1.5.1求曲边梯形的面积
学案8：1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程
1.5.1 曲边梯形的面积~1.5.2 汽车行驶的路程问题导学一、曲边梯形面积的计算 活动与探究1求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S ．迁移与应用用曲边梯形面积的计算方法求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及直线y ＝3x 所围成图形的面积． 名师点津(1)求曲边梯形的面积时要按照分割—近似代替—求和—取极值这四个步骤进行．(2)近似代替时，可以用每个区间的右端点的函数值代替，也可用每个区间的左端点的函数值代替．(3)求和时要用到一些常见的求和公式，例如：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6等．二、汽车行驶路程的计算问题 活动与探究2一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝12t 2(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内汽车行驶的路程s (单位：km)．迁移与应用某物体在笔直的道路上做变速直线运动，设该物体在时刻t 的速度为v (t )＝7－t 2，试计算这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程s ． 名师点津把变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的问题，采用方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限，求变速直线运动的路程和曲边梯形的面积，虽然它们的意义不同，但都可以归纳为求一个特定形式和的极限，通过这样的背景问题，能更好体会后面所要学习的定积分的概念．当堂检测1．在求由抛物线y＝x2与直线x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[0,2]等分成n个小区间，则第i个区间为()A．1,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．1,i in n+⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．2(1)2,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．22(1),i in n+⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．下列关于函数f(x)＝x2在区间1,i in n-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的端点处的函数值的说法正确的是()A．f(x)的值变化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小3．在求由x＝a，x＝b(a＜b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及y＝0围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边形分成n个小曲边形，下列说法中正确的个数是()①n个小曲边形的面积和等于S②n个小曲边形的面积和小于S③n个小曲边形的面积和大于S④n个小曲边形的面积和与S之间的大小关系无法确定A．1 B．2 C．3 D．44．求由抛物线f(x)＝x2，直线x＝0，x＝1以及x轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1]5等分，如图所示，以小区间中点的纵坐标为高，所有小矩形的面积之和为__________．5．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．参考答案活动与探究1解：(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，3n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n ．分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为1nii S S ==∆∑．(2)近似代替：记f (x )＝x 2+2x ，当n 很大，即Δx 很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨用i f n ⎛⎫⎪⎝⎭来近似地作为f (x )在该区间上的函数值．从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边，这样在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积ΔS i ′近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS i ′＝212i i i f x n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅∆=+⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． (3)求和：小曲边梯形的面积和11'n nn iii i S S S ===∆≈∆∑∑2112ni i i n n n =⎡⎤⎛⎫=+⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n 2＋22n 2＋…＋n 2n 2＋2⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n n ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋1n ． (4)取极限分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份时，S n 越来越趋向于S ，从而有 S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞⎣⎡ 16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝43．即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线y ＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于43．迁移与应用 解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝1n ．把梯形分成n 个小梯形，其面积记为ΔS i (i ＝1,2，…，n )．(2)近似代替：用小矩形面积近似代替小梯形面积． ΔS i ＝f ⎝⎛⎭⎫i －1n Δx ＝3·i －1n ·1n＝3n 2(i －1)(i ＝1，2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔS i ＝∑i ＝1n3n 2(i －1)＝3n 2[1＋2＋…＋(n －1)] ＝32·n －1n ＝32⎝⎛⎭⎫1－1n ． (4)取极限：S ＝lim n →∞∑i ＝1n3n 2(i －1)＝lim n →∞32⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32． 故所求面积等于32．活动与探究2 解：(1)分割：在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将区间分成n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n ，记第i 个小区间为⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1，2，…，n )，Δt ＝2n ，则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎡⎦⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记作Δs 1，Δs 2，Δs 3，…，Δs n ，有s n ＝∑ni ＝1Δs i ． (2)近似代替：取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )．∴Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝12·⎝⎛⎭⎫2i n 2·Δt ＝12·4i 2n 2·2n ＝4n 3·i 2(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫4n 3·i 2＝4n3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝4n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6 ＝23⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ． (4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝43．故这段时间内汽车行驶的路程s 为43km ．迁移与应用 解：将区间[0,1]n 等分，得到n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎡⎦⎤n －1n，n n ．取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则物体在每个时间段内运动的路程Δs i ≈v (ξi )·Δt ＝1n ⎝⎛⎭⎫7－i 2n 2，i ＝1，2，…，n ．s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝1n ⎝⎛⎭⎫7－1n 2＋7－22n 2＋…＋7－n 2n 2＝1n ⎣⎡⎦⎤7n －n (n ＋1)(2n ＋1)6n 2 ＝7－16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ． 于是s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤7－16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＝203． 所以这个物体在0≤t ≤1这段时间内运动的路程为203．当堂检测 1．【答案】C【解析】每个小区间的长度是2n ，所以左端点是0＋(i －1)×2n ＝2(1)i n -，右端点是2in． 2．【答案】D 3．【答案】A【解析】只有说法①是正确的，其余均错． 4．【答案】0.33【解析】由题意得S ＝(0.12＋0.32＋0.52＋0.72＋0.92)×0.2＝0.33． 5．解：令f (x )＝x 2． (1)分割：将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，12x n =，24x n =，…，x n －1＝2(1)n n-，x n ＝2． 第i 个区间为222,i i nn -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(i ＝1,2，…，n ), 每个区间长度为Δx ＝2222i i n n n --=． (2)近似代替、求和： 取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )， 2231112228nnn n i i i i i S f x i n n n n ===⎛⎫⎛⎫=⋅∆=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑＝38n(12＋22＋…＋n 2) 38(1)(21)6n n n n ++=⋅ ＝2431(2)3n n++． (3)取极限lim n n S →∞＝limn →∞24318233n n ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即所求曲边梯形的面积为83．。
高中数学 定积分的概念
t
=
i n
-
i
-1 n
i 个小区间的路程为△si,
=
1 n
则
. S
=
n
Si
.
i =1
O1 (图2)
t
问题2. 我们知道, 汽车以速度 v 作匀速直线运动
时, 经过时间 t 所行驶的路程为 s=vt. 如果汽车作变速
直线运动, 在时刻 t 的速度为 v(t)= -t2+2 ( t 的单位: h,
v 的单位: km/h), 那么它在 0≤t≤1 这段时间内行驶的
将要学的定积 分为我们解决 这类问题.
如图的阴影部分近似于一
y
个梯形, 但有一腰是曲线段,
f(b)
我们称这个图形为曲边梯形.
f(a)
这个图形的面积怎样求呢?
y=f(x)
思想:
Oa
bx
将图形分成无数多的小块.
每小块近似于直边梯形, 可用直边梯形求面积.
这无数小块之和即为整块面积.
下面取 a=0, b=1, f(x)=x2 为例.
O
1x
y
y=x2
O
1x
可以证明, 取 f(x)=x2 在区间
上任意一点 xi 处的值 f(xi) 作为
近似值, 都有
n
S
=
lim
x0
i =1
f
(i
ห้องสมุดไป่ตู้
)x
=
lim
n
i=n1n1
f
(i
)
=
1 3
.
一般地, 对右下图的曲边 梯形, 我们也可采用分割、近 似代替、求和、取极限的方法 求面积.
y
1.5.1曲边梯形的面积
y y x2
2近似代替 记fx x2.
如图1.5 3 ,当n很大 ,即
Δx很小时,
在区间i 1, nFra biblioteki n
o
i1 i
nn
1x
上,可以认为函数f x x2
图1.5 3
y
的值变化很小,近似等于一
个常数,不妨认为它近似地
y x2
等于左端点i 1处的函数
2. 有 理 由 相 信 ， 分 点 越 来 越密时，即分割越来越细 时，矩形面积和的极限即 为曲边形的面积。
o
x
B.可以是该区间内任一点的函数值 f (i )(i xi , xi1)
C.只能是右端点的函数值 f (xi1)
D.以上答案均不正确
小结:
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割 (2)求面积的和 (3)取极限 n
y
1.把这些矩形面积相加作为
整个曲边形面积S的近似值。
图1.5 5,可以看到,当n趋向于无穷大,即Δx趋向
于0时,Sn
1 3
1
1 n
1
1 2n
趋向于S,
从而有S
lim Sn
n
lim
n
n i1
1 f i n
1 n
lim
n
1 1 3
1 1 n
1 2n
探 究 在 "近 似 代 替" 中,如 果 认 为 函 数fx x2 在
区
间i
1, n
i n
i
1,2,
,n上
的
人教版高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程1.5.3定积分的概
1．5 定积分的概念1．5．1 曲边梯形的面积 1．5．2 汽车行驶的路程 1．5．3 定积分的概念学习目标：、1.了解定积分的概念(难点).2.理解定积分的几何意义．(重点、易错点).3.通过求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程，了解“以直代曲”“以不变代变”的思想(难点).4.能用定积分的定义求简单的定积分(重点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．曲边梯形的面积和汽车行驶的路程 (1)曲边梯形的面积①曲线梯形：由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的图形称为曲边梯形(如图151①所示)．②求曲边梯形面积的方法把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图151②所示)．图① 图②图151③求曲边梯形面积的步骤：分割，近似代替，求和，取极限． (2)求变速直线运动的(位移)路程如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t )，那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .2．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0＜x 1＜…＜x i －1＜x i ＜…＜x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )作和式∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1 b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )d x ＝lim n→∞∑n i ＝1 b －anξ.其中a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．思考：⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数还是一个变量？⎠⎛a b f (x )d x 与积分变量有关系吗？[提示]由定义可得定积分⎠⎛a b f (x )d x 是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，而与积分变量没有关系，即⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (t )d t ＝⎠⎛ab f (u )d u .3．定积分的几何意义与性质 (1)定积分的几何意义由直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴及一条曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积设为S ，则有：① ② ③图152①在区间[a ，b ]上，若f (x )≥0，则S ＝⎠⎛a b f (x )d x ，如图152①所示，即⎠⎛a b f (x )d x＝S .②在区间[a ，b ]上，若f (x )≤0，则S ＝－⎠⎛a b f (x )d x ，如图152②所示，即⎠⎛a b f (x )d x ＝－S .③若在区间[a ，c ]上，f (x )≥0，在区间[c ，b ]上，f (x )≤0，则S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cbf (x )d x ，如图152③所示，即⎠⎛ab＝SA －SB(S A ，S B 表示所在区域的面积)．(2)定积分的性质①⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)； ②⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；③⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a ＜c ＜b )． [基础自测]1．思考辨析(1)⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( ) (2)⎠⎛a b f (x )d x 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛012xd x <⎠⎛022xd x ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确C [作近似计算时，Δx ＝x i ＋1－x i 很小，误差可忽略，所以f (x )可以是[x i ，x i ＋1]上任一值f (ξi )．]3．图153中阴影部分的面积用定积分表示为( )图153A.⎠⎛012xd x B.⎠⎛01(2x －1)d x C.⎠⎛01(2x ＋1)d x D.⎠⎛01(1－2x )d x B [根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为⎠⎛012xd x －⎠⎛011d x ＝⎠⎛01(2x－1)d x .]4．已知⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，则⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝________.【导学号：31062080】[解析] ∵⎠⎛01x 2d x ＝13，⎠⎛12x 2d x ＝73，⎠⎛021d x ＝2，∴⎠⎛02(x 2＋1)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛021d x＝13＋73＋2 ＝83＋2＝143. [答案]143[合 作 探 究·攻 重 难]图154[解] (1)分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用分点1n ，2n ，…，n －1n 把区间[0,1]等分成n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，简写作⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n (i ＝1,2，…，n )．每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .(2)近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上任取一点ξi(i ＝1,2，…，n )，为了计算方便，取ξi 为小区间的左端点，用f (ξi )的相反数－f (ξi )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1为其一边长，以小区间长度Δx ＝1n 为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔS i ≈－f (ξi )Δx ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和因为每一个小矩形的面积都可以作为相应小曲边梯形面积的近似值，所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S 的近似值，即S ＝∑i ＝1nΔS i ≈－∑i ＝1nf(ξi)Δx＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n －1·1n＝－1n3[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝－1n3·16n (n －1)(2n －1)＋1n2·－2＝－－n2＋16n2＝－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1. (4)取极限当分割无限变细，即Δx 趋向于0时，n 趋向于∞， 此时－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1趋向于S .从而有 S ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16⎝ ⎛⎭⎪⎫1n2－1＝16.所以由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x (x －1)围成的图形面积为16.[规律方法] 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用到一些常见的求和公式，如1＋2＋3＋…＋n ＝＋2，12＋22＋32＋…＋n 2＝＋＋6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋22. [跟踪训练]1．求由抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的曲边梯形的面积.【导学号：31062081】[解] ∵y ＝x 2为偶函数，图象关于y 轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y ＝x 2(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S 阴影．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝，y ＝4，得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2]n 等分， 则Δx ＝2n ，取ξi ＝－n.(2)近似代替求和S n ＝∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－n2·2n ＝8n3[12＋22＋32＋…＋(n －1)2] ＝83⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n .(3)取极限S ＝lim n→∞S n ＝lim n→∞ 83⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＝83.∴所求平面图形的面积为S 阴影＝2×4－83＝163.∴2S 阴影＝323，即抛物线y ＝x 2与直线y ＝4所围成的图形面积为323.(单位：km/h)，求它在1≤t ≤2这段时间行驶的路程是多少？[解] 将时间区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n ， 在第i 个时间段的路程近似为Δs i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n，i ＝1,2，…，n .所以s n ＝∑n i ＝1Δs i ＝∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n＝－1n3[(n ＋1)2＋(n ＋2)2＋(n ＋3)2＋…＋(2n )2]＋2n2[(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋2n ]＝－1n3⎣⎢⎡⎦⎥⎤＋＋6－＋＋6＋2n2·＋1＋2＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n，s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1n ＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1n ＋3＋1n ＝23，所以这段时间行驶的路程为23 km.[规律方法]求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解.求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限.应特别注意变速直线运动的时间区间.[跟踪训练]2．一物体自200 m 高空自由落下，求它在开始下落后的第3秒至第6秒之间的距离．(g ＝9.8 m/s 2)【导学号：31062082】[解] 自由落体的下落速度为v (t )＝gt . 将[3,6]等分成n 个小区间，每个区间的长度为3n.在第i 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋－n，3＋3i n (i ＝1,2，…，n )上，以左端点函数值作为该区间的速度．所以s n ＝∑n i ＝1v ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋－n3n＝∑n i ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤3g ＋3g n －·3n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3ng ＋3gn [1＋2＋…＋－·3n ＝9g ＋9gn2·－2＝9g ＋92g ·⎝⎛⎭⎪⎫1－1n .所以s ＝lim n→∞s n ＝lim n→∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤9g ＋92g·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝9g ＋92g ＝272×9.8＝132.3(m)．故该物体在下落后第3 s 至第6 s 之间的距离是132.3 m.1．在定积分的几何意义中f (x )≥0，如果f (x )＜0，⎠⎛ab f (x )d x 表示什么？提示：如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )＜0，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图所示)，由于Δx i ＞0，f (ξi )＜0，故f (ξi )·Δx i ＜0，从而定积分⎠⎛a b f (x )d x ＜0，这时它等于图中所示曲边梯形面积的相反数，即⎠⎛a b f (x )d x ＝－S 或S ＝－⎠⎛a b f (x )d x . 2．⎠⎛024－x2d x 的几何意义是什么？ 提示：是由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝4－x2所围成的曲边梯形面积，即以原点为圆心，2为半径的14圆的面积即⎠⎛024－x2d x ＝π.3．若f (x )为[－a ，a ]上的偶函数，则f (x )d x 与f (x )d x 存在什么关系？若f (x )为[－a ，a ]上的奇函数，则f (x )d x 等于多少？提示：若f (x )为偶函数，则f (x )d x ＝2f (x )d x ；若f (x )为奇函数，则f (x )d x＝0.说明下列定积分所表示的意义，并根据其意义求出定积分的值． (1)⎠⎛012d x ；(2)⎠⎛12x d x ； (3)1－x2d x .[解] (1)⎠⎛012d x 表示的是图①中阴影部分所示的长方形的面积，由于这个长方形的面积为2，所以⎠⎛012d x ＝2.① ② ③(2)⎠⎛12x d x 表示的是图②中阴影部分所示的梯形的面积，由于这个梯形的面积为32，所以⎠⎛12x d x ＝32. (3)1－x2d x 表示的是图③中阴影部分所示的半径为1的半圆的面积，其值为π2，所以1－x2d x ＝π2.母题探究：1.(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求⎠⎛011－x2d x .[解]⎠⎛011－x2d x 表示的是图④中阴影部分所示半径为1的圆的14的面积，其值为π4， ∴⎠⎛011－x2d x ＝π4.2．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求⎠⎛011－－d x .[解] ⎠⎛011－－d x 表示的是图⑤中阴影部分所示半径为1的14圆的面积，其值为π4，∴⎠⎛011－－d x ＝π4.3．(变条件)将例3(3)改为利用定积分的几何意义求 (x ＋1－x2)d x .[解] 由定积分的性质得，(x ＋1－x2)d x ＝ x d x ＋1－x2d x .∵y ＝x 是奇函数，∴x d x ＝0.由例3(3)知1－x2d x ＝π2.∴(x ＋1－x2)d x ＝π2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．把区间[1,3]n 等分，所得n 个小区间中每个小区间的长度为( ) A.1n B.2n C.3nD.12nB [区间长度为2，n 等分后每个小区间的长度都是2n ，故选B.]2．定积分⎠⎛ab f (x )d x 的大小( )A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关A [由定积分的定义可知A 正确．]3．由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________. 【导学号：31062083】[解析] ∵0＜x ＜π2， ∴sin x ＞0.∴y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π2，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin x d x .[答案] sin x d x4．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．[解析] ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.[答案] 555．计算： (2－5sin x )d x . 【导学号：31062084】[解] 由定积分的几何意义得，2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π2×2＝2π. 由定积分的几何意义得，sin x d x ＝0. 所以 (2－5sin x )d x＝2d x－5sin x d x＝2π.。
1.5定积分的概念(4课时)ppt课件
作业： P45练习：2 .
1.5.3 定积分的概念
问题提出 1.求曲边梯形的面积和求变速直线运
动的路程，都可以通过“四步曲”解决， 这四个步骤是什么？其中哪个步骤是难 点？
分割→近似代替→求和→取极限.
2.求曲边梯形的面积与求变速直线运 动的路程是两类不同的问题，但它们有 共同的解决途径，我们可以此为基点， 构建一个新的数学理论，使得这些问题 归结为某个数学问题来解决，并应用于 更多的研究领域.
x 3)dx
(2x x )dx . 1
0
y sin( .x
)3
0
1
(2x
x 3)dx
0
1
2xdx
0
1x 3dx 1 1 3
0
44
小结作业
1.定积分是一个特定形式和的极限，其 几何意义是曲边梯形的面积，定积分的 值由被积函数，积分上限和下限所确定.
2.在实际问题中，定积分可以表示面积、 体积、路程、功等等，求定积分的值目 前有定义法和几何法两种，有时利用定 积分的性质进行计算，能简化解题过程.
B组：2，3.
i)
，那么
当n→∞时，Sn的极限是否一定存在？
一定存在
思 做考 函数4：f(数x)学在上区，间把[a，nlimb]in上1 b的n定a f积( i )分，叫
记作
b
f (x)dx，即
a b
f (x)dx
a
lim
n
n i1
b
af( n
i)
其中a与b分别叫做积分下限与积分上限，
பைடு நூலகம்
区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫
2
(x 1)dx 的值.
1
定积分的概念
事实上, 许多问题都可以归结为 求这种特定形式 和的极限.一般地, 我们有 如果函数f x 在区间a, b上连续, 用分点 a x 0 x1 x i1 x i x n b 将区间a, b等分成n个小区间, 在每个小区间 xi1, xi 上任取一点ξI i 1,2, ,n, 作和式 n n ba f ξ i Δx n f ξ i ,当n 时, 上述和式无 i1 i1 当函数f x 在区间a,b上连续时 这里的定义与 ,
b a
y
A
y f1x
B
D
M
y f2 x
C
N b
o
a
x
图1.5 8
探究 : 根据定积分的几何意义, 你能用定积分表 示图1.5 8 中阴影部分的面积S吗 ?
容易发现 S f1x dx f2 x dx . ,
b b a a
注意：
当f ( x) 0时，曲边梯形位于 轴下方，此时， X
面积值为圆的面积的
1 4
y
所 以
1
0
1 x dx
2
4
1 x
小结:
1.定积分是一个特定形式和的极限，其 几何意义是曲边梯形的面积，定积分的 值由被积函数，积分上限和下限所确定. 2.在实际问题中，定积分可以表示面 积、体积、路程、功等等，求定积分的 值目前有定义法和几何法两种，有时利 用定积分的性质进行计算，能简化解题
1 4 n
i
i1
n
3
1 1 1 1 2 2 4 n n 1 1 . n 4 4 n
3 3 3
2
1 2 2 i 1 2 n 4 n n 1 . i 1
定积分的概念
小曲边梯形的曲边.这样，在区间 [n i 1上，n， i用]
nn
小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围
内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′=
f( n i 1 n i )x nn
n2
n i 1n i
1 n
n
i
n
1n
i
(i
1，2，，n).
(3)求和
小曲边梯形的面积和Sn=
n
Si
n
Si
i1
i1
n
i1
n
i
n
1
n
i
n
n
n
1
n
n
1n
2
n
n
n
1n
n
n( 1 1 1 1 1 1 )
n n 1 n 1 n 2
n n 1 n n
n( 1 1 ) 1 . n 2n 2
从而得到S的近似值S≈Sn=
1 2
.
(4)取极限
分别将区间[1，2]等分成8，16，20，…等份时，
【对点训练】 1.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi+1]上 的近似值等于 ( ) A.只能是左端点的函数值f(xi) B.只能是右端点的函数值f(xi+1)
C.可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈ [xi，xi+1]) D.以上答案均不正确 【解析】选C.由求曲边梯形面积的“近似代替”知， C正确.
【解题指南】利用曲边梯形面积的求法去判断.
【解析】由曲边梯形面积的求法知只有当n无穷大时 求出的矩形的面积和才是曲边梯形的面积，故结果与 小区间上的取值无关，只有④正确，对于③当n很大 时，并未点明有多大，应该是无穷大时Sn对应的极限 值. 答案:④
1.5.1曲边梯形的面积.ppt1
？
y = f(x) y
A1 Oa
A2 b
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
如 何 求 曲 边 梯 形 的 x面 积 ？
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
如 何 求 曲 边 梯 形 的 x面 积 ？
y yf (x)
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
bx
特别地，当 ab 时，有b a
f (x)dx0。
定积分的几何意义：
从几何上看，如果在区间[a,b]上函数连续且恒有（f x） 0；
那么定积分 b （f x)dx表示由直线x=a,x=b,y=0,和曲线y = f(x)所 a
？
—— 以直代曲,无限逼近
典型例题：
例1.求抛物线y=x2、直线x=0、直线 y
x=1和y=0所围成的曲边三角形的面积。
y x2
⑴分割
第i个小区间
把底边[0,1]分成n等份,
[0, 1],[1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1,1],
n nn n n n
然后在每个分点作底边的垂
,
xi
上取一点
i i 1,2,
,n
，作和式：Sn n
i 1
f
(i )x
n i 1
ba n
f (i )
如果 x 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn
高中数学(新课标)选修2课件1.5.1-2曲边梯形的面积
(3)求和
小曲边梯形的面积和
n
n
Sn＝ ΔSi＝
i＝1
i＝1
n n＋i－1n＋i
＝nn1－n＋1 1＋n＋1 1－n＋1 2＋…＋n＋1n－1－n＋1 n＝nn1－21n＝12. (4)取极限 当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，Sn 越来越趋向于 S，
从而有 linm→∞Sn＝12，所以由直线 x＝1，x＝2，y＝0 和曲线 y＝x12围成
＝－n13[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋n12[0＋1＋2＋…＋(n－1)] ＝－n13·16n(n－1)(2n－1)＋n12·nn2－1 ＝－－n62n＋2 1＝－16n12－1.
(4)取极限
当分割无限变细，即 Δx 趋向于 0 时，n 趋向于∞，此时
－16n12－1趋向于
S.从而有
S＝li m n→∞
跟踪训练 1 求由直线 x＝1，x＝2，y＝0 及曲线 y＝x12围成图 形的面积 S.
解析：(1)分割 在区间[1,2]上等间隔地插入 n－1 个点，将它分成 n 个小区间 为n＋ni－1，n＋n i(i＝1,2，…，n)，其长度为 Δx＝1n.分别过上述 n －1 个点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，它们的 面积记 ΔSi(i＝1,2，…，n)． (2)近似代替 在区间n＋ni－1，n＋n i上，当 n 趋向于无穷大，即 Δx 趋向于 0 时，我们用小矩形面积近似地代替 ΔSi，则有 ΔSi≈n＋i－n12n＋i·1n
状元随笔 曲边梯形面积的求解过程，其实可以用下面的表
述：
(1)将区间[a，b]分割，等分为 n 个小区间，每个小区间的长度 为 Δx＝b－n a；
(2)“近似代替”中每个小区间上函数 f(x)的值可任意取一点 ξi∈[xi －1，xi]，用 f(ξi)来代替，不影响极限的值．为了计算方便， 可以取区间的一些特殊点，如区间的端点或中点等；
全国通用版版高中数学第一章导数及其应用1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程学案新人
1．5.1 曲边梯形的面积 1．5.2 汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积思考1 如何计算下列两图形的面积？答案①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2 如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．梳理曲边梯形的概念及面积求法(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．知识点二 求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v (t )，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s .1．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( × ) 2．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2近似代替．( × )3．利用求和符号计算∑i ＝14i (i ＋1)＝40.( √ )类型一 求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积．⎣⎢⎡⎦⎥⎤参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲线梯形的面积问题 解 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n，…，x n －1＝2(n －1)n，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n .(2)近似代替、求和取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i ＝1ni 2＋2＝8n3(12＋22＋…＋n 2)＋2＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2.(3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤43⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143，即所求曲边梯形的面积为143.反思与感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2所围成的图形的面积． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 解 (1)分割将区间[0,1]等分为n 个小区间：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n ，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，其中i ＝1,2，…，n ，每个小区间的长度为 Δx ＝i n －i －1n ＝1n.过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n . (2)近似代替 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上，以i －1n 处的函数值⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 2为高，小区间的长度Δx ＝1n 为底边的小矩形的面积作为第i 个小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n.(3)求和∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 2·1n ＝0·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n 2·1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n 2·1n ＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n 2·1n ＝1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＝13－12n ＋16n 2. (4)取极限曲边梯形的面积S ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋16n 2＝13.类型二 求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝vt .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？ 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 将区间[1,2]等分成n 个小区间， 第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n. s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 1n ＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2 ＝1n ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧ 3n ＋1n2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋⎭⎬⎫1n[0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)]＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋in . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i n ·1n.s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i n 1n＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n. s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋(n ＋1)n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思与感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)． 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ，4n ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为：Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替：取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n2＋5·2n＝－4i 2n 2·2n＋10n(i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎪⎫－4i 2n 2·2n ＋10n＝－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10.(4)取极限：s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋10＝223.1．把区间[1,3] n 等分，所得n 个小区间的长度均为( ) A.1n B.2n C.3n D.12n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 区间[1,3]的长度为2，故n 等分后，每个小区间的长度均为2n.2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12 C ．1 D.32 考点 变速运动的路程问题 题点 变速运动的路程问题 答案 B4.∑i ＝1ni n＝________.考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示答案n ＋12解析∑i ＝1ni n ＝1n (1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 5．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，65，⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，75，⎣⎢⎡⎦⎥⎤75，85，⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，95，⎣⎢⎡⎦⎥⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤 (1)分割：n 等分区间[a ，b ]； (2)近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；(3)求和：∑i ＝1nf (ξi )·b －an； (4)取极限：s ＝lim n →∞∑i ＝1nf (ξi )·b －an. “近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)．一、选择题1．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1) 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求和符号的表示 答案 C解析∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) (f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S . ∴①正确，②③④错误．3．在求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i nB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i n，2(i ＋1)n考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n .4．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( ) A.2n ＋2i B.2n ＋2i －2C.2n (n ＋2i )D.1n ＋2i考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 A解析 每个小区间的长度为2n，第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n， ∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n＝2n ＋2i .5．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·2n B.lim n →∞ ∑n i ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n C.lim n →∞ ∑ni ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋i 2·1nD.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2·n 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n，∴和式为∑ni ＝1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2·2n .故选B.6．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( ) A.130 B.125 C.127D.19考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 D解析 将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为S ＝03×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝19. 7．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf(ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( ) A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关 B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关 C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关 D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关 考点 求曲边梯形的面积问题 题点 求曲边梯形的面积问题 答案 C解析 用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx .若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式、分点的个数和变量的取法都有关．8.lim n →∞∑ni ＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 的含义可以是( )A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 C解析 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n， 因此∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫15i n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值．9．若直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m 等于( )A ．1B ．3C ．2D ．4 考点 求曲边梯形的面积问题题点 由曲边梯形的面积求参数答案 C解析 将区间[0，m ]n 等分，每个区间长为m n ，区间左端点函数值y ＝2·mi n ＋1＝2mi ＋n n， 作和S n ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎪⎫2mi ＋n n ·m n＝m ＋m n ·2m n(1＋2＋3＋…＋n ) ＝m ＋2m 2n 2·n (n ＋1)2 ＝m ＋m 2(n ＋1)n， ∵S ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋m 2(n ＋1)n ＝6， ∴m ＝2.故选C.二、填空题10．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 45 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4 解析 在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤165，4. 11．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.12．当n 很大时，下列可以代替函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值有________个． ①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ；②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n ；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ；④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n －12n . 考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 3解析 因为当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i －1n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n，i n ，i n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n －12n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，故能代替的有②③④. 三、解答题13．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题解 将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n. 作和S n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫i 2n 3＋2i n 2 ＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2·n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2，∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2 ＝lim n →∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋32n ＋16n 2＝43. 四、探究与拓展14．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n ，则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为________．考点 求曲边梯形的面积问题题点 求曲边梯形的面积问题答案 43解析 由于y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n， 则y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面积为23. 而y ＝sin 3x 的周期为2π3， 所以y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为23×2＝43. 15．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？考点 变速运动的路程问题题点 变速运动的路程问题解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs ′i 近似地代替Δs i ，于是 Δs i ≈Δs ′i ＝v ⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n ·Δt ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫2i n 2＋2·2n＝24i 2n 3＋4n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和s n ＝∑i ＝1n Δs ′i ＝∑i ＝1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4.(4)取极限s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.。
1.5.1曲边梯形的面积1
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替 小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
分割越细，面积的近似值就越精确。当分 割无限变细时，这个近似值就无限逼近所 求曲边梯形的面积S。
表示了曲边梯形面积的近似值
演示
•在 [a, b]中任意插 入 n 1个分点． •得n个小区间： [xi1 , xi ] (i=1, 2 , · ·n)． ·, •区间[xi1 , xi ]的长 度xi xi xi1 ．
y = f(x) y f(xi)
f(x2) f(x1) f(xi)xi
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S 1 , S 2 , , S i , , S n .
（2） 以直代曲
Si f ( i 1 n ) x ( i 1 n )
2
1 n
n
（3）作和
S S1 S 2 S n
y = f(x) y f(xi)
f(x2) f(x1) f(xi)xi
O
a x 1 x1 x 2 x2
n
xi-1 xi xi ．
xn-1 b x
•曲边梯形的面积近似为：A
i 1
f (x i ) x i
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
i 1 i n 1 n [ 0 , ], [ , ], , [ , ], , [ , ], n n n n n n n 1 1 2
人教版高中数学选修2-2学案：第一章1.51.5.1-1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程
1．曲边梯形的面积汽车行驶的行程预习课本P38～ 44，思虑并达成以下问题(1)连续函数与曲边梯形的观点分别是什么？(2)曲边梯形的面积和汽车行驶行程的求解步骤是什么？[新知初探 ]1．连续函数假如函数y＝ f (x)在某个区间I 上的图象是一条连续不停的曲线，那么就把它称为区间I 上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线 x＝ a， x＝b( a≠b)， y＝ 0 和曲线 y＝ f (x)所围成的图形称为曲边梯形 (如图① )．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①切割：把区间[a，b]分红很多小区间，从而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似取代：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似取代小曲边梯形的面积，获得每个小曲边梯形面积的近似值(如图② )；③乞降：把以近似取代获得的每个小曲边梯形面积的近似值乞降；④取极限：当小曲边梯形的个数趋势无量时，各小曲边梯形的面积之和趋势一个定值，即为曲边梯形的面积．3．求变速直线运动的位移(行程 )假如物体作变速直线运动，速度函数为v＝ v(t)，那么也能够采纳切割、近似取代、求和、取极限的方法，求出它在 a ≤t ≤b 内所作的位移 s.[点睛 ] 当 n →＋ ∞ ，所得梯形的面 不是近似 ，而是真 ．[小 身手 ]1．判断 (正确的打 “√”， 的打 “×”)(1) 求汽 行 的行程 ，切割的区 表示汽 行 的行程． () (2) 当 n 很大 ，函数2i － 1 i上的 ，只好用i2近似取代． ()f(x)＝ x 在区 ， n nn4(3) m i ＝ i 2， m i ＝ 30.()i ＝1答案：(1) × (2) × (3) √2．将区 [1,3] 行 10 平分需插入 ________个分点，第三个区 是________．答案： 9 [1.4,1.6]3．做直 运 的物体的速度v ＝ 2t(m/s)， 物体在前 3 s 行家 的行程 ________ m.答案： 9求曲 梯形的面[典例 ] 求直 x ＝ 0，x ＝ 2，y ＝ 0 与曲 y ＝ x 2＋1 所 成的曲 梯形的面[参照公式12＋ 22＋⋯ ＋ n 2＝16n(n ＋ 1)(2n ＋ 1)]．[解 ] 令 f (x)＝ x 2＋ 1.(1) 切割：将区 [0,2]n 平分，分点挨次x 0＝ 0， x 1＝ 2， x 2＝ 4， ⋯ ， x n － 1＝n － ， x n ＝ 2.nn n第 i 个区 2i － 2 2in，n (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)，每个区 度x ＝2i －2i － 2＝ 2.nnn(2) 近似取代、乞降：取 ＝ 2iξi n (i ＝ 1,2， ⋯ ，n)，S n ＝ n f 2i ·Δx ＝ n 2i 2 2n n ＋ 1 ·i ＝ 1 i ＝ 1n8ni 28222＝ 3＋ 2＝3 (1 ＋ 2 ＋ ⋯ ＋ n )＋ 2 nni ＝ 18 n n ＋n ＋＋ 2＝ 4 3 ＋ 1＝ 3 ·＋ 2 ＋ 2. n 6 n n3＝ 4 3 1(3) 取极限： ＝S n 2＋ ＋ 2 ＋ 2S3 n n1414 ＝ 3，即所求曲 梯形的面 3.求曲 梯形面(1) 思想：以直代曲．(2) 步 ：切割 →近似取代 → 乞降 → 取极限． (3) 关 ：近似取代．(4) 果：切割越 ，面 越精准．[活学活用 ]求由直x ＝ 1， x ＝ 2， y ＝ 0 及曲 y ＝ x 3 所 成的 形的面 ．33312提示： 1 ＋2 ＋ ⋯ ＋ n ＝ 2nn ＋解： ①切割．n ＋ 1 n ＋ 2 n ＋ n －，把区 [1,2]平分如 所示，用分点n，n ， ⋯ ，n成 n 个小区1， n ＋1 ， n ＋ 1， n ＋ 2 ，nnn⋯ ，n ＋ i －1， n ＋ i ， ⋯ ，nnn ＋n － ， 2 ，每个小区 的 度x ＝ n ＋ i － n ＋ i － 1＝1 (i ＝ 1,2,3，⋯ ， n)．nnnn各分点作 x 的垂 ，把曲 梯形 ABCD 切割成 n 个小曲 梯形， 它 的面 分 作 S 1，S 2， ⋯ ， S n.②近似取代．31各小区 的左端点ξi ，取以点 ξi 的 坐 ξi 一 ， 以小区x ＝ n 其 的小矩形面 ， 近似取代小曲 梯形面 ．3第 i 个小曲 梯形面 ， 能够近似地表示 S i ≈ξi ·Δx＝n ＋ i － 1 3·1(i ＝ 1,2,3， ⋯ ，n)．n n③乞降．因 每一个小矩形的面 都能够作 相 的小曲 梯形面 的近似 ，所以n 个小矩形面 的和就是曲 梯形ABCD 面 S 的近似 ，nnn ＋ i －1 3 1即 S ＝S i ≈n · .i ＝1i ＝1n④取极限．当分点数量越多， 即x 越小 ，和式的 就越靠近曲 梯形ABCD 的面 S.所以 n →∞，即 x → 0 ，和式的极限，就是所求的曲 梯形ABCD 的面 ．nn ＋ i － 1 3 1因n·i ＝1n1 n(n ＋ i － 1) 3＝ 4n i ＝ 1＝ 14 n [(n － 1)3＋ 3(n － 1)2i ＋ 3(n － 1)i 2＋ i 3] n i ＝ 113－ 1)2nn ＋ － 1) n12 2＝ 4[n(n － 1) ＋ 3(n·＋ 3(n··(n ＋ 1)·(2n ＋ 1)＋ n (n ＋ 1)]，n26 4所以 S ＝nn ＋ i －1 3 1n·i ＝ 1n31 15＝ 1＋2＋1＋4＝ 4 .求 速运 的行程6[典例 ] 一 汽 作 速直 运 ， 汽 在t 的速度 v(t)＝ t 2 ，求汽 在 t ＝ 1到 t＝ 2 段 内运 的行程 s.[解 ] (1)切割：把区 [1,2]平分红 n 个小区n ＋ i － 1 ， n ＋ i (i ＝ 1,2，⋯ ，n)，每个区n n 的 度t ＝ 1，每个 段行 的行程s i (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)．nn故行程和 s n ＝ s i .i ＝ 1n ＋ i －1(2) 近似取代： ξi ＝n(i ＝ 1,2， ⋯ ， n)，＋ － 1n21 n i·Δt ＝ 6·s i ≈v·nn ＋ i － 1n＝6n2n ＋ i －≈n ＋ i －6nn ＋ i (i ＝ 1,2,3， ⋯ ， n)．(3) 乞降： s n ＝n6nn ＋ i －n ＋ ii ＝ 11 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ ⋯ ＋ 1 － 1 ＝ 6n n n ＋ ＋ ＋ － 2n1 n 1 n2 2n 11 1＝ 6n n－2n .(4) 取极限： s ＝ li n →∞m s n ＝ li n →∞m 6n 1－ 1＝3. n 2n求 速直 运 行程的方法求 速直 运 行程的 ，方法和步 似于求曲 梯形的面 ，用“以直代曲 ”“逼近 ”的思想求解．求解 程 ：切割、近似取代、乞降、取极限． 特 注意 速直 运的 区 ．[活学活用 ]已知一 点的运 速度 v(t)＝ 6t 2＋ 4( 位： m/s)，求 点开始运 后5 s 内通 的路程．解： (1)切割在 区[0,5] 上等 隔地插入n － 1 个点，将区 平分红n 个小区， 5，0 n5， 10，⋯，i － ，5i， ⋯ ，5n － 5， 5 ，n nnnn 此中，第 i(1≤i ≤n)个小区i －， 5i，nn其区 度5i － i － ＝ 5，nnn每个小 段内的行程s 1， s 2， ⋯ ， s n .(2) 近似取代依据 意可得第i(1 ≤i ≤n)个小 段内的行程i － 25i －220＋ .s i ＝ 6＋ 4 ·＝3n nnn(3) 乞降每个小 段内的行程之和ni －220S n ＝＋ 3i ＝1nn＝750[02＋ 12＋ 22＋ ⋯＋ (n － 1)2]＋ 203n750 1＝ 3 ·(n － 1)n(2n － 1)＋ 20 n 61252＝ n 2 (2n － 3n ＋ 1)＋ 20.(4) 取极限当 n →∞ ， S n 的极限 就是所求 点运 的行程，→∞ ＝n →∞ 1252＋20 ＝，＝ li 2n－ 3n ＋lim270sm Sn即 点运 的行程270 m.一 学 水平达51．和式(x i ＋ 1)可表示 ()i ＝1A ． (x 1＋ 1)＋ (x 5＋ 1)B ． x 1＋ x 2＋ x 3＋x 4＋ x 5＋ 1C ． x 1 ＋ x 2 ＋x 3＋ x 4＋ x 5＋ 5D ． (x 1＋ 1)(x 2＋ 1) ⋯(x 5＋ 1)5分析： C(x i ＋ 1)＝ (x 1＋ 1)＋ (x 2＋1)＋ (x 3＋ 1)＋ (x 4＋ 1)＋ (x 5＋ 1)＝ x 1＋ x 2＋ x 3＋ x 4i ＝1＋ x 5＋ 5.2．在求由 x ＝ a ，x ＝ b(a<b)，y ＝ f(x)( f(x) ≥ 0)及 y ＝ 0 成的曲 梯形的面S ，在区[a ， b]上等 隔地插入 n － 1 个分点，分 些分点作 x 的垂 ，把曲 梯形分红n个小曲 梯形，以下 法中正确的个数是()① n 个小曲 梯形的面 和等于 S ；② n 个小曲 梯形的面 和小于 S ；③ n 个小曲 梯形的面 和大于 S ；④ n 个小曲 梯形的面 和与 S 之 的大小关系没法确立A ．1个B ．2 个C ．3个D ．4 个分析：An 个小曲 梯形是所 曲 梯形等距离切割获得的，所以其面 和S.∴①正确，②③④ ，故A.3．在 “近似取代 ”中，函数 f( x)在区 [x i ， x i ＋ 1] 上的近似 等于 () A ．只好是左端点的函数 f(x i )B ．只好是右端点的函数 f(x i ＋1 )C ．能够是 区 内任一点的函数 ∈ [x ， x ＋1])f(ξi )( ξi i iD ．以上答案均不正确分析：选C 由求曲边梯形面积的 “近似取代 ”知， C 正确，故应选 C.4．在求由函数 1与直线 x ＝ 1，x ＝ 2，y ＝ 0 所围成的平面图形的面积时，把区间 [1,2]y ＝ x平分红 n 个小区间，则第 i 个小区间为 ()A. i － 1， iB. n ＋ i － 1， n ＋ in nn nC ． [i － 1， i]i ，i ＋ 1D. nn分析：选B把区间 [1,2]平分红 n 个小区间后，每个小区间的长度为1，且第 i 个小区n间的左端点不小于1，清除 A 、D ； C 明显错误；应选 B.5．函数 f(x)＝ x 2在区间 i － 1 ， i 上 ( )n nA ． f(x)的值变化很小B ． f(x)的值变化很大C ． f(x)的值不变化D ．当 n 很大时， f(x)的值变化很小分析：选D当 n 很大时，区间i － 1， i 的长度 1 愈来愈小， f(x)的值变化很小，应选n n nD.6.求由抛物线 f(x)＝ x 2，直线 x ＝ 0， x ＝ 1 以及 x 轴所围成的平面图形的面积时，若将区间[0,1] 5 平分，如下图，以小区间中点的纵坐标为高，则全部矩形的面积之和为__________ ．分析： S ＝15×1 2 3 2527292＝ 0.33. 10 ＋ 10 ＋ 10 ＋ 10 ＋ 10答案： 0.337．由直线 x ＝ 0，x ＝ 1，y ＝ 0 和曲线 y ＝ x 2＋ 2x 围成的图形的面积为 ________________．分析：将区间 [0,1]n 平分，每个区间长度为1，区间右端点函数值 y ＝i 2i i 2 2in ＋ 2·＝2nnn ＋ n .作 和 S n ＝ ni22i 1＝ ni22i＝ 1 n2 2n1 11) ＋22＋n n3＋n 23i ＋2i ＝3 × n(n ＋ 1)(2n ＋2i ＝1n i ＝1nn i ＝ 1ni ＝1n 6nn n ＋ ＝n ＋n ＋n ＋1＝8n 2 ＋ 9n ＋ 1×26n 2 ＋ n 6n 2 ，∴所求面积 S ＝8n 2 ＋ 9n ＋ 1 4 3 1 46n 2＝ 3＋ 2n ＋6n 2 ＝ 3.答案：438．汽 以 v ＝ (3t ＋ 2)m/s 做 速直 运 ，在第 1 s 到第 2 s 的行程是 ________．分析： 将 [1,2]n 平分，并取每个小区 的左端点的速度近似取代，t ＝ 1，nv(ξi )＝ v ＋ i － 1 ＝ 3 1 ＋ i － 1 ＋ 2＝ 3 (i － 1) ＋ 5.1 n n nn31所以 s n ＝i － 1n＋ 5 ·i ＝ 1n＝3 [0＋1＋2＋⋯ ＋n － 1 ]＋ 5n 1n ·n 3 n n －1 3 1 ＝ n2· 2＋ 5＝ 2 1－ n ＋ 5，所以 s ＝ s n ＝3＋ 5＝ 6.5 (m) ．2 答案： 6.5 m9. 求由抛物 y ＝ x 2 与直 y ＝ 4 所 成的 形的面 ．解：如 ，∵ y ＝ x 2 偶函数， 象对于 y称，∴所求 形的面y ＝ x 2(x ≥0)与直x ＝ 0， y ＝ 4 所 成的 形面S 暗影的 2 倍，下边求 S 暗影．y ＝ x 2，由 y ＝ 4， 得交点 (2,4) ．x ≥0，先求由直x ＝ 0， x ＝ 2， y ＝ 0 和曲 y ＝ x 2 成的 形的面 ．(1) 切割将区 [0,2]n 平分，x ＝2，取 ξ＝i － (i ＝ 1,2， ⋯ ， n)．nin(2) 近似取代、乞降ni －22S n ＝n·i ＝ 1n822222 ＝ 3[0＋ 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ ⋯ ＋ (n － 1)]n＝81 13 1－ n 1－ 2n (3) 取极限8 1 1 8S ＝31－n 1－ 2n ＝ 3.∴ S 暗影＝ 2×4－ 8 16 323＝3 .∴2S暗影＝ 3 .即抛物 y ＝ x 2 与直 y ＝ 4 所 成的 形的面323.10．汽 做 速直 运 ，在 刻 t 的速度 ( 位：km/h)v(t)＝ t 2＋ 2，那么它在 1≤t ≤2(位： h) 段 行 的行程 多少？解： 将区 [1,2] 平分红 n 个小区 ，第i 个小区1＋ i － 1， 1＋ i (i ＝ 1,2， ⋯， n)．n n 第 i 个 区 的行程的近似1＝ v 1＋ i － 1 1Δξ≈Δξ′＝v(t)nnn＝ 3＋i －i － 2＋，n 2n 3nnn3＋ i －i －2于是 s n ＝Δξi ′＝＋n 2n 3i ＝1i ＝1n3 2·[0＋ 1＋ 2＋ ⋯ ＋ (n － 1)]＋122 22＝ n ·＋2 n3 [0 ＋1 ＋ 2 ＋ ⋯ ＋ (n － 1)]nn2· n － n＋ 1 n －nn －＝3＋ 223·6nn＝ 3＋ 1－ 1n ＋ 13 1－ 1n 1－ 2n 1.11 1 1 13所以 s ＝s n ＝3＋ 1－n ＋ 3 1－n 1－ 2n ＝ 3.13故 段 行 的行程3km.二能力达1． 函数 f(x)在区 [a ，b]上 ， 用分点 a ＝ x 0＜ x 1＜ ⋯ ＜ x i － 1＜ x i ＜ ⋯ ＜ x n ＝ b ，把区[a ， b]平分红 n 个小区 ，在每个小区 [x i － 1， x i ]上任取一点 ξi (i ＝1,2， ⋯ ， n)，作和式nS n ＝f(ξi ) x(此中 x 小区 的 度 )，那么 S n 的大小 ()i ＝ 1A ．与 f(x)和区 [a ， b]相关，与分点的个数 n 和 ξi 的取法没关B ．与 f(x)和区 [a ，b]的分点的个数 n 相关，与 ξi 的取法没关C ．与 f(x)和区 [a ， b]的分点的个数n ， ξi 的取法都相关D ．与 f(x)和区 [a ， b]的 ξi 的取法相关，与分点的个数 n 没关分析：C用分点 a ＝ x 0＜ x 1＜ ⋯＜ x i － 1＜ x i ＜ ⋯ ＜x n ＝ b 把区 [a ， b]平分红 n 个小区 ，在每个小区[x i －1， x i ]上任取一点 ξi (i ＝ 1,2， ⋯， n)，作和式 S n ＝nf (ξi ) ·Δx.若 和i ＝1式求极限， 能够获得函数 y ＝ f(x)的 象与直 x ＝ a ，x ＝ b ，y ＝ 0 成的地区的面 ，在求极限以前，和式的大小与函数式、分点的个数和 量的取法都相关．2． 于由直 x ＝ 1，y ＝0 和曲 y ＝ x 3 所 成的曲 三角形，把区3 平分， 曲三角形面 的近似(取每个区 的左端点)是 ( )11 A. 9B.251 1C. 27D.30分析： A将区 [0,1]三平分 0， 1 ，1，2，2， 1 ，各小矩形的面 和s 1＝33 333 1 1 3 12 3 1 10 ·＋3·＋3·＝ .333 9n15i 5 的含 能够是 ()3． li n →∞ mi ＝1n ·nA ．求由直 x ＝ 1， x ＝ 5， y ＝ 0， y ＝ 3x 成的 形的面B ．求由直 x ＝ 0， x ＝ 1， y ＝0， y ＝ 15x 成的 形的面C ．求由直 x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0， y ＝ 3x 成的 形的面D ．求由直5成的 形的面x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0 及曲 y ＝ x分析：C将区 [0,5]n 平分， 每一区 的 度5，各区 右端点 函数n15i y ＝ n ，所以 的近似 ．ni ＝115i 5n ·n能够表示由直x ＝ 0， x ＝ 5， y ＝ 0 和 y ＝ 3x 成的 形的面4．若做 速直 运 的物体 v(t)＝ t 2，在 0≤t ≤a 内 的行程9， a 的 ()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4分析：C 将区 [0， a]分 等 的 n 个小区 ，第i － 1iai 个区(i ＝n a ，naia 2n，s n＝i ＝ 11,2，⋯ ，n)，取每个小区 的右端点的速度近似取代，t ＝n ，所以 v(t i )＝ nia 2 a 33a 22 a n n ＋n·＝ 3 (1＋ 2＋ ⋯＋ n ) ＝n na311 a 361＋n 2＋ n ＝ 3 ＝ 9，得 a ＝ 3.故n ＋3 1 16n 3 ＝a1＋ 2＋ ，于是 s ＝ s n ＝6 n nC.5．已知某物体运 的速度 v ＝ t ，t ∈ [0,10]，若把区10 平分，取每个小区 右端点的函数 近似小矩形的高， 物体运 的行程近似________．分析： ∵把区 [0,10]10 平分后，每个小区 右端点 的函数n(n ＝ 1,2.⋯ ， 10)，每个小区 的 度1.∴物体运 的行程近似S ＝ 1×(1＋ 2＋ ⋯ ＋ 10)＝ 55.答案： 556.如 ，曲C ： y ＝ 2x (0 ≤x ≤ 2)两头分M ， N ，且 NA ⊥ x于点 A ，把 段 OA 分红 n 等份，以每一段 作矩形，使其与x平行的 的一个端点在曲C 上，另一端点在曲C 的下方，n个矩形的面 之和S n ，[(2n － 3)(n4－ 1)S n ]＝ __________.分析： 依 意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首1，公比 22， S n ＝ 2n n1－ 22n－ 32 ＋ 2 4＋ ⋯ ＋ 22n － 22n ＝ 2n →∞n＋ ＝ · · 所以 －－n ＝(12nnn)n2n1－n.lim [(2n3)( 41)S ]1－ 2n4n －n 4－2－ 3n ·＝ 12.1－ n4答案： 127．汽 行 的速度 v ＝ t 2，求汽 在 0≤t ≤1 段 行家 的行程s.解： (1)切割将区 [0,1]平分 n 个小区0，1， 1， 2 ， ⋯ ，i － 1， i， ⋯ ，n － 1， 1 ，n n nnnn每个小区 的 度t ＝i－ i － 1＝ 1.nnn(2) 近似取代－ 1 i i － 1－1－i的速度 v ii 1在区 n ， n (i ＝ 1,2，⋯ ，n)上，汽 近似地看作以 刻n n ＝n2 作匀速行 ，i － 1 2 1在此区 上汽 行 的行程·.nn(3) 乞降在全部小区 上，汽 行 的行程和s n ＝ 0 2 1＋12 12 2 1 ＋ ⋯ ＋ n － 1 2 1 ＝ 1 [12 2 ＋ ⋯ ＋ (n － 1) 2] ＝ 1 ×n × ＋ n × n × n 3 ＋ 2 3nnn nn n －nn －＝111－ 1×631－n 2n.(4) 取极限s ＝s n ＝11 1 1汽 行 的行程3 1－ n 1－ 2n ＝ 3.8． 簧在拉伸的 程中，力与伸 量成正比，即力F (x)＝ kx(k 常数， x 是伸 量 )，求将 簧从均衡地点拉b 所做的功．解： 将物体用常力 F 沿力的方向拖 距离x ， 所做的功 W ＝ F ·x.(1) 切割在区 [0， b]上等 隔地插入n － 1 个点，将区 [0， b]平分红 n 个小区 ：bb 2bn －b 0， n ， n ， n ⋯ ， n， b 第 i 个区i －b·n ，i b＝ 1,2， ⋯ ， n)，n (i 其 度·i －bx ＝i b－＝ b.n n n把在分段 0， b ， b ， 2b，⋯ ，n －b， b 上所做的功分 作：W 1， W 2，⋯ ，n n nnW n .(2) 近似取代取各小区 的左端点函数 作 小矩形的高，由条件知：W ≈i －b ·Δi Fxni －b b＝ k ·n·(i ＝ 1,2， ⋯， n)．n(3) 乞降nni － b bW n ＝W i ≈ k ·n ·i ＝1i ＝1nkb 2＝ n 2 [0＋ 1＋ 2＋⋯ ＋ (n － 1)]kb 2 n n －kb 2 1＝n 2 ×2＝2 1－n .W 的近似 W ≈W n ＝ kb21从而获得 2 1－n .(4) 取极限n22 kb1kbW＝W n＝i＝ 1W i＝21－n＝ 2.所以将弹簧从均衡地点拉长 b 所做的功为kb22.。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.5 1.5.1 曲边梯形的面积
栏 目 链 接
值的变化逐渐缩小，当 n 很大时，f(x)的值变化很小． 答案：D
自 测 自 评
i－1 i 2． 当 n 很大时， 函数 f(x)＝x 在区间 ，n上的值可 n
2
以用下列哪个值近似代替(
1 A ．f n 2 B．f n
)
i C．f n
2 y ＝ x ，x≥0， 由 得交点为(2,4)， y＝4， 2
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
如图所示，先求由直线 x＝2，y＝0 和曲线 y＝x2 围成的曲边梯形的面积．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
2 (1)分割：将区间[0,2]n 等分，则 Δx＝n， 取小矩形的
2i－1 . 高为 f n
栏 目 链 接
nn＋1
2
；1 ＋2 ＋3 ＋„＋n ＝
2
2
2
2
nn 训 练
2． 求由抛物线 y＝x2 与直线 y＝4 所围成的曲边梯形的面积．
解析：因为 y＝x2 为偶函数，图象关于 y 轴对称， 所以所求曲边梯形的面积应为抛物线 y＝x (x≥0)与 直线 x＝0，y＝4 所围图形面积 S 的 2 倍，下面求阴 影部分的面积 S.
栏 目 链 接
自 测 自 评
i－1 i 1．函数 f(x)＝x 在区间 ，n上( n
2
)
A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当 n 很大时，f(x)的值变化很小
i－1 i 解析：函数 f(x)＝x 在区间 ，n上，随着 n 的增大，f(x)的 n
第一章
导数及其应用
1．5 定积分的概念 1．5.1 曲边梯形的面积
2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：1.5.1曲边梯形的面积 Word版含解析
1．5.1曲边梯形的面积填一填1.连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．温馨提示连续函数是指在某区间上，而不是指在定义域上．如y＝1x在定义域上不是连续函数，但在区间[1,2]上是连续函数．2．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．判一判1.2．利用求和符号计算∑n＝14n(n＋1)＝40.(√)3．曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面图形．(√)4．求曲边梯形的面积时，将其分割为n个小的曲边梯形，这些小曲边梯形的面积和等于原曲边梯形的面积．(√)5．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，(x≤0)－x2，(x>0)不是连续函数．(×)6．函数f(x)＝1x(x>0)是连续函数．(√)7．求曲边梯形的面积时，分割的小曲边梯形越小，越容易求曲边梯形的准确面积．(×)8．在“近似代替”中函数f (x )在区间[x i ，x i 1]上的近似值只能用端点值代替．(×)想一想1.求曲边梯形的基本步骤是：分割、近似代替、求和、取极值四步． 2．在“近似代替”中如何取值？在“近似代替”中，在每一个小区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上通常取一个端点值代入计算，这样做是为了计算简便．3．当f (ξi )的值为负数时，还能求小矩形的面积吗？ 可以，取|f (ξi )|为一边构造小矩形即可． 4．求和时常用到的求和公式有哪些？ 求和时常用到的求和公式有：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22. 感悟体会练一练1.把区间[－1,2]n A.1n B.2n C.3n D.4n解析：把区间[－1,2]n 等分，每个小区间的长度均为2－(－1)n ＝3n，故选C.答案：C2．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边三角形，把区间等分为3等份，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )A.19B.125C.127D.130解析：将区间[0,1]三等分为⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1，则这三个矩形的面积S ＝03×13＋⎝⎛⎭⎫133×13＋⎝⎛⎭⎫233×13＝19，故选A. 答案：A3．直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )(f (x )>0)所围成的曲边梯形的面积S ＝( )A.∑i ＝1nf (ξi )·1n B ．li mn →∞∑i ＝1n f (ξi )·1nC.∑i ＝1nf (ξi )·b －an D ．li m n →∞∑i ＝1n b －a n ·f (ξi )解析：将区间[a ，b ]等分成n 份，每份区间的长度为b －a n ，∴S n ＝∑i ＝1n f (ξi )b －an，∴曲边梯形的面积S ＝li m n →∞S n ＝li m n →∞∑i ＝1n b －an·f (ξi )．答案：D4．在求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是________．解析：将区间[0,2]n 等分后，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n .答案：⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i n知识点一 连续函数的概念1.A ．y ＝12x B ．y ＝1ln xC ．y ＝1x 2D ．y ＝1x ＋1解析：函数y ＝12x 的定义域为R ，在整个定义域上单调递减且连续不断，故选A.答案：A2．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝|x |C ．y ＝xD ．y ＝1x解析：函数y ＝1x 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，∴其图象在x ＝0处断开，不是连续不断的曲线，故选D.答案：D知识点二曲边梯形的面积3.li m n →∞∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ⎝⎛⎭⎫5n 的含义可以是( ) A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积解析：将区间等分成n 份，且每一份区间的长度为5n，各区间的右端点的对应的函数值为y ＝15i n ＝3×5i n，∴li m n →∞∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ⎝⎛⎭⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积，故选C.答案：C4．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线f (x )＝x 2＋2x 所围成的图形的面积S . 解析：(1)分割：在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将它等分为n 个小区间：⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，3n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，1，记第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .分别过上述n －1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形(如图)，它们的面积记作：ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS n ，则小曲边梯形面积的和为S ＝∑i ＝1nΔS i .(2)近似代替：记f (x )＝x 2＋2x .当n 很大，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，可以认为f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点in处的函数值f ⎝⎛⎭⎫i n .从图形上看就是用平行于x 轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，用小矩形的面积ΔS ′i 近似地代替ΔS i ，则有ΔS i ≈ΔS ′i ＝f ⎝⎛⎭⎫i n ·Δx ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·i n . (3)求和：小曲边梯形的面积和S n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nΔS ′i＝∑i ＝1n 1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i n 2－2·i n ＝1n ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n 2＋22n 2＋…＋n 2n 2＋2⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n n ＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n＝16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋1n . (4)取极限：分别将区间[0,1]等分成8,16,20，…等份，可以看到，当n 趋向于无穷大，即Δx 趋向于0时，S n 越来越趋向于S ，从而有S ＝li m n →∞ S n＝li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤16⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝43.即由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0及曲线f (x )＝x 2＋2x 所围成的图形的面积等于43.知识点三 “近似代替”思想的应用5.i i ＋1A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确解析：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，选项C 正确． 答案：C6．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( )A.2n ＋2iB.2n ＋2i －2C.2n (n ＋2i )D.1n ＋2i解析：将区间[1,3]n 等分，每个小区间的长为3－1n ＝2n ，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2(i －1)n ，1＋2i n ， ∴第i 小曲边梯形的面积ΔS i ≈11＋2i n·2n ＝2n ＋2i ，故选A.答案：A基础达标一、选择题1．以下不是求曲边梯形面积的步骤的是( ) A ．分割 B ．近似代替 C ．求和 D ．求导解析：求曲边梯形面积的步骤是：分割，近似代替，求和，取极限，没有求导，故选D. 答案：D2．当n 很大时，不可以代替函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫i n C ．f ⎝⎛⎭⎫i －1n D ．f ⎝⎛⎭⎫i n －12n 解析：因为当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的任意的取值的函数值都可以代替，又1n ∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，所以f ⎝⎛⎭⎫1n 不可以代替函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，故选A. 答案：A3．函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 解析：当n 很大时，即Δx 很小时，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上，可以认为f (x )＝x 2的值的变化很小，近似地等于一个常数，故选D.答案：D 4.在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x )(f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：根据求曲边梯形面积的定义，化曲为直，运用极限的方法，求得这n 个小曲边梯形的面积为S ，∴①正确，②③④错误，故选A.答案：A5．在等分区间的情况下，曲线f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,1])与x 轴所围成的曲边梯形的面积和式的极限形式正确的是( )A ．li m n →∞∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·2nB ．li m n →∞∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1nC ．li m n →∞∑i ＝1n ⎣⎡⎦⎤11＋i 2·1nD ．li m n →∞∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·n解析：将区间[0,1]n 等分，每份区间的长度为1n ，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，取右端对应的函数值为曲线f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 的值，则ΔS i＝f ⎝⎛⎭⎫i n ·1n ＝11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n ， ∴所求曲边梯形的面积和S ＝li m n →∞∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·1n ，故选B.答案：B6．设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )Δx (其中Δx 为小区间的长度)，那么S n 的大小( )A ．与f (x )和区间[a ，b ]有关，与分点的个数n 和ξi 的取法无关B ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n 有关，与ξi 的取法无关C ．与f (x )和区间[a ，b ]的分点的个数n ，ξi 的取法都有关D ．与f (x )和区间[a ，b ]的ξi 的取法有关，与分点的个数n 无关解析：用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，把区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx ，若对和式求极限，则可以得到函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成的区域的面积，在求极限之前，和式的大小与函数式，分点的个数和变量的取法都有关，故选C.答案：C7．若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象在x 轴上方，且图象从左到右上升，则求由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )及x 轴围成的平面图形的面积S 时，将区间[a ，b ]n 等分，用每个小区间的左端点的函数值计算出面积为S 1，用每个小区间的右端点的函数值计算出面积为S 2，则有( )A ．S 1<S <S 2B ．S 1≤S <S 2C ．S 1≤S 2≤SD ．S 1≤S ≤S 2解析：由题意知，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋(i －1)(b －a )n ，a ＋i (b －a )n 上， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋(i －1)(b －a )n <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋i (b －a )n ，所以S 1＝∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋(i －1)(b －a )n ·(b －a )n <∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋i (b －a )n ·b －an ＝S 2，则S 1<S <S 2. 答案：A二、填空题8．若∑i ＝15x i ＝1，则∑i ＝15(2x i ＋1)＝________.解析：∑i ＝15(2x i ＋1)＝(2x 1＋1)＋(2x 2＋1)＋…＋(2x 5＋1)＝2(x 1＋x 2＋…＋x 5)＋5＝2∑i ＝15x i ＋5＝2×1＋5＝7.答案：79．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．解析：在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]分成10等份，每个小区间的长度为8－010＝45，第5个小区间为⎣⎡⎦⎤45(5－1)，45×5即⎣⎡⎦⎤165，4. 答案：45 ⎣⎡⎦⎤165，4 10．直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2围成曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为________、________.解析：将区间[0,2]5等分，得到的5个区间分别为[0,0.4]，[0.4,0.8]，[0.8,1.2]，[1.2,1.6]，[1.6,2]．按照区间的左端点估计曲边梯形的面积S 1＝(02＋0.42＋0.82＋1.22＋1.62]×0.4＝1.92，按照区间的右端点估计曲边梯形的面积S 2＝(0.42＋0.82＋1.22＋1.62＋22)×0.4＝3.52.答案：1.92 3.5211．在求曲边梯形的面积时，下列说法正确的有________．(填序号) ①在对已知区间分割时，必须等分 ②在对已知区间分割时，不一定等分③在近似代替时，必须用第i 个区间的左端点的函数值作为矩形的一边长 ④在近似代替时，可用第i 个区间内的任一点的函数值作为矩形的一边长．解析：分割时不一定要等分，等分只是为了求和方便；在近似代替时，也不一定用区间的左端点，通常选择左端点、右端点或中点只是为了便于计算，故正确的序号有②④.答案：②④12．如图所示，曲线C ：y ＝2x (0≤x ≤2)两端分别为M ，N ，且NA ⊥x 轴于点A ，把线段OA 分成n 等份，以每一段为边作矩形，使其与x 轴平行的边的一个端点在曲线C 上，另一端点在曲线C 的下方，设这n 个矩形的面积之和为S n ，则li m n →∞[(2n －3)(n4－1)S n ]＝________.解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为22n ，则S n ＝2n⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22n ＋24n ＋…＋22n －2n ＝2n ·1－22n n 1－22n＝2n ·－31－n 4.所以li m n →∞[(2n －3)(n 4－1)S n ]＝li m n →∞ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(2n －3)(n4－1)2n ·－31－n 4＝12.答案：12三、解答题13．利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．解析：f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i＝1n ，在[x i －1，x i ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n 上取ξ i ＝x i －1＝1＋i －1n (i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i－1)＝1＋1＋i－1n＝2＋i－1n，从而S n＝∑i＝1nf(ξi)Δx i＝∑i＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2＋i－1n·1n＝∑i＝1n⎝⎛⎭⎪⎫2n＋i－1n2＝2n·n＋1n2[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋1n2·n(n－1)2＝2＋n－12n＝52－12n.则S＝li mn→∞Sn＝li mn→∞⎝⎛⎭⎫52－12n＝52.如下进行验证：如图所示，由梯形的面积公式得：S＝12×(2＋3)×1＝52.14．求直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．解析：(1)分割：把区间[0,2]等分成n个小区间，第i个小区间的长度为2n，过各分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形．(2)近似代替：当n很大时，区间长度很小，小曲边梯形近似于小矩形，第i个小矩形的高度用f⎝⎛⎭⎫2in代替(i＝1,2，…，n)．(3)求和：各矩形面积之和S n＝∑i＝1nf⎝⎛⎭⎫2inΔx＝∑i＝1n⎝⎛⎭⎫2in22n＝8n3(12＋22＋…＋n2)＝8n(n＋1)(2n＋1)6n3＝83⎝⎛⎭⎫1＋1n⎝⎛⎭⎫1＋12n.(4)取极限：当n趋向于＋∞时，S n趋向于83，所以曲边梯形的面积S＝83.能力提升15.如图所示，求直线x＝x2＋2x＋3所围成的曲边梯形的面积．解析：(1)如图，分割，将区间[0,3]等分成n等份，则每个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3(i－1)n，3in(i＝1,2，…，n )的长度为Δx ＝3n.分别过各分点作x 轴的垂线，把原曲边梯形分成n 个小曲边梯形．(2)近似代替，以每个小区间的左端点函数值为高作n 个小矩形．则当n 很大时，用n 个小矩形面积之和S n 近似代替曲边梯形的面积S .(3)求和，S n ＝∑i ＝1nf ⎝⎛⎭⎪⎫3(i －1)n Δx ＝∑i ＝1n⎣⎢⎡⎦⎥⎤－9(i －1)2n 2＋2×3(i －1)n ＋3×3n ＝－27n 3[12＋22＋…＋(n －1)2]＋18n 2[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋9＝－27n 3×16(n －1)n (2n －1)＋18n 2×n (n －1)2＋9＝－9⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＋9⎝⎛⎭⎫1－1n ＋9. (4)取极限，S ＝li m n →∞S n＝li m n →∞ ⎣⎡⎦⎤－9⎝⎛⎭⎫1－1n ⎝⎛⎭⎫1－12n ＋9⎝⎛⎭⎫1－1n ＋9 ＝－9(1－0)(1－0)＋9(1－0)＋9＝9.即所求曲边梯形面积为9.16．求曲线f (x )＝x 3＋1与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积．解析：①分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n ，过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记为ΔS 1，ΔS 2，…，ΔS i ，…，ΔS n .②近似代替：对区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的小曲边梯形，以区间左端点i －1n 对应的函数值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋1为一边的长，以Δx ＝1n 为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋11n .③求和：S n ＝ΔS 1＋ΔS 2＋…＋ΔS n ＝∑i ＝1n ΔS i ≈∑i ＝1n f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋11n ＝1n 4[03＋13＋23＋…＋(n －1)3]＋1＝1n 4·(n －1)2·n 24＋1＝n 2－2n ＋14n 2＋1.④取极限：当n →∞时，S n 趋近于54，即S ＝li m n →∞ S n ＝54.所以曲边梯形的面积是54.。
定积分的概念(1.5.1-1.5.3)
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-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所 失弥少，割之又割， 以至于不可割，则 与圆周合体而无所 失矣…” ——刘徽
以“直”代“曲” 无限逼近
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线
y x2 所围成的平面图形的面积 S？ y
当分割点无限增多时，小矩形的面积和=曲边梯形的面积
• 通过动画演示我们可以看出，n越大，区间分的越细， 各个结果就越接近真实值。为此，我们让n无限变大， 这就是一个求极限的过程。
y
f ( i ) ( i )2 nn
f (i 1) (i 1)2
n
n
O
y=x2
f ( i ) ( i )2 nn
i 1 i nn
2
1 n
i
1 n
2
1 n
2 n
(i 1, 2,
,n) ①
（3）求和 由①得，
Sn
n
Si
i 1
n i 1
v
i
n
1
t
n i 1
i
1 n
2
1 n
2 n
=
0
1 n
1 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
2
温馨提示： 12 +22 +32 + +n 2
=
1 n3
12
O 1 2 i 1 i n 11 x
n n nn n
案例探究
2、近似代替(以直代曲）思考3：对每个小曲边梯形
y
如何“以直代曲”？
梯形的面积计算
梯形的面积计算梯形作为一种常见的几何形状，其面积计算是我们在数学学习中经常遇到的问题。
在本文中，我将介绍如何计算梯形的面积，并提供详细的步骤和公式。
一、面积计算公式要计算梯形的面积，我们可以使用以下公式：面积 = [(上底 + 下底) ×高] ÷ 2其中，上底和下底分别代表梯形的上边和下边的长度，高表示梯形两边之间的垂直距离。
二、计算步骤下面，我将按照以下步骤来计算梯形的面积：1. 确定阿拉伯数字表示的上底、下底和高的数值。
2. 将上底和下底的数值代入公式中的相应位置。
3. 计算上底和下底之和，并将其乘以高。
4. 将步骤3中得到的结果除以2，即可得到梯形的面积。
示例：假设一个梯形的上底为5cm，下底为8cm，高为4cm。
按照上述步骤计算该梯形的面积：面积 = [(5 + 8) × 4] ÷ 2= (13 × 4) ÷ 2= 52 ÷ 2= 26因此，该梯形的面积为26平方厘米。
三、注意事项在进行梯形面积计算时，需要注意以下几点：1. 单位一致：请确保上底、下底和高的数值具有相同的单位，如厘米、米等。
2. 数据准确：在代入公式计算之前，请检查所使用的上底、下底和高的数值是否准确无误。
3. 公式运用：请按照上述给出的公式，依次完成每一步的计算，以确保结果的准确性。
四、实际应用梯形的面积计算在实际生活和工作中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，工人们需要计算梯形形状的屋顶面积，以便购买足够的建筑材料。
此外，对于地理学习者来说，计算地理地貌中的梯形面积也是必要的。
总结：通过本文的介绍，我们学习了如何计算梯形的面积，并提供了详细的步骤和公式。
梯形面积计算是数学学习中的重要内容，也是实际生活和工作中经常遇到的问题。
通过掌握这一知识，我们可以更好地应用于实际情况，并提升我们在数学领域的能力。
注意：以上文章以梯形的面积计算为题目进行了论述，提供了公式和计算步骤。
定积分
1.5.1曲边梯形的面积教学过程： 1．创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？这就是定积分要解决的问题。
定积分在科学研究和实际生活中都有非常广泛的应用。
本节我们将学习定积分的基本概念以及定积分的简单应用，初步体会定积分的思想及其应用价值。
一个概念：如果函数()y f x =在某一区间I 上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数()y f x =称为区间I 上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） 2．新课讲授问题：如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？例1：求图中阴影部分是由抛物线2y x =，直线1=x 以及x 轴所围成的平面图形的面积S 。
分析：曲边梯形与“直边图形”的主要区别：曲边梯形有一边是曲线段，“直边图形”的所有边都是直线段．“以直代曲”的思想的应用．0.1把区间[]0,1分成许多个小区间，进而把区边梯形拆为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代取”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．分割越细，面积的近似值就越精确。
当分割无限变细时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S ．也即：用划归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积． 解：（1）．分割 在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，1,1n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，其长度为11i i x n n n-∆=-=分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆显然，1nii S S ==∆∑（2）近似代替记()2f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，可以认为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值1i f n -⎛⎫⎪⎝⎭，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代取”，则有211i i i i S S f x x n n --⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 211(1,2,,)i i n n n-⎛⎫== ⎪⎝⎭ ①（3）求和由①，上图中阴影部分的面积n S 为2111111nnnn i i i i i i S S f x n n n===--⎛⎫⎛⎫'∆=∆=∆= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑=22111110n n n n n n -⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =()22231121n n⎡⎤+++-⎣⎦ =()()312116n n n n --=1111132n n ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭从而得到S 的近似值 1111132n S S n n ⎛⎫⎛⎫≈=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4）取极限分别将区间[]0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，1111132n S n n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有 1111111lim lim lim 11323nn n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 从数值上的变化趋势：3．求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间[],a b 中任意插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1,i i x x -()1,2,,i n = ，区间[]1,i i x x -的长度1i i i x x x -∆=-，第二步：近似代替，“以直代取”。
求曲边梯形的面积
1、阅读课本42页第一段，回答下列问题：
①本节内容主要是解决数学和物理中的什么问题？
数学：计算平面曲线围成的平面曲边图形的面积 物理：变速直线运动物体位移、变力做功
②文章中提出解决此类问题的手段是什么？
数学：把求曲边图形的面积转化为求直边图形的面积 物理：利用匀速直线运动知识解决变速直线运动问题
S第 2个 黄 色 矩 形1 nf(n 2)n43
y f(x)
i-1 i nn
1 n1 S第 n个 黄 色 矩 形nf(n)n
3、求和
S黄色部分 S 第 1 个 黄 色 矩 形 S 第 2 个 黄 色 矩 形 . . . S 第 n 个 黄 色 矩 形
1 n23n 22 3...n i23...n n3 2
n nn nn
n
区间长度： 1 n
2、近似代替
S第i个黄色矩形1nf(in-1)
(i
1)2 n3
y f(x)
S第 1个 黄 色 矩 形1 nf(0 n)0
f
( i-1 ) n
S第 2个 黄 色 矩 形1 nf(1 n)n13
i-1
第i个 小曲边 梯形
i
S第 3个 黄 色 矩 形1 nf(n 2)n43
性有发作了。“不就是些不要的瓶瓶罐罐吗，有什么好惊叹的。”茉莉无奈的扭过头去，一副我不认识你的样子。“不，不， 不，小茉莉，你的思想太简单了。”慕容凌娢指着那些废旧器具说道，“也许现在看来，它们就是一群破铜烂铁，但只要回到 21世纪，它们就能变成不折不扣的金山银山。”“不许叫小茉莉！”茉莉不知为何突然紧张起来，她有些语无伦次的说道， “我……我明明比你大的。”“什么啊，原来茉莉你也是个傲娇……”慕容凌娢装作若无其事的摇了摇头，“所以说你带我来 这里干什么？”“百蝶说让你肉偿……”“来真的啊！怎么可以！”慕容凌娢大声叫道，引来了不少正在干活的女工的注意。 面对这么多人好奇的眼神，慕容凌娢第一次觉得有些不好意思。“这些群众的眼神还真是犀利啊……哈哈哈……”慕容凌娢心 虚的想要转移话题。“明明就是你太吵了。”茉莉已经恢复了往常那种阴冷的表情。“看什么看，赶快干活，还想不想吃晚饭 了！”一个严厉的女声响起。“哟，这不是茉莉姑娘吗？怎么，不呆在百蝶楼主身边，来这种脏乱的地方干什么。”这女子一 脸讨好的冲着茉莉笑道。这个女子应该就是这里管事的人了，慕容凌娢上下打量眼前这个人，穿着灰色的布衣，头发干练的盘 在头顶用一枝木簪固定住，虽然衣着朴素，但由内而外散发出一种凌厉的气势。一看就是那种不好惹的人，还是先套近乎好了。 慕容凌娢想到这儿便也是满脸堆笑。“您还，我叫白绫。”既然百蝶在人前都这样称呼自己，她也就只好接受了这个化名。 “初来乍到，还请……”“她惹百蝶生气了，所以被罚到这里打杂。”茉莉冷冷地打断了慕容凌娢的话，“你随便给她点活干 干就好了。”“是是是，茉莉姑娘方心，我一定会好好管教她的。”那女子连连点头，但看慕容凌娢的眼神已经完全不同了， 多了几分不屑和侥幸。这也太势利了吧，茉莉还没离开就已经暴露本性了，如果茉莉离开，那自己还不得被她给……慕容凌娢 打了一个冷颤，轻轻拽了拽茉莉的袖子，用可怜兮兮的眼神看着茉莉，想要向她求助。然而茉莉就像什么都没有看见一样，极 其冷淡地甩开了慕容凌娢的手。“那她就归你了，一视同仁就好了。百蝶那边还有事，我先回去了。”茉莉漠然的看了慕容凌 娢一眼，便转身离去了。留下了感觉整个世界都要崩塌了的慕容凌娢。“行了，新来的，我是醉影楼一楼的层主，你得叫我层 主……愣着干什么，赶快过来，你的任务可不少呢。”她那铁青着的脸吓得慕容凌娢赶紧跟了上去。(古风一言)那时，谁渡江 湖雨漂泊。而今，心愁难叙千里外。第023章 原来只是刷盘子“那她就归你了，一视同仁就好了。百蝶那边还有事，我先回去 了。”茉莉漠然的看了慕容凌娢一眼，便转身
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分割 近似代替 求和 取极限
解：1．分割 在时间区间[0,1]上等间隔地插入n-1
个分点，将区间等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[ n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1
nn n
把汽车在时间段[0, 1 ],[ 1 , 2 ],,[i 1 , i ],,[ n 1 , n ],
(i 1, 2,...,n)
每个区间的长度为
i i 1 1 x
nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯
形，它们的面积分别记作：
... S1 S2
n
Sn ∴曲边梯形面积 S Si
i 1
（2）近似代替
当 x 0 时，我们可以把小曲边
梯形近似看成什么图形？又如何计 f (i-1)
（4）取极限
问题：结合求曲边梯形面积的过程，你认为
汽车行驶的路程S与由直线t＝0，t＝1，v＝0和
曲线：v t t2 2 所围成的曲边梯形的面积
有什么关系？
小结：一般地，如果物体做变
速直线运动，速度函数v(t)，那 么我们可以采用分割、近似代替、V
求和、取极限的方法求出它在 任意时段所作的位移S。
A1A2A3
An
O
t
小结： 一.求曲边梯形面积的步骤：
分割
近似代替
求和
取极限
三.运用的数学思想：
1.以直代曲思想 2.逼近思想
二.一般地，如果物体做变速
直线运动，速度函数v(t)， 那么我们可以采用分割、 近似代替、求和、取极限 的方法，求出它在任意时
间段所做的位移S。
n nn
nn
nn
上行驶的路程分别记作：
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2） 近似代替
Si
v(i
1)x n
[( i
1)2 n
2]
1 n
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n v(i -1) 1 i1 n n
n f( i-1) 1 n (i-1)2 1 i1 n n i1 n n
(i 1, 2,...,n)
1 n3
[02
12
22
(n
1)2 ]
1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1
n3
6
(1 )(1 ) 3 n 2n
（4）取极限
分别将区间[0，1]等分成8，16，32，…1024,……等份（如下图）,可以看到，
…
方法总结：我们能否得到求一般性曲边梯形的面积 方法（如下图所示）？ 一般地，对如图所示的曲边梯形，我们也可采用分 割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积。
练一练:
求直线 x 0, x 2, y 0 与曲线 y x2 所围成的
曲边梯形的面积.
1.5.2汽车行驶的路程
复习： 计算曲边图形面积过程 是什么？用到哪些数学思想？
所围的平面图形的
面积S
y x2
y
10 等分
y x2
n 等分
O
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.1
(1)分割
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
“等分” “等分” 分割梯形 分割x轴 分割定义域
即把定义域[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2][i 1, i ][n 1, n ]. n nn n n n n
分割 近似代替 求和 取极限
分割思想、以直代曲、极限思想
1、把区间〔1，3〕n等分，所得n个小区间的长度应为（ ）
A、1/ｎ B、2/n
C、1/2n D、3/n
2、关于近似替代下列说法正确的是（ ） A、在分割后的每个小区间上，只能用左端点的函数值近 似替代； B、在分割后的每个小区间上，只能用右端点的函数值近 似替代； C、在分割后的每个小区间上，只能用中间端点的函数 值近似替代； D、在分割后的每个小区间上，可以用区间内任意一点 的函数值近似替代。
法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运
动的路程问题．把区间 0 , 1 分成n个小区间，在每个小区 间上，由于v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作匀速
直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似 值，再求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋向于 无穷大就得到S（单位：km）的精确值．
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23
n
算每个近似图形的面积 Si' ？这
样给我们研究问题带来了哪些帮助？
y f (x)
第i个曲 边梯形
请同学们相互讨论。
i-1 i
nn
Si
Si' =f (i
1)x n
(i
1)2 n
1（用矩形代替曲边梯形） n
(i 1, 2,...,n)
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
-----------1.5.1曲边梯形的面积 1.5.2汽车行驶的路程
问：形如上图的曲边梯形的概念是什么？
把由直线 x a, x b(和a 曲 b线), y 0
y f (x)
所围成的图形称为曲边梯形.
对它的面积又如何求呢？
先研究一个特殊情形：求 y x2 与直线 x 0, x 1, y 0
当n
,即 x
0 时，
Sn
1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n
S,
从而有
S
lim
n
Sn
lim
n
n i 1
1 n
f
(i
1) n
lim
n
1 3
(1
1 )(
我们还可以从数值上可以看 出这一变化趋势（请见表）
区间[0，1] 的等分数n
问题：汽车以速度v作匀速直线运动时，经
过时间t所行驶的路程为S＝vt．如果汽车 作变速直线运动，在t时刻的速度为：
v t t2 2 （单位：km/h），那么它
在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路 程（单位：km）是多少？
v
S
O
t
V
A1A2A3 An
O
t
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方