轴图形的对称轴
轴对称图形-对称轴-对称点。
1.书 p125 . 4
2. 导航 14.1
2. 线段A B与线段A′B′是否关于直线m对称？ 与B′C′，C A与C′A′呢？ 3. 点A和点B′关于直线m的对称点各是哪一点？
A B C
A′
练 一 练
B′
m
C′
△ABC△ A′B′C ′关于直线m对称。 点A和点A′，点B和点B′，点C 和点C′分别是关于直线m的对称点.
三.轴对称的性质:
(三).下列图形那些是轴对称图形?
（1）
（ 2）
(四)下列图形哪些是轴对称?
A P C M
E A D B C 图2
D A
A
C
B
图1
B
N
B
图3
D
D
A
C
E
B 图5
C
图4小结: 本节来自你学到了哪些知识?1.轴对称和轴对称图形 定义及其区别和联系. 2.线段的垂直平分线及 其性质. 3.轴对称的性质
A A′
B
B′
C
C′
如果两个图形关 于某条直线对称, 那么对称轴是任 何一对对应点所 连线段的垂直平 分线.
四.“轴对称图形”与 “轴对称”的区别和联 系 区别:
“轴对称图形”是指同一个图形的两部 沿某直线翻折时，两部分重合的图形。 “轴对称”是指两个图形分别位于某条 线的两侧，且沿这条直线翻折时，两个 图形重合 。
是
是 是 是 是 是
3条
2条
矩形 菱形
正方形
2条 4条
无数条 1条
圆
等腰 梯形
(3)下面的字母哪些是轴对 称图形？
A B C D H G F E
下列(1) (2)两个图形有什么区别？
立体图形对称轴定义
立体图形对称轴定义
对称轴，数学名词，是指使几何图形成轴对称或旋转对称的直线。
对称图形的一部分绕它旋转一定的角度后，就与另一部分重合。
许多图形都有对称轴。
例如椭圆、双曲线有两条对称轴，抛物线有一条。
正圆锥或正圆柱的对称轴是过底面圆心与顶点或另一底面圆心的直线。
轴对称图形，数学术语，定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。
直线叫做对称轴，并且对称轴用点画线表示；这时，我们也说这个图形关于这条直线对称。
比如圆、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形等。
轴对称的定义和性质
轴对称的定义和性质一、轴对称的定义和性质1、轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
2、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
3、轴对称与轴对称图形的区别和联系区别轴对称为两个图形之间的对称关系，并且只有一条对称轴。
轴对称图形为一个图形，且不一定只有一条对称轴。
联系轴对称：（1）沿对称轴折叠，两个图形重合；（2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。
轴对称图形：（1）沿对称轴折叠，图形的两部分重合；（2）如果把轴对称图形的两部分看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。
4、图形轴对称的性质（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。
（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上。
5、画图形的对称轴如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
因此，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴。
同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。
6、画轴对称图形（1）由一个平面图形可以得到与它关于一条直线$l$对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同。
新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线$l$的对称点。
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
（2）画一个图形的轴对称图形的方法找——在原图形上找特殊点（如线段的端点）。
作——作各个特殊点关于对称轴的对称点。
连——依次连接各对称点。
轴对称知识点
轴对称知识点归纳一、轴对称图形1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点4.轴对称与轴对称图形的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
⑤两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
练习：1．下列四个图案中，轴对称图形的个数是( )2．下列命题中，不正确的是( )(A)关于直线对称的两个三角形一定全等.(B)两个圆形纸片随意平放在水平桌面上构成轴对称图形.(C)若两图形关于直线对称，则对称轴是对应点所连线段的垂直平分线. (D)等腰三角形一边上的高、中线及这边对角平分线重台. 3．下列四个图案中．具有一个共有性质则下面四个数字中，满足上述性质的一个是( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)94.等腰三角形的一个内角是50。
，则另外两个角的度数分别是( ) (A) 65°，65°. (B) 50°,80°． (C) 65°，65°或50°，80°. (D) 50°,50°.5.如果等腰三角形两边长是6cm 和3cm ,那么它的周长是( ) (A) 9cm (B) 12cm (C) 1215cm cm 或 (D) 15cm .二、填空题(每小题5分，共20分)6．等腰三角形是 对称图形，它至少有 条对称轴. 7．小明上午在理发店理发时，从镜子内看到背后墙上普通时钟的时 针与分针的位置如图所示，此时时间是 .8．已知△ABC 是轴对称图形．且三条高的交点恰好是C 点，则△ABC 的形状是 . 9．已知点A(一2，4)，B(2，4)，C(1．2)，D(1-2)，E(一3，1)，F(3，1)是平面坐标系内的6个点，选择其中三个点连成一个三角形，剩下三个点连成另一个三角形，若这两个三角形关于y 轴对称，就称为一组对称三角形，那么，坐标系中可找出 组对称三角形． 10．如图，△ABC 中，AB=AC ．∠A=36°，AB 的中垂线DE 交AC 于D ，交AB 于E.下述结论(1)BD 平分∠ABC ；(2)AD=BD=BC ；(3)△BDC 的周长等于AB+BC ；(4)D 是AC 中点，其中正确的命题序号是 .二、(重点)线段的垂直平分线1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
轴对称知识点总结
撰稿：徐长明审稿：张扬责编：孙景艳一、目标认知学习目标：通过具体实例认识轴对称，探索它的根本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；探索简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；欣赏生活中的轴对称图形，结合现实生活中的典型实例了解并欣赏物体的镜面对称。
重点：1．轴对称概念及有关性质；2．根本图形〔如线段、角〕的轴对称性3．画和轴对称有关的图形难点：轴对称的性质的探索和掌握。
二、知识要点梳理知识点一：轴对称图形及对称轴1、轴对称图形：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的局部能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴2、要点：前提是一个图形，且这个图形满足两个条件：①存在直线〔对称轴〕；②沿着这条直线折叠，折痕两旁的局部能重合．3、注意：一个轴对称图形的对称轴是直线且不一定只有一条，可能有两条或多条．如下图：知识点二：轴对称及对称点1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称〔或说这两个图形成轴对称〕，这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点2、要点：①前提是两个图形；②存在一条直线；③两个图形沿着这条直线对折能够完全重合．3、注意：①成轴对称的两个图形一定全等；②它与轴对称图形的区别主要是：它是指两个图形，而轴对称图形前提是一个图形；③成轴对称的两个图形除了全等外还有特定的位置关知识点三：轴对称与轴对称图形1、相互转化：轴对称图形和轴对称的关系非常密切，假设把成轴对称的两个图形看作一个整体，那么这个整体就是轴对称图形；反过来，假设把轴对称图形的对称轴两旁的局部看作两个图形，那么这两个图形关于这条直线〔原对称轴〕对称2、轴对称、轴对称图形的性质〔1〕性质1：假设两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；注：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质1的证明如下：如下图，△ABC与△关于l对称，其中点A、是对称点，设交对称轴于点P．将△ABC和△沿l折叠后，点A与重合，那么有，∠1=∠2=90°，即对称轴把垂直平分，同样也能把、都垂直平分，于是得出性质1．〔2〕性质2：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．证明类似性质1．〔3〕小结：不管性质1，还是性质2所指的都是只要两个点关于某直线对称，那么这条直线〔对称轴〕就是这两个点连线的垂直平分线．也就是说这两条性质所表达的是对称点与对称轴的关系．也揭示了轴对称〔轴对称图形〕的实质．知识点四：线段的垂直平分线1、性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；证法一：如下图，l是线段AB的垂直平分线，P为l上任意一点．如果把AB沿着l对折，A点和B点一定重合，同时PA、PB也应该重合，如果在l上再取一点，连、，那么、也应该重合，即它们分别对应相等，由此得出性质1．证法二：另外，我们还可以从全等的角度得出性质1，过程如下：如上图，∵l垂直平分AB，∴AO=BO，∠1=∠2．又∵PO=PO〔公共边〕，∴Rt△PAO≌Rt△PBO〔SAS〕∴PA=PB．即性质1成立．2、性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．性质2的探究如下：如下图，作直线PC⊥AB于C，那么在Rt△PAC和Rt△PBC中，P A=PB，PC=PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC，∴AC=BC．即PC垂直平分AB，所以点P在线段AB垂直平分线上．3、小结：〔1〕从以上的两个结论可以看出，在线段AB垂直平分线上的点与A、B两点的距离相等；反过来与点A、B距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上．综合以上两点可以得出：线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合．〔2〕线段垂直平分线的两个性质具有不同的作用，性质l是线段的垂直、平分线的性质，可用它来证明线段相等的问题；而性质2实质是线段垂直平分线的判定．知识点五：对称轴的作法1、假设两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．2、例如：A、B两点关于某直线对称，连接AB，作线段AB的垂直平分线就是A、B 两点的对称轴，作法如下：〔1〕分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧〔假设两弧半径小于或等于AB，那么两弧没有交点或切于一点〕，两弧交于C、D两点；〔2〕连CD，得直线CD，直线CD即为所求．如下图：3、说明：作对称轴的方法也就是作线段垂直平分线的方法．用此方法可确定线段的中点，即把线段平分．知识点六：轴对称变换1、由一个平面图形得到它关于某直线的对称图形，这一过程叫轴对称变换2、注意：〔1〕将一个图形进行轴对称变换〔作一个图形关于某直线的对称图形〕．关键是作某些点〔关键点〕关于这条直线的对称点．①如：作点A关于直线l的对称点．先作AO⊥l于O；再延长AO至使，那么就是A关于l的对称点，如下列图所示：②主要有两步：第一步，过点作对称轴的垂线，得到一个垂线段；第二步，将这个垂线段延长一倍所到达的点就是点关于这条直线〔对称轴〕的对称点．〔2〕成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作是另一个图形经过轴对称变换得到的．同样，一个轴对称图形也可以看作是以它的一局部为根底，经轴对称变换扩展而成的．〔3〕经过轴对称变换并结合平移变换我们可得到一些美丽的图案，如下图：知识点七：用坐标表示轴对称1、关于x轴对称的两个点的横〔纵〕坐标的关系P点坐标，那么它关于x轴的对称点的坐标为，如下列图所示：即关于x轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．2、关于y轴对称的两个点横〔纵〕坐标的关系P点坐标为，那么它关于y轴对称点的坐标为，如上图所示．即关于y轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．注意：由此我们可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．3、关于与x轴〔y轴〕平行的直线对称的两个点横〔纵〕坐标的关系〔1〕P点坐标关于直线的对称点的坐标为．证明：如下列图所示，令坐标为，由题意可知，即，故．所以．同样可以推导出下面的结论．〔2〕P点关于直线的对称点的坐标为，如下列图所示．三、规律方法指导1．由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．2．轴对称变换的性质：〔1〕经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样〔2〕经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．〔3〕连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．3．作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：〔1〕作出一些关键点或特殊点的对称点．〔2〕按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．4．点P〔x，y〕关于x轴对称的点的坐标是〔x，-y〕；点P〔x，y〕关于y轴对称的点的坐标是〔-x，y〕；点P〔x，y〕关于原点对称的点的坐标是〔-x，-y〕．5．点P〔x，y〕关于直线x=m对称的点的坐标是〔2m-x，y〕；点P〔x，y〕关于直线y=n对称的点的坐标是〔x，2n-y〕。
议作轴对称图形的对称轴的方法
浅议作轴对称图形的对称轴的方法摘要：本文以一道中考模拟试题为例，探讨作轴对称图形的对称轴的方法。
关键词：轴对称图形作对称轴交点法《数学新课标》指出：“人人学习有价值的数学，人人都获得必需的数学。
”“让学生在做中学。
”因此在平时的教学中，我们力求领悟教材的编写意图，把握教材的知识要求，充分利用学具，让学生多动手操作，手脑并用，培养技能、技巧，发挥学生的创造性。
从而增强学生应用数学的意识和能力。
对称是一种最基本的图形变换，是学习空间与图形知识的必要基础，对于帮助学生建立空间观念，培养学生的空间想象力有着非常重要的作用。
这一节的教学目标是：1.认识轴对称图形的对称轴；会画简单的几何图形的对称轴，并借此加深对轴对称图形特征的认识。
2.让学生在学习过程中进一步增强动手实践能力，发展空间观念，培养审美情操，提高学习数学的兴趣。
究竟如何作一个轴对称图形的对称轴呢？那要依据对称轴的特性，学生非常熟悉的性质是“对称轴是对称点连线的垂直平分线”。
所以，老师和学生基本上都是运用了“作对称点连线的垂直平分线”的方法作对称轴。
这样“单调”的方式不仅不利于学生思维发展，不利于培养学生的创新精神和实践能力，而且会因尺规作图的误差造成明显的错误。
如：此图1作出aa′的垂直平分线能够作出此轴对称图形的对称轴，但稍不注意会出现明显的错误。
如果所作的直线并没有经过e、f两点，那么此直线不是对称轴。
因为对称轴还具备另一个重要特性：轴对称图形中的对称线段所在直线的交点在对称轴上或对称线段所在直线互相平行。
“对称线段所在直线的若相交，则交点在对称轴上。
”借助这个重要结论，不仅能减少以上类似失误，而且作对称轴的方法更简单。
只要用一把无刻度的直尺就能作出对称轴。
不过，能用这样方法作图的前提是能够找出两对称线段所在直线的两个交点。
这是对学生思维能力的考验，有利于学生思维发展，有利于培养学生的创新精神。
我们可以把这种方法形象地称之为“交点法”。
例1：作等腰梯形abcd的对称轴。
图形的轴对称轴对称的基本性质
性质2023-10-30CATALOGUE 目录•轴对称图形概述•轴对称图形的性质•常见轴对称图形举例•非轴对称图形举例及特性•轴对称图形的应用01轴对称图形概述定义如果一个图形关于某条直线（称轴）对称，那么这个图形叫做轴对称图形。
性质轴对称图形的对称轴也是图形的中垂线，即线段的中点与轴对称图形上相对应点的连线被对称轴垂直平分。
轴对称图形的定义轴对称图形具有对称性，即图形的左右两侧或上下两侧关于某条直线对称。
对称性唯一性美观性每一个轴对称图形都只有一个对称轴，对称轴将图形分成两个完全相同的部分。
轴对称图形具有美观性，常被应用于建筑设计、艺术和日常生活中。
03轴对称图形的特点0201轴对称图形在数学、艺术、建筑等领域有着悠久的历史。
早在古希腊和罗马时期，人们就利用轴对称来设计建筑、雕塑和图案。
历史随着数学、计算机科学和工程技术的进步，轴对称图形在各个领域的应用越来越广泛，如建筑设计、工业设计、计算机图形学等。
同时，对于轴对称图形的理论研究也在不断发展与完善。
发展轴对称图形的历史与发展02轴对称图形的性质总结词轴对称图形在空间或平面上关于某条直线（称为对称轴）具有对称性。
详细描述这意味着图形的一部分相对于对称轴的镜像翻转后，与另一部分完全重合。
例如，一个圆相对于其直径是对称的，一个正方形相对于其对角线是对称的。
这种对称性在自然界中也很常见，如人的身体、树叶等。
总结词轴对称图形的对称轴总是一条直线，且具有平行性。
详细描述这意味着如果一个图形的一部分相对于对称轴进行镜像翻转后，与另一部分完全重合，那么这两部分必然是平行的。
例如，一个矩形相对于其对边中点的连线是对称的，这个连线就是其对称轴。
轴对称图形的性质三总结词轴对称图形的对称轴具有镜像反射性。
详细描述这意味着图形的一部分相对于对称轴的镜像反射后，与另一部分完全重合。
这种性质可以用来解释许多自然现象和社会现象，如物体在水中的倒影、物体在镜子中的影像等。
《轴对称图形的对称轴》的教案
《轴对称图形的对称轴》的教案《轴对称图形的对称轴》的教案1教学目标：1.认识轴对称图形的对称轴。
2.让学生经历长方形、正方形等轴对称图形各有几条对称轴的探索过程，会画简单的几何图形的对称轴，并借此加深对轴对称图形特征的认识。
3.让学生在学习过程中进一步增强动手实践能力，进展空间观念，培育审美情操，增加学习数学的爱好。
教学重点：经历发现长方形、正方形对称轴条数的过程。
教学难点：画平面图形的对称轴。
教学目标：一、复习导入、揭示课题1.出示几幅图观察2.分类沟通（轴对称、不是轴对称）3.折纸沟通互相指对称轴4.练习点划线二、目标驱动、自主学习1.自主探究长方形的对称轴折痕就是对称轴，用点划线）讨论并沟通注意点操作验证（只有两条）互相沟通（黑板上的长方形不能对折）小组讨论、沟通（组内充分发言）优化方法并练习各自在书上画对称轴并沟通只能画出两条对称轴2.自主探索正方形的对称轴对折画对称轴沟通尝试不同折法、小组沟通在书中独立画对称轴（2条、4条）第二个是正确的，它的两条对角线也是对称轴画的不完全的用纸再折另两条验证，然后添画完全（有四条对称轴）三、分层练习、内化提升1.先折再判断最后画对称轴各自按题目要求操作沟通练习情况：等腰三角形、等腰梯形和菱形是轴对称图形；等腰三角形、等腰梯形各有1条对称轴，菱形有2条对称轴2.再读题分析观察判断沟通第4个不是轴对称图形独立完成同桌沟通(从左往右三个图的对称轴分别有3条、4条、5条)订正3.思考沟通（先在对称轴的另一边确定几个关键点的对应点，再连图）独立完成互相检查订正沟通方法、过程4.观察沟通（老师提示特殊性：正多边形）独立操作小组沟通：分别是3、4、5、6条。
（正几边形就有几条对称轴）（根据规律判断：8条对称轴）5.独立完成小组内互评最佳作品作品展览沟通《轴对称图形的对称轴》的教案2教学内容：教材62-63页。
教学目标：1、让学生经历长方形、正方形等轴对称图形各有几条对称轴的的探索过程，会画简单的几何图形的对称轴，并借此加深对轴对称图形特征的认识。
轴对称图形的对称轴
轴对称图形的对称轴泰兴市古溪镇中心小学任晶教学内容：苏教版数学四年级下册62-63页。
教学目标：1.在操作活动中认识对称轴，使学生进一步认识轴对称图形的特征。
2.感受不同的轴对称图形的对称轴条数可能是不一样的，掌握画一些简单轴对称图形的对称轴方法。
3.培养学生初步的观察能力、自主探究能力和动手操作能力，感受数学与生活的密切联系，陶冶学生的审美情操，增加学习数学的兴趣。
教学重点：经历发现长方形、正方形对称轴条数的过程。
教学难点：画平面图形的对称轴。
教学准备：长方形、正方形纸片各一张，课本119页中的六个图形，课件。
教学过程：一、“回忆”对称，谈话激趣。
1、欣赏图片。
⑴它们有什么共同的特征？⑵你是怎样判断的？⑶这条折痕叫什么？2、举例。
⑴举例：生活中的轴对称？⑵学生猜测数学中的轴对称图形。
⑶导入新课。
二、“探究”对称，体悟特征。
1、长方形的对称轴。
⑴学生猜测长方形的对称轴。
⑵动手操作。
⑶学生汇报。
追问：为什么斜着折不是的呢？⑷学生讨论：怎样找长方形的对称轴？⑸观察对称轴，认识它是点画线。
2、正方形的对称轴。
⑴学生动手实践，找出对称轴。
⑵汇报。
三、“做”对称，深化体验（闯关游戏）。
1、第一关：折一折，看看哪些是轴对称图形，哪些不是。
是轴对称图形的，分别画出它的对称轴。
2、第二关：下面的图形都是轴对称图形吗？是轴对称图形的各有几条对称轴？试着把它们画出来。
3、第三关：先画出下面每个图形的对称轴，再在小组里交流。
4、第四关：画出下面每个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。
5、第五关：小小设计师：在方格纸上设计一个轴对称图形，并画出它的对称轴。
四、全课小结。
学了这节课，你有什么收获？五、回归生活：生活中的对称美。
《轴对称与轴对称图形》知识点总结
轴对称与轴对称图形一、知识点：1．什么叫轴对称：如果把一个图形沿着某一条直线折叠后，能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2．什么叫轴对称图形：如果把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
4．线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
（也称线段的中垂线）5．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
lA B⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
6．怎样画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
二、举例：例1：判断题：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；（）②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；（）③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；（）④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。
（）例2：下图曾被哈佛大学选为入学考试的试题.请在下列一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后把图形空白处填上恰当的图形.例3：如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图中添画一个小正方形使它成为一个轴对称图形：例4：如图，已知：ΔABC和直线l，请作出ΔABC关于直线l的对称三角形。
轴对称图形 基础知识复习讲义
【知识点 11】 实数概念： 】 实数概念：
有理数
正有理数
实数的分类： 实数的分类：
实数 正无理数 负无理数
〖基础回顾〗 基础回顾〗 1．与数轴上的点一一对应的数是 ． 。 的点到原点的距离是_________ _________。 2. 数轴上表示 − 6 的点到原点的距离是_________。 点M在数轴上与原点相距 5 个单位，则点 表示的实数为 在数轴上与原点相距 个单位，则点M表示的实数为 3. −7.2 5
·北师大版
4、在△ABC中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求 、 中 ， ， 求 的周长和面积。 △ABC的周长和面积。 的周长和面积
·北师大版
【知识点 4】 勾股定理与方程的综合运用 】 〖基础回顾〗 基础回顾〗 1.AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线 折叠，使它落 ， ，现将直角边 沿直线AD折叠， 沿直线 折叠 在斜边AB上 且与AE重合 你能求出CD的长吗 重合， 的长吗？ 在斜边 上，且与 重合，你能求出 的长吗？
． M N
【知识点 7】等腰三角性是
等腰三角形的性质: 等腰三角形的性质 等腰三角形的判定: 等腰三角形的判定
图形,它的对称轴是 图形 它的对称轴是
〖基础回顾〗 基础回顾〗
1．等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC， ．等腰三角形 是角平分线， 中 ， 是角平分线 ⊥ ， ， ③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（ ） ∠ ， ∠ 中 结论正确的个数是（ A、4 B、3 C、2 D、1 、 、 、 、 2．如果等腰三角形的一个底角为 °，那么其余两个角为 ．如果等腰三角形的一个底角为50° 那么其余两个角为______和___ __ 和 如果等腰三角形的一个角为80° 那么它的一个底角为__________ 如果等腰三角形的一个角为 °，那么它的一个底角为 已知等腰三角形的一个角是110° 已知等腰三角形的一个角是 °，则其余两角为 3．一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为 ．一个等腰三角形的两边分别为8 4．已知：如图1.5-20，点D、E在△ABC的边 上,AD=AE,BD=EC. 1.5的边BC上 ．已知：如图1.5 20， 、 在 的边 = = 求证： = 求证：AB=AC
对称轴表达式
对称轴表达式
对称轴，数学名词，是指使几何图形成轴对称或旋转对称的直线。
对称图形的一部分绕它旋转一定的角度后，就与另一部分重合。
定义一
在平面上，如果图形F的所有点关于平面上的直线L成轴对称，直线L叫做图形下的对称轴。
定义二
在平面上，如果存在一条直线L，图形F的所有点关于直线L的对称点组成的图形。
仍是图形F自身，则称图形F 为轴对称图形，直线L己它的一条对称轴。
抛物线的对称轴：
对于函数y=ax^2+bx+c,a≠0，该函数的对称轴方程为：
x=-b/2a。
椭圆的对称轴：
椭圆方程x^2/a^2+y^2/b=1,则对称轴为x=0，y=0两条，即x轴和y轴都是其对称轴。
正弦函数y=sinx的对称轴为：
{x|x=kπ+π/2,k∈Z}。
即正弦函数的对称轴有无数条。
余弦函数y=cosx的对称轴为：
{x|x=kπ,k∈Z}。
同理，余弦函数的对称轴有无数条。
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《轴对称图形》教学设计
教学内容：
苏教版小学数学第八册P62—63。
教学目标：
1.知识目标：通过观察和动手操作，使学生学会确定轴对称图形的对称轴的方法，进一步体会轴对称图形的特征。
2.能力目标：让学生经历长方形、正方形等轴对称图形各有几条对称轴的探索过程，会画简单的轴对称图形的对称轴，增强学生的动手实践能力，发展空间观念。
3.情感目标：进一步感受图形变换的奇妙，感受数学知识在生活中的运用，增加学习数学的兴趣。
教学重点：
经历发现长方形、正方形对称轴的过程，并准确画出轴对称图形的对称轴。
教学难点：
（1）正确画出平面图形的所有对称轴并能清晰表达对称轴所在的位置。
（2）在学习中探究规律，让学习指向深入，形成良好的数学认知体系。
画轴对称图形的对称轴，进一步体会轴对称图形的特征。
教学具准备：
长方形、正方形纸片各一张，水彩笔，想想做做1，黑板上画一个长方形和一个正方形。
教学过程：
一、联系旧知，复习导入 2分
1.观察提问：（出示天安门、飞机和奖杯的平面图，画有对称轴）同学们，老师给大家带来了一些平面图形。
仔细观察，这三个图形有什么共同点？（轴对称图形或对称图形）
2.回忆：那怎样的图形才是轴对称图形呢？（对折后能完全重合的图形）
相机板书：对折后完全重合。
指着折痕，“这条折痕所在的直线是这个轴对称图形的（对称轴）对称轴一般应画成点划线。
3.揭题：这些都是我们三年级时学过的内容了。
同学们还记得这么牢固，良好的开端是成功的一半，相信同学们今天的表现一定会很棒。
今天我们继续研究有关轴对称图形的知识。
板书课题：轴对称图形
二、操作体验，探究新知
（一）探究长方形的对称轴。
1．研究长方形纸片的对称轴。
4分
①提出问题：生活中轴对称图形很多。
我们从最熟悉的长方形开始研究。
用一张长方形纸对折，并画出它的对称轴。
②学生操作。
教师巡视指导。
③交流：你是怎样对折画的？（把长对折；把宽对折），还有不同吗？
（预设：学生出现对角线折的方法，师：这样你们同意吗？）
（沿长方形的对角线对折后不能完全重合，所以这条直线不是长方形的对称轴。
）
④小结：通过操作，我们发现长方形有几条对称轴？（把长方形纸片轻轻地放桌边）
2．探究平面图上画对称轴的方法。
4分
①提出问题：（指着黑板上的长方形）黑板上的这个长方形你还能对折吗？怎样画它的两条对称轴呢？
②学生操作：学生尝试在第62页书上画，并指名板演。
③交流：你是怎么画的？
④小结：（看投影）过两条长的中点能画出一条对称轴，或过两条宽的中点能画出一条对称轴。
（对边中点的连线）因为对称轴是折痕所在的直线，所以可以将对称轴延伸到图形外。
（示范）
（二）探究正方形的对称轴 5分
①过渡：长方形有两条对称轴，那么正方形又有几条对称轴呢？
②猜。
先猜一猜，几条？
③折。
动手折一折，到底是几条？（之后，把正方形纸片轻轻地放桌边。
）
④画。
你能画出正方形的所有对称轴吗？请在课本62页上画出正方形的所有对称轴，并指名板演。
⑤小结:（指着学生板演）是这样吗？正方形有几条对称轴？（4条）怎样的四条？（板书：对角的连线）
（看投影）中点连线有（2条），对角连线有（2条。
）看，这4条对称轴相交于同一个（点）。
哦，有时数学就是这么奇妙。
三、巩固练习，拓展应用
过渡：同学们学得都很认真，接下来让我们一起走进“数学乐园”去探索数学的奇妙。
我们先去冲浪谷。
1. 冲浪谷——“想想做做1”3分
①明确要求：老师给同学们带来了一些平面图形：这是（等腰梯形）（说具体），这是（直角梯形），这是（等腰）三角形，这是(直角三角形)，这是(菱形)，这是（平行四边形）。
同桌两人先仔细观察，大胆地猜一猜，哪些是轴对称图形？对于没有把握的图形就动手对折，看看猜得对不对？听清楚要求了吗？开始。
②交流：通过猜一猜，折一折，找到轴对称图形了吗？
追问：这个平行四边形为什么不是轴对称图形呢？（随机强调要对折后完全重合的图形才是轴对称图形。
）（把这些图形轻轻地放桌边。
）
③画：你能画出这三个图形的所有对称轴吗？打开书62页想想做做1，在书上找到这三个图形，对号入座画一画。
我们来交流一下。
等腰梯形有一条对称轴（对吗？）；等腰三角形也有一条对称轴（对吗？）（板书：顶点到对边中点的连线）；菱形有两条对称轴（对吗？）
④追问：那么，我们能说梯形都是轴对称图形吗？谁是谁不是；我们能说三角形都是轴对称图形吗？谁是谁不是。
⑤小结：看来，判断基本图形是否是轴对称图形，并找找它们的对称轴，对大家来说小菜一碟并不困难。
接下来我们到竞技场走一走。
2.竞技场——“想想做做2” 5分
①判断：老师给同学们带来了一些美丽的花瓣。
（出示）判断一下，这些花瓣图都是轴对称图形吗？为什么第4个不是？（左右、上下花瓣都不对称，可出示看一看）
②找，画：那我们看留下来的这三瓣形花瓣，你能找出它的所有对称轴吗？怎么找？（电脑演示：沿着任意一个花瓣向中心画）再看四瓣形、五瓣形的花瓣，找一找各有几条对称轴？试着把它们都画出来，好吗？（书上63页想想做做2）（画的时候如果有困难可向教师索要图形对折一下。
）
学生独立完成，教师巡视。
（适时提醒：有同学画出四瓣形花瓣的一条对称轴，哦，你画了三条啊，真厉害！再想想看，有没有四条、五条？）
③交流：四瓣形花瓣有四条对称轴，怎样的四条？（沿着相对的花瓣画，在相邻的两个花瓣之间画要注意角度）；五瓣形花瓣有五条对称轴，怎么画的？（沿着任意一个花瓣向中心画，画法和三瓣形花瓣一样）
④拓展：如果我们沿着这些花瓣的边角连一连，会变成什么图形呢？（出示）（纠正学生的说法）。
会变成等边三角形（也叫正三边形、正方形也正四边形、这个就是正五边形），再想还会有（正六边形）。
生活就是这么精彩，你看，美丽的花瓣中还藏着平面图形呢？
⑤接下来我们就到探索园走一走，去探索像这样变化着的图形的特征。
3. 探索园——“想想做做”4 6分
①出示：想想做做第4题的四个图。
②猜：这些都是轴对称图形吗？先想一想，正三边形有几条对称轴？怎样的三条？正四边形呢？正五边形？正六边形呢？
③画：说到要做到，就请你画出正五边形的五条对称轴和正六边形的六条对称轴。
（学生独立画）(稍后展示)
④交流画法：是这样画的吗？说说你是怎么画的？（正五边形：过顶点到对边中点的连线；正六边形：沿着对应边的中点画、沿着对角线画）
⑤交流发现：正三边形有三条对称轴，正四边形有四条对称轴，正五边形有五条对称轴，正六边形有六条对称轴。
从中你有什么发现？（正几边形就有几条对称轴）（它的对称轴的条数和它的边数相等。
）（边数多条数多）
⑥推想：我们来推想。
（板书：推想）正八边形共有几条对称轴？正二十边形、圆？
（体验“无限”数学思想）
⑦拓展：圆和正方形组合起来的新图形，也是轴对称图形吗？想想它有几条对称轴？圆和长方形组合呢？你发现了什么？（圆有无数条对称轴，正方形只有4条，这样的组合图形最多只有4条。
）
⑧小结：学习就是要这样巧于发现，刚才的探索让老师发现了大家的心灵，在心灵的同时是不是也手巧着呢？让我们再到巧手馆走一走。
4. 巧手馆——“想想做做”3 3分
①提出要求：画出下面每个图形的另一半，使它成为一个轴对称图形。
②学生操作：独立画。
③交流：（展示）你是怎样画？（找对应点容易就找对应点，找对应线容易就找对应线，两者可结合应用。
）
④小结：从探索园到巧手馆，老师见证了同学们的心灵手巧。
四、课堂总结，联系生活。
1.这节课我们继续研究了图形的对称，学得开心吗?你有什么新的收获？ 1分
（学会了在较复杂的轴对称图形中找对称轴的方法；是探索让我们的学习更深入，是探索让我们发现了更多的数学奥秘，是猜想、操作和思考让我们心灵手巧；生活中处处都有数学问题，只要我们巧于发现；知识就是这样前后沟通的，昨天的学习为今天，今天的学习为明天。
）
2．一些同学利用对称设计了图画，我们来欣赏。
1分
展台出示图片
3．师：德国数学家魏尔曾说：美与对称性密切相关。
同学们能不能根据自己的设想创造出轴对称图形呢？说说你准备怎么画？并画出它的对称轴。
5分
（学生动手设计，交流展示）
如果设计得巧妙美丽，可以为班级的学习园地增光添彩呢！
五、板书设计
轴对称图形
对折完全重合
中点连线对角连线。