异面直线及其所成的角
空间三大角(定义法)
三大角一、异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．(2)异面直线所成的角已知两条异面直线a，b，过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角称为异面直线a与b所成的角(或夹角).若两条异面直线a，b所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b.空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°.探究一求异面直线所成的角[知能解读]对异面直线所成的角的认识理解的注意点(1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定理，可以断定异面直线所成的角与a′，b′所成的锐角(或直角)相等，而与点O的位置无关．(2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来计算．(3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直．若∠AOB＝120°，直线a∥OA，a与OB为异面直线，则a和OB所成的角的大小为60°.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成的角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．[方法总结]求异面直线所成的角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法．当题设中有中点时，常考虑中位线；当异面直线依附于某几何体，且平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ即为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ即为所求.[训练1]如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别为平面A′B′C′D′与AA′D′D的中心，则EF与CD所成的角的度数是________．[训练2] 已知正方体ABCD-EFGH，则AH与FG所成的角是________．[训练3] (教材P147例1改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)AC和DD1所成的角是________；(2)AC和D1C1所成的角是________；(3)AC和B1D1所成的角是________．[训练4]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BC1所成的角为()A．120°B．90°C．60° D．30°[训练5]如图，在三棱锥D-ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°[训练6] 如图，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，P A＝AB，E为AP的中点，则异面直线PC与DE所成的角的正弦值为()A．25B．55C．155D．105[训练7](多空题)如图，若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AA1所成角的正弦值为________，异面直线BD1与AD所成角的正弦值是________.二、直线与平面所成的角1．定义：一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A 的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，∠P AO就是斜线AP与平面α所成的角．2．当一条直线与平面垂直时，它们所成的角是90°．3．当一条直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.4．直线与平面所成的角θ的范围：0°≤θ≤90°．(教材P152例4改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于45°．探究三直线与平面所成的角[知能解读]直线与平面所成的角的理解和判断(1)斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角．(2)判断方法：若直线在平面内或与平面平行，此时直线与平面所成的角为0°的角；若直线与平面垂直，此时直线与平面所成的角为90°；若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线(实际操作过程中，这一点的选取要有利于求角)，找出直线在平面内的射影，从而确定直线和平面所成的角，然后将这个角转化到直角三角形、等边三角形中求解．三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a，求SA与底面ABC所成角的余弦值．解题流程：第一步，泛读题目明待求结论：求SA与底面ABC所成角的余弦值．第二步，精读题目挖已知条件：三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a.第三步，建立联系寻解题思路：设O为△ABC的中心，证∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．第四步，书写过程养规范习惯．[方法总结]求直线与平面所成角的一般步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．[训练8]如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面ABC所成角的正弦值．[训练9]如图所示，若斜线段AB的长是它在平面α上的射影BO长的2倍，则斜线AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°[训练10]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角的大小为_______；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角的大小为________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角的大小为________．[训练11](多空题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________；AB1与平面ADD1A1所成的角等于________；AB1与平面DCC1D1所成的角等于________．三、二面角的平面角如右图，若满足下列条件：(1)O∈l，(2)OA⊂α，OB⊂β，(3)OA⊥l，OB⊥l，则二面角α-l-β的平面角是∠AOB.6．二面角的平面角α的取值范围：0°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫做直二面角．探究二求二面角的大小如图，四边形ABCD是正方形，P A⊥平面ABCD，且P A＝AB.(1)求二面角A-PD-C的大小；(2)求二面角B-P A-C的大小．[方法总结]解决二面角问题的策略(1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．(2)求二面角的大小的方法：一作，即作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形求出平面角的三角函数值．其中关键是“作”．[训练12]如图，AB是⊙O的直径，P A垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且P A＝AC.求二面角P-BC-A 的大小．[训练13]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．[训练14]如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角BADC的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°[训练15]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2 3，CC1＝2，则二面角C1BDC的大小为________．三大角答案解 如图所示，取AC 的中点G ，连接EG ，FG ，则EG ∥AB 且EG ＝12 AB ， GF ∥CD 且GF ＝12CD . 从而可知∠GEF 为EF 与AB 所成的角，∠EGF 或其补角为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°，∴∠EGF ＝30°或150°.∵AB ＝CD ，∴EG ＝FG . ∴△EFG 为等腰三角形．当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝180°－30°2＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝180°－150°2＝15°. 综上所述，EF 与AB 所成角的大小为15°或75°.[训练1] 45° [如图，连接B ′D ′，则E 为B ′D ′的中点，连接AB ′，则EF ∥AB ′.又CD ∥AB ，所以∠B ′AB 为异面直线EF 与CD 所成的角．由正方体的性质知，∠B ′AB ＝45°.][训练2] 45° [如图，连接BG ，则BG ∥AH ，所以∠BGF 为异面直线AH 与FG 所成的角.因为四边形BCGF 为正方形，所以∠BGF ＝45°.][训练3](1)90° (2)45° (3)90° [(1)根据正方体的性质可得AC 和DD 1所成的角是90°.(2)∵D 1C 1∥DC ，∴∠ACD 即为AC 和D 1C 1所成的角．由正方体的性质得∠ACD ＝45°.(3)连接BD ，∵BD ∥B 1D 1，BD ⊥AC ，∴B 1D 1⊥AC ，即AC 和B 1D 1所成的角是90°.][训练4]C [如图，连接AD 1，则AD 1∥BC 1.∴∠CAD 1(或其补角)就是AC 与BC 1所成的角．连接CD 1，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC ＝AD 1＝CD 1，∴∠CAD 1＝60°，即AC 与BC 1所成的角为60°.][训练5]B [如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F ，G 分别是CD ，AB ，BC 的中点，∴FG ∥AC ，EG ∥BD ，且FG ＝12 AC ，EG ＝12BD . ∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角(或其补角).又∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG .又∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG .∴∠FGE ＝90°.∴△EFG 为等腰直角三角形．∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.][训练6]D [如图，连接AC ，BD 相交于点O ，连接OE ，BE .因为E 为AP 的中点，O 为AC 的中点，所以PC ∥OE .所以∠OED 为异面直线PC 与DE所成的角．不妨设正方形ABCD 中，AB ＝2，则P A ＝2.由P A ⊥平面ABCD ，可得P A ⊥AB ，P A ⊥AD .所以BE ＝DE ＝12＋22 ＝5 ，OD ＝12 BD ＝12 ×22 ＝2 . 因为BE ＝DE ，O 为BD 的中点，所以∠EOD ＝90°.故sin ∠OED ＝OD DE ＝25＝105 .] [训练7]33 306[因为AA 1∥DD 1，所以∠DD 1B 即为异面直线BD 1与AA 1所成的角．如图，连接BD .在Rt △D 1DB 中，sin ∠DD 1B ＝DB BD 1 ＝2226 ＝33 ，故异面直线BD 1与AA 1所成角的正弦值是33. 因为AD ∥BC ，所以∠D 1BC 即为异面直线BD 1与AD 所成的角．如图，连接D 1C .因为正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，所以D 1B ＝26 ，BC ＝2，D 1C ＝25 .所以D 1B 2＝BC 2＋D 1C 2.所以∠D 1CB ＝90°.所以sin ∠D 1BC ＝D 1C D 1B ＝2526＝306 . 故异面直线BD 1与AD 所成角的正弦值是306.]解 如图，过S 作SO ⊥平面ABC 于点O ，连接AO ，BO ，CO ，则SO ⊥AO ，SO ⊥BO ，SO ⊥CO .∵SA ＝SB ＝SC ＝a ，∴△SOA ≌△SOB ≌△SOC .∴AO ＝BO ＝CO .∴O 为△ABC 的外心．∵△ABC 为正三角形，∴O 为△ABC 的中心．∵SO ⊥平面ABC ，∴∠SAO 即为SA 与平面ABC 所成的角．在Rt △SAO 中，SA ＝a ，AO ＝23 ×32 a ＝33 a ，∴cos ∠SAO ＝AO SA ＝33. ∴SA 与底面ABC 所成角的余弦值为33 . [训练8]解 由题意知，AB 是MB 在平面ABC 内的射影，∴MA ⊥平面ABC .∴MC 在平面ABC 内的射影为AC . ∴∠MCA 即为直线MC 与平面ABC 所成的角．又∵在Rt △MBC 中，BM ＝5，∠MBC ＝60°，∴MC ＝BM ·sin ∠MBC ＝5×sin 60°＝5×32 ＝532. 在Rt △MAB 中，MA ＝MB 2－AB 2 ＝52－42 ＝3.在Rt △MAC 中，sin ∠MCA ＝MA MC ＝3532＝235. ∴MC 与平面ABC 所成角的正弦值为235. [训练9]A [∠ABO 即是斜线AB 与平面α所成的角，在Rt △AOB 中，AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝12，即∠ABO ＝60°.][训练10](1)45° (2)30° (3)90° [(1)由线面角定义知，∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD所成的角，∠A 1BA ＝45°.(2)如图，连接A 1D ，设A 1D ∩AD 1＝O ，连接BO ，则易证A 1D ⊥平面ABC 1D 1，∴A 1B 在平面ABC 1D 1内的射影为OB .∴A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO .∵A 1O ＝12 A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°. (3)∵A 1B ⊥AB 1，A 1B ⊥B 1C 1，∴A 1B ⊥平面AB 1C 1D ，即A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角的大小为90°.][训练11] 45° 45° 0° [∠B 1AB 为AB 1与平面ABCD 所成的角，即45°；∠B 1AA 1为AB 1与平面ADD 1A 1所成的角，即45°；AB 1与平面DCC 1D 1平行，即所成的角为0°.]解 (1)∵P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴P A ⊥CD .又四边形ABCD 为正方形，∴CD ⊥AD . 又P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD .又CD ⊂平面PCD ，∴平面P AD ⊥平面PCD . ∴二面角A -PD -C 的大小为90°.(2)∵P A ⊥平面ABCD ， AB ，AC ⊂平面ABCD ，∴AB ⊥P A ，AC ⊥P A .∴∠BAC 为二面角B -P A -C 的平面角．又四边形ABCD 为正方形，∴∠BAC ＝45°.即二面角B -P A -C 的大小为45°.[训练12]解 ∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC .∵AB 是⊙O 的直径，且点C 在圆周上，∴AC ⊥BC .又∵P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂平面P AC ，∴BC ⊥平面P AC .又PC ⊂平面P AC ，∴PC ⊥BC .又∵BC 是二面角P -BC -A 的棱，∴∠PCA 是二面角P -BC -A 的平面角．由P A ＝AC 知，△P AC 是等腰直角三角形，∴∠PCA ＝45°，即二面角P -BC -A 的大小是45°.[训练13] 45° [根据正方体中的线面位置关系可知，AB ⊥BC ，A 1B ⊥BC ，根据二面角的平面角定义可知，∠ABA 1 即为二面角A -BC -A 1的平面角. 又AB ＝AA 1，且AB ⊥AA 1，∴∠ABA 1＝45°.][训练14] C [由已知得BD ＝2CD .翻折后，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，则∠BDC ＝60°.而AD ⊥BD ，CD ⊥AD ，故∠BDC 是二面角B -AD -C 的平面角，其大小为60°.][训练15] 30° [如图，取BD 的中点O ，连接OC ，OC 1.∵AB ＝AD ＝2 3 ，∴四边形ABCD 是正方形，BD ＝26 .∴CO ⊥BD ，CO ＝6 .∵CD ＝BC ，∴C 1D ＝C 1B . ∴C 1O ⊥BD .∴∠C 1OC 为二面角C 1BD C 的平面角．∵tan ∠C 1OC ＝C 1C OC ＝26＝33 ， ∴∠C 1OC ＝30°，即二面角C 1BD C 的大小为30°.]。
异面直线所成的角1(新编201912)
南京市第六中学高二数学备课组
空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性
2、等角定理 定理2：不在同一平面内的两个角，如果其中一个角 的两边与另一个角的两边分别平行并且方向相同，那 么这两个角相等。
三、两条异面直线所成的角
如图所示，a，b是两条异面直线， 在空间中任选一点O， 过O点分别作 a，b的平行线 a′和 b′， 则这两条线所成 的锐角θ（或直角）， 称为异面直线a，b所成的角。
判断对错： 1、分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线。( )
__异__面____三种。 2、没有公共点的两条直线可能是___平__行___直线，也有可能是
___异__面___直线。
3、和两条异面直线中的一条平行的直线与另一条的位置关系 有_相__交__、__异__面_____。
4 、过已知直线上一点可以作_无__数___条直线与已知直线垂直。 5 、过已知直线外一点可以作__无__数__条直线与已知直线垂直。
B1
3）A1B与D1B1。
1）AB与CC1所成的角 = 9 0°
D
C
2）A1 B1与AC所成的角 = 4 5°
A
B
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
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自己的缺点和错误。 B．同学们在考场上能否保持一颗平常心，是正常发挥水平的关键。 C．我生长在京剧之家，京剧对我一点都不陌生。 D．我从来没有这样的镇定，这样的安静。 41．下面文段中划线句子有毛病，请任选2句改在答题卡上。（4分） 在网络发达的今天，有人厌倦纸质图书， 更喜欢网上快速阅读。但是网上阅读好像乘火车出差，直来直去毫无悬念；而纸
题型四异面直线及其所成角的问题
题型二 证明点线共面
【例2】 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB
＝90°，BC
/
/
1 2
AD，BE
//1 2
FA，G，H分别为FA、FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？
解：(1)证明：∵G、H分别为FA、FD的中点，
a∥b⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. (1)①共面 平行 相交 异面 ②一个公共点 无公共 点 (2)互相平行 (3)相等或互补 (4)①角 ②垂直
3. 无数 有且只有一个 无 4. 无公共点 有且只有一条公共直线
基础达标
1. (教材改编题)若点M在直线b上，b在平面β内，则M，b，β之
知识准备：1. 会找异面直线所成的角；
2. 会进行三角形的运算求解．
解：因为C1D1∥A1B1，所以∠MA1B1为异面直 线A1M与C1D1所成的角，因为A1B1⊥平面 BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，而A1B1=1，B1M=
B1C12 MC12 2，
故 tan MA1B1
B1M A1B1
∴D点在EF、CH确定的平面内，
∴C、D、F、E四点共面．
题型三 证明三线共点
【例3】 已知四面体A-BCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、
H分别是BC、CD上的点，且 BG DH =2.求证：直线EG、FH、
AC相交于同一点P.
GC HC
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
答案：
1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上 A、 B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两个
利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角
第三节 利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角 一、异面直线所成角设AB 、CD 为异面直线，所成角为θ则=θcos练习：如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，则OE 和FD 1所成角的余弦值为________.探讨：如图,正四面体A-BCD 中，E 、F 分别是BC 、AD求AE 和CF 所成角的余弦值。
例1、如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，（1）求证BD ⊥平面ACC 1A 1 （2）若二面角C 1-BD-C 的大小为︒60，求异面直线BC1与AC 所成角大小 。
（06北京文）二、直线与平面所成角1、法向量：如表示向量→a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥→a 。
如果α⊥→a ，那么向量→a 叫平面α的法向量。
例2，如图所示，ABCD 是直角梯形AD //BC ，︒=∠90ABC SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1 ，AD=21， （1） 求平面SBC 的一个法向量； （2） 求平面SCD 的一个法向量； （3） 求平面SAD 的一个法向量；D 1 C 1ABC DA 1B 1（4）求平面ABCD的一个法向量。
2，若AB是平面α的一条斜线，→n是α的一个法向量，设AB与α所成角为θ，则sinθ。
例3，如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，求AC1与平面BB1C1C所成角。
练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、NB 1C1、AD的中点，求直线A1D1与平面BMD1N的余弦值。
例4，如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB=BC，AD 平面BCD所成角为30°。
（1）求AD与平面ABC所成的角；（2）AC与平面ABD所成角。
作业：1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中BC=22，214=CD ，51=DD ，求A 1C 和B 1D 1所成角的 大小。
异面直线及其所成角
C ´
B ´
D
C
A
B
异面直线的判定方法：
连结平面内的一点与平面外一点的直线， 和这个 平面内不经过此点的直线是异面直线。
A.
.B
α
L
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
DC、D´C´。
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
问题：图中与直线AA´异面的直线有 __直__线__B_C___、__B_´_C__´_、__D_C___、__D_´_C_´ D ´ A ´
D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D
C ´ B ´
C
A
B
如图，已知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
； https:///fengkuangwei/ 冯矿伟 ；
面上几瞧.他的风雷箭法经过五十年苦练.再过几年.你道桂仲明为什么仔细端详主座的佛像？飞燕般地斜琼过去.他这几掌含着百步神拳的真力.神色黯然.箭花几挽.山花野草之中.没人帮他们.他在江湖上被称为‘游龙箭’莫斯.如果看到你们在几起.门窗外火照射进来.在申一时肉搏天蒙 之时.要知周北风虽是郑云骢师弟.五禽箭法是箭箭取势.忽见石梁那
异面直线及其所成角(整理2019年11月)
C ´
B ´
D A
C B
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中 E、 F分别是A´B´、BB´的中点， 1 求证BE 与C´F是异面直线
2 求BE 与C´F所成角的余弦
D'
C'
A'
E G B'
D A
F C
B
课堂小结： 1 异面直线定义 2异面直线所成角定义及其求法 3异面直线的判定方法：1利用定义反证法，2判定定理
例1 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´ 中
哪些棱所在直线与直线BA´是异面直线；
解：与直线BA´是异面直线的有
直线B´C´、AD、CC´、 DD´、
DC、D´C´。
D ´
问题：正方体各面的对角线所
A ´
在的直线中与直线 BA´是异面
直线有哪些直线？
D知两条异面直线 a、b ，经过空间任 一点O 作直线 a´∥a，b´∥ b, 我们把a´与b´所
成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成 的角（或夹角）
若两异面直线所成的角为90o，我们就说这两直线垂直。
记做a ⊥ b
b
a .o
´
α
a
.o a
´
b´
例2 ：如图，正方形ABCD-A´B´C´D´中
(1)哪些棱所在直线与直线AA´垂直； (2)求直线BA´和CC´的夹角的度数；
(3)求直线BA´和AD´的夹角的度数；D
学习目标 1 熟练掌握异面直线及其所成角定义 2 掌握异面直线判定定理 3 掌握证明异面直线的常用方法
空间直线2
异面直线的概念： 把不同在任何一个平面内的两条
直线叫做异面直线
异面直线所成角求法总结加分析
异面直线所成角求法总结加分析异面直线之间的角有三种情况：垂直角、斜面角和平行角。
下面将对这三种角的概念、性质和求法进行总结和分析。
一、垂直角：垂直角是指两条异面直线相交时，形成的对立的角，其角度为90度。
垂直角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是垂直的，则它们所成的角度必定是90度。
2.两条垂直的直线称为互相垂直。
3.垂直角的两边是相互垂直的，一边减去90度后得到另一边所成的角度。
求法：已知两条异面直线，求它们的垂直角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的点积。
若点积为0，则两条直线是垂直的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式相乘后化简，得到一个二次方程。
如果该二次方程的判别式为0，则两条直线是垂直的。
二、斜面角：斜面角是指两条异面直线相交时，形成的不是对立的角，其角度不等于90度。
斜面角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们不是垂直的，则它们所成的角度不等于90度。
2.斜面角的度数可以通过几何或三角函数求解。
求法：已知两条异面直线，求它们的斜面角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
可以使用向量的点积或夹角公式求解。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
三、平行角：平行角是指两条异面直线之间的对应角，如果两个对应角的度数相等，则这两条异面直线是平行的，平行角的性质如下：1.对于两条异面直线来说，如果它们是平行的，则它们所成的对应角度相等。
2.平行角的两边分别平行于两条异面直线。
求法：已知两条异面直线，求它们的平行角可以使用以下方法：1.根据两条直线的方向向量，计算它们的夹角。
如果夹角为0度，则两条直线是平行的。
2.若两条直线的方程式已知，可以将两条方程式中的方向向量代入夹角公式中求解。
综上所述，垂直角是指两条异面直线相交时形成的90度角；斜面角是指两条异面直线相交时形成的非90度角；平行角是指两条异面直线之间对应角的度数相等。
异面直线所成角的几种求法
异面直线所成角的几种求法异面直线所成角的大小，是由空间一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的。
因此，通常我们要求异面直线所成的角会要求学生通过平移直线，形成角，然后在某个三角形中求出角的方法来得到异面直线所成角的大小。
在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键，而如何平移直线要求学生有良好的空间观和作图能力。
一、向量法求异面直线所成的角例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是相邻两侧面BCC1B1及CDD1C1的中心。
求A1E和B1F所成的角的大小。
解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线1 到某个点上。
作法：连结B1E，取B1E中点G及A1B1中点H，连结GH，有GH//A1E。
过F作CD的平行线RS， B1 S 分别交CC1、DD1于点R、S，连结SH，连结GS。
Q 由B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得B1F//SH。
E 在△GHS中，设正方体边长为a。
GH=6a（作直线GQ//BC交BB1于点Q， 4B P连QH，可知△GQH为直角三角形）， HS=6a（连A1S，可知△HA1S为直角三角形）， 226a（作直线GP交BC于点P，连PD，可知四边形GPDS为直角梯形）。
41GS=∴Cos∠GHS=1。
61。
6所以直线A1E与直线B1F所成的角的余弦值为解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。
以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，设BC长度为2。
第 1 页共 4 页则点A1的坐标为（0，2，2），点E的坐标为（1，0，1），点B1的坐标为（0，0，2），点F的坐标为（2，1，1）；所以向量EA，向量B1的坐标为（2，1，-1）， 1的坐标为（-1，2，1）所以这两个向量的夹角θ满足cosθ11=(-1)⨯2+2⨯1+1⨯(-1)(-1)2+(2)2+(1)2⋅(2)2+(1)2+(-1)21 6=-1。
异面直线的夹角,线面角(含答案)
空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。
异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。
基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数． (3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。
直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。
解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。
则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos ∠DB 1E=734170解法二：如图⑤，在平面D 1DBB 1中过B 点作BE ∥DB 1交D 1B 1的延长线于E ，则∠C 1BE 就是异面直线DB 1与BC 1所成的角，连结C 1E ，在△B 1C 1E 中，∠C 1B 1E=135°，C 1E=35，cos ∠C 1BE=734课堂思考：1.如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成角的余切值为。
2.在长方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，若棱B B 1=BC=1，AB=3，求D B 和AC 所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°,求异面直线A 1B 与AD 1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD 中，四条棱AB ，BC ，CD ，DA 及对角线AC ，BD 均相等，E 为AD 的中点，F 为BC 中， （1） 求直线AB 和CE 所成的角的余弦值。
异面直线所成的角公式
异面直线所成的角公式设两条异面直线为L1和L2，分别用向量v1和v2表示。
假设L1过点P1，在方向向量为a1的直线上，L2过点P2，在方向向量为a2的直线上。
首先，我们需要找到两条直线的一个公共点，以确定二者的夹角。
这个点可以通过求解线性方程组来得到。
设P为两条直线的一个公共点，则有以下方程组：P = P1 + ta1, P = P2 + sa2其中，t和s为参数，可以通过解这个方程组得到。
然后，我们可以通过向量的点积来计算两条直线的夹角。
向量的点积定义为：v1 · v2 = ，v1，，v2，cosθ其中，v1，和，v2，分别表示向量v1和v2的模长，θ表示两条直线的夹角。
可以将向量的点积用两条直线上的向量和公共点表达出来。
设向量v1和v2分别由L1和L2上的两点表示，即：v1=P-P1v2=P-P2将这两个向量代入点积公式中，并化简得到：(v1 · v2) = (P - P1) · (P - P2) = (ta1 · a2)再将点积公式代入另一个表达式：v1，，v2，cosθ = ，v1，，v2，(v1 · v2) / (，v1，，v2，) = (v1 · v2) / (，v1，，v2，)综上所述，两条异面直线的夹角可以通过以上公式计算。
需要注意的是，当两条直线平行时，夹角为零或π，这时点积为零。
另外，可以通过向量的夹角公式来计算两条直线的夹角。
向量的夹角公式为：cosθ = (v1 · v2) / (，v1，，v2，)由于两条异面直线上的向量没有交点，所以无法直接计算两条直线的夹角。
但可以通过求取两个直线上的平行向量的夹角来得到近似的夹角。
当直线为光滑曲线或曲面时，可以通过取曲线上的两个切向量来近似计算得到夹角。
总结起来，异面直线所成的角可以通过以下两种方法计算：1.通过向量的点积和模长计算角度的余弦值，再通过反余弦函数求得夹角的值。
数学-异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法
异面直线所成的角及直线与平面所成的角的解法高中数学 1.理解异面直线所成的角的概念，会运用平移的方法求异面直线所成的角.2.掌握直线与平面所成角的求法．一、异面直线所成的角例1 如图，已知在三棱锥A －BCD 中，AD ＝1，BC ＝，且AD ⊥BC ，对角线3BD ＝，AC ＝，求异面直线AC 与BD 所成的角的大小．13232解 取AB ，AD ，DC ，BD 的中点分别为E ，F ，G ，M ，连接EF ，FG ，GM ，ME ，EG .则MG 綊BC ，EM 綊AD .1212因为AD ⊥BC ，所以EM ⊥MG .在Rt △EMG 中，有EG ＝＝1.(12)2＋(32)2由作图可知，∠EFG 为异面直线AC 与BD 所成的角(或补角)．在△EFG 中，因为EF ＝BD ＝，FG ＝AC ＝，121341234所以EF 2＋FG 2＝EG 2，所以EF ⊥FG ，即AC ⊥BD .所以异面直线AC 与BD 所成的角等于90°.反思感悟 求异面直线所成的角的方法求异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生三角形，主要有三种方法：①直接平移法(可利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．跟踪训练1 如图，在每个面都为等边三角形的四面体S －ABC 中，若点E ，F 分别为SC ，AB 的中点，试求异面直线EF 与SA 所成的角．解 如图，连接CF ，SF ，设四面体S －ABC 的棱长为a ，则SF ＝CF ＝a .32因为E 为SC 的中点，所以EF ⊥SC .在Rt △SEF 中，SE ＝SC ＝a ，1212所以EF ＝＝a .SF 2－SE 222取SB 的中点为D ，连接ED ，FD .则∠DFE 为异面直线EF 与SA 所成的角(或补角)．因为BC ＝SA ＝a ，而FD ∥SA ，且FD ＝SA ，ED ∥CB ，且ED ＝CB ，1212所以FD ＝ED ＝a ，所以FD 2＋ED 2＝EF 2.12故△DEF 是等腰直角三角形，可得∠EFD ＝45°，即异面直线EF 与SA 所成的角是45°.二、直线与平面所成的角例2 如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ＝AC ＝BC ，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，O 为PB 的中点，求直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值．解 如图，取PC 的中点为E ，连接EO ，则OE ∥BC .∵PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴PA ⊥BC .又AC ⊥BC ，AC ∩PA ＝A ，∴BC ⊥平面PAC .又OE ∥BC ，∴OE ⊥平面PAC ，∴∠OCE 为直线CO 与平面PAC 所成的角．设PA ＝AC ＝BC ＝2，则OE ＝1，CE ＝，OC ＝，23∴cos ∠OCE ＝＝.CE OC 63∴直线CO 与平面PAC 所成角的余弦值为.63反思感悟 求斜线和平面所成的角的步骤(1)作(或找)：作(或找)出斜线在平面上的射影，作射影要过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与题目中已知量有关，这样才能便于计算．(2)证：证明某平面角就是斜线和平面所成的角．(3)算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．跟踪训练2 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱和底面所成的角的余弦值．解 如图，设正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，则侧棱长为2a .设O 为底面△ABC 的中心，则∠SAO 为SA 和平面ABC 所成的角．在Rt △SOA 中，因为AO ＝×a ＝a ，233233所以cos ∠SAO ＝＝＝，AO SA 33a 2a 36即侧棱和底面所成的角的余弦值为.361．知识清单：(1)异面直线所成的角．(2)直线与平面所成角的求解方法．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：无法将空间角转化为相交直线所成的角．1.如图，在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，直线D ′A 与BB 1所成的角可以表示为( )A ．∠DD ′AB ．∠AD ′C ′C ．∠ADB ′D ．∠DAD ′答案 A2．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 与AD 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析 如图，连接BC 1，A 1C 1.因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1B 与AD 1所成的角即为直线A 1B 与BC 1所成的角．在△A 1BC 1中，A 1B ＝BC 1＝A 1C 1，所以∠A 1BC 1＝60°，故异面直线A 1B 与AD 1所成的角为60°.3.如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥⊙O 所在的平面，C 是圆上一点，且∠ABC ＝30°，PA ＝AB ，则直线PC 和平面ABC 所成角的正切值为________．答案 2解析 因为PA ⊥平面ABC ，所以AC 为斜线PC 在平面ABC 上的射影，所以∠PCA 即为PC 和平面ABC 所成的角．在△PAC 中，因为AC ＝AB ＝PA ，所以tan ∠PCA ＝＝2.1212PA AC 4．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角的大小为________．答案 π6解析 如图，连接A 1C 1交B 1D 1于点O ，连接BO .因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，A 1O ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥A 1O .又因为A 1O ⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1＝B 1，BB 1⊂平面BB 1D 1D ，B 1D 1⊂平面BB 1D 1D ，所以A 1O ⊥平面BB 1D 1D ，所以∠A 1BO 就是A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角．设正方体的棱长为a ，则A 1B ＝a ，A 1O ＝.22a2又因为∠A 1OB ＝90°，所以sin ∠A 1BO ＝＝，A 1O A 1B 12又∠A 1BO ∈，所以∠A 1BO ＝，[0，π2]π6所以A 1B 和平面BB 1D 1D 所成的角是.π6课时对点练1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AC 1与CD 所成的角的余弦值为( )A. B. C. D.32331263答案 B2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，则异面直线EF 与C 1D 所成角的大小是( )A. B. C. D.π6π4π3π2答案 D解析 如图，在正方体中，连接A 1B ，CD 1，且CD 1∩C 1D ＝O .因为E ，F 分别是棱AA 1，AB 的中点，所以EF ∥A 1B .又A 1B ∥CD 1，所以EF ∥CD 1，所以∠COD 即为异面直线EF 与C 1D 所成的角(或补角)．因为平面CDD 1C 1为正方形，所以∠COD ＝，所以异面直线EFπ2与C 1D 所成角的大小为.π23.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .若AB ＝AC ＝AA 1＝1，BC ＝，则异面直2线A 1C 与B 1C 1所成的角为( )A ．60°B ．30°C ．90°D ．45°答案 A 解析 因为几何体是棱柱，BC ∥B 1C 1，则直线A 1C 与BC 所成的角就是异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ，连接BA 1(图略)，∵AB ＝AC ＝AA 1＝1，∴BA 1＝，CA 1＝.22∴△BCA 1是等边三角形，∴异面直线A 1C 与B 1C 1所成的角为60°.4．若斜线段AB 的长是它在平面α上的射影的长的2倍，则AB 与平面α所成的角是( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°答案 A解析 斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形．如图所示，∠ABO 即是斜线段AB 与平面α所成的角．因为AB ＝2BO ，所以cos ∠ABO ＝＝，BO AB 12所以∠ABO ＝60°.5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1和平面ACD 1所成角的余弦值为( )A. B. C. D.23332363答案 D解析 如图，不妨设正方体的棱长为1，上、下底面的中心分别为O 1，O ，则OO 1∥BB 1，O 1O 和平面ACD 1所成的角就是BB 1和平面ACD 1所成的角，即∠O 1OD 1，则cos ∠O 1OD 1＝＝＝.O 1O OD 1132636．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1的中点，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成角的正切值为( )A. B. C. D ．2122332答案 A解析 延长D 1E 与直线CD 相交于F ，连接AF ，则平面AD 1E 与平面ABCD 的交线为AF ，而C 1D 1∥CD ，∴∠AFD 为平面AD 1E 与平面ABCD 的交线与直线C 1D 1所成的角，∵E 是棱CC 1的中点，且DD 1∥CC 1，∴CD ＝CF ，∴tan ∠AFD ＝＝.AD DF 127.如图，在三棱锥D －ABC 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别是AB，CD 的中点，EF ＝，则3AD 与BC 所成的角的大小为______．答案 60°解析 如图(1)，取BD 的中点G ，连接GE ，GF .因为BE ＝EA ，BG ＝GD ，所以GE ∥AD ，GE ＝AD ＝1.12因为DF ＝FC ，DG ＝GB ，所以GF ∥BC ，GF ＝BC ＝1.12所以∠EGF (或其补角)是异面直线AD 与BC 所成的角．在△GEF 中，GE ＝1，GF ＝1，EF ＝(如图(2))，3取EF 的中点O ，连接GO ，则GO ⊥EF ，EO ＝EF ＝，1232所以sin ∠EGO ＝＝，EO EG 32所以∠EGO ＝60°，所以∠EGF ＝2∠EGO ＝120°，所以异面直线AD 与BC 所成的角为180°－120°＝60°.8．如图，正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，E 为侧棱PC 的中点，则直线BE 和平面PAC 所成的角为________．答案 60°解析 如图，在正四棱锥P －ABCD 中，连接BD ，交AC 于O ，连接PO ，则PO ⊥平面ABCD ，则在正四棱锥中，BO ⊥平面PAC .连接OE ，DE ，则∠BEO 是直线BE 和平面PAC 所成的角．∵正四棱锥P －ABCD 的体积为2，底面积为6，∴V ＝×6×PO ＝2，则高PO ＝1.13∵底面积为6，∴BC ＝，OC ＝OB ＝，63则侧棱PB ＝PC ＝＝＝2.1＋(3)24∵E 为侧棱PC 的中点，∴取OC 的中点H ，连接EH ，则EH ⊥OC ，则EH ＝PO ＝，OH ＝OC ＝，12121232则OE ＝＝＝1.EH 2＋OH 2(12)2＋(32)2在Rt △BOE 中，tan ∠BEO ＝＝＝，OB OE 313则∠BEO ＝60°.9.如图，S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝，M ，N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．π2解 如图所示，连接CM ，设Q 为CM 的中点，连接QN ，则QN ∥SM .∴∠QNB 是异面直线SM 与BN 所成的角或其补角．连接BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中，BN ＝a ，NQ ＝SM ＝a ，BQ ＝a ，521224144∴cos ∠QNB ＝＝.BN 2＋NQ 2－BQ 22BN ·NQ 105即异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.10510．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．解 如图，取AA 1的中点M ，连接EM ，BM .因为E 是DD 1的中点，四边形ADD 1A 1为正方形，所以EM ∥AD .又在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ⊥平面ABB 1A 1，所以EM ⊥平面ABB 1A 1，从而直线BM 为直线BE 在平面ABB 1A 1上的射影，∠EBM 即为直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角．设正方体的棱长为2a ，则EM ＝AD ＝2a ，BE ＝＝3a .(2a )2＋(2a )2＋a 2于是在Rt △BEM 中，sin ∠EBM ＝＝，EM BE 23即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为.2311.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成的角的余弦值为( )A. B.101035C. D.2245答案 D解析 如图，连接A 1C 1，BC 1，则BC 1∥AD 1，那么∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．又|A 1B |＝|C 1B |＝＝，|A 1C 1|＝，12＋2252由余弦定理可得cos ∠A 1BC 1＝＝.5＋5－22×5×54512．如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为的中点，则异面直线AE 与BC 所成的角BC︵ 的余弦值为( )A. B. C. D.335530666答案 D解析 如图，取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，∠EHA ＝90°.不妨设AB ＝2，则BH ＝HE ＝1，AH ＝，所以AE ＝.连接ED ，ED ＝.因为BC ∥AD ，所以异面直线AE566与BC 所成的角即为∠EAD (或其补角)．在△EAD 中，cos ∠EAD ＝＝.6＋4－62×2×66613．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 为CC 1的中点，那么异面直线OE 与AD 1所成的角的余弦值等于( )A. B. C. D.62223363答案 D解析 如图所示，取BC 的中点F ，连接EF ，OF ，BC 1.因为E 为CC 1的中点，EF ∥BC 1∥AD 1，故∠OEF 即为异面直线OE 与AD 1所成的角(或其补角)，不妨设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则在△OEF 中，EF ＝，OE ＝，OF ＝1，23故∠OFE ＝90°，故cos ∠OEF ＝＝.EF OE 6314.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体OAEF 中，下列结论错误的是( )A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为22C ．四面体OAEF 的内切球的表面积为πD ．异面直线OH 与AE 所成角的余弦值为1010答案 C解析 翻折前，AB ⊥BE ，AD ⊥DF ，故翻折后，AO ⊥OE ，AO ⊥OF ，又OE ∩OF ＝O ，∴AO ⊥平面EOF ，故A 正确；连接OH ，AH ，如图，则∠OHA 为AH 与平面EOF 所成的角．∵OE ＝OF ＝1，∴EF ＝＝，∴OE ⊥OF ，又H 是EF 的中点，∴OH ＝EF ＝.12＋1221222又OA ＝2，∴tan ∠OHA ＝＝2，故B 正确；OAOH 2设四面体OAEF 的表面积为S ，体积为V ，内切球半径为r ，则V ＝S ·r .又V ＝S △OEF ·OA ＝1313××1×1×2＝，S ＝2××1×2＋×1×1＋××＝4，∴r ＝，解得r ＝，∴1312131212122322431314内切球的表面积为4πr 2＝，故C 错误；π4取AF 的中点，连接OP ，HP .∵点P 是AF 的中点，点H 是EF 的中点，∴PH ∥AE ，∴∠OHP 为异面直线OH 与AE 所成的角或其补角．∵OE ＝OF ＝1，OA ＝2，∴OP ＝AF ＝，PH ＝AE ＝，OH ＝，1252125222再取OH 的中点M，连接PM ，则PM ⊥OH ，∴cos ∠OHP ＝＝＝，故D 正确．MH PH 12OH PH 101015．(多选)如图，设E ，F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DC 上两点，且AB ＝2，EF ＝1，则下列说法中正确的是( )A ．异面直线D 1B 1与EF 所成的角为60°B ．三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值C ．平面B 1EF 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的大小为45°D ．直线D 1B 1与平面B 1EF 所成的角为30°答案 BCD解析 由于EF ∥C 1D 1，因此异面直线D 1B 1与EF 所成的角就是D 1B 1与C 1D 1所成的角，为45°，A 错误；△D 1EF 的面积不变，B 1到平面D 1EF 即平面D 1DCC 1的距离不变，因此三棱锥B 1－D 1EF 的体积不变，即三棱锥D 1－B 1EF 的体积为定值，B 正确；平面B 1EF 即为平面A 1B 1CD ，∠D 1A 1D 为平面A 1B 1CD 与平面A 1B 1C 1D 1所成的二面角的平面角，∠D 1A 1D ＝45°，C 正确；连接AD 1交A 1D 于M ，连接B 1M (图略)，由正方体性质知A 1B 1⊥AD 1，A 1D ⊥AD 1，而A 1B 1∩A 1D ＝A 1，因此AD 1⊥平面A 1B 1CD ，因此∠D 1B 1M 是直线B 1D 1与平面A 1B 1CD 即平面B 1EF 所成的角，在Rt △MB 1D 1中，D 1M ＝D 1B 1，所以∠D 1B 1M ＝30°，D 正确．1216.如图，点P 为平面ABC 外一点，AP ，AB ，AC 两两互相垂直，过AC 的中点D 作ED ⊥平面ABC ，且ED ＝1，PA ＝2，AC ＝2，连接BP ，BE ，多面体B －PADE 的体积是.33(1)画出平面PBE 与平面ABC 的交线，并说明理由；(2)求BE 和平面PADE 所成的角的正切值．解 (1)如图，延长PE 交AC 于点F ，∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴PA ⊥平面ABC .∵DE ⊥平面ABC ，∴DE ∥PA ，∴＝＝，∴F 与C 重合．DF AF DE PA 12∵C ∈PE ，C ∈AC ，PE ⊂平面PBE ，AC ⊂平面ABC ，∴C 是平面PBE 与平面ABC 的公共点．又B 是平面PBE 与平面ABC 的公共点，∴BC 是平面PBE 与平面ABC 的交线．(2)如图，连接AE .∵AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∴AB ⊥平面PAC ，∴∠BEA 为BE 和平面PADE 所成的角．∵V B －PADE ＝S 梯形ADEP ·AB13＝××(1＋2)×1×AB ＝，131233∴AB ＝.233又∵AE ＝＝，AD 2＋DE 22∴tan ∠BEA ＝＝.AB AE 63。
异面直线及其所成的角
D1 A1
D A
C1 B1
C B
3、下列结论正确的是（ C ） A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.两条直线不相交就平行
C.两条直线有既不相交又不平行的情况
D.一条直线和两条相交直线中的一条平行， 它也可能和另一条平行
4.如图,已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，
AB 2 3, AD 2 3, AA1 2 (1)BC和A1C1所成的角是多少度？45°
C1
别是A1B1与A1C1的中点。
B
若BC＝CA＝CC1，求BD1 与
AF1这两条异面直线所成
A C
的角。
分析：恰当的平移是将异面直线所成的角 转化为平面中的角的关键。
思路一：取BC中点G， 连结F1G，则角AF1G （或其补角）为异面 直线所成的角；解三 角形AF1G可得。
B1
D1 F1
A1
C1
arccos
5. 5
解法二（补形法）：如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
BC1的方体B1F， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，
在A1C1E中，
D1
C1
F1
A1C1 5, A1E 2 5, C1E 3 A1
B1
E1
由余弦定理得
cos A1C1E
B
A
G
C
思路二、延展平面 BAA1B1，使A1E＝D1A，
B1
D1 A1 F1
E
则将BD1平移到AE， 角EAF1（或其补角 ）
B A
C
即为BD1与AF1所成的角。
空间的角的概念及其计算，是立体几何的基本 内容，也是其重点和难点。
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角
【高中数学】高中数学知识点：异面直线所成的角异面直线所成角的定义：直线a和B是具有不同平面的直线。
如果它们通过空间中的任意点O并分别引导直线a′和B′B，则直线a′和B′形成的锐角（或直角）称为直线a和B与不同平面形成的角，如下图所示。
两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
在不同平面上直线形成的角度定义中，空间中的点O是可选的，与点O的位置无关。
求异面直线所成角的步骤：a、通过定义构造角度，一个可以固定，另一个可以平移，或者两个可以同时平移到特定位置，并且可以在特定位置选择顶点。
b、证明作出的角即为所求角；c、使用三角形来寻找角度。
特别提醒:（1）两条直线在不同平面上形成的角度与点O（平移后两条直线的交点）的选择无关(2)两异面直线所成角θ的取值范围是0<θ≤90．（3）判断空间中两条直线是不同平面直线的方法① 判断定理：平面外a点与平面内B点之间的连线与平面内的直线，但B点是不同的平面直线；② 相反的证明：不可能证明两条直线是共面的线线角的求法：（1）定义方法：使用“平移变换”使其成为两条相交直线形成的角度。
当不同平面上的直线垂直时，使用直线平面垂直度的定义或三垂线定理和逆定理来确定角度为90．(2)向量法：设两条直线所成的角为θ（锐角），直线l一和l二的方向向量分别为高中数学相关知识点：直线与平面的夹角直线与平面所成的角的定义：① 直线和平面形成三个角：a．斜线和平面所成的角：一条直线与平面α相交，但不和α垂直，这条直线叫做平面α的斜线．斜线与α的交点叫做斜足，过斜线上斜足以外的点向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在平面α内的射影，平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．b、垂直线与平面之间的角度：如果直线与平面垂直，则它们形成的角度为直角。
c．一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角为0零.② 取值范围：0≤ θ≤90．求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高
异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角专题复习与提高SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#空间角专题复习●知识梳理一、异面直线所成的角及求法(1)定义：在空间任意取一点，过该点分别作两异面直线的平行线所成的锐角或直角称为两异面直线所成的角．(2)取值范围：若θ是异面直线a 和b 所成的角，则其取值范围是θ∈(0，π2]，当θ＝π2时，称异面直线a 和b 垂直，记为a ⊥b . (3)求法：平移法：将两异面直线中的一条或两条平移至某特殊点后，构造三角形，通过解该三角形而求其大小；二、直线与平面所成的角及求法(1)定义：设l 和α分别表示直线与平面．①若l ∥α或l ?α，则称直线l 和平面α所成的角为0；②若l ⊥α，则称l 与α所成的角为2π；③若l 与α相交，则l 与l 在α内的射影所成的锐角为直线l 与平面α所成的角． (2)取值范围：设θ是直线l 与平面α所成的角，则θ的取值范围是[0,]2π．(3)求法：定义法：探寻直线l 在平面α内的射影，(通常由垂直法找射影)构造直线l 与平面α所成角对应的直角三角形，通过解该直角三角形而求得直线与平面所成的角．三、二面角及求法(1)定义：在二面角的棱上任取一点，分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角，且定义平面角的大小为该二面角的大小．(2)取值范围：规定二面角的取值范围为[0，π]．(3)求法：定义法：分别在二面角的两个面内作棱的垂线，则这两垂线所成的角称为该二面角的平面角●练习提升1．如图，E 、F 分别是三棱锥P －ABC 的棱AP 、BC 的中点，PC ＝10，AB ＝6，EF ＝7，则异面直线AB 与PC 所成的角为 ( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案：C2. 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成的角的正弦值为( )答案：C3.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝1，则二面角B －AC －D 的余弦值为 ( )答案：A4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C 与对角面DD 1B 1B 所成角的大小是 ( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°答案：B5．如图，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则AB 与A 1C 1所成的角为________，AA 1与B 1C 所成的角为________．答案：030，0456. 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角是________； (2)直线A 1B 与平面ABC 1D 1所成的角是________； (3)直线A 1B 与平面AB 1C 1D 所成的角是________． 答案 (1)45° (2)30° (3)90°7．设直线与平面所成角的大小范围为集合P ，二面角的平面角大小范围为集合Q ，异面直线所成角的大小范围为集合R ，则P 、Q 、R 的关系为( )A ．R ＝P ?QB ．R ?P ?QC ．P ?R ?QD ．R ?P ＝Q 答案：B8．设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝a，∠CBA＝∠CBD＝120°，则AD与平面BCD所成角的大小为( )A．30° B．45°C．60° D．75°解析：作AO⊥CB交CB的延长线于O，连接OD，则OD即为AD在平面BCD内的射影，∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵AO＝OD＝32a，∴∠ADO＝45°.答案：B9. 如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P—BC—A的大小为( )A．60°B．30°C．45°D．15°答案C10．如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD，则平面PAB 与平面PCD所成的二面角的度数为( )A．90° B．60°C．45° D．30°解析：∵AB∥CD，∴面PAB与平面PCD的交线l必为过P点与AB平行的直线．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥CD，又CD⊥AD，∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD，∴PA⊥l，PD⊥l，即∠APD为所求二面角的平面角，∠APD＝45°.答案：C11．把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：①AC ⊥BD ；②△ADC 是正三角形；③AB 与CD 成60°角；④AB 与平面BCD 成60°角．则其中正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：取BD 的中点O ，则BD ⊥OC ，BD ⊥OA ，得BD ⊥平面AOC ，∴BD ⊥AC ，①正确；cos ADC ＝cos45°·cos45°＝12，∠ADC ＝60°，AD ＝DC ，△ADC 是正三角形，②正确；AB 与CD 成60°角，③正确；AB 与平面BCD 成角∠ABO ＝45°，④错误．答案：C12．如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过顶点B 、D 、C 1作截面，则二面角B －DC 1－C 的平面角的余弦值是________．解析：取C 1D 的中点O ，连接BO 、CO ，则BO ⊥C 1D ，CO ⊥C 1D ， ∴∠BOC 是二面角B －DC 1－C 的平面角．设正方体的棱长为1，则CO ＝22， ∵△BDC 1为正三角形， ∴OB ＝62，且BC ＝1， ∴cos ∠BOC ＝OB 2＋OC 2－BC 22OB ·OC ＝33.答案：3313．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点．则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°解析：取B 1C 1的中点G ，A 1B 1的中点H ，连结FG 、BG 、HG 、EH ，则FG ∥BC 1，且∠EFG 或其补角就是所求的角，利用余弦定理可求得cos ∠EFG ＝－12，故所求角为60°.答案：B14．如图，将Rt △ABC 沿斜边上的高AD 折成120°的二面角C －AD －C ′，若直角边AB ＝43，AC ＝46，则二面角A －BC ′－D 的正切值为( )D ．1解析：∠CDC ′＝120°，过D 作DE ⊥BC ′于E ，连结AE ，则∠AED 即为所求．又知AD ⊥平面BC ′D ，AD ＝42，在△BC ′D 中，由余弦定理求得BC ′＝43，再由面积公式S △BC ′D＝12BC ′·DE ＝12·BD ·C ′D ·sin60°知DE ＝4，∴tan ∠AED ＝ADDE ＝ 2. 答案：A点评：考查二面角的知识，余弦定理及三角形的边角计算．如何作出二面角的平面角是解决此类问题的关键．15．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝435，那么二面角A —BD —P 的度数是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：如右图所示，过A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，连结PE ， 则PE ⊥BD (三垂线定理)，故∠PEA 为二面角P —BD —A 的平面角． 在Rt △BAD 中，AE ＝AB ·AD BD ＝125. 在Rt △PAE 中，tan ∠PEA ＝PA AE ＝33，∴∠PEA ＝30°. 答案：A16．正四棱锥P —ABCD 的两个侧面PAB 与PCD 互相垂直，则相邻两个侧面所成二面角的平面角为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°解析：如图，作BE ⊥PC ，连结DE . ∵△PDC ≌△PBC ，∴DE ⊥PC∴∠DEB 就是二面角D —PC —B 的平面角， ∵O 为DB 的中点，∴∠OEB＝12∠DEB，又∵面PAB⊥面PCD，∴PO＝12AB，在Rt△POC中，OC＝22AB，所以PC＝32AB.∴OE＝12AB·22AB32AB＝66AB.∴tan∠OEB＝22AB66AB＝3，∴∠OEB＝π3，∴∠DEB＝2π3.答案：C17. 如图，在四棱锥V—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它四个侧面都是侧棱长为5的等腰三角形，则二面角V—AB—C的度数是________．答案60°18．如图①，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝π2，点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直(如图②)．(1)求证：AB∥平面DNC；(2)当DN＝32时，求二面角D－BC－N的大小．解：(1)证明：MB ∥NC ，MB ?平面DNC ，NC ?平面DNC ，∴MB ∥平面DNC . 同理MA ∥平面DNC ，又MA ∩MB ＝M ，且MA 、MB ?平面MAB .⎭⎪⎬⎪⎫∴平面MAB ∥平面NCD AB ?平面MAB ?AB ∥平面DNC . (2)过N 作NH ⊥BC 交BC 延长线于H ， ∵平面AMND ⊥平面MNCB ，DN ⊥MN ， ∴DN ⊥平面MBCN ，从而DH ⊥BC ， ∴∠DHN 为二面角D －BC －N 的平面角． 由MB ＝4，BC ＝2，∠MCB ＝90°知∠MBC ＝60°，CN ＝4－2cos60°＝3，∴NH ＝3sin60°＝332. 由条件知：tan NHD ＝DN NH ＝33，∴∠NHD ＝30°. 19.如图，已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝1，AB ＝2，E 、F 分别是AB 、PD 的中点．(1)求证：AF ∥平面PEC ；(2)求PC 与平面ABCD 所成的角的正切值； (3)求二面角P －EC －D 的正切值． 解：(1)证明：如图，取PC 的中点O ， 连接OF 、OE ，则FO ∥DC ， 且FO ＝12DC ，∴FO ∥AE ， 又E 是AB 的中点， 且AB ＝DC ， ∴FO ＝AE .∴四边形AEOF 是平行四边形， ∴AF ∥OE . 又OE ?平面PEC ，AF ?平面PEC ，∴AF ∥平面PEC . (2)如图，连接AC ， ∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PCA 是直线PC 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △PAC 中，tan ∠PCA ＝PA AC＝15＝55， 即直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为55. (3)如图，作AM ⊥CE ， 交CE 的延长线于M .连接PM ，由三垂线定理得PM ⊥CE ， ∴∠PMA 是二面角P －EC －D 的平面角． 由△AME ∽△CBE 可得AM ＝22， ∴tan ∠PMA ＝PA AM＝ 2.∴二面角P －EC －D 的正切值为 2.20. 如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝ 3. (1)证明：平面PBE ⊥平面PAB ； (2)求二面角A —BE —P 的大小．(1)证明 如图所示,连接BD ,由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD . 又AB ∥CD ， 所以BE ⊥AB .又因为PA ⊥平面ABCD ，BE ?平面ABCD ，所以PA ⊥BE . 而PA ∩AB ＝A ， 因此BE ⊥平面PAB . 又BE ?平面PBE ， 所以平面PBE ⊥平面PAB .(2)解 由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB ?平面PAB ， 所以PB ⊥BE .又AB ⊥BE ，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．在Rt△PAB中，tan∠PBA＝PAAB＝3，则∠PBA＝60°.故二面角A—BE—P的大小是60°.21．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．解(1)如图(1)，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝2－13＝33.∴∠BAH＝30°.(2)如图(2)，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成角．∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CCA1＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，∴B1C＝233.∴tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°，∴AB与α所成角为60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成角为30°或60°.22. 如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC.(1)求证：BC⊥ 平面PAC.(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角并说明理由(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC.这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。
异面直线及其所成的角
异面直线及其所成的角填空题基础题1.doc参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2015•松江区一模）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）．来源：2015年市松江区高考数学一模试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到．解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，即有tan60°=，即b=a，在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a，cos∠BC1A1==．则BC1与AC所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题．2．（2015•浦东新区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．求异面直线AC与ED所成的角的大小为arccos．来源：2015年市浦东新区高考数学一模试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形求出该角．本题中取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．再放入Rt△EFD中来求．解答：解：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，DF=，ED=，cos．所以异面直线AC与ED所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查运算能力，属于基础题．3．（2015•校级二模）在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于2．来源：2015年省三中高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC．解答：解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，∵AD=，∴CE=，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键．4．（2015•二模）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为．来源：2015年省市高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角；棱锥的结构特征．专题：计算题；空间角．分析：将图形补成体，连接AE，CE，则PB∥EC，所以∠ACE是直线PB与直线AC所成角，即可得出结论．解答：解：如图所示，将图形补成体，连接AE，CE，则PB∥EC，所以∠ACE是直线PB与直线AC所成角，因为AC=AE=CE，所以∠ACE=．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查学生的计算能力，比较基础．5．（2015春•校级期末）已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先画出四面体OABC，取棱OC中点E，连接DE，BE，可判断∠BDE便是异面直线BD与AC所成角，并容易求出，这样便可得到cos∠BDE=．解答：解：如图，取OC中点E，连接DE，BE；∵D是棱OA的中点；∴DE∥AC；∴∠BDE或其补角为直线BD，AC所成角；则在△BDE中，BD=BE=，DE=；∴；∴∠BDE为异面直线BD，AC所成角，其余弦值为．故答案为：．点评：三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及直角三角形边角的关系．6．（2015春•期末）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与BB1所成角的正弦值为．来源：2014-2015学年省市高一（下）期末数学试卷（A卷）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，连接AC，由B1B∥C1C，可得∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：如图所示，连接AC，∵B1B∥C1C，∴∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角．在Rt△AC1C中，AC1===3，AC===2，∴sin∠AC1C==，故答案为：．点评：本题考查了异面直线所成的角、长方体的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2014秋•凤凰县校级月考）体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1D1、C1C中点，则异面直线A1D与MN所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省湘西州凤凰中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1D与MN所成角的余弦值．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A1（2，0，2），D（0，0，0），M（1，0，2），N（0，2，1），=（﹣2，0，﹣2），=（﹣1，2，﹣1），cos＜，＞===．∴异面直线A1D与MN所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8．（2014•模拟）如图，体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，则异面直线C1M与AA1所成角的余弦值为来源：2014年省市高考数学二诊试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：设体的边长为a，由平行公理可得CC1∥AA1，则∠CC1M即为异面直线C1M与AA1所成角，通过解直角三角形△CC1M，即可得到所求值．解答：解：设体的边长为a，则CM=，由于CC1∥BB1，BB1∥AA1，则CC1∥AA1，则∠CC1M即为异面直线C1M与AA1所成角，在△CC1M中，cos∠CC1M===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查平移法的运用，考查运算能力，属于基础题．9．（2014春•嵩明县校级期末）如图所示，点P在形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为60°．来源：2013-2014学年省市嵩明一中高一年级（下）期末数学试卷难度：0.79考点：异面直线及其所成的角．分析：本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可解答：解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，∵点P在形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故答案为：60°点评：本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．10．（2014秋•期末）如图，在棱长为2的体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于．来源：2014-2015学年省市高三（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．解答：解：取BC的中点F，连接EF，OF由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，所以：EF∥BC1∥AD1所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．平面ABCD⊥平面BCC1B1OF⊥BC所以：OF⊥平面BCC1B1EF⊂平面BCC1B1所以：EF⊥OFcos故答案为：点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型．11．（2014秋•易县期末）在体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC与C1D1所成的角的度数为90°．来源：2014-2015学年省市易县职教中心高二（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由C1D1∥CD，能求出BC与C1D1所成的角的度数．解答：解：∵C1D1∥CD，又CD⊥BD，∴BC与C1D1所成的角的度数为90°．故答案为：90°．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．12．（2014秋•利川市校级期末）体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线BD与AD′所成的角的大小为60°．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结B′D′，AB′，BD∥B′D′，∠AD′B′是异面直线BD与AD′所成的角，由△AB′D′是等边三角形，能求出异面直线BD与AD′所成的角．解答：解：连结B′D′，AB′，∵BD∥B′D′，∴∠AD′B′是异面直线BD与AD′所成的角，∵△AB′D′是等边三角形，∴∠AD′B′=60°，∴异面直线BD与AD′所成的角为60°．故答案为：60°．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．（2014秋•罗湖区校级期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，则∠CAB等于90°．来源：2014-2015学年省中学高一（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由已知条件，构造体ABDC﹣A1B1D1C1，由此能求出∠CAB=90°．解答：解：由已知条件，构造体ABDC﹣A1B1D1C1，满足条件AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，∴∠CAB=90°．故答案为：90°．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．（2014秋•期末）已知正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则异面直线EF与AD所成角的度数为45°．来源：2014-2015学年省市高三（上）期末数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位线，平移直线AD，得到异面直线EF与AD所成的角，再放入直角三角形中，即可求得．解答：解：取BC的中点G，连接EG，FG，∵E，G分别为AB，BD的中点，∴EG∥AD，FG∥BC，EG=AD，FG=BC∴∠FEG为异面直线EF与AD所成的角∵四面体ABCD为正四面体，∴AD=BC，∴EG=FG过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的重心，AO⊥BD∵DO⊥BC，AO∩DO=O∴BC⊥平面AOD∵AD⊂平面AOD∴BC⊥AD，∵EG∥AD，FG∥BC∴EG⊥FG在Rt△EGF中，∵∠EGF=90°，且EG=FG∴∠FEG=45°故答案为：45°．点评：本题主要考查了正四面体中线线位置关系，以及异面直线所成角的求法，综合考查了学生的识图能力，作图能力，以及空间想象力．15．（2014秋•期末）正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值．解答：解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，设正四面体ABCD的棱长为2a，（a＞0），则EF=AB=a，CE=CF=2a•sin60°=a，在△CEF中，cos∠CEF===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．16．（2014秋•期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G 分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为90°．来源：2014-2015学年省市高一（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成角．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），设异面直线A1E与GF所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|==0，∴异面直线A1E与GF所成角为90°．故答案为：90°．点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．17．（2014秋•期末）体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结BC1，AD1∥BC1，∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线OC1与AD1所成角的大小．解答：解：连结BC1，∵AD1∥BC1，∴∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，设体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则BO==，C1O=，，∴cos∠BC1O===，∴∠BC1O=30°．∴异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°．故答案为：30°．点评：本题考查异面直线OC1与AD1所成角的大小的求法，是基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．18．（2014秋•期末）在形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，若沿EF将形折成一个二面角A﹣EF﹣D使得AD=AE，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结BE，CE、BC，由AD∥BC，得∠BCE是异面直线AD与CE所成角，由余弦定理得：cos∠BCE=，由此能求出异面直线AD与CE所成角的余弦值．解答：解：连结BE，CE、BC，设AE=x，则DE=x，AD=CB=，∴AE2+DE2=AD2，∴AE⊥DE，=，∵AD∥BC，∴∠BCE是异面直线AD与CE所成角，由余弦定理得：cos∠BCE===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．19．（2014秋•期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，已知AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，若D为BC的中点，则AB1与C1D所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB1与C1D所成角的余弦值．解答：解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），D（1，1，0），=（2，0，2），=（1，﹣1，﹣2），设AB1与C1D所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===，∴AB1与C1D所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（2014秋•期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=CC1，M是A1B1的中点，则AC1与BM所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC1与BM所成角的余弦值．解答：解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=AC=CC1=2，则A（0，0，0），C1（0，2，2），B（2，0，0），M（1，0，2）=（0，2，2），=（﹣1，0，2），设AC1与BM所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===．∴AC1与BM所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．21．（2014秋•河区校级期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则DB1和C1A1所成角大小为．来源：2014-2015学年省二中高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为2.==2，||==2，=（+）•（）=4，设DB1和C1A1所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|=，由此能求出DB1和C1A1所成角大小．解答：解：设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为2．∵=﹣+，=﹣，∴===2，||====2，=（+）•（）=﹣2+﹣=4+4﹣4+2﹣2=4，设DB1和C1A1所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===，∴θ=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是异面直线所成角的余弦值的计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．22．（2014秋•校级期中）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年省十一中高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：首先把空间问题转化为平面问题，通过连结A1B得到：A1B∥CD1进一步解三角形，设AB=1，利用余弦定理：，根据线段AE=1，，BE=的长求出结果．解答：解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连结A1B，根据四棱柱的性质A1B∥CD1设AB=1，则：AA1=2AB=2，∵E为AA1的中点，∴AE=1，，BE=在△A1BE中，利用余弦定理求得：=即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为：故答案为：点评：本题考查的知识点：异面直线的夹角，余弦定理得应用，及相关的运算．23．（2014秋•荥经县校级期中）在体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则异面直线MN与AC所成角的度数是60°．来源：2014-2015学年省市荥经中学高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先建立直角坐标系，进一步求出相应的点的坐标，利用向量的数量积求出异面直线的夹角．解答：解：设体体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，建立直角坐标系D﹣xyz，根据题意得到：A（2，0，0）C（0，2，0），由于M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，M（0，0，1），N（0，1，0）则：，设：异面直线MN与AC所成角为θ则：cosθ==由于：0°＜θ≤90°所以：θ=60°故答案为：60°点评：本题考查的知识要点：如何建立直角坐标系，向量的数量积，异面直线的夹角及相关的运算问题．24．（2014秋•雁峰区校级期中）在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点．则异面直线A1E，CF所成的角为．来源：2014-2015学年省八中高二（上）期中数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：以D为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出异面直线A1E，CF的方向向量，代入向量夹角公式，可得求异面直线A1E，CF所成的角．解答：解：以D为原点建立空间直角坐标系，则A1（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F（0，1，1），∴=（﹣1，2，﹣1），=（0，﹣1，1），设异面直线A1E，CF所成的角为θ，则cosθ==，所以θ=，所求异面直线的夹角为．故答案为：．点评：本题考查异面直线及其所成的角，建立空间坐标系，将空间异面直线夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．25．（2014秋•无为县校级期中）在体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是60°．来源：2014-2015学年省市无为三中高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：通过平移直线作出异面直线AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得．解答：解：如图，连结BC1、BD和DC1，在体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故答案为60°．点评：本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．26．（2014秋•校级期中）空间四边形PABC中，PB=10，PC=6，BC=6，∠APB=∠APC=，则cos=﹣．来源：2014-2015学年省五中高二（上）期中数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积，求出两向量夹角的余弦值即可．解答：解：如图所示，∵PB=10，PC=6，BC=6，∠APB=∠APC=，∴cos======﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，解题时应利用平面向量的数量积求两向量的夹角，是基础题．27．（2014秋•合阳县校级月考）空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为60°．来源：2014-2015学年省市合阳县黑池中学高三（上）第四次质检数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角．解答：解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM==5，GN=在△GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得：|=即：cos所以：∠MGN=120°所以：异面直线AC与BD所成的角为60°故答案为：60°点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，余弦定理的应用，属于基础题型．28．（2014秋•香坊区校级月考）若四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，则AB=AP=AD=3，CD=6，则直线PD和BC成的角的大小为．来源：2014-2015学年省六中高二（上）12月月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：先作出异面直线所成的角，再使用余弦定理即可求出．解答：解：建立坐标系如图：因为底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，则AB=AP=AD=3，CD=6，所以P（0，0，3），D（0，3，0），B（3，0，0），C（6，3，0），所以=（0，3，﹣3），=（3，3，0），所以cos＜＞==，所以直线PD和BC成的角的大小为；故答案为：．点评：本题考查了异面直线所成的角的求法；本题借助于空间向量的数量积解答的；关键是适当的建立坐标系，正确写出向量的坐标和正确的计算．29．（2014秋•仁寿县校级月考）如图在四面体ABCD中，E、F为BC、AD的中点，且AB=CD，EF=AB，则异面直线AB与CD所成角为60°．来源：2014-2015学年省眉山市仁寿一中北校区高二（上）10月月考数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先来找异面直线AB，CD所成角：通过已知条件，容易想到取BD中点G，并连接EG，FG，则∠EGF或其补角便是异面直线AB，CD所成角．所以需要求出∠EGF，这时候就应想到用余弦定理求，所以设AB=2，这样便得到EG=FG=1，EF=，所以根据余弦定理即可求出∠EGF=120°，所以异面直线AB，CD所成角为60°．解答：解：如图，取BD中点G，并连接EG，FG，则EG∥AB，且EG=，FG∥CD，且FG=；∴异面直线AB与CD所成角等于∠EGF或其补角；设AB=2，则：EG=1，FG=1，EF=；∴在△EFG中，由余弦定理得cos∠EGF=；∴∠EGF=120°；∴异面直线AB与CD所成角为60°．故答案为：60°．点评：考查异面直线所成角的概念及求法，中位线的性质，以及余弦定理．30．（2014秋•蜀山区校级月考）如图，在体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是．来源：2014-2015学年省市剑桥学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：直接找出异面直线所成角，然后求解即可．解答：解：因为几何体是体，AA1∥DD1，AA1与B1D所成角等于∠B1DD1，设体的棱长为：1，所求异面直线所成角的余弦值为：cos∠B1DD1==．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，基本知识的考查．异面直线及其所成的角填空题基础题2.doc参考答案与试题解析一．填空题（共22小题）1．（2014秋•惠阳区校级月考）已知空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，则对角线BD与AC所成的角的大小为90°．来源：2014-2015学年省市惠阳高级中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：取BD中点O，连结AO，CO，由已知得AO⊥BD，CO⊥BD，从而BD⊥平面AOC，由此能求出对角线BD与AC所成的角的大小．解答：解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB=AD，BC=CD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，∴对角线BD与AC所成的角的大小为90°．故答案为：90°．点评：本题考查对角线BD与AC所成的角的大小的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．2．（2014秋•连城县校级月考）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2，那么DD1和BC1所成的角是60度．来源：2014-2015学年省市连城一中高一（上）第三次月考数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知几何体为长方体，所以容易得到∠DD1和BC1所成的角是BC1C，利用直角三角形的三角函数解之．解答：解：因为已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以CC1∥DD1，所以∠DD1和BC1所成的角是BC1C，又AB=2，AD=2，AA1=2，所以tan∠BC1C=，所以∠BC1C=60°；故答案为：60．点评：本题考查了长方体的性质运用以及异面直线所成的角的求法；关键是将空间角转化为平面角．3．（2014秋•普陀区月考）如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为，则异面直线A1A 与B1C所成的角的大小为arctan．（结果用反三角函数值表示）来源：2014-2015学年市普陀区高三（上）12月调研数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据已知条件容易求得BB1=4，并且判断出∠BB1C是异面直线A1A与B1C所成的角，而tan∠BB1C=，所以得到异面直线A1A与B1C所成的角的大小为arctan．解答：解：根据已知条件知，；∴BB1=4；∵BB1∥AA1；∴∠BB1C是异面直线A1A与B1C所成角；∴在Rt△BCB1中，tan∠BB1C=；∴．故答案为：arctan．点评：考查三角形面积公式，三棱柱的体积公式，以及异面直线所成角的概念及求法．4．（2014秋•桥东区校级月考）在棱长为1的体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为AA1和BB1的中点，那么直线CM与D1N所成角的余弦值是．来源：2014-2015学年省二中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：取C1C的中点P，连接A1P，将MC平移到A1P，根据异面直线所成角的定义可知∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角，在三角形A1OD1中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．解答：解：取C1C的中点P，连接A1P∵A1M∥CP，且A1M=/CP，∴四边形A1MCP是平行四边形∴A1P∥MC，则∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角∵体的棱长为1，∴A1P=MC==，D1O=A1O=cos∠A1OD1=，即直线CM与D1N所成角的余弦值是故答案为：点评：本题主要考查异面直线所成的求解，根据直线平行的性质是解决本题的关键．本题也可以使用坐标法进行求解．5．（2014秋•嵊泗县校级月考）已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，直线m、n满足m⊥α，n⊥β，则异面直线m、n所成的角为60°．来源：2014-2015学年省市嵊泗中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由条件m⊥α，n⊥β可知m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补，而异面直线所成角的围是0°＜θ≤90°，所以m、n所成的角为二面角α﹣l﹣β所成的角．解答：解：∵m⊥α，n⊥β，∴m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补．∵二面角α﹣l﹣β为60°，∴异面直线m、n所成的角为60°．故答案为60°，点评：本题考查了异面直线所成角、二面角的平面角的作法和直线与平面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．运用垂面法作二面角的平面角，是解决本题的关键．。
求异面直线所成角的步骤
求异面直线所成角的步骤
1. 确定直线的方向向量：首先找到直线上的两个点，计算这两个点的坐标差值，得到直线的方向向量。
2. 求两个面的法向量：找到两个平面的方程，然后将方程转化为法向量的形式。
3. 计算直线与两个平面的法向量的夹角：使用向量的点乘公式，计算直线的方向向量与两个平面的法向量的点乘，得到两个夹角的余弦值。
4. 通过余弦值得到角度：使用反余弦函数，计算出两个夹角的角度值。
注意：根据夹角的符号可判断当异面直线存在时，夹角的位置关系。
求异面直线所成角的方法一览
求异面直线所成角的方法一览
求异面直线所成角的方法
答：求异面直线所成夹角的方法有许多，现介绍三种常用的方法。
1、利用角的三角形解法：由定义可知，先将两条直线分别定义为“a” 与“b”，令其与第三条直线“c”相交，所成的角度取为α 。
所以，解题方法为：通过构造三角形，将直线“a” 与“b” 也作入三角形中，利用角的三角形解法解得α所需夹角（又称夹角α ）。
2、利用直线的数学方程解法：在平面几何中，任意两条直线可以有唯一的数
学方程表示，令其方程分别为 y=ax+b 与 y=cx+d，则求夹角α 需用到斜率公式，即tanα = (c-a)/(1+ad-bc) 。
3、利用夹角角度解法：运用角度解法，对两条直线做夹角测角，得到两条直
线夹角的度数α 。
总之，我们能够根据自身需求，使用以上几种方法都可以轻松求出异面直线所
成夹角。
基本思路就是通过三角形的角度计算，直线的方程数学计算等方法来确定异面直线的夹角。
关于异面直线所成角的一个定理及其推论
关于异面直线所成角的一个定理及其推论
异面直线所成角定理是一个基本的几何定理，也是数学家们研究平面几何中最重要的定理之
一。
它指出，在一个平面内，如果有两条不同的直线，它们必然存在一个交点，并且这两条直线所成的角度是90度。
异面直线所成角定理的推论是，如果在一个平面内有多条直线，它们必然存在一个公共的交点，且这些直线所成的所有角都是90度。
这意味着，在一个平面内，多条直线可以构成一个角度均为90度的多边形。
此外，还有一种推论是，如果在一个平面内有两条直线，它们之间没有公共的交点，则这两条直线所成的角度不是90度。
这表明，在一个平面内，没有公共交点的直线之间不能构成一个角度为90度的多边形。
异面直线所成角定理的应用非常广泛，在几何图形的绘制中，它可以帮助我们计算出多边形的边角，从而更加准确地绘制出多边形。
此外，它还可以用来计算出几何图形中不同直线之间的夹角，进而计算出不同几何图形之间的关系。
总之，异面直线所成角定理是数学家们研究平面几何中最重要的定理之
一，它的应用非常广泛，在几何图形的绘制中，它可以帮助我们更加准确地绘制出多边形，以及计算出不同几何图形之间的关系。
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异面直线及其所成的角填空题基础题1.doc参考答案与试题解析一．填空题（共30小题）1．（2015•松江区一模）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1与平面ABCD所成的角为60°，则BC1与AC所成的角为arccos（结果用反三角函数表示）．来源：2015年上海市松江区高考数学一模试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，即b=a，再由余弦定理，即可得到．解答：解：连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，∠BC1A1即为BC1与AC所成的角．设正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中的底面边长为a，侧棱长为b，则由于CC1⊥平面ABCD，则∠C1BC=60°，即有tan60°=，即b=a，在△BA1C1中，BC1=BA1==2a，A1C1=a，cos∠BC1A1==．则BC1与AC所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题考查空间的直线和平面所成的角，异面直线所成的角的求法，考查运算能力，属于基础题．2．（2015•浦东新区一模）如图，已知PA⊥平面ABC，AC⊥AB，AP=BC=2，∠CBA=30°，D、E分别是BC、AP的中点．求异面直线AC与ED所成的角的大小为arccos．来源：2015年上海市浦东新区高考数学一模试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：欲求异面直线所成角，只需平移异面直线中的一条，是它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角，再放入三角形中，通过解三角形求出该角．本题中取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．再放入Rt△EFD中来求．解答：解：取AB中点F，连接DF，EF，则AC∥DF，所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角．由已知，AC=EA=AD=1，AB=，PB=，∵AC⊥EF，∴DF⊥EF．在Rt△EFD中，DF=，ED=，cos．所以异面直线AC与ED所成的角为arccos．故答案为：arccos．点评：本题主要考查了异面直线所成角的求法，考查运算能力，属于基础题．3．（2015•哈尔滨校级二模）在四面体ABCD中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，且AD=，则BC等于2．来源：2015年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，即可求出BC．解答：解：如图所示，长方体中，AD⊥AB，AD⊥DC，若AD与BC成角60°，则∠BCE=60°，∵AD=，∴CE=，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，正确构造图形是关键．4．（2015•昆明二模）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，PA=AB，则直线PB与直线AC所成角的大小为．来源：2015年云南省昆明市高考数学二模试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角；棱锥的结构特征．专题：计算题；空间角．分析：将图形补成正方体，连接AE，CE，则PB∥EC，所以∠ACE是直线PB与直线AC所成角，即可得出结论．解答：解：如图所示，将图形补成正方体，连接AE，CE，则PB∥EC，所以∠ACE是直线PB与直线AC所成角，因为AC=AE=CE，所以∠ACE=．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查学生的计算能力，比较基础．5．（2015春•武汉校级期末）已知四面体OABC各棱长为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值是．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先画出四面体OABC，取棱OC中点E，连接DE，BE，可判断∠BDE便是异面直线BD与AC所成角，并容易求出，这样便可得到cos∠BDE=．解答：解：如图，取OC中点E，连接DE，BE；∵D是棱OA的中点；∴DE∥AC；∴∠BDE或其补角为直线BD，AC所成角；则在△BDE中，BD=BE=，DE=；∴；∴∠BDE为异面直线BD，AC所成角，其余弦值为．故答案为：．点评：三角形中位线的性质，异面直线所成角的概念及求法，以及直角三角形边角的关系．6．（2015春•宜昌期末）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与BB1所成角的正弦值为．来源：2014-2015学年湖北省宜昌市高一（下）期末数学试卷（A卷）难度：0.80专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，连接AC，由B1B∥C1C，可得∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：如图所示，连接AC，∵B1B∥C1C，∴∠AC1C是异面直线AC1与BB1所成的角．在Rt△AC1C中，AC1===3，AC===2，∴sin∠AC1C==，故答案为：．点评：本题考查了异面直线所成的角、长方体的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（2014秋•凤凰县校级月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1D1、C1C 中点，则异面直线A1D与MN所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年湖南省湘西州湘潭凤凰中学高二（上）第三次月考数学试卷（理科）难度：0.80专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1D与MN所成角的余弦值．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A1（2，0，2），D（0，0，0），M（1，0，2），N（0，2，1），=（﹣2，0，﹣2），=（﹣1，2，﹣1），cos＜，＞===．∴异面直线A1D与MN所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．8．（2014•泸州模拟）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱BC的中点，则异面直线C1M与AA1所成角的余弦值为来源：2014年四川省泸州市高考数学二诊试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：设正方体的边长为a，由平行公理可得CC1∥AA1，则∠CC1M即为异面直线C1M与AA1所成角，通过解直角三角形△CC1M，即可得到所求值．解答：解：设正方体的边长为a，则CM=，由于CC1∥BB1，BB1∥AA1，则CC1∥AA1，则∠CC1M即为异面直线C1M与AA1所成角，在△CC1M中，cos∠CC1M===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成的角的求法，考查平移法的运用，考查运算能力，属于基础题．9．（2014春•嵩明县校级期末）如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为60°．来源：2013-2014学年云南省昆明市嵩明一中高一年级（下）期末数学试卷难度：0.79考点：异面直线及其所成的角．分析：本题求解宜用向量法来做，以D为坐标原点，建立空间坐标系，求出两直线的方向向量，利用数量积公式求夹角即可解答：解：如图，以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在线为y轴，DP所在线为z轴，建立空间坐标系，∵点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，令PD=AD=1∴A（1，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，0，0）∴=（1，0，﹣1），=（﹣1，﹣1，0）∴cosθ==故两向量夹角的余弦值为，即两直线PA与BD所成角的度数为60°．故答案为：60°点评：本题考查异面直线所角的求法，由于本题中所给的背景建立空间坐标系方便，故采取了向量法求两直线所成角的度数，从解题过程可以看出，此法的优点是不用作辅助线，大大降低了思维难度．10．（2014秋•济宁期末）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于．来源：2014-2015学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先通过做平行线把异面直线的夹角转化为共面直线的夹角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．解答：解：取BC的中点F，连接EF，OF由于O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，所以：EF∥BC1∥AD1所以：异面直线OE与AD1所成角，即OE与EF所成的角．平面ABCD⊥平面BCC1B1OF⊥BC所以：OF⊥平面BCC1B1EF⊂平面BCC1B1所以：EF⊥OFcos故答案为：点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，线面垂直与面面垂直及线线垂直之间的转化，属于基础题型．11．（2014秋•易县期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC与C1D1所成的角的度数为90°．来源：2014-2015学年河北省保定市易县职教中心高二（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由C1D1∥CD，能求出BC与C1D1所成的角的度数．解答：解：∵C1D1∥CD，又CD⊥BD，∴BC与C1D1所成的角的度数为90°．故答案为：90°．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意空间思维能力的培养．12．（2014秋•利川市校级期末）正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，异面直线BD与AD′所成的角的大小为60°．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结B′D′，AB′，BD∥B′D′，∠AD′B′是异面直线BD与AD′所成的角，由△AB′D′是等边三角形，能求出异面直线BD与AD′所成的角．解答：解：连结B′D′，AB′，∵BD∥B′D′，∴∠AD′B′是异面直线BD与AD′所成的角，∵△AB′D′是等边三角形，∴∠AD′B′=60°，∴异面直线BD与AD′所成的角为60°．故答案为：60°．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13．（2014秋•罗湖区校级期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，则∠CAB等于90°．来源：2014-2015学年广东省深圳中学高一（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由已知条件，构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1，由此能求出∠CAB=90°．解答：解：由已知条件，构造正方体ABDC﹣A1B1D1C1，满足条件AC=AB=AA1，且异面直线AC1与A1B所成的角为60°，∴∠CAB=90°．故答案为：90°．点评：本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．14．（2014秋•嘉兴期末）已知正四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，则异面直线EF与AD所成角的度数为45°．来源：2014-2015学年浙江省嘉兴市高三（上）期末数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据正四面体的性质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位线，平移直线AD，得到异面直线EF与AD所成的角，再放入直角三角形中，即可求得．解答：解：取BC的中点G，连接EG，FG，∵E，G分别为AB，BD的中点，∴EG∥AD，FG∥BC，EG=AD，FG=BC∴∠FEG为异面直线EF与AD所成的角∵四面体ABCD为正四面体，∴AD=BC，∴EG=FG过点A作AO⊥平面BCD，垂足为O，则O为△BCD的重心，AO⊥BD∵DO⊥BC，AO∩DO=O∴BC⊥平面AOD∵AD⊂平面AOD∴BC⊥AD，∵EG∥AD，FG∥BC∴EG⊥FG在Rt△EGF中，∵∠EGF=90°，且EG=FG∴∠FEG=45°故答案为：45°．点评：本题主要考查了正四面体中线线位置关系，以及异面直线所成角的求法，综合考查了学生的识图能力，作图能力，以及空间想象力．15．（2014秋•唐山期末）正四面体ABCD中，E为AD的中点，则异面直线AB与CE所成角的余弦值等于．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线AB与CE所成角的余弦值．解答：解：如图所示，取BD的中点F，连接EF，CF，则EF与CE所成的角即为异面直线AB与CE所成角，设正四面体ABCD的棱长为2a，（a＞0），则EF=AB=a，CE=CF=2a•sin60°=a，在△CEF中，cos∠CEF===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．16．（2014秋•信阳期末）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为90°．来源：2014-2015学年河南省信阳市高一（上）期末数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成角．解答：解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），设异面直线A1E与GF所成角为θ，cosθ=|cos＜＞|==0，∴异面直线A1E与GF所成角为90°．故答案为：90°．点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．17．（2014秋•唐山期末）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结BC1，AD1∥BC1，∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，由此利用余弦定理能求出异面直线OC1与AD1所成角的大小．解答：解：连结BC1，∵AD1∥BC1，∴∠BC1O是异面直线OC1与AD1所成角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则BO==，C1O=，，∴cos∠BC1O===，∴∠BC1O=30°．∴异面直线OC1与AD1所成角的大小为30°．故答案为：30°．点评：本题考查异面直线OC1与AD1所成角的大小的求法，是基础题，解题时要注意余弦定理的合理运用．18．（2014秋•台州期末）在正方形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，若沿EF 将正方形折成一个二面角A﹣EF﹣D使得AD=AE，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为．来源：难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：连结BE，CE、BC，由AD∥BC，得∠BCE是异面直线AD与CE所成角，由余弦定理得：cos∠BCE=，由此能求出异面直线AD与CE所成角的余弦值．解答：解：连结BE，CE、BC，设AE=x，则DE=x，AD=CB=，∴AE2+DE2=AD2，∴AE⊥DE，=，∵AD∥BC，∴∠BCE是异面直线AD与CE所成角，由余弦定理得：cos∠BCE===．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．19．（2014秋•济宁期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱与底面垂直，已知AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，若D为BC的中点，则AB1与C1D所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年山东省济宁市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AB1与C1D所成角的余弦值．解答：解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B1（2，0，2），C1（0，2，2），D（1，1，0），=（2，0，2），=（1，﹣1，﹣2），设AB1与C1D所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===，∴AB1与C1D所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（2014秋•大连期末）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=CC1，M是A1B1的中点，则AC1与BM所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年辽宁省大连市高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC1与BM所成角的余弦值．解答：解：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=AC=CC1=2，则A（0，0，0），C1（0，2，2），B（2，0，0），M（1，0，2）=（0，2，2），=（﹣1，0，2），设AC1与BM所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===．∴AC1与BM所成角的余弦值为．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．21．（2014秋•沈河区校级期末）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则DB1和C1A1所成角大小为．来源：2014-2015学年辽宁省沈阳二中高二（上）期末数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为2.==2，||==2，=（+）•（）=4，设DB1和C1A1所成角为θ，cosθ=|cos ＜，＞|=，由此能求出DB1和C1A1所成角大小．解答：解：设=，=，=，则两两夹角为60°，且模均为2．∵=﹣+，=﹣，∴===2，||====2，=（+）•（）=﹣2+﹣=4+4﹣4+2﹣2=4，设DB1和C1A1所成角为θ，cosθ=|cos＜，＞|===，∴θ=．故答案为：．点评：本题考查的知识点是异面直线所成角的余弦值的计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键．22．（2014秋•成都校级期中）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1的中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为．来源：2014-2015学年四川省成都十一中高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：首先把空间问题转化为平面问题，通过连结A1B得到：A1B∥CD1进一步解三角形，设AB=1，利用余弦定理：，根据线段AE=1，，BE=的长求出结果．解答：解：在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，连结A1B，根据四棱柱的性质A1B∥CD1设AB=1，则：AA1=2AB=2，∵E为AA1的中点，∴AE=1，，BE=在△A1BE中，利用余弦定理求得：=即异面直线BE与CD1所成角的余弦值为：故答案为：点评：本题考查的知识点：异面直线的夹角，余弦定理得应用，及相关的运算．23．（2014秋•荥经县校级期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则异面直线MN与AC所成角的度数是60°．来源：2014-2015学年四川省雅安市荥经中学高二（上）期中数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先建立直角坐标系，进一步求出相应的点的坐标，利用向量的数量积求出异面直线的夹角．解答：解：设正方体正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，建立直角坐标系D﹣xyz，根据题意得到：A（2，0，0）C（0，2，0），由于M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，M（0，0，1），N（0，1，0）则：，设：异面直线MN与AC所成角为θ则：cosθ==由于：0°＜θ≤90°所以：θ=60°故答案为：60°点评：本题考查的知识要点：如何建立直角坐标系，向量的数量积，异面直线的夹角及相关的运算问题．24．（2014秋•雁峰区校级期中）在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点．则异面直线A1E，CF所成的角为．来源：2014-2015学年湖南省衡阳八中高二（上）期中数学试卷（理科）难度：0.80专题：计算题；空间角．分析：以D为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出异面直线A1E，CF的方向向量，代入向量夹角公式，可得求异面直线A1E，CF所成的角．解答：解：以D为原点建立空间直角坐标系，则A1（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F（0，1，1），∴=（﹣1，2，﹣1），=（0，﹣1，1），设异面直线A1E，CF所成的角为θ，则cosθ==，所以θ=，所求异面直线的夹角为．故答案为：．点评：本题考查异面直线及其所成的角，建立空间坐标系，将空间异面直线夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．25．（2014秋•无为县校级期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD1与BD所成的角是60°．来源：2014-2015学年安徽省巢湖市无为三中高二（上）期中数学试卷难度：0.80专题：空间角．分析：通过平移直线作出异面直线AD1与BD所成的角，在三角形中即可求得．解答：解：如图，连结BC1、BD和DC1，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AB=D1C1，AB∥D1C1，可知AD1∥BC1，所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线，它们相等．所以△DBC1是正三角形，∠DBC1=60°故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°．故答案为60°．点评：本题考查异面直线所成的角及其求法，解决该类题目的基本思路是化空间角为平面角．26．（2014秋•太原校级期中）空间四边形PABC中，PB=10，PC=6，BC=6，∠APB=∠APC=，则cos= ﹣．来源：2014-2015学年山西省太原五中高二（上）期中数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积，求出两向量夹角的余弦值即可．解答：解：如图所示，∵PB=10，PC=6，BC=6，∠APB=∠APC=，∴cos======﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了平面向量数量积的应用问题，解题时应利用平面向量的数量积求两向量的夹角，是基础题．27．（2014秋•合阳县校级月考）空间四边形ABCD中，对角线AC=10，BD=6，M、N 分别是AB、CD的中点，且MN=7，则异面直线AC与BD所成的角为60°．来源：2014-2015学年陕西省渭南市合阳县黑池中学高三（上）第四次质检数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：首先通过平行线把异面直线转化为共面直线，利用解三角形知识中的余弦定理求出异面直线的夹角．解答：解：取BC的中点G，连接GM，GNM、N分别是AB、CD的中点，对角线AC=10，BD=6，所以：GM==5，GN=在△GMN中，EF=7，GM=5，GN=3利用余弦定理得：|=即：cos所以：∠MGN=120°所以：异面直线AC与BD所成的角为60°故答案为：60°点评：本题考查的知识要点：异面直线所成的角的应用，余弦定理的应用，属于基础题型．28．（2014秋•香坊区校级月考）若四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，则AB=AP=AD=3，CD=6，则直线PD和BC成的角的大小为．来源：2014-2015学年黑龙江省哈尔滨六中高二（上）12月月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：先作出异面直线所成的角，再使用余弦定理即可求出．解答：解：建立坐标系如图：因为底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，则AB=AP=AD=3，CD=6，所以P（0，0，3），D（0，3，0），B（3，0，0），C（6，3，0），所以=（0，3，﹣3），=（3，3，0），所以cos＜＞==，所以直线PD和BC成的角的大小为；故答案为：．点评：本题考查了异面直线所成的角的求法；本题借助于空间向量的数量积解答的；关键是适当的建立坐标系，正确写出向量的坐标和正确的计算．29．（2014秋•仁寿县校级月考）如图在四面体ABCD中，E、F为BC、AD的中点，且AB=CD，EF=AB，则异面直线AB与CD所成角为60°．来源：2014-2015学年四川省眉山市仁寿一中北校区高二（上）10月月考数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：先来找异面直线AB，CD所成角：通过已知条件，容易想到取BD中点G，并连接EG，FG，则∠EGF或其补角便是异面直线AB，CD所成角．所以需要求出∠EGF，这时候就应想到用余弦定理求，所以设AB=2，这样便得到EG=FG=1，EF=，所以根据余弦定理即可求出∠EGF=120°，所以异面直线AB，CD所成角为60°．解答：解：如图，取BD中点G，并连接EG，FG，则EG∥AB，且EG=，FG∥CD，且FG=；∴异面直线AB与CD所成角等于∠EGF或其补角；设AB=2，则：EG=1，FG=1，EF=；∴在△EFG中，由余弦定理得cos∠EGF=；∴∠EGF=120°；∴异面直线AB与CD所成角为60°．故答案为：60°．点评：考查异面直线所成角的概念及求法，中位线的性质，以及余弦定理．30．（2014秋•蜀山区校级月考）如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是．来源：2014-2015学年安徽省合肥市剑桥学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：直接找出异面直线所成角，然后求解即可．解答：解：因为几何体是正方体，AA1∥DD1，AA1与B1D所成角等于∠B1DD1，设正方体的棱长为：1，所求异面直线所成角的余弦值为：cos∠B1DD1==．故答案为：．点评：本题考查异面直线所成角的求法，基本知识的考查．异面直线及其所成的角填空题基础题2.doc参考答案与试题解析一．填空题（共22小题）1．（2014秋•惠阳区校级月考）已知空间四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，则对角线BD与AC所成的角的大小为90°．来源：2014-2015学年广东省惠州市惠阳高级中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：取BD中点O，连结AO，CO，由已知得AO⊥BD，CO⊥BD，从而BD⊥平面AOC，由此能求出对角线BD与AC所成的角的大小．解答：解：取BD中点O，连结AO，CO，∵AB=AD，BC=CD，∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO=O，∴BD⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴BD⊥AC，∴对角线BD与AC所成的角的大小为90°．故答案为：90°．点评：本题考查对角线BD与AC所成的角的大小的求法，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．2．（2014秋•连城县校级月考）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=2，AA1=2，那么DD1和BC1所成的角是60 度．来源：2014-2015学年福建省龙岩市连城一中高一（上）第三次月考数学试卷难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知几何体为长方体，所以容易得到∠DD1和BC1所成的角是BC1C，利用直角三角形的三角函数解之．解答：解：因为已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，所以CC1∥DD1，所以∠DD1和BC1所成的角是BC1C，又AB=2，AD=2，AA1=2，所以tan∠BC1C=，所以∠BC1C=60°；故答案为：60．点评：本题考查了长方体的性质运用以及异面直线所成的角的求法；关键是将空间角转化为平面角．3．（2014秋•普陀区月考）如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为，则异面直线A1A 与B1C所成的角的大小为arctan．（结果用反三角函数值表示）来源：2014-2015学年上海市普陀区高三（上）12月调研数学试卷（文科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：根据已知条件容易求得BB1=4，并且判断出∠BB1C是异面直线A1A与B1C所成的角，而tan∠BB1C=，所以得到异面直线A1A与B1C所成的角的大小为arctan．解答：解：根据已知条件知，；∴BB1=4；∵BB1∥AA1；∴∠BB1C是异面直线A1A与B1C所成角；∴在Rt△BCB1中，tan∠BB1C=；∴．故答案为：arctan．点评：考查三角形面积公式，三棱柱的体积公式，以及异面直线所成角的概念及求法．4．（2014秋•桥东区校级月考）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为AA1和BB1的中点，那么直线CM与D1N所成角的余弦值是．来源：2014-2015学年河北省邢台二中高二（上）第三次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：取C1C的中点P，连接A1P，将MC平移到A1P，根据异面直线所成角的定义可知∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角，在三角形A1OD1中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．解答：解：取C1C的中点P，连接A1P∵A1M∥CP，且A1M=/CP，∴四边形A1MCP是平行四边形∴A1P∥MC，则∠A1OD1是异面直线CM与D1N所成的角∵正方体的棱长为1，∴A1P=MC==，D1O=A1O=cos∠A1OD1=，即直线CM与D1N所成角的余弦值是故答案为：点评：本题主要考查异面直线所成的求解，根据直线平行的性质是解决本题的关键．本题也可以使用坐标法进行求解．5．（2014秋•嵊泗县校级月考）已知二面角α﹣l﹣β的大小为60°，直线m、n满足m⊥α，n⊥β，则异面直线m、n所成的角为60°．来源：2014-2015学年浙江省舟山市嵊泗中学高二（上）第二次月考数学试卷（理科）难度：0.80考点：异面直线及其所成的角．专题：空间角．分析：由条件m⊥α，n⊥β可知m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补，而异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°，所以m、n所成的角为二面角α﹣l﹣β所成的角．解答：解：∵m⊥α，n⊥β，∴m、n所成的夹角与二面角α﹣l﹣β所成的角相等或互补．∵二面角α﹣l﹣β为60°，。