【苏科版】2014届中考数学第一轮夯实基础《第16讲 二次函数的应用》
【数学中考一轮复习】 二次函数最值应用(含解析)
专项训练 二次函数最值应用结合图象，分两类情形: （1）最值在顶点位置如图所示，P 为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的顶点，则二次函数的最值（开口向上有最小值，开口向下有最大值）为顶点P 的纵坐标ab ac 442-.（2）最值不在顶点位置如图所示，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）为y 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象上的两点，则当x 1≤x ≤x 2时，二次函数的最大值为y 2，最小值为ab ac 442-.具体应结合开口方向，根据M ，N ，P 三个点的位置，通过比较y M ，y P ，y N ，确定二次函数的最值.如果在实际问题中，还要考虑取值的实际意义，综合进行分析，确定二次函数的最值. 类型一 面积中的最值应用1.把一根长为120 cm 的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝围成一个正方形.若设围成的一个正方形的边长为 x cm.（1）要使这两个正方形的面积的和等于650 cm 2，则剪出的两段铁丝长分别是多少？ （2）剪出的两段铁丝长分别是多少cm 时，这两个正方形的面积和最小？最小值是多少？2.如图所示，在足够大的空地上有一段长为100 m 的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 m 的木栏.（1）若AD ＜20 m ，所围成的矩形菜园的面积为450 m 2，求所利用的旧墙AD 的长； （2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值.3.如图所示，为美化中心城区环境，政府计划在长为30米，宽为20米的矩形场地ABCD 上修建公园其中要留出宽度相等的三条小路，且两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分建成花圃.（1）若花圃总面积为448平方米，求小路宽为多少米？（2）已知某园林公司修建小路的造价y 1（元）和修建花圃的造价y 2（元）与修建面积s （平方米）之间的函数关系分别为y 1＝40s 和y 2＝35s ＋20000.若要求小路宽度不少于2米且不超过4米，求小路宽为多少米时修建小路和花圃的总造价最低？类型二 利润中的最值应用4.超市销售某品牌洗手液，进价为每瓶10元.在销售过程中发现，每天销售量y （瓶）与每瓶售价x （元）之间满足一次函数关系（其中10≤x ≤15，且x 为整数），当每瓶洗手液的售价是12元时，每天销售量为90瓶；当每瓶洗手液的售价是14元时，每天销售量为80瓶.（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）设超市销售该品牌洗手液每天销售利润为w 元，当每瓶洗手液的售价定为多少元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是多少元？5.在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销量y （单位:件）与线下售价x （单位:元/件，12≤x ＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表:（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问:当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润.6.2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月（按30天计）的第x 天（x为正整数）的销售价格p （元/千克）关于x 的函数关系式为p ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+)3020(1251)200(452x x x x ,销售量y （千克）与x 之间的关系如图所示.（1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少？（销售额＝销售量×销售价格）类型三运动中的最值应用，7.周末，小明陪爸爸去打高尔夫球，小明看到爸爸打出的球的飞行路线的形状如图所示，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线.小明测得小球的飞行高度h（单位:m）与飞行时间t（单位:s）的几组值后，发现h与t满足的函数关系式是h＝20t-5t2. （1）小球飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15 m？8.如图所示，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4 m处跳起投篮，球运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足解析式y＝ax2＋x＋c，当球运行的水平距离为1.5 m时，球离地面高度为3.3 m，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内.已知篮圈中心离地面距离为3.05 m.（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1.8 m，这次跳投时，球在他头顶上方0.25 m处出手，问球出手时他跳离地面多高?9.如图所示，某足球运动员站在点O处练习射门将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位:m）与飞行时间t（单位:s）之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c.已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.（1）a＝_________；c＝___________.（2）当足球飞行的时间为多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（3）若足球飞行的水平距离x（单位:m）与飞行时间（单位:s）之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为 2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？巩固训练1.某宾馆共有80间客房宾馆负责人根据经验作出预测:今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝41x-42（x ≥168）.若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ） A.252元/间 B.256元/间 C.258元/间 D.260元/间 2.如图所示，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m （篱笆的厚度忽略不计），当AB ＝_______m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.3.小明和小丽先后从A 地出发沿同一直道去B 地.设小丽出发第x min 时，小丽、小明离B 地的距离分别为y 1 m 、y 2 m.y 1与x 之间的函数表达式是y 1＝-180x ＋2250，y2与x 之间的函数表达式是y 2＝-10x 2-100x ＋2000.（1）小丽出发时，小明离A 地的距离为_________m ；（2）小丽出发至小明到达B 地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？4.因疫情防控需要，消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价50元，每天销售量y （桶）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）每桶消毒液的销售价定为多少元时，药店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝销售价-进价）参考答案1.解:（1）根据题意知:一个正方形的边长分别为x cm ， 则另一个正方形的边长为41（120-4x ）＝（30-x ）cm ， 且分成的铁丝一段长度为4x cm ，另一段为（120-4x ）cm ，x 2＋（30-x ）2＝650. 整理得:x 2-30x ＋125＝0，解得:x 1＝5，x 2＝25， 故这根铁丝剪成两段后的长度分别是20 cm ，100 cm ； （2）设这两个正方形的面积之和为y cm 2，y ＝x 2＋（30-x ）2＝2x 2-60x ＋900＝2（x-15）2＋450， ∴当x ＝15时，y 取得最小值，最小值为450cm 2，即剪成两段均为60 cm 的长度时面积之和最小，最小面积和为450 cm 2. 2.解:（1）设AB ＝x m ，则BC ＝（100-2x ）m.x （100-2x ）＝450. 解得，x 1＝5，x 2＝45，当x ＝5时，100-2x ＝90＞20，不合题意，舍去. 当x ＝45时，100-2x ＝10， 答:AD 的长为10m ；（2）设AD ＝a m ，面积为S m 2， S ＝a ·1250)50(2121002+-=-x a ， ∴当a ＝50时，S 取得最大值，此时S ＝1250. 答:矩形菜园ABCD 面积的最大值是1250 m 2.3.解:（1）设小路的宽为m 米，则可列方程（30-m ）（20-2m ）＝448； 解得:m 1＝2或m 2＝38（舍去）； 答:小路的宽为2米；（2）设小路的宽为x 米，总造价为w 元，则花圃的面积为（2x 2-80x ＋600）平方米，小路面积为（-2x 2＋80x ）平方米，所以w ＝40·（-2x 2＋80x ）＋35·（2x 2-80x ＋600）＋20000， 整理得:w ＝-10（x-20）2＋45000，∴当2≤x ≤4时，w 随x 的增大而增大.∴当x ＝2时，w 取最小值. 答:小路的宽为2米时修建小路和花圃的总造价最低.4.解:（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b （k ≠0），根据题意，得1⎩⎨⎧=+=+80149012b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=1505b k ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝-5x ＋150； （2）根据题意，得w ＝（x-10）（-5x ＋150）＝-5x 2＋200x-1500＝-5（x-20）2＋500 ∵a ＝-5＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值.∴当x ＜20时，w 随x 的增大而增大.10≤x ≤15，且x 为整数， ∴当x ＝15时，w 有最大值. 即w ＝-5×（15-20）2＋500＝375.答:当每瓶洗手液的售价定为15元时，超市销售该品牌洗手液每天销售利润最大，最大利润是375元.5.解:（1）∵y 与x 满足一次函数的关系，∴设y ＝kx ＋b.将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入得：⎩⎨⎧b ＋13k ＝1100b ＋12k ＝1200，解得:⎩⎨⎧2400＝b 100-＝k ，∴y 与x 的函数关系式为:y ＝-100x ＋2400；（2）设线上和线下月利润总和为m 元，则m ＝400（x-2-10）＋y （x-10） ＝400x-4800＋（-100x ＋2400）（x-10）＝-100（x-19）2＋7300，∴当x 为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元. 6.解:（1）当0＜x ≤20时，设y ＝k 1x ＋b 1，由图象得:⎩⎨⎧=+=402080111b k b ，解得⎩⎨⎧=-=80211b k ，∴y ＝-2x ＋80（0＜x ≤20）； 当20＜x ≤30时，设y ＝k 2x ＋b 2，由图象得:⎩⎨⎧=+=+803040202222b k b k ，解得⎩⎨⎧-==40422b k ，∴y ＝4x-40（20＜x ≤30）. 综上，y ＝⎩⎨⎧）；30≤x ＜2040-4x （），20≤x ＜080＋2x （（（2）设当月该农产品的销售额为w 元，则w ＝yp ， 当0＜x ≤20时，w ＝（-2x ＋80）（52x ＋4）＝-54x 2＋24x ＋320＝-54（x-15）2＋500 ∵-54＜0，由二次函数的性质可知:∴当x ＝15时，w 最大＝500.当20＜x ≤30时，W ＝（4x-40）（-51x ＋12）＝-54x 2＋56x-480＝-54（x-35）2＋500，∵-54＜0，20＜x ≤30，由二次函数的性质可知:当x ＝30时，W 最大＝（30-35）2＋500＝480.∵500＞480， ∴当x ＝15时，w 取得最大值，该最大值为500.答:当月第15天，该产品的销售额最大，最大销售额是500元. 7.解:（1）h ＝20t-5t 2. ∵-5＜0，故h 有最大值，当t ＝）（5220-⨯＝2，此时h 的最大值为20，∴当t ＝2 s 时，最大高度是20 m ；（2）令h ≥15，则h ＝20t-5t 2≥15，解得:1≤t ≤3， ∴1≤t ≤3时，飞行高度不低于15 m.8.解:（1）依题意，抛物线y ＝ax 2＋x ＋c 经过点（1.5，3.3）和（4，3.05），∴⎩⎨⎧ 3.05＝c ＋4＋42×a 3.3＝c ＋1.5＋1.52×a ，解得⎩⎨⎧ 2.25＝c 0.2-＝a ，∴y ＝-0.2x 2＋x ＋2.25＝-0.2（x-2.5）2＋3.5.∴当球运行的水平距离为2.5 m 时，达到最大高度为3.5 m ； （2）∵x ＝0时，y ＝2.25，∴2.25-0.25-1.8＝0.2 m. 即球出手时，他跳离地面0.2 m.9.解:（1）由题意得:函数y ＝at 2＋5t ＋c 的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴⎩⎨⎧c ＋0.8×5＋0.82a ＝3.5c ＝0.5，解得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=211625c a ，∴抛物线的解析式为:y ＝-1625t2＋5t ＋21, 故答案为:-1625，21. （2）∵y ＝-1625t2＋5t ＋21，∴y ＝29)58(16252+--t . ∴当t ＝58时，y 最大＝4.5.∴当足球飞行的时间为58s 时，足球离地面最高，最大高度是4.5 m ；（3）把x ＝28代入x ＝10t 得t ＝2.8，∴当t ＝2.8时，y ＝-1625×2.82＋5×2.8＋21＝2.25＜2.44， ∴他能将球直接射入球门. 巩固训练 1.B 2.1503.解:（1）∵y 1＝-180x ＋2250，y 2＝-10x 2-100x ＋2000， ∴当x ＝0时，y 1＝2250，y 2＝2000，∴小丽出发时，小明离A 地的距离为2250-2000＝250（m ）， 故答案为:250；（2）设小丽出发第x min 时，两人相距s m ，则s ＝（-180x ＋2250）-（-10x 2-100x ＋2000）＝10x 2-80x ＋250＝10（x-4）2＋90， ∴当x ＝4时，s 取得最小值，此时s ＝90，答:小丽出发第4min 时，两人相距最近，最近距离是90m. 4.解:（1）设y 与销售单价x 之间的函数关系式为:y ＝kx ＋b ，将点（60，100），（70，80）代入一次函数表达式得:⎩⎨⎧+=+=b k b k 708060100，解得:⎩⎨⎧=-=2202b k ，故函数的表达式为:y ＝-2x ＋220；（2）设药店每天获得的利润为w 元，由题意得: W ＝（x-50）（-2x ＋220）＝2（x-80）2＋1800， ∵-2＜0，函数有最大值，∴当x ＝80时，w 有最大值，此时最大值是1800，故销售单价定为80元时，该药店每天获得的利润最大，最大利润1800元.。
【苏科版】2014届中考数学第一轮夯实基础《第7讲 一元二次方程及其应用》
直接 开平 方法 因式 分解 法
一元二次方程的四种解法
适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的 方程
基本思想
把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0
方法规律
常用的方法主要运用提公因式法、平方差 公式、完全平方公式型因式分解
第7讲┃ 考点聚焦
第7讲┃ 归类示例
[解析] (1)由题意可得出3月份的用电量超过了a度，而4 月份的用电量在a度以内，那么可根据3月份的用电情况来 求a的值．可根据：不超过a度的缴费额＋3月份超过a度部 分的缴费额＝总的电费；列出方程，进而可求出a的值．然 后可根据4月份的用电量大致判断出a的取值范围，由此可 判定解出的a的值是否符合题意．(2)由(1)得a的值，把45代 入即可．
(1)毛利润＝售出价－进货价(2)纯利润＝售出价 －进货价－其他费用(3)利润率＝利润÷进货价
第7讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一 一元二次方程的有关概念 命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念． 例1 已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0有一个根是－a(a≠0) ，则a－b的值为( A ) A．－1 B．0 C．1 D．2 [解析] 把x＝－a代入x2＋bx＋a＝0，得(－a)2＋b×(－a) ＋a＝0，∴a2－ab＋a＝0， 所以a－b＋1＝0，∴a－b＝－1，故选择A
第7讲┃ 归类示例
利用因式分解法解方程时，当等号两边有相 同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约 去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式 不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会 失一个根，出现漏根错误．所以应通过移项， 提取公因式的方法求解．
《二次函数的应用》课件1(13页)(苏科版九年级下)
提示:日利润=(销售价-成本)×销售量
（1）设此一次函数解析式为 y kx b 。
1分
15k b 25 则 20k b 20
解得：k=－1，b＝40。
5分
所以一次函数解析式为 y x 40 。
6分
（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为
w 元。则
某种粮大户去年种植优质水稻360亩,今年计划增
加承租X(100≤x≤150)亩.预计,原种植的360亩水
稻今年每亩可收益440元,新增地今年每亩的收益
为(440-2x)元,试问:该种粮大户今年要增加承租
多少亩水稻,才能使总收益最大?最大收益是多少?
试一试：
温馨提示：同桌交对， 互相帮助！
求二次函数y=-100x2+100x+200的最值？
生活化
?
议一议：
驶向胜利 的彼岸
求二次函数y=x(20-2x)的最值？
生活化
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙， 围成一个矩形的花圃，怎么样围法才 能使围成的花圃的面积最大？
附：如果花圃垂直于墙的一边长为xm， 花圃的面积为ym2，那么y=x(20-2x)
解决一个普通的二次函数的 最值问题与实际问题中的最值 问题最大的区别在哪里?
某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：
x(元) 15
20
30
…
y(件) 252010 Nhomakorabea…
若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函 数关系式；（6分） （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价 应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（6分）
苏教九年级数学上册《二次函数应用》课件
F
+
( 1m2+1-2)2 = 1m2+1
2
F
1
4
4
-6
-4
-2
O
∴d1=d2,猜想正确。
N2
C4
6
8
10
-4
-2
O
2
c是抛物线 y 点P到点F（0，2）的距离为d2。
1 4
x2
上1的任意一点，记点P到x轴的距离为d1，
（1）猜想d1与d2的大小关系，并证明； （2）若直线PF交抛物线于另一个点Q（异于点P），
（2）当y=0时，-1/12x2+x+2=0
即 x2-12x-24=0。再求出X的值。
解法2：（1）∵抛物线的顶点为（6，5）
∴可设抛物线的解析式为 y=a（x-6）2+5。
∵抛物线经过点A（0，2）
∴2=a（0-6） 2 +5
∴a=- 1/12
故抛物线的解析式为y=- 1/12（x-6）2+5
即 y=-1/12x2+x+2
某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售, 在对历年市场行情和生产情况进行了调查的基础上,对今 年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测,提 供了两个方面的信息,如图所示. 请你根据图象提供的信息解答: (1)在3月份出售这种蔬菜,每千克的收益是多少元?(收益= 售价-成本) (2)哪个月出售这种蔬菜,每千克的收益最大?说明理由.
例7：已知如图，P是抛物线 y 点P到点F（0，2）的距离为d2。
1 4
x2
1上的任意一点，记点P到x轴的距离为d1，
（1）猜想d1与d2的大小关系，并证明； （2）若直线PF交抛物线于另一个点Q（异于点P），
2014届苏科版中考数学复习方案14二次函数的讲义图象及其性质19页
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2， 0)，设所求二次函数为y＝a(x－x1)(x－x2)，将第三点(m，n) 的坐标(其中m、n为已知数)或其他已知条件代入，求出待定
系数a，最后将关系式化为一般形式
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第14课时┃归类探究
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第14课时┃归类探究
解 析 (1)根据配方法的步骤进行计算．
(2)由(1)得出抛物线的对称轴，顶点坐标列表，注意抛物线与x轴、 y轴的交点及顶点等特殊点的坐标，不要弄错．
(3)开口向上，在抛物线对称轴的左边，y随x的增大而减小．
(4)抛物线y＝x2－4x＋3与直线y＝2的交点的横坐标即为方程x2－ 4x＋3＝2的两根．
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c；
2．顶点式：y＝a(x－m)2＋n，其中(m，n)为顶点坐标；
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中(x1，0)，(x2，0)为 抛物线与x轴的交点．
一般已知三点坐标用一般式求关系式；已知顶点及另一个 点坐标用顶点式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另 一个点的坐标用交点式．
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归类探究
第14课时┃归类探究
解
设 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，把 A(－5，0)，B(1，
0)，P －2，92的坐标代入，得
a＋b＋c＝0， ∴25a－5b＋c＝0，
4a－2b＋c＝92，
a＝－12， 解得b＝－2，
c＝52，
∴ 所求抛物线的关系式为 y＝－12x2－2x＋52.
第14课时┃归类探究
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归类探究
第14课时┃归类探究
解 析 根据题目要求，本题可选用多种方法求关系式．
2014年中考备考一轮复习导学案第15章二次函数及其应用
第15课 二次函数及其应用【课标要求】1、理解二次函数的意义2、会用描点法画出二次函数的图像3、会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴4、通过对实际问题的分析确定二次函数表达式5、理解二次函数与一元二次方程的关系6、会根据抛物线y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图像来确定a 、b 、c 的符号【知识要点】1. 二次函数的解析式：（1）一般式： ；（2）顶点式： ；2. 顶点式的几种形式及关系：⑴ ， ⑵ ， ⑶ ，（4） .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质：0 图像开 口 值，是4.二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++，其抛物线关于直线x = 对称，顶点坐标为（ ， ）.⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ；⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ．第一课时【典型例题】【例1】.抛物线y ＝2x 2－4x ＋5的开口方向______，顶点坐标是__________，对称轴方程是直线x ＝___，当x ＝ 时，y 有最 值是 。
【例2】.二次函数 322++=x x y ，当x ＜－1时，y 随x 的增大而 。
【例3】抛物线y ＝x 2－4x ＋3与y 轴的交点坐标是 ，与x 轴的交点坐标是 。
当y=8时x 对应的值是 。
【例4】抛物线243y x x =-+向右平移2个单位所得抛物线的顶点坐标为（ ） A 、（4，-1） B 、（0，-3） C 、（-2，-3） D 、（-2，-1）【例5】已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则在“①a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ）A 、①②③④B 、④C 、①②③D 、①④ 【例6一条抛物线顶点是（1，2）且经过点（－2，－4），则它的函数解析式是 ；另一抛物线经过（0，1）、（1，0）和（2，4）三点，则它的函数解析式是 。
九年级数学二次函数的复习江苏科技版知识精讲
九年级数学二次函数的复习某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次函数的复习二. 教学目的：1. 理解二次函数的概念及性质，会画出二次函数的图象。
2. 会用待定系数法求二次函数的解析式，用配方法和公式法求抛物线的顶点坐标和对称轴。
3. 能利用二次函数关系式及有关性质解决比较复杂的问题。
三. 重点、难点：重点：理解二次函数的概念，能结合图像对实际问题中的函数关系进行分析。
难点：能用函数解决实际问题［课堂教学］ 一. 知识要点：知识点1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示.y b 2－4ac ＜0－4ac=0知识点2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的性质（一）a 的符号决定抛物线的开口方向、大小及最大值或最小值.a ＞0等价于开口向上等价于最小值（最低点的纵坐标） a ＜0等价于开口向下等价于最大值（最高点的纵坐标） a 越大，开口越小；a 越小，开口越大.（二）a ，b 决定抛物线的对称轴和顶点的位置.b ＝0等价于，对称轴是y 轴，顶点在y 轴上.a ，b 同号等价于对称轴在y 轴的左侧，顶点在第二或第三象限内. a ，b 异号等价于对称轴在y 轴的右侧，顶点在第一或第四象限内.（三）c 的符号决定抛物线与y 轴交点的位置.c ＝0，等价于抛物线过原点.c ＞0，等价于抛物线交y 轴的正半轴. c ＜0，等价于抛物线交y 轴的负半轴.（四）a ，b ，c 的符号决定抛物线与x 轴交点的位置.抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜x 2，△＞0.a ，b ，c 同号等价于A ，B 两点在x 轴的负半轴上.a ，c 同号且与b 异号等价于A ，B 两点在x 轴的正半轴. b ，c 同号且与a 异号等价于A ，B 两点在原点的两侧.（五）△＝b 2－4ac 的符号决定抛物线与x 轴交点个数.△＞0，等价于抛物线与x 轴有两个交点. △＝0，等价于抛物线与x 轴只有一个交点. △＜0，等价于抛物线与x 轴没有交点.（六）抛物线的特殊位置与系数的关系.顶点在x 轴上等价于△＝0. 顶点在y 轴上等价于b ＝0. 顶点在原点，等价于b ＝c ＝0. 抛物线经过原点，等价于c ＝0.知识点3：二次函数关系式的形式及对称轴、顶点坐标.（1）一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，且a ≠0），其对称轴为直线x ＝ab2-，顶点坐标为（ab2-，a b ac 442-）.（2）顶点式：y ＝a （x ＋h ）2＋k （a ，h ，k 是常数，且a ≠0），其对称轴为直线x ＝－h ，顶点坐标为（－h ，k ）.（3）交点式：y ＝a （x －x 1）（x －x 2），其中a ≠0，x 1，x 2是抛物线与x 轴两个交点的横坐标，即一元二次方程的两个根.知识点4：抛物线的平移规律.基本口诀：上加下减，左加右减，具体操作如下（其中m ＞0，n ＞0，a ≠0）：（1）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿y 轴向上平移m 个单位，得y ＝ax 2＋bx ＋c ＋m. （2）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿y 轴向下平移m 个单位，得y ＝ax 2＋bx ＋c －m. （3）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿x 轴向左平移n 个单位，得y ＝a （x ＋n ）2＋b （x ＋n ）＋c.（4）将抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 沿x 轴向右平移n 个单位，得y ＝a （x －n ）2＋b （x －n ）＋c.知识点5：二次函数最值的求法.（1）配方法：将解析式化为y ＝a （x －h ）2＋k 的形式，顶点坐标为（h ，k ），对称轴为x ＝h ，当a ＞0时，y 有最小值，即当x ＝h 时，y 最小值＝k;当a ＜0时，y 有最大值，即当x ＝h 时，y 最大值＝k. （2）公式法：直接利用顶点坐标公式.当a ＞0时，y 有最小值，即x ＝－b/2a 时，y 最小值＝4ac －b 2/4a 当a ＜0时，y 有最大值，即x ＝－b/2a 时，y 最大值＝4ac －b 2/4a（3）判别式法：结合抛物线的性质，利用根的判别式和不等式求最值.说明：二次函数实际问题求最值，一般是条件最值，应主动地求出自变量的取值X 围.知识点6：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系.（1）如图所示，当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，它与x 轴有两个交点（x 1，0），（x 2，0）. x ＝x 1，x ＝x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解。
中考数学 二次函数的应用复习教案1 苏科版
二次函数的应用
函数、数形结合、建
练一练
某工厂为了存放材料，需要围一个周长
=__________米，才能使存放场地的面积最大
的宽为
米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花
学以致用
1.(05年台州)如图，用长为18cm的篱笆(虚线部分)，两面靠墙围成矩形的苗圃。
(1)设矩形的一边为x(m)，面积为y(m2)，求y与x的函数关系，并写出x的取值范围；
例2.在Rt△AMN内部作一个矩形ABCD,矩形ABCD何时面积最大？为多少？
例 3.某建筑物的窗户如图所示它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长
的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到
练一练:窗的形状是矩形上面加一个半圆。
窗的周长等于6cm，要使窗能透过最多的光线，它的尺寸应该如何设计？
4.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角
要使水槽的横断面积最大，它的侧面应该是多长？
例5.在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，从点A出发，沿AB边向点B以
同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动。
如果P、Q两点在分别到达
8cm2
的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自
的最小值。
桥下水面宽度是4m,拱高是2m.当水面下降1m
1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
1
2.如图３，规格为60 cm×60 cm的正方形地砖在运输过程中受损，断去一角，量得。
为菱形，点
的面积为△
ABCD。
中考数学第一阶段复习考点过关练习：二次函数的实际应用
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学第一阶段复习考点过关练习：二次函数的实际应用考点1：应用二次函数解决抛物线型实际问题1.（2018年四川省巴中市）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．此抛物线的解析式是y=﹣x2+3.5B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）D．篮球出手时离地面的高度是2m2.（2018年江苏省连云港市）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m3.（2018年四川省绵阳市）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m．4.（2018年浙江省衢州市）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．5.（2018年山东省滨州市）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？考点2：应用二次函数解决利润最大问题6.（2018年广西贺州市）某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为元．7.（2018年河南省）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表：（注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出x的取值范围）及m的值；（2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是元，当销售单价x= 元时，日销售利润w最大，最大值是元；（3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？8.（2018年甘肃省兰州市（a卷））某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月（按30天计算），这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天（1≤x≤30且x为整数）的销售量为y件．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？9.（2018年湖北省天门、仙桃、潜江、江汉油田市）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？10.（2018年浙江省温州市）温州某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利15元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利120元，每增加1件，当天平均每件利润减少2元．设每天安排x人生产乙产品．（1）根据信息填表：产品种类每天工人数（人）每天产量（件）每件产品可获利润（元）甲15乙x x（2）若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多550元，求每件乙产品可获得的利润．（3）该企业在不增加工人的情况下，增加生产丙产品，要求每天甲、丙两种产品的产量相等．已知每人每天可生产1件丙（每人每天只能生产一件产品），丙产品每件可获利30元，求每天生产三种产品可获得的总利润W（元）的最大值及相应的x值．11.（2018年浙江省台州市）某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，井建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P 与t之间存在如图所示的函数关系，其图象是函数P=（0＜t≤8）的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）①求w关于t的函数解析式；②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．12.（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？13.（2018年四川省甘孜州）某商场将每件进价为80元的A商品按每件100元出售，一天可售出128件．经过市场调查，发现这种商品的销售单价每降低1元，其日销量可增加8件．设该商品每件降价x元，商场一天可通过A商品获利润y元．（1）求y与x之间的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）（2）A商品销售单价为多少时，该商场每天通过A商品所获的利润最大？14.（2018年四川省眉山市）传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：y=（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润=出厂价﹣成本）15.（2018年湖北省荆门市）随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）考点3：应用二次函数解决面积最大问题16.（2018年辽宁省沈阳市）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB= m时，矩形土地ABCD的面积最大．17.（2018年福建省（A卷））如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．18.（2018年湖北省荆州市）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD空地中，垂直于墙的边AB=xm，面积为ym2（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）若矩形空地的面积为160m2，求x的值；（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如下表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲乙丙单价（元/棵）14 16 28合理用地（m2/棵）0.4 1 0.419.（2018年内蒙古呼和浩特市）某市计划在十二年内通过公租房建设，解决低收入人群的住房问题．已知前7年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x年）的关系构成一次函数，（1≤x≤7且x为整数），且第一和第三年竣工投入使的公租房面积分别为和百万平方米；后5年每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x（第x年）的关系是y=﹣x+（7＜x≤12且x为整数）．（1）已知第6年竣工投入使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人均住房面积，最后一年要比第6年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？（2）受物价上涨等因素的影响，已知这12年中，每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同，且第一年，一年38元/m2，第二年，一年40元/m2，第三年，一年42元/m2，第四年，一年44元/m2……以此类推，分析说明每平方米的年租金和时间能否构成函数，如果能，直接写出函数解析式；（3）在（2）的条件下，假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金W关于时间x的函数解析式，并求出W的最大值（单位：亿元）．如果在W取得最大值的这一年，老张租用了58m2的房子，计算老张这一年应交付的租金．答案解析1.【考点】二次函数的应用【分析】A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；B、根据函数图象判断；C、根据函数图象判断；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，当x=﹣2，5时，即可求得结论．解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05=a×1.52+3.5，∴a=﹣，∴y=﹣x2+3.5．故本选项正确；B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误；C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，∴当x=﹣2.5时，h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．2.【考点】二次函数的应用【分析】分别求出t=9、13、24、10时h的值可判断A、B、C三个选项，将解析式配方成顶点式可判断D选项．解：A、当t=9时，h=136；当t=13时，h=144；所以点火后9s和点火后13s的升空高度不相同，此选项错误；B、当t=24时h=1≠0，所以点火后24s火箭离地面的高度为1m，此选项错误；C、当t=10时h=141m，此选项错误；D、由h=﹣t2+24t+1=﹣（t﹣12）2+145知火箭升空的最大高度为145m，此选项正确；故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．3.【考点】二次函数的应用【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2=﹣0.5x2+2，解得：x=±2，所以水面宽度增加到4米，比原先的宽度当然是增加了（4﹣4）米，故答案为：4﹣4．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．4.【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点（8，0），求出a值，此题得解；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x的值，由此即可得出结论；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，代入点（16，0）可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．解：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a（x﹣3）2+5（a≠0），将（8，0）代入y=a（x﹣3）2+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣，∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣（x﹣3）2+5（0＜x＜8）．（2）当y=1.8时，有﹣（x﹣3）2+5=1.8，解得：x1=﹣1，x2=7，∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时，y=﹣（x﹣3）2+5=．设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+bx+，∵该函数图象过点（16，0），∴0=﹣×162+16b+，解得：b=3，∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣x2+3x+=﹣（x﹣）2+．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当y=1.8时x的值；（3）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式．5.【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令y=15即可解答本题；（2）令y=0，代入题目中的函数解析式即可解答本题；（3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．解：（1）当y=15时，15=﹣5x2+20x，解得，x1=1，x2=3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；（2）当y=0时，0═﹣5x2+20x，解得，x3=0，x2=4，∵4﹣0=4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；（3）y=﹣5x2+20x=﹣5（x﹣2）2+20，∴当x=2时，y取得最大值，此时，y=20，答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6.【考点】二次函数的应用【分析】本题是营销问题，基本等量关系：利润=每件利润×销售量，每件利润=每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值．解：设利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案是：25．【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．7.【考点】二次函数的应用，一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y关于x的函数解析式；（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w的最大值；（3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本．解；（1）设y关于x的函数解析式为y=kx+b，，得，即y关于x的函数解析式是y=﹣5x+600，当x=115时，y=﹣5×115+600=25，即m的值是25；（2）设成本为a元/个，当x=85时，875=175×（85﹣a），得a=80，w=（﹣5x+600）（x﹣80）=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5（x﹣100）2+2000，∴当x=100时，w取得最大值，此时w=2000，故答案为：80，100，2000；（3）设科技创新后成本为b元，当x=90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和数形结合的思想解答．8.【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；（2）根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．解：（1）由题意可知y=2x+40；（2）根据题意可得：w=（145﹣x﹣80﹣5）（2x+40），=﹣2x2+80x+2400，=﹣2（x﹣20）2+3200，∵a=﹣2＜0，∴函数有最大值，∴当x=20时，w有最大值为3200元，∴第20天的利润最大，最大利润是3200元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．9.【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）显然，当0≤x≤50时，y2=70；当130≤x≤180时，y2=54；当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用：总利润=每千克利润×产量，根据x的取值范围列出有关x的二次函数，求得最值比较可得．解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b，∵经过点（0，168）与（180，60），∴，解得：，∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤180）；（2）由题意，可得当0≤x≤50时，y2=70；当130≤x≤180时，y2=54；当50＜x＜130时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n，∵直线y2=mx+n经过点（50，70）与（130，54），∴，解得，∴当50＜x＜130时，y2=﹣x+80．综上所述，生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2=；（3）设产量为xkg时，获得的利润为W元，①当0≤x≤50时，W=x（﹣x+168﹣70）=﹣（x﹣）2+，∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；②当50＜x＜130时，W=x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]=﹣（x﹣110）2+4840，∴当x=110时，W的值最大，最大值为4840；③当130≤x≤180时，W=x（﹣x+168﹣54）=﹣（x﹣95）2+5415，∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680．因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．10.【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用【分析】（1）根据题意列代数式即可；（2）根据（1）中数据表示每天生产甲乙产品获得利润根据题意构造方程即可；（3）根据每天甲、丙两种产品的产量相等得到m与x之间的关系式，用x表示总利润利用二次函数性质讨论最值．解：（1）由已知，每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有（65﹣x）人，共生产甲产品2（65﹣x）130﹣2x件．在乙每件120元获利的基础上，增加x人，利润减少2x元每件，则乙产品的每件利润为120﹣2（x﹣5）=130﹣2x．故答案为：65﹣x；130﹣2x；130﹣2x（2）由题意15×2（65﹣x）=x（130﹣2x）+550∴x2﹣80x+700=0解得x1=10，x2=70（不合题意，舍去）∴130﹣2x=110（元）答：每件乙产品可获得的利润是110元．（3）设生产甲产品m人W=x（130﹣2x）+15×2m+30（65﹣x﹣m）=﹣2（x﹣25）2+3200∵2m=65﹣x﹣m∴m=∵x、m都是非负数∴取x=26时，m=13，65﹣x﹣m=26即当x=26时，W最大值=3198答：安排26人生产乙产品时，可获得的最大利润为3198元．【点评】本题以盈利问题为背景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，解答时注意利用未知量表示相关未知量．11.【考点】二次函数的应用【分析】（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P=t+2；（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三种情况，根据月毛利润=月销量×每吨的毛利润可得函数解析式；②求出8＜t≤12和12＜t≤24时，月毛利润w在满足336≤w≤513条件下t的取值范围，再根据一次函数的性质可得P的最大值与最小值，二者综合可得答案．解：（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入，得：，解得：，∴P=t+2；（2）①当0＜t≤8时，w=（2t+8）×=240；当8＜t≤12时，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16；当12＜t≤24时，w=（﹣t+44）（t+2）=﹣t2+42t+88；②当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16=2（t+3）2﹣2，∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，当2（t+3）2﹣2=336时，解题t=10或t=﹣16（舍），当t=12时，w取得最大值，最大值为448，此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12，在t=12时取得最大值14；当12＜t≤24时，w=﹣t2+42t+88=﹣（t﹣21）2+529，当t=12时，w取得最小值448，由﹣（t﹣21）2+529=513得t=17或t=25，∴当12＜t≤17时，448＜w≤513，此时P=t+2的最小值为14，最大值为19；综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．【点评】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得336≤w≤513所对应的t的取值范围是解题的关键．12.【考点】二次函数的应用【分析】（1）找出当x=6时，y1、y2的值，二者做差即可得出结论；（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出y1、y2关于x的函数关系式，二者做差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）求出当x=4时，y1﹣y2的值，设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．解：（1）当x=6时，y1=3，y2=1，∵y1﹣y2=3﹣1=2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）设y1=mx+n，y2=a（x﹣6）2+1．将（3，5）、（6，3）代入y1=mx+n，，解得：，∴y1=﹣x+7；将（3，4）代入y2=a（x﹣6）2+1，4=a（3﹣6）2+1，解得：a=，∴y2=（x﹣6）2+1=x2﹣4x+13．∴y1﹣y2=﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣5）2+．∵﹣＜0，∴当x=5时，y1﹣y2取最大值，最大值为，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．（3）当t=4时，y1﹣y2=﹣x2+x﹣6=2．设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为（t+2）万千克，根据题意得：2t+（t+2）=22，解得：t=4，∴t+2=6．答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出当x=6时y1﹣y2的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．13.【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据题意可以得到y与x的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．解：（1）由题意得，商品每件降价x元时单价为（100﹣x）元，销售量为（128+8x）件，则y=（128+8x）（100﹣x﹣80）=﹣8x2+32x+2560，即y与x之间的函数解析式是y=﹣8x2+32x+2560；（2）∵y=﹣8x2+32x+2560=﹣8（x﹣2）2+2592，∴当x=2时，y取得最大值，此时y=2592，∴销售单价为：100﹣2=98（元），答：A商品销售单价为98元时，该商场每天通过A商品所获的利润最大．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答．14.【考点】二次函数的应用【分析】（1）把y=280代入y=20x+80，解方程即可求得；（2）根据图象求得成本p与x之间的关系，然后根据利润等于订购价减去成本价，然后整理即可得到W与x的关系式，再根据一次函数的增减性和二次函数的增减性解答；解：（1）设李明第x天生产的粽子数量为280只，由题意可知：20x+80=280，解得x=10．答：第10天生产的粽子数量为420只．（2）由图象得，当0≤x＜10时，p=2；当10≤x≤20时，设P=kx+b，把点（10，2），（20，3）代入得，，解得，∴p=0.1x+1，①0≤x≤6时，w=（4﹣2）×34x=68x，当x=6时，w最大=408（元）；②6＜x≤10时，w=（4﹣2）×（20x+80）=40x+160，∵x是整数，∴当x=10时，w最大=560（元）；③10＜x≤20时，w=（4﹣0.1x﹣1）×（20x+80）=﹣2x2+52x+240，∵a=﹣2＜0，∴当x=﹣=13时，w最大=578（元）；综上，当x=13时，w有最大值，最大值为578．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，主要是利用二次函数的增减性求最值问题，利用一次函数的增减性求最值，难点在于读懂题目信息，列出相关的函数关系式．15.【考点】二次函数的应用【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；（3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．解：（1）依题意得，解得：；（2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1，由图象得：，解得：。
第16课时 二次函数的实际应用 课件 2025年中考数学一轮总复习
上抛出一小球，小球的高度h（m）与
小球的运动时间t（s）之间的关系式是
h＝30t－5t2（0≤t≤6）.有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s；②小球运动中的高度可以是30m；③小球运动2s时的高度小于运动5 s时的
高度.
其中，正确结论的个数是（ C ）
（2）y＝－2x2－16x＋3（－1≤x≤2）.
[答案] 解：（2）y＝－2x2－16x＋3＝
－2（x＋4）2＋35.当－1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝－1时，y取最大值17；当x＝2时，y取最小值－37.
考点二 利用二次函数模型解决几何面
积问题
例2 （1）如图，在等腰直角三角形
ABC中，∠A＝90°，BC＝8，点D，
（2）若小球离地面的最大高度为20m，
求小球被发射时的速度；
解：（2）根据题意，得当t＝ 时，h＝20，∴－5× ＋v0× ＝20，∴v0＝20m/s（负值舍去）.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球
离地面的高度有两次与实验楼的高度相
同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已
知实验楼高15 m，请判断他的说法是否
4. （2024·河南）从地面竖直向上发射的
物体离地面的高度h（m）满足关系式h
＝－5t2＋v0t，其中t（s）是物体运动的
时间，v0（m/s）是物体被发射时的速
度.社团活动时，科学小组在实验楼前从
地面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后 s时离地面的
高度最大（用含v0的式子表示）；
∴FO＝40m或FO＝60m，∵FO＜OD，∴FO的长为40m.
1. 用长12m的铝合金条制成矩形窗框
2016江苏中考数学复习--第16课时二次函数的应用(word解析版)
第三章函数第16课时二次函数的应用江苏2013～2015中考真题精选命题点1 二次函数的实际应用（近3年39套卷，2015年考查2次，2014年考查7次，2013年考查4次）1.（2014淮安25题10分）用长为32 m的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x m，面积为y m2.（1）求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60 m2？（3）能否围成面积为70 m2的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由.2. （2014徐州26题8分）某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx-75,其图象如图所示.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？第2题图3.（2014常州25题7分）某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销量t（件）与每件的销售价x（元/件）如下表：假定试销中每天的销售量t（件）与销售价x（元/件）之间满足一次函数关系.（1）试求t与x之间的函数关系式；（2）在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，每件服装的销售定价为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大？每天的最大毛利润是多少？（注：每件服装销售的毛利润=每件服装的销售价-每件服装的进货价）4. （2014连云港25题10分）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上设定一个以大本营O为圆心，半径为4 km的圆形考察区域，线段P1P2是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿着与其垂直的方向朝考察区域平行移动.若经过n 年，冰川的边界线P=P2移动的距离为s(km)，并且s与n(n为正整数)的关系是s=320n2-950n+725.以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，其中P1、P2的坐标分别为(-4,9)、(-13，-3).（1）求线段P1P2所在直线对应的函数关系式;（2）求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.第4题图5. （2014泰州24题10分）某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为y A℃，y B℃，y A、y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b,y B=14(x-60)2+m(部分图象如图所示)，当x=40时，两组材料的温度相同.（1）分别求y A、y B关于x的函数关系式；（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？第5题图6. （2015扬州27题12分）科研所计划建一栋宿舍楼，因为科研所实验中会产生辐射，所以需要有两项配套工程：①在科研所到宿舍楼之间修一条笔直的道路；②对宿舍楼进行防辐射处理.已知防辐射费y万元与科研所到宿舍楼的距离x km之间的关系式为:y=b(0≤x≤9),当科研所到宿舍楼的距离为1 km时，防辐射费用为720 万元；当科研所到宿舍的距离为9 km或大于9 km时，辐射影响忽略不计，不进行防辐射处理.设每公里修路的费用为m 万元.配套工程费w＝防辐射费+修路费.（1）当科研所到宿舍楼的距离x=9 km时防辐射费y＝_______万元；a＝______,b=_____; （2）若每公里修路的费用为90万元，求当科研所到宿舍楼的距离为多少km时，配套工程费最少？（3）如果配套工程费不超过675万元，且科研所到宿舍楼的距离小于9 km，求每公里修路费用m万元的最大值.7. （2013镇江26题8分）“绿色出行，低碳健身”已成为广大市民的共识.某旅游景点新增了一个公共自行车停车场，6:00至18:00市民可在此借用自行车，也可将在各停车场借用的自行车还于此地.林华同学统计了周六该停车场各时段的借、还自行车数，以及停车场整点时刻的自行车总数（称为存量）情况，表格中x=1时的y值表示7:00时的存量，x=2时的y 值表示8:00时的存量，…，依此类推.他发现存量y（辆）与x（x为整数）满足如图所示的一个二次函数关系.根据所给图表信息，解决下列问题：（1）m=________，解释m的实际意义：________________；（2）求整点时刻的自行车存量y与x之间满足的二次函数关系式；（3）已知9:00～10:00这个时段的还车数比借车数的3倍少4，求此时段的借车数.第7题图命题点2 二次函数图象性质的综合应用（近3年39套卷，2015年考查3次，2014 年考查2次，2013年考查4次）1. （2015泰州22题10分）已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（-3，1），对称轴是经过（-1，0）且平行于y轴的直线.（1）求m、n的值；（2）如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA∶PB=1∶5，求一次函数的表达式.第1题图2. （2015宿迁26题10分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为2a,2b，点A、D、G在y轴上，坐标原点O为AD的中点.抛物线y=mx2过C、F 两点，连接FD并延长交抛物线于点M.（1）若a=1，求m和b的值；（2）求ba的值；（3）判断以FM为直径的圆与AB所在直线的位置关系，并说明理由.第2题图3. （2015无锡27题10分）一次函数y=34x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2-4ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C.(1)求点C的坐标；(2)设二次函数图象的顶点为D.①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式.第3题图命题点3 二次函数中的存在、探究型问题（见第二部分解答题重难点突破题型五）【答案】命题点1 二次函数的实际应用1. 解：（1）已知围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为（32÷2-x）米.依题意得y=x （32÷2-x）=-x2+16x.∴y关于x的函数关系式是y=-x2+16x；……………………………………………………（3分）（2）由（1）知，y=-x2+16x，当y=60时，-x2+16x=60，即（x-6）（x-10）=0，…………………………………………（4分）解得x1=6，x2=10，即当x是6米或10米时，围成的养鸡场面积为60平方米；…………………………（5分）（3）不能围成面积为70平方米的养鸡场.………………………………………………（6分）理由如下：由（1）知，y=-x2+16x，当y=70时，-x2+16x=70，即x2-16x+70=0,∵b2-4ac=（-16）2-4×1×70=-24＜0，……………………………………………………（8分）∴该方程无解，∴不能围成面积为70平方米的养鸡场.…………………………………………………（10分）2. 解：(1)y=ax2+bx-75的图象过点(5,0)、（7，16），∴2557504977516a ba b+-=+-=⎧⎨⎩，解得120ab=-=⎧⎨⎩,∴y=-x2+20x-75,∵y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,∴y=-x2+20x-75的顶点坐标是（10，25）,………………………………………………（3分）∴当x=10时，y最大=25，答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；……（4分）（2）∵函数y=-x2+20x-75图象的对称轴为直线x=10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y=-x2+20x-75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天销售利润不低于16元.…（8分）3. 解：（1）设t与x之间的函数关系式为：t=kx+b，因为函数的图象经过（38，4）和（36，8）两点，∴438836k bk b=+=+⎧⎨⎩，解得280kb=-=⎧⎨⎩，故t与x之间的函数关系式为t=-2x+80；…………………………………………………（3分）（2）设每天的毛利润为w元，每件服装销售的毛利润为（x-20）元，则每天售出（80-2x）件，则w=（x-20）（80-2x）=-2x2+120x-1600=-2（x-30）2+200，∵-2<0，∴当x=30时，获得的毛利润最大，最大毛利润为200元.（7分）4. （1）【思路分析】用待定系数法，设直线P1P2对应的函数关系式为：y=kx+b(k≠0)，把点P1,P2的坐标代入，列方程组即可求出k,b的值.解：设直线P1P2对应的函数关系式为：y=kx+b(k≠0)，已知点P1(-4,9)，P2（-13，-3）在直线P1P2上，得49133k bk b-+-+⎩-⎧⎨＝＝，解得43433kb⎧⎪⎪⎨=⎪⎪⎩＝,………………………………………………………（2分）∴直线P 1P 2对应的函数关系式为：y =43x +433.…………………………………………（3分） （2）【思路分析】当P 1P 2与⊙O 相切时，此时冰川移动的距离最短，过点O 作OH ⊥P 1P 2，垂足为H ，最短距离s =OH -4，所以，只要求出OH 的长即可；设线段P 1P 2交x 轴于点P 3，延长线段P 2P 1交y 轴于点P 4，通过解析式，求出点P 3，P 4的坐标，从而得到OP 3,OP 4的长，利用S △OP 3P 4=12·P 3P 4·OH =12·OP 3·OP 4，求出OH 的值. 解：设线段P 1P 2交x 轴于点P 3，延长线段P 2P 1交y 轴于点P 4，∵y =43x +433中，当x =0时，y =433,当y =0时，x =-434, ∴OP 3=434,OP 4=433.………………………………………………………………………（5分）在Rt △OP 3P 4中，P 3P 4＝（434）2+（434）2＝21512.………………（6分） 过点O 作OH ⊥P 1P 2，垂足为H ，如解图,∵S △OP 3P 4=12P 3 P 4·OH =12OP 3·OP 4， ∴OH =3434·OP OP P P ＝43434321512⨯＝435.…………………（7分）第4题解图 当P 1P 2与⊙O 相切时，此时冰川移动的距离最短，最短距离s =OH -4=235,…………（8分）即320n 2-950n +725=235, 化简得5n 2-6n -144=0，解得n =6或n =-4.8(舍去).……………………………………………………………………（9分） ∴冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为6年.…………………………………（10分） 5. 解：（1）由题意可得出：y B =14(x -60)2+m 经过（0，1000）， 则1000＝14(0-60)2+m ， 解得m ＝100，∴y B ＝14（x -60）2+100，…………………………………………………………………（2分） 当x =40时，y B ＝14×（40-60）2+100，解得y B ＝200，又∵y A=kx+b经过（0，1000），（40，200）两点，则100040200bk b=+=⎧⎨⎩，解得100020bk==-⎧⎨⎩，∴y A=-20x+1000；……………………………………………………………………………（4分）（2）当A组材料的温度降至120 ℃时，120＝-20x+1000，解得x＝44，当x=44，yB＝14（44-60）2+100=164(℃)，∴B组材料的温度是164 ℃；………………………………………………………………（6分）（3）当0<x<40时，y A-y B＝-20x+1000-14（x-60）2-100＝-14x2+10x＝-14（x-20）2+100,∴当x=20时，两组材料温差最大为100 ℃.……………………………………………（10分）6. 解：（1）y=0万元;a＝-360,b=1080;……………………………………………………（3分）【解法提示】将点(1,720),(9,0)代入y=b中得30720a ba b+=+=⎧⎨⎩，解得3601080 ab=-=⎧⎨⎩.（2）①当x≥9时，w=90x,∴w≥810，∴配套工程费最少为810万元.………………………………………………（5分）②当0≤x＜9时，∴w=90x2+720，∴当x＝2，即x=4时，配套工程费最少为720万元.……………………………………（7分）综上所述，当科学所到宿舍楼的距离为4 km时，配套工程费最少.（3）方法一：w=mx m(x-180m)2+1080-2180m,∵配套工程费不超过675万元，∴1080-2180m≤675，∴m≤80，当m＝801809804=,即x=8116＜9，符合要求.答：每公里的修路费用的最大值是80万元.……………………………………………（12分） 方法二：∵mx≤675， ∴mx ≤m ≤-4051x，t ， 则-4051x-405t 2+360t ＝-405（t -49）2+80, ∴当t =49时，有最大值为80. ∴每公里修路费用的最大值为80万元.…………………………………………………（12分） 7. 解：（1）m +45-5=100，解得m =60， 即6点之前的存量为60.m 表示该停车场当日6：00时的自行车数；………………………………………………（2分） （2）n =100+43-11=132，设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ，把（1，100），（2，132），（0，60）代入得,1004213260a b c a b c c ++=++=⎪=⎧⎪⎨⎩，,解得44460a b c ⎧=-==⎪⎨⎪⎩， ∴二次函数的解析式为y =-4x 2+44x +60（x 为1~12的整数）；……………………………（5分）（3）设9：00～10：00这个时段的借车数为p 辆，则还车数为（3p -4）辆， 把x =3代入y =-4x 2+44x +60得y =-4×32+44×3+60=156，把x =4代入y =-4x 2+44x +60得y =-4×42+44×4+60=172，即此时段的存量为172， 所以156-p +（3p -4）=172，解得p =10.答：此时段借出自行车10辆.………………………………………………………………（8分）命题点2 二次函数图象性质的综合应用1. 解：（1）∵对称轴是经过（-1，0）且平行于y 轴的直线，∴21m -⨯=-1，∴m =2，……………………………………………………………………（2分） ∵二次函数y =x 2+mx +n 的图象经过点P （-3，1），∴9-3m +n =1，得出n =3m -8,∴n =3m -8=-2；………………………………………………………………………………（4分）（2）分别过点P 、B 作PC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴于点C 、D .∵PC ∥BD ，∴PC BD =AP AB =16， ∵PC =1，∴BD =6，即点B 的纵坐标为6，……………………………（6分）将y =6代入y =x 2+mx +n ，解得x =2或x =-4(舍)，∴B (2，6).……………………………………………（7分）将点A ，B 的坐标代入一次函数解析式y =kx +b 中， 第1题解图得1362k b k b =-+=+⎧⎨⎩，解得14k b ==⎧⎨⎩ ∴一次函数的解析式是y =x ＋4.…………………………………………………………（10分）2. 解：（1）a =1，C 点的坐标为（2，1），把（2，1）代入二次函数的解析式， 得1=4m ，解得m =14， 由于四边形ABCD 和DEFG 都是正方形， 则F 点的坐标为：（2b ，2b +1），把（2b ，2b +1）代入y =14x 2,得2b +1=14×（2b ）2，解得b =1(负值舍去);……………………………………（3分）故m =14,b （2）由题意可知C 点的坐标为（2a ，a ），把它代入y =mx 2，得a =m ×4a 2，解得m =14a， ∴函数的解析式为y =14a x 2， 而点F 的坐标为（2b ，2b +a ），把它代入y =14a x 2， 得2b +a =14a×4b 2，整理，得b 2-2ab -a 2=0，解得b =a，取正值，∴b =a，即b a………………………………（6分） （3）以FM 为直径的圆与AB 所在直线相切，理由如下：设直线DF 的解析式为y =kx +m ，代入点D （0，a ），(2b ，2b +a ），得22m a bk m b a =+=+⎧⎨⎩，解得1m a k ==⎧⎨⎩， ∴DF 的解析式为y =x +a ， 解方程组214y x a y x a ⎧=+=⎪⎨⎪⎩，整理，得x 2-4ax -4a 2=0， 解得x 1a ，x 2a ，∴y 1=x 1+aa ，y 2a ，即M ［a ，a ］，F ［a ，a ］，MF 的中点P的坐标为：［(2(22a a -++, 第2题解图(3(32a a -++］， 即（2a ，3a ），由勾股定理得，MFa ， ∴PM =4a ，而点P 到直线AB 的距离为3a -(-a )=4a ，即以MF 为直径的圆与直线AB 相切.………（10分）3. 解：（1）y =ax 2-4ax ＋c =a (x -2)2-4a ＋c ，∴二次函数图象的对称轴为直线x =2，当x =2时，y =34×2=32, ∴C (2，32).……………………………………………………………………………… （3分） （2）①∵点D 与点C 关于x 轴对称，∴D (2，-32)， ∴CD =3，设A(m，34m)(m<2)，由S△ACD=3，得12×3×(2-m)=3，解得m=0，∴A(0，0)，由A(0，0)、D(2，-32)，得342ca c=-+=-⎧⎪⎨⎪⎩, 解得38ac⎧==⎪⎨⎪⎩，第3题解图∴y=38x2-32x.………………………………………………………………………………（5分）②如解图，设A(m，34m)(m<2)，过点A作AE⊥CD于点E，则AE=2-m，CE=32-34m，AC=54（2-m),∵CD=AC，∴CD=54(2-m)，由S△ACD=10得12×54(2-m)2=10，解得m=-2或m=6（舍去），∴m=-2，∴A(-2，-32)，CD=5，………………………………………………………………………（6分）若a＞0，则点D在点C下方，∴D(2，-72 )，由A(-2，-32)、D(2，-72)，得3122742a ca c+=--+⎧⎪=⎨-⎪⎪⎪⎩,解得183,ac⎧==-⎪⎨⎪⎩∴y=18x2-12x-3.………………………………………………………………………………（8分）若a＜0，则点D在点C上方，∴D(2，132)，由A(-2，-32)，D(2，132)，得31221342a ca c+=--+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得1292ac⎧⎪⎪⎨=-=⎪⎪⎩，∴y=-12x2+2x+92.…………………………………………………………………………（10分）。
2014届中考数学第一轮基础复习 第16讲 二次函数的应用课件
第16讲┃ 归类示例
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结 合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与 几何问题进行互相转化，充分运用三角函数解直角三 角形，相似、全等、圆等来解决问题，充分运用几何 知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何 知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题， 解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求 解．
第16讲┃ 回归教材
解：(1)y＝－30x＋960； (2)设每月的毛利润为w元．则 w＝(x－16)(－30x＋960) ＝－30x2＋1440x－960×16. 当x＝24时，w有最大值，w最大值＝1920元． 答：将售价定为24元时，每月的最大毛利润为1920元．
第16讲┃ 回归教材
中考变式
第16讲┃ 归类示例
解：(1)∵h＝2.6，球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出， ∴y＝a(x－6)2＋h 过点(0，2)， ∴2＝a(0－6)2＋2.6， 1 解得 a＝－ ， 60 1 2 故 y 与 x 的关系式为：y＝－ (x－6) ＋2.6. 60
第16讲┃ 归类示例
第16讲┃ 归类示例
第16讲┃ 归类示例
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒 的体积V； (2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)积S最大 ，试问x应取何值？
图16－3
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据已知得出这个正方体的底面边长a＝ 2x cm，EF＝ 2a＝ 2x(cm)，再利用AB＝24 cm，求出x进而可得出这个包装盒的体积V； (2)利用已知表示出包装盒的表面积，进而利用函数最值求出即可． 解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝ 2 x cm，EF＝ 2 a＝2x (cm)， ∴x＋2x＋x＝24 ，x＝6，a＝6 2 cm， V ＝a3＝(6 2)3＝432 2(cm3 )． (2)设包装盒的底面边长为y cm，高为h cm， 则y＝ 2x，h＝ 24－2x 2 ∴S＝4yh＋y2 ＝4 2x· 2(12－x)＋( 2x)2＝－6x2＋96x＝ －6(x－8)2＋ 384. ∵0<x<12，∴当x＝8时，S取得最大值384 cm2. ＝ 2(12－x)，
中考数学专题复习 二次函数的应用(含详细参考答案)
2014年中考数学专题复习第十五讲二次函数的应用【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二次函数y= ax2+bx+c的同象与x轴的交点的横坐标对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，它们都由根的判别式决定抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac>0＝＞一元二次方程有实数根抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac=0＝＞一元二次方程有实数根抛物线x轴有个交点＜＝b2-4ac<0＝＞一元二次方程有实数根【名师提醒：若抛物线与x轴有两交点为A（x1,0）B(x2,0)则抛物线对称轴式x= 两交点间距离AB 】二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设当知道抛物线的顶点坐标或对称轴方程与函数最值时，除代入这一点外，再知道一个点的坐标即可求函数解析式2、设一般式，即：设知道一般的三个点坐标或自变量与函数的三组对应数值可设为一般式，从而列三元一次方程组求的函数解析式【名师提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：步骤：1、分析数量关系建立模型2、设自变量建立函数关系3、确定自变量的取值范围4、根据顶点坐标公式或配法结合自变量的取值范围求出函数最值2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题一般步骤：1、求一些特殊点的坐标2、将点的坐标代入函数关系式求出函数的解析式3、结合图像根据自变量取值讨论点的存在性或图形的形状等问题【名师提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例1 已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线12yx=上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x（）A．有最大值，最大值为92-B．有最大值，最大值为92C．有最小值，最小值为92D．有最小值，最小值为92-1．已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．不能确定考点二：确定二次函数关系式例2 如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．对应训练2． 如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B ，且S △OAB =3，求点B 的坐标．考点三：二次函数与x 轴的交点问题例3 若关于x 的一元二次方程（x-2）（x-3）=m 有实数根x 1、x 2，且x 1≠x 2，有下列结论： ①x 1=2，x 2=3；②m ＞14；③二次函数y=（x-x 1）（x-x 2）+m 的图象与x 轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3对应训练3． 如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A （1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x 轴的另一交点坐标是（ ）A ．（-3，0）B ．（-2，0）C ．x=-3D ．x=-2考点四：二次函数的实际应用例4 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为y=-112（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m ． 例 5 企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x （1≤x≤6，且x 取整数）之间满足的函数关系月份x 1 2 3 4 5 6 输送的污水量y 1（吨） 12000 6000 4000 3000 2400 2000A B COxy7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=12x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=34x-112x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：231≈15.2，419≈20.5，809≈28.4）对应训练4．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行m才能停下来．5．已知：如图，抛物线y=a（x-1）2+c与x轴交于点A（30）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．（1）求原抛物线的解析式；（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比512（约等于0.618）．请你计算这个“W”5≈2.236，6≈2.449，结果可保留根号）考点五：二次函数综合性题目例6 如图，抛物线l交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将l．抛物线l沿y轴翻折得抛物线1l的解析式；（1）求1l的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说（2）在1出理由；l于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，（3）平行于x轴的一条直线交抛物线1求此圆的半径．6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的 ）．坐标为（3，3（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．【聚焦中考】1．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．-3 B．3 C．-6 D．92．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．4．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？5．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．6．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【备考真题过关】一、选择题1 如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．453C．3 D．4 ．2．已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞54如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是12或22．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④5如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．46 若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞17 二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．98．已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（）A．2B．3C．4D．5二、填空题1. 二次函数y=x2-2x+6的最小值是．2 若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为．三、解答题3．当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．4 二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．（1）求b、c的值；（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．5 （1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；x -1 0 1 2 3y 0 3 4 3 0②有序数对（-1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax2+bx+c；③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）．（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．6 若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=ba，x1•x2=ca．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB=|x 1-x 2|= 21212()4x x x x +-=24()b c a a --=22244b ac b ac a --=； 参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为直角三角形时，求b 2-4ac 的值；（2）当△ABC 为等边三角形时，求b 2-4ac 的值．7 如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h （单位：米）随时间t （单位：时）的变化满足函数关系h=1128-（t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？8 如图，在边长为24cm 的正方形纸片ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A 、B 、C 、D 四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E 、F 在AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x （cm ）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V ；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S 最大，试问x 应取何值？9 某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获得的利润为y 元，求y （元）与x （件）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变） 10 某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）20 30出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（24,24b b aca a--）11抛物线y=14x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=1009，求点M的坐标．12如图，一次函数y=-12x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．13已知抛物线y=14x2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（，），对称轴是；（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB 是等边三角形，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．。
2014年中考数学一轮复习讲义：二次函数的应用
2014年中考数学一轮复习讲义：二次函数的应用【考纲要求】1．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．2.建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键【命题趋势】二次函数应用是中考的重点内容，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查.【知识梳理】知识点一：利用二次函数解决实际问题：利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.题型分类、深度剖析：考点一：二次函数的应用：【例1】我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P＝－1100(x－60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)． (1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少； (3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？解：(1)当x ＝60时，P 最大且为41万元，故五年获利最大值是41×5＝205(万元)． (2)前两年：0≤x ≤50，此时因为P 随x 的增大而增大，所以x ＝50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2＝80(万元)．后三年：设每年获利为y 万元，当地投资额为x 万元，则外地投资额为(100－x )万元，所以y ＝P ＋Q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1100x －602＋41＋⎝⎛⎭⎪⎫－99100x 2＋2945x ＋160＝－x 2＋60x ＋165＝－(x －30)2＋1 065，表明x ＝30时，y 最大且为1 065，那么三年获利最大为1 065×3＝3 195(万元)，故五年获利最大值为80＋3 195－50×2＝3 175(万元)．(3)有极大的实施价值．方法总结 运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值． 触类旁通1 一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x 倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x 倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x 倍(本题中0＜x ≤11)．(1)用含x 的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y (元)与x 之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w 万元，求当x 为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？注：年销售利润＝(每件玩具的出厂价－每件玩具的成本)×年销售量． 考点二：二次函数综合题：【例2】（2013• 德州压轴题）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA=1，tan ∠BAO=3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 、B 、C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．BAO=，解得：﹣解得：﹣+2，．触类旁通2（2013泰安压轴题）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M 点的坐标．。
苏科版九年级数学下册5.5：二次函数的应用 课件 (共28张)
（1）当31≤x≤50时，求y与x的关系； （2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？ 最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W （元）随天数x（x为正整数）的增大而增大，则需 要在当天销售价格的基础上涨a元/kg，求a的最小整 数解．
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90º，AB ＝2，CD＝1，BC＝m，P为线段BC上的一动点， 且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所 在直线于E．设BP＝x，CE＝y． （1）求y与x的函数关系式； （2）若点P在线段BC上运动 时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．
∴对称轴
x
b 2a
160 2 (
5a 5)
35，
得a ≥ 3
2
故a的最小值为3．
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W（元）随x(x
为正整数)的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨
aW元/kg(，y 求aa的最18小) •整m数解．5 x 2 (160 5a)x 1850 50a 2
∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大
∴对称轴
x
b 2a
160 5a 2( 5)
34.5，得a>2.5
2
故a的最小值为3．
解后反思
本题是一道以商品销售利润为实际背景的二次函数应 用问题，非常生活化！对此，我们首先要认真审题，吃透 题意，确定变量，建立函数模型。在第（2）问中要注意分 类讨论，也就是所求最大利润应该在分段函数中进行。其 中特别要注意的是第（3）问求参数a的最小值要利用二次 函数图像的性质，即从增减性角度考虑，特别要注意的是 还要考虑自变量的取值范围，以及天数x为整数这个细节。
【中考复习】中考数学二次函数的应用复习教案2苏科版
二次函数的应用课题二次函数的应用复习(2）上课时间课时第课时教学目标知识与能力二次函数的有关知识在经济生活中的应用过程与方法使学生经历将实际问题数学化的过程．体验合作与交流的学习方法情感态度与价值观在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题教学重点在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值教学难点将实际问题数学化教学方法合作讨论法、自主练习法教具多媒体教学内容及教学过程一、创设情境走进生活1。
(连云港）丁丁推铅球的出手高度为 1，6m所示的直角坐标系中,铅球的运行路线近似为抛物线求k的值②求铅球的落点与丁丁的距离③一个1.5m的小朋友跑到离原点6米的地方（如图),他会受到伤害吗？2。
在某建筑物中从10m高的窗口用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线形状，以地面为x轴,墙面为y轴建立平面直角坐标系，如果水柱的最高处M离墙1m,离地面 3/4 m，则水流落地点B离墙多远？20.1() 2.5y x k=--+二、互动探究转化建模例1 某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售,增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。
经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
(1）若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时,商场平均每天盈利最多？一般步骤运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤：➢求出函数解析式和自变量的取值范围➢配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
➢检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内。
例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映:每涨价1元,每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？元先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y也随之变化,我们先来确定y与x的函数关系式。
中考数学考点16二次函数实际应用总复习(解析版)
二次函数实际应用【命题趋势】在中考中.二次函数的实际应用是中考必考考点.常以解答题形式考查.往往会结合方程（组）与一次函数考查。
【中考考查重点】一、二次函数的实际应用-运动类型二、二次函数的实际应用-经济类型三、二次函数的实际应用-面积类型四、二次函数的实际应用-拱桥类型考点一：运动类型考向1 落地模型1.（2021秋•松江区期末）一位运动员投掷铅球.如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+.那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．【答案】3【解答】解：由题意可得：y＝﹣＝﹣（x2﹣8x）+＝﹣（x﹣4）2+3.故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．考向2 最值模型2.（2021秋•信阳期中）烟花厂为建党成立100周年特别设计制作了一种新型礼炮.这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝﹣t2+8t．若这种礼炮在升空到最高点时引爆.则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】D【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆.∴t＝﹣＝﹣＝6.∴从点火升空到引爆需要的时间为6s.故选：D．3.（2021秋•越秀区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是s＝60t﹣1.5t2.则飞机停下前最后10秒滑行的距离是米．【答案】15【解答】解：∵s＝60t﹣1.5t2＝﹣（t﹣20）2+600.﹣＜0.抛物线开口向下.∴当t＝20时.s有最大值.此时s＝600.∴飞机从落地到停下来共需20秒.飞机前10秒滑行的距离为：s1＝60×10﹣1.5×102＝585（米）.∴飞机停下前最后10秒滑行的距离为：600﹣585＝15（米）.故答案为：15．考点二：经济类型4．（2021秋•克东县期末）某水果商场经销一种高档水果.原价每千克50元.连续两次降价后每千克32元.若每次下降的百分率相同．（1）求每次下降的百分率．（2）若每千克盈利10元.每天可售出500千克.经市场调查发现.在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施.若每千克涨价1元.日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元.且要尽快减少库存.那么每千克应涨价多少元？（3）若使商场每天的盈利达到最大值.则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？【答案】（1）20% （2）涨价5元（3）涨价7.5元.6125元【解答】解：（1）设每次下降的百分率为a.根据题意.得：50（1﹣a）2＝32.解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2.答：每次下降的百分率为20%；（2）设每千克应涨价x元.由题意.得：（10+x）（500﹣20x）＝6000.整理.得x2﹣15x+50＝0.解得：x1＝5.x2＝10.因为要尽快减少库存.所以x＝5符合题意．答：该商场要保证每天盈利6000元.那么每千克应涨价5元；（3）设商场每天的盈利为y元.由（2）可知：y＝（10+x）（500﹣20x）＝﹣20x2+300x+5000.∵﹣20＜0.∴当x＝﹣＝7.5时.y取最大值.∴当x＝7.5时.y最大值＝（10+7.5）×（500﹣20×7.5）＝6125（元）.答：应涨价7.5元.每天的盈利达到最大值.为6125元．5．（2021秋•郧西县期末）根据对某市相关的市场物价调研.预计进入夏季后的某一段时间.某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示.乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．（1）分别求出y1.y2与x之间的函数关系式；（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨.设乙种蔬菜的进货量为t吨．①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大.最大利润是多少元？②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元.则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？【答案】（1）y1＝0.6x .y2＝﹣0.2x2+2.2x（2）2≤t≤6【解答】解：（1）由题意得：5k＝3.解得k＝0.6.∴y1＝0.6x；由.解得：.∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；（2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2.当t＝4时.W有最大值9.2.答：甲种蔬菜进货量为6吨.乙种蔬菜进货量为4吨时.获得的销售利润之和最大.最大利润是9200元；②当W＝8.4＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2.∴t1＝2.t2＝6.∵a＝﹣2＜0.∴当2≤t≤6时.W≥8.4.答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元.则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适．考点三：面积类型6．（2021秋•西湖区校级期中）在校园嘉年华中.九年级同学将对一块长20m.宽10m的场地进行布置.设计方案如图所示．阴影区域为绿化区（四块全等的矩形）.空白区域为活动区.且4个出口宽度相同.其宽度不小于4m.不大于8m．设出口长均为x（m）.活动区面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式；（2）当x取多少时.活动区面积最大？最大面积是多少？（3）若活动区布置成本为10元/m2.绿化区布置成本为8元/m2.布置场地的预算不超过1850元.当x为整数时.请求出符合预算且使活动区面积最大的x值及此时的布置成本．【答案】（1）y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）（2）x取8m时.最大面积是176m2（3）x＝5时.活动区面积最大.此时的布置成本为1850元【解答】解：（1）根据题意得：y＝20×10﹣4××＝200﹣（20﹣x）（10﹣x）＝200﹣200+30x﹣x2＝﹣x2+30x.∴y与x的函数关系式为y＝﹣x2+30x（4≤x≤8）；（2）由（1）知：y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣15）2+225.∵﹣1＜0.∵当x＜15时.y随x的增大而增大.∵4≤x≤8.∴当x＝8时.y有最大值.最大值为176.∴当x取8m时.活动区面积最大.最大面积是176m2；（3）设布置场地所用费用为w元.则w＝10（﹣x2+30x）+8[200﹣（﹣x2+30x）]＝﹣10x2+300x+1600+8x2﹣240x＝﹣2x2+60x+1600.令w＝1850.﹣2x2+60x+1600＝1850.解得：x＝25或x＝5.∵4≤x≤8.∴4≤x≤5.∵活动区域面积为y＝﹣x2+30x.﹣1＜0.对称轴为直线x＝15.∴当x＝5时.活动区面积最大.此时的布置成本为1850元．考点三：拱桥类型7．（2021秋•建华区期末）如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥.水面在l时.拱顶（拱桥洞的最高点）离水面3米.水面宽4米．如果按图（2）建立平面直角坐标系.那么抛物线的解析式是．【答案】【解答】解：设出抛物线方程y＝ax2（a≠0）.由图象可知该图象经过（﹣2.﹣3）点.故﹣3＝4a.a＝﹣.故y＝﹣x2.故答案为．8．（2021秋•绿园区期末）一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形.建立如图所示的平面直角坐标系.其函数关系为.当水面的宽度AB为16米时.水面离桥拱顶的高度OC为m．【答案】4【解答】解：∵水面的宽度AB为16米∴B的横坐标为8.把x＝8代入y＝﹣x2.得y＝﹣4.∴B（8.﹣4）.∴OC＝4m．水面离桥拱顶的高度OC为4m．故答案为：4．9．（2021秋•营口期末）如图①.桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分.在某一时刻.桥拱内的水面宽OA＝8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系.求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来.当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时.桥下水位刚好在OA处.有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾.他的头顶是否会触碰到桥拱.请说明理由（假设船底与水面齐平）．【答案】（1）y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）（2）不会碰到头【解答】解：（1）如图②.由题意得：水面宽OA是8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m.结合函数图象可知.顶点B（4.4）.点O（0.0）.设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4.将点O（0.0）代入函数表达式.解得：a＝﹣.∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4.即y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（2）工人不会碰到头.理由如下：∵小船距O点0.4m.小船宽1.2m.工人直立在小船中间.由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1.∴将＝1代入y＝﹣x2+2x.解得：y＝＝1.75∵1.75m＞1.68m.∴此时工人不会碰到头．1．（2021秋•房山区期末）从地面竖直向上抛出一小球.小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t﹣5t2（0≤t≤6）．小球运动的时间是s时.小球最高；小球运动中的最大高度是m．【答案】3.45．【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45.∵﹣5＜0.0≤t≤6.∴当t＝3时.h有最大值.最大值为45．故答案为：3.45．2．（2021秋•龙凤区期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行的时间t（单位：s）的函数解析式是s＝20t﹣0.5t2.飞机着陆后滑行m才能停下来．【答案】200【解答】解：s＝20t﹣0.5t2＝﹣0.5（t﹣20）2+200当t＝20时.s有最大值为200．即飞机着陆后滑行200m才能停下来．故答案为200．3．（2021秋•黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（F AST）是目前世界上口径最大.精度最高的望远镜．根据有关资料显示.该望远镜的轴截面呈抛物线状.口径AB 为500米.最低点P到口径面AB的距离是100米.若按如图（2）所示建立平面直角坐标系.则抛物线的解析式是．【答案】y＝x2﹣100【解答】解：由题意可得：A（﹣250.0）.P（0.﹣100）.设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100.则0＝62500a﹣100.解得：a＝.故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．故答案为：y＝x2﹣100．4．（2021秋•和平区期末）如图.小明父亲想用长为100m的栅栏.再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈ABCD．已知房屋外墙长40m.设矩形ABCD的边AB＝xm.面积为Sm2．（1）请直接写出S与x之间的函数表达式为.并直接写出x的取值范围是；（2）求当x为多少m时.面积S为1050m2；（3）当AB.BC分别为多少米时.羊圈的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）S＝﹣2x2+100x.30≤x＜50 （2）x为35m时.面积S为1050m2（3）AB＝30m.BC＝40m时.面积S有最大值为1200m2【解答】解：（1）∵AB＝CD＝xm.则BC＝（100﹣2x）m.∴S＝x（100﹣2x）＝﹣2x2+100x.∵0＜100﹣2x≤40.∴30≤x＜50.∴S与x之间的函数表达式为S＝﹣2x2+100x.自变量x的取值范围是30≤x＜50.故答案安为：S＝﹣2x2+100x.30≤x＜50；（2）令S＝1050.则﹣2x2+100x＝1050.解得：x1＝15.x2＝35.∵30≤x＜50.∴x＝35.∴当x为35m时.面积S为1050m2；（3）∵S＝﹣2（x2﹣50x+625﹣625）＝﹣2（x﹣25）2+1250.∵﹣2＜0.∴当x＞25时.S随着x的增大而减小.∵30≤x＜50.∴当x＝30时.S有最大值为1200.∴当AB＝30m.BC＝40m时.面积S有最大值为1200m2．5．（2021秋•龙江县校级期末）某超市销售一种商品.每件成本为50元.销售人员经调查发现.销售单价为100元时.每月的销售量为50件.而销售单价每降低2元.则每月可多售出10件.且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元.并使顾客获得更多的实惠.销售单价应定为多少元？（3）为了每月所获利润最大.该商品销售单价应定为多少元？【答案】(1) y＝﹣5x+550 （2）70元（3）80元【解答】解：（1）依题意得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550.∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）依题意得：y（x﹣50）＝4000.即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000.解得：x1＝70.x2＝90.∵70＜90.∴当该商品每月销售利润为4000.为使顾客获得更多实惠.销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w元.依题意得w＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500.∵﹣5＜0.此图象开口向下.∴当x＝80时.w有最大值为4500元.∴为了每月所获利润最大.该商品销售单价应定为80元．6．（2021秋•宽城区期末）某商场以每件20元的价格购进一种商品.经市场调查发现：该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系.其图象如图所示．设该商场销售这种商品每天获利w（元）．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）求w与x之间的函数关系式．（3）该商场规定这种商品每件售价不低于进价.又不高于36元.当每件商品的售价定为多少元时.每天销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y＝﹣2x+120 （2）w＝﹣2x2+160x﹣2400（3）售价定为36元时.每天销售利润最大.最大利润是768元．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）.由所给函数图象可知：.解得.故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+120；（2）∵y＝﹣2x+120.∴w＝（x﹣20）y＝（x﹣20）（﹣2x+120）＝﹣2x2+160x﹣2400.即w与x之间的函数关系式为w＝﹣2x2+160x﹣2400；（3）w＝﹣2x2+160x﹣2400＝﹣2（x﹣40）2+800.∵﹣2＜0.20≤x≤36＜40.∴当x＝36时.w取得最大值.w最大＝﹣2×（36﹣40）2+800＝768．答：当每件商品的售价定为36元时.每天销售利润最大.最大利润是768元．1．（2020•长沙）“闻起来臭.吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃.臭豆腐虽小.但制作流程却比较复杂.其中在进行加工煎炸臭豆腐时.我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下.“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0.a.b.c是常数）.如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据.可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟【答案】C【解答】解：将图象中的三个点（3.0.8）、（4.0.9）、（5.0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c 中..解得.所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9.由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t＝﹣＝﹣＝3.75.则当t＝3.75分钟时.可以得到最佳时间．故选：C．2．（2021•黔西南州）小华酷爱足球运动．一次训练时.他将足球从地面向上踢出.足球距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间的关系为h＝﹣5t2+12t.则足球距地面的最大高度是m．【答案】7.2【解答】解：∵h＝﹣5t2+12t.a＝﹣5.b＝12.c＝0.∴足球距地面的最大高度是：＝7.2m.故答案为：7.2．3．（2020•日照）如图.某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD.为美化环境.用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆.篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等.求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下.设BC的长度为xm.矩形区域ABCD的面积为ym2.求y与x之间的函数关系式.并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）AE＝3BE（2）（0＜x＜）【解答】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等.∴ME＝BE.AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等.即S矩形AMND＝2S矩形MEFN.∴AM＝2ME.∴AE＝3BE；（2）∵篱笆总长为100m.∴2AB+GH+3BC＝100.即.∴．设BC的长度为xm.矩形区域ABCD的面积为ym2.则.∵.∴BE＝10﹣x＞0.解得x＜.∴（0＜x＜）．4．（2020•呼伦贝尔）某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具.若按每件50元销售.一个月可售出500件.销售价每涨1元.月销量就减少10件．设销售价为每件x元（x ≥50）.月销量为y件.月销售利润为w元．（1）写出y与x的函数解析式和w与x的函数解析式；（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下.使月销售利润达到8000元.销售价应定为每件多少元？（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【答案】（1）y= ﹣10x2+1400x﹣40000 （2）8元（3）70元时会获得最大利润9000【解答】解：（1）由题意得：y＝500﹣10（x﹣50）＝1000﹣10x.w＝（x﹣40）（1000﹣10x）＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）由题意得：﹣10x2+1400x﹣40000＝8000.解得：x1＝60.x2＝80.当x＝60时.成本＝40×[500﹣10（60﹣50）]＝16000＞10000不符合要求.舍去.当x＝80时.成本＝40×[500﹣10（80﹣50）]＝8000＜10000符合要求.∴销售价应定为每件80元；（3）∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000.又∵﹣10＜0．当x＝70时.w取最大值9000.故销售价定为每件70元时会获得最大利润9000元．5．（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①.甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分.在某一时刻.桥拱内的水面宽OA＝8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系.求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来.当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时.桥下水位刚好在OA处.有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾.他的头顶是否会触碰到桥拱.请说明理由（假设船底与水面齐平）．（3）如图③.桥拱所在的函数图象是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）.该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m＞0）个单位长度.平移后的函数图象在8≤x≤9时.y的值随x值的增大而减小.结合函数图象.求m的取值范围．【答案】（1）y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）（2）工人不会碰到头（3）5≤m≤8【解答】解：（1）如图②.由题意得：水面宽OA是8m.桥拱顶点B到水面的距离是4m.结合函数图象可知.顶点B（4.4）.点O（0.0）.设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4.将点O（0.0）代入函数表达式.解得：a＝﹣.∴二次函数的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4.即y＝﹣x2+2x（0≤x≤8）；（2）工人不会碰到头.理由如下：∵打捞船距O点0.4m.打捞船宽1.2m.工人直立在打捞船中间.由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1.∴将x＝1代入y＝﹣x2+2x.解得：y＝＝1.75.∵1.75m＞1.68m.∴此时工人不会碰到头；（3）抛物线y＝﹣x2+2x在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称．如图所示.新函数图象的对称轴也是直线x＝4.此时.当0≤x≤4或x≥8时.y的值随x值的增大而减小.将新函数图象向右平移m个单位长度.可得平移后的函数图象.如图所示.∵平移不改变图形形状和大小.∴平移后函数图象的对称轴是直线x＝4+m.∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时.y的值随x值的增大而减小.∴当8≤x≤9时.y的值随x值的增大而减小.结合函数图象.得m的取值范围是：①m≤8且4+m≥9.得5≤m≤8.②8+m≤8.得m≤0.由题意知m＞0.∴m≤0不符合题意.舍去.综上所述.m的取值范围是5≤m≤8．1．（2021•晋中模拟）在中考体育训练期间.小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析.发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y＝﹣x2+x+.由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（）A．米B．8米C．10米D．2米【答案】B【解答】解：当y＝0时.即y＝﹣x2+x+＝0.解得：x1＝﹣2（舍去）.x2＝8.所以小宇此次实心球训练的成绩为8米.故选：B．2．（2021•温州模拟）烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮.这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆.则从点火升空到引爆需要的时间为（）A．3s B．4s C．5s D．6s【答案】D【解答】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆.∴t＝﹣＝＝6（s）.故选：D．3．（2021秋•岳池县期末）赵州桥的桥拱横截面是近似的抛物线形.其示意图如图所示.其解析式为y＝﹣x2．当水面离桥拱顶的高度DO为4m时.水面宽度AB为m．【答案】20【解答】解：由题意得.﹣4＝﹣x2.解得x＝±10.即点A的坐标为（﹣10.﹣4）.点B的坐标为（10.﹣4）.这时水面宽度AB为20m.故答案为：20．4．（2021秋•朝阳区期末）一名运动员在平地上推铅球.铅球出手时离地面的高度为米.出手后铅球离地面的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为.当铅球离地面的高度最大时.与出手点水平距离为5米.则该运动员推铅球的成绩为米．【答案】12【解答】解：设铅球出手点为点A.根据题意建立平面直角坐标系.如图：∵当铅球离地面的高度最大时.与出手点水平距离为5米.∴抛物线的对称轴为直线x＝5.∴﹣＝﹣＝＝5.则b＝.又∵抛物线经过（0.）.∴c＝.∴y＝﹣x2+x+.当y＝0时.﹣x2+x+＝0.整理得：x2﹣10x﹣24＝0.解得：x1＝﹣2（舍去）.x2＝12.故答案安为：12．5．（2021•连云港模拟）汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t.汽车从刹车到停下来所用时间是秒．【答案】【解答】解：∵s＝﹣3t2+8t.＝﹣3（t﹣）2+.∴当t＝秒时.s取得最大值.即汽车停下来．故答案为：．6．（2021•金堂县模拟）如图.有长为24m的篱笆.一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃.并且预留两个各1m的门.设花圃的宽AB为xm.面积为Sm2．（1）请用含x的代数式表示BC并求S与x的函数关系式；（2）若4＜x＜7.则S的最大值是多少？请说明理由．【答案】（1）S＝﹣3x2+26x（5≤x＜）（2）55m2【解答】解：（1）由题可知.花圃的宽AB为x米.则BC为（24﹣3x+2）米＝（26﹣3x）米.则S＝x（26﹣3x）＝﹣3x2+26x.∵BC＝26﹣3x≤11.3x＜24+2.∴5≤x.∴S＝﹣3x2+26x（5≤x＜）；（2））解不等式组.解得：5≤x＜7.∵S＝﹣3x2+26x＝﹣3（x﹣）2+.∵﹣3＜0.∴x＞时.S随x的增大而减小.∴x＝5时.S的最大值＝﹣3×52+26×5＝55m2．7．（2021•盐城二模）疫情期间.某销售商在网上销售A、B两种型号的电脑“手写板”.其进价、售价和每日销量如表所示：进价（元/个）售价（元/个）销量（个/日）A型400600200B型8001200400根据市场行情.该销售商对A型手写板降价销售.同时对B型手写板提高售价.此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个.B型手写板每提高5元就少卖1个．销售时保持每天销售总量不变.设其中A型手写板每天多销售x个.每天获得的总利润为y元．（1）求y与x之间的函数关系式.并直接写出x的取值范围；（2）要使每天的利润不低于212000元.求出x的取值范围；（3）该销售商决定每销售一个B型手写板.就捐助a元（0＜a≤100）给受“新冠疫情”影响的困难学生.若当30≤x≤40时.每天的最大利润为203400元.求a的值．【答案】（1）y＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）（2）20≤x≤40 （3）a＝35【解答】解：（1）由题意得.y＝（600﹣400﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）.即y与x之间的函数关系式是y＝﹣10x2+800x+200000.（0≤x≤40且x为整数）；（2）∵y＝﹣10x2+800x+200000＝﹣10（x﹣40）2+216000.∴当y＝212000时.﹣10（x﹣40）2+216000＝212000.解得：x1＝20.x2＝60.要使y≥212000.则20≤x≤60.∵0≤x≤40.∴20≤x≤40.即x的取值范围是：20≤x≤40；（3）设捐款后每天的利润为w元.则w＝﹣10x2+800x+200000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（800+a）x+200000﹣400a.对称轴为.∵0＜a≤100.∴.∵抛物线开口向下.当30≤x≤40时.w随x的增大而增大.∴当x＝40时.w最大.∴﹣10×402+40（800+a）+200000﹣400a＝203400.解得.a＝35．8．（2021•即墨区一模）即墨古城某城门横断面分为两部分.上半部分为抛物线形状.下半部分为正方形（OMNE为正方形）.已知城门宽度为4米.最高处离地面6米.如图1所示.现以O点为原点.OM所在的直线为x轴.OE所在的直线为y轴建立直角坐标系．（1）求出上半部分抛物线的函数表达式.并写出其自变量的取值范围；（2）有一辆宽3米.高4.5米的消防车需要通过该城门进入古城.请问该消防车能否正常进入？（3）为营造节日气氛.需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD.该“装饰门”关于抛物线对称轴对称.如图2所示.其中AB.AD.CD为三根承重钢支架.A、D在抛物线上.B.C 在地面上.已知钢支架每米50元.问搭建这样一个矩形“装饰门”.仅钢支架一项.最多需要花费多少元？【答案】（1）（0≤x≤4）（2）消防车能正常进入（3）650元【解答】解：（1）由题意知.抛物线的顶点为（2.6）.∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+6.又∵抛物线经过点E（0.4）.∴4＝4a+6.∴a＝.∴抛物线的表达式为.即（0≤x≤4）；（2）由题意知.当消防车走最中间时.进入的可能性最大.即当x＝时.＝4.875＞4.5.∴消防车能正常进入；（3）设B点的横坐标为m.AB+AD+CD的长度为L.由题意知BC＝4﹣2m.即AD＝4﹣2m.CD＝AB＝.∴L＝2×（）+（4﹣2m）＝﹣m2+2m+12.∵0≤x≤4.当m＝＝1时.L最大.L最大＝﹣12+2×1+12＝13.∴费用为13×50＝650（元）.答：仅钢支架一项.最多需要花费650元．9．（2021•路南区一模）某园林专业户计划投资种植树木及花卉.根据市场调查与预测.图1是种植树木的利润y与投资量x成正比例关系.图2是种植花卉的利润y与投资量x成二次函数关系．（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别根据投资种植树木及花卉的图象l1、l2.求利润y关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户共投入10万元资金种树木和花卉.其中投入x（x＞0）万元种植花卉.那么他至少获得多少利润？（3）在（2）的基础上要保证获利在20万元以上.该园林专业户应怎样投资？【答案】（1）y＝x2（x≥0）（2）18万元（3）该园林专业户应投资花卉种植超过4万元【解答】解：（1）设l1：y＝kx.∵函数y＝kx的图象过（1.2）.∴2＝k⋅1.k＝2.故l1中y与x的函数关系式是y＝2x（x≥0）.∵该抛物线的顶点是原点.∴设l2：y＝ax2.由图2.函数y＝ax2的图象过（2.2）.∴2＝a⋅22.解得：a＝.故l2中y与x的函数关系式是：y＝x2（x≥0）；（2）因为投入x万元（0＜x≤10）种植花卉.则投入（10﹣x）万元种植树木..∵a＝＞0.0＜x≤10.∴当x＝2时.w的最小值是18.他至少获得18万元的利润．（3）根据题意.当w＝20时..解得：x＝0（不合题意舍）.x＝4.∴至少获得20万元利润.则x＝4.∵在2≤x≤10的范图内w随x的增大而增大.∴w＞20.只需要x＞4.所以保证获利在20万元以上.该园林专业户应投资花卉种植超过4万元．。
【试题研究】江苏中考数学复习课件：第16课时 二次函数的应用
求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元，为按
时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第x天生
产的粽子数量为y只，y与x满足下列关系式：
y= 54x
(0≤x≤5) .
30x+120 (5＜x≤15)
（1）李明第几天生产的粽子数
量为420只？
例1题图
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综上，当x=12时，w有最大值，最大值为768；
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考点特训营—考点精讲
（3）【思路分析】根据（2）得出m+1=13，根据利 润等于订购价减去成本得出提价a与利润w的关系式，再 根据题意列出不等式求解即可.
解：由（2）可知m=12，m+1=13， 设第13天提价a元， 由题意得，w13=（6+a-p）（30x+120）=510（a+1.5）， ∴510（a+1.5）-768≥48，解得a≥0.1. 答：第13天每只粽子至少应提价0.1元.
作PD⊥x轴于点D，对称轴l与x轴
交于点Q,连接AC、OP，如解图，
∵点P在y=-x2-2x+3上， ∴设点P（x,-x2-2x+3）,
例2题解图
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考点特训营—考点精讲
①∵PA⊥NA，
且PA=NA,∠PAD+∠APD=∠PAD+∠NAQ＝90°，
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考点特训营—考点精讲第一部分 考点研究第三 Nhomakorabea 函 数
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第16讲┃ 归类示例
二次函数在几何图形中的应用，实际上是数形结 合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与 几何问题进行互相转化，充分运用三角函数解直角三 角形，相似、全等、圆等来解决问题，充分运用几何 知识求解析式是关键．二次函数与三角形、圆等几何 知识结合时，往往涉及最大面积，最小距离等问题， 解决的过程中需要建立函数关系，运用函数的性质求 解．
例1
习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点， 其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝ a(x－6)2＋h.已知球网与O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.
第16讲┃ 归类示例 (1)当h＝2.6时，求y与x的关系式(不要求写出自 变量x的取值范围)；
第16讲┃ 归类示例
解：(1)∵h＝2.6，球从 O 点正上方 2 m 的 A 处发出， ∴y＝a(x－6)2＋h 过点(0，2)， ∴2＝a(0－6)2＋2.6， 1 解得 a＝－ ， 60 1 2 故 y 与 x 的关系式为：y＝－ (x－6) ＋2.6. 60
第16讲┃ 归类示例
第16讲┃ 归类示例
第16讲┃ 回归教材
回归教材
如何定价利润最大 教材母题 江苏科技版九下P34T10 某商场购进一批单价为16元的日用品．若按每件20元的价 格销售，每月能卖出360件；若按每件25元的价格销售． 每月能卖出210件．假定每月销售件数y(件)与价格x(元/件) 之间满足一次函数． (1)试求y与x之间的函数关系式； (2)在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定 为多少时，才能使每月的毛利润w最大？每月的最大毛利 润是多少？
第16讲┃ 归类示例
图16－2
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1) 用每亩地每年发放种粮补贴金额乘以今 年种粮面积即可求出今年老王种粮可获得的补贴；(2) 设出一次函数关系式，结合图象中给出的两点坐标， 用待定系数法求出一次函数关系式；(3)根据每亩的售 粮收入加每亩地的种粮补贴减去每亩种粮成本，再乘 以种粮面积x亩，可得关于x的二次函数关系式，然后 利用二次函数的性质，即可求出当种粮面积为多少亩 时总利润最高及最高总利润．
第16讲┃ 回归教材
解：(1)y＝－30x＋960； (2)设每月的毛利润为w元．则 w＝(x－16)(－30x＋960) ＝－30x2＋1440x－960×16. 当x＝24时，w有最大值，w最大值＝1920元． 答：将售价定为24元时，每月的最大毛利润为1920元．
第16讲┃ 回归教材
中考变式
例2 [2013· 淮安]国家和地方政府为了提高农民种粮的 积极性，每亩地每年发放种粮补贴120元．种粮大户老王今 年种了150亩地，计划明年再承租50～150亩土地种粮以增 加收入．考虑各种因素，预计明年每亩种粮成本y(元)与种 粮面积x(亩)之间的函数关系如图16－2所示： (1)今年老王种粮可获得补贴多少元？ (2)根据图象，求y与x之间的函数关系式； (3)若明年每亩的售粮收入能达到2140元，求老王明年种 粮总利润W(元)与种粮面积x(亩)之间的函数关系式．当种粮 面积为多少亩时，总利润最高？并求出最高总利润．
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？ 请说明理由；
(3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值 范围．
图16－1
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据h＝2.6和函数图象经过点(0，2)，可用待定 系数法确定二次函数的关系式；(2)要判断球是否过球网， 就是求x＝9时对应的函数值，若函数值大于或等于网高2.43 ，则球能过网，反之则不能；要判断球是否出界，就是求抛 物线与x轴的交点坐标，若该交点坐标小于或等于18，则球 不出界，反之就会出界；要判断球是否出界，也可以求出x ＝18时对应的函数值，并与0相比较．(3)先根据函数图象过 点(0，2)，建立h与a之间的关系，从而把二次函数化为只含 有字母系数h的形式，要求球一定能越过球网，又不出边界 时h的取值范围，结合函数的图象，就是要同时考虑当x＝9 时对应的函数y的值大于2.43，且当x＝18时对应的函数y的 值小于或等于0，进而确定h的取值范围．
第16讲┃ 回归教材
[解析] (1)上涨到x元后，所销售的件数是 [300－10(x－80)]；每件的销售利润为(x－60) ，所以y＝(x－60)·[300－10(x－80)]，整理得 y＝－10x2＋1700x－66000；(2)根据二次函数的 配方法可以求得最大利润．
第16讲┃ 回归教材
解：(1)设上涨后，每件单价为x元，则 y＝(x－60)[300－10(x－80)] ＝(x－60)(300－10x＋800) ＝(x－60)(1100－10x) ＝－10x2＋1700x－66000， 即y＝－10x2＋1700x－66000. (2)y＝－10x2＋1700x－66000 ＝－10(x－85)2＋6250. 因为－10＜0，所以当x＝85时，y有最大值，y最 大值＝6250. 即单价定为85元时，每月销售商品的利润最大， 最大利润为6250元．
2 2
第16讲┃ 归类示例
二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇 到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二 次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变 量在实际问题中的取值解决利润最大问题．
第16讲┃ 归类示例 ► 类型之三 二次函数在几何图形中的应用
命题角度： 1. 二次函数与三角形、圆等几何知识结合往往是涉及 最大面积，最小距离等； 2. 在写函数解析式时，要注意自变量的取值范围． 例3 [2013· 无锡] 如图16－3，在边长为24 cm的正方形纸 片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三 角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装 盒(A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点)．已 知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边 的两个端点，设AE＝BF＝x cm.
第16讲┃ 归类示例
利用二次函数解决抛物线形问题，一般是先根 据实际问题的特点建立直角坐标系，设出合适的二 次函数的解析式，把实际问题中已知条件转化为点 的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转 化为实际问题的答案．
第16讲┃ 归类示例 ► 类型之二 二次函数在营销问题方面的应用
命题角度： 二次函数在销售问题方面的应用．
第16讲┃ 归类示例
解：(1)120×150＝18000(元)． 答：今年老王种粮可获得补贴18000元． (2)由图象知，y与x之间的函数是一次函数．设所求关系式 为：y＝kx＋b(k≠0)．将(205，1000)，(275，1280)两点坐标 代入，这样所求的y与x之间的函数关系式为y＝4x＋180. (3)W＝(2140＋120－y)x＝(2140＋120－4x－180)x＝－4x2 ＋2080x. b 2080 因为－4＜0，所以当x＝－ ＝－ ＝260(亩) 2a 2×（－4） 4ac－b 0－2080 时，W最大＝ ＝ ＝270400(元)． 4a 4×（－4） 答：当种粮面积为260亩时，总利润最高，最高总利润为 270400元．
建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互 相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等 、圆等知识解决问题，求二次函数的解析式是解题关键．
第16讲┃ 归类示例
Байду номын сангаас
归类示例
► 类型之一 利用二次函数解决抛物线形问题 命题角度： 1. 利用二次函数解决导弹、铅球、喷水池、抛球、 跳水等抛物线形问题； 2. 利用二次函数解决拱桥、护栏等问题． [2012·安徽] 如图16－1，排球运动员站在点O处练
第16讲┃ 二次函数的应用
第16讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1 二次函数的应用 二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型， 这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际 问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润 、最节省方案等问题．
第16讲┃ 考点聚焦
考点2 建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题
[2013·徐州]某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以 单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1 元，该商品每月的销售量就减少10件． (1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价x(元)间的函 数关系式； (2)单价定为多少元时，每月销售商品的利润最大？最大利 润为多少？
第16讲┃ 归类示例
(1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒 的体积V； (2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)积S最大 ，试问x应取何值？
图16－3
第16讲┃ 归类示例
[解析] (1)根据已知得出这个正方体的底面边长a＝ 2x cm，EF＝ 2a＝ 2x(cm)，再利用AB＝24 cm，求出x进而可得出这个包装盒的体积V； (2)利用已知表示出包装盒的表面积，进而利用函数最值求出即可． 解：(1)根据题意，知这个正方体的底面边长a＝ 2 x cm，EF＝ 2 a＝2x (cm)， ∴x＋2x＋x＝24 ，x＝6，a＝6 2 cm， V ＝a3＝(6 2)3＝432 2(cm3 )． (2)设包装盒的底面边长为y cm，高为h cm， 则y＝ 2x，h＝ 24－2x 2 ∴S＝4yh＋y2 ＝4 2x· 2(12－x)＋( 2x)2＝－6x2＋96x＝ －6(x－8)2＋ 384. ∵0<x<12，∴当x＝8时，S取得最大值384 cm2. ＝ 2(12－x)，