四川大学高数微积分I(上)考前复习用2018年期末真题试卷(含答案)
(完整word版)微积分期末试卷A及答案
共 4 页，第 1 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。
共 4页，第 2 页） ()f x 在x a =处可导； (B ）()f x 在x a =处不连续； （C)。
lim ()x af x →不存在 ； (D ） ()f x 在x a =处没有定义。
、设lnsin y x =,则dy =（ ）（A) 1cos x ; （B ） 1cos dx x；（C) cot x dx -； (D) cot x dx 。
6. 若()f x 的一个原函数为2x ,则()f x dx '=⎰（ ） （A)12x C + (B ） 2x C + （C) x C + (D ） 2C +7、 1dx =⎰（ ）(A ） 2； （B ） 2π-; (C ） 0； (D ）。
8、对-p 级数∑∞=11n p n ，下列说法正确的是（ ）(A ） 收敛; （B ） 发散;（C ） 1≥p 时，级数收敛； (D) 级数的收敛与p 的取值范围有关。
9、二元函数在(,)xy f x y ye =点0(1,1)p 可微，则(,)xy f x y ye =在0p 的全微 ）00)()limx x f x x→-- .cos x ，求它的微分共 4 页，第 5 页 学生答题注意：勿超黑线两端；注意字迹工整。
共 4页，第 6 页5、（10分）求微分方程()x xe y dx xdy +=在初始条件1|0x y ==下的特解；6、（12分）判断级数211ln(1)n n ∞=+∑的敛散性。
《微积分》课程期末考试试卷参考答案及评分标准(A 卷，考试）一、单项选择（在备选答案中选出一个正确答案，并将其号码填在题目后的括号内.每题3分，共30分）1、（C ）；2、（D ）；3、(B)；4、(A ）；5、(D)；6、（B);7、（A ）；8、（D ）；9、(A); 10、（D)。
二、填空（每题4分,共20分）1、 bx n e a b )ln (；2、 同阶无穷小；3、3- ；4、0；5、2。
2018年秋季学期微积分期末试卷解答
一． 填空题 1. 答案： 解析：
. 当 时，
所以 若
.综上， .
2. 答案：1
解析：
，
，则必有
1
3. 答案：
解析：
，
4. 答案： 解析：由泰勒定理得，
，其中
.于是，
.
2
5. 答案： 解析：
6. 答案： 解析：
7. 答案：
解析：
.
8. 解析：设
或 ，
，得
.
或
，
，
，
.代入
，得
3
.代入 .因此，
. 或者
， ， .因此，
，
，
，
.代入
，
，得
.
，
.代入
，得
，
.
二． 解析：由
时，
，可知
三． 解析： ，
.
，代入点
得
.
，代入点 得
，
.
，
4
四． 解析：
，整理得
，两边求得得， .
当 时， (
).因此，
，
，故
，得 .
五． 解析：由柯西中值定理得，存在 ，即
.
使得 ，
六． 解析：双纽线的极坐标方程为
，则
பைடு நூலகம்
.
，则由
得
，与
矛盾.
，解得
综上，
.
或者
得，
，
，所以数列 单调递减，且
，
由单调有界准则可知，极限
存在，且
.若
，则
.由
得
，得
矛盾.因此，
.
(2)因为
2018最新高等数学期末考试试题及答案详解
2018最新⾼等数学期末考试试题及答案详解⾼等数学期末考试试题及答案详解⼀、填空题：（本题共5⼩题，每⼩题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）1、已知向量a 、b 满⾜0a b += ，2a =，2b = ，则a b ?= ．2、设ln()z x xy =，则32zx y= ． 3、曲⾯229x y z ++=在点(1,2,4)处的切平⾯⽅程为．4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅⾥叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于．5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则()Lx y ds +=? ．※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．⼆、解下列各题：（本题共5⼩题，每⼩题7分，满分35分）1、求曲线2222222393x y z z x y++==+在点0M (1,1,2)-处的切线及法平⾯⽅程． 2、求由曲⾯2222z x y =+及226z x y =--所围成的⽴体体积． 3、判定级数11(1)ln nn n n∞=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有⼆阶连续偏导数，求2,z zx x y． 5、计算曲⾯积分,dS z ∑其中∑是球⾯2222x y z a ++=被平⾯(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物⾯22z x y =+被平⾯1x y z ++=截成⼀椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最⼤值与最⼩值．计算曲线积分(sin )(cos )x x Le y m dx e y mx dy -+-?，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a ⾄原点(0,0)O 的上半圆周22(0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数13nn n x n ∞=?∑的收敛域及和函数．五、（本题满分10分）计算曲⾯积分332223(1)I x dydz y dzdx zdxdy ∑=++-??，其中∑为曲⾯221(0)z x y z =--≥的上侧．六、（本题满分6分）设()f x 为连续函数，(0)f a =，222()[()]tF t z f x y z dv Ω=+++，其中t Ω是由曲⾯z =与z =所围成的闭区域，求 30()lim t F t t+→．备注：①考试时间为2⼩时；②考试结束时，请每位考⽣按卷⾯→答题纸→草稿纸由表及⾥依序对折上交；不得带⾛试卷。
四川大学微积分1-2(2016)B卷
4．设空间曲面： z 1 ( x 2 y2 ) (0 z 1部分) 所围成，方向指向外侧，计算曲面积分 2
( x y)dydz ( y z)dzdx ( x z)dxdy .
5．求微分方程 y 4 y x cos x 的通解.
(1)求常数 A，以及该微分方程的通解.
(2)计算曲线积分 (0,1) 2 xydx ( Ax 2 2 y)dy 的值. (1,0)
3．设二元函数
f
(
x,
y)
xy , x2 y2
0,
( x, y) (0, 0)
.
( x, y) (0, 0)
(1)求证：二元函数 f ( x, y) 在点(0,0)处不可微.
0
2
0
确定的隐函数组，求
y(1),
z(1) .
第 1 页，共 2 页 试卷编号：
2．设空间区域是由 z x2 y2 与 z 2 x2 y2 所围成，计算三重积分
(2x y 3z)dxdydz .
3．设平面闭曲线 L： y cos x 从点 A(1,1)到 B(1,1)，计算曲线积分
四川大学期末考试试题（闭卷） （2015-2016 学年第 2 学期） B 卷
课程号：201138040 适用专业年级：
课序号： 学生人数：
课程名称：微积分（I）-2 任课教师：
成绩：
印题份数：
学号：
姓名：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修 订）》，郑重承诺：
2．二元函数 z
f (u, v) 具有二阶连续偏导数,
u
[四川大学]《高等数学(理)(I)》18春在线作业1
![[四川大学]《高等数学(理)(I)》18春在线作业1](https://img.taocdn.com/s3/m/1107fa1ca6c30c2259019e32.png)
[四川大学]《高等数学(理)(I)》18春在线作业1 试卷总分:100 得分:100第1题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第2题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:D第3题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第4题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第5题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第6题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第7题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:B第8题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第9题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第10题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第11题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第12题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:D第13题,题目如图：A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、以上均不对正确答案:B第14题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:D第15题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第16题,题目如图：A、-3B、-2D、0正确答案:C第17题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第18题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C第19题,题目如图：A、AB、BC、C正确答案:C第20题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:A第21题,题目如图：A、充分条件，但不是必要条件B、必要条件，但不是充分条件C、充分必要条件D、既不是充分条件也不是必要条件正确答案:B第22题,题目如图：A、0B、1C、2D、3正确答案:B第23题,题目如图：A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数D、以上均不对正确答案:A第24题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:B第25题,题目如图：A、AB、BC、CD、D正确答案:C。
【答案】2015-2016春四川大学微积分(I)-2
第 2页
解：令 F x2 y2 z2 1(x2 y2 1) 2 (x 2y 3z 6)
Fx Fy Fz F1 F2
2x 21x 2 0 2 y 21 y 22 0 2z 32 0 x2 y2 1 0
x 2y 3z 6 0
解：设辅助面1： z 1, ( x, y) Dxy:x 2 y 2 1 方向指向上侧，根据高斯公式，
( x2 y)dydz ( y2 z)dzdx ( x z2 )dxdy
[( x2 y)dydz ( y2 z)dzdx ( x z2 )dxdy]
1
1
(2
x
A 3, B 1 .
(2) 根据微分公式， (3 x2 y 6 xy2 y)dx (6 x2 y x3 x)dy d( x3 y 3 x2 y2 xy)
所以微分方程的通解： x3 y 3x2 y2 xy C .
(3) 曲线积分 (1,2) (3 x2 y 6 xy2 y)dx (6 x2 y x3 x)dy (0,0)
6．设平面闭曲线 L 是由 y 3x, y 0, x 1 所围成，则曲线积分 xyds ( 9 10 ).
L
2
7．微分方程 y y 2xy 满足 x 0 时 y 1 的特解是( y e x x2 ).
二．计算题(每小题 9 分，共 45 分)
1．设
ez
2x
3y
z
1
0
确定的二元函数
f l
(0,0)
lim
0
f
(x,y )
f
(0, 0)
lim
0
f
( cos ,
cos )
lim
0
3 cos2 cos 3
四川省成都市四川大学附属中学2018年高三数学理期末试题含解析
四川省成都市四川大学附属中学2018年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知平面向量共线，则=A．B．C．D．5参考答案：A略2. 已知集合A={x|y=}，A∩B=?，则集合B不可能是（）A．{x|4x＜2x+1} B．{（x，y）|y=x﹣1}C．D．{y|y=log2（﹣x2+2x+1）}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】求出各项中的集合确定出B，根据A与B的交集为空集，判断即可得到结果．【解答】解：选项A中，由4x=22x＜2x+1，得到2x＜x+1，即x＜1，即B={x|x＜1}；选项B中，由B={（x，y）|y=x﹣1}，得到B为点集；选项C中，由y=sinx，﹣≤x≤，得到﹣≤y≤，即B={y|﹣≤y≤}；选项D中，由y=log2（﹣x2+2x+1），得到﹣x2+2x+1＞0，即x2﹣2x﹣1＜0，解得：1﹣＜x＜1+，即B={x|1﹣＜x＜1+}，由集合A中y=，得到x﹣1≥0，即x≥1，∴A={x|x≥1}，∵A∩B=?，∴B不可能为{y|y=log2（﹣x2+2x+1）}，故选：D．3. 抛物线C：的焦点F与双曲线的一个焦点重合，过点F 的直线交C于点A、B，点A处的切线与x、y轴分别交于点M、N，若的面积为，则的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：A由题意，焦点F为，所以抛物线C为，设直线，不妨设A为左交点，，则过A的切线为，则，所以，解得，则，所以。
故选A。
4. 已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+2-x，则f(2)+g(2)=A.4B.-4C.2D.-2参考答案：B5. 如图，正的中心位于点G，A，动点P从A点出发沿的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度，向量在方向的投影为y （O为坐标原点），则y关于x的函数的图像是（▲ ）参考答案：C6. 已知函数y=f′（x），y=g′（x）的导函数的图象如右图所示，那么y=f（x），y=g （x）的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】由图象可得f（x）与g（x）导函数值均为负数，且|f′（x）|越来越大，即表示f（x）的单调递减的程度越来越大，而|g′（x）|越来越小，即表示g（x）的单调递减的程度越来越小，从四个选项中判断，可以得知答案．【解答】解：由图象可得f（x）与g（x）导函数值均为负数，所以f（x）与g（x）均单调递减，从图象中可以看出|f′（x）|越来越大，即表示f（x）的单调递减的程度越来越大，即下凸；而|g′（x）|越来越小，即表示g（x）的单调递减的程度越来越小，即上凸．从四个选项中判断，可以得知，选择：D．故选：D．【点评】本题间接利用导数研究函数的单调性，考查导函数的图象问题，有一定的代表性．7. 已知向量（）A．3 B．4 C．-3 D．-4参考答案：C略8. 设集合，，若，则（）A．B．C．D．参考答案：B略9. 已知0＜a＜1,,,则(A)x＞y＞z (B)z＞y＞x (C)y＞x＞z (D)z＞x＞y参考答案：答案：C解析：本小题主要考查对数的运算。
2014-15(2)四川大学微积分期末试卷 解答
∆y → 0
f (0, 0 + ∆y ) − f (0, 0) 0 = lim = 0 ∆ → y 0 ∆y ∆y
假设 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处的可微，则 = dz
f x′(0, 0)∆x + f y′(0, 0) = ∆y 0
考虑 lim
ρ →0
ϕ ′( x) = e x − ∫ ϕ (t )dt ，
0
x
ϕ ′′( x) = e x − ϕ ( x) ， 即 ϕ ′′( x) + ϕ ( x) = e x ，
r2 +1 = 0，
Φ ( x) = C1 cos x + C 2 sin x ，
特征根为 r1, 2 = ±i ，故对应的齐次方程的通解为 易知 Φ * ( x) =
内的部分的上侧. 解：设 S 0 为平面： x + y ≤ 2, z = 0 方向向下， Ω 为 S + S 0 围的立体，
2 2
Ω 在 xOy 上投影 D xy : x 2 + y 2 ≤ 2, z = 0 ，
用极坐标表示： 0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ r ≤ 利用高斯公式得
S + S0
2
∫∫ ( y
故
∂2 z 3 = − ∂x∂y (0,0) 25
1
∂2 z = 2. 设 z f (2 x − y, y sin x) ，其中 f 具有连续二阶偏导数，求 ∂x∂y= x
解： 令 u =2 x − y, v =y sin x ， 则
π
.
= ,y 2 4
∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = ⋅ + ⋅ = 2 fu′ + y cos xf v′ ， ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
四川大学高等数学高数2009-2016年期末考试题
3.占有上半圆 的薄片面密度为 ,试计算该薄片的
质量. [ ]
4.将函数 展开成 形式的幂级数.
[ ]
5.将函数 展开成周期为 的余弦级数.[ ]
三. ( )求幂级数 的收敛区间与和函数.
[ ]
四. ( ) 是由曲面 以及 所围成的立体,其体密度为 .
(1)计算 关于 轴的转动惯量;
(2)试写出 关于平行于 轴的直线 转动惯量的计算公式(无ຫໍສະໝຸດ 计算)一.填空选择题( )
1.极限 .
2.若函数 具有连续的偏导数,且 ,则极限
.
3.由 所确定的函数 在 点的偏导数
4. 平面上曲线 的方程为 ,若将该曲线关于直线 对称得到曲线
,则 的方程为 .
5.函数 在某点沿任意方向的方向导数存在是函数在该点可微分的什么条件? [ B ]
充分条件; 必要条件; 充分必要条件; 无关条件.
[ ]
13. ( )计算三重积分 ,其中 是由曲面 与平面
所围成的有限闭区域. [ ]
14. ( ) 是周期为 的偶函数,在 上 .求该函数的傅里叶展
开式,并由此求级数的和 .
[ ]
15. ( )设 为区间 上的连续函数,且 ,证明
[ ]
四川大学2011-2012学年第二学期高等数学B(下)期终试卷
,试分析级数 的收敛性,其中 是实常数.
[
时,级数显然发散; 时,级数收敛]
四川大学2013-2014学年第二学期高等数学B(下)期终试卷
一.填空选择题( )
所围成的闭区域.
[ ]
12. ( )计算曲线积分 ,其中 为椭圆 (按顺时针方向绕行).
[ ]
13. ( )计算曲面积分 ,其中 为曲面:
四川大学高数微积分I(下)考前复习用2017年期末真题试卷(含答案)
L
7．微分方程 xy′ + y = x2 满足 y(3) = 4 的特解为
．
二、解答题 (每小题 9 分，共 36 分)
1．设曲面Σ 为 z =
，求 ． ∫∫ x2 + y2 (x2 + y2 1)
(20 xy + 17 y2 )dS
Σ
2．设曲面Σ 为 z = 1 − x2 − y2 ，方向为上侧，求 ∫∫ x2dydz + y2dzdx + ． 5z3dxdy Σ 第 1 页，共 2 页
.
解：原式=
´ 2π
0
dθ
´π
0
dϕ
´1
0
r2
·
Ω
r2 sin ϕdr
=
2π
·
2
·
1 5
=
4 π.
´5
Ｔ、设L是y = x2 − 1上从(0, −1)到(2, 3)的有向曲线，则 ydx + xdy = Ｎ
L
解´ y：dx曲+线x积dy分=与−路´02径d无x +关´，−31选2d择y 折=线−2l
2．在椭圆抛物面 z = x2 + y2 与平面 z = 20围成的空间区域中内置一个长方体，假设该长方
20
4
体的一个面位于z = 20上，长方体的其它面都与某个坐标平面平行，求长方体的体积的最大值．
五、证明题 (7 分)
设区域 D 为 x2 + y2 1， I = ∫∫ sin( x2 + y2 )5/2dxdy ，求证： D
三、综合题 (每小题 9 分，共 18 分)
1．讨论函数
f
( x,
y)
=
四川省达州市2018届高三上学期期末考试理科数学试卷含答案
四川省达州市高2018届高三上期末试卷理科数学第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合^ = \x^ . -x <2：,8 = \xx . -2｝，则A B 二（）A. 2-1 B.-2,-11 C .-4, ； D 1-4,；2.设复数z =1 2i，则（）2A . z 二2z - 3 B2 .z2=2z -4 2C . z =2z—5D . z2=2z—63.若双曲线x2=1的一个焦点为-3,0，则m =（）mA. 2 2 B . 8 C . 9 D . 644. 设向量a、b 满足a =1, b =&2，且a b =1，则a —2b =（）A. 2 B . ,5 C . 4 D . 55. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A. 5 B . 6 C . 6.5 D . 7x 3y -2 _0,6. 设x, y满足约束条件6x y -12 -0,则z =2x -y的最小值为（）4x「5y 9 丄0,A. -3 B . 4 C . 0 D . -47. 执行如图的程序框图，若输入的k =11，则输出的S =（）A. 12 B . 13 C . 15 D . 188. 若函数f x =2x—4 -a存在两个零点，且一个为正数，另一个为负数，则a的取值范围为（）A. 0,4 B . 0,+ 二C . 3,4 D . 3,+ ：：9. 已知等差数列的前n项和为£ , a^1，则“ a3・5 ”是“ S3 S g 93 ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.函数f x =Acosi・:x亠仃［A • 0,「O -二：：：—：：0的部分图象如图所示，为了得到g x = Asin，x 的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A. 向左平移二个单位长度6B. 向右平移.个单位长度12C. 向右平移丄个单位长度6D. 向左平移.个单位长度1211.在四面体ABCD中，AD _底面ABC , AB = AC =』10,BC =2 , E为棱BC的中点，点G在244AE上且满足AG =2GE ,若四面体ABCD的外接球的表面积为,则tan ^AGD =（）9A. - B . 2 C .辽D •丘2 212.已知函数f x的导数为f x , f x不是常数函数，且x ■ 1 f x 1亠xf x _ 0对b,匸恒成立，则下列不等式一定成立的是（A. f 1 ：：：2ef 2 B . ef 1 ::: f 2 C . f 1 ：：: 0 D . ef e ：：：2f 2第n卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数f x =log8x log2 x2，贝U f 8]=______________ .14. 在（x +a 9的展开式中，若第四项的系数为84,则a = ___________ .15•直线i 经过抛物线y2=4x的焦点F ,且与抛物线交于A,B两点，若■4-AF =5FB，则直线l 的斜率为_________ .16. 在数列滋？中，4=12,且电3a^ .记S n ?」,T n ' 二，则下列判断正确的3n+4 3n+1 y 3i +1 y3是__________ .（填写所有正确结论的编号）①数列―也为等比数列；②存在正整数n，使得a n能被11整除；⑶+1J③00兀43 :④T N能被51整除•三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在二ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b, c，且.3ccosA= 2b—\：3a cosC .（1）求角C ；■TT厂（2）若A , ABC的面积为为.3 , D为AB的中点，求sin/BCD .618. 某家电公司根据销售区域将销售员分成A,B两组.2017年年初，公司根据销售员的销售业绩分发年终奖，销售员的销售额（单位：十万元）在区间90,95 , 1.95,100 , 100,105 , 105,110内对应的年终奖分别为2万元，2.5万元，3万元，3.5万元.已知200名销售员的年销售额都在区间〔90,110】内，将这些数据分成4组：1.90,95 , 1.95,100, 100,105 , 105,110],得到如下两个频率分布直方图以上面数据的频率作为概率，分别从A组与B组的销售员中随机选取1位，记X,Y分别表(2)若直线 C 2与曲线C 1交于A, B 两点,1 OA示A 组与B 组被选取的销售员获得的年终奖 (1 )求X 的分布列及数学期；(2)试问A 组与B 组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高？为什么？19.如图，在四校锥 P _ABCD 中，AC _BD, AC ・BD PO _ AB ， POD 是以PD 为斜 1 1 边的等腰直角三角形，且 OB =OC 二丄OD =丄0A =1.2 3(1)证明：平面PAC _平面PBD ； (2)求二面角 A_PD -B 的余弦值.2 2 220. 已知椭圆W : -y 2 •詁i a b 0的焦距与椭圆 门:中* y 2 =1的矩轴长相等，且 W 与二' 的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为 A ，直线1与直线OA( O 为坐标原点)垂直，且 I与W 交于M,N 两点.(1 )求W 的方程;(2 )求.MON 的面积的最大值21. 已知 a ：=R ，函数 f x =xe 2x 亠、2e x —ax xe (1)若曲线y = f x 在点0,f 0处的切线的斜率为 2 1，判断函数 f x 在上的单调性;(2)若 a •0,-，证明: I e 'f x \ >2a 对R 恒成立.23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线G 和直线C 2的极坐标方程;x = 2 cos , xOy 中，曲线G 的参数方程为y =2 亠sin 二,22.选修 4-4 : 坐标系与参数方程在直角坐标系(:-为参数)，直线C 2的方程为请考生在22、23.选修4-5 :不等式选讲 已知函数f x =x |：|x _3 . (1 )求不等式f 彳：,6的解集；I 2 3丿(2)若k 0 ,且直线y =kx ・5k 与函数f x 的图象可以围成一个三角形，求k 的取值范围试卷答案一、 选择题1-5: DCBBB 6-10: ACCAD 11 、12： BA二、 填空题 <5 13. 714. 115.16.①②④2三、 解答题17.解： (1 )由 3ccosA = 2b - ；；3a cosC ，得 2bcosC = . 3 ccos A a cosC ，由正弦定理 可得,2sin B cosC = . 3 sin C cosA sin AcosC = . 3 sin A C = . 3 sin B ，因为 sin B = 0 ,所以 cosC 4，2因为 0 :::C ：：:二，所以 C ■.6(2)因为A ，故AABC 为等腰三角形，且顶角B=—，631 玄2故 S ABC = — a 2sin B = ------- = 3，2 4 所以 a =2，在.DBC 中，由余弦定理可得， CD 2 二 DB 2 - BC 2 -2DB BCcosB =7，即 7 二ST 土D ，所以 sin BCD二专 18.解：(1)A 组销售员的销售额在 90,95 , 95,100,100,105 ,105,110】的频率分别为0.2,0.3,020.3所以CD =丁7，在 DBC 中，由正弦定理可得,DBCD si^B " sin BCD '故（元）（2）B组销售员的销售额在90,95 , 95,100 , 100,105,105,110］的频率分别为：0.1 , 0.35 , 0.35 , 0.2 ,故E Y =20000 0.1 25000 0.35 30000 0.35 35000 0.2 =28250（元）••• E X : E Y,••• B组销售员获得的年终奖的平均值更高.19. ( 1)证明：T . POD是以PD为斜边的等腰直角三角形,• PO _ DO.又PO _AB, AB 一DO =B , • PO _平面ABCD , 则PO _ AC ,又AC _ BD,BD - PO =O , • AC —平面PBD .又AC 平面PAC , •平面PAC _平面PBD .(2)解：以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ,则A 3,0,0 ,D 0,-2,0 ,P 0,0,2 ,10又O 到直线 I的距离为d 去，则△ MON 的面积S^dMN ，" 31w 2,231^则 DA =[3,2,0 , DP =[0,2,2 , 设n = x,y,z 是平面ADP 的法向量,则 n -DA=° n DP =0，即 3x -2y" gy +2z=0令 y =3 得 n = 2,3, -3 .由（1）知，平面PBD 的一个法向量为■乙二-1,0,0 ，4.―.■* ―*• cos n ,0C 弓-2 _22 22 11 ，由图可知，二面角 A — PD — B 的平面角为锐角, 故二面角A —PD_B 的平面角的余弦值为22 11 20.解：（1）由题意可得a2l a =4 2-b 1a 22b2 2故W 的方程为I — =1 .4 3'2 2仝1=1 4 3x 2 2 i — +' 4 - （2）联立 ，得y 2=1 x 2 36 4 132• y1-r =- x 9又A 在第一象限，••• 故可设1 3.的方程为y = -3x m.k oA =_y x y = -3x m联立 y 2 x 2 ，得 31x 2 -18mx 3m 2 -12 =0 ,一 1 4 3 _1 218m3m 「12 设 M X 1,% , N X 2,y 2 ,则为 x ?‘xx : 3131•- MN = T ■ -3 j ，1. X 1 ■ x2 - 4X 1X 2 = T02-m 31当且仅当m 2 =31 —m 2，即m 2 =：#，满足.「0，故.：MON 的面积的最大值为,3. 21. (1)解：T f x 二 e x -ax xe x . 2 f x 二e x -a ］i 「xe x .2 ］亠］e x-ax ］〔x 1e x ,f 0 i=；2 1 -a 1 = .2 1，二 a =0 • ••• f x i=］2x 1 e 2x . 2e x ,当 x -1,二 时，2x 10,e 2x 0,e x 0 ,• f x 0,I 2 丿 •函数f x 在|；上单调递增•(2)证明：设 g x =xe x • . 2， g x = x • 1 e x ，令 g x j ,0，得 x • _1， g x 递增；令 g ^ 0，得 x ：：： _1， g x 递减•11”• g x min =g2，: e ： 2.7 ,••• —2 1, • g x 1.ee 设 h x =e x -ax ，令 h x =0得 x =1 n a , 令 h x ］，0 得 x l n a , h x 递增；令 h x ::: 0 得 x ::: l n a , h x 递减.•- h x min =h Ina 二a -alna =a 1 -lna ,f 1)T a 0, , • In a ：： -1 , • 1 -In a 2, • h x min 2a , • h x\ >2a 0 . I e.丿又 g x i>1 , • g x h x 2a ，即 f x i >2a .22. 解：(1)曲线G 的普通方程为 x -2 2 • y -2 2 =1，则G 的极坐标方程为 孑-4「cosv -4「sinr *7=0，由于直线C ?过原点，且倾斜角为 -，故其极坐标为R (或 tan J -、3).3卩 2 -4「cos 71 -4「sin '；亠 7 =0, (2)由 -• 得炉-2.3 * 2甘亠7 =0，故, 3：：乜=2 .32,=7 ,31 _m 2 ,」m 2 311 1 OA 0B| 冷 &23 2 OA OB = |OA QB| = “e =7xXX—_3 十 0 3 0 2 或 2 或2 ,x -3 ：：63 ::: 63 ：：6解得-3 .；：，x .；：，9 ,「•不等式f I X :: 6的解集为i • 3,9 .12丿 '丿工2x 3,x 空0(2)做出函数f x = 3,0 ::: x :::3 的图象，如图所示,2x —3,x 丄3•••直线y =k x 5经过定点 A -5,0 , •••当直线y =k x 5经过点B 0,3时，k ，5 3•当直线y =k x 5经过点C 3,3时，k8•••当 X 3,3时，直线y =kx 5k 与函数0 5」f x 的图象可以围成一个三角形x + -_322 (1)由 j 即:::6 得，23.解:。
四川大学高数微积分I(下)考前复习用2016年期末真题试卷(含答案)
四川大学期末考试试卷A（2015‐2016年第二学期）科目：微积分II 课程号： 考试时间：120分钟注：请将答案写在答题纸对应的方框内，否则记0分。
一、 填空（每小题3分，共18分）1. 22011xy xy y x -+→→lim=41. 2. 设0=-，则--),,(x z z y y x F x z ∂∂= 0232313≠---'''''',F F F F F F . 3. 若0d ，则d 022=+⎰⎰xx y t t t t e sin )(cos x yd d = 22y ex x cos )(sin cos - . 4. 函数y x 在),(01取极y xy x y x f +-+-=222),( 小 值. 5. 21)'(的通解是 ''y y +=))sin(ln(21C x C y +-= .6. 若区域D 由0=x ，0=y ，21=+y x ，1=+y x 围成，且，y x d 12，y x d d 12，+∈Z n ，依从小到大的顺序给321I I I ,,排序为 ⎰⎰++=D n y x y x I d d 121)][ln(⎰⎰+=DI 2+n y ]x [d I 3⎰⎰=Dx [sin(++n y )]231I I I << .二、 计算题（每小题8分，共48分）1. 求x x 的通解.e y y x sin ''432+=-解：齐次问题的特征方程为1， 1012-==⇒=-λλλ,则齐次问题的通解为。
x x e C e C y -+=21特解可分解为，x e y y 23=-''x x y y sin ''4=-的特解之和。
x e y y 23=-''的特解为，x e 2x x y y sin ''4=-的特解为)cos sin (x x x +-2，则所求方程的通解为。
四川大学期末考试试卷A卷
四川大学期末考试试卷（A 卷）（2014—2015年第二学期）科目：微积分（I ）-2 课程号： 考试时间：120分钟注：请将答案写在答题纸规定的方框内，否则记0分。
一、填空题(每小题3分，共18分)1．函数22ln(2)z x y =++在x =2，y =1时的全微分为2．已知曲线23,,x t y t z t ===上的点M 处的切线平行于平面24x y z ++=，则M 的坐标 是3．二重积分()22222sin 34x y a x x y d σ+≤-++⎰⎰的值等于4．设L 为连接(1,0), (0,1)两点的线段，曲线积分()L x y ds +⎰的值等于5. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限的部分，曲面积分2(1)dS x y ∑++⎰⎰的值等于 6．微分方程ln dy y x y dx x=的通解是 二、计算题 (每小题8分，共48分)1．设 5431z xz yz -+=，求2(0,0)z x y ∂∂∂． 2．设(2,sin )z f x y y x =-，其中f 具有连续二阶偏导数，求2 , 24x y z x yπ==∂∂∂． 3．计算2z dxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是两个球2222xy z R ++≤，2222 (0)x y z Rz R ++≤>所围成的闭区域．4．利用格林公式计算积分232()(2)Lx xy dx y xy dy -+-⎰Ñ，其中L 顶点为(0,0), (2,0), (2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界．5．计算222()()()SI y x dydz z y dzdx x z dxdy =-+-+-⎰⎰,其中S 为抛物面222z x y =--位于0z ≥内的部分的上侧．6．求微分方程tan sec dy y x x dx-=满足初始条件00x y ==的特解．三、应用题 (每小题10分，共20分)1．抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求原点到此椭圆的最长和最短距离．2．设函数()x ϕ连续， 且满足00()()()x x x x e t t dt x t dt ϕϕϕ=+-⎰⎰， 求()x ϕ． 四、分析证明题 (每小题7分，共14分)1．设222222),0(,)0,0x y x y f x y x y ++≠=⎨⎪+=⎩，讨论(,)f x y 在(0,0)处的可微性．2．设()[,],()0f x C a b f x ∈>，证明2()()()bb a a dx f x dx b a f x ≥-⎰⎰．。
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x
1
x4
2
x2
d 1
x
而
1 0
x4
2x 2x2
dx 1
1 2d x 2，
0
1
x4
2x 2x2
dx 1
1
2 x3
d
x
1，
故原无穷限广义积分也收敛.
三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
1.设两曲线为 l1 : y x2 ，l2 : x y 2 .
n1
n n1 n
(1)n1 1 xn
n1
n
f
(2017) (0)
a2017
2017!
2 2017
2017!
2 2016!
注 前一问 6 分，后一问 2 分.
6.判断无穷限广义积分
0
x4
2x 2x2
d 1
x
的敛散性.
解 1
2x
f ( x2 y) (2xy x2 dy ) e x y (1 dy ) 1
dx
dx
解之得 dy dx
f
( x2 f (
y x
)
2
2xy e x y) x2 e
x
y
y
1
.
y) 2xy e x y f ( x2 y) x2 e x y
(2) 由(1)知， x0 为极值点，所以 f ( x0 ) 0. 将函数 f ( x) 在点 x x0 处展开，得
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( 2!
)
(x
x0 )2
f (x0 )
f
( 2!
)
(
x
x0
)2
故 0 f (0)
(1) 求 l1 在点 x 0 处的曲率；
(2) 求 l1 与l2 所围成图形的面积；
(3) l1 与l2 围成的图形绕 x 轴旋转一周，求旋转体的体积.
解 (1) K
| y | 3 |x0
2 3 |x0 2.
(1 y2 )2
(1 4x2 )2
(2)
由
y
x2
解 原式 1
1
x d f (2x)
20
[1 2
xf
(2 x )]
10
1 2
1 0
f (2x)d x
5 [1 24
f
(2
x
)]
1 0
1.
x
ln(1 t)d t
3.求极限 lim x0
0
(e x 1)sin x
.
x
ln(1 t)d t
解 原式 lim 0 x0
x2
ln(1 x) lim
x0 2x
x1 lim .
x0 2x 2
4.已 知函数 f (u) 可 导， f (0) 0，且 由方 程 f ( x2 y) ex y e x 可确 定 y 是 x 的 函 数，求
dy dx |x0 . 解 由题意易知，当 x 0 时， y 1. 方程两边同时对 x 求导，
2.
二、计算题（每小题 8 分，共 48 分）
1.计算不定积分 [ln x x( x 1)2018 ] d x . x
解 原式
ln
x dx
x( x 1)2018 d x
x
ln xd ln x ( x 1 1)( x 1)2018d x
1 ln2 x [( x 1)2019 ( x 1)2018 ]d x 2
1
x0
e
e
1
.
y1
y1
注 可以不解 y 而直接得到答案.
5.将函数 f ( x) ln 1 x 展开成 x 的幂级数，并求 f (2017)(0). 1 x
解 f ( x) ln 1 x ln(1 x) ln(1 x) 1 x
(1)n1 xn xn
1
x f (2x) d x .
0
x
ln(1 t)d t
3.求极限 lim x0
0
(e x 1)sin x
.
4.已知函数 f (u) 可导， f (0) 0，且由方程 f ( x2 y) ex y e x 可确定 y 是 x 的函数，求
dy dx |x0 .
5.将函数 f ( x) ln 1 x 展开成麦克劳林级数，并求 f (2017)(0). 1 x
cos 1 1 n 1
lim e n n
1( 1 )2 2n
1
1
lim e n e 2 1
n
由比值审敛法知，该数项级数收敛.
2. 设 f ( x) 在 [0，1] 上 连 续 ， 在 (0，1) 内 二 阶 可 导 ， 且 | f ( x) | 1 ，又 f (0) f (1) 0，(1)设
| f ( x0 )|
max |
0 x1
f (x)|
，证明
x0 (0，1) ；(2)
证明
|
f ( x0 )|
1. 8
证明 (1)由于 | f ( x) | 1，故 f ( x) 不可能为常量，所以 | f ( x0 )| 一定大于零，而 f (0) f (1) 0， 从而 x0 (0，1).
四川大学期末考试试题（闭卷） （2017——2018 学年第 1 学期） A 卷
课程号：201137050 适用专业年级：理工
课序号： 学生人数：
课程名称：微积分 1-1
任课教师： 成绩：
印题份数：
学号：
姓名：
考生承诺
我已认真阅读并知晓《四川大学考场规则》和《四川大学本科学生考试违纪作弊处分规定（修 订）》，郑重承诺：
6.判断无穷限广义积分
0
x4
2x 2x2
d 1
x
的敛散性.
三、解答题（每小题 10 分，共 20 分）
1.设两曲线为 l1 : y x2 ，l2 : x y 2 . (1) 求 l1 在点 x 0 处的曲率； (2) 求 l1 与l2 所围成图形的面积； (3) l1 与l2 围成的图形绕 x 轴旋转一周，求旋转体的体积. 2.讨论方程 k e x x2 0 (其中 k 为参数 ) 有几个实根，并说明理由.
四、证明题（每小题 7 分，共 14 分）
1.证明正项级数 (cos 1 )n2 收敛.
n1
n
2.设 f ( x) 在 [0，1] 上连续，在 (0，1) 内二阶可导，且 | f ( x) | 1 ，又 f (0) f (1) 0，
(1) 设 | f ( x0 )|
max |
导数值为_____________.
二、计算题（每小题 8 分，共 48 分）
1.计算不定积分 ( ln x x( x 1)2018 ) d x . x
第 1 页，共 2 页 试卷编号：
2.设 f ( x) 在 [0，2] 上连续，且 f (0) 1， f (2) 7，f (2) 5，求
2.已知函数
f (x)
1 x ln(1
1，x x)
0
在
x
0 处连续，则
a
_____________；
a， x 0
3.定积分
1 1
(
x3e
x2
1
1
1 x2
)d
x
_____________；
4.已知 f ( x) ( x 1)2 e x ，则 f (2018) (1) _____________；
2
2
[4 x
2x2
1 3
x3
1 5
x
5
]
1 2
72 5
注 分值为 2, 3, 3.
2.讨论方程 k e x x2 0 (其中 k 为参数 ) 有几个实根，并说明理由.
解 设 f ( x) ex x2 ，令 f ( x) ex x2 2xex (2x x2 )ex 0，得 x 0，2. 所以当 x (，0) 时， f ( x) 0，函数单增；当 x (0，2) 时， f ( x) 0，函数单减；
0
x4
2x2
d 1
x
lim t
t 2x
0
x4
2x2
dx 1
lim
t
t 0
(x2
1
1)2
d(x2
1)
lim[
t
1 x2
] 1
t 0
1
故无穷限广义积分收敛.
解 2
2x
1 2x
2x
0
x4
2x2
dx 1
0
x4
2x2
d 1
0 x1
f (x)|
，证明
x0 (0，1) ；(2)
证明
|
f ( x0 )|
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2017-2018 微积分(1)-1 期末试题参考答案