极限的性质和两个重要极限

函数与极限数列极限函数极限无穷大与无穷小的性质两个重要

1.函数与极限：数列极限、函数极限；无穷大与无穷小的性质；两个重要极限；函数的连续性与间断点；闭区间上连续函数的性质。

2.导数与微分：导数概念；函数的求导法则、二阶导数；函数的微分；洛比达法则；函数的单调性与极值。

3.不定积分与定积分：原函数与不定积分的概念；第一换元积分法与第二换元积分法；分部积分法；微积分基本公式、牛顿-莱布尼茨公式；定积分性质与计算；反常积分的计算。

4.微分方程：微分方程的基本概念、变量分离方程、齐次微分方程；一阶线性齐次微分方程、一阶线性非齐次微分方程、常数变易法。

5.多元函数微分：多元函数的概念、二元函数的极限和连续性；偏导数的概念、偏导数计算；全微分概念、全微分的计算；多元函数的极值及其求法。

6.二重积分：二重积分的计算；重积分的应用。

7.无穷级数：常数项级数的概念和性质、收敛法则；幂级数的概念及收敛半径、收敛域；函数展开成幂级数的方法；掌握判别无穷级数、正项级数和交错级数的敛散性的方法；理解绝对收敛与条件收敛的关系。

两个重要的极限8个公式

两个重要的极限8个公式1. 重要的极限概念：介绍极限的定义和重要性极限是数学中一种重要的概念，用来描述函数在某个特定点或无穷远处的行为。

它在微积分、数学分析以及物理学等领域都有着广泛的应用。

极限的定义可以简单地说就是函数在某个点取逼近值时的极限值。

2. 极限公式：介绍极限公式的概念和常用的公式极限公式是用来计算函数在特定极限情况下的值的数学公式。

常见的极限公式包括：- 代数极限公式：如乘积的极限、商的极限、和的极限等；- 指数函数和对数函数的极限公式：如指数函数的极限、自然对数函数的极限等；- 三角函数的极限公式：如正弦函数、余弦函数的极限等；- 复合函数的极限公式：如复合函数的极限法则等；3. 重要的极限公式1：拉'Hospital法则拉'Hospital法则是一种用于解决一些涉及无穷大与无穷小的不定型极限的方法。

该法则可以用于求解一些无法直接得出极限的函数，如极限中分子和分母都趋向于0或趋向于无穷大的情况。

4. 重要的极限公式2：泰勒级数泰勒级数是将一个函数表示为一系列无穷多个多项式的和的方法，适用于近似计算各种函数的值。

对于某些函数，可以通过泰勒级数来计算它在某个特定点的极限值。

5. 重要的极限公式3：柯西极限定理柯西极限定理是一种用于验证函数极限存在的方法。

根据柯西极限定理，如果对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得当函数自变量的取值在某一范围内，且与函数极限点的距离小于δ时，函数的值与极限的差的绝对值小于ε，则函数在该点存在极限。

6. 重要的极限公式4：正弦函数极限公式正弦函数的极限公式可以帮助我们计算正弦函数在某个特定角度的极限。

例如，sin(x)/x的极限在x趋向于0时等于1，这可以通过三角函数的性质和数列极限的概念来证明。

7. 重要的极限公式5：自然对数函数极限公式自然对数函数的极限公式可以用来计算自然对数函数在某个特定值处的极限值。

一个常见的例子是ln(1+x)/x的极限在x趋向于0时等于1，这可以通过泰勒级数展开和估计得出。

函数极限的性质(续)及两个重要极限

而 lim f ( xn ) 不存在，则 lim f ( x) 不存在。
n
xx
②若存在某两个数列xn 与xn ，xn x ， lim xn x ， n
与 xn x ， lim xn x，但 lim f ( xn ) lim f ( xn ) ，则
n
n
n
lim f ( x) 不存在。
xx
例 8 证明： f ( x)sin1 当 x0 时极限不存在．
Qm ( x) b0 xm b1 xm1 L bm1 x bm ，（ m, n ）
lim
x x0
Pn( x) a0 x0n
a1
x n1 0
L
an
Pn( x0 )
，
lim
x x0
Qm
(
x
)
Qm
(
x0
)
．
特别，当
lim
x x0
Qm
(
x
)
Qm
(
x0)0来自时，lim Pn ( x) Pn ( x0 ) . xx0 Qm ( x) Qm ( x0 )
都有 lim f ( xn ) A ．
n
注
①若存在某个数列xn， xn x， lim xn x， n
而 lim f (xn) 不存在，则 lim f ( x) 不存在．
n
x x
注
②若存在某两个数列xn 与xn ，xn x ， lim xn x ， n
与 xn x ， lim xn x，但 lim f ( xn ) lim f ( xn ) ，则
(3)
lximlxi73mxx
3Pn (4xx)2 3Qm5( xx2)
2 3

微积分：极限存在准则与两个重要极限

02
两个重要极限
第一个重要极限
总结词
当x趋近于0时，sin(x)/x的极限为1。
详细描述
这个极限描述了正弦函数和x轴在x=0处的交点附近的相对大小关系。具体来说，当x的值非常接近0时，sin(x)和x的大小关系近似相等。
第二个重要极限
总结词
当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的极限为e。
= 2epsilon$。最后，我们得出结论 $lim_{n to infty} a_n = L$。
极限存在准则的应用
应用场景
极限存在准则在实数序列的收敛性判断中有着广泛的应用。例如，在判断一个数列是否收敛时，我们可以先找到一个收敛的子序列，然后利用极限存在准则判断原序列是否收敛。
应用方法
首先，我们需要找到一个收敛的子序列。这可以通过选取适当的项或通过数学变换实现。然后，利用极限存在准则，我们可以判断原序列是否收敛。如果原序列收敛，则极限值等于子序列的极限值；否则，原序列发散。
详细Байду номын сангаас述
这个极限描述了一个增长速度的问题。具体来说，当x的值非常大时， (1+1/x)^x的增长速度近似等于e，这是自然对数的底数，约等于2.71828。
两个重要极限的证明
第一个重要极限的证明
通过使用三角函数的性质和等价无穷小替换，可以证明当x趋近于0时， sin(x)/x的极限为1。
第二个重要极限的证明
通过使用二项式定理和等价无穷大替换，可以证明当x趋近于无穷大时， (1+1/x)^x的极限为e。
03
微积分中的其他概念
导数
导数定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。

极限存在准则和两个重要极限

应用举例：函数的连续性和导数的定义
函数的连续性
导数的定义
通过极限存在准则，我们可以定义和判断函数的连续性。极限存在准则还用于定义和计算函数的导数。
总结和应用建议
极限存在准则是数学中非常重要的概念，它被广泛应用于各个领域。通过了解和掌握这些准则，我们可以更好地理解和分析函数和序列的行为。建议在学习数学和相关科学领域时深入研究和应用这些准则。
性质2：类型分类
无穷大极限可以是正无穷大、负无穷大，或者不存在。
极限存在准则的三种形式及证明
1
Cauchy准则
如果一个函数或序列满足Cauchy准则，它就
夹逼准则
2
具有极限。
如果一个函数或序列被两个收敛的函数或序
列夹住，它就具有相同的极限。
3
单调有界准则
如果一个函数或序列单调并且有界，它就具有极限。
一个函数或序列只能有一个零点极限。
性质2：发散与收敛
零点极限可以是收敛的（当函数或序列逼近某个特定值时）或发散的（当函数或序列没有趋于任何值时）。
无穷大极限的概念和性质
数学定义
无穷大极限是函数或序列在无穷远处的行为。它用于描述函数或序列的整体趋势。
性质1：无界性
无穷大极限表示函数或序列没有上界或下界。
重要极限：零点极限和无穷大极限
零点极限
表示函数或序列在某点逼近零时的行为。它在分析中非常重要。
无穷大极限
表示函数或序列在无穷远处的行为。它提供了关于函数或序列趋势的重要信息。
零点极限的概念和性质
数学定义
零点极限是函数或序列在某点逼近零时的行为。它用于描述函数或序列的局部行为。
性质1：极限唯一性

极限存在准则两个重要极限教案

极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 理解极限存在的概念，掌握极限的定义。

2. 学习两个重要极限：e和π的极限。

3. 学会运用极限存在准则判断极限的存在性。

二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。

2. 教学难点：极限存在准则的证明及运用。

三、教学准备1. 教学材料：教材、教案、PPT、黑板。

2. 教学工具：投影仪、计算机。

四、教学过程1. 导入：回顾极限的基本概念，引导学生思考极限存在的意义。

2. 讲解极限存在的概念：介绍极限的定义，解释极限存在的意义。

3. 推导两个重要极限：a. 推导e的极限：x→0时，(1+x)^(1/x)的极限。

b. 推导π的极限：x→0时，(1+x)^2/2 x^2的极限。

4. 讲解极限存在准则：a. 单调有界定理：判断函数在区间上单调有界，即可得出极限存在。

b. 夹逼定理：利用两个单调有界的函数夹逼目标函数，得出极限存在。

5. 例题讲解：运用极限存在准则判断给定函数极限的存在性。

6. 课堂练习：让学生独立判断一些函数极限的存在性，巩固所学知识。

7. 总结：回顾本节课所学内容，强调极限存在准则的重要性。

五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固极限存在准则。

2. 完成课后练习题，提高判断极限存在性的能力。

3. 预习下一节课内容，了解极限的性质和运算。

六、教学拓展1. 引入极限存在定理：讨论函数在区间上的连续性，结合极限存在定理，加深对极限存在性的理解。

2. 探讨极限的存在性与函数性质之间的关系：分析单调性、有界性与极限存在性的联系。

七、案例分析1. 分析实际问题中的极限存在性：例如，在物理学中，研究物体运动速度趋于某一值的情况。

2. 引导学生运用极限存在性解决问题，培养学生的实际应用能力。

八、教学互动1. 组织小组讨论：让学生分组讨论极限存在性准则的应用，分享解题心得。

2. 开展课堂提问：鼓励学生主动提问，解答疑难问题。

九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结极限存在准则及其应用。

极限运算法则两个重要极限

例12求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例13求«Skip Record If...»
解错误做法：«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»1
例 6 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
结论：«Skip Record If...»
例7 求«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
且有极限«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»
准则2 如果数列«Skip Record If...»单调有界，则«Skip Record If...»一定存在。
2．4．2两个重要极限
1．极限«Skip Record If...»
定理1：设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»,则
(1)«Skip Record If...»=«Skip Record If...»
(2)«Skip Record If...»
若«Skip Record If...».(常数),则«Skip Record If...»
例15计算«Skip Record If...»
解«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»
例16计算«Skip Record If...»

两个重要极限教案(修改

两个重要极限教案（修改）一、教学目标：1. 让学生理解两个重要极限的概念和意义。

2. 让学生掌握两个重要极限的推导过程。

3. 让学生能够运用两个重要极限解决实际问题。

二、教学内容：1. 极限概念的引入。

2. 两个重要极限的定义和推导。

3. 两个重要极限的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：两个重要极限的概念、推导和应用。

2. 教学难点：两个重要极限的推导过程和实际应用。

四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解两个重要极限的概念、推导和应用。

2. 利用多媒体课件，展示两个重要极限的推导过程和实际应用。

3. 进行课堂练习，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。

五、教学过程：1. 引入极限概念，引导学生理解极限的思想。

2. 讲解两个重要极限的定义和推导，让学生掌握推导过程。

3. 进行课堂练习，让学生运用两个重要极限解决实际问题。

4. 总结两个重要极限的应用，强调其在数学和物理中的重要性。

5. 布置课后作业，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。

教学评价：通过课堂讲解、课堂练习和课后作业，评价学生对两个重要极限的概念、推导和应用的掌握程度。

关注学生在解决问题时的思维过程和方法，培养学生的数学思维能力。

六、教学目标：1. 让学生理解极限的基本性质和运算规则。

2. 让学生掌握极限的求解方法，如直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。

3. 让学生能够运用极限的性质和求解方法解决实际问题。

七、教学内容：1. 极限的基本性质：保号性、保不等式性、保单调性等。

2. 极限的运算规则：加减乘除、乘方、对数等。

3. 极限的求解方法：直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。

4. 极限的实际应用：解决函数的极值、曲线的切线等问题。

八、教学重点与难点：1. 教学重点：极限的基本性质、运算规则和求解方法。

2. 教学难点：极限的求解方法和实际应用。

九、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解极限的基本性质、运算规则和求解方法。

2. 利用多媒体课件，展示极限的求解过程和实际应用。

极限存在法则和两个重要极限

听讲勾画做笔记
听讲勾画做笔记
听讲勾画做笔记
听讲交流
听讲交流
记忆、总结
听讲交流
小结
1、总结本节课所学知识点
2、学生自我总结归纳
3、收集学生意见或者建议
作业
习题1.4
教学反馈
教研室审
阅意见
(□代表同一变量).
例2求下列极限:
（1）
（2）
（3）
（4）
分析（略）
2）
该极限的基本特征是：底数的极限值为1，指数的极限是无穷大，且指数与底数中第二项互为倒数.因此，该极限的一般形式为
， (□代表同一变量).
通过演示讲解基本知识
通过演示讲解基本知识点
讲解例题
通过演示讲解基本知识点
讲解例题
例题讲解
通过演示讲解基本知识点
难点
理解极限存在准则
教学
方法
讲授法，练习法
教学
准备
黑板，教案
教学过程设计
教学内容
教师活动
学生活同情况下的极限的概念；（熟记）
2、函数极限的运算法则。（理解）
二、讲授新课
（一）极限存在准则
准则I（夹挤定理）
则
准则I’（夹挤定理）
（二）第一个重要极限
1）
该极限的基本特征是：分子分母的极限值均为零，且分母中的变量与分子正弦函数中的变量相同.因此，该极限的一般形式为
课程名称
年级
专业
授课教师
授课时间
学时
授课
题目
1.4极限存在法则和两个重要极限
教学
目标
知识目标：
1.理解极限的夹逼准则。
2、熟练掌握两个重要函数极限，并且会求函数的极限。

极限存在准则两个重要极限公式

20203813通常用字母来表示这个极限即也可以证明当取实数而趋于时函数的极限都存在且都等于利用变量代换可得更一般的形式2020381420203815内容小结极限存在的两个准则夹逼准则
1. 夹逼准则(两边夹法则;三明治法则)
准则I (1) yn xn zn ( n 1, 2, )
(2)
lim
x2
x 2
1 2
lim
x0
sin2 x 2
x 2
2
1 2
lim
x0
sin x
x 2
2
2
1 12 2
1 2
2020/6/15
8
2. 单调有界准则
数列 xn : 单调增加 x1 x2 xn xn1 ,
单调减少 x1 x2 xn xn1 ,
准则I I 单调有界数列必有极限单调上升有上界数列必有极限
注意:利用夹逼准则求极限的关键:构造出 yn 与 zn ,
且 yn与zn的极限是易求的.
2020/6/15
2
例1 求 lim( 1 1 1 ).
n n2 1 n2 2
n2 n
解：因为 n < 1 + L + 1 < n
n2 + n
n2 + 1
n2 + n
n2
又 lim n
n lim n2 n n
(4) 对于准则I I函，数极限根据自变量的不同变化过程 (x x0 , x x0 , x , x , x ) 也有类似的准则，只是准则形式上略有不同. 例如，
准则I I′ 设函数f (x) 在点 x0 的某个左邻域内单调
并且有界，则
2020/6/15
f (x)

第1-2极限四则运算法则和两个重要极限

特别地 lim kf ( x) k lim f ( x) kA
推论1 lim[ f ( x)] [lim f ( x)]
0 n
n
( n 为正整数, 当n为偶数时， A≥0 )
推论20 lim n [ f ( x)]
n
lim f ( x)
f ( x) lim f ( x) A ③ lim ( B 0) g ( x) lim g ( x) B
(2) 函数极限值 lim f( x)与x0 有无定义无关.
考察函数 y=x+1 ( x∈R )，当x→1时，极限y→2
x2 1 考察函数 y （x≠1）， x 1
y 2 1 -1 0 1 x
当x→1（但不等于1）时，极限 y→2 .
例1. 函数
y 3
3x, x 1; f ( x) 1, x 1.
x x0
f ( x) A( x x0 )
x0 邻域：以x0为中心， 2为长度的开区间注：（x0 , x0 ）
x0
(
.
x0
x0
)
( 1 ) f ( x ) A | f ( x ) A| 0;
x x0
{ x | | x x0 | }
例8.求极限
x
x
lim ( x x x).
2
解： lim ( x 2 x x) lim
x2 x x2 x2 x x
x
lim
x x2 x x
1 1 1 2 1 1 x
x
lim
x
(2)复合函数极限运算法则
设函数y f [ g ( x)] 由函数y f (u), u g ( x)复合而成，

极限存在准则-两个重要极限公式

星期六
夹逼准则不仅说明了极限存在，
而且给出了求极限的方下法面．利用证明一个
重要的极限公式lim：sin x它 1
BD
1
x0 x
ox C A
证:
当x
(
0
,
2
)
时，
△AOB 的面积＜圆扇形AOB的面＜△AOD的面
即
1 2
sin
x积
1 2
x
1 2
tan
x
积
亦故即有
1sin sxinxxxctoa1snxx
lim
n
1
1 n
n
?
首先，证xn
1
1 n
n
是单调的．
证 a b n Cn0anb0 Cn1a b n1 1 Cn2an2b2
Cni ani bi Cnna0bn
2020年7月11日
14
星期六
设
xn
(1
1)n n
1 n 1 n(n 1) 1 n(n 1)(n n 1) 1
(n 1)! n 1 n 2
(0
x
2
)
显然有
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
lim cos x 1, 注 lim sin x 1
x0
x0 x
2020年7月11日星期六
例3 求
解:
lim
x0
tan x
x
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim sin x0 x
x
lim 1 x0 cos
x
1
例4
（课本例）
1.6 极限存在准则两个重要极限

函数极限的性质及运算法则

=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质二、函数极限的运算法则三、两个重要极限

极限的运算法则无穷小与无穷大两个重要极限

定理在自变量的同一变化过程中 , 如果 f( x )为无穷大 , 则
1为无穷小 ; 反之 , 若 f(x )为 ( 非零 ) 无穷小 , 则 1为无穷大 .
f(x )
f(x )
如 lim x 0 lim 1
x0
x 0 x
8
二、函数的极限运算法则
1、定理设 lim u A ,lim v B ,则 ( 1 )li u m v ) li u ( m li v m A B ; ( 2 )liu m ) l v i u ( l m i v m A B ; u lim u A (3) lim (B0) v lim v B
9
说明：
例如, 当 x 0 时 ,3 x ,x 2 ,s in x ,都是无穷小 .
观
x2
lim 0, x0 3 x
下节证
x2比3x要快得;多
察
sin x
各 lim
1,
极 x0 x
sinx与x大致相;同
限
lim
x0
x x2
，
x比x2要慢得多.
比值极限不同, 反映了两者趋向于零的
“快慢”程度不同.
limsinx0. x x
4
例2 limarctanx x x
解 Q lim 1 0 x x
arctan x
2
limarctanx 0 x x
5
2、无穷大(量)
定义如果变量u在其变化过程中|u|无限增大，则称u为无穷大(量)，记作
u 或 liu m
注: 1. 无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数混为一谈；
记作 a~;

对两个重要极限的重要性的认识数学系本科毕业论文

对两个重要极限的重要性的认识数学系本科毕业论文一、引言极限是微积分中最核心最基础的概念之一，是微积分的基石，它广泛应用于数学和科学的许多领域中，例如微积分、数学分析、物理、工程学和经济学等。

本文将讨论两个重要极限的性质和应用，这两个极限分别为：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(1+\\frac{x}{n})^n$和$\\lim_{x\\rightarrow0}\\frac{\\sin{x}}{x}$，其中前者是自然对数的底数$e$的定义，后者则是微积分中关于曲率的重要应用之一。

本文旨在对这两个重要极限的性质、应用和意义加以分析。

二、自然对数的底数$e$自然对数的底数e是一个非常重要的数学常数，它是微积分、数学分析和概率论中最广泛使用的常数之一。

在微积分和概率中，它是非常基础和核心的概念。

它的定义为：$\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(1+\\frac{x}{n})^n$对自然对数的底数$e$的实际计算，通常使用下面的公式：$e=\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(1+\\frac{1}{n})^n$在许多应用中，自然对数的底数$e$的重要性不仅仅是因为它是一个有用的数学常数。

在实际应用中，$e$是不可避免的出现的，这是因为$e$掌握了所有的微积分和概率统计学的本质。

三、关于曲率的重要应用曲率是一个关于曲线的参数，它是定量描述曲线弯曲程度的一个物理量。

曲率的计算和应用在微积分和物理学中都有广泛应用。

在微积分中，曲率的计算和应用是非常重要的。

一个曲线的曲率，是指曲线在某一点处切线的弯曲程度。

一个比较弯曲的曲线的曲率会很大，而一个比较平滑的曲线的曲率则会很小。

曲率在物理学中也有广泛应用，例如在描述粒子在弯曲的路径中的运动时，曲率是非常重要的。

（例子：我们都知道汽车在转弯时，要通过转向来改变车子行驶的弯曲程度，如果你的速度过快或者你的角度错误，则曲率会变得很大，车子会偏离原本的轨迹，这会导致车祸。

2(4)极限的性质与两个重要极限

5
证明数列 x n = ( 1) n+1 是发散的 . 例3
反证法
则有唯一极限a 存在. 则有唯一极限存在. 证假设数列 { xn }收敛, 收敛, 1 1 取ε = , 则N > 0, 当n > N时, 有 xn a < 成立, 2 2 1 1 即当n > N时, xn ∈ (a , a + ), 区间长度为区间长度为1. 2 2 而xn无休止地反复取 1, 1 两个数 , 不可能同时位于长度为的区间内不可能同时位于长度为1的区间内长度为的区间内.
0 0
x0
的某去心邻域,在该邻域内恒有
f ( x) ≤ g ( x),
则
x → x0
( 或f ( x ) ≥ g ( x ) ) ,
x → x0
lim lim lim f ( x) ≤ lim g ( x). 或 x → x f ( x) ≥ x → x g ( x) .
0 0
(
)
10
定理4 (极限不等式或保序性) 定理4'(极限不等式或保序性) 给定数列 { xn } , { yn } , 若从某项起有 xn ≤ yn , 且 lim xn = a, lim yn = b, n →∞ n →∞ 则 a≤b 用反证法可证. 用反证法可证问:
记 M = max{| x1 |,| x2 |, L , | x N |, a 1, a + 1 },
则对一切自然数 n,皆有 xn ≤ M , 故{x n }有界 .
注有界性是数列收敛的必要条件不是充分条件有界性是数列收敛的必要条件, 不是充分条件. 推论无界数列必定发散. 无界数列必定发散.
o
4
定理2 (收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界. 定理2'(收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界. 的数列必定有界证设 lim x n = a ,

D26两个重要极限

初始等式
$(1+1/x)3; frac{1}{x} right)^x$
得出结论
$(1 + 1/x)^x to e$
极限的性质
01
02
03
确定性
无论从哪个方向趋近于无穷，该极限都等于e。
唯一性
此极限只存在一个确定的数值e，没有其他可能的值。
有界性
由于该极限存在且等于e，因此它是有限的，即有界。
02 第一个重要极限：lim x>0 (1+x)^1/x = e
推导过程
第一步
将等式左侧表示为自然对数的形式，即 lim x->0 (1+x)^1/x = e = e^ln((1+x)^(1/x))。
第二步
利用对数运算法则，将指数部分移到对数内部，得到 e^ln((1+x)^(1/x)) = e^((1/x)*ln(1+x))。
限值是唯一的。
有界性
02
极限具有有界性，即当自变量趋近于某一值时，函数值会在一
定范围内变化。
局部有界性
03
在自变量的某个邻域内，函数值有界。
在数学和物理中的应用
微积分学
在微积分学中，重要极限是导数和积分运算的基础，是研究函数性质和解决实际问题的关键工具。
复利计算
在金融和经济学中，重要极限被广泛应用于复利计算和风险评估等领域。
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在数学和工程领域的应用
数学分析
在研究函数的增长速度、级数求和等方面有广泛应用。
概率论与数理统计
在计算概率、期望值和方差等统计量时，该极限有重要作用。
复利计算