人教版数学九年级上册：24.1.2《垂直于弦的直径》 PPT课件(共21页)1

求证：AC＝BD。
O.
E 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， A C
DB
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
实际上，往往只需从圆心作一条与弦垂直的 线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.
3、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度。
解： OE AB
A
AE 1 AB 1 8 4cm
2
2
在Rt △ AOE 中，由勾股
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
在来！你行吗？
2、如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为
10cm,OE=6cm,则A1B6= cm。
解：连接OA，∵ OE⊥AB
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和 一条直线来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（不是直径）
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以 推出其他三个结论
知二推三
随堂练习
1． 判断：
（1）垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对
的两弧．
（）
（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所
2
2
B
设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得
x2=52+(x-1)2 解得：x=13
∴ OA=13 ∴
答：直径CDC的D长=为2O2A6=. 3*在13来=2！你还能行吗？
二、填空：
1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,
那么圆心O到弦AB的距离是 2 3cm。
O AE B
2． ⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的 距离为3cm，则弦AB的长是 8cm 。
平分Ａ⌒Ｂ
及
⌒
ＡＣＢ
CD⊥AB
ＡＥ＝ＢＥ
⌒ ⌒⌒ ⌒
ＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ A
C
·O
E B
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧．
思考：平分弦（不是直径）的直径有什么性质？
垂径定理的推论
如图: AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM 连接OA,OB,则OA=OB.
在△OAM和△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
O AE B
3．半径为2cm的圆中，过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 2 3cm。
O
AE
B
圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴. 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来 说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
1.两条弦在圆心的同侧
2.两条弦在圆心的两侧
A
●O
B
C
D
A C
B ●O
D
AEB
∴ 在Rt △ AOE 中，由勾股定理得：
AE OA2 OE 2
O·
102 62 8cm
∴ AB=2AE=16cm
3、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD
于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。
解：连接OA，
A
∵ CD是直径，OE⊥AB
C E O·
D
AE 1 AB 1 10 5
1.理解圆的对称性； 2.理解掌握圆的垂径定理，并能灵活运用。
培养探索、推理、归纳、证明的能力及 用 数学语言表达数学问题的能力.
培养独立思考、敢于质疑、善于表达 的习惯；学会互助、合作、交流.
重点：理解掌握垂径定理 难点：灵活运用垂径定理解决有关圆问题
活动一
如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都 是它们的对称轴
2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢？ 圆是中心对称图形，圆心是对称中心
.
3、填空：
（1）根据圆的定义，“圆”指的是“ 圆周”，是 线曲，而不是
“圆面”。
（2）圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件，圆心决定圆
的 位置，半径决定圆的 大，小二者缺一不可。 （3）同一个圆的半径 处处 相等。
证明： OE AC OD AB AB AC
OEA 90 EAD 90 ODA 90
∴四边形ADOE为矩形， AE 1 AC，AD 1 AB
2
2
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
2、已知：如图，在以O为圆心的两 个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D两点。
Ｄ
由 ① CD是直径 可推得 ② CD⊥AB
推论：平分弦（不是直径）的直径垂 直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
由 ① CD是直径 可推得 ③ AM=BM
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
结论
垂径定理：垂直于弦的直径 平分弦，并且平分弦所对的 两条弧．
（1）是轴对称图形．直径CD所在的 直线是它的对称轴
（2弧）：线Ａ⌒段Ｃ：＝ＢA⌒EＣ=BE，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
⌒ ⌒ 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
A
点A与点B重合，AE与BE重合，ＡＣ 和 ＢＣ
⌒ ⌒ 重合，ＡＤ和 ＢＤ重合．
C
·O
E B
D
CD⊥AB 时：
直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠BMO.
A
B ∴CD⊥AB
M
∵⊙O关于直径CD对称,
●O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒⌒
⌒⌒
D
∴A⌒C =AB⌒CC和, AB⌒DC重=B⌒合D,. AD和BD重合.
平分弦（不是直径）的直径垂直于
弦,并且平分弦所对的两条弧.
Ｃ
Ｏ
Ａ
M
Ｂ
垂径定理：垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧．
解：
(1)
OB 650 (mm)
(2)
2
O
EB 600 (mm) 2
B
E
A
E A
B OE OB2 EB2
O
OE=125(mm)
D
D
油的最大深度ED=OD－OE=200(mm)
或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).
4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD， AB=16，CD=12，则AB、CD间的 距离是___2cm 或14cm.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
在解决有关圆的问题时，可以利用垂径定理将其转化 为解直角三角形的问题 。
作业：
教材88页习题24.1 第 8、9题 ；
别忘记还有我哟！！ 作业：
1、P82练习 1、2题 2、教材88页习题24.1
8、9 ； 3、练习册同步．
1．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的 两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
对的另一弧．
（√ ）
（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦（ ）
（4）平分弦的直径垂直于弦． （ ）
（5）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧．
（√ ）
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧．
重点强调：
A
E
B
·
O
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．