三角形证明题集锦ppt课件
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例3（9分题）：如图，已知在有公共顶点的△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，且 ∠AOB=∠COD。 （1）求证：CA=BD （2）若将△OCD绕点O沿着逆时针方向旋转，当旋转到A、C、D在同一条直线上时，问（1）
。 中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由
A
D E
B
F
C
A
D E
B
F
C
2
3、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB， 求证：MA⊥NA。
NHale Waihona Puke Baidu
A
E D
M
B
C
3
4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于 D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．
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例3（6分题） ：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AD ＝AB+CD
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练4（6分题） ：如图，已知在△ABC中，AB=CD，∠BDA=∠BAD，AE为△ABD的BD边 上的中线，求证：AC=2AE
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练2 （6分题） ：如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于F，BE平分∠ABC，E为AD的中 点，问：AB、BC和CD三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运 用下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等——简 写成“等角对等边”）。
4.∵BP CD分别平分角∠ABC和∠ACB∴∠DBP=∠PBC∠ECP=∠PCB∵DE∥BC∴∠DPB=∠PBC∠EPC=∠ PCB ∴DP=DP EP=EC ∴DE-DP=DE-DB=EP=EC∴DE-DB=EC
5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等； （2）△OMN是等腰直角三角形。证明：连接OA，如图，∵AC=AB，∠BAC=90°， ∴OA=OB，OA平分∠BAC， ∠B=45°，∴∠NAO=45°， ∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO 中， AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，∴△NAO≌
△MBO， ∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中点， ∴AO⊥BC，即∠BOM+∠AOM=90°， ∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．
6. 延长CD到F，使DF=BC，连结EF ∵AE=BD ∴AE=CF ∵△ABC为正三角形 ∴BE=BF ∠B=60° ∴△EBF为=等 边三角形 ∴角F=60° EF=EB 在△EBC和△EFD中 EB=EF（已证） ∠B=∠F（已证） BC=DF（已作） ∴△EBC≌△EFD（SAS） ∴EC=ED
八年级数学（上）几何证明练习题
1、已知：在⊿ABC中，∠A=90度，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于 Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。
A
Q
R
C
B
P
D
1
2、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于 F，求证：∠ADB=∠FDC。
7. ∵DE⊥BC∴∠DEB=90∵BD平分∠ABC在直角三角形ABD和直角三角形DBE中 ∠A=∠DEB BD=BD ∠ABD=∠DBE ∴直角三角形ABD全等直角三角形DBE ∴BE=AB AD=DE ∵AB=AC
∴BE+CE=AC+CE △DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10
∴∠C=∠ABC=45°∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90° ∵∠CAF+∠BAE=90° ∠CAF=∠ABE∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45° CD=AD∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB 3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°
A
DP
E
B 图⑴ C
4
5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。 (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形 状，并证明你的结论。
C N
O
AM
B
5
6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE
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例1（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论。 （2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。 （3）求证：AD＝AB+CD
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练2（6分题） ：如图，AB∥CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求证：AD=AB+CD
6
7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
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几何证明习题答案
1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,又由平行关系得,四边形RPQA为 矩形,所以AQ=RP,△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR由边角边,△BRD全等于△AQD,所以 ∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,所以△RDQ是等腰RT△。 2. 作AG平分∠BAC交BD于G∵∠BAC=90° ∴∠CAG= ∠BAG=45°∵∠BAC=90° AC=AB
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练4 （9分压轴题） ：如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对 称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题（1）如图②，在△ABC中， ∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你 写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其 它条件不变。请问：你在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明 理由。（3）你还能得出什么结论？请给出证明。
例3（9分题）：如图，已知在有公共顶点的△OAB和△OCD中，OA=OB，OC=OD，且 ∠AOB=∠COD。 （1）求证：CA=BD （2）若将△OCD绕点O沿着逆时针方向旋转，当旋转到A、C、D在同一条直线上时，问（1）
。 中的结论是否仍然成立？如果结论成立，请证明；如果不成立，请说明理由
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3、已知：在⊿ABC中BD、CE是高，在BD、CE或其延长线上分别截取BM=AC、CN=AB， 求证：MA⊥NA。
NHale Waihona Puke Baidu
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4、已知：如图(1)，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于 D，交AC于E，且DE∥BC．求证：DE－DB=EC．
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例3（6分题） ：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。求证：AD ＝AB+CD
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练4（6分题） ：如图，已知在△ABC中，AB=CD，∠BDA=∠BAD，AE为△ABD的BD边 上的中线，求证：AC=2AE
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练2 （6分题） ：如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于F，BE平分∠ABC，E为AD的中 点，问：AB、BC和CD三条线段之间有什么数量关系，并给出证明（如有需要可直接运 用下面的定理：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边也相等——简 写成“等角对等边”）。
4.∵BP CD分别平分角∠ABC和∠ACB∴∠DBP=∠PBC∠ECP=∠PCB∵DE∥BC∴∠DPB=∠PBC∠EPC=∠ PCB ∴DP=DP EP=EC ∴DE-DP=DE-DB=EP=EC∴DE-DB=EC
5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等； （2）△OMN是等腰直角三角形。证明：连接OA，如图，∵AC=AB，∠BAC=90°， ∴OA=OB，OA平分∠BAC， ∠B=45°，∴∠NAO=45°， ∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO 中， AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，∴△NAO≌
△MBO， ∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中点， ∴AO⊥BC，即∠BOM+∠AOM=90°， ∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．
6. 延长CD到F，使DF=BC，连结EF ∵AE=BD ∴AE=CF ∵△ABC为正三角形 ∴BE=BF ∠B=60° ∴△EBF为=等 边三角形 ∴角F=60° EF=EB 在△EBC和△EFD中 EB=EF（已证） ∠B=∠F（已证） BC=DF（已作） ∴△EBC≌△EFD（SAS） ∴EC=ED
八年级数学（上）几何证明练习题
1、已知：在⊿ABC中，∠A=90度，AB=AC，在BC上任取一点P，作PQ∥AB交AC于 Q，作PR∥CA交BA于R，D是BC的中点，求证：⊿RDQ是等腰直角三角形。
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2、已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于 F，求证：∠ADB=∠FDC。
7. ∵DE⊥BC∴∠DEB=90∵BD平分∠ABC在直角三角形ABD和直角三角形DBE中 ∠A=∠DEB BD=BD ∠ABD=∠DBE ∴直角三角形ABD全等直角三角形DBE ∴BE=AB AD=DE ∵AB=AC
∴BE+CE=AC+CE △DCE=CE+DE+CD=CE+AD+CD=CE+CA=BE+CE=10
∴∠C=∠ABC=45°∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90° ∵∠CAF+∠BAE=90° ∠CAF=∠ABE∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45° CD=AD∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB 3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°
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B 图⑴ C
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5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。 (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)；
(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形 状，并证明你的结论。
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6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD， 连结EC、ED，求证：CE=DE
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例1（6分题）：如图，已知∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC。 （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论。 （2）DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由。 （3）求证：AD＝AB+CD
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练2（6分题） ：如图，AB∥CD，DE平分∠ADC，AE平分∠BAD，求证：AD=AB+CD
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7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC， DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长。
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几何证明习题答案
1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,又由平行关系得,四边形RPQA为 矩形,所以AQ=RP,△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR由边角边,△BRD全等于△AQD,所以 ∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,所以△RDQ是等腰RT△。 2. 作AG平分∠BAC交BD于G∵∠BAC=90° ∴∠CAG= ∠BAG=45°∵∠BAC=90° AC=AB
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练4 （9分压轴题） ：如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对 称轴的全等三角形。请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题（1）如图②，在△ABC中， ∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你 写出FE与FD之间的数量关系。（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其 它条件不变。请问：你在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明 理由。（3）你还能得出什么结论？请给出证明。