试根据根轨迹法分析系统的稳定性
利用根轨迹分析系统性能
4-4系统性能分析
自动控制系统的稳定性，由它的闭环极点唯一确 定，从根轨迹图可以直接看出；稳态性能只同开环 传递函数有关，具体说就是同开环传递函数的K*、开 环零极点和ν有关，这些信息在根轨迹图上都有反 映；动态性能与系统的闭环极点和零点在S平面上的 分布有关。因此确定控制系统闭环极点和零点在S平 面上的分布，特别是从已知的开环零、极点的分布 确定闭环零、极点的分布，是对控制系统进行分析 必须首先要解决的问题。
1
s(s 2)(s 4)
G(s)H(s)
1
s(s 2)(s 1)
G(s)H
(s)
1 s2(s
2)
G(s)H(s) 1
G(s)H(s)
1
s(s 2) 由以上对比可以
s(s 2)(s 4)
看出，引入开环
极点后可使根轨
迹向右移动或弯
曲，开环极点越
G(s)H(s)
解决的方法之一，是第三章介绍的解析法，即 求出系统特征方程的根。解析法虽然比较精确，但 对四阶以上的高阶系统是很困难的。
根轨迹法是解决上述问题的另一途径，它 是在已知系统的开环传递函数零、极点分布 的基础上，研究某一个和某些参数的变化对 系统闭环极点分布的影响的一种图解方法。 由于根轨迹图直观、完整地反映系统特征方 程的根在S平面上分布的全局情况，通过一些 简单的作图和计算，就可以看到系统参数的 变化对系统闭环极点的影响趋势。这对分析 研究控制系统的性能和提出改善系统性能的 合理途径都具有重要意义。
G(s)H (s)
s(s2
s 2s
2)
G(s)H(s)
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理根轨迹法
自动控制原理根轨迹法自动控制原理是现代工程技术中的重要分支，它涉及到机械、电子、计算机等多个领域。
而根轨迹法则是自动控制原理中的一种重要方法，它可以用来分析和设计控制系统，提高系统的稳定性和性能。
本文将从根轨迹法的基本原理、应用场景和优缺点三个方面进行介绍。
一、基本原理根轨迹法是一种基于极点和零点的控制系统分析方法。
在根轨迹图中，系统的极点和零点被表示为一条曲线，称为根轨迹。
根轨迹图可以用来分析系统的稳定性、响应速度和稳态误差等性能指标。
根轨迹法的基本原理是通过改变系统的参数，使得根轨迹图在复平面上移动，从而实现对系统性能的优化。
二、应用场景根轨迹法可以应用于各种控制系统的设计和分析中。
例如，在电机控制系统中，根轨迹法可以用来分析电机的转速响应和负载扰动对系统的影响。
在飞行控制系统中，根轨迹法可以用来设计飞机的自动驾驶系统，提高飞机的稳定性和飞行性能。
在机器人控制系统中，根轨迹法可以用来设计机器人的运动控制系统，实现机器人的精确控制和运动规划。
三、优缺点根轨迹法的优点是可以直观地表示系统的稳定性和性能指标，便于工程师进行控制系统的设计和分析。
此外，根轨迹法还可以用来分析系统的鲁棒性和鲁棒稳定性，提高系统的抗干扰能力和鲁棒性。
但是，根轨迹法也存在一些缺点，例如对于高阶系统，根轨迹法的计算复杂度较高，需要使用计算机进行计算。
此外，根轨迹法也无法处理非线性系统和时变系统，需要使用其他方法进行分析和设计。
总之，根轨迹法是自动控制原理中的一种重要方法，可以用来分析和设计各种控制系统。
在实际工程中，工程师需要根据具体的应用场景和系统要求，选择合适的控制方法和算法，实现对系统的优化和控制。
控制工程基础 燕山大学 孔祥东 答案与解答4
σ 0 0
σ 0
σ 0
jω
jω
jω
jω
σ 0 0
σ 0
σ 0
σ
4-3．已知单位反馈系统的开环传递函数如下，试绘制当增益 K1 变化时系统的根轨迹图。 （1）.
Gs
K1 ss 2s 5
K1 s 2 s 2 2s 10
（2）. 解：
G2 s
（1）. 开环极点为 p1 0, p2 2, p3 5
无有限开环零点。示如图 jω j3.16
批注 [x2]: 根轨迹图应按正式作图进行，一般根轨迹应表示出和虚轴 的交点（如果有的话） 应根据根轨迹的八条规则逐条进行计算分析
σ -5 -2.33 -2 -0.88 0
-j3.16
法则 2：有三条趋向无穷的根轨迹。 法则 3：实轴上的根轨迹：0～-2，-5～-∞。 法则 4：渐近线相角： a
不稳定系统变为了稳定系统。
nm
2
059 14 4.67 。 3 3
分离点： K1 s 14s 45s
3
dK1 3s 2 28s 45 0 ds
得： s1, 2
28 28 2 4 3 45 14 61 2.06 ， 6 3 7.27
批注 [x6]: 如果将其代入增益函数内，则易出现由于计算 误差而发生 K1 有虚部而被判定不在根轨迹上。
s s 5 s 9 3.12 3.12 3.12 180 arctan arctan arctan 1.5 5 1.5 9 1.5 180
j 3 14 2 j 45 K1 0
线性系统的根轨迹法实验报告
线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1，掌握matlab绘制根轨迹的方法。
2，观察k值变化对系统稳定性的影响。
3，掌握系统临界稳定情况下k值得求取。
4，了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。
二，实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了，稳定性的判定，当开环增益从零变到无穷大时，根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面，此时K的范围为系统稳定的范围，根轨迹与虚轴的交点处的K值，为系统的临界开环增益，开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。
三，实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹，并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。
3，在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应，输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出，所以此时系统为临界稳定状态。
当改变开环增益为50和20时观察示波器，得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出，此时系统不稳定，当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢，最后趋于稳定，所以此时的系统是稳定的。
B，设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹，并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1，由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面，所以系统在K=0到K=?都是稳定的。
控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析简介控制系统的稳定性是指系统在受到干扰时，能够保持从初始状态返回到稳定的平衡状态的能力。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，对于确保系统正常运行具有重要意义。
在本文档中，我们将探讨控制系统的稳定性分析方法。
稳定性概念在控制系统中，稳定性可以分为两种类型：绝对稳定和相对稳定。
1.绝对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到初始的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是绝对稳定的。
2.相对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到新的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是相对稳定的。
稳定性分析方法为了评估控制系统的稳定性，我们通常使用以下几种分析方法：1. 传递函数分析传递函数分析是一种常用的稳定性分析方法，它通过将控制系统转化为传递函数的形式，进行频域和时域的分析。
在频域分析中，我们可以使用频率响应函数（Bode图）来评估系统的稳定性。
Bode图由幅度曲线和相位曲线组成，通过分析这两个曲线可以判断系统是否稳定。
在时域分析中，我们可以使用单位斯蒂文斯响应函数来评估系统的稳定性。
单位斯蒂文斯响应函数是指控制系统对于单位阶跃输入的响应。
2. 决策稳定性分析决策稳定性分析方法是一种直观的稳定性评估方法，它通过观察控制系统的反馈回路来判断系统的稳定性。
如果控制系统的反馈回路中存在零点或极点位于右半平面，则系统将是不稳定的。
另外，如果控制系统的相位裕度和增益裕度分别小于零和一，则系统也将是不稳定的。
3. 根轨迹分析根轨迹分析是一种图形化的稳定性分析方法，它通过绘制系统传递函数的根轨迹来评估系统的稳定性。
根轨迹是表示系统极点随控制参数变化的轨迹图，它可以直观地显示系统的稳定性和响应特性。
如果根轨迹上的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。
4. Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是一种基于频域分析的稳定性判据，它利用开放式系统的频率响应来评估系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据通过绘制控制系统的开环频率响应曲线，并计算曲线绕原点的圈数来判断系统是否稳定。
(自动控制原理)4.4利用根轨迹分析系统性能
根轨迹的特点和规律
根轨迹具有以下特点和规律： • 根轨迹是一条连续的曲线，代表了特征方程根的轨迹 • 根轨迹始终位于系统开环增益与相位的交点上 • 根轨迹趋近于无限远点的方向，表示系统的稳定性 • 根轨迹与该点的对称位置具有相同的特性
利用根轨迹评价系统性能
根轨迹可以评估系统的稳定性和动态响应性能，通过观察根轨迹的形状和位置，可以得出以下结论：
根轨迹的概念
根轨迹是反映闭环控制系统特征方程根随参数变化而变化的图形。通过观察 根轨迹可以分析系统的稳定性、动态响应和频率响应特性。
如何绘制根轨迹
绘制根轨迹的步骤如下： 1. 得到系统的特征方程 2. 使用根轨迹的绘制规则和技巧，画出根轨迹的大致形状 3. 通过调整系统参数，绘制出完整的根轨迹图形
自动控制原理 4.4 利用根 轨迹分析系统性能
自动控制系统的性能对于系统的稳定性和响应速度至关重要。本章将介绍根 轨迹方法，用于绘制系统的根轨迹图，并利用根轨迹图评估系统的稳定性和 动态响应性能。
系统性能的定义
系统性能是指系统对于输入信号的响应质量和稳定性。主要包括以下几个方 面：时间响应特性、频率响应特性、稳定性和误差特性。
结论和要点
1 根轨迹是分析系统
性能的重要工具
根轨迹反映了系统的稳 定性和动态响应性能。
2 根轨迹的绘制方法
可以通过特征方程和绘 制规则来绘制根轨迹。
3 根轨迹的应用
根轨迹分析在实际控制 系统中具源自广泛的应用。稳定性如果根轨迹位于左半平面，则系统是稳定的。
动态响应
根轨迹的形状和位置可以反映系统的响应速 度和超调量。
频率响应
根轨迹的形状和位置可以反映系统的频率响 应特性。
稳定裕度
根轨迹与虚轴的交点距离表示系统的稳定裕 度。
自动控制原理总结之判断系统稳定性方法
自动控制原理总结之判断系统稳定性方法判断系统稳定性是控制理论研究中的重要内容，正确判断系统的稳定性对于设计和实施控制策略非常关键。
在自动控制原理中，常见的判断系统稳定性的方法主要包括根轨迹法、频率响应法和状态空间法等。
根轨迹法是一种基于系统传递函数的方式来判断系统稳定性的方法。
通过分析系统传递函数的极点和零点的分布，在复平面上绘制出根轨迹图来描述系统特性。
根轨迹图上的点表示系统传递函数的闭环极点位置随控制参数变化的轨迹，通过观察根轨迹图，可以判断系统的稳定性。
一般来说，当根轨迹图上所有的闭环极点都位于左半平面时，系统是稳定的；而如果存在闭环极点位于右半平面，系统就是不稳定的。
此外，根轨迹法还可以通过分析根轨迹图的形状、离散角和角度条件等来进一步评估系统的稳定性。
频率响应法是一种基于系统的频率特性来判断稳定性的方法。
通过分析系统的频率响应曲线，可以得到系统的增益和相位信息，进而判断系统的稳定性。
在频率响应法中，常见的评估指标有增益裕度和相位裕度。
增益裕度表示系统增益与临界增益之间的差距，而相位裕度则表示系统相位与临界相位之间的差距。
一般来说，增益裕度和相位裕度越大，系统的稳定性就越好。
根据增益裕度和相位裕度的要求，可以设计合适的控制器来保证系统的稳定性。
状态空间法是一种基于系统状态方程来判断稳定性的方法。
在状态空间表示中，系统的动态特性由一组一阶微分方程组表示。
通过求解状态方程的特征值，可以得到系统的特征根。
一般来说，当系统的特征根都位于左半平面时，系统是稳定的；而如果存在特征根位于右半平面，系统就是不稳定的。
此外，状态空间法可以通过观察系统的可控和可观测性来进一步判断系统稳定性。
当系统可控和可观测时，系统往往是稳定的。
除了以上几种常见的判断系统稳定性的方法外，还有一些其他的方法，如Nyquist稳定性判据、Bode稳定性判据、李雅普诺夫稳定性判据等。
这些方法各有特点，常常根据具体的系统和问题选择合适的方法来判断稳定性。
根轨迹分析根轨迹分析稳定性
根轨迹分析根轨迹分析稳定性实验报告课程名称：控制理论指导老师：________________成绩：__________________ 实验名称：控制系统的根轨迹分析实验类型：________________同组学生姓名：__________一、实验目的1. 掌握用计算机辅助分析法分析控制系统的根轨迹2. 熟练掌握Simulink 仿真环境二、实验原理及方法根轨迹是指，当开环系统某一参数（一般来说，这一参数选作开环系统的增益k ）从零变到无穷大时，死循环系统特征方程的根在s 平面上的轨迹。
因此，从根轨迹，可分析系统的稳定性、稳态性能、动态性能。
同时，对于设计系统内可通过修改设计参数，使闭环系统具有期望的零极点分布，因此根轨迹对系统设计也具有指导意义。
在MATLAB 中，绘制根轨迹有关的函数有：rlocus ，rlocfind ，pzmap 等。
三、实验内容一开环系统传递函数为G (s ) =k (s +2) 22(s +4s +3)绘制出此闭环系统的根轨迹，并实证系统的稳定性。
四、实验过程1. 绘制根轨迹num = [1 2];den = conv([1 4 3],[1 4 3]);G = tf(num,den);rlocus(G)得根轨迹图：由根轨迹图可以知道信噪比临界开环增益为55.425。
现用闭环系统的冲击响应证明。
num2 = 55.425*num;G2 = tf(num2,den);G2 = G2/(G2+1);t = 20;r_impulse = impulse(G2,t);plot(r_impulse)title("单位冲击响应") 得到：可以辨认出这是一种临界震荡。
2. Simulink 仿真其中num(s)= [55.4250 110.8500]，den(s)= [1 8 22 24 9]，得到的结果是;可以发现该下的单位阶跃响应也是临界震荡的。
控制系统的稳定性分析方法
控制系统的稳定性分析方法控制系统的稳定性是指在不同输入情况下，系统输出是否会趋于稳定状态。
稳定性分析在控制系统设计和优化中起着重要的作用。
本文将介绍几种常用的控制系统稳定性分析方法。
一、传递函数法传递函数法是一种常用的控制系统稳定性分析方法。
传递函数是控制系统输入与输出之间的关系表示，通过对传递函数进行分析，可以得到系统的特性以及稳定性。
传递函数法的具体步骤如下：1. 将系统表示为传递函数的形式，传递函数通常表示为H(s)，其中s为复变量。
2. 利用传递函数的特性，计算系统的极点和零点。
极点是传递函数的分母为零的根，零点是传递函数的分子为零的根。
3. 分析系统的极点位置以及极点的实部和虚部。
根据极点的位置可以判断系统的稳定性。
二、根轨迹法根轨迹法是一种图形法，通过绘制传递函数的根轨迹图来分析系统的稳定性。
根轨迹图是传递函数极点随参数变化过程中的轨迹。
根轨迹法的具体步骤如下：1. 将传递函数表示为参数的函数形式。
2. 寻找参数的变化范围，通常选择参数的范围使得系统保持稳定。
3. 计算传递函数的极点随参数变化的轨迹，将其画在复平面上。
4. 根据根轨迹图的形状和位置判断系统的稳定性。
三、Nyquist稳定判据Nyquist稳定判据是通过分析控制系统的传递函数在Nyquist轨迹上的特性来判断系统的稳定性。
具体步骤如下：1. 绘制传递函数的Nyquist轨迹。
2. 通过Nyquist轨迹上的幅角和极点位置判断系统的稳定性。
如果幅角为负且极点位于原点右侧，则系统稳定。
四、Bode图法Bode图法是一种常用的频域分析方法，通过绘制传递函数的幅频特性图和相频特性图来分析系统的稳定性。
具体步骤如下：1. 将传递函数表示为分子和分母的形式。
2. 计算传递函数在频域上的幅频特性和相频特性。
3. 根据幅频特性和相频特性的特征判断系统的稳定性。
以上是几种常用的控制系统稳定性分析方法。
在实际应用中，根据系统的特点和需求，选择合适的方法进行稳定性分析。
自控 根轨迹法习题及答案
1第四章 根轨迹法习题及答案1系统的开环传递函数为)4)(2)(1()()(*+++=s s s K s H s G试证明点311j s +-=在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益*K 和开环增益K 。
解 若点1s 在根轨迹上，则点1s 应满足相角条件π)12()()(+±=∠k s H s G ，如图解4-1所示。
对于31j s +-=，由相角条件=∠)()(11s H s G=++-∠-++-∠-++-∠-)431()231()131(0j j jππππ-=---6320满足相角条件，因此311j s +-=在根轨迹上。
将1s 代入幅值条件：1431231131)(*11=++-⋅++-⋅++-=j j j K s H s G ）（解出 ： 12*=K ， 238*==K K 2 已知开环零、极点如图4-22所示，试绘制相应的根轨迹。
2解根轨如图解4-2所示：3已知单位反馈系统的开环传递函数，要求：（1）确定)20)(10()()(2+++=*ssszsKsG产生纯虚根为1j±的z值和*K值；（2）概略绘出)23)(23)(5.3)(1()(jsjssssKsG-+++++=*的闭环根轨迹图（要求3确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
解（1）闭环特征方程020030)()20)(10()(2342=++++=++++=***z K s K s s s z s K s s s s D有 0)30()200()(324=-++-=**ωωωωωK j z K j D令实虚部分别等于零即： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-**0300200324ωωωωK z K 把1=ω代入得： 30=*K ， 30199=z 。
（2）系统有五个开环极点：23,23,5.3,1,054321j p j p p p p --=+-=-=-==① 实轴上的根轨迹：[],5.3,-∞- []0,1-② 渐近线： 1 3.5(32)(32) 2.15(21)3,,555a a j j k σπππϕπ--+-++--⎧==-⎪⎪⎨+⎪==±±⎪⎩③ 分离点：02312315.31111=+++-++++++j d j d d d d 解得： 45.01-=d , 4.22-d (舍去) , 90.125.343j d ±-=、 (舍去)④ 与虚轴交点：闭环特征方程为0)23)(23)(5.3)(1()(=+-+++++=*K j s j s s s s s D把ωj s =代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：⎪⎩⎪⎨⎧=+-==-+=*05.455.43 )Im(05.795.10)Re(3524ωωωωωωωj K j解得：⎩⎨⎧==*00K ω ，⎩⎨⎧=±=*90.7102.1K ω，⎩⎨⎧-=±=*3.1554652.6K ω（舍去）⑤ 起始角：根据法则七（相角条件），根轨迹的起始角为74..923..1461359096..751804=----=p θ由对称性得，另一起始角为74.92，根轨迹如图解4-6所示。
自动控制控制系统的稳定性分析资料
自动控制控制系统的稳定性分析资料自动控制系统的稳定性分析是自动控制系统设计和优化的关键步骤之一、稳定性分析旨在确定系统是否稳定，即系统的输出是否在有界范围内，并且在受到干扰或参数变化时能够保持在所需的工作状态。
下面将从稳定性定义、稳定性分析方法和稳定性判据三个方面进行详细介绍，以及控制系统的稳定性分析所需的相关资料。
稳定性定义：在自动控制系统中，稳定性通常指的是当输入信号为有界信号时，输出信号也是有界信号，且系统能够在指定的性能要求下保持在所需的工作状态。
稳定性可以分为绝对稳定性和相对稳定性。
绝对稳定性要求系统输出始终有界，而相对稳定性则允许输出信号在一定范围内震荡。
稳定性分析方法：稳定性分析方法主要包括传递函数法、根轨迹法、频率响应法和状态空间法。
传递函数法适用于线性时不变系统，通过分析系统的传递函数来确定系统的稳定性。
根轨迹法是一种图形法，通过绘制系统的根轨迹图来判断系统的稳定性和动态性能。
频率响应法主要用于对线性时不变系统进行稳定性分析，通过对系统的频率响应进行分析来判断系统的稳定性。
状态空间法是基于系统的状态方程进行稳定性分析，通过分析系统的状态转移矩阵来判断系统的稳定性。
稳定性判据：稳定性判据是判断系统稳定性的重要依据，常用的稳定性判据有极点位置法、频率判据法、Lyapunov稳定性判据和Nyquist稳定性判据等。
极点位置法通过分析系统的极点位置来判断系统的稳定性，当系统极点全部位于左半平面时，系统是稳定的。
频率判据法通过分析系统的频率响应曲线来判断系统的稳定性，当系统的增益和相位条件满足一定要求时，系统是稳定的。
Lyapunov稳定性判据通过构造系统的Lyapunov函数来判断系统的稳定性，当Lyapunov函数的导数小于等于零时，系统是稳定的。
Nyquist稳定性判据则是通过分析系统的传递函数的频率响应曲线上单位圆的绕点数来判断系统的稳定性，当绕点数为负数时，系统是稳定的。
稳定性分析资料：进行自动控制系统的稳定性分析需要掌握系统的数学模型和控制方法，因此相关的资料和文献是非常重要的资源。
利用根轨迹法判断系统的稳定性
课题名称：利用根轨迹法判断某系统的稳定性设计内容：设一系统的开环传递函数为：)15.0)(1(1)()(++=s s s s H s G 设计要求：（1） 试利用matlab 绘制该系统闭环的零极点图，并判断该系统的稳定性；（2） 当系统的开环传递函数为：)15.0)(1()()(++=s s s K s H s G 时，试绘制该系统的常规根轨迹图，并判断该系统的稳定性。
题目研究的基础或实验条件：计算机、相关书籍、MATLAB 语言的应用。
课题所涉及的知识面：自动控制原理、MATLAB 语言的应用。
目录一、引言.............................................................. P3二、《控制系统的稳定性分析》的分析2.1、控制系统稳定性定义............................................... P3 2.2、系统稳定性分析方法之根轨迹法三、《控制系统的稳定性分析》的求解过程3.1、以K为变量的M函数…………………………………………………………P4 3.2、MATLAB 绘制根轨迹的相关知识3.3、MATLAB 绘制系统零极点、根轨迹3.3.1概述3.3.2 Matlab绘制零极点、根轨迹程序代码3.3.3控制系统的零极点分布图……………………………………………P53.3.4系统的根轨迹图3.3.5控制系统稳定性分析的结论3.4、MATLAB 用户界面设计的相关知识…………………………………………P73.4.1 菜单设计3.4.1.1 建立用户菜单3.4.1.2 菜单对象常用属性3.4.1.3 快捷菜单3.4.2 对话框设计…………………………………………………………….. P73.4.2.1 对话框的控件3. 4.2.2 对话框的设计3.4.3 MA TLAB GUI图形用户界面设计工具………………………………P83.4.3.1 图形用户界面设计窗口3.4.3.2 对象属性查看器3.4.3.3 菜单编辑器3.4.3.4 位置调整工具3.4.3.5 对象浏览器3.4.3.6 Tab顺序编辑器3.5、程序用户界面的设计……………………………………………………….. P103.5.1概述3.5.2程序用户界面设计结果3.5.3程序用户界面设计代码四、课程设计结果分析……………………………………P144.1、以K为变量的M函数4.2、当K=2，K=10时，控制系统的稳定性4.3、MATLAB Guide 设计用户界面………………………………………….. P154.3.1 课程设计的基本要求的实现4.3.2 课程设计的扩展项五、课程设计总结…………………………………. P205.1课程设计目的5.2课程设计的收获5.3课程设计的总结六、参考文献………………………………………. P21一、引言稳定性是系统能在实际中应用的首要条件。
自动控制原理答案(黄坚)第四章
第四章 根轨迹分析法习题4-2 单位回馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G r，试用解析法绘出r K 从零变化到无穷时的死循环根轨迹图，并判断-2, j1, (-3+j2)是否在根轨迹上。
解：1-s 01s 0r=⇒=+=时，K2-s 02s 1r=⇒=+=时，K3-s 03s 2r=⇒=+=时，K……-2 在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。
4-3 回馈控制系统的开环传递函数如下，0≥r K ，试画出各系统的根轨迹图。
(2) )4)(1()5.1()(+++=s s s s K s G r (3) 2)1()(+=s s K s G r ，解：（2）1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-1,p 3=-4,z=-1.0，n=3，m=1 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1.5，-4） 3）根轨迹的渐近线：︒±=±=-+±=-=----=902)12(,75.12)5.1(410)2( ππϕσm n k aa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点6.05.1141111-=+=++++d d d d d 试探法求得（3）1）开环零、极点：p 1=0，p 2,3=-1，n=32）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1，-∞） 3）根轨迹的渐近线：±=-+±=-=--=3)12(,323110)3( ππϕσm n k aa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点310121-=⇒=++d d d 5）与虚轴交点：223++s s4-5 系统的开环传递函数为)1()2()(++=s s s K s G r ，(1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点；(2) 当增益r K 为何值时，复数特征根的实部为-2？求出此根。
解： （1）1）开环零、极点：p 1=0，p 22）实轴上根轨迹段：（0，-13）分离点和会合点.3,586.02111121-=-=⇒+=++d d d d d123s s s s r2K -r21 1K rKj,202rr±==⇒=-s K K（2）系统特征方程为02)1(rr2=+++K s K s2j 2322122,1rr±-==-=+-=-s K Ka b ，，得：由4-6 单位回馈系统的前向信道函数为)3)(1()(++=s s s K s G r，为使死循环主导极点具有阻尼比5.0=ξ，试确定r K 的值。
自动控制原理(第三版)第4章根轨迹法(4)
根据图4-29，利用劳斯判据的方法 不难证明，当 z1 2 时，
4.4.1 用根轨迹分析系统的稳定性
闭环系统稳定的充分必要条件是闭环极点必须位于s平面的左 半平面，即根轨迹要全部落于左半S平面系统才稳定。参数在 一定范围内取值才能稳定的系统称为条件稳定系统。对于条件 稳定系统，可由根轨迹图确定使系统稳定的参数取值范围。 例4-11 设某单位反馈系统的开环传递函数如下：
时，闭环系统是稳定。 但是当 14 K * 64 及 K * 195 时，系统不稳定。
用根轨迹分析系统稳定性的方法和步骤：
（1）根据系统的开环传递函数和绘制根轨迹的基本规则 绘制出系统的根轨迹图。
（2）由根轨迹在s平面上的分布情况分析系统的稳定性。
如果全部根轨迹都位于s平面左半部，则说明无论开环根轨迹 增益为何值，系统都是稳定的； 如根轨迹有一条（或一条以上）的分支全部位于s平面的右 半部，则说明无论开环根轨迹增益如何改变，系统都是不稳 定的； 如果有一条（或一条以上）的根轨迹从s平面的左半部穿过虚轴 进入s面的右半部（或反之），而其余的根轨迹分支位于s平面 的左半部，则说明系统是有条件的稳定系统，即当开环根轨迹 增益大于临界值 Kc* 时系统便由稳定变为不稳定（或反之）。 此时，关键是求出开环根轨迹增益的临界值 Kc*
式中， A0 1，A1 0.1，B 0.9，C 0.83 ， 于是上式改写为
1 0.1 0.9s 0.83 C (s) s s 2.34 ( s 0.33)2 0.582 1 0.1 ( s 0.33) 0.58 0.9 s s 2.34 ( s 0.33)2 0.582
机电控制工程基础习题课课后习题答案 第四章习题
1)
0.4(s 1)(s 5) s3 9s2 26s 18
习题 3 已知单位负反馈系统的开环传递函数为
0.25(s a) G(s) s2 (s 1)
a的变化范围为(0, ) ，试绘制系统的闭环根轨迹。
解：系统闭环特征方程为 D(s) s3 s2 0.25s 0.25a
即有
1
s3
0.25a s2 0.25s
分离角2k1pill为根轨迹分支数10525比较12知系统1不稳定2稳定且系统性能由一对共轭复极点主导极点决定随着k值增大第三个极点逐渐靠近零点成为偶极子系统性能仍由这对共轭复极点决定练习的根皆为实数试确定参数的范围
习题４－ 2 (2) G(s)H (s) K (0.4s 1) K *(s 2.5)
s(0.2s 1) s(s 5)
i
(3) G(s)H (s) K (0.5s 1)(0.25s 1) K (s 2)(s 4)
(s 1)(0.125s 1) (s 1)(s 8)
i
习题４－3 已知单位负反馈系统开环传递函数为 G(s)
K
s(s 1)(0.5s 1)
，试作出Ｋ从 0 变化的闭环根轨迹（按步骤做，写明
60
,180
, 120
（4）根轨迹的分离点。
由分离点方程
d
K *(3s2 2s 0.25)
dx G1(s)
s2 (s 0.5)
0
解得：
d1
1 2
, d2
1 6
（5）根轨迹与虚轴的交点。
根据闭环特征方程写劳斯表如下
s3
1
0.25
s2
1
0.25a
s1
0.25-0.25a
当a=1时，劳斯表的 s1 行元素全为零，辅助方程为
系统稳定性判别方法
17
根轨迹的基本概念
一．举例说明根轨迹的概念
R(S)
C(S)
C(S) R(S)
S2
K S
K
K S(S 1)
特征方程 S2SK0的根为
11 S122 14K，
S2
11 22
14K
18
当K=0时，S1=0，S2=-1
24
例：G(S)H(S) K1
求根轨迹
S(S1)(S2)
解：①在Ｓ平面中确定开
环零、极点的位置。 ②确定实轴上的根轨 迹。
③n=3,m=0,应有三个分
支，并且都趋向无穷远
处。
-2
④确定渐近线的位置．
×
a
p1 p2 nm
p3
0 1 2 30
1
a
(2q 1)180 nm
(2q
1)180 3
q 0,a 60
s2 u1 u2
b1
a1a2a0a3 a1
b2a1a4a0a5 a1
b3a1a6a0a7 a1
c1
b1a3a1b2 b1
b1a5a1b3 c2 b1
c3
b1a7a1b4 b1
......
......
...... ...... ...... ...... ......
s1 替
v1
若某行第一个s n 元素为0，则用一个趋于0的数ε代
数s等0 于w1在右半平若面第上一根列的系个数数有。负数，则第一列系数符号的改变次
优点：不必求解方程，方便系统的稳定性的判断。不但可以判别 绝对稳定性还可以判别相对稳定性。
控制系统中的稳定性分析方法
控制系统中的稳定性分析方法稳定性是控制系统设计和分析中至关重要的概念，它决定了系统的响应是否会随时间或外部干扰的变化而发散或者衰减。
稳定性分析是评估系统的稳定性并识别可能导致系统不稳定的因素的过程。
掌握稳定性分析方法对于设计和优化控制系统至关重要，本文将介绍几种常用的稳定性分析方法。
1. 时间域稳定性分析方法时间域稳定性分析方法是通过研究控制系统的时间响应来评估其稳定性。
其中，最常用的方法是研究系统的阶跃响应。
阶跃响应可以模拟当系统受到单位阶跃输入时的行为。
通过分析阶跃响应中的振荡和衰减情况，可以判断系统的稳定性。
常见的时间域稳定性分析方法包括：- 稳定性判据法：根据控制系统的特征方程的根在左半平面的个数确定系统的稳定性。
例如，系统的特征方程所有根的实部都小于零，则系统是稳定的。
- 跟踪法：通过分析阶跃响应的振荡情况，如超调量和调整时间，来评估系统的稳定性。
例如，当系统的超调量小于一定阈值并且调整时间满足要求时，可以认为系统是稳定的。
2. 频域稳定性分析方法频域稳定性分析方法是通过研究系统的频率响应来评估其稳定性。
频率响应可以揭示系统对不同频率信号的传递特性。
常用的频域稳定性分析方法包括：- Nyquist稳定性判据：根据系统的开环传输函数在复频域上的轨迹来判定系统的稳定性。
如果系统的开环传输函数的轨迹不绕复平面的-1点（-1+j0）（即Nyquist轨迹）或者经过-compensation的选择，可以判定系统是稳定的。
- 辐角判据：通过分析系统的相位频率特性曲线，判断系统的辐角是否满足稳定性条件。
如果系统的相位频率特性曲线满足一定的条件，例如相位频率特性曲线的最大幅值小于180度，则系统可以被认定为是稳定的。
3. Lyapunov稳定性分析方法Lyapunov稳定性分析方法是利用李雅普诺夫函数及其性质来评估系统的稳定性。
李雅普诺夫函数是一个具有良好性质的函数，可以确定系统状态的稳定性行为。
通过构建李雅普诺夫函数，并根据其形式和性质对系统进行分析，确定系统的稳定条件。
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0
可编程控制器原理及应用
K (4)G( s ) s(0.2 s 1)
解：开环传函可表示为
5K G( s ) s( s 5)
①开环零点无，开环极点为0，-5. ②实轴上的分布为[-5,0]. ③两条渐近线
05 a 2.5 20 (2k 1) a 90 20
可编程控制器原理及应用
4-2已知系统开环传递函数，试概略绘出相应K变 化时的闭环根轨迹。
K (0.4 s 1) (2)G( s ) s(0.2 s 1) 2 K ( s 2.5) G( s ) s( s 5)
解：开环传函可表示为
①开环零点为-2.5，开环极点为0，-5. ②实轴上的分布为[-2.5,0]和(-∞,-5]. 由实轴上根轨迹可知，一条根轨迹起 始于开环极点0，终止于开环零点-2.5； 另一条根轨迹起始于开环极点-5，终止 于无穷远处。故无复平面上的根轨迹， 如图所示。
5
0
( k 0, 1)
可编程控制器原理及应用
K (4)G( s ) s(0.2 s 1)
解：开环传函可表示为
5K G( s ) s( s 5)
④分离点 1 1 0 sd 2.5 sd sd 5 故根轨迹如图所示。
5
0
可编程控制器原理及应用 4-3已知单位负反馈系统的开环传递函数，试概略绘 出K从0→∞变化时的闭环根轨迹。试根据根轨迹法分 析系统的稳定性；求出系统无超调时的K值范围；求 出系统闭环主导极点具有阻尼比ξ =0.5时的近似闭环 传递函数和其阶跃响应下的性能指标ts和σ%.
2.34 7 0.33
2
1
0
sd 0.42 K d 0.2
K s(s 1)(0.5s 1) 2.34 0.53
可编程控制器原理及应用
系统根轨迹如图所示
③ξ =0.5时， 闭环传函：
0.5, n 0.33 n 0.66
s1 j 2 K1 3
可编程控制器原理及应用
2K G( s ) s( s 1)( s 2)
⑤与虚轴交点 特征方程为：s( s 1)( s 2) 2 K 0 即 s 3 3s 2 2s 2 K 0
s j 2, K 3
列劳斯表如下：
s3 s2 s1 s0 1 3 6 2K 3 2K 2 2K
2 1
n2 ( s ) 2 s 2n s n2
0.662 2 s 2 0.5 0.66 s 0.662 0.44 2 s 0.66 s 0.44
0
sd 0.42 K d 0.2
K G( s ) s( s 1)(0.5 s 1) 2K 解：开环传函可表示为 G( s ) s( s 1)( s 2)
①开环零点无，开环极点为0，-1，-2. ②实轴上的分布为[-1,0]和(-∞,-2].
2 1
0
可编程控制器原理及应用
2K G( s ) s( s 1)( s 2)
③三条渐近线
01 2 a 1 30 (2k 1) a 60 ,180 30
( k 0, 1,1)
④分离点
1 1 1 0 sd sd 1 sd 2
2 3 sd 6 sd 2 0
2 1
sd 1 0
sd 1 1.58(舍), sd 2 0.42
2
1
sd 1 0
3s 2 2 K 0 s j 2
K 3ห้องสมุดไป่ตู้
可编程控制器原理及应用
系统根轨迹如图所示
①系统稳定： 0 K 3 ②系统无超调：
0 K 0.2
s1 j 2 K1 3
③ξ =0.5时， 闭环传函：
s1,2 0.33 j 0.57 s3 0 1 2 (0.33 0.33) 2.34