初高中数学衔接教案(含答案)

第一讲 数与式

1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪

==⎨⎪-<⎩

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 例1 解不等式：13x x -+-＞4．

解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；

②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，

∴不存在满足条件的x ；

③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．

综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．

解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|．

所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为 |P A |＋|PB |＞4． 由|AB |＝2，可知

点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．

x ＜0，或x ＞4． 练 习 1．填空：

（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则

x =_________.

（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．

1

0 C |x －1|

|x －3|

图1．1－1

1.1.

2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；

（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．

解法一：原式=2222

(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦

=242(1)(1)x x x -++ =6

1x -．

解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．

例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求2

2

2

a b c ++的值． 解： 2

2

2

2

()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．

练 习 1．填空：

（1）

221111

()9423

a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22

)164(m m =++ )；

(3 ) 2222

(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：

（1）若2

1

2

x mx k +

+是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2

m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m

（2）不论a ，b 为何实数，22

248a b a b +--+的值 （ ）

（A ）总是正数 （B ）总是负数

（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为

无理式. 例如 32a b 2

1x +，22x y +是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化

因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互

为有理化因式，等等． 一

般地，b 与b 互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式

0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行

运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2

a ==,0,

,0.a a a a ≥⎧⎨

-<⎩

例1

将下列式子化为最简二次根式：

（1 （20)a ≥； （30)x <．

解： （1=

（20)a ==≥；

（3220)x

x x ==-<．

例2 (3．

解法一：

(3)

解法二： (3)

＝

1

2

． 例3 试比较下列各组数的大小：

（1 （2