高等数学答案-第四册-四川大学编

第一章 复数与复变函数（1）

1.计算

)(1)2;

i i i i i -=--=-()122(12)(34)(2)510212

2.

;345(34)(34)591655

i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551

(3).;

(1)(2)(3)(13)(3)102

i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;

i i i -=-=-=

-112

2

())]

a bi =+=

112

22

4

sin )]()(cos

sin );22i a b i θ

θ

θθ=+=++

3.

设

1z

=

2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。

解：

121cos

sin

;(cos sin );4

4266z i z i π

π

ππ=+=+

121155[cos()sin()](cos sin );

2464621212z z i i ππππππ

=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+

11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1

231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆

z =1的正三角形的顶点。

证明：1230;z z ++=z 123231;312;;

z z z z z z z z z ∴=--=--=--

122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。

即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

.

17.证明：三角形内角和等于。

证明：有复数的性质得：

3213 21

3

arg;arg;arg;

z z z z

z z

z z z z z z

αβγ

--

-

===

---

21

z z

z z

-

•

-

arg(1)2;

k

αβγπ

∴++=-+

0;

k

∴=;

αβγπ

∴++=

第一章复数与复变函数（2）

7.试解方程

()

4400

z a a

+=>

。

解:由题意44

z a

=-,所以有

()

4

10

z

a

a

⎛⎫

=->

⎪

⎝⎭;

4

cos sin i

z

i e

a

π

ππ

⎛⎫

=+=

⎪

⎝⎭;所以

2

4(0,1,2,3)

k

i

z

e k

a

θπ

+

==

;

4

1

i

z ae

π

=

;

3

4

2

i

z ae

π

=

;

5

4

3

i

z ae

π

=

;

7

4

4

i

z ae

π

=

.

12．下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？

1212

(1).()

z z z z z z

-=-≠

解：此图形表示一条直线，它不是区域。

(2).4;

z z

≤-

≤816;2;

x x

≤≤此图形为≤

x2的区域。

1

(3).1;

1

z

z

-

<

+