数学理卷·2014届安徽省泗县双语中学高三12月月考(2013.12)

（理科 考试时间120分钟 总分150分）一、 选择题（每小题5分，共50分）1．满足M ⊆{}1234,,,a a a a 且{}{}12312,,,M a a a a a ⋂=的集合M 的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 42. 设偶函数()x f 满足()()042≥-=x x x f ，则不等式()2-x f ＞0的解集为（ ） A.{x x ＜0或x ＞}4 B.{x x ＜2-或x ＞}4C.{x x ＜0或x ＞}6D.{x x ＜2-或x ＞}23．已知两点M （－2，0），N （2，0），点P 满足PN PM ⋅=12，则点P 的轨迹方程为（ ）A ．11622=+y xB ．1622=+y xC ．822=-x yD ．822=+y x4.已知函数()f x R a =，则实数的取值范围为 ( ) A ．(]0.1B ． (,0][1,)-∞⋃+∞C ．()(,0)1,-∞⋃+∞ D ．[]0,15．已知命题p “任意0x >，ln 1x x ≤-”，则p ⌝为（ ） A 存在0x >，ln 1x x ≤- B 存在0x >，ln 1x x >- C 任意0x ≤，ln 1x x >- D 任意0x >，ln 1x x >-6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()n n S a n n N *+=∈，则下列数列中一定是等比数列的是（ ）A {}n a B. {}1n a - C. {}2n a - D. {}2n a + 7． 定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0()(1)(2),0x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩，则(2009)f 的值为A -1B 0C 1D 2. 8.下列命题中正确的是（ ）A .1y x x =+的最小值是2B .()4230y x x x=-->的最大值是2-C .224sin sin y x x=+的最小值是4D .()4230y x x x =--<的最小值是2- 9. 已知 33)6cos(-=-πx ,则=-+)3cos(cos πx xA ．332-B ．332±C ．1-D ．1±10 .已知0,0m n >>，向量()1,1a = ，向量(),3b m n =- ，且()a ab ⊥+ ，则14m n+的最小值为（ ）A.9B.16C.18D.82013—2014上学期高三数学试题答题卷二．填空题（每小题5分 共25分）11．直线直线l 1：x +3y-7=0、l 2：kx- y-2=0 若这两条直线互相垂直，则k 的值等于______12． 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的表面积为_______13．定义运算ab ad bccd=-，若函数()123x f x xx -=-+在(,)m -∞上单调递减，则实数m 的取值范围是_______14．已知,x y 满足约束条件224200x y x y y ⎧+≤⎪-+≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y=+的最大值是___________15． 出下列命题①若()y f x =是奇函数，则()y f x=的图象关于y 轴对称；②若函数f(x)对任意x R ∈满足()(4)1f x fx ⋅+=，则8是函数f(x)的一个周期； ③若log 3log 30m n <<，则01m n <<<； ④若()x af x e-=在[)1,+∞上是增函数，则1a ≤。

其中正确命题的序号是___________.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为72，求圆C 的方程。

17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A B C 、、对边分别是a b c 、、，且满足222cos ()bc A a b c =-+．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a =，ABC ∆的面积为,b c ．18.（本小题满分12分）已知向量)(),0,0,sin a x b x ==，记函数()()22f x a b x =+ .求：（I ）函数()f x 的最小值及取得小值时x 的集合； （II ）函数()f x 的单调递增区间. 19 。

（小题满分13分）已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点.(1)证明：PF⊥FD；(2)判断并说明PA 上是否存在点G ，使得EG∥平面PFD ；(3)若PB 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A －PD －F 的平面角的余弦值.20．（本小题满分13分）已知函数21()2xf x e x ax =--(R)a ∈． （Ⅰ）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求a ，b 的值； （Ⅱ）若函数在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；21.(本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n N =-∈，数列{}n b 满足11b =，且点*1(,)()n n P b b n N +∈在直线2y x =+上．（Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n D ； （Ⅲ）设22*sin cos ()22n n n n n c a b n N ππ=⋅-⋅∈，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．答 案BABDB CCBCA11. 3 13.小于等于-2 14.17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+- ……………2分代入222cos ()bc A a b c =-+得4cos 2bc A bc =-，……………4分 ∴1cos 2A =-， ∵0A π<<，∴23A π=………………6分(18)解：（Ⅰ）x x f 2sin 3)()(2++=b a212cos sin 2cos 2sin 22x x x x =+=+ …………………………3分=2)6π2sin(2++x ， ………………………… 5分 当且仅当23ππ26π2+=+k x ,即32ππ+=k x )(Z ∈k 时，()0f x =min ，此时x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x π,32π|. …………………………… 8分19 【解析】方法一：(1)∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝90°， AB ＝1，AD ＝2，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ， 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(1，1,0)，D(0,2,0).不妨令P(0,0，t)，∵PF ＝(1,1，－t)，DF＝(1，－1,0)，∴PF ·DF＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，即PF ⊥FD. …………………………………4分(2)存在.设平面PFD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)，结合(1)，由PF 0DF 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －tz ＝0x －y ＝0，令z ＝1，解得：x ＝y ＝t 2.∴n ＝(t 2，t2，1).设G 点坐标为(0,0，m)，E(12，0,0)，则EG ＝(－12，0，m)，要使EG ∥平面PFD ，只需EG ·n ＝0，即(－12)×t 2＋0×t 2＋m ×1＝m －t4＝0，得m ＝14t ，从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求. …………………………………8分(3)∵AB ⊥平面PAD ，∴AB 是平面PAD 的法向量，易得AB＝(1,0,0)，又∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，得∠PBA ＝45°，PA ＝1，结合(2)得平面PFD 的法向量为n ＝(12，12，1)，∴cos 〈AB ，n 〉＝AB |AB |||⋅⋅nn ＝1214＋14＋1＝66， 由题意知二面角A －PD －F 为锐二面角. 故所求二面角A －PD －F 的平面角的余弦值为66.…………………………………12分 方法二：(1)连接AF ，则AF ＝2，DF ＝2， 又AD ＝2，∴DF 2＋AF 2＝AD 2，∴DF ⊥AF ， 又PA ⊥平面ABCD ，∴DF ⊥PA ，又PA ∩AF ＝A ， ∴DF ⊥平面PAF ，又∵PF ⊂平面PAF ，∴DF ⊥PF.(2)过点E 作EH ∥DF 交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD ，且有AH ＝14AD ，再过点H 作HG ∥DP 交PA 于点G ，则HG ∥平面PFD 且AG ＝14AP ，∴平面EHG ∥平面PFD ，∴EG ∥平面PFD. 从而满足AG ＝14AP 的点G 即为所求.(3)∵PA ⊥平面ABCD ，∴∠PBA 是PB 与平面ABCD 所成的角，且∠PBA ＝45°，∴PA ＝AB ＝1，取AD 的中点M ，则FM ⊥AD ，FM ⊥平面PAD ，在平面PAD 中，过M 作MN ⊥PD 于N ，连接FN ，则PD ⊥平面FMN ， 则∠MNF 即为二面角A —PD —F 的平面角， ∵Rt △MND ∽Rt △PAD ，∴MN PA ＝MDPD ，∵PA ＝1，MD ＝1，PD ＝5，∴MN ＝55， 又∵∠FMN ＝90°，∴FN ＝65＝305， ∴cos ∠MNF ＝MN FN ＝66.。