1.5.1求曲边梯形的面积

思想方法：
分割 近似代替 求和 取极限
解：1．分割 在时间区间[0,1]上等间隔地插入n-1
个分点，将区间等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[ n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为 x i i 1 1
nn n
把汽车在时间段[0, 1 ],[ 1 , 2 ],,[i 1 , i ],,[ n 1 , n ],
n nn
nn
nn
上行驶的路程分别记作：
S1, S2,, Si ,, Sn.
（2） 近似代替
Si

v(i
1)x n

[( i
1)2 n

2]
1 n
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
n v(i -1) 1 i1 n n
(i 1, 2,...,n)
每个区间的长度为
i i 1 1 x
nn n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯
形，它们的面积分别记作：
... S1 S2
n
Sn ∴曲边梯形面积 S Si
i 1
（2）近似代替
当 x 0 时，我们可以把小曲边
梯形近似看成什么图形？又如何计 f (i-1)
所围的平面图形的
面积S
Leabharlann Baidu
y x2
y
10 等分
y x2
n 等分
O
0.2 0.4 0.6 0.8 1
x
0.1
(1)分割
将曲边梯形分割为等高的小曲边梯形
“等分” “等分” 分割梯形 分割x轴 分割定义域
即把定义域[0，1]等分成n个小区间：
[0, 1 ],[ 1 , 2][i 1, i ][n 1, n ]. n nn n n n n
（4）取极限
问题：结合求曲边梯形面积的过程，你认为
汽车行驶的路程S与由直线t＝0，t＝1，v＝0和
曲线：v t t2 2 所围成的曲边梯形的面积
有什么关系？
小结：一般地，如果物体做变
速直线运动，速度函数v(t)，那 么我们可以采用分割、近似代替、V
求和、取极限的方法求出它在 任意时段所作的位移S。
…
方法总结：我们能否得到求一般性曲边梯形的面积 方法（如下图所示）？ 一般地，对如图所示的曲边梯形，我们也可采用分 割、近似代替、求和、取极限的方法，求出其面积。
练一练:
求直线 x 0, x 2, y 0 与曲线 y x2 所围成的
曲边梯形的面积.
1.5.2汽车行驶的路程
复习： 计算曲边图形面积过程 是什么？用到哪些数学思想？
分割 近似代替 求和 取极限
分割思想、以直代曲、极限思想
1、把区间〔1，3〕n等分，所得n个小区间的长度应为（ ）
A、1/ｎ B、2/n
C、1/2n D、3/n
2、关于近似替代下列说法正确的是（ ） A、在分割后的每个小区间上，只能用左端点的函数值近 似替代； B、在分割后的每个小区间上，只能用右端点的函数值近 似替代； C、在分割后的每个小区间上，只能用中间端点的函数 值近似替代； D、在分割后的每个小区间上，可以用区间内任意一点 的函数值近似替代。
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
0.125 000 00 0.218 750 00 0.273 437 50 0.302 734 50 0.317 871 09 0.325 561 52 0.329 437 26 0.331 382 75 0.332 357 41 0.332 845 21 0.333 089 23
n
算每个近似图形的面积 Si' ？这
样给我们研究问题带来了哪些帮助？
y f (x)
第i个曲 边梯形
请同学们相互讨论。
i-1 i
nn
Si

Si' =f (i
1)x n

(i
1)2 n
1（用矩形代替曲边梯形） n
(i 1, 2,...,n)
（3）求和
n
S S1 S2 Sn Si i1
A1A2A3
An
O
t
小结： 一.求曲边梯形面积的步骤：
分割
近似代替
求和
取极限
三.运用的数学思想：
1.以直代曲思想 2.逼近思想
二.一般地，如果物体做变速
直线运动，速度函数v(t)， 那么我们可以采用分割、 近似代替、求和、取极限 的方法，求出它在任意时
间段所做的位移S。
当n
,即 x
0 时，
Sn

1 (1 3
1 )(1 n
1) 2n

S,
从而有
S

lim
n
Sn

lim
n
n i 1
1 n
f
(i
1) n

lim
n
1 3
(1
1 )(1 n
1) 2n

1 3
我们还可以从数值上可以看 出这一变化趋势（请见表）
区间[0，1] 的等分数n
问题：汽车以速度v作匀速直线运动时，经
过时间t所行驶的路程为S＝vt．如果汽车 作变速直线运动，在t时刻的速度为：
v t t2 2 （单位：km/h），那么它
在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路 程（单位：km）是多少？
v
S
O
t
V
A1A2A3 An
O
t
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方
n f( i-1) 1 n (i-1)2 1 i1 n n i1 n n
(i 1, 2,...,n)

1 n3
[02
12

22


(n
1)2 ]
1 (n 1)n(2n 1) 1 1 1
n3
6
(1 )(1 ) 3 n 2n
（4）取极限
分别将区间[0，1]等分成8，16，32，…1024,……等份（如下图）,可以看到，
法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运
动的路程问题．把区间 0 , 1 分成n个小区间，在每个小区 间上，由于v t 的变化很小，可以近似的看作汽车作匀速
直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似 值，再求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋向于 无穷大就得到S（单位：km）的精确值．
-----------1.5.1曲边梯形的面积 1.5.2汽车行驶的路程
问：形如上图的曲边梯形的概念是什么？
把由直线 x a, x b(和a 曲 b线), y 0
y f (x)
所围成的图形称为曲边梯形.
对它的面积又如何求呢？
先研究一个特殊情形：求 y x2 与直线 x 0, x 1, y 0