概率论题目
概率论与数理统计的题目
1 .掷一颗均匀骰子，设A表示所掷结果为“四点或五点”，B表示所掷结果为“偶数点”，求P(A)和P(B)。
2.货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自甲产地，3件来自乙产地。
先从15件商品中随机的抽取两件，求这两件商品来自同一产地的概率。
3.一批灯泡共100只，其中10只是次品，其余是正品。
作不放回抽取，每次取一只，求第三次取到正品的概率。
4.8只步枪中有5只已校准过，3只未校准。
一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8只步枪中任取一只用于射击，结果中靶。
求所用的枪是校准过的概率。
5.甲乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别是0.9和0.8。
求每人射击一次后，目标被射中的概率。
6.写出下列随机试验的样本空间：（2)掷一颗均匀的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；（3）观察某医院一天内前来就诊的人数；（5)检查两件产品是否合格；7.设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件：（1）A与B都发生,但C 不发生；（2）A发生，且B与C 至少有一个发生；（3）A,B,C 中至少有一个发生；（4）A,B,C 中恰有一个发生；（5）A,B,C中至少有两个发生；（6）A,B,C中至多有一个发生；（7）A,B,C中至多有两个发生；（8）A,B,C中恰有两个发生；8.若W表示昆虫出现残翅，E表示昆虫有退化性眼睛，且P(W)=0.125,P(E)=0.075,P(WE)=0.025,求下列事件的概率：（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛；（2）昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛；（3）昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛；9.计算下列各题：（1)设P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB）=0.6,求P(A¯B);（2)设P(A)=0.8,P(A-B)=0.3,求P(¯AB）；10.掷一颗均匀的骰子两次，求前后两次出现的点数之和为3，4，5的概率各是多少？11.在整数0，1，2....9中任取三个数，求下列事件的概率：（1）三个数中最小的一个是5；（2）三个数中最大的一个是5；13.12个乒乓球中有4只是白色的，8只是黄色的。
概率论
一1、若事件A 出现，事件B 和事件C 都不出现，则可表示为 。
2、已知,6.0)(,4.0)(,==⊂B P A P B A 则)(A B P -= 。
3、皮尔逊做掷一枚均匀硬币的试验，观察“正面朝上”这一事件A ，在12000次试验中，事件A 出现了6019次，则事件A 出现的频率是 。
4、已知随机变量A 的概率,5.0)(=A P 随机事件B 的概率,6.0)(=B P 条件概率,8.0)|(=A B P 则=⋂)(B A P 。
5、某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的%,40%,35%,25各个车间产品的次品率分别为%,2%,4%,5则该厂产品的次品率为 。
6、假设X 是连续型随机变量，其概率密度函数为⎩⎨⎧<<=.030)(2其它，；，x cx x f ，则=c 。
7、设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),arctan )(arctan (),(y C x B A y x F ++=则=A ，=B ，=C 。
8、设Y 服从)4,5.1(N ，则=>}2{X P 。
9、设随机变量)16,1(~),4,1(~N Y N X ，则=+)(Y X E 。
10、设X 和Y 是相互独立，X 服从标准正态分布，Y 服从自由度为n 的卡方分布，称随机变量：n Y XT =的分布为自由度为 的 分布。
二、设有一批量为50的同型号产品，其中次品10件，现按以下两种方式随机抽取2件产品：（1）有放回抽取，即先任取一件，观察后放回批中，再从中任取一件；（2）不放回抽取，即先任取一件，观察后不放回批中，从剩余的产品中再任取一件。
试分别按这两种抽取方式，求(a)、两件都是次品的概率？(b)、第一件是次品，第二件是正品的概率？三、一批零件共100个，其中次品有20个，今从中不放回的抽取2个，每次取1个，球第一次取到次品，第二次取到正品的概率？四、一项血液化验以概率95.0将带菌病人检出阳性，但也有%1的概率误将健康人检出阳性，设已知该种疾病的发病率为%5.0，求已知一个个体检出阳性的条件下，该个体确实患有疾病的概率？五、已知事件A 与事件B 相互独立，求证：事件A 与事件B 也独立。
概率论与数理统计练习册题目
第一章 概率论的基本概念习题一 随机试验、随机事件一、判断题1.()A B B A =⋃- （ ）2.C B A C B A =⋃ （ ）3.()φ=B A AB （ ）4.若C B C A ⋃=⋃，则B A = （ ）5.若B A ⊂，则AB A = （ ）6.若A C AB ⊂=,φ,则φ=BC （ ）7.袋中有1个白球，3个红球，今随机取出3个，则（1）事件“含有红球”为必然事件； （ ）（2）事件“不含白球”为不可能事件； （ ）（3）事件“含有白球”为随机事件； （ ）8.互斥事件必为互逆事件 （ ）二、填空题1. 一次掷两颗骰子，（1）若观察两颗骰子各自出现的点数搭配情况，这个随机试验的样本空间为 ；（2）若观察两颗骰子的点数之和，则这个随机试验的样本空间为 。
2.化简事件()()()=⋃⋃⋃B A B A B A 。
3.设A,B,C 为三事件，用A,B,C 交并补关系表示下列事件：（1）A 不发生，B 与C 都发生可表示为 ；（2）A 与B 都不发生，而C 发生可表示为 ；（3）A 发生，但B 与C 可能发生也可能不发生可表示为 ；（4）A,B,C 都发生或不发生可表示为 ；（5）A,B,C 中至少有一个发生可表示为 ；（6）A,B,C 中至多有一个发生可表示为 ；（7）A,B,C 中恰有一个发生可表示为 ；（8）A,B,C 中至少有两个发生可表示为 ；（9）A,B,C 中至多有两个发生可表示为 ；（10）A,B,C 中恰有两个发生可表示为 ；三、选择题1.对飞机进行两次射击，每次射一弹，设A 表示“恰有一弹击中飞机”，B 表示“至少有一弹击中飞机”，C 表示“两弹都击中飞机”，D 表示“两弹都没击中飞机”，则下列说法中错误的是（ ）。
A 、A 与D 是互不相容的B 、A 与C 是相容的C 、B 与C 是相容的D 、B 与D 是相互对应的事件2.下列关系中能导出“A 发生则B 与C 同时发生”的有（ ）A 、A ABC =；B 、AC B A =⋃⋃； C 、A BC ⊂ ；D 、C B A ⊂⊂四、写出下列随机试验的样本空间1.记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）；2.一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时取出3个球；3.某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数。
概率论习题全部
概率论习题全部概率论习题全部1习题⼀习题⼀1. ⽤集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：（1）掷两枚均匀骰⼦，观察朝上⾯的点数，事件A表⽰“点数之和为7”；（2）记录某电话总机⼀分钟内接到的呼唤次数，事件A表⽰“⼀分钟内呼唤次数不超过3次”；（3）从⼀批灯泡中随机抽取⼀只，测试它的寿命，事件A表⽰“寿命在2 000到2 500⼩时之间”.2. 投掷三枚⼤⼩相同的均匀硬币，观察它们出现的⾯.（1）试写出该试验的样本空间；（2）试写出下列事件所包含的样本点：A={⾄少出现⼀个正⾯}，B={出现⼀正、⼆反}，C={出现不多于⼀个正⾯}；（3）如记A={第i枚硬币出现正⾯}（i=1，2，i3），试⽤123A A A表⽰事件A，B，C.,,3. 袋中有10个球，分别编有号码1～10，从中任取1球，设A＝{取得球的号码是偶数}，B＝{取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码⼩习题⼀ 2 于5}，问下列运算表⽰什么事件：（1）A B ；（2）AB ；（3）AC ；（4）AC ；（5）C A ；（6）B C ；（7）A C -. 4. 在区间上任取⼀数，记112A x x ??=<≤，1342B x x ??=≤≤，求下列事件的表达式：（1）A B ；（2）AB ；（3）AB ，（4）A B .5. ⽤事件A ，B ，C 的运算关系式表⽰下列事件：（1）A 出现，B ，C 都不出现；（2）A ，B 都出现，C 不出现；（3）所有三个事件都出现；（4）三个事件中⾄少有⼀个出现；（5）三个事件都不出现；（6）不多于⼀个事件出现；（7）不多于⼆个事件出现；（8）三个事件中⾄少有⼆个出现.6. ⼀批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三个产品，设表⽰事件“第次抽到废品”，试⽤的运算表⽰下列各个事件：（1）第⼀次、第⼆次中⾄少有⼀次抽到废品；（2）只有第⼀次抽到废品；（3）三次都抽到废品；]2,0[i A i iA习题⼀3 （4）⾄少有⼀次抽到合格品；（5）只有两次抽到废品.7. 接连进⾏三次射击，设={第i 次射击命中}（i ＝1，2，3），试⽤表⽰下述事件：（1）A ={前两次⾄少有⼀次击中⽬标}；（2）B ={三次射击恰好命中两次}；（3）C ={三次射击⾄少命中两次}；（4）D ={三次射击都未命中}.8. 盒中放有a 个⽩球b 个⿊球，从中有放回地抽取r 次（每次抽⼀个，记录其颜⾊，然后放回盒中，再进⾏下⼀次抽取）.记={第i 次抽到⽩球}（i ＝1，2，…，r ），试⽤{}表⽰下述事件：（1）A ={⾸个⽩球出现在第k 次}；（2）B ={抽到的r 个球同⾊}，其中1k r ≤≤.*9. 试说明什么情况下，下列事件的关系式成⽴：（1）ABC =A ；（2）A B C A =.iA 321,,A A A iA iA习题⼆ 3习题⼆1. 从⼀批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率.2. ⼀⼝袋中有5个红球及2个⽩球.从这袋中任取⼀球，看过它的颜⾊后放回袋中，然后，再从这袋中任取⼀球.设每次取球时⼝袋中各个球被取到的可能性相同.求：（1）第⼀次、第⼆次都取到红球的概率；（2）第⼀次取到红球、第⼆次取到⽩球的概率；（3）两次取得的球为红、⽩各⼀的概率；（4）第⼆次取到红球的概率.3. ⼀个⼝袋中装有6只球，分别编上号码1～6，随机地从这个⼝袋中取2只球，试求：（1）最⼩号码是3的概率；（2）最⼤号码是3的概率.4. ⼀个盒⼦中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样.接连取2次，每次随机地取1只，试求下列事件的概率：（1）2只都是合格品；（2）1只是合格品，⼀只是不合格品；（3）⾄少有1只是合格品.4习题⼆5. 从某⼀装配线上⽣产的产品中选择10件产品来检查.假定选到有缺陷的和⽆缺陷的产品是等可能发⽣的，求⾄少观测到⼀件有缺陷的产品的概率，结合“实际推断原理”解释得到的上述概率结果.6. 某⼈去银⾏取钱，可是他忘记密码的最后⼀位是哪个数字，他尝试从0～9这10个数字中随机地选⼀个，求他能在3次尝试之中解开密码的概率.7. 掷两颗骰⼦，求下列事件的概率：（1）点数之和为7；（2）点数之和不超过5；（3）点数之和为偶数.8. 把甲、⼄、丙三名学⽣随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8⼈，试求这三名学⽣住在不同宿舍的概率.9. 总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位秘书，求下列事件的概率：（1）事件A={其中恰有⼀位精通英语}；（2）事件B={其中恰有两位精通英语}；（3）事件C={其中有⼈精通英语}.10. 甲袋中有3只⽩球，7只红球，15只⿊球，⼄袋中有10只⽩球，6只红球，9只⿊球，习题⼆ 5 现从两个袋中各取⼀球，求两球颜⾊相同的概率.11. 有⼀轮盘游戏，是在⼀个划分为10等份弧长的圆轮上旋转⼀个球，这些弧上依次标着0～9⼗个数字.球停⽌在那段弧对应的数字就是⼀轮游戏的结果.数字按下⾯的⽅式涂⾊：0看作⾮奇⾮偶涂为绿⾊，奇数涂为红⾊，偶数涂为⿊⾊.事件A ={结果为奇数}，事件B ={结果为涂⿊⾊的数}.求以下事件的概率：（1）)(A P ；（2）)(B P ；（3）()P A B ；（4）)(AB P .12. 设⼀质点⼀定落在xOy 平⾯内由x 轴，y 轴及直线x +y =1所围成的三⾓形内，⽽落在这三⾓形内各点处的可能性相等，即落在这三⾓形内任何区域上的可能性与这区域的⾯积成正⽐，计算这质点落在直线x =的左边的概率. 13. 甲、⼄两艘轮船都要在某个泊位停靠6h ，假定它们在⼀昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中⾄少有⼀艘在停靠泊位时必须等待的概率.14. 已知B A ?，4.0)(=A P ，6.0)(=B P ，求：（1）)(),(B P A P ；（2）()P A B ；（3）)(AB P ；（4）)(),(B A P A B P ；（5）)(B A P .316习题⼆15. 设A，B是两个事件，已知P（A）=0.5，P（B）=0.7，()P A B=0.8，试求：P（A-B）与P （B-A）.*16. 盒中装有标号为1~r的r个球，今随机地抽取n个，记录其标号后放回盒中；然后再进⾏第⼆次抽取，但此时抽取m个，同样记录其标号，这样得到球的标号记录的两个样本，求这两个样本中恰有k个标号相同的概率.习题三 5习题三1. 已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P 及条件概率8.0)(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .2. ⼀批零件共100个，次品率为10％，每次从中任取⼀个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率.3. 某⼈有⼀笔资⾦，他投⼊基⾦的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19.（1）已知他已投⼊基⾦，再购买股票的概率是多少？（2）已知他已购买股票，再投⼊基⾦的概率是多少？4. 罐中有m 个⽩球，n 个⿊球，从中随机抽取⼀个，若不是⽩球则放回盒中，再随机抽取下⼀个；若是⽩球，则不放回，直接进⾏第⼆次抽取，求第⼆次取得⿊球的概率.5. ⼀个⾷品处理机制造商分析了很多消费者的投诉，发现他们属于以下列出的6种类型:习题三6如果收到⼀个消费者的投诉，已知投诉发⽣在保质期内，求投诉的原因是产品外观的概率.6. 给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下⾯四个等式：)()(A P B A P =；)()(A P B A P =；)()(B P A B P =；)()(B P A B P =.7. 已知甲袋中装有6只红球，4只⽩球，⼄袋中装有8只红球，6只⽩球.求下列事件的概率：（1）随机地取⼀只袋，再从该袋中随机地取⼀只球，该球是红球；（2）合并两只⼝袋，从中随机地取1只球，该球是红球.8. 设某⼀⼯⼚有A ，B ，C 三间车间，它们⽣产同⼀种螺钉，每个车间的产量，分别占该⼚⽣产螺钉总产量的25％、35％、40％，每个车间成品中次货的螺钉占该车间出产量的百分⽐分别为5％、4％、2％.如果从全⼚总产品中抽取⼀件产品，（1）求抽取的产品是次品的概率；（2）已知得到的是次品，求它依次是车间A ，B ，C ⽣产的概率.9. 某次⼤型体育运动会有1 000名运动员参加，其中有100⼈服⽤了违禁药品.在使⽤者中，假定有90⼈的药物检查呈阳性，⽽在未使⽤者中也有5⼈检验结果显⽰阳性.如果⼀个运习题三 7 动员的药物检查结果是阳性，求这名运动员确实使⽤违禁药品的概率.10. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“*”和“—”.由于通信系统受到⼲扰，当发出信号“*”时，收报台未必收到信号“*”，⽽是分别以概率0.8和0.2收到信号“*”和“—”.同样，当发出信号“—”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“*”.求：（1）收报台收到信号“*”的概率；（2）当收报台收到信号“*”时，发报台确是发出信号“*”的概率.*11. 甲袋中有4个⽩球6个⿊球，⼄袋中有4个⽩球2个⿊球.先从甲袋中任取2球投⼊⼄袋，然后再从⼄袋中任取2球，求从⼄袋中取到的2个都是⿊球的概率.12. 设事件B A ,相互独⽴.证明：B A ,相互独⽴，B A ,相互独⽴. 13. 设事件A 与B 相互独⽴，且p A P =)(，q B P =)(.求下列事件的概率：(),(),().P A B P A B P A B14. 已知事件A 与B 相互独⽴，且91)(=B A P ，)()(B A P B A P =.求：)(),(B P A P .15. 三个⼈独⽴破译⼀密码，他们能独⽴译出的概率分别为0.25，0.35，0.4，求此密码被译习题三8 出的概率.16. 设六个相同的元件，如下图所⽰那样安置在线路中.设每个元件不通达的概率为p ，求这个装置通达的概率.假定各个元件通达、不通达是相互独⽴的.*17. （配对问题）房间中有n 个编号为1~n的座位.今有n 个⼈（每⼈持有编号为1~n 的票）随机⼊座，求⾄少有⼀⼈持有的票的编号与座位号⼀致的概率.（提⽰：使⽤概率的性质5的推⼴，即对任意n 个事件12,,,n A A A ，有1121111111()()(1)()(1)().)k k n n k k i j k i j n k k n i i n i i i n P A P A P A A P A A P A A =≤<≤=--≤<<<≤??=-+ +-++-∑∑∑ *18. （波利亚（Pólya ）罐⼦模型）罐中有a 个⽩球，b 个⿊球，每次从罐中随机抽取⼀球，观察其颜⾊后，连同附加的c 个同⾊球⼀起放回罐中，再进⾏下⼀次抽取.试⽤数学归纳法证明：第k 次取得⽩球的概率为a a b+（1k ≥为整数）.（提习题三 9 ⽰：记{}k A k 第次取得⽩球，使⽤全概率公式1111()=()()+()()k k k P A P A P A A P A P A A 及归纳假设.）19. 甲⼄两⼈各⾃独⽴地投掷⼀枚均匀硬币n 次，试求：两⼈掷出的正⾯次数相等的概率.20. 假设⼀部机器在⼀天内发⽣故障的概率为0.2，机器发⽣故障时全天停⽌⼯作.若⼀周五个⼯作⽇⾥每天是否发⽣故障相互独⽴，试求⼀周五个⼯作⽇⾥发⽣3次故障的概率.21. 灯泡耐⽤时间在1 000 h 以上的概率为0.2，求：三个灯泡在使⽤1 000 h 以后最多只有⼀个坏了的概率.22. 某宾馆⼤楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T ，各电梯正在运⾏的概率均为0.75，求：（1）在此时刻所有电梯都在运⾏的概率；（2）在此时刻恰好有⼀半电梯在运⾏的概率；（3）在此时刻⾄少有1台电梯在运⾏的概率.23. 设在三次独⽴试验中，事件A 在每次试验中出现的概率相同.若已知A ⾄少出现⼀次的概率等于2719，求事件A 在每次试验中出现的概率)(A P .10习题三*24. 设双胞胎中为两个男孩或两个⼥孩的概率分别为a及b.今已知双胞胎中⼀个是男孩，求另⼀个也是男孩的概率.25. 两射⼿轮流打靶，谁先进⾏第⼀次射击是等可能的.假设他们第⼀次的命中率分别为0.4及0.5，⽽以后每次射击的命中率相应递增0.05，如在第3次射击⾸次中靶，求是第⼀名射⼿⾸先进⾏第⼀次射击的概率.26. 袋中有2n-1个⽩球和2n个⿊球，今随机（不放回）抽取n个，发现它们是同⾊的，求同为⿊⾊的概率.*27. 3个外形相同但可辨别的球随机落⼊编号1~4的四个盒⼦，（1）求恰有两空盒的概率；（2）已知恰有两空盒，求有球的盒⼦的最⼩编号为2的概率.习题四 8习题四1. 下列给出的数列，哪些可作为随机变量的分布律，并说明理由.（1）15ii p =(0,1,2,3,4,5)i =；（2）6)5(2i p i -=(0,1,2,3)i =；（3）251+=i p i (1,2,3,4,5)i =.2. 试确定常数C ，使i C i X P 2)(== (0,1,2,3,4)i =成为某个随机变量X 的分布律，并求：（1）(2)P X >；（2）1522P X ??<<；（3）(3)F （其中F （·）为X 的分布函数）.3. ⼀⼝袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字.从这⼝袋中任取⼀球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数.4. ⼀袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5.从中随机地取3个，以X 表⽰取出的3个球中最⼤号码，写出X 的分布律和分布函数.5. 在相同条件下独⽴地进⾏5次射击，每次射击时击中⽬标的概率为0.6，求击中⽬标的9习题四次数X的分布律.6. 从⼀批含有10件正品及3件次品的产品中⼀件⼀件地抽取产品.设每次抽取时，所⾯对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为⽌所需次数X的分布律：（1）每次取出的产品⽴即放回这批产品中再取下⼀件产品；（2）每次取出的产品都不放回这批产品中；（3）每次取出⼀件产品后总以⼀件正品放回这批产品中.7. 设随机变量X),6(==XP，XP(=)1B，已知)5~p(求p与)2P的值.(=X8. ⼀张试卷印有⼗道题⽬，每个题⽬都为四个选项的选择题，四个选项中只有⼀项是正确的.假设某位学⽣在做每道题时都是随机地选择，求该位学⽣未能答对⼀道题的概率以及答对9道以上（包括9道）题的概率.9．市120接听中⼼在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，⽽与时间间隔的起点⽆关（时间以⼩时计算）：习题四10 求：（1）某天中午12点⾄下午3点没有收到紧急呼救的概率；（2）某天中午12点⾄下午5点⾄少收到1次紧急呼救的概率.10．某商店出售某种物品，根据以往的经验，每⽉销售量X服从参数4=λ的泊松分布.问在⽉初进货时，要进多少才能以99％的概率充分满⾜顾客的需要？11. 有⼀汽车站有⼤量汽车通过，每辆汽车在⼀天某段时间出事故的概率为0.000 1.在某天该段时间内有1 000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率.12. 设鸡下蛋数X服从参数为λ的泊松分布，但由于鸡舍是封闭的，我们只能观察到从鸡舍输出的鸡蛋.记Y为观察到的鸡蛋数，即Y的分布与给定>0X的条件下X的分布相同，今求Y 的分布律.（提⽰：()(0),1,2,.对于）P Y k P X k X k===>=13. 袋中有n把钥匙，其中只有⼀把能把门打开，每次抽取⼀把钥匙去试着开门.试在：（1）有放回抽取；（2）不放回抽取两种情况下，求⾸次打开门时试⽤钥匙次数的分布律.习题四11 14. 袋中有a 个⽩球、b 个⿊球，有放回地随机抽取，每次取1个，直到取到⽩球停⽌抽取，X 为抽取次数，求()P X n ≥.15. 据统计，某⾼校在2010年上海世博会上的学⽣志愿者有6 000名，其中⼥⽣3 500名.现从中随机抽取100名学⽣前往各世博地铁站作引导员，求这些学⽣中⼥⽣数X 的分布律.16. 设随机变量X 的密度函数为2,()0,x f x ?=??0,x A <<其他,试求：（1）常数A ;（2）)5.00(<17．设随机变量X 的密度函数为()e x f x A -=()x -∞<<+∞，求：（1）系数A ；（2）)10(<（3）X 的分布函数. 18．证明：函数22e ,0,()0,0,xc x x f x c x -??≥=??可作为⼀个密度函数.19. 经常往来于某两地的⽕车晚点的时间X（单位：min ）是⼀个连续型随机变量，其密度函数为23(25),55,()5000,x x f x ?--<X 为负值表⽰⽕车早到了.求⽕车⾄少晚点2min 的概率.习题四 1220. 设随机变量X 的分布函数为0()1(1)e x F x x -?=?-+?,0,,0,x x ≤>求X 的密度函数，并计算)1(≤X P 和)2(>X P .21. 设随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布，求⽅程012=++Xt t 有实根的概率.22. 设随机变量X 在)1,0(上服从均匀分布，证明：对于0,0,1a b a b ≥≥+≤，()P a X b b a ≤≤=-，并解释这个结果.23. 设顾客在某银⾏的窗⼝等待服务的时间X （单位：min ）是⼀随机变量，它服从51=λ的指数分布，其密度函数为51e ()50x f x -??=,0,,x >其它.某顾客在窗⼝等待服务，若超过10 min ，他就离开.（1）设某顾客某天去银⾏，求他未等到服务就离开的概率；（2）设某顾客⼀个⽉要去银⾏五次，求他五次中⾄多有⼀次未等到服务⽽离开的概率.24. 以X 表⽰某商店从早晨开始营业起直到第⼀个顾客到达的等待时间（单位：min ），X 的分布函数是0.21e ,0,()0,x x F x -?->=??其他.求：（1）X 的密度函数；（2）P （⾄多等待。
概率论经典题目
概率论经典题目
概率论是数学的一个重要分支，它研究随机事件的发生概率及其规律性。
在学习概率论的过程中，经典题目是必不可少的一部分，下面介绍几个常见的概率论经典题目。
1. 排列组合问题：从n个不同元素中取出m个元素，有多少种不同的取法？
2. 独立事件的概率：两个独立事件A和B同时发生的概率是多少？
3. 条件概率问题：已知A发生的条件下，B发生的概率是多少？
4. 期望值和方差：在一次随机试验中，事件发生的可能性不同，每个事件的概率和相应的收益也不同，如何计算这个随机试验的平均收益和方差？
5. 单点和连续型随机变量：在一个区间[a, b]内随机选取一个实数x，x的取值是随机的，如何计算x的期望值和方差？
以上是概率论的几个典型问题，通过这些问题的训练，可以加深对概率论的理解，提高解决问题的能力。
- 1 -。
概率论试题(熟悉题型)
一.填空题（每空2分，共20分）1.一袋中有5只白球3只黑球，从袋中任取两只球，则“取到的两只球同色”的概率 是 ；“取到的两只球至少有一只黑球”的概率为 ．2.设随机变量X 的方差为2， 则由切比雪夫不等式有{||4}P X EX -<≥ .3.已知随机变量X 、Y 满足1DX =，4DY =，0.6XY ρ=，则(23)________D X Y +=；(234)________D X Y -+=.4. 设(3,1)X N ~,(-1,1)Y N ~，且X 与Y 相互独立，则27Z X Y =-++~ ；且{0}P Z <= .5. 设X 与Y 相互独立且同分布，概率分布为{0}{1}1/2P X P X ====，令max{,}Z X Y =，则{0}P Z == ；且{1}P Z == .6. 设1X ，2X ，3X ，4X 是来自正态总体(0,1)X N ~的随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则统计量X U =__________分布.（写出自由度）.二.选择题(每小题2分，共10分)：1. 设事件,A B 的积事件的概率为零，则下列结论肯定正确是________(A ) ()()()P AB P A P B =(B ) ()()()P A B P A P B =+ (C ) A 与B 互不相容(D ) A 与B 相互独立2. 随机变量X 的概率分布为{}(1,2,3,,0)!kP X k A k k λλ==⋅=> ，则常数A =________(A ) e λ (B ) e λ- (C ) 1e λ- (D )11e λ-3. 设1()F x 和2()F x 分别为X 与Y 的分布函数，为使12()()()2aF x F x bF x =+是某个随机变量的分布函数，则应取________（A ）23,55a b ==- （B ）41,55a b =-= （C ）43,55a b == （D ）23,55a b ==4.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，若32Z X =-，则________ (A )6,18EZ DZ == (B )6,20EZ DZ == (C )4,16EZ DZ == (D )4,18EZ DZ ==5.设随机变量X ,Y 均服从标准正态分布~(0,1)X N ,~(0,1)Y N ，则下述结论正确的是_________(A ) X Y +为正态分布 (B ) 2X 为卡方分布(C ) 22X Y +为卡方分布 (Dt 分布三.（共2个题目，共18分）1. （10分） 已知某系学生共分A B 、两个专业，两个专业的英 语四级合格率分别为80%和90%，现从A B 、两个专业中随机抽取一份四级成绩单，求:(1)这份成绩单成绩合格的概率；(2)若已知这份成绩单成绩合格，则该成绩单是A 专业学生成绩单的概率.2. （8分）设A 、B 为两个随机事件，已知1()3P B =，1(|)2P B A =，1(|)5P A B =，求: (1) )(AB P ，)(B A P ，)(B A P -；(2) 判断A 、B 是否相互独立.四.（共2个题目，共20分） 1. (10分）从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗，假定在各个交通岗遇到红绿信号灯的事件是相互独立的，且遇到红灯概率都是25.设X 表示途中遇到红灯的次数，求X 分布律和分布函数.2. (10分）设随机变量220,0,01()21,121,2x Ax x F x x Bx x x ≤⎧⎪<≤⎪=⎨--<≤⎪⎪>⎩， 求：（1）系数A 和B ；（2）13{}22P X <<；（3）X 的分布密度。
高等数学(概率论)习题及解答
高等数学(概率论)习题及解答高等数学（概率论）题及解答
1. 题一
1.1. 题目
已知事件A和B的概率分别为P(A) = 0.2，P(B) = 0.3，且P(A∪B) = 0.4，求P(A∩B)。
1.2. 解答
根据概率的加法定理，有：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
代入已知数据得：
0.4 = 0.2 + 0.3 - P(A∩B)
P(A∩B) = 0.1
所以，P(A∩B)的概率为0.1。
2. 题二
2.1. 题目
已知某城市一天中的天气分为晴天、阴天和雨天三种情况，其中晴天的概率为0.4，阴天的概率为0.3。
现已知，当下为晴天时，随后一天也是晴天的概率为0.7；当下为阴天时，随后一天为晴天的概率为0.5。
求当下为晴天时，随后一天为阴天的概率。
2.2. 解答
设事件A为当下为晴天，事件B为随后一天为阴天。
根据条件概率的定义，有：
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
已知 P(A) = 0.4，P(B|A) = 0.5，代入并整理得：
0.5 = P(A∩B) / 0.4
P(A∩B) = 0.5 * 0.4
P(A∩B) = 0.2
所以，当下为晴天时，随后一天为阴天的概率为0.2。
以上是高等数学（概率论）习题及解答的部分内容，如有更多问题或需要补充，请随时告知。
概率论期末总复习必考题型
复习重点题目第一章p13例2、p14例5、习题一20、25第二章p34 例7、8；习题二15、24。
第三章p58 例2、例5、p61 例5、p63 例1、习题三5。
第四章习题四13、14、15、16。
第七章P139 例4、P148 例2、习题七P157 1、P159 13。
第八章例4、例5、习题八3、6。
例 1.5.2 设袋中装有r 只红球，t 只白球，每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 a 只与所取出的那只球同色的球，若在袋中连续取球 4 次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率。
解以A i(i 1,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则A3, A4 分别表示事件“第三、四次取到白球” 。
所求概率为：P( A1 A2 A3 A4 ) P(A4 | A1 A2 A3)P( A3 | A1A2 )P( A2 |A1)P(A1)t a t r a rr t 3a r t 2a r t a r t例 1.5.4 八支枪中，有三支未经试射校正，五支已经试射校正。
校正过的枪射击时，中靶的概率为0.8，未校正的枪射击时，中靶的概率为0.3，今从8 支枪中任取一支射击中靶。
问所用这枪是校正过的概率是多少？解设事件8 8 10 45A ={射击中靶}B 1={ 任取一枪是校正过的 }, B 2 ={任取一枪是未校正过的 }, B 1, B 2构成完备事件组 ,则 P(B 1) 5/8,P(B 2) 3/8,P(A |B 1) 0.8,P(A|B 2) 0.3， 故所求概率为P(B 1 | A) P(B 1)P(A|B 1)/[P(B 1)P(A|B 1) P(B 2)P(A|B 2)] 40/49 0.816习题一、20．已知在 10 只晶体管中有 2 只次品，在其中取两次，每次任取一 只，作不放回抽样。
求下列事件的概率： （1）两只都是正品； （2）两只都是次品；（3）一只是正品，一只是次品； （4）第二次取出的是次品。
概率高中练习题及讲解
概率高中练习题及讲解### 概率高中练习题及讲解#### 练习题一：掷骰子问题题目：一个公平的六面骰子被掷两次，求至少出现一次6点的概率。
解题思路：1. 首先确定总的可能结果数，即掷两次骰子的所有组合。
2. 然后确定至少出现一次6点的组合数。
3. 使用古典概型概率公式求解。
解答：- 总的可能结果数为 \(6 \times 6 = 36\) 种。
- 至少出现一次6点的组合数为 \(6 + 6 - 1 = 11\) 种（第一次出现6点，第二次出现6点，以及第一次和第二次都出现6点的组合）。
- 概率 \( P = \frac{11}{36} \)。
#### 练习题二：生日问题题目：在一个有30人的班级中，求至少有两人生日相同的概率。
解题思路：1. 考虑一年有365天，忽略闰年。
2. 使用生日问题的经典解法，即计算所有人都有不同生日的概率，然后用1减去这个概率。
解答：- 所有人都有不同生日的概率为 \( \frac{365}{365} \times\frac{364}{365} \times ... \times \frac{336}{365} \)。
- 至少有两人生日相同的概率为 \( 1 - \frac{365 \times 364\times ... \times 336}{365^{30}} \)。
#### 练习题三：独立事件问题题目：一个袋子里有5个红球和5个蓝球。
第一次随机取出一个球，不放回，然后第二次再取出一个球。
求第二次取出红球的概率。
解题思路：1. 确定第一次取出球后，第二次取球的总可能数和有利结果数。
2. 使用条件概率公式求解。
解答：- 第一次取出红球的概率为 \( \frac{5}{10} = 0.5 \)，此时第二次取红球的概率为 \( \frac{4}{9} \)。
- 第一次取出蓝球的概率也为 \( 0.5 \)，此时第二次取红球的概率为 \( \frac{5}{9} \)。
- 总概率为 \( 0.5 \times \frac{4}{9} + 0.5 \times \frac{5}{9} = \frac{9}{18} = 0.5 \)。
概率论的竞赛题目
概率论的竞赛题目
以下是一道概率论的竞赛题目：
某校足球队比赛，结果有胜、负、平三种。
假设该队在每场比赛中获胜的概率为0.4，平局的概率为0.3，输掉比赛的概率为0.3。
现在，该队还剩下三场比赛要进行，请问该队至少要赢几场比赛，才能保证在这三场比赛中至少有一场比赛获胜？
提示：可以使用补事件法来解决此类问题。
解答：
首先计算出该队在三场比赛中都输掉的概率为0.3 × 0.3 ×0.3 = 0.027。
因此，至少有一场比赛获胜的概率为1 - 0.027 = 0.973。
接下来，我们可以使用补事件法来解决该问题。
即，如果该队至少要赢x场比赛才能保证在这三场比赛中至少有一场比赛获胜，那么就意味着该队最多只能输掉3-x场比赛。
因此，该队在剩下的三场比赛中至少要赢x场比赛的概率为：
P(x) = 0.4^x × 0.3^(3-x) × C(3,x) + 0.4^(x+1) ×
0.3^(2-x) × C(3,x+1) + 0.4^(x+2) × 0.3^(1-x) × C(3,x+2) + 0.4^(x+3) × 0.3^(-x) × C(3,x+3)
其中，C(3,x)表示从三场比赛中选择x场比赛获胜的组合数。
我们可以将P(x)列成一张表格，计算出每个x对应的概率。
最后，我们可以得到在这三场比赛中至少有一场比赛获胜的最小要求为2场比赛。
概率论期末试题及解析答案
概率论期末试题及解析答案1. 简答题（每题10分）1.1 什么是概率？概率是描述随机事件发生可能性的数值。
它可以用来衡量某一事件在多次重复试验中出现的频率。
1.2 什么是样本空间？样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
1.3 什么是事件？事件是样本空间中包含的一组可能结果的子集。
1.4 什么是互斥事件？互斥事件是指两个事件不能同时发生。
1.5 什么是独立事件？独立事件是指两个事件的发生与不发生互不影响。
2. 计算题（每题20分）2.1 设一枚硬币抛掷3次，计算至少出现两次正面的概率。
解析：样本空间：{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}至少出现两次正面的事件：{HHH, HHT, HTH, THH}概率 = 事件发生的次数 / 样本空间的次数 = 4 / 8 = 1/22.2 设A、B两个事件相互独立，且P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，计算P(A∪B)。
解析：由于A、B事件相互独立，所以P(A∩B) = P(A) * P(B) = 0.4 * 0.6 = 0.24P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0.4 + 0.6 - 0.24 = 0.763. 应用题（每题30分）3.1 甲乙两个备胎分别拥有10个和15个备用轮胎，轮胎坏掉时甲用2个备用轮胎的概率为0.2，乙用3个备用轮胎的概率为0.15。
现在从甲、乙两个备胎中随机挑选一个备用轮胎，请计算此备用轮胎坏掉的概率。
解析：设事件A为甲备胎的备用轮胎坏掉，事件B为乙备胎的备用轮胎坏掉。
P(A) = 0.2 * 10 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.2 * 10 / (2 + 2.25) ≈ 0.6667 P(B) = 0.15 * 15 / (0.2 * 10 + 0.15 * 15) = 0.15 * 15 / (2 + 2.25) ≈0.3333由于只能选择甲或乙中的一个备用轮胎，所以备用轮胎坏掉的概率为P(A) + P(B) ≈ 13.2 水果篮子中有5个橙子、3个苹果和2个香蕉，现从篮子中随机挑选两个水果，请计算挑选出的两个水果中至少有一个是橙子的概率。
概率论经典题目
解 由题意知 X 具有概率密度 1, 0 < x < 1, f X ( x) = 0, 其它. 对于任意给定的值 x (0 < x < 1), 在X = x的条件下 , Y 的条件概率密度为 1 , 0 < x < y < 1, fY X ( y x ) = 1 − x 0, 其它.
2 概率的定义
设 E 是随机试验 , S 是它的样本空间 .对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数 , 记为 P ( A) , 称为事 件 A 的概率 , 如果集合函数 P ( ⋅ ) 满足下列条件 :
(1) 非负性 : 对于每一个事件 A, 有 P ( A) ≥ 0; (2) 规范性 : 对于必然事件 S , 有 P ( S ) = 1;
x < 0, 0, 2 x , 0 ≤ x < 3, 12 即 F ( x) = x2 − 3 + 2 x − , 3 ≤ x < 4, 4 1, x ≥ 4.
7 7 ( 3) P {1 < X ≤ } = F ( ) −ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱF (1) = 41 . 2 2 48
8
因此 X 和 Y 的联合概率密度为 f ( x , y ) = fY X ( y x ) f X ( x )
1 , 0 < x < y < 1, = 1 − x 0, 其它. 故得 Y 的边缘概率密度
概率论试题及答案
概率论试题及答案概率论作为一门应用广泛的数学学科，研究随机事件的发生概率和规律。
下面将介绍几个概率论试题及它们的答案，帮助读者更好地理解概率论的基本概念和应用。
题目一：骰子问题问题描述：假设有一枚六面骰子，每个面上的数字分别为1、2、3、4、5、6。
现在连续掷骰子20次，求掷出奇数点数的次数大于偶数点数的概率是多少？解答：首先，观察到每次掷骰子的结果只可能是1、2、3、4、5、6这6个数字中的一个。
而奇数有3个（1、3、5），偶数也有3个（2、4、6）。
因此，每次掷骰子奇数点数的概率和偶数点数的概率是相等的，都为1/2。
那么，连续掷骰子20次，奇数点数的次数大于偶数点数的概率可以通过计算二项分布来求解。
记成功事件为掷出奇数点数的次数大于偶数点数的次数，成功的次数可能为11、12、 (20)根据二项分布的公式，可以计算每个可能成功次数对应的概率，并将这些概率相加，即可得到最终的概率。
题目二：抽奖问题问题描述：在一个抽奖活动中，共有100人参与抽奖，每人只能中奖1次。
现在有10个一等奖和20个二等奖，计算一个人中奖的概率。
解答：中奖的概率可以通过计算每个人中奖的概率，并将这些概率相加来求解。
首先，计算一个人中一等奖的概率。
一等奖有10个，参与抽奖的人有100个，因此，一个人中一等奖的概率为10/100=1/10。
接下来，计算一个人中二等奖的概率。
二等奖有20个，中奖概率为20/100=1/5。
最后，将中一等奖和中二等奖的概率相加，并得到一个人中奖的总概率为1/10+1/5=3/10=0.3。
题目三：扑克牌问题问题描述：从一副扑克牌中任意抽取5张牌，计算抽出来的牌中至少有一张是红桃的概率。
解答：从一副扑克牌中任意抽取5张牌，抽出来的牌中至少有一张是红桃可以通过计算该事件的对立事件的概率来求解。
设事件A为抽出来的牌中至少有一张是红桃，事件B为抽出来的牌中没有红桃。
首先，计算事件B的概率。
红桃有13张，而一副扑克牌有52张，所以剩下的非红桃牌有39张，抽出5张非红桃牌的概率为C(39,5)/C(52,5)。
概率论复习题
概率论简明教程 一．选择题1．设事件A 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，其对立事件为 D ．(A )“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B )“甲、乙两种产品均畅销”； (C ) “甲种产品滞销”； (D ) “甲种产品滞销或乙种产品畅销” .2．设A B ⊂，则下面正确的等式是 B .（A ）)(1)(A P AB P -=； （B ）)()()(A P B P A B P -=-； （C ）)()|(B P A B P =； （D ）)()|(A P B A P =3．设随机变量X 的分布律为 5,4,3,2,1,15/)(===k k k X P 。
则)5.25.0(<<X P 的值是 B .(A ) 6.0 ； (B ) 2.0 ；C ) 4.0 ； (D ) 8.0 ．4．设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则 B .)(A 2/1)0(=≤+Y X P ； )(B 2/1)1(=≤+Y X P ； )(C 2/1)0(=≤-Y X P ； )(D 2/1)1(=≤-Y X P .5. 设随机变量X 的密度函数为)(x f ，如果 A ，则恒有1)(0≤≤x f .(A ))1,0(~N X ； (B )),0(~2σN X ；(C )),1(~2σ-N X ； (D )),(~2σμN X .6. 设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<+=,)(0,)1(/1),(22他其y x y x f π则X 与Y 为 C 的随机变量.(A ) 独立同分布； (B ) 独立不同分布； (C ) 不独立同分布； (D ) 不独立不同分布.7. 设X 为随机变量，若1.1)(2=X E ，1.0)(=X D ，则一定有 B .(A )9.0)11(≥<<-X P ； (B )9.0)20(≥<<X P ； (C )9.0)11(<≥+X P ； (D )1.0)1(≤≥X P .8. 设A B ⊂，则下面正确的等式是 B 。
概率论考研题目及答案
概率论考研题目及答案题目一：概率论基本概念问题：某工厂生产的零件，合格率为0.95。
求：1. 随机抽取一个零件，它是合格品的概率。
2. 随机抽取两个零件，至少有一个是合格品的概率。
答案：1. 由于合格率为0.95，随机抽取一个零件是合格品的概率即为合格率，即 P(合格) = 0.95。
2. 抽取两个零件至少有一个是合格品的概率可以通过计算两个零件都不合格的概率，然后用1减去这个概率来得到。
两个零件都不合格的概率是 (1 - 0.95) * (1 - 0.95) = 0.0025。
因此，至少有一个是合格品的概率为 1 - 0.0025 = 0.9975。
题目二：条件概率问题：某地区有两家医院，A医院的产妇数量占70%，B医院占30%。
在A医院出生的婴儿中，男孩的比例是60%，在B医院出生的婴儿中，男孩的比例是70%。
现在随机选择了一个男孩，求这个男孩是在A医院出生的概率。
答案：设事件A为在A医院出生，事件B为在B医院出生，事件M为是男孩。
根据题意，我们有：- P(A) = 0.7- P(B) = 0.3- P(M|A) = 0.6- P(M|B) = 0.7使用全概率公式，我们可以计算出P(M)：\[ P(M) = P(A)P(M|A) + P(B)P(M|B) = 0.7 \times 0.6 + 0.3\times 0.7 = 0.63 \]现在我们要求的是P(A|M)，即在已知是男孩的条件下，这个男孩是在A医院出生的概率。
使用贝叶斯公式：\[ P(A|M) = \frac{P(M|A)P(A)}{P(M)} = \frac{0.6 \times0.7}{0.63} \approx 0.6985 \]题目三：随机变量及其分布问题：一个随机变量X服从参数为λ的泊松分布。
求：1. X的期望值和方差。
2. X=k的概率，其中k是一个给定的正整数。
答案：1. 泊松分布的期望值（E[X]）和方差（Var(X)）都等于参数λ。
概率实用题目
第一部分：概率论基本概念（包括随机试验、概率定义、独立性、全概率公式与贝叶斯公式、二项概率公式等内容）1.设Ω＝{1,2,…,10}，A ＝{2,3,4}，B={3，4，5}，C ＝{5，6，7}，具体写出下列各等式。
（1）A B （2）B A ⋃ （3）B A （4）BC A （5）)(C B A ⋃2．设A 、B 、C 表示三个随机事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来。
（1）A 发生，B 、C 不发生；（2）A 、B 都发生，而C 不发生；（3）所有三个事件都发生；（4）三个事件都不发生；（5）三个事件中恰有一个发生；（6）三个事件中至少有一个发生；（7）三个事件中至少有两个发生；（8）不多于一个事件发生。
3．抽查4件产品，设A 表示“至少有一件次品”，B 表示“次品不少于两件”，问A B 各表示件？4．甲乙两炮同时向一架飞机射击，已知甲炮击中的概率为0.6，乙炮击中的概率为0.5，甲乙两炮都击中的概率为0.3，求飞机被击中的概率是什么？5．从一付扑克牌中任取4张，求至少有一张A 的概率是多少？若从无大小王牌的52张中任取一张，求这一张恰是A 的概率是多少？6．为了减少比赛场次，把20个球队分成两组（每组10队）进行比赛，求①最强的两队被分在不同组内的概率？②分在相同组内的概率？7．房间内有4个人，问至少一个人的生日是12月份的概率是多少？至少两个人的生日是同一个月的概率是多少？8．有三个班级，每班在一个星期的六天中安排到某游泳池游泳一次，如果游泳日可以随机安排，求三个班在不同三天游泳的概率。
9．10个零件中有3个次品，7个合格品，从中任取一个不放回，求第三次才取得合格品的概率是多少？10．某城市的两家主要银行为争取城市居民存款储户展开竞争。
已知银行甲争取到20万户的可能性为0.6，银行乙争取到20万户的可能性为0.5，又知当银行乙争取到20万户时银行甲也争取到20万户的可能性为0.3，求（1）当银行甲争取到20万户时银行乙也争取到20万户的概率；（2）甲、乙银行同时争取到20万户的概率。
典型例题_概率论
第一部分 随机事件及其概率例 1 设A B C 、、为三个随机事件，试用A B C 、、表示下列事件。
1）“A B 与发生，而C 不发生”（表示为A B C ）； 2）“三个事件都发生”（表示为A B C ）； 3）“三个事件至少有一个发生”（表示为A B C⋃⋃）；4）“三个事件恰好有一个发生”（表示为A B C A B C A B C++）；5）“三个事件至少有两个发生”（表示为A B B C A C ⋃⋃或A B CA B C A B C A B C+++）6）“三个事件至多有两个发生”（表示为A B C 或A B C⋃⋃）。
例2 将n 只球随机地放入N （N ≥n ）个盒子中去，假定盒子装球容量不限, 试求1）每个盒子至多装一只球的概率，2）指定其中一个盒子装一只球的概率。
解： 设事件A =“N 个盒子中，每个盒子至多装一只球”，事件B=“指定其中一个盒子装一只球”。
1）一个球放入N 个盒子中的放法有N 种，n 个球放入N 个盒子中的放法有nN 种。
假设固定前n 个盒子各装一球，其分配方法有!n 种，从N 个盒子中任取n 个盒子各装一球，取法有nN C 种，所以，事件A 的样本点数为nNC !n ，即事件A 的概率为nn NNn CA P !)(=2）若指定一个盒子里装一只球，首先考虑球的取法有1nC 种，其次，剩余的1N-个盒子中，1n -只球的放法有1(1)n N --种，所以事件B 的样本点数为1n C 1(1)n N --，即事件B 的概率为11(1)()n n nC N P B N--=注：还可以将模型推广，如生日问题，求事件“n 个人中至少有两人的生日相同”的概率。
设想一年有365天，将“天”看成‘盒子’，n 个人好比‘n 只球’，考虑事件A 的对立事件A =“n 个人在一年中生日全不相同”，它等价于“n 个球装入365个盒子中各装一球”，由前面的计算知：nnn C A P 365!)(365=，所以nnn C A P 365!1)(365-=。
概率论与数理统计考核试卷
1. ______
2. ______
3. ______
4. ______
5. ______
6. ______
7. ______
8. ______
9. ______
10. ______
11. ______
12. ______
13. ______
14. ______
15. ______
9. ABC
10. ABC
11. ABC
12. BD
13. AC
14. ABC
15. ABCD
16. ABC
17. AB
18. AD
19. ABCD
20. ABC
三、填空题
1. [0, 1]
2. ∫f(x)dx = 1
3.均方根
4. t检验
5.完全正相关
6.样本量
7. χ²分布
8.拒绝了正确的原假设
C.数据存在异常值
D. A、B和C
20.以下哪些是时间序列分析中常用的统计方法？（）
A.移动平均
B.指数平滑
C.自相关函数
D. A、B和C
（以下为答题纸）：
考生姓名：答题日期：得分：判卷人：
二、多选题（20×1.5分）
1. ______
2. ______
3. ______
4. ______
5. ______
16.以下哪个选项描述的是相关系数的性质？（）
A.相关系数的取值范围为-1到1
B.相关系数表示两个随机变量之间的线性关系
C.相关系数可以为负值，表示负相关
D. A、B和C都是
17.在回归分析中，以下哪个选项表示解释变量与被解释变量之间的关系？（）
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概率论感觉测试（答案）1. 假设考试周为1个礼拜（周一到周日），且考试时间为均匀分布，假使你有3门考试，则最后一门考试大约在A 周五B 周六C 周日Answer: B. 一般的讲在[0,1]之间n个均匀分布的随机变量最大值期望为n/(n+1),也就是可以认为这n 个随机变量分别大约在1/(n+1),2/(n+1),...,n(n+1)。
这道题那么算一下大概就是在周六的上午。
2. 如果你去参与一项赌博，每次的回报为正态分布，假设你赌了100把发现赢了10000块（明显是很小概率事件，但假设确实发生了），那么你觉得你最有可能是因为A 有一把赢了巨多B 一直在慢慢的赢C 两种情况都有可能Answer: B. 也许答案对很多人有些出乎意料。
在这种情况下，可能有人觉得能够连续赢很多把很难，但是实际上赢一把大的更难。
这个问题是随机问题中的长尾和短尾的问题。
长尾的意思就是取大的值的概率不是很小，而短尾正好相反。
但是题目中的正态分布属于短尾，因为密度函数是指数下降的，如果稍微改一下题目中的分布，则有可能是因为一次赢了很大而最后赢的。
另外说一句，有一本书叫《长尾理论》，里面说明了现在的经济中有很多东西是长尾的，比如说一年销量排在100000名之后的歌曲仍然能占据市场的一部分。
这是电子商务流行的很重要原因，因为不必支付储存这个长尾的cost。
3. 有一根密度不均匀的绳子，你想通过测量多点的密度来估计他的重量（你知道截面积）。
则如果给你n 次测量密度的机会的话，如果n很大，（估算质量就通过这些点取平均然后乘以截面积）A 按规律等间隔选取测量点会测得准些B 随机选取测量点会测得准些C 两种方法差不多Answer: A. 也许这个也略有些意外。
对于一维的情况，方法A略好于方法B。
但是在高维的情况下方法A就一般情况下不如方法B了，原因是要想获得相同的效果，这个“有规律的点”需要选取太多。
这是所谓的Quasi-Monte Carlo Sampling 和Monte Carlo Sampling之间的关系4. 台湾大选，假定马英九最终得到600000票，谢长廷得到400000票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为A 0.1B 0.2C 0.3D 0.4Answer: B. 直觉上讲这个概率并不会太大，而且尤其是在前面几张的时候多少会出现一些反复。
实际上这个结果跟一共多少人投票没什么关系，如果得票比例为a:b(a>b),则这个概率为(a-b)/(a+b)。
5. 你拿10块钱去赌场赌大小，你有两种玩法，一种是每次赌10块，一种每次赌1块，你决定都是输光或者赢到100块就走，则A 两种方法输光的概率一样B 第一种输光的概率较大C 第二种输光的概率较大Answer: A. 不管什么赌法都不会改变这个概率。
我认为这是随机过程中一个比较简单但是很有意义的结论，意思就是说you can't beat the system。
这件事情说明了对于像股市，赌博这种系统，如果你假设了随机性，则其实怎么操作结果都是一样的。
因此重要的在于发掘其中的非随机性。
另外，到100的概率很容易计算，因为初始值是10，假设到100的概率为p，则有100p*0(1-p)=10，也即p=0.16. 100个球随机的放在100个箱子里，最后空箱子的数量大约是A. 0-0.1B. 0.1-0.2C. 0.2-0.3D. 0.3-0.4Answer: D.这个题可以用简单的概率论计算。
结论是不管多少个球，c*n个球放到n个箱子里，最后空箱子的个数约为e^-c，现在的情况是箱子数和球数一样多，那么就约为e^-1.7、打10000副拱猪，总共持有9500-10500个A的概率大约在A. 80%-90%B. 90%-95%C. 95%-99%D. 99%以上Answer: D. 这个可以用中心极限定理计算。
事实上这个题也不需要计算，只是要考察大家的一个感觉，实际上这个概率大于0.99...9，一共有9个9，尽管有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。
只是我们不注意我们抓好牌的时候罢了。
8. 有以下几个国家，每个国家有自己的习俗。
问哪个国家长期以后男人最多A. 每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男孩为止B. 每个家庭不断的生孩子直到得到第一个女孩为止C. 每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止D. 以上几个国家最后男女比例基本一样Answer: D. 我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。
用概率的方法可以得到不管哪个方法都是1:1。
事实上，我们只是把一个很长的男女的序列按照不同的方式来截断。
当然这个序列本上包含多少男女是不变的。
我每次都愿意以另外一个例子来说明，那就是如果我们在网上下棋，可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或是有输有赢为止，显然不管怎样，因为你的实力是恒定的，你永远都是你本来应有的胜率。
9. 实验室测试灯泡的寿命。
在灯泡坏的时候立刻换新灯泡。
灯泡寿命约为1小时。
考察10000小时时亮着的那个灯泡A. 那个灯泡的寿命期望也约为1小时B. 那个灯泡的寿命期望约为其他灯泡的2倍C. 那个灯泡的期望寿命约为其他灯泡的1/2D. 以上说法都不对Answer: B. 这个题可能稍难。
如果具体的算需要一点本科高年级的知识。
不过我们仍然可以从直觉得到结果。
事实上，当每个灯泡或是我们观测的事物的生命是随机的时候。
在时间足够久以后的一点，那个事物的寿命要长于这个事物本身平均的寿命。
因为正是因为它寿命长导致我们容易观测到。
简单的说，如果灯泡有两种，一种只能坚持1小时，一种能坚持100小时，那我们在后面观测到的99%都可能是100小时那个。
所以观测到的平均寿命较长。
通常我们认为灯泡的寿命是指数分布的，在这个情况下，答案是2倍。
对于一般的分布，甚至有可能平均寿命有限，而观测的那个寿命期望是无限的。
这个问题在美国一次监狱调查中被发现，即被调查的囚犯的平均判刑年数要远大于全美平均判刑的年数10. 如果一个群体里，每个个体以0.2的概率没有后代，0.6的概率有1个后代，0.2的概率有两个后代，则A. 这个群体最后会灭绝B. 这个群体最后将稳定在一个分布，即种群大小在一定范围内震荡C. 这个群体最后将爆炸，人口将到无穷D. 不一定会发生什么Answer: A. 这是个简单的人口模型。
这个可能直觉比较困难，但是这个实际上和后面的一道题道理是一样的。
注意到每一代的期望总是1。
因此根据上次的答案，这个群体最后会灭绝。
对于这种模型，当每一代的期望小于等于1时，最后的结果都是会灭绝。
对于期望大于1的情况，我们也可以很简单的通过解方程得到灭绝的概率。
11. 给一个1-n的排列，与原来位置相同的数字的个数的期望大约是（如n=5 则51324 与原来位置只有3是相同的）A. 1B. log nC. ln nAnswer: A. 这个题要去算有几个相同的概率是比较难的，不过实际上有一个很简单的方法。
在第1个位置，这个排列的第1个数字为1的概率为1/n，而期望是可加的，所以总共与原来位置相同的数字的个数的期望应该是1。
也就是说不管是多少的数字，平均总是有一个数与顺序是相同的。
这个题会非常经常出现在考试和习题中。
12. 如果有3个门，有一个背后有大奖。
你选中一个，主持人知道哪个门后面有奖，并且总会打开另外两个中的某个没奖的。
现在你有一次换得机会，你应该A. 换B. 不换C. 换不换都一样Answer: A. 这个是网上非常经典的一个问题了。
不换正确的概率是1/3，换正确得概率是2/3。
我比较喜欢这样去想，试想一下如果有100个门，你先选定1个，然后主持人打开98个空的，然后给你机会换不换。
我想如果这样，你不难做出正确的选择。
13. 以下那件事情发生的期望时间最短A. 在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次回到原点的时间B. 一只猴子，每秒种随便按键盘上的一个键，第一次打出"Beijing WelcomesYou"的时间C. 在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次到达1的时间Answer: B. A和C两个事件发生的时间的期望都是+inf. 只有B是有限的。
A和C说明了等概率的赌博不可能赢钱（如果C是有限的则参加赌大小的游戏总能赢钱了）。
而B说明的是另外一条概率上的定理,"What always stands a reasonable chance of happening will almost surely happen, sooner rather than later",也就是说从任何时刻开始，总有一个固定的概率发生的事情(比如一个猴子打出beijing welcomes you, 这个概率可能是1/26^20左右)，不过这个概率是多少，这件事情早晚能发生。
14, 美国的25分硬币共有50种，上面有50个州的图案，如果我们每次得到的硬币是随机的，则大约收集多少可以收集全A. 200B. 300C. 400D. 500Answer: A. 这是所谓的收集硬币问题。
具体解法不是很容易。
不过结论是要收集齐n种硬币，需要大约nlogn个。
大约思路是收集第k个时候需要大约n/(n-k)次。
平时我们收集一些食品里的卡片，也都遵循这个规律，不过多数时候每种卡片的数量都是很不同的。
还记得小时候可乐里收集到苹果加蜡烛可以得到到头等奖，不过最后也没收集到任何一个苹果。
15. 假设有1000次100m短跑大赛，每次比赛的冠军成绩都在9.7-10之间均匀分布，问期望有多少次比赛比赛能够破纪录A. 7B. 10C. 15D. 32Answer: A. 这是所谓的破纪录问题。
假设均匀分布,则最后n次比赛之后这n个成绩形成一个排列。
第k 次创纪录的概率是这个排列中第k个在前k-1个之前的概率，也即1/k，所以n次比赛大约有1+1/2+1/3+...1/n次破纪录，也即约为logn次。
16. 在打桥牌的时候，如果你和对家共持有某门花色的9张牌，则剩余的4张牌怎样分布的概率最大A. 2-2B. 3-1C. 4-0Answer: B. 可以简单计算得到这个结果。
3-1的概率应该是50%。
2-2的概率是37.5%。
4-0的概率是12.5%。
但是如果有奇数张，则最平均的就是最可能的17. 如果一个物体在3维随机游动，也即每一刻他可以向左，右，上，下，前，后等概率的走，长久来看，则会发生什么情况A. 此物体无穷多次回到原点B. 此物体无穷多次回到任何一条坐标轴上，但不会无穷多次回到原点C. 此物体不会无穷多次回到任何一条坐标轴上Answer: B. 1维和2维的随机游动是常返的，也就是说会无穷多次回到起点（尽管回来的平均时间不是有限的），而3维以上的随机游动是非常返的。