初二上数学培优题一问题详解

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初二数学培优题（一）

1．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，（1）求证：△ABC≌△ADE；

E=∠CAD，求∠BC，且∠C的度数．（2）若AE∥

，∠DAE2，即∠BAC=，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠∠【分析】（1）由∠1=∠2=3≌ABC，已知AC=AE，即可证得：△∠3，则可得∠B=∠ADE1+又∠∠B=∠ADE+；ADE△

°，解x+4x+4x=180ABD中，可得）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△（2答处即可；

，∠3）∵∠1=∠2=【解答】解：（1

（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个角的和），DAC+∠2DAC=∴∠1+∠∠，DAEBAC=∠即∠

，ADE∠3，则可得∠B=∠∠又∵∠1+B=∠ADE+

，ADE中在△ABC和△

；）（≌△∴△ABCADEAAS

文案．

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（2）∵AE∥BC，

∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C，

又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x，

则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB，

又∵由（1）得AD=AB，∠E=∠C，

∴∠ABD=4x，

∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°，

∴x=20°，

∴∠E=∠

C=20°．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC．

（1）证明：BC=DE；

（2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积．

文案．

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【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可；

（2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得

出答案；

【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，

∴∠BAC=∠EAD．

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（SAS）．

∴BC=DE

（2）∵△ABC≌△ADE，

∴S=S，ADE△ABC△

=×12=72+S+S∴S=S=S=S．2ACE△△ADE△ACD四边形ABCD△ABCACD△【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD的面积是解此题的关键，难度适中．

3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=8，BC=6，点D为AB的中点，点P在文案．

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线段BC上以每秒2个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CA上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用含t的代数式表示线段PC的长；

（2）若点P、Q的运动速度相等，t=1时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由．

（3）若点P、Q的运动速度不相等，△BPD与△CQP全等时，求a的

值．

的长度即可；的长度减去BCBP【分析】（1）用

的长即可判断；，CQ（2）求出PB

）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论．（3

；2t﹣BP=6﹣【解答】解：（1）PC=BC

，，CQ=2时，2）∵t=1PB=2（

，2=4﹣PC=BCPB=6﹣∴

，BD=AD=4∵

，∴PC=BD

，CQ=BP，∠∵∠C=B

文案．

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∴△QCP≌△PBD．

（3）∵点P、Q的运动速度不相等，

∴BP≠CQ，

又∵△BPD与△CPQ全等，∠B=∠C，

∴BP=PC，BD=CQ，

∴2t=6﹣2t，at=4，

a=．解得：t=，

【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

文案．

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4．如图1所示，AB=AD，AC=AE，

．∠2∠1=

．）求证：BC=DE（1

、分别为BCM、N）（2如图2，若的关系，并说明理由．与ANDE的中点，试确定AM

，根据ADE判断△ABC≌△BAC=∠DAE，利用SAS1【分析】（）根据题意证明∠全等三角形的性质证明；

即可．ADNABM≌△（2）根据全等三角形的性质得到BM=DN，证明△，∠2（1）证明：∵∠1=【解答】

．DAE．即∠BAC=∠DAC∴∠1+∠DAC=∠2+∠

中，ADE在△ABC与△

，

．≌△ADE∴△ABC

．∴BC=DE

；理由如下：AM=AN（2）

，ADE≌△由（1）△ABC

，D∠∴∠B=

文案．

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∵BC=DE，M、N分别为BC、DE的中点，

∴BM=DN，

在△ABM和△ADN中，

，

∴△ABM≌△ADN，

∴AM=AN．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

5．如图，△ABC中，D为AB的中点，AD=5厘米，∠B=∠C，BC=8厘米．（1）若点P在线段BC上以3厘米/秒的速度从点B向终点C运动，同时点Q 在线段CA上从点C向终点A运动，

①若点Q的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△BPD≌△CQP；

②点Q的速度与点P的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ；

（2）若点P以3厘米/秒的速度从点B向点C运动，同时点Q以5厘米/秒的速度从点C向点A运动，它们都依次沿△ABC三边运动，则经过多长时间，点Q第一次在△ABC的哪条边上追上点P？

文案．

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