高等数学答案-第四册-四川大学编

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四川大学出版编的离散数学课后习题答案

2、不，不，能习题 1.4
1、 (3) P ( R (Q P)) ~ P ( R (~ Q P)) (~ P R) (T ) ~ P R (~ P R (~ Q Q)) (~ P R ~ Q) (~ P R Q)
习题参考解答
习题 1.1 1、（3）P：银行利率降低 Q：股价没有上升 P∧Q （5） P：他今天乘火车去了北京 Q：他随旅行团去了九寨沟
PQ
（7） P：不识庐山真面目 Q：身在此山中 Q→P，或～P→～Q （9） P：一个整数能被 6 整除 Q：一个整数能被 3 整除 R：一个整数能被 2 整除 T：一个整数的各位数字之和能被 3 整除 P→Q∧R 2、（1）T （6）T 习题 1（3）
P ( Q R ) P ( Q R ) ( P Q ) ( P R ) ( P Q ) ( P R)
，Q→T （3）F （8）悖论（4）T （5）F
（2）F （7）F
1.3
1
（4）
( P Q) (Q R) ( R P) (( P R) Q) ( R P) (( P R) ( R P)) (Q ( R P)) ( P R) ( P R) (Q R) (Q P) 右
2.(1) T 3.(1) F 4. 习题
D : 实数
(2) T
P ( x, y ) : y e x , Q( y ) : y 0
2.3
1.（1） xyPx Q y
8
xy~ Px Q y xy ~ Px yQ y
2.(1) P 0 P 1 P 2 R0 R1 Q2 (2) P 0 Q0 P 1 Q1 P 2 Q2 4.(1)

四川大学编的高等数学教材

四川大学编的高等数学教材四川大学编写的高等数学教材高等数学是大学数学课程中的重要一门课程，旨在培养学生的数学思维和分析解决问题的能力。

四川大学作为一所综合性的高等学府，致力于培养优秀的数学人才，为此编写了自己的高等数学教材。

本文将对四川大学编写的高等数学教材进行简要介绍。

一、教材概述四川大学编写的高等数学教材是根据本校教学特点和需求，经过多年的教学实践和经验总结编写而成。

教材内容涵盖了高等数学的核心知识点和基本原理，并结合实际应用进行了案例分析，使学生能够将所学知识与实际问题相结合，提高解决问题的能力。

二、教材内容该教材包括以下几个主要部分：1. 高等数学基础知识本部分主要介绍了高等数学的基本概念、定理和公式，如极限、导数、积分等。

通过简明易懂的讲解和例题演练，帮助学生建立起数学思维和逻辑推理的基础。

2. 微积分微积分作为高等数学的重点内容，在该教材中得到了重点强调。

教材系统地介绍了微分和积分的概念、性质和计算方法，并结合实际问题进行了案例分析，使学生能够更好地理解和运用微积分知识。

3. 线性代数本部分介绍了线性代数的基本概念、基本运算和基本定理，如矩阵、向量及其运算、特征值和特征向量等。

教材通过生动的图表和实例，帮助学生理解和掌握线性代数的理论和方法。

4. 概率论与数理统计概率论与数理统计是高等数学的重要分支，该教材对相关内容进行了详细介绍。

通过生动的案例和概率分布的计算，帮助学生掌握概率论与数理统计的基本原理和方法。

三、教学特色四川大学编写的高等数学教材具有以下几个教学特色：1. 理论与实践结合教材在理论展示的同时，注重培养学生的实际问题解决能力。

通过案例分析和实例演练，使学生能够将高等数学的知识应用于实际问题的解决中，提高学习动力和实际应用能力。

2. 知识框架清晰教材的内容安排合理，知识框架清晰。

从基础概念到高级应用，层层递进，使学生能够循序渐进地学习和掌握高等数学的核心内容。

3. 举一反三的思维培养教材注重培养学生的思维能力，通过一道题目引发多个思考点，帮助学生形成举一反三的思维习惯，提高问题解决的灵活性和创造力。

高等代数第四版习题答案

高等代数第四版习题答案高等代数是一门研究线性代数、多项式、群、环、域等代数结构的数学基础课程。

第四版的高等代数习题答案涵盖了从基础的向量空间和矩阵运算，到复杂的群论和环论概念。

以下是一些习题答案的示例：1. 向量空间的基和维数：- 向量空间的基是一组线性无关的向量，它们能通过线性组合生成整个空间。

- 维数是基中向量的数量。

2. 矩阵的秩：- 矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数量。

3. 行列式的计算：- 行列式是一个数值，可以通过特定方法从方阵中计算得出，它与矩阵的某些性质密切相关。

4. 特征值和特征向量：- 特征值是与线性变换相关的标量，特征向量是对应于该特征值的非零向量。

5. 线性变换：- 线性变换是从一个向量空间到另一个向量空间的映射，它保持向量加法和标量乘法。

6. 多项式的根：- 多项式的根是多项式等于零时的解。

7. 群的定义和性质：- 群是一个集合，配备了一个二元运算，满足封闭性、结合律、存在单位元和每个元素都有逆元。

8. 环和域：- 环是一个集合，配备了两个二元运算，加法和乘法，满足加法的交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律。

- 域是一个特殊的环，其中每个非零元素都有逆元。

9. 线性方程组的解法：- 高斯消元法是一种常见的解线性方程组的方法，通过行操作将矩阵转换为行简化阶梯形或对角形。

10. 内积空间和正交性：- 内积空间是一个向量空间，配备了一个满足正交性的二元运算，即内积。

请注意，以上内容仅为示例，具体的习题答案需要根据实际的习题来提供。

如果需要具体的解答过程或详细的步骤，请提供具体的习题内容。

《高等数学》第四册(数学物理方法)课后答案

z1
x
z2
z3
.
17.证明：三角形内角和等于
证明：有复数的性质得：
π。
Q α ∈ (0, π ); β ∈ (0, π ); γ ∈ (0, π ); ∴α + β + β ∈ (0,3π );
7.试解方程
w.
i
θ + 2 kπ i ⎛z⎞ z iπ = cos π + sin π = i e = e 4 (k = 0,1, 2,3) ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ;所以 a ;
(5). a + bi = (a + bi ) 2 = [ a 2 + b 2 (
1
= [ a 2 + b 2 (cos θ + i sin θ )]2 = (a 2 + b 2 ) 4 (cos z1 =
3.设
解：
1 π π π π 1 5π 5π z1 z2 = [cos( + ) + i sin( + )] = (cos + i sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z1 π π π π π π = 2[cos( − ) + i sin( − )] = 2(cos + i sin ); z2 4 6 4 6 12 12
4
4
π
i
3π 4
; z3 = ae
; z4 = ae
i
7π 4
.
解：
z −1 < z + 1 ； ( x − 1)2 + y 2 < ( x + 1) 2 + y 2 ; −2 x < 2 x; x > 0; 此图形为 x>0 的区域。

高数E-理工类习题册第四册参考答案

第四册参考答案第七章 §7.41.（1）])1ln()[1(11C x x y x+-+-=-；（2）)(C e x y x n +=；（3）x e C x y sin )(-+=；（4）y y y C x ln ln ln ln ⋅-=；（5）2213y Cy x +=；（6）xx y cos 1--=π. 2.)ln 41(x x y -=. 3.)()(313133913+-=-x e x x ϕ. 4.（1）x Cx y ln 11++=；（2）2214)ln (C x x y +=；（3）)ln 2(42C y y x +-=. §7.51.（1）3221)3(C x C x C e x y x +++-=；（2）21ln C x C y +=；（3）21)cos(ln C C x y ++-=；（4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>'+<'+-<'+-=; 1 ),(sh , 1 ),sin( ,1 ),(sh 212121111y C C y C C y C C y C x C xC x （5）21)arcsin(C e C y x +=.2.（1）x y sec ln =；（2）41)1(+=x y . §7.61.2)(21x e C x C y +=，22x xe y =. 3.x e x C x C y ++=221；第七章总复习题1.（1）B ；（2）C ；（3）A ；（4）A ；（5）D ；（6）D ；（7）B ；（8）A ；（9）B ；（10）C.2.（1）x C x y cos )(+=；（2）)1sin cos (21++=x C x C e y x ；（3）x x e x C e C y 21221)(--++=；（4）x x e x e x C C y 221221)(--++=；（5）Cx y x =-4)4(；（6）x x C x C y 2sin cos 21-+=；（7）)2sin 2cos (21x C x C e y x +=-；（8）)ln (sin C x x x e y x +-=-；（9）1ln 2+=-x y y ；（10）x e x C C y x ++=)(21.3.（1）y e u f y e u f x x x z sin )()sin )((222'+''=∂∂，y e u f y e u f x x yz sin )()cos )((222'-''=∂∂，代入原“偏微分方程”而化为 0)()(=-''u f u f ，故 u u e C e C u f -+=21)(；（2）由题意知yy x f y x xy xy x x f x f xy x xy x f ∂-+∂∂+'∂=-+=+''=])()([2])([)(22)(2，则)(x f满足2)()(x x f x f =+''，且1)0( ,0)0(='=f f ，求得 2sin cos 2)(2-++=x x x x f ，再由xu y x x x y x xy P ∂∂=-++-+=]2sin cos 2[)(2 和 y x x x x Q 22sin 2cos ++-=yu∂∂=求得 xy y x x y x y y x u 2sin 2cos ),(2221++-=，故全微分方程的通解为 C xy y x x y x y =++-2sin 2cos 2221；（3）C xy y x x =-+223（全微分方程，通过凑微分即可找到),(y x u ，从而易得其解）；（4）由线性叠加原理并观察可发现：x e y y -=-31 和 x e y y y y 23123)(2)(=-+-应是对应的齐次方程的解，所以齐次方程为02=-'-''y y y ；再把)(21y y 或代入方程的左端，可知非齐次项应为x e x x f )21()(-=，故该微分方程为x e x y y y )21(2-=-'-''；（5）这是简单的积分方程，两端求导得x e x f x f 22)(3)(+='，即x e x f x f 22)(3)(=-' 且1)0(=f ，于是转化成了一阶线性方程的初值问题，容易求得x x e e x f 2323)(-=；（6）把二重积分化为极坐标得⎰⎰⎰=ttf f 2 0212 0212 0d )(2d )(d ρρρπρρρθπ，并对原方程两端求导得22)(28)(24⋅+='t t f e t t f t πππ，即248)(8)(t e t t f t t f πππ=-'且1)0(=f 容易求得该一阶线性方程初值问题的解为 242)14()(t et t f ππ+=；（7）旋转体的体积⎰=-=tx x f f t f t t V 1223d )()]1()([)(ππ，约去π并两端对t 求导得)()]()(2[221t f t f t t f t ='+，即)(x f y = 满足 2322y y y x x=+'，这是齐次方程，也是2=n 的贝努利方程，其通解为31x C x y +=，而要求的特解为31xx y +=；（8）当1<x 时，2)(=x ϕ，22=-'y y 的通解为121-=x e C y ；当1>x 时，0)(=x ϕ，02=-'y y 的通解为x e C y 22=.由y 在) ,(∞+-∞内连续，特别在1=x 处连续，应有22211e C e C =-，所以2212---=-=e C eC C ，故通解为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=-,1 ,)(,1,1222x e e C x Ce y xx 而满足条件的特解（1=C ）为 ⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=-;1 ,)1(,1 , 1 222x e e x e y xx（9）21ln )(C x C x f +=.4.①⎰-=xta ax t et f ey 0 d )(； ② 由①知：若k x f ≤)(，则当0≥x 时，便有)1(d d )( d )()( 0x a ak xt a x a xt a x a x t a x a e t e ke t e t f e t e t f e x y -----=≤≤=⎰⎰⎰. 第八章 §8.21.2=λ；4-=μ.2.}1 ,1 ,1{31-或}1 ,1 ,1{31--.3.4-=z 时最小，最小夹角为4π.4.23-. 5.（1）)(2b a ⨯；（2）)(3c b a ⨯∙；（3）c b a ∙⨯)(2；（4）22b a ⋅.7.设},,{z y x =e ，则1222=++=z y x e ，022=+-=∙z y x c e ，又b a e 、、共面，可知 } , ,{ ,02323132-==+e z y 或 } , ,{323132--=e .8.31.双曲柱面；单页双曲面；椭圆抛物面；椭圆抛物面.2.0)2(4)(2=+-+z x z y .3.04)1(925222=--+z y x . 4.（1）绕y 轴：1222=-+y z x（单叶双曲面）；绕z 轴：194222=-+y x z （双叶双曲面）；（2）+--+--3)2(3)2(22z x y z y x 8)(3)2(22z y x x y z ++=--5.（1）0122222=-+-+z z y x ；（2）π32.§8.41.（1）直线；（2）椭圆；（3）抛物线；（4）圆.2.t z t y t x sin 3 ,sin ,cos 2323===，π20≤≤t .第八章总复习题1.4.2.1.3.30.4.0322=-+z y x .5.0=-z y .6.043=+--z y x .7.023=++-z y x .8. )4 ,2 ,5(-.9. 0143=+-+z y x 和.0352=+--z y x第九章 §9.41.（1）3323xx xx e e e x e ++；（2）0；（3）)(2212f y f x f x '+'+； 223123223f y x f x f x ''+''+'；（4）y uv u y v uv sin )2(cos )2(22-+-； y x uv u y x v uv cos )2(sin )2(22-+--；（5）]sin cos )([12x x a z y a a e ax++-+.2.][x t x y f x f ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⋅++ψϕϕ. 3.证：y x f f x f22ηξ∂∂∂∂∂∂+=， x y f fyf2)2(ηξ∂∂∂∂∂∂+-=，]22[2]22[2222222y x y y x x f ff ff x f ηξηηξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂∂++++=ξηηξξ∂∂∂∂∂∂+++=f f ff y xy x 248422222 ， ①]2)2([2]2)2([2222222222x y x x y y ff f f f y f ηξηηξξξ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂+-++---= ξηηξξ∂∂∂∂∂∂-+-=f ff f x xy y 248422222， ②∴22222222)(4)(42222ηξ∂∂∂∂∂∂∂∂+++=+f f y f x f y x y x0])[(4222222=++=∂∂∂∂ηξff y x . 4.证：)()(2u f u f y x z '-∂=， )()2)(()(1u f y u f y u f z-'-⋅∂=，∴ 2222)(1)()(2)(1)()(2111][][y zu f y u f u f y u f y u f u f y x xy z y x z x ==+=+'+'-∂∂∂∂.5.2112f f z y x '+'- ； 2f z y'-.6.2x e-；22222y y e y e--+-. 7.g g f f f y x f x y xy x y ''-'-''-'-''+'12221111.§9.51.（1）y x d d --；（2）-1，1.2.（1）xy e F yz F xyz e F zz x z-='-='-= , ,， ∴ xye yz F z z x -''∂=-=；（2）x zz xy y x e x z xy e e z z z ∂∂∂∂⋅+-==12 ,，∴xye yz z -∂=（3）z xy y xz x yz z e xyz e z z d d d d d d ++=⇒=xye y xz x yz z z -+=⇒d d d ，∴ xye yz x zz -∂∂=，xye xz y z z -∂∂=3.dy dx dz 2-=4.22y x uy vx +-；22yx ux vy ++. 5.1)cos (sin sin +-v v e v ； ]1)cos (sin [cos +--v v e u e v u u； 1)cos (sin cos +--v v e vu ； ]1)cos (sin [sin +-+v v e u ve u u. 6.)1)(()(yx F F y x f x y x f ''-+'++.§9.61.共有两条，两切点分别为 )1 ,1 ,1(-- 和 ) , ,(111--；点)1 ,1 ,1(--处的切线方程为 312111+--+==z y x ，而点 ) , ,(111-- 处的切线方程为 3271291131+--+==z y x .2.)3 ,1 ,3(--； 133113-++==z y x . 3.提示：视x 为参数，则曲线方程为 x z x y x x -=-==2 ,2 ,，任意点的切向量}, ,1{2211xx---=T ，所求切线为 2111211---+-==z y x ；而法平面为 0)1()2()1(21=--+--z y x . 4.0)1(2)2(=-+-y x 即 42=+y x ； 12z y x ==-- ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧==--.0 ,2112z y x 5. 542=-+z y x .6.提示：曲面上任一点),,(c b a P 处的法向量为 } , , {2112f n f m f f '-'-''=n ，该法向量与定方向}1 , ,{m n =s 垂直，故切平面与定直线（以s 为方向向量）平行.7.提示：曲面上任一点),,(000z y x P 处的法向量为 } , ,{0212121z y x =n ，点P 处的切0)()()(021*******=-+-+-z z y y x x z y x ，即10=++z a z y a y x a x ，它在三坐标轴上的截距之和为a a a z y x a z a y a x a ==++=++)(000000是常数.评注：空间曲线上一点处的切线与法平面的核心是曲线在此点的切向量，而曲面上一点处的切平面与法线的核心是曲面在此点的法向量.第九章总复习题1.（1）D ；（2）A ；（3）C ；（4）C .2.0.3.不连续.4.0.5.⎪⎩⎪⎨⎧=≠='⎪⎩⎪⎨⎧=≠='+-+).0 ,0(),(,0 ),0 ,0(),( ,),( );0 ,0(),( ,0 ),0 ,0(),( ,),(2222222223)()()(2y x y x y x f y x y x y x f y x y x x yy x xy x 6.][3222221121121f f y ye y e e e x y x x x x''+'+''+''+''+''+'ϕϕϕϕϕ.7.y x f f f z d d 12121''''+'-；121f f z ''+'； 121f x f '-'-. 8.0=ϕ或π.9.有两个，切点分别为)1 ,1 ,3(和)17 ,17 ,3(---，切平面分别为 279=-+z y x 和2717179=+--z y x . 10.26810e+.11.三角形的三个顶点分别为)2 ,0( , )1 ,3( , )1 ,3(--C B A 或)1 ,3( ),1 ,3( ),2 ,0(C B A '--''. 12.最冷点（2，-1）；最热点（0，4）.第十章 §10.3（1）1.（1）⎰⎰⎰--y x z z y x f y x 01 011d ),,(d d 2；（2）⎰⎰⎰-yx x z z y x f y x 01 01d ),,(d d 2. 2.（1）101)366(21)1(2 01 0d d d ==⎰⎰⎰---y x x z y x y x I ；（2）e z e x y I yx z y-==⎰⎰⎰+27 01 0 d d d ；（3）6π；（4）4811 01 010 222d d d ==⎰⎰⎰---y x x z z y x y x I . §10.3（2）1.（1）⎰⎰⎰--+----++2222222 2221 1 11 d )(d d y x yx x x z z y x f y x ；（2）⎰⎰⎰-+22 2212 0d )(d d ρρπρρρθz z f ；（3）⎰⎰⎰2242 0d sin )(d d r r r f ϕϕθππ.2.（1）πρρθρρπ53249 232 02d d d =⎰⎰⎰-z ；（2）πθρρθρπ522 02132 0d cos d d =⎰⎰⎰z .3.（1）原式=πϕϕθππ)258(13442 0d sin d d -=⎰⎰⎰r r ；（2）原式=467cos 2 0342 0d cos sin d d a r r a πϕϕϕθϕππ=⎰⎰⎰.4.（1）ππρρθπρππ4d sin d d 3 02 0 -==⎰⎰⎰z z I ；（2）πϕϕϕθϕϕππ1211cos 2 cos 1342 0 d cos sin d d ==⎰⎰⎰r r I ；（3）πϕϕθππ)12(d sin d d 548623 0442-==⎰⎰⎰r r I .5.1 01 0d d d d ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωyx xz y x V V . §10.41.922≤+y x D ：，y x y x y x S yz x z d d )2()2(1d d )()(1d 2222++=++=∂∂∂∂， =++=⎰⎰Dy x y x S 22d d )(41)13737(-π.2. 1≤+y x D ：，y x y x S y y yz x z d d d d )()(1d 229122-+∂∂∂∂=++=， ==⎰⎰-+Dy y y x S 91d d 22)arcsin 83(1231--. 3.32. 4.（1）b a I ab I y x 331331 ,==；（2）b a I ab I y x 3434 ,ππ==. 评注：①二重积分最直接的应用是计算曲顶柱体的体积；②用二重积分计算曲面面积的核心是：写出曲面的面元在相应的坐标面上的表示； ③用二重积分计算不同的物理量，因问题的性质的不同而有所差异.第十章总复习题1.（1）8031；（2）39832)(a -π（⎰⎰⎰⎰--=θπππρρθρρθcos 022 222 0d d d d a aI ）.2.（1）π3250（令 x x z y === ,sin ,cos θρθρ，则 ⎰⎰⎰=523102 02d d d ρπρρθx I ）；（2）24abc π（提示：⎰⎰⎰------=222222221 01 1 d d d b ya xc axb a xb aaz z y x I 或“先二后一”为 ⎰⎰⎰⎰-==cc z D c z z ab y x z z I zd )1(d d d 22π，其中2221:c zb y a x z D -≤+是椭圆盘）.3.π3256. 4．提示：利用变限积分求导，先证明等式两端关于x 的二阶导数相等，故应有21 02210 0 0 d ))((d )(d d C x C t t x t f t t f u v x uv x ++-=⎰⎰⎰⎰，分别在上式及求导后的式子中令0=x ，可得 021==C C .5.提示：利用变换⎩⎨⎧=+=-uy x ty x 去做.第十一章 §11.31.421a π（用格林公式化为⎰⎰+Dy x y x 22d d )(再利用极坐标计算）. 2.（1）0（直接用格林公式，yP y x x y xQ∂∂+-∂∂==22222)(）；（2）π2（“挖掉原点”再用格林公式：设εC 是以原点为心，半径为ε的顺时针圆周，则在由C 和εC 所围成的闭区域εD 上用格林公式得0d d )( =-=⎰⎰⎰∂∂∂∂+εεD yPx Q CC y x ，所以，⎰⎰⎰-=-=εεC C C，其中-εC 是逆时针圆周：)20( sin ,cos πθθεθε≤≤==y x ，把这方程代入上式右端积分的被积表达式中而化为定积分πθπ2d 2 0=⎰）.3.（1）0（直接用格林公式）；（2）π2（参照2（2）“挖掉原点”再用格林公式）.4.281ma π（添加直线段OA 围成封闭曲线OA L C +=再用格林公式，则原式2221 )(0d d d d a DOAC m y x m y Q x P π⋅=-=-+=⎰⎰⎰⎰）. 评注：利用格林公式是简化平面内封闭曲线上曲线积分计算的重要而有效的方法，可分三种情况：①曲线是封闭的，且被积表达式中的函数在曲线所围成的闭区域上有连续的一阶偏导数，则直接用格林公式简化（如题1、2（1）和3（1））；②曲线虽是封闭的，但被积表达式中的函数在曲线所围成的闭区域内有“奇点”，则不能直接用格林公式，而是要用很小的圆包住奇点再“挖掉”它，在曲线与圆所围成的“多连通区域”上用格林公式，达到简化的目的（如题2（2）和3（2））；还可以直接化为定积分计算；③曲线不是封闭的，可考虑添加某段曲线（通常都是直线段，最简单），使之围成封闭曲线，再用格林公式（如题4）. 你会发现：格林公式确实大大简化了曲线积分的计算，因此，要很好的掌握这种方法.5.由题意：0)()(212=+'+x f x f x x ，解此微分方程，再利用1)0(=f ，得211)(x x f +=.6.23-（在0>x 右半平面曲线积分与路径无关，选择折线段化为定积分直接计算；或者：原式232112)2,1()1,2()2,1( )1,2( ][)()(d -=--=-=-=⎰x yx y）. 评注：当曲线积分与路径无关时，选择最简单的直线段来做积分是简化其计算的最直接而有效的方法（如题6、7的第一种算法）；还可以利用“原函数”的概念如同牛顿——莱布尼兹公式那样去计算（如题6、7的第二种算法）；利用曲线积分与路径无关还可以求解含有曲线积分的积分方程中的未知函数（如题5）. 7.⎰⎰+-==),( ),( d d ),( ),( 002200d ),(y x y x y x x y y x y x y x u y x u ⎰⎰++-+=y y x x x x y y 02202200d d ηξηξy y x x x y ====+-=ηηηξξξ000arctan arctan y yx x 0000arctan arctan arctan arctan -+-= ,arctan arctan ]cot arc [arctan arctan arctan 2000000π-+=+-+=y x x y y x y x y x x y 故 C y x u x y +=arctan ),(（C 为任意常数）. 8.把原表达式拆分成两部分为n n y x yy x x y x x y y x )(d d )(d d 2222+++-+，由上题知：当1=n 时，第一部分为yarctan d ，而此时第二部分恰为 )]ln([d 221y x +，故 1=n ，从而 C y x y x u x y+++=)ln(arctan ),(2221（C 为任意常数）.9.证：因)(u f 连续，所以，表达式)d d )((y x y x f ++是某二元函数的全微分，从而左端的积分处处与路径无关，于是，左⎰⎰⎰⎰++=+=ba b a a a y y a f x x f 0),( )0,( )0,( )0,0( d )(d )(==+=⎰⎰⎰++ba ba aa x x f x x f x x f 00 d )(d )(d )(右.§11.41.提示：)1(2:y x z S --=在xoy 面的投影为10 ,10:≤≤-≤≤x x y D xy ，=S dy x y x yz x z d d 3d d )()(122=++∂∂∂∂，原式201d d 3)1(2=⋅--⋅=⎰⎰xyD y x y x xy .2.提示：由对称性，上下半球面上的积分相等，221y x z S --=：上在xoy 面的投影为122≤+y x D xy ：（是圆盘），y x y x S y x y x y y x x d d d d 1d 222222221111------=++=，原式210 12 01122d d 2d d 2222πρρθρρπ==⋅+=⎰⎰⎰⎰---xyDy x y x y x .3.提示：由对称性，前后两半柱面上的积分相等，22y R x S -=：前在yoz 面的投影为H z R y R D yz ≤≤≤≤-0 ,：（是矩形），y z y z S y R R y R y d d d d 01d 22222--=++=，原式H HzR RRy R Dy R R z R z y R z y yzarctan 2d d 2d d 20 1 1 12222π==⋅=⎰⎰⎰⎰+---+. 4.提示：22y x z S +=：在xoy 面的投影为122≤+y x D xy ：（是圆盘），第一象限的部分记为1D ，y x y x S d d )(41d 22++=，原式⎰⎰+++=xyDy x y x y x xy 2222d d )(41)(⎰⎰+++=12222d d )(41)(4D yx y x y x xy=⋅+⋅⋅⋅⎰⎰=1222d 41sin cos d 4ρρρρθρθρθπ极坐标)15125(4201-.5.提示：22y x z S +=：在xoy 面的投影为ax y x D xy 222≤+：（是圆盘），第一象限的部分记为1D ，=S d y x y x y x y y x x d d 2d d 1222222=++++，并利用奇偶性和对称性，得原式⎰⎰⎰⎰+=+++=xyxyD Dy x y x x y x y x y x xy 22 22d d 22d d 2])([41564cos 2 02 02d cos d 22a a =⋅⋅⎰⎰=θπρρρθρθ极坐标.6.提示：222y x a z S --=：在xoy 面的投影为ax y x D xy ≤+22：（是圆盘），第一象限的部分记为1D ，=S d y x y x y x a ay x a y y x a x d d d d 122222222222------=++，由对称性得)1(2d d 2d d2d 2cos 012221222-===⎰⎰=⎰⎰⎰⎰---πθρπρρθa a yx S S a a D y x a a S极坐标. 7.提示：密度22),,(y x z y x +=ρ，上半球面222y x R z S --=：在xoy 面的投影为222R y x D xy ≤+：（是圆盘），球面的面元为=S d y x y x R Rd d 222--，由对称性得⎰⎰⎰⎰+==SSS y x S z y x m 22 d 2d ),,(2ρ⎰⎰--+=xyD y x R Ry x y x 22d d 2222⎰⎰=-⋅RR R 02d d 4222ρρρθρπ极坐标32 0d 4222R R RR πρπρρ==⎰-.评注：根据曲面方程的具体形式，把对面积的曲面积分化成相应坐标面上的二重积分，是计算对面积的曲面积分的最基本的方法；关键是曲面在相应坐标面的投影区域的确定以及曲面面元的表达式；并且奇偶性和对称性的使用也是常采用的手段之一；最后再根据所化成的二重积分的具体形式选择合适的坐标系来算出这个二重积分.§11.51.提示：三部分积分分别化为二重积分计算.S 相对于x 轴正向而言是后侧，其方程为-=x221y x --，S 在yoz 面的投影为0 ,0 ,122≥≥≤+z y z y D yz ：（是41单位圆盘），于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰---=----=yzyzD D Sz y z y z y z y z y x 22 222 2d d )1(d d )1(d d ；S 相对于y轴正向而言是右侧，其方程为221z x y --=，S 在xoz 面的投影为,122≤+z x D xz ：0 ,0≥≤z x （是41单位圆盘），于是，=--=⎰⎰⎰⎰xzD Sx z z x x z y 222 2d d )1(d d⎰⎰--yzDx z z x 22d d )1(，与第一部分积分正好抵消；S 相对于z 轴正向而言是上侧，其方程为221y x z --=，S 在xoy 面的投影为0 ,0 ,122≥≤≤+y x y x D xy ：（是41单位圆盘），于是，822 222 2d d )1(d d )1(d d π=--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰xyxzD D Sy x y x y x y x y x z ， 2.34R π（提示：由对称性可知：三部分积分相等，都等于334R π；或用高斯公式化为⎰⎰⎰Ωd 3 V 球V 3=）. 3.h R 441π（提示：柱面S 在xoy 面的投影面积为0，所以第三部分积分为0；而 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-后半后前半前S S Sz y yz x z y yz x z y yz x 3 3 3d d )(d d )(d d )(（两部分yz -的积分正好抵消，而3x 的积分相等）443 322d d )(2hR z y y R yzD π=-=⎰⎰； =-⎰⎰S x z y x2d d 2⎰⎰⎰⎰-+-左半左右半右S S x z y x x z y x 2 2d d 2d d 2（两部分相等）⎰⎰--=zxD x z x R x 222d d 22421hR π-=. 注意：体会积分号中的“前半前”、“后半后”、“右半右”和“左半左”的含义，理解了这几句话，你也就对曲面的“侧”理解得差不多了）.4.0（每一部分积分都“分片”计算，其结果正好相互抵销（很麻烦）；最简单的方法是直接利用高斯公式而化为0d 0 =⎰⎰⎰ΩV ）. 评注：根据曲面方程的具体形式，以及曲面所指定的“侧”，把对坐标的曲面积分化成相应坐标面上的二重积分，是计算对坐标的曲面积分的最基本的方法；它远比对面积的曲面积分复杂，牵涉到曲面的“侧”（曲面换个侧，积分差一负号），曲面往相应坐标面投影时有正负号的选取问题，这是与第一型曲面积分最大的区别；分清楚给定曲面的“侧”是基础；曲面在相应坐标面投影区域的确定是关键；有些积分要“逐片”分别来计算，很麻烦，要小心.第十一章总复习题1.提示：由对称性，只需求曲线在第一象限的积分.曲线的参数方程为40 ,sin 2cos ,cos 2cos πθθθθθ≤≤==a y a x ，原式)1(4d sin 4d )()(sin 2cos 422242422-=='+'=⎰⎰a a y x a ππθθθθθθθ. 2.提示：曲线的参数方程为20 ,sin ,cos 3232πθθθ≤≤⎪⎩⎪⎨⎧==a y a x 为第一象限的部分，再由对称性，原式3734344d cos sin 3sin 8d 224 a a a s y C =⋅==⎰⎰πθθθθ.3.提示：以x 为参数，22)d d (2422222)d ()d ()d ()d ()d ()d (zy y x x x a x x z y x s +++=++= 22241)d )(298(2x a ax x z ++=，（可理解为“广义勾股定理”）原式⎰⎰-+=++=a a x a a x x a ax x 02256172169 02221d )(2d 298aa a a a a a a x x x x 0256172169169512172561721692169222)(ln )(2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++--+=+ ]ln 21727219200[1738425225121+--=a a a .（此题难且复杂）4.b a a a b 22212)(+-π（提示：添加直线段OA 围成封闭曲线OA C L +=再用格林公式）. 5.x xQ2=∂∂，则)(),(2y f x y x Q +=，再由⎰⎰=),1( )0 ,0( )1 ,( )0 ,0( t t 求得12)(-=y y f ，从而12),(2-+=y x y x Q .6.令λλ)( ,)(224224y x x Q y x xy P +-=+=，则P Q ∂∂=，可知1-=λ，于是C y Q x P y x u x y x y x +=+=⎰200arctan d d ),(),( ),( .7.提示：把曲线的参数方程直接代入被积表达式之中而化为定积分直接计算得)(3331h a +. 8.614（参照§10.4的题1化为二重积分计算）.9.π62417（先写出上半椭球面上点),,(z y x P 处的切平面 +-+-∏)()(2y Y x X x y： 0)(2=-+z Z z ，则2232232)2()()(2)()(),,(z x z z y x x y yz y x ++-+-+-=ρ298222942223224242y x zy x z y x --++++==，而椭球面的面元为y x S zy x d d d 242982--=，于是，⎰⎰S z y x z S ),,(d ρ=⋅=⎰⎰----xyD zy x y x z y x 2424d d 29822982⎰⎰--xyDy x y x 298241d d )4(（再令θρθρsin 3 ,cos 2==y x ，叫广义极坐标，则 πθρ20 ,10≤≤≤≤，而 θρρθρρd d 6d d 32d d ==y x ）πρρθρθρθπ6d )sin 3cos 24(d 6241712298222 041=⋅--=⎰⎰）. 10.提示：先补上有向平面)( 02221a y x z S ≤+=：（取下侧）和)( 32222a y x z S ≤+=：（取上侧），并用高斯公式得原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--==++2121 S S S S S S （1S 的积分为0）222 6333d d 3d )111( a a a y x V xyD πππ=-⋅=-++=⎰⎰⎰⎰⎰Ω.提示：利用两类曲面积分之间的关系、高斯公式证明.12.因为2,0 ,z y x z z y x x R Q P ++++===，则R Q P , ,在S 所围成的闭区域上有不连续点（不妨叫“奇点”），所以，高斯公式不能用.可分片计算如下：⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=++==xyD R y x R R z zy x z Sy x y x d d d d 22222222上上，⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++--=++-==xyD R y x R R z zy x z Sy x y x )()( d d d d 22222222下下，与上面积分正好抵消；R z y z y yzD z R y R S z y x x S21 d d 2d d 222π===⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-++前侧. 13.解法一：原式⎰⎰++=上S ay x a z z y ax 21]d d )(d d []d d d d d d )([ 21⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=后半前前半后上S S Sa z y ax z y ax y x a z⎰⎰⎰⎰------=yzxyD D a z y z y a a y x y x a a 222 22221d d d d )([ ]d )d ( 222⎰⎰---+yzD z y z y a a321 222 22221]d d 2d d )([a z y z y a a y x y x a a yzxyD D a π-=------=⎰⎰⎰⎰. 解法二：补上有向平面⎩⎨⎧=≤+,0,:222*z a y x S （取下侧），则原式⎰⎰++=上Say x a z z y ax 21]d d )(d d []d d )(d d d d )(d d [**2 21⎰⎰⎰⎰++-++=+SSS a y x a z z y ax y x a z z y ax （前一个用高斯公式）]d d d )23([ 2 1⎰⎰⎰⎰⎰++-=ΩxyD y x a V z a （Ω为下半球体，xy D 为区域222a y x ≤+）322 041441]d d d 2[]d 22[22a z z a a V z a a a aaπρπρρθπππ-=--=+--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω. 14.100小时.第十二章 §12.31.（1）)3 ,3[-；（2）) ,[3131-；（3）)2 ,2(-；（4）)0 ,1[-；（5）]3 ,3[-；（6）) ,(∞+-∞.2.（1）x x x S x x -+=-+arctan ln )(211141 （11<<-x ）；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=,0 , ,0 ),2ln()(211x x x x S x （22<≤-x ）；（3）3)1(2)(x x S -= （11<<-x ）；（4）x x x x S cos sin )(+= （+∞<<∞-x ）.§12.41.) ,( ,!)(ln 0∞+-∞∈∑∞=x x n a n nn .2.（1）) ,( ,)!2(24)1(21022∞+-∞∈⋅-+∑∞=x x n n nn n ；（2）)1 ,1( ,]321[01-∈+-∑∞=+x x n n n ；（3）∑∞=--∈-+11] ,( ,)1(ln n n nn a a x x na a ；（4）) ,( ,)!12)(12()1(012∞+-∞∈++-∑∞=+x x n n n n n . 3.1 , )0( )!1(11=≠+∑∞=-S x x n n n n . 4.（1）)2 ,0( ,)1)(1()1(0∈-+-∑∞=x x n n n n ；（2）]2 ,0( ,)1()1(10ln 111∈--∑∞=-x x n n n n . 5.∑∞=--+--11212)3()!12(3)1(n n n nx n π，) ,(∞+-∞∈x .6.∑∞=+++-11)4)(3121(n nn n x ，)2 ,6(--∈x . §12.51.（1）1.0986；（2）0.9994.2.5.3.nn n x n n ⋅∑∞=4cos !20π，) ,(∞+-∞∈x . 第十二章总复习题1.（1）C ；（2）D ；（3）B ；（4）C ；（5）D .2.（1）发散；（2）收敛；（3）收敛；（4）收敛；（5）收敛；（6）收敛.3.提示：以2)!(n n u nn =为通项的正级数由比值判别法可知是收敛的，从而通项趋向于零.4.当10<≤β，α为任意实数时，原级数收敛；当1>β，α为任意实数时，原级数发散；当1=β时，若1-<α，则原级数收敛；若1-≥α，则原级数发散.5.提示：2424224 0dtan tan d )1(sec tand tan ----=-==⎰⎰⎰n n n nn a x x x x x x x a πππ2423401d sec tan tan )2(tan------=⎰n n n a x x x x n xππn n n n n a n a n a a a n )2()1(1])[2(1222----=-+--=---，∴ 211---=n n n a a ，即 n n n a a -=++112，从而 112++=+n n n a a .于是（1）11)(11141313121211111121=+-++-+-+-=⋅=++∞=+∞=+∑∑ n n n n n n n n n a a ；（2）显然，对一切N ∈n ，0d tan4 0 >=⎰πx x a nn ，又由 112++=+n n n a a 可知：对一切N ∈n ， 110+=<n n a ，故对任意的常数0>λ，级数∑∑∑∞=+∞=∞=<+⋅<11111111n n n nn n n n a λλλ 收敛（11>+=λp 的 p -级数）.6.（1）条件收敛；（2）1<a 时，原级数绝对收敛；1>a 时，原级数发散；1-=a 时，原级数发散；1=a 时，原级数条件收敛.7.提示：由0lim )(0=→x x f x ，又)(x f 在0=x 的邻域内具有连续的二阶导数，可推出=)0(f0)0( ,0='f .将)(x f 在0=x 的某邻域内展成一阶泰勒公式（即麦克劳林公式）221221)()()0()0()(x f x f x f f x f ⋅''=⋅''+'+=ξξ（ξ在0与x 之间）. 又由题设知)(x f ''在属于邻域内包含原点的一个小闭区间连续，从而有界，因此，存在正数0>M ，使得M x f ≤'')(，于是 2221)()(x x f x f M ≤''=ξ，令nx 1=，则 2121)(n Mnf⋅≤，因为∑∞=121n n 收敛，故∑∞=11)(n nf 绝对收敛. 8.（1）⎩⎨⎧=⋃-∈--+=;0 ,0),1 ,0()0 ,1( ),1ln()1(1)(1x x x x S x（2）2)2(1)(x x x S --=，)2 ,0(∈x ；（3）221)(x xx S -=，),(2222-∈x ；（4）224)1()(2xx x ex S ++=，) ,(∞+-∞∈x .9.)1(11-. 10.（1）1；（2）)1sin 1(cos 1+. 11.∑∞=+++-022)22)(12()1(n n nx n n ，]1 ,1[-∈x . 12.∑∑∞=--∞=---+--112102)21()!12()1(21cos 2)21()!2()1(21sin 2n n n n n n x n x n ，) ,(∞+-∞∈x . 13.-1； 0. 14.∑∞=---=122)12cos()12(1425)(n x n n x f ππ，]1 ,1[-∈x ；62π. 15.∑∞=++-=0222)12(cos )12(18)(n x n n x f ππ，]2 ,0(∈x .。

四川专升本数学2024年真题及答案

2024四川省普通高校专升本《高等数学》一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）1.函数211x y +=是（）A.有界奇函数 B.有界偶函数C.无界奇函数D.无界偶函数2.0→x 时，下列与23x 等价的是（）A.2sin xx B.)cos 1(x x - C.)21ln(2x + D.12-x e3.设)(x f 在a x =处可导，且1)(='a f 则=-+∞→)](1([lim a f na f n n （）A.2- B.1- C.1D.24.曲线54122---=x x x y 的铅直渐近线有（）条A.0B.1C.2D.35.下列式子中成立的是（）A.⎰+=+C x dx x 2)12(B.⎰+=+12)12(x x d C.⎰+=+12])12([x dx x d D.⎰+=+12])12([x dx x dx d6.过点)0,1,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=++=--02z y x z y x 的平面方程为（）A.0132=+-+z y xB.0=++z y x C.0332=---z y x D.032=---z y x 7.二元函数y x x yz +=ln ，则=)1,2(dz （）A.dydx )212ln 2(2-+ B.dy dx 2212ln 2(+-C.dy dx )2ln 21(21++ D.dy dx 21)2ln 21(++8.下列级数收敛的是（）A.∑∞=+-01)1(n n n nB.∑∞=0)23(n nC.∑∞=02sin n nn D.∑∞=0!n nn n 9.设A 为3阶矩阵，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==120020001,100010002,2C B A ,求=-BAC 2（）A.64B.64- C.16D.16-10.设向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1325522314111321αααα，，，，则下列正确的是（）A.321∂∂∂，，线性相关B..421∂∂∂，，线性相关C..431∂∂∂，，线性相关D..432∂∂∂，，线性相关二、填空题（本大题共6题，每小题5分，共计30分）11.⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=0,1cos 0,)(x x x x k e x f x 在0=x 处连续，求=k 12.求232-+-=x x y 与x 轴所围图形的面积为13.设函数),(y x f z =由0)1(=---z y e xy z所确定，求=∂∂==11y x xz14.交换积分次序⎰⎰-=2120),(xdy y x f dx 15.幂级数∑∞=1n nn xa 的收敛半径为2，则∑∞=--11)1(n n nx na 的收敛区间为16.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡222222a a a 的秩为2，则=a 三、计算题（本大题共6小题，共70分）17.（10分）求极限xx x 1)3sin 1(lim +→18.（10分）求函数3ln )(+=x xx f 的单调区间和极值19.（12分）计算定积分dx e xx38131⎰20.（12分）计算二重积分⎰⎰++Ddxdy yx2231，其中{},91|),(22≥<+≤=y y x y x D 21.（13分）已知)(x f 可导，且⎰-=--xx x f x dt tf 203)1()()1()2(，求)(x f 22.（13分）已知非齐次线性方程组为⎪⎩⎪⎨⎧+=-+++=+++=+++tx x t x x tx t x x t x x x x 2)1(4)2(32243213214321（1）当t 为何值时，方程组无解（2）当t 为何值时，方程组有解，并求有无穷解时的通解2024四川省普通高校专升本《高等数学》答案一、选择题1-5:BBCBD 6-10:ACCAA二、填空题11.1-12.6113.114.⎰⎰-121),(ydx y x f dy 15.)3,1(-16.4-三、计算题17.3e 18.增],[+∞e ，减),1(),1,0(e 极小值3)(+=e e f 19.23e20.3ln 2π21.)31)(1()(x x x f --=22.(1)时，无解1≠t ;(2)时，有无穷解1=t ，通解为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡002510230113214321C C x x x x。

高等数学教材四答案完整版

高等数学教材四答案完整版第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义与性质对于数列$a_n$，当$n$趋向于无穷时，如果存在实数$a$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|a_n-a|<\varepsilon$成立，那么我们称$a$为数列$a_n$的极限，记作$\lim_{n\to\infty} a_n=a$。

1.1.2 函数极限的定义与性质对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$c$时，如果存在实数$L$，使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0<|x-c|<\delta$时，$|f(x)-L|<\varepsilon$成立，那么我们称$L$为函数$f(x)$的极限，记作$\lim_{x\to c}f(x)=L$。

1.2 基本极限公式与极限计算1.2.1 三角函数极限1) $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$2) $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$3) $\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$4) $\lim_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a$，其中$a>0$1.2.2 自然对数的底$\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$1.2.3 无穷小与无穷大1) 当$x$趋向于$0$时，$x^n$与$x$同阶无穷小。

2) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$x^n$同阶无穷大（$a>1$，$n$为正整数）。

3) 当$x$趋向于无穷时，$a^x$与$b^x$同阶无穷大（$a>1,b>1$）。

第二章：一元函数微分学2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义导数是描述函数变化率的概念。

高数习题4 4答案

高数习题4 4答案高数习题4-4答案高等数学作为大学必修课程之一，对于理工科学生来说是一门重要而又具有挑战性的学科。

其中的习题是学生们巩固知识、提高解题能力的重要途径。

本文将为大家提供高数习题4-4的答案，并对其中涉及的概念和解题方法进行详细解析。

1. 题目：已知函数f(x) = x^2 + 3x + 2，求f(-1)的值。

解析：要求f(-1)的值，只需要将x的值代入函数f(x)中即可。

将x=-1代入函数f(x)，得到f(-1) = (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0。

答案：f(-1)的值为0。

2. 题目：已知函数g(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1，求g(2)的值。

解析：同样地，要求g(2)的值，只需要将x的值代入函数g(x)中。

将x=2代入函数g(x)，得到g(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 3(2) - 1 = 2(8) - 5(4) + 6 - 1 = 16 - 20 + 6 - 1 = 1。

答案：g(2)的值为1。

3. 题目：已知函数h(x) = e^x + ln(x)，求h(1)的值。

解析：要求h(1)的值，需要将x=1代入函数h(x)中。

其中e表示自然对数的底，ln表示自然对数。

将x=1代入函数h(x)，得到h(1) = e^1 + ln(1) = e + 0 = e。

答案：h(1)的值为e。

4. 题目：已知函数k(x) = sin(x) + cos(x)，求k(π/4)的值。

解析：要求k(π/4)的值，需要将x=π/4代入函数k(x)中。

其中sin表示正弦函数，cos表示余弦函数。

将x=π/4代入函数k(x)，得到k(π/4) = sin(π/4) + cos(π/4) =√2/2 + √2/2 = √2。

答案：k(π/4)的值为√2。

通过以上习题的解析，我们可以看出，求函数在特定点的值，只需要将该点的x值代入函数中即可。

大学数学第四册详细答案汇总

第四章样本及其分布练习4.1 简单随机样本一、填空题(略) 二、解：)1061051039492(51++++=x =100， 412=S [(92–100)2+(94–100)2+(103–100)2+(105–100)2+(106–100)2]=42.6三、解：利用y i =100(x i –80)，得变换后样本数据：–2, 4, 2, 4, 3, 3, 4, -3, 5, 3, 2, 0, 2这时，有131=x [(–2+4+2+4+3+3+4–3+5+3+2+2)1001+80×13]=80.02 1212=S [(42+4+0+4+1+1+4+25+9+1+0+4+0)/10000]=5.75×10-4四、解：∵ E (X i )=p ，D (X i )=p (1-p )，)(11)(11122212∑∑==--=--=ni i i n i X n X n X X n S , ∴p p n n X E n X n E X E i n i n i i =⋅===∑∑==1)(1)1()(11；)1(1)1(1)(1)1()(2121p p n p np n X D n X n D X D i n i n i i -=-⋅===∑∑==；)]()([1)(1)(11)(222212X E X E n n X E n n X E n S E in i --=---=∑= =)]()([1]}))(()([)]([)({122X D X D n n X E X D X E X D n n --=+-+- =)1()()(11)](1)([1p p X D X D nn n n X D n X D n n -==-⋅-=--。

五、解：∵ E (X i )=λ, D (X i )=λ, )(111222∑=--=ni i X n X n S ，∴ λλ=⋅==∑=n n X E n X E i n i 1)(1)(1；n n nX D n X D i n i λλ=⋅==∑=2121)(1)(；)]()([1)(1)(11)(222212X E X E n n X E n n X E n S E in i --=---=∑= =λλλ=-⋅-=--)(1)]()([1nn n X D X D n n 。

微积分第四版习题答案

微积分第四版习题答案微积分第四版是一本广泛使用的高等数学教材，它涵盖了微积分的基本概念、定理和应用。

习题答案对于学生理解和掌握微积分的知识点至关重要。

以下是一些习题的答案示例，请注意，这些答案仅为示例，具体习题答案可能因版本和习题编号的不同而有所差异。

第一章：函数、极限与连续性1. 求函数$ f(x) = x^2 - 3x + 2 $在$ x = 2 $处的极限。

解：$ \lim_{x \to 2} (x^2 - 3x + 2) = 2^2 - 3 \cdot 2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0 $。

2. 判断函数$ g(x) = \frac{3x}{x-1} $在$ x = 1 $处是否连续。

解：由于$ g(x) $在$ x = 1 $处未定义，所以该函数在$ x= 1 $处不连续。

第二章：导数1. 求函数$ h(x) = 5x^3 + 2x^2 - 4x + 7 $的导数。

解：$ h'(x) = 15x^2 + 4x - 4 $。

2. 利用导数求函数$ f(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5 $在$ x = 1 $处的切线斜率。

解：$ f'(x) = 3x^2 - 4x + 1 $，$ f'(1) = 3 \cdot 1^2 -4 \cdot 1 + 1 = 0 $。

第三章：积分1. 计算定积分$ \int_{0}^{1} x^2 dx $。

解：$ \int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} $。

2. 求由曲线$ y = x^2 $，直线$ x = 2 $和$ x = 0 $围成的面积。

解：$ \text{面积} = \int_{0}^{2} x^2 dx =\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3} $。

高等数学上(四)参考答案

高等数学A1测验一参考答案年级专业班级学号姓名_________一、填空题（每小题3分，共12分） 1. 0lim0 .x →=2. 1(arcsin'=3.2arctan(1) .22dxx c xx =++++⎰4.(1212.3xdx -+=⎰二、选择题（每小题3分，共12分）1. 若0x 为()f x 的极大值点, 则下列命题中正确的是( D )(A) 0()0f x '= (B) 0()0f x ''= (C) 0()f x '不存在 (D) 0()0f x '=或不存在 2. 设2()()lim1,()x af x f a x a →-=--则在点x a =处( B )(A) ()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B) ()f x 取得极大值 (C) ()f x 取得极小值 (D) ()f x 的导数不存在 3. 设2(),txF x te dt =⎰则()( D )F x '=(A) xxe - (B) xxe (C) xxe- (D) xxe--4. 若2(),x x f e dx e C '=+⎰则()f x =( C ) (A)12xe C + (B) 2xeC + (C)323x C + (D)443x C +三、解答题（每小题6分，共18分） 1.123lim .21x x x x +→∞+⎛⎫ ⎪+⎝⎭解:212(1)2212(1)lim212lim 1621 8 10x x x x x x x x e e →∞++⋅+→∞++⎛⎫'=+ ⎪+⎝⎭'='= 原式2. 2sin limsin x x x x x→-解: xx x x x 2si nsi n lim -→613cos 1lim2=-=→xx x3. 23sin limx x t dt x→⎰解: 23sin limx x t dt x→⎰313si n lim22==→xx x四、解答题（每小题6分，共18分）1. 已知()(21ln ,.y x x y '=-+求解: 11)1()1ln(2222--+-+='xx xx x y2. 设()2cos sin (),y f x f x =+求.dy 解：22s i n 2(c o s )()c o s ()[s i n 2(c o s )()c o s ()]y x f x f x f xd y x fxf x f xd x '''=-+''=-+3. 设 ()1sin ,0 sin cos t u x du x u y t t tπ⎧=⎪<<⎨⎪=-⎩⎰，求22, .dy d y dx dx 解: 2sin ,sin ,t dy dx dt dy t tdt t tdx===22222()sin sin d y ddy dt t t t dxdt dx dx t t===五．解答题（每小题7分，共28分） 1.()21ln dx x x ⎰解: ()21ln dx x x ⎰=()211ln ln ln d x C xx =-+⎰2.dx ⎰解:dxxx ⎰-+211cos()cos 44sin sin cos )4t t x t dt dt t tt πππ+-==++⎰⎰⎰+++=dt t t )1)4sin()4cos((21ππ1ln(arcsin )2x x C =+++3. 求曲线332y x x =-+介于两个极值点之间与x 轴所围平面图形的面积。

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第一章复数与复变函数（1）
1.计算
)(1)2;
i i i i i -=--=-()122(12)(34)(2)510212
2.
;345(34)(34)591655
i i i i i i i i i i i i +-++--+++=+=-=---+-+5551
(3).;
(1)(2)(3)(13)(3)102
i i i i i i i ===------4222(4).(1)[(1)](2)4;
i i i -=-=-=
-112
2
())]
a bi =+=
112
22
4
sin )]()(cos
sin );22i a b i θ
θ
θθ=+=++
3.
设
1z
=
2;z i =试用三角形式表示12z z 及12z z 。

解：
121cos
sin
;(cos sin );4
4266z i z i π
π
ππ=+=+
121155[cos()sin()](cos sin );
2464621212z z i i ππππππ
=+++=+ 122[cos()sin()]2(cos sin );46461212z i i z ππππππ=-+-=+
11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1
231;z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆
z =1的正三角形的顶点。

证明：1230;z z ++=z 123231;312;;
z z z z z z z z z ∴=--=--=--
122331;z z z z z z ∴-=-=-123,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。

1231z z z ===123,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。

即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。

.
17.证明：三角形内角和等于。

证明：有复数的性质得：
3213 21
3
arg;arg;arg;
z z z z
z z
z z z z z z
αβγ
--
-
===
---
21
z z
z z
-
•
-
arg(1)2;
k
αβγπ
∴++=-+
0;
k
∴=;
αβγπ
∴++=
第一章复数与复变函数（2）
7.试解方程
()
4400
z a a
+=>。

解:由题意44
z a
=-,所以有
()
4
10
z
a
a
⎛⎫
=->
⎪
⎝⎭;
4
cos sin i
z
i e
a
π
ππ
⎛⎫
=+=
⎪
⎝⎭;所以
2
4(0,1,2,3)
k
i
z
e k
a
θπ
+
==
;
4
1
i
z ae
π
=
;
3
4
2
i
z ae
π
=
;
5
4
3
i
z ae
π
=
;
7
4
4
i
z ae
π
=
.
12．下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？
1212
(1).()
z z z z z z
-=-≠
解：此图形表示一条直线，它不是区域。

(2).4;
z z
≤-
≤816;2;
x x
≤≤此图形为≤
x2的区域。

1
(3).1;
1
z
z
-
<
+。