中考数学专题复习教案：共顶点的等腰三角形与全等

共顶点的等腰三角形与全等（专题复习）

一、内容和内容解析

1．内容

基于全等三角形和轴对称两部分内容基础上的共顶点等腰三角形与全等的综合理解与运用.

2．内容解析

本节课是在学生已经学习了第十一章三角形、第十二章全等三角形和第十三章轴对称这三章内容知识的基础上，进一步综合探究具有某种特殊位置关系的等腰三角形的相关内容——共顶点的等腰三角形与全等.全等三角形的几种判定方法及全等三角形对应边、对应角的相关性质是解决本节知识的一个关键突破点，预证两条线段和两条边相等，就需要将其置于两个全等的三角形中；复杂图形中的基本图形也为求角的度数提供了简洁的思路方法；特殊的等腰三角形即等边三角形的相关概念、性质和判定方法也为本节内容的解决提供了有利条件，借助于特殊角60度构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中，这也提供了多种添加辅助线的方法；同时，根据旋转前后的两个三角形是全等三角形，为本节知识的变式提供了思路，可以从多种不同形式中让学生去探究其中变与不变的因素；将等边三角形置于平面直角坐标系的背景下，借助于直角三角形中，含30度角所对的直角边等于斜边的一半解决相关变式问题.从等边三角形到等腰三角形的相关探索与运用体现了由特殊到一般的思想.

二、目标和目标解析

1．目标

（1）能根据共顶点的等腰三角形找出全等三角形.

（2）能利用等边三角形的性质和判定进行综合运用.

（3）结合全等和等腰三角形的相关知识，在具体几何题目中，总结基本图形，归纳几何结题策略.

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能从共顶点的两个等腰三角的复杂图形中发现三角形全等的条件.

达成目标（2）的标志是：学生能借助于全等三角形的对应边、对应角和两个三角形面积求线段的等量关系、角的度数和证明两个三角形面积相等，推出对应的高也相等，利用角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上，证得一条线段为一个角的角平分线，同时，学生还能熟练掌握预证两条线段相等，则需将两条线段置于两个全等的三角形中解决问题.

达成目标（3）的标志是：学生能在求证一条线段为一个角的角平分线时，通过向角的两边作双垂线，利用双垂线所在的两个三角形全等使问题得到解决；学生还能在求线段和差关系时，借助于60度角，构造等边三角形，将不在同一直线上的线段转化到同一线段中解决相关问题，让学生学会添加不同的辅助线，真正体会了截长补短的意义.

三、教学问题诊断分析

学生由于添加辅助线的经验不足，对于任何需要添加的辅助线，如何添加，添加的理由是什么，如何描述辅助线仍然没有规律性了解.例如：在“求线段和差关系”的证明中，由于题中60度角比较多，学生

如果以不同的角为出发点构造等边三角形，所得到的辅助线也不尽相同，这样，有学生就会很茫然，为什么我的辅助线会和其他同学不同这样的疑问，包括作完辅助线后，我到底将哪条线段进行了平移，接下来该证明哪两条线段相等这些问题.事实上，添加辅助线、描述辅助线本身就是一项探究性活动，是获得证明所采取的一种尝试，有可能成功，有可能失败；对于变式训练，旋转前后哪些量变了，哪些量保持不变，这些都是学生存在困惑的地方.

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：线段和差关系中辅助线的添加描述和对于旋转问题，能够明确变与不变的元素.

四、教学过程设计

引言

我们前面系统学习了三角形的全等和轴对称的相关知识，相信大家对其都有所理解和掌握.今天，让我们继续探究这两部分内容的综合应用.

1. 复习巩固

问题1 判定两个三角形全等的方法有哪些？等边三角形有哪些性质？等边三角形有哪些判定？ 师生活动：学生回顾旧知，充分掌握判定三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定.

设计意图：复习三角形全等的五种方法、等边三角形的性质和判定,为本节课的学习打下基础.

问题2 你能分别找出以下列图形中的全等三角形吗？

（1）若△ABD 和△AEC 均为等边三角形，请找出下列各图形中的全等三角形.

（2）若△ABD 和△AEC 均为等腰三角形，其中AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，请找出下列各图形中的全等三角形.

师生活动：学生尝试找出以上图形当中的全等三角形，教师给与适当评价

设计意图：让学生直观了解共顶点的等边或等腰三角形几种常见的摆放位置，通过寻找这些图形中的全等三角形，为下面设置的探究学习提供了有利条件.

2. 探究学习

问题3 如图，已知A 是线段BC 上一点，分别以AB 、AC 为边在同侧作等边△ABD 和△AEC.

（1）填空：BE= ，∠ABE= ，∠DFB= °.

（2）求证： AF 平分∠BFC.

（3）求证： AF ＋DF=BF.

师生活动：学生独立思考，发现问题，相互交流，小组间相互补充，派学生代表讲解思路，同学间相互补充，教师再此过程中关注学生能否从不同角度解决问题.

设计意图：从特例出发，让学生经历发现结论，说明论证过程，体会相关知识的运用.

追问1：还有不同方法解决（2）吗？你的理由是什么？

师生活动：教师提出问题，学生独立思考，小组讨论交流，学生代表汇报交流结果，教师点拨，师生共同总结（2）的不同解法.

追问2：你们解决（3）的方法一致吗？还有不同见解吗？

师生活动：教师提出问题，学生思考，交流讨论，学生代表发表意见，教师点拨.

追问3：想要解决（3），你思考问题的出发点在哪？

师生活动: 学生独立思考，对教师提出的问题发表自己的见解，教师给与充分的肯定与鼓励.

追问4：若BE 、AD 交于点M ，CD 、AE 交于点N ，链接MN ，你还能在图形中找出其他的全等三角形吗？△AMN 是什么三角形？MN 与BC 有怎样的位置关系？

师生活动：教师增加新条件，并提出问题，学生独立思考并一一作答，学生间相互评价补充，教师最后点评并适当总结，给与恰当评价.

问题4 如图，若将上题中的等边△AEC 绕点A 都还成立？请说明理由.

师生活动：教师提出问题，学生独立思考并相互补充，给出结论，说明原因，教师给与评价与鼓励.

设计意图：通过旋转变换，让学生体会几何图形的多变，在其过

程中体会变与不变元素，抓住本质特征，从而形成解决问题的能力. 问题5 如图，若将上题中的等边△ABD 和△AEC 改为等腰△ABD 和△AEC ，其中AD=AB ，AE=AC ， ∠BAD=∠EAC=a. 上述结论是否都还成立？请说明理由.

师生活动：教师提出问题，学生思考并作答，说明其原因.

设计意图：拓展问题的研究范围，将问题一般化，让学生经历

3. 微课展示

4. 巩固应用

1. 已知△ABC 和△AEF ，AB=AC ，AE=AF ，∠BAC=∠EAF ，BE 、CF 交于M ，连接MA.

（1）如图1，若∠BAC=60°，则△BAE ≌ ；∠CMB= .