=∠ABE∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45° CD=AD∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB 3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°
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练4 （9分压轴题） ：如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对 称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题（1）如图②，在△ABC中， ∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你 写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其 它条件不变。请问：你在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明 理由。（3）你还能得出什么结论？请给出证明。
八年级数学（上）几何证明练习题
1、已知：在⊿ABC中，∠A=90度，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于 Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。
A
Q
R
C
BPD1来自2、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于 F，求证：∠ADB=∠FDC。