等效法在复合场中圆周运动应用
带电粒子在电场重力场中的运动
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即 1.25mg＝mvRD2
①
由动能定理：
mg(h－R－Rcos37°)－34mg(hcot θ＋2R＋Rsin37°)
＝12mvD2
②
联立①②两式求得 h≈7.7R
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即学即练 半径为 r 的绝缘光
滑圆环固定在竖直平面内，环上 套有一质量为 m，带正电荷的珠 子，空间存在水平向右的匀强电 场，如图所示，珠子所受静电 力是其重力的34倍，将珠子从环上 最低位置 A 点由静止释放，则： (1)珠子所能获得的最大动能是多大？ (2)珠子对环的最大压力是多大？
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解析 珠子在运动过程中，受重力和电场力的大
小、方向都不发生变化，则重力和电场力的合力大小、 方向也不变，这样就可以用合力来代替重力和电场 力，当珠子沿合力方向位移最大时，合力做功最多， 动能最大． (1) qE＝34mg，所以 qE、mg 的 合力 F 合与竖直方向夹角的正切 tan θ＝mqEg＝34，即 θ＝37°，则珠 子由 A 点静止释放后从 A 到 B 过 程中做加速运动，如右图所示，B 点动能最大，由动能定理得
l＝ x2＋h2 x＝0.4 m h＝12gt2＝12×10×(0.4)2 m＝0.8 m
所以 l＝ 0.42＋0.82 m≈0.89 m
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(3) 电 场 力 所 做 的 功
W
5.18(读背)等效法处理重力场和电场的复合场问题
难点分析：为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。
具体对应如下：等效重力场： 重力场、电场叠加而成的复合场。
等效重力： 重力、电场力的合力。
等效重力加速度： 等效重力与物体质量的比值。
等效“最低点”： 物体自由时能处于稳定平衡状态的位置。
等效“最高点”： 物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置。
等效重力势能： 等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积。
突破策略在解答重力不可忽略的带电物体在匀强电场中运动问题及相关的能量问题时，我们常采用的方法是：把物体的运动分解成沿重力和电场力方向的两个分运动，然后根据要求解答有关的问题。
用该种方法处理一些电场问题时，显的烦琐。
根据匀强电场和重力场的等效性，如果把重力场和匀强电场两场的问题转化为一个场的问题——建立“等效重力场”来处理该类有些题目，就会显得简洁，而且便于理解。
“等效重力场”建立方法当一个质量为m 、带电量为q 的物体同时处在重力场和场强为E 的匀强电场中，可将两场叠加为一个等效的重力场。
等效重力场的“重力加速度”可表示为qEg g m'=+，g '的方向与重力mg 和电场力qE 合力的方向一致；若合力的方向与重力mg 方向夹角为θ，则g 也可表示为cos gg θ=。
解题应用解圆周运动例. 如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O ，用一根长度0.40m L =的绝缘细绳把质量为0.10kg m =、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为37θ=。
现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，求：⑴小球通过最低点C 时的速度的大小； ⑵小球在摆动过程中细线对小球的最大拉力。
（210m/s g =，sin 370.60=，cos370.80=）解析： ⑴建立“等效重力场”如图8所示，“等效重力加速度”g '， 方向：与竖直方向的夹角30，大小： 1.25cos 37gg g '==由A 、C 点分别做绳OB 的垂线，交点分别为A'、C'，由动能定理得带电小球从A 点运动到C 点等效重力做功21m ()(cos sin )2OA OC Cg L L mg L mv θθ''''-=-= 代入数值得 1.4C v ≈m/s（2）当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为B v ，绳上的拉力为F ，则21sin 2B mg L L mv θ'-=（） ① 2B v F mg mL'-=②联立①②两式子得 2.25F =N 。
圆周运动“最高点”最小速度讨论
v＝ gr 的意义
2. “等效法”处理电场和重力场的复合问题 (1) 将重力与电场力进行合成，如图所示，则 F 合为等效重力场中的“重力”， F合 g′＝ m 为等效重力场中的“等效重力加速度”， F 合的方向等效为“重力”的方向， 即在等效重力场中的“竖直向下方向”．
(2) 物理最高点与几何最高点．在“等效力场”做圆周运动的小球，经常遇到小 球在竖直平面内做圆周运动的临界速度问题．小球能维持圆周运动的条件是能过最 高点，而这里的最高点不一定是几何最高点，而应是物理最高点．
பைடு நூலகம்
1．等效思维法 等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知 的物理模型或问题的方法。对于这类问题，若采用常规方法 求解，过程复杂，运算量大。若采用“等效法”求解，则能 避开复杂的运算，过程比较简捷。 2．方法应用 先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等 F合 效重力”， 将 a＝ m 视为“等效重力加速度”， 如此便建立 起“等效重力场”。再将物体在重力场中的运动规律迁移到 等效重力场中分析求解即可。
在小球从圆轨道上的 A 点运动到 D 点的过程中，有 1 1 2 2 mgr(1＋cos θ)＋Frsin θ＝ mv0 － mv ，解得 v0＝2 2gr。 2 2 [答案] (1) 3mg (2)2 2gr
(1)带电小球的运动可以等效为只有重力时竖直平面内的 圆周运动。 (2)小球经过 C 点时速度最大，可以作为等效“最低点”， 则通过圆心和 C 点相对的 D 点可以作为等效“最高点”。 (3)重力和电场力合力的方向， 一定在等效“最高点”和等 效“最低点”连线的延长线的方向上。
[解析]
(1)小球经过 C 点时速度最大，
则电场力与重力的合力沿 DC 方向，如图所 示，所以小球受到的电场力的大小 F＝mgtan θ＝ 3mg。 (2)要使小球经过 B 点时对圆轨道的压力最小，则必须使小 球经过 D 点时的速度最小， 即在 D 点小球对圆轨道的压力恰好 v2 mg 为零，有 ＝m r ， cos θ 解得 v＝ 2gr。
“等效法”巧解复合场的圆周运动问题
“等效法”巧解复合场的圆周运动问题
摘要:
物理教学中，等效法是常用的一种方法，等效法是从效果等同出发研究物理现象和物理过程的一种科学方法。
等效的概念在中学物理中应用很广。
例如，力的合成和分解，运动的合成与分解，热功当量，电路的总电阻，交流电的有效值等；他们的计算都是应用等效法得出的。
带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是高中物理教学中一类重要而典型的题型。
对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。
若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。
所谓“等效法”就是先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将α=F合/m 视为“等效重力加速度”。
再将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解即可。
下面通过两个实例分析说明“等效法”在此类问题中的应用。
“等效法”在复合场中的妙用
“等效法”在复合场中的妙用
发表时间：2014-03-28T13:29:15.903Z 来源：《素质教育》2013年12月总第139期供稿作者：李海兰[导读] 处在匀强电场中的带电体除受到电场力外，一般还会受到重力等其他外力的作用。
李海兰江西省南昌市莲塘一中330299
处在匀强电场中的带电体除受到电场力外，一般还会受到重力等其他外力的作用。
这类问题应用“等效法”，即把重力场和电场叠加成一个复合场，将重力和电场力的合力看成一等效重力，把物体在重力场中运动的规律类比应用于复合场中，就能较简捷地解决问题。
例1：在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为L的绝缘细线悬挂于O点，稳定时小球静止于B点，细线与竖直方向的夹角为α，如图1所示。
现给小球一个垂直于悬线的初速度，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动。
试问：
（1）小球在做圆周运动的过程中在哪一位置速度最小？速度最小值多大？（2）小球在B点的初速度多大？
径无关的特点，由动能定理直接一步到位，解题思路明确，书写简便。
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题(1)等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。
常见的等效法有“分解”“合成”“等效类比”“等效替换”“等效变换”“等效简化”等。
带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。
对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。
若采用“等效法”求解，则过程比较简捷。
(2)解题思路：①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”。
②将a ＝F 合m视为“等效重力加速度”。
③将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解。
[典例] 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B 点的初速度多大？对应练习：1．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。
整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。
现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？2．(2012·合肥质检)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。
该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g。
(1)求小球所受到的电场力的大小；(2)求小球在A点速度v0多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小？3.如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动。
高中物理每日一点十题之带电粒子在复合场中的一般曲线运动
高中物理每日一点十题之带电粒子在复合场中的一般曲线运动一知识点带电粒子在复合场中一般的曲线运动处理带电粒子在复合场中一般曲线运动的方法1.明确研究对象并对其进行受力分析.2.利用运动的合成与分解把曲线运动转化为直线运动，然后利用牛顿运动定律、运动学公式进行处理.3.涉及到功和能量的问题时常用能量守恒定律、功能关系等处理.带电粒子在复合场中圆周运动的临界问题处理带电体在复合场中圆周运动的临界问题的一般方法1.首先分析带电体的受力情况进而确定向心力的来源.2.用“等效法”的思想找出带电体在复合场中的等效“最高点”和“最低点”.(1)等效重力法将重力与静电力进行合成，如图所示，则F合为等效重力场中的“等效重力”，F合的方向为“等效重力”的方向，即等效重力场中的“竖直向下”方向.a＝F合m视为等效重力场中的“等效重力加速度”(2)物理最高点与几何最高点①物理最高点：是指“等效重力F合”的反向延长线过圆心且与圆轨道的交点，即物体在圆周运动过程中速度最小的点.②几何最高点：是指图形中所画圆的最上端，是符合人视觉习惯的最高点.3.在等效重力场中做圆周运动的小球，小球能做完整圆周运动的条件是能过物理最高点.十道练习题（含答案）1. 如图带电小颗粒质量为m，电荷量为q，以竖直向上的初速度v0自A处进入方向水平向右的匀强电场中．当小颗粒到达B处时速度变成水平向右，大小为2v0，那么，该处的场强E为________，A、B 间的电势差是________．2. 如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高为h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动。
已知小球所受电场力是其重力的，圆环半径为R，斜面倾角为θ＝60°，s BC＝2R。
若使小球在圆环内能做完整的圆周运动，h至少为多少？(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)3. 如图所示，绝缘光滑轨道AB部分是倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R的圆轨道，斜面与圆轨道相切。
圆周运动等效重力场问题
圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向②在复合场中找出等效最低点、最高点。
最高、低点：T 与等效重力共线 ③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为mg 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v 及运动过程中的最大拉力变式1：如图所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且.2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。
（g=10m/s2）求：（1）它到达C 点时的速度是多大？ （2）它到达C 点时对轨道压力是多大？ （3）小球所能获得的最大动能是多少？例2：在水平方向的匀强电场中，用长为3L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，小球静止在A处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D 时的速度大小变式2：质量为的m 小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端,使小球在平面内绕O 点做半径为a 圆周运动,线速度为v（1）求此时绳子上的拉力A Y（2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为b 的圆周运动，求放松时间 （3）小球做半径为b 的圆周运动时绳子的拉力练习1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O ，用一根长度m L 40.0=的绝缘细绳把质量为kg m 10.0=、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为37=θ。
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题
用等效法解决带电体在匀强电场中的圆周运动问题(1)等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。
常见的等效法有“分解”“合成”“等效类比”“等效替换”“等效变换”“等效简化”等。
带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是一类重要而典型的题型。
对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。
若采用“等效法”求解，则过程比较简捷。
(2)解题思路：①求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”。
②将a ＝F 合m视为“等效重力加速度”。
③将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解。
[典例] 在水平向右的匀强电场中，有一质量为m 、带正电的小球，用长为l 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B 点的初速度多大？对应练习：1．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。
整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。
现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？2．(2012·合肥质检)如图所示，在竖直平面内固定的圆形绝缘轨道的圆心为O、半径为r、内壁光滑，A、B两点分别是圆轨道的最低点和最高点。
该区间存在方向水平向右的匀强电场，一质量为m、带负电的小球在轨道内侧做完整的圆周运动(电荷量不变)，经过C点时速度最大，O、C连线与竖直方向的夹角θ＝60°，重力加速度为g。
(1)求小球所受到的电场力的大小；(2)求小球在A点速度v0多大时，小球经过B点时对圆轨道的压力最小？3.如图所示的装置是在竖直平面内放置的光滑绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，带负电荷的小球从高h的A处由静止开始下滑，沿轨道ABC运动并进入圆环内做圆周运动。
等效最高点在圆周运动中的应用
等效最高点在圆周运动中的应用作者：查贵川来源：《中学物理·高中》2013年第09期在物理高考中，物体在竖直平面内做圆周运动是一个考点，对学生来说也是一个难点，而解决这一类题目的关键是准确地找到等效最高点的位置.物体在竖直平面内能不能做完整的圆周运动，就看它能不能通过最高点；也就是物体在最高点的速度必须满足某一值时，才能通过最高点.例如小球在细线牵引下在竖直平面内做圆周运动，利用所学的高中物理知识，在最高点有：Fn=F合=mg+T，Fn=mv2r；当T=0时速度有最小值：vmin=gr.在最高点的速度必须有v≥gr，才能做完整的圆周运动.但在电场和重力场的复合场中，物体做竖直平面内的圆周运动的最高点不一定就是速度的最小值位置.那么这种情况下如何找出速度的最小值的位置，也就是类似于物体只在重力场中运动的最高点位置，就是我们解决这类问题的关键；在物理学中我们把这个位置称为等效最高点.在利用等效最高点解决这类问题时类似于竖直方向的圆周运动的最高点：从等效最高点移到圆上任何一点，合力都做正功，动能增加，所以这点就是速度的最小值.下面我就在电场和重力场中作如下说明：例1 如图1所示：一带正电荷的小球，质量为m，电量为q，在竖直平面内的圆环内做圆周运动，场强为竖直方向且大小为E的匀强电场，且电场力大于重力.此种情形最高点并不是速度的最小值，经分析知：电场力和重力的合力为一恒力，方向为竖直向上；从最低点移到圆上任何一点电场力和重力的合力与位移方向的夹角总是小于90°，而拉力又不做功，所以合力做正功，动能增加，即最低点才是速度的最小值位置.所以在物理学中我们把最低点B点叫做其等效最高点.在等效最高点，由圆周运动知识得：Fmq+T=mv2r，当拉力为零时速度有最小值，vmin=（qE-mg）rm.在电场和重力场的复合场中，等效最高点不一定在竖直圆周的最高点或最低点位置.下面举例说明，如何找其等效最高点位置：例2 如图2所示：水平方向的匀强电场中，有一质量为m的带电小球，用长为l的细线悬于O点，当小球平衡时，细线和竖直方向的夹角为θ，现给小球一个初速度，速度方向和细线垂直，使小球恰能在竖直平面内做圆周运动，则圆周运动过程中速度的最小值为：此时最高点的速度并不是最小速度，最低点也不是最小速度的位置，它的等效最高点位置在哪？如何求等效最高点的位置？分析小球处于平衡位置时，受三个力作用，且重力和电场力的合力与拉力大小相等，方向相反，我们在平衡位置过圆心作一直线与圆相交于两点A和B；很容易证明A、B两点所受电场力和重力的合力都是由B指向A方向，从B点到圆上任何一点合力均做正功；由此可知：B点的速度最小，它就是复合场中的等效最高点，再由圆周运动的知识得：Fmq+T=mv2r，Fmq为重力和电场力的合力，Fmq=mgcosθ，当T=0时，速度有最小值：vmin=glcosθ.再举一例说明等效最高点的具体求法：例3 如图4所示，ABCDF为一绝缘光滑轨道，竖直放置在水平方向的匀强电场中，BCDF 是半径为R的圆形轨道，已知电场强度为E，今有质量为m的带电小球在电场力作用下由静止从A点开始沿轨道运动，小球受到的电场力和重力大小相等，要使小球沿轨道做圆周运动，则A、B间的距离至少为多大？要使小球在圆轨道上做圆周运动，小球在“最高”点不脱离圆环.这“最高”点并不是D点，只要找到其等效最高点，则这个问题就迎刃而解，那么这个等效最高点怎样来求？等效最高点的具体求法为：我们先利用平行四边形定则可以求出重力和电场力的合力的大小和方向.记下这个合力与场强方向的夹角θ，再在圆心上找与场强方向成θ角并把其延长线至圆上交于两点N和M，在这两点上很容易得出重力和电场力的合力都在过其这两点的直径上.因为重力和电场力的合力为一定值，经分析：从N点到圆上任一点，重力和电场力的合力与位移的夹角大于等于90°，所以合力做负功，动能减少，由此可见N点动能最大.从M点到圆上任一点，重力和电场力的合力与位移的夹角小于90°；合力做正功，则M点的动能最小，所以它就为其等效最高点：电场力和重力的合力方向，与水平方向的夹角为θ（如图5所示）tanθ=mgqE=1，解得θ=45°，再由圆周运动的知识Fmq+T=mv2r，Fmq为重力和电场力的合力，其值为Fmq=2mg，在等效“最高”点，小球刚好不掉下来时，有2mg=mv2minr，再从A开始运动到等效重力场的“最高”点，由动能定理W=ΔEk，qE（L-Rcosθ）-mg（R+Rsinθ）=12mv2min-0，解得L=（1+322）R.总结“等效”法是物理学中的常用方法，在本题中电场和重力场合成的等效最高点有条件的，即重力和电场力都是大小和方向都不变的恒力.综合上述，对于带电体在复合场中的圆周运动，找其等效最高点的方向与此类似：用平行四边形法则可以求出重力和电场力的合力的大小和方向.记下其合力与场强方向的夹角θ，再在圆心上找出与场强方向成θ角并把其延长至圆上交于两点，这两点很容易得出重力和电场力的合力在过其这两点的直径上，在其中一点其电场力和重力的合力指向圆心，这一点就为等效最高点，因为从这一点到圆上任一点合力均做正功，而另一点就为等效最低点，速度的最大值就在此处.只要找到其等效最高点然后利用相关的动力学知识就能解决这类问题.。
高考物理 电场精讲精练“等效法”解决带电体在复合场中运动问题
“等效法”解决带电体在复合场中运动问题[方法概述]1等效思维方法就是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法.例如我们学习过的等效电阻、分力与合力、合运动与分运动等都体现了等效思维方法.常见的等效法有“分解”、“合成”、“等效类比”、“等效替换”、“等效变换”、“等效简化”等，从而化繁为简，化难为易.2带电粒子在匀强电场和重力场组成的复合场中做圆周运动的问题是高中物理教学中一类重要而典型的题型.对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大.若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷.[方法应用]1求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”.2将a视为“等效重力加速度”.3将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中分析求解.例题1在水平向右的匀强电场中，有一质量为m、带正电的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点，当小球静止时，细线与竖直方向夹角为θ，小球位于B点，A点与B点关于O点对称，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能在竖直平面内做圆周运动，试问：(1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最小值多大？(2)小球在B点的初速度多大？解析如图所示，小球所受到的重力、电场力均为恒力，二力的合力为F＝mgcos θ.重力场与电场的叠加场为等效重力场，F为等效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为g′＝gcos θ，其方向斜向右下，与竖直方向成θ角．小球在竖直平面内做圆周运动的过程中，只有等效重力做功，动能与等效重力势能可相互转化，其总和不变．与重力势能类比知，等效重力势能为E p＝mg′h，其中h为小球距等效重力势能零势能点的高度．(1)设小球静止的位置B 点为零势能点，由于动能与等效重力势能的总和不变，则小球位于和B 点对应的同一直径上的A 点时等效重力势能最大，动能最小，速度也最小．设小球在A 点的速度为v A ，此时细线的拉力为零，等效重力提供向心力，则mg ′＝m v 2A l 得小球的最小速度为v A ＝ gl cos θ(2)设小球在B 点的初速度为v B ，由能量守恒得12mv 2B ＝12mv 2A ＋mg ′·2l 将v A 的数值代入得v B ＝5gl cos θ 答案 (1)A 点速度最小gl cos θ (2) 5gl cos θ过关检测 1．如图所示，一条长为L 的细线上端固定，下端拴一个质量为m 的电荷量为q 的小球，将它置于方向水平向右的匀强电场中，使细线竖直拉直时将小球从A 点静止释放，当细线离开竖直位置偏角α＝60°时，小球速度为0.(1)求：①小球带电性质；②电场强度E .(2)若小球恰好完成竖直圆周运动，求从A 点释放小球时应有的初速度v A 的大小(可含根式)．解析：(1)①根据电场方向和小球受力分析可知小球带正电．②小球由A 点释放到速度等于零，由动能定理有0＝EqL sin α－mgL (1－cos α)，解得E ＝3mg 3q. (2)将小球的重力和电场力的合力作为小球的等效重力G ′，则G ′＝2 33mg ，方向与竖直方向成30°角偏向右下方．若小球恰能做完整的圆周运动，在等效最高点．m v 2L ＝2 33mg 12mv 2－12mv 2A ＝－2 33mgL (1＋cos 30°)联立解得v A ＝ 2gL (3＋1)答案：见解析2．如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于电场强度为E 、方向水平向右的匀强电场中．现有一个质量为m 的小球，带正电荷量为q ＝3mg 3E，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应满足什么条件？解析：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受重力、电场力、轨道作用力，如图所示，类比重力场，将电场力与重力的合力视为等效重力mg ′，大小为mg ′＝ (qE )2＋(mg )2＝2 3mg 3，tan θ＝qE mg ＝33，得θ＝30°，等效重力的方向与斜面垂直指向右下方，小球在斜面上匀速运动．因要使小球能安全通过圆轨道，在圆轨道的“等效最高点”(D 点)满足“等效重力”刚好提供向心力，即有：mg ′＝mv 2D R，因θ＝30°与斜面的倾角相等，由几何关系知AD ＝2R ，令小球以最小初速度v 0运动，由动能定理知：－2mg ′R ＝12mv 2D －12mv 20 解得v 0＝10 3gR 3，因此要使小球安全通过圆轨道，初速度应满足v ≥ 103gR 3. 答案：v ≥ 103gR 3。
等效法处理电场中的圆周运动
等效法处理电场中的圆周运动“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系及其规律。
具体如下：等效重力场 ⇔ 重力场、电场叠加而成的复合场等效重力 ⇔重力、电场力的合力等效重力加速度⇔ 等效重力与物体质量的比值等效“最低点”⇔ 物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”⇔物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能 ⇔等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积 绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律：一、在重力场中:1、临界最高点：2mv mg l=得：v = 特点: mg 与绳的拉力在同一直线上,且方向相同2、最低点: 物体速度最大,绳的拉力最大特点: mg 与绳的拉力在同一直线上,且方向相反注意：不论最高点还是最低点，速度与合力必垂直，电场中带电粒子在竖直平面内做圆周运动：二、复合场中：1、临界状态在等效“最高点”：2'mv mg l = 得：v = 等效“最高点” ：物体速度最小，绳的拉力最小。
特点: mg 和qE 的合力与绳的拉力在同一直线上,且方向相同2、等效“最低点”: 物体速度最大,绳的拉力最大特点: mg 和qE 的合力与绳的拉力在同一直线上,且方向相反 注意：不论最高点还是最低点，速度与合力必垂直例1 、光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为m g 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v .例2如图所示，半径R = 0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直平面内，加上某一方向的匀强电场时，带正电的小球沿轨道内侧做圆周运动．圆心O 与A 点的连线与竖直成一角度θ，在A 点时小球对轨道的压力N = 120N ，此时小球的动能最大．若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）．则：（1）小球的最小动能是多少？（2）小球受到重力和电场力的合力是多少？（3）现小球在动能最小的位置突然撤去轨道，并保持其他量都不变，若小球在0.04s 后的动能与它在A 点时的动能相等，求小球的质量．。
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探讨等效法在匀强电场中竖直面圆周运动的应用
王 强
物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。
此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。
那么，如何实现这一思想方法呢？
首先我们明确一下等效法，等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究和处理的一种科学思想方法。
它是物理学研究的一种重要方法。
在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、总电阻与分电阻、平均值、有效值等，都是根据等效概念引入的。
常见的等效法有“分解”、“合成”、等效类比、等效替换、等效变换,等效简化等，从而化繁为简、化难为易。
匀强电场有许多性质与重力场非常相似，所以在有些电场问题解题的过程中，可以将电场与重力场加以比较，将匀强电场等效类比为重力场中熟悉的模型问题。
今天我们将用此方法研究带电物体在匀强电场中的运动。
一、寻找竖直面内圆周运动“等效最低点”方法
1、在只有重力场的情况最低点是速度最大位置即动能最大，重力做正功最多，重力势能最小动能最大。
当既有重力场和匀强电场时，合场也是恒定不变的，与重力场类似。
所以可以把重力和电场力合成，求出合把这个合力等效成重力，我们把该合力称之为等效重力，此时相当于只有等效重力作用 ，那么运动过程中沿着等效重力的方向，合力做正功最多，则势能最少的地点则为等效最低点。
2、 受力平衡，最低点可以静止
在重力场中当物体处于静止和平衡时一点在最低点，且此时重力作用线与绳子拉力在一条线且沿半径背向圆心，如图1所示。
当物体静止时，图
示位置即为最低点。
带电粒子在复合场中做圆周运动的过程中与只有重力
场类似，由于电场重力场恒，所以合力是恒定的，因此当物体静止时一定
是平衡，此时等效重力的方向也应该和绳子的拉力在一条直线上，且也沿半径背向圆心。
把我以上特点在匀强电场中寻找等效最低点方便快捷，从而使复杂问题简单化。
例 1 、如图2 在水平向左的匀强电场中，有一质量为m 带正电的小球， 用长为L 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球所受到的电场力与重力大小相等，现给小球一个垂直于细线的初速度，使小球恰能在竖直面内做圆周运动．试问：小球在做圆 周运动的过程中，哪一位置速度最大． 解析 由于已经知道了重力
与电场力大小相等， 又已知小球
带正电，根据小球在复合场中的特
点， 则可以根据平行四边形定则
( 如图3) 得出等效重力的方向，
与竖直方向成 4 5度角． 由此很
容易就知道速度最大的位置在绳子与竖直方向成 4 5度角的位置． ( 如图4 )
二、寻找竖直面内圆周运动“物理最高点”方法 e mg 图1 图 2 图 3 图 4
1、 在只有重力场的情况，最高点是速度最小的位置， 重力势能最大．当既有重力场和匀强电场时， 合场也是恒定不变的， 与重力场类似． 所以可以把重力和电场力合成， 求出合把这个合力等效成重力，我们把该合力称之为等效重力，此时相当于只有等效重力作用 ，那么运动过程中从最低点到最高点等效重力做负功最多且是能最大位置应为等效最高点。
2、最高点受力特点，最高点不能静止，在重力场中最高点重力与绳子作用力在一条直线且重力作用线沿半径指向圆心，类比重力场，带电粒子在复合场中做圆周运动的过程中与只有重力场类似，由于电场重力场恒，所以合力是恒定的，因此当物体在最高点是，等效重力的方向也应该和绳子的拉力在一条直线上，且也沿半径指向圆心。
例2、水平向右的匀强电场中，用长为R 的轻质细线在O 点悬挂
一质量为m 的带电小球，静止在A 处，AO 的连线与竖直方向夹角为370，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V 0小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初
速度V 0至少应为多大？
解析：解决此题首先要明白物理最高点和最低点以及能做完整周运动的条件，根据竖直面内圆周的条件是在最高点的速度V ≥R g ，在这里我们首先要找到等效重力加速度和物理做高点，然后用动能定理求解。
根据受力特点和几何关系不难找出物理最高点 为B 点，物理最低点为A 点，等效重力方向与竖直方向成37度角如图5所示。
解：静止时对球受力分析如右图: 且F=mgtg370=43
mg,
“等效”场力G ’=22()mg F =45mg 与T 反向
“等效”场加速度g ’=45
g
与重力场相类比可知: 小球能在竖直面内完成圆周运动的临界
速度位置在AO 连线B 处, 且最小的V B =R g '
从B 到A 运用动能定理: G ’2R=21m V 0 2-- 21
m V B 2
45mg2R=21m V 0 2-- 21m 45
gR
V 0 =25
gR
例 3 如图，水平放置的平行金属板间有匀强电场，一根长的绝缘细绳一端固定在点，另一端系有质量为的带电小球，小球原来静止在点，当给小球一个水平速度后，它可以在竖直
A
370
B O
面内绕点做匀速圆周运动。
若将两板间的电压增大为原来的3倍，求：要使小球从点开始在竖直面内绕点做圆周运动，至少要给小球多大的水平速度？在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大？
解析：只有当小球所受的合外力始终沿半径指向圆心时，它才可以在竖直面内做匀速圆周
运动，对小球经过最右端瞬间分析可知，小球所受电场力必须和重力平衡，即，方向竖直向上。
金属板间的电压增大为原来的3倍时，有，方向仍竖直向上，则小球的
等效重力大小为，方向竖直向上，其中。
小球自由时只有在最高点才可能处于稳定平衡状态，因此为等效“最低点”，相应地为等效“最高点”。
小球要完成竖直面内的圆周运动，应有
对小球从运动到的过程应用动能定理
解得：
小球运动到等效“最低点”时，绳中拉力最大。
由向心力公式可得：
所以
通过例题分析进一步明确了等效最低点和几何最低点的区别。
等效
“最低点”不一定是几何最低点，相反甚至可以出现在几何最高点，解题过程中一定要细心分析、仔细辨别。
总之由于恒定电场与重力场在性质上相似，运用等效法将电场、重力场等效为重力场，联想重力场中熟悉的模型，运用对应的规律，使电场问题得以简化。
合理运用等效法解题，能将问题化繁为简、化生为熟、化难为易，这不仅能提高学生的解题速度，而且还有助于学生理解能力、应变能力和创造能力的培养。
但要注意“等效”并非指事物的各个方面效果都相同，而是强调某一方面的效果。
因此一定要明确不同事物在什么条件、什么范围、什么方面等效。
通常可以考虑对下列因素进行等效替代：研究对象、物理模型、物理状态、物理过程、物理作用等。
这里只介绍了物理模型等效替代，且局限于带电粒子在匀强电场中运动的问题。