2020年高考数学必考知识技能21解题模板
2020年高考数学一卷21题解答赏析
2020年高考数学一卷21题解答赏析
21.（12分）
方法一：在《高考数学核心题型与解题技巧》一书中，有题型总结：利用两个课本中的不等式解答高考试题，通过例题，学习的重点是利用这两个不等式进行放缩，去解决证明求参问题。
利用解答这类不等式的经验和技巧，下面的解答思路水到渠成！
现已将该方法总结到书中；
方法二：在《高考数学核心题型与解题技巧》一书中，有题型总结：利用公切线确定参数范围。
掌握了该种题型的解答策略，由我们总结的模板，本题可以使用公切线法确定参数范围！
现已将该方法总结到书中；两种解法无论从思路还是运算量都可谓是简短容易。
方法三：在《高考数学核心题型与解题技巧》一书中，有题型总结：反函数问题，对课本中比较边角的知识点反函数性质的应用列举了比较深刻的三个例题，如果使用该题型模式解答本题，就更漂亮了：
现已将该方法总结到书中；我们看这三个方法无论哪一个都具有优势，都可以实现问题的快速解答。
方法四：在《高考数学核心题型与解题技巧》一书中，有题型总结：利用同构秒杀高考试题魅力无限，阐述了同构的解题思路，有函数题，有导数题，有解析几何题，是比较系统的一个专题，利用同构思想获得该题的秒解：
下面是资料的部分截图：
2020年，整个试卷可以说对于难点部分题型全部出现，小题中很多可以实现光速解法。
我们从来不去离开基础追求“秒杀”，我们的实力来自对学生的了解，对考试大纲的深度理解核和对高考命题规律的准确把握！
对于该四种解法都体现了方法上的优势，漂亮！。
2020年高考数学答题实用技巧大汇总
2020年高考数学答题实用技巧大汇总1、解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2、因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3、配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：高中数学21种解题方法与技巧4、换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5、待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写6、复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0 两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0 两种情况为且型7、数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8、化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9、观察法10、代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法（和积代入法）注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
11、解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
解含参方程一般要用‘分类讨论法’，其原则是：(1)按照类型求解(2)根据需要讨论(3)分类写出结论12、恒相等成立的有用条件(1)ax+b=0对于任意x都成立关于x的方程ax+b=0有无数个解a=0且b=0。
2020年高考数学答题模板
高考数学解答题常考公式及答题模板（文理通用）题型一：解三角形1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径） 变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 4、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan = 8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-= ③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。
2020高考冲刺方法高中数学21种解题方法与技巧
2020高考冲刺方法：高中数学21种解题方法与技巧向学霸进军整理2020高考冲刺方法之高中数学21种解题方法与技巧，和大家分享，为您的高考助一臂之力。
1解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法:根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
配方法的主要根据有：4换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元→换元→解元→还元5待定系数法待定系数法是在已知对象形式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写6复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(-----)(----)=0 两种情况为或型②配成平方型：(----)2+(----)2=0 两种情况为且型7数学中两个最伟大的解题思路(1)求值的思路列欲求值字母的方程或方程组(2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组8化简二次根式基本思路是：把√m化成完全平方式。
即：9观察法10代数式求值方法有：(1)直接代入法(2)化简代入法(3)适当变形法（和积代入法）注意：当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积”的形式，从而用“和积代入法”求值。
11解含参方程方程中除过未知数以外，含有的其它字母叫参数，这种方程叫含参方程。
2020年高考数学答题模板
2020年高考数学答题模板-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学解答题常考公式及答题模板（文理通用）题型一：解三角形 1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径） 变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆4⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5，即π=++C B A 6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan = 8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-=③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2b a ab +≤),(+∈R b a②22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。
2020年高考数学答题步骤模板
6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
sin( A B) sin C
cos( A B) cos C
利用以上关系和诱导公式可得公式： sin( A C) sin B 和 cos( A C) cos B
sin(B C) sin A
cos(B C) cos A
奇： 的奇数倍 2
高考数学解答题常考公式及答题模板
（文理通用）
题型一：解三角形
1、正弦定理： a b c 2R （ R 是 ABC 外接圆的半径） sin A sin B sin C
a 2R sin A 变式①： b 2R sin B
c 2R sin C
sin
A
a 2R
变式②：
sin
B
b 2R
sin C
Sn
a1 2, a2 a4 8
an a1 (n 1)d
a2 a4 (a1 d ) (a1 3d ) 2a1 4d 8
a1 2d 4 d 1
an a1 (n 1)d n 1
a3 am
a1 3d 4 a1 (m 1)d
m
1
a1, a3 , am
9、基本不等式：① ab a b (a,b R ) 2
② ab a b 2 (a,b R ) 2
③ ab a2 b2 (a, b R) 2
注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求 ABC 面积的最大值时。
说明：颜色加深的是重点记忆的公式哦！
第 1 页 共 33 页
②若已知
an 1 an
q 和 a1
a ，则用等比数列通项公式 an
a1q n1
（2） an 与 Sn 的关系： an
S1 Sn
2020年新高考全国Ⅰ卷(山东卷)数学第21题解法研究——同构放缩携起手导数不等式难题不再有
２０２０年新高考全国Ⅰ卷(山东卷)数学第２１题解法研究同构放缩携起手导数不等式难题不再有高振宁(山东省新泰市第一中学㊀２７１２００)摘㊀要:本文通过对２０２０年高考数学山东卷第２１题解法的探研ꎬ从命题人的角度来反思问题解决的方法ꎬ发现放缩法㊁隐零点法㊁同构法放缩法㊁分而治之法之间的联系与区别ꎬ得出导数解决高考数学中函数与导数压轴题的基本途径ꎬ旨在高中导数与函数复习中提高实效.关键词:导数与单调性ꎻ同构与放缩ꎻ分而治之ꎻ隐零点中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００２６－０２收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:高振宁(１９８３.４－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀原题再现㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ.(１)当ａ＝ｅ时ꎬ求曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在点(１ꎬｆ(１))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积ꎻ(２)若ｆ(ｘ)ȡ１ꎬ求ａ的取值范围.解㊀(１)略.(２)方法一(隐零点法):由ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１－１ｘꎬ显然ａ>０.设ｇ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ａｅｘ－１＋１ｘ２>０ꎬ所以ｇ(ｘ)在０ꎬ＋¥()上单调递增ꎬ即ｆᶄ(ｘ)在０ꎬ＋¥()上单调递增.当ａ＝１时ꎬｆᶄ(１)＝０ꎬ当ｘɪ(０ꎬ１)ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)在０ꎬ１()上是减函数ꎻｘɪ(１ꎬ＋¥)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)上是增函数.ʑｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｆ(１)＝１ꎬ故ｆｘ()ȡ１恒成立.当ａ>１时ꎬ１ａ<１ꎬ所以ｅ－１<１ꎬｆᶄ(１ａ)ｆᶄ(１)＝ａ(ｅ－１－１)(ａ－１)<０ꎬ故存在唯一ｘ０>０ꎬ使得ｆᶄ(ｘ０)＝ａｅｘ－１－１ｘ０＝０ꎬ且当ｘɪ(０ꎬｘ０)时ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ当ｘɪ(ｘ０ꎬ＋¥)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ａｅｘ－１＝１ｘ０ꎬ即ｌｎａ＋ｘ０－１＝－ｌｎｘ０.因此ｆ(ｘ)ｍｉｎ＝ｆ(ｘ０)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ０＋ｌｎａ＝１ｘ０＋ｌｎａ＋ｘ０－１＋ｌｎａȡ２ｌｎａ－１＋２１ｘ０ｘ０＝２ｌｎａ＋１>１ꎬ所以ｆ(ｘ)ȡ１恒成立.当０<ａ<１时ꎬｆ(１)＝ａ＋ｌｎａ<ａ<１ꎬʑｆ(１)<１ꎬｆ(ｘ)ȡ１不恒成立.综上所述ꎬ实数ａ的取值范围是[１ꎬ＋ɕ).方法二(放缩法):当０<ａ<１时ꎬｆ(１)＝ａ＋ｌｎａ<１.当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｌｎｘꎬｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１－１ｘꎬ显然ｆᶄ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上是增函数.当ｘɪ(０ꎬ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ１)上是减函数ꎻｘɪ(１ꎬ＋¥)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｆ(ｘ)在(１ꎬ＋¥)上是增函数.所以ｆ(ｘ)最小值＝ｆ(１)＝１ꎬ从而ｆ(ｘ)ȡ１恒成立ꎬ当ａ>１时ꎬｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡｅｘ－１－ｌｎｘꎬ由ａ＝１的结论可知ｆ(ｘ)＝ｅｘ－１－ｌｎｘȡ１恒成立.综上可知:ａ的取值范围是１ꎬ＋¥[).方法三(同构函数ｙ＝ｅｘ＋ｘ):显然ａ>０ꎬａ＝ｅｌｎａꎬ则ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａ＝ｅｌｎａ＋ｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１ꎬ等价于ｅｌｎａ＋ｘ－１＋ｌｎａ＋ｘ－１ȡｌｎｘ＋ｘ＝ｅｌｎｘ＋ｌｎｘ.令ｇｘ()＝ｅｘ＋ｘꎬ上述不等式等价于ｇ(ｌｎａ＋ｘ－１)ȡｇ(ｌｎｘ).显然ｇ(ｘ)为Ｒ上的单调增函数ꎬ故ｌｎａ＋ｘ－１ȡｌｎｘꎬ即ｌｎａȡｌｎｘ－ｘ＋１.令ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ｘ＋１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝１ｘ－１＝１－ｘｘꎬ在(０ꎬ１)上ｈᶄ(ｘ)>０ꎬｈ(ｘ)是增函数ꎻ在(１ꎬ＋¥)上ｈᶄ(ｘ)<０ꎬｈ(ｘ)是减函数.ʑｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(１)＝０ꎬ则ｌｎａȡ０ꎬ即ａȡ１ꎬ即ａ的取值范围是[１ꎬ＋ɕ).方法四(同构函数ｙ＝ｘｅｘ):因ｆ(１)＝ａ＋ｌｎａȡ１ꎬ设ｇ(ａ)＝ａ＋ｌｎａꎬ显然ｙ＝ｇ(ａ)在区间０ꎬ＋¥()上是增函数ꎬｇ(ａ)ȡｇ(１)＝１ꎬ故ａȡ１.ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１ꎬ得ａｅｘ－１ȡｌｎｅｘａ⇔ｅｘȡｅａｌｎｅｘａ⇔ｘｅｘȡｅｘａｌｎｅｘａ.显然ｘ>０ꎬｅｘａ＝ｅｌｎ(ｅ/ａ)ꎬ则原不等６２式等价于ｘｅｘȡｌｎｅｘａｅｌｎ(ｅ/ａ).设ｇ(ｘ)＝ｘｅｘꎬ显然ｇ(ｘ)在０ꎬ＋¥()上是增函数ꎬ则上述不等式等价于ｇ(ｘ)ȡｇ(ｌｎｅｘａ).当ｌｎｅｘａ<０时ｇ(ｘ)>０ꎬｇ(ｌｎｅｘａ)<０ꎬ显然ｇ(ｘ)ȡｇ(ｌｎｅｘａ)成立ꎻ当ｌｎｅｘａ>０时ꎬ原不等式等价于ｘȡｌｎｅｘａꎬ由于ｅｘȡ１＋ｘꎬ且ａȡ１则可得ｅｘ－１ȡｘȡｘａꎬ故ａ的取值范围是１ꎬ＋¥[).方法五(同构函数ｙ＝ｘｌｎｘ):同方法四可得ｘｅｘȡｅｘａｌｎｅｘａꎬ即ｅｘｌｎｅｘȡｅｘａｌｎｅｘａ.设ｇ(ｘ)＝ｘｌｎｘꎬ则上述不等式等价于ｇ(ｅｘ)ȡｇ(ｅｘａ).ｇᶄ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ꎬｇ(ｘ)在０ꎬ１ｅæèçöø÷上是减函数ꎬ在(１ｅꎬ＋¥)上是增函数.当ｅｘａ<１时ꎬｇ(ｅｘ)>０ꎬ而ｇ(ｅｘａ)<０ꎬ显然有ｇ(ｅｘ)ȡｇ(ｅｘａ)成立ꎻ当ｅｘａȡ１>１ｅ时ꎬ不等式ｇ(ｅｘ)ȡｇ(ｅｘａ)⇔ｅｘȡｅｘａ⇔ｅｘ－１ȡｘａ.以下同方法四.方法六(分而治之法):ｆ(ｘ)＝ａｅｘ－１－ｌｎｘ＋ｌｎａȡ１⇔ａｅｘ－１ȡｌｎｅｘａ⇔ａｅｘｅȡｌｎｅｘａ⇔ａｅˑｅｘｘȡｌｎｅｘａｅｘａˑｅａ.ａｅˑ(ｅｘｘ)ｍｉｎȡ(ｌｎｅｘａｅｘａ)ｍａｘˑｅａ.设ｇ(ｘ)＝ｅｘｘꎬｘ>０ꎬｇᶄ(ｘ)＝(ｘ－１)ｅｘｘ２ꎬ易知ｇ(ｘ)＝ｅｘｘ在０ꎬ１()上是减函数ꎬ在１ꎬ＋¥()上是增函数ꎬ故ｇ(ｘ)ｍｉｎ＝ｇ(１)＝ｅ.设ｈ(ｘ)＝ｌｎｘｘ(ｘ>０)ꎬｈᶄ(ｘ)＝１－ｌｎｘｘ２ꎬ易知ｈ(ｘ)＝ｌｎｘｘ在(０ꎬｅ)上是增函数ꎬ在(ｅꎬ＋¥)上是减函数ꎬ故ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(ｅ)＝１ｅꎬ则知(ｌｎｅｘａｅｘａ)ｍａｘ＝１ｅꎬ则ａȡ１ａꎬ故ａ的取值范围是１ꎬ＋¥[).从解决问题方法的角度看ꎬ隐零点法是解决问题的一般性通法ꎬ但是此种方法需要强大的计算能力作为基础ꎬ特别是在利用ａｅｘ－１＝１ｘ０进行代换得到ｌｎａ＋ｘ０－１＝－ｌｎｘ０的这种思路ꎬ应该作为一种基本的解决导数不等式压轴题的基本思路进行培养.放缩法是山东省教育招生考试院给出的官方答案ꎬ此种办法的优点是ꎬ计算量不是大ꎬ借助分类讨论思想ꎬ利用特殊点明确参数的范围进而证明此范围符合题意ꎬ但是在实际的教学中ꎬ新教材已经把分析法和综合法等不等式证明方法删除ꎬ学生证明不等式能力较弱的情况下掌握放缩法不易ꎬ这就需要教师在教学中渗透不等式的证明方法.为了突破这个教学难点ꎬ笔者认为可以利用具体的证明方法ꎬ而不用过多的纠缠这种方法的具体含义和要求ꎬ比方说把 执果索因 给学生讲解成 把结论等价变形成能解决问题的形式 ꎬ在教学的实践中怎么充实这一点ꎬ还需要不断的在实际中摸索与探究.方法三㊁四㊁五可以归结成同构法ꎬ同构法的本质是构造目标函数ꎬ借助目标函数单调性把复杂函数简单化递减ꎬ比方说若Ｆ(ｘ)ȡ０能等价变形为Ｆ(ｆ(ｘ))ȡＦ(ｇ(ｘ))ꎬ若Ｆ(ｘ)递增ꎬ则问题转化为ｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)ꎬ若Ｆ(ｘ)递减ꎬ则问题转化为ｆ(ｘ)ɤｇ(ｘ).此类方法的关键是构造目标函数ꎬ高考压轴题中的构造常见形式可分为两类:(１)ａｅａɤｂｌｎｂ可以同构ａｅａɤｌｎｂｅｌｎｂꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｘｅｘ解决ꎬ也可以同构ｅａｌｎｅａɤｂｌｎｂꎬ借助ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘ解决ꎬ更可以同构为ｌｎａ＋ａɤｌｎｂ＋ｌｎ(ｌｎｂ)ꎬ借助ｆ(ｘ)＝ｘ＋ｌｎｘ解决.(２)ｅａａɤｂｌｎｂ可以同构ｅａａɤｅｌｎｂｌｎｂꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｅｘｘ解决ꎬ也可以同构为ｅａｌｎｅａɤｂｌｎｂꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘ解决ꎬ更可以同构ａ－ｌｎａɤｌｎｂ－ｌｎ(ｌｎｂ)ꎬ借助函数ｆ(ｘ)＝ｘ－ｌｎｘ解决.当然ꎬ用同构法解题ꎬ除了要有同构法的思想意识外ꎬ对观察能力㊁对代数式的变形能力的要求也是比较高的.但是笔者认为ꎬ利用同构法可以最接近命题者的原始创作方向ꎬ此题目设计思路的开始点应该是ｅｘȡｅｘａ.正所谓ꎬ同构新天地ꎬ放缩大舞台!方法六属于解决问题的巧妙方法ꎬ不属于通性解法ꎬ一般情况下ｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)不等价于ｆ(ｘ)ｍｉｎȡｇ(ｘ)ｍａｘꎬ但是对于极个别的问题ꎬ利用上分而治之的方法ꎬ会极大地降低运算程度ꎬ但是构造不等式两侧的目标函数有一定的技巧性ꎬ学生不易掌握.㊀㊀参考文献:[１]陈永清.轻松快捷巧记高中数学知识与解题方法[Ｍ].长沙:湖南师范大学出版社ꎬ２０２０:４２－４７.[责任编辑:李㊀璟]７２。
2020高考数学答题技巧集锦汇总完整版
2020高考数学答题技巧集锦汇总完整版1、三角变换与三角函数的性质问题①解题路线图不同角化同角。
降幂扩角。
化f(x)=Asin(ωx+φ)+h。
结合性质求解。
②构建答题模板化简：三角函数式的化简，一般化成y=Asin(ωx+φ)+h的形式，即化为“一角、一次、一函数”的形式。
整体代换：将ωx+φ看作一个整体，利用y=sin x，y=cos x的性质确定条件。
求解：利用ωx+φ的范围求条件解得函数y=Asin(ωx+φ)+h的性质，写出结果。
反思：反思回顾，查看关键点，易错点，对结果进行估算，检查规范性。
2、解三角函数问题①解题路线图化简变形;用余弦定理转化为边的关系;变形证明。
用余弦定理表示角;用基本不等式求范围;确定角的取值范围。
②构建答题模板定条件：即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向。
定工具：即根据条件和所求，合理选择转化的工具，实施边角之间的互化。
求结果。
再反思：在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系;二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形。
3、数列的通项、求和问题①解题路线图先求某一项，或者找到数列的关系式。
求通项公式。
求数列和通式。
②构建答题模板找递推：根据已知条件确定数列相邻两项之间的关系，即找数列的递推公式。
求通项：根据数列递推公式转化为等差或等比数列求通项公式，或利用累加法或累乘法求通项公式。
定方法：根据数列表达式的结构特征确定求和方法(如公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法等)。
写步骤：规范写出求和步骤。
再反思：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范。
4、利用空间向量求角问题①解题路线图建立坐标系，并用坐标来表示向量。
空间向量的坐标运算。
用向量工具求空间的角和距离。
②构建答题模板找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线。
写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标。
求向量：求直线的方向向量或平面的法向量。
高考数学21题知识点
高考数学21题知识点数学，作为一门理科学科，是被广大学生所关注和重视的科目之一。
高考中的数学部分，涵盖了广泛的知识点和技巧，需要学生们在短时间内进行全面的掌握和应用。
在本文中，将会针对高考数学试题中的21个知识点进行细致的分析和解读。
1. 函数与方程在高考数学试题中，关于函数与方程的考点经常出现。
学生们需要熟悉一元一次方程、一元一次不等式、二次函数、指数函数、对数函数等基本概念和性质，并能够运用基本图像和变量的变化规律进行解题。
2. 平面几何平面几何是高考中一个比较重要的知识点，涉及了直线、圆、三角形、四边形等图形的性质和计算方法。
学生们需要了解点和直线的位置关系、圆的切线和切点、三角形的面积和角平分线等内容，同时要掌握平面几何的证明方法和思路。
3. 空间几何与平面几何类似，空间几何也是高考数学试题中的一大考点。
学生们需要熟悉直线和平面的位置关系、直线与平面的交点、空间图形的投影等内容，并能够灵活运用这些知识进行解题。
4. 数据与统计高考数学试题中的数据与统计内容主要涉及数据的收集、统计量的计算以及图表的分析。
学生们需要掌握数据的整理和处理方法，掌握平均数、中位数、众数等统计量的计算方法，并能够根据所给的图表进行数据的分析和推理。
5. 概率概率是高考数学试题中的一大考点，与数据与统计有一定的联系。
学生们需要了解事件与概率的关系、概率的计算方法以及概率模型的应用等内容，并能够根据条件概率、排列组合等知识进行问题的求解。
6. 数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高考数学试题中的重要考点之一。
学生们需要熟悉等差数列、等比数列的性质和求和公式，了解数列的递推关系和通项公式的推导，并能够通过数学归纳法解决与数列有关的问题。
7. 排列与组合排列与组合是高考数学试题中的一道经典题型，涉及了数学中的全排列、全组合、二项式定理等知识。
学生们需要熟悉排列组合的基本概念和性质，并能够运用这些知识解决相关的问题。
8. 图论图论是高考数学试题中的一道较为复杂的考点，需要学生们对图的基本概念和性质有一定的了解，并能够根据题目提供的信息进行图的分析和建模，进而解决问题。
对2020年高考山东卷第21题的探究
对2020年高考山东卷第21题的探究
2020年高考山东卷第21题是一道关于数学的问题，题目是“已知函数f(x)=3ax2-2bx+c，且f(1)=
3，求a,b,c的值”。
这是一道典型的方程求解题，可以通过推导及规律性分析来求解。
首先，我们将函数f(x)替换为f(1)和f(2)，得到：
f(1)=3a1-2b+c=1
f(2)=3a2-2b+c=3
令f(1)=1和f(2)=
3，则有：3a1-2b+c=1
3a2-2b+c=3
由此可得：3a1-3a2=2
即3a=2
因此a=2/3；将a=2/3代入f(1)=
1，得：f(1)=3×2/3-2b+c=1
即2-2b+c=1
令2-2b+c=
1，得：b=1
将b=1代入f(1)=
1，得：f(1)=3×2/3-2×1+c=1
即2/3+c=1
令2/3+c=
1，得：c=2/3
由以上推导可得：a=2/
3，b=
1，c=2/3
因此，已知函数f(x)=3ax2-2bx+c，且f(1)= 1，f(2)=
3，a,b,c的值分别为a=2/
3，b=
1，c=2/
3。
通过解答这道题，我们不仅研究了如何求解类似题型，也研究了如何通过推导及规律性分析来解决问题。
在解决问题的过程中，我们要学会不断思考，观察出问题的规律，并利用数学规律来解决问题，这是很重要的能力。
只有掌握了数学知识，有效地分析和解决问题，我们才能得出正确的结论。
2020年高考数学各大题型答题模板
2020年高考数学各大题型答题模板【选择题十大万能解题方法】1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。
3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。
4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，经过简单的推理或计算，从而得出答案的方法。
数形结合的好处就是直观，甚至可以用量角尺直接量出结果来。
5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，寻找规律，从而归纳出正确答案的方法。
6.顺推破解法：利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直接演算推理得出结果的方法。
7.逆推验证法(代答案入题干验证法)：将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。
8.正难则反法：从题的正面解决比较难时，可从选择支出发逐步逆推找出符合条件的结论，或从反面出发得出结论。
9.特征分析法：对题设和选择支的特点进行分析，发现规律，归纳得出正确判断的方法。
10.估值选择法：有些问题，由于题目条件限制，无法(或没有必要)进行精准的运算和判断，此时只能借助估算，通过观察、分析、比较、推算，从面得出正确判断的方法。
【填空题四大速解方法】直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法。
【解答题答题模板】专题一、三角变换与三角函数的性质问题1、解题路线图①不同角化同角②降幂扩角③化f(x)=Asin(ωx+φ)+h④结合性质求解。
2020年高考数学答题模板
高考数学解答题常考公式及答题模板（文理通用）题型一：解三角形1、正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （R 是ABC ∆外接圆的半径） 变式①：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 变式②：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===Rc C R bB R a A 2sin 2sin 2sin 变式③：C B A c b a sin :sin :sin ::=2、余弦定理：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+==+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222 变式：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=ab c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222223、面积公式：A bc B ac C ab S ABCsin 21sin 21sin 21===∆ 4、射影定理：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=A b B a c A c C a b Bc C b a cos cos cos cos cos cos （少用，可以不记哦^o^）5、三角形的内角和等于 180，即π=++C B A6、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限利用以上关系和诱导公式可得公式：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+A C B B C A C B A sin )sin(sin )sin(sin )sin( 和⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+A C B B C A CB A cos )cos(cos )cos(cos )cos(7、平方关系和商的关系：①1cos sin 22=+θθ ②θθθcos sin tan =8、二倍角公式：①θθθcos sin 22sin =②θθθθθ2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= ⇒降幂公式：22cos 1cos 2θθ+=，22cos 1sin 2θθ-= ③θθθ2tan 1tan 22tan -=8、和、差角公式：①⎩⎨⎧-=-+=+βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(②⎩⎨⎧+=--=+βαβαβαβαβαβαsin sin cos cos cos(sin sin cos cos cos(））③⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--+=+βαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan( 9、基本不等式：①2ba ab +≤),(+∈R b a ②22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ),(+∈R b a ③222b a ab +≤ ),(R b a ∈注意：基本不等式一般在求取值范围或最值问题中用到，比如求ABC ∆面积的最大值时。
2020年高考数学 考点分析与突破性讲练 专题21 不等式及解法 理
专题21 不等式及解法一、考纲要求：1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 二、概念掌握及解题上的注意点：1.比较两个数(式)大小的两种方法2．与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．3．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．4.解一元二次不等式的一般方法和步骤1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根无实根时，不等式解集为R 或∅.3)求：求出对应的一元二次方程的根.4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集. 5.解含参数的一元二次不等式的步骤：1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.三、高考考题题例分析：例1.(2020山东卷)若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【答案】B例 2.(2020天津卷)已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616-（C ）[23,2]- （D ）39[23,]16-【答案】A【解析】不等式()2xf x a ≥+为()()2x f x a f x -≤+≤(*)，当1x ≤时，(*)式即为22332x x x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+， 又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号）， 223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号）， 所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+，又3232()2322x x x x--=-+≤-23x =时取等号）， 222222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号）， 所以232a -≤≤，综上47216a -≤≤．故选A ． 例3.(2020高考新课标1)若101a b c >><<，,则( )（A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < 【答案】C【解析】：用特殊值法,令3a =,2b =,12c =得112232>,选项A 错误,11223223⨯>⨯,选项B 错误,2313log 2log 22<,选项C 正确,3211log log 22>,选项D 错误,故选C ． 例4.(2020高考山东卷)不等式152x x ---<的解集是（ ）（A ）（-，4） （B ）（-，1） （C ）（1，4） （D ）（1，5） 【答案】A例5.(2020高考江苏卷)不等式224x x-<的解集为________.【答案】（-1,2）【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为（-1,2） 例6．（2020课标卷III ）设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则（ ） A ．a+b ＜ab ＜0 B ．ab ＜a+b ＜0 C ．a+b ＜0＜ab D ．ab ＜0＜a+b 【答案】B【解析】：∵a=log 0.20.3=，b=log 20.3=，∴=，，∵，，∴ab ＜a+b ＜0． 故选：B ．例7.（2020天津卷）已知a=log 2e ，b=ln2，c=log，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b 【答案】D不等式及解法练习一、选择题1．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，b ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＞0，ab ＞0，又当ab ＞0时，a 与b 同号，结合a ＋b ＞0知a ＞0且b ＞0，故“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的充要条件．2．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是 ( )A ．a 2>b 2B ．ab>1 C ．2a>2b D ．lg(a －b )>0【答案】C【解析】 取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D ．故选C ．3．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0，B ＝{0,1,2,3}，则A ∩B ＝ ( ) A ．{1,2} B ．{0,1,2} C ．{1} D ．{1,2,3}【答案】A【解析】∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －2x ≤0＝{x |0＜x ≤2}， ∴A ∩B ＝{1,2}，故选A ．4．已知x ，y ∈R ，那么“x ＞y ”的充要条件是 ( )A ．2x＞2yB ．lg x ＞lg yC ．1x ＞1yD ．x 2＞y 2【答案】A5．关于x 的不等式ax －b ＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】C【解析】关于x 的不等式ax －b ＜0即ax ＜b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b ＜0，∴不等式(ax ＋b )(x －3)＞0可化为 (x ＋1)(x －3)＜0，解得－1＜x ＜3， ∴所求不等式的解集是(－1,3)．故选C ．6.设a ，b 均为实数，则“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】a ＞|b |能推出a ＞b ，进而得a 3＞b 3；当a 3＞b 3时，有a ＞b ，但若b ＜a ＜0，则a ＞|b |不成立，所以“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的充分不必要条件，故选A ．7.已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝m 2xx －1，则f (a )与f (b )的大小关系是 ( )A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＜f (b )C ．f (a )≤f (b )D ．不确定【答案】 C【解析】∵f (a )＝m 2a a －1，f (b )＝m 2bb －1，∴f (a )－f (b )＝m 2a a －1－m 2b b －1＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －1－b b －1 ＝m 2·a b －1－b a －1a －1b －1＝m 2·b －a a －1b －1，当m ＝0时，f (a )＝f (b )； 当m ≠0时，m 2＞0， 又a ＞b ＞1，∴f (a )＜f (b )． 综上，f (a )≤f (b )．8已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b【答案】A9．已知0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中正确的是 ( )A ．log 2a ＞0B ．2a －b＜12C ．log 2a ＋log 2b ＜－2D ．2a b ＋b a ＜12【答案】C【解析】由题意知0＜a ＜1，此时log 2a ＜0，A 错误；由已知得0＜a ＜1,0＜b ＜1，所以－1＜－b ＜0，又a ＜b ，所以－1＜a －b ＜0，所以12＜2a －b＜1，B 错误；因为0＜a ＜b ，所以a b＋ba＞2a b ·b a ＝2，所以2a b ＋ba ＞22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1＞2ab ，得ab ＜14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＜log 214＝－2，C 正确．10．若集合A ＝{}x |ax 2－ax ＋1<0＝∅，则实数a 的值的集合是 ( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}【答案】D【解析】由题意知a ＝0时，满足条件，a ≠0时，由{ a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.11．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－∞，－2)B ．(－2，＋∞)C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)【答案】A12.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定【答案】C【解析】由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2. 二、填空题13．已知a ，b 为实数，且a ≠b ，a ＜0，则a ________2b －b 2a.(填“＞”“＜”或“＝”)【答案】＜【解析】∵a ≠b ，a ＜0，∴a －⎝⎛⎭⎪⎫2b －b 2a ＝a －b 2a ＜0，∴a ＜2b －b 2a.14．若0＜a ＜1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0的解集是________.【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＜x ＜1a 【解析】原不等式可化为(x －a )⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，由0＜a ＜1得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a.15．在R 上定义运算：||a b c d ＝ad －bc .若不等式||x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为__________．【答案】3216．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________.【答案】[－8,4]【解析】因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 三、解答题 17.解下列不等式： (1)3＋2x －x 2≥0；(2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 【答案】(1) {x |－1≤x ≤3}．【解析】 (1)原不等式化为x 2－2x －3≤0， 即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}． (2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0， 当a >1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅； 当a <1时，原不等式的解集为(a,1)． 18．若不等式ax2＋5x －2＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜2. (1)求实数a 的值；(2)求不等式ax 2－5x ＋a 2－1＞0的解集． 【答案】(1) a ＝－2. (2) ⎝⎛⎭⎪⎫－3，1219．已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】不存在【解析】 要使不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即{ m ＜0，Δ＝4－4m 1－m ＜0，不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立．20.设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67【解析】 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m <67.21．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围． 【答案】(1) －2.(2) ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 【解析】 (1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2， 当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立，所以y ≥－2. 所以当x ＝1时，y ＝f x x的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可，所以{ g 0≤0，g 2≤0， 即{ 0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 22．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ．(1)求a 的取值范围；(2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0． 【答案】(1) [0,1](2)f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝ax ＋12＋1－a ，由题意及(1)可知0＜a ≤1，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为x 2－x －34＜0． 解得－12＜x ＜32， ∴不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32．。
2020年高考数学(理)之高频考点解密21 抛物线(解析版)
解密21抛物线考点1 抛物线的定义及方程题组一抛物线的定义的应用调研1 已知抛物线y2=4x的焦点为F，抛物线上一点P，若|PF|=5，则ΔPOF的面积为A．2 B．3C．4 D．5【答案】A【解析】由抛物线y2=4x知F（1，0），准线方程为x=﹣1，设P （x 0，y 0），则|PF |=x 0+1=5，即x 0=4， 不妨设P 在第一象限，则P （4，4）， ∴POF S =△12×|FO |×|y 0|=12×1×4=2． 故选A ．☆技巧点拨☆抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即2PF px =+或2PF py =+，使问题简化． 抛物线的定义常在高考中作为转为问题的工具，需熟练掌握.题组二 求抛物线的方程调研2 已知抛物线y 2=24ax(a >0)上的点M(3,y 0)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为 A ．y 2=8x B ．y 2=12x C ．y 2=16x D ．y 2=20x【答案】A【解析】由题意知，3+6a =5，则a =13，∴抛物线的方程为y 2=8x ． 故选A.调研3 已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>相切. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值. 【解析】（1）将:10l x y -+=与抛物线2:2C y px =联立，得2220y py p -+=，l Q 与C 相切，2480p p ∆∴=-=，解得：2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意知，直线m 的斜率不为0，可设直线m 的方程为1x ty =+，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得2440y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，212121142x x ty ty t ∴+=+++=+，∴线段AB 的中点()221,2M t t +，设,,A B M 到直线l 的距离分别为,,A B M d d d ，则221322124A B M d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭，2133244t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭Q ，∴当12t =时，2min 133244t ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭， ,A B ∴两点到直线l的距离之和的最小值为342=.☆技巧点拨☆高考中常求抛物线的方程，一般会与其他知识相结合，求抛物线方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.考点2 抛物线的性质题组一 焦点弦问题调研 1 已知点()()121,,9,A y B y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，210y y >>，点F 是它的焦点，若5BF AF =，则212y y +的值为__________．【答案】10【解析】由抛物线的定义可得1,922p p AF BF =+=+， 依据题设可得595222p pp +=+⇒=， 则22122414,49366y y y =⨯==⨯=⇒=（舍去负值），故21210y y +=，应填10.调研2 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF |+|NF |=6，则线段MN 的中点的横坐标为__________． 【答案】2【解析】∵抛物线y 2=4x,∴准线方程为x =−1， 由|MF |+|NF |=6，可得x M +1+x N +1=6， 即x M +x N =4， ∴MN 的中点的横坐标为22M Nx x +=. 题组二 最值问题调研3 已知F 是抛物线C ：28y x =的焦点，点A 的坐标为()2,6，点P 是C 上的任意一点，当P 在点1P 时，PF PA -取得最大值；当P 在点2P 时，PF PA -取得最小值，则1P ，2P 两点间的距离为__________．【答案】2【解析】由抛物线的方程为28y x =，得点F 的坐标为()20，， 当PA 平行于x 轴时，PF PA -取得最大值，则1P 的坐标为962⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 当P F A ，，三点共线，且点F 在P A ，之间时，PF PA -取得最小值，由点A 的坐标为()26，，得2P 的坐标为()24-，，所以122PP =． 调研4 设P 为抛物线28y x =上的动点，P 在y 轴的投影为点M ，点(4,6)A ，则||||PA PM +的最小值是________.【答案】2【解析】由题得焦点(2,0)F ，准线2x =-，延长PM 交准线于H 点，则有||||PF PH =，||||2||2PM PH PF ∴=-=-，||||||||2PM PA PF PA ∴+=+-，即求出||||PF PA +的最小值即可．已知点A 在抛物线外，由三角形两边之和大于第三边可知||||||PF PA FA +≥，当点P 是线段F A 和抛物线的交点时，||||PF PA +可取得最小值为||FA ，由两点之间距离公式计算求得||FA =则||||PA PM +的最小值是2．☆技巧点拨☆有关抛物线上一点M 到抛物线焦点F 和到已知点E （E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E 作准线l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F 和到已知点E 的距离之和是最小值.1．（四川省凉山州2019-2020学年高三第一次诊断性检测数学）抛物线230x y +=的准线方程为A ．34x = B ．32x =-C ．34y =D ．32y =-【答案】C【解析】由抛物线230x y +=有23x y =-，根据抛物线的标准方程可得32p =. 则其准线方程为：34y =. 故选C.2．（重庆市第八中学2019-2020学年高三第四次月考（12月）数学）抛物线24y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为3，则点M 到坐标原点的距离为A ．2 BC ．D 【答案】C【解析】由24y x =可知，抛物线的准线方程为1x =-，则113x +=，解得12x =，代入24y x =可得，1y =±，则点M =故选C ．3．（山西省晋城市2019-2020学年高三第一次模拟考试数学）已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的一点，F 是抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，若||2PF =，π3∠=PFO ，则抛物线C 的方程为 A ．26y x = B ．22y x = C ．2y x =D ．24y x =【答案】A【解析】过P 向x 轴作垂线，设垂足为Q ，∵π3∠=PFO ，||2PF =，∴||PQ =||1QF =，(1,2pP -， 将P 点的坐标代入22y px =，得3p =，故C 的方程为26y x =. 故选A.4．（广东省潮州市2019-2020学年高三上学期期末数学）已知双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左顶点与抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为 A ．2√5 B ．2√3 C ．4√3 D ．4√5【答案】A【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1）， 即点（-2，-1）在抛物线的准线上，又由抛物线y 2＝2px 的准线方程为2=-px ，则p =4， 则抛物线的焦点为（2，0），则双曲线的左顶点为（-2，0），即a =2，点（-2，-1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为12=±y x ， 由双曲线的性质，可得b =1，则c 2c =2√5. 故选A ．5．（山西省晋城市2019-2020学年高三第一次模拟数学）斜率为3的直线l 过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，若l 与圆22:(2)4M x y -+=相切，则p =A ．12B ．8C ．10D ．6【答案】A30°，即30MFA ∠=︒ 结合题意作图，由图可得||2||4MF AM ==，2242pr ∴-==，解得12p =. 故选A.6．（河北省保定七校2019-2020学年高三上学期第三次联考）已知M 是抛物线x 2=4y 上一点，F 为其焦点，C 为圆(x +1)2+(y −2)2=1的圆心，则|MF |+|MC |的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】设抛物线x 2=4y 的准线方程为l:y =−1，C 为圆(x +1)2+(y −2)2=1的圆心，所以C 的坐标为(−1,2)，过M 作l 的垂线，垂足为E ,根据抛物线的定义可知|MF |=|ME |,所以问题求|MF |+|MC |的最小值，就转化为求|MC |+|ME |的最小值，由平面几何的知识可知，当C,M,E 在一条直线上时，此时CE ⊥l ，|MC |+|ME |有最小值，最小值为CE =2−(−1)=3，故本题选B ．7．（广东省佛山市2019-2020学年高三教学质量检测（一)数学）已知抛物线22y px =上不同三点A ，B ，C 的横坐标成等差数列，那么下列说法正确的是A ．A ，B ，C 的纵坐标成等差数列B ．A ，B ，C 到x 轴的距离成等差数列 C ．A ，B ，C 到点()0,0O 的距离成等差数列D ．A ，B ，C 到点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离成等差数列 【答案】D【解析】设抛物线上三点A ，B ，C 的坐标分别为(),a a x y ，(),b b x y ，(),c c x y ， 则A ，B ，C 到焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的距离分别为2a p AF x =+，2b p BF x =+，2c p CF x =+，Q a x 、b x 、c x 成等差数列，AF ∴，BF ，CF 也成等差数列.故选D.8．（2019年12月四川省成都市双流区棠湖中学一模数学）已知直线l 过抛物线28y x =的焦点F ，与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C .若点F 是AC 的中点，则线段BC 的长为 A ．83B ．3C ．163D ．6【答案】C【解析】如图，A 在准线上的射影为E ，B 在准线上的射影为H ，由抛物线y 2=8x ，得焦点F （2，0），∵点F 是的AC 中点，∴AE =2p =8，则AF =8，∴A 点横坐标为6，代入抛物线方程，可得(6,A .62AF k ∴==-AF 所在直线方程为)2y x =-.联立方程：)228y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得：2320120x x -+=， 264,3B B x x ∴==，则28||||233==+=BF BH . 故816||||||||||833=-=-=-=BC CF BF AF BF . 故选C ．9．（河南省新乡市2019届高三第一次模拟考试）已知点M(x,y)是抛物线y 2=4x 上的动点，则√(x −2)2+(y −1)2+√(x −1)2+y 2的最小值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】A【解析】因为√(x −1)2+y 2表示点M(x,y)到点F(1,0)的距离，即点M(x,y)到抛物线y 2=4x 的准线x =−1的距离，因为√(x −2)2+(y −1)2表示点M(x,y)到点A(2,1)的距离，所以√(x −2)2+(y −1)2+√(x −1)2+y 2的最小值为点A(2,1)到抛物线y 2=4x 的准线x =−1的距离3，即(√(x −2)2+(y −1)2+√(x −1)2+y 2)min =3. 故选A.10．（辽宁省沈阳市五校协作体2019-2020学年高三上学期期中考试数学）已知O 为坐标原点，抛物线2:8C y x =上一点A 到焦点F 的距离为4，若点P 为抛物线C 准线上的动点，则OP AP +的最小值为A ．B ．8C ．D ．【答案】A【解析】抛物线28y x =的准线方程为2x =-，如图，∵4AF =，∴A 到准线的距离为4，即A 点的横坐标为2， ∵点A 在抛物线上，∴A 的坐标()2,4A ， ∵坐标原点关于准线的对称点的坐标为()4,0B -， ∴PO PB =，∴PA PO +的最小值为AB ==故选A ．11．（江苏省盐城中学2019-2020学年高三年级第二次阶段性质量检测（12月）数学）在平面直角坐标系xOy中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为__________． 【答案】4【解析】因为抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，即1+2p =3，所以2p=2，则焦点到准线的距离为p =4.12．（甘肃省兰州市城关区第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆221(1)2x y -+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形AFBM 面积的最小值为_________． 【答案】12【解析】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM 的面积最小，则MF 最小， 即M 距离准线最近，故满足条件时，M 与原点重合，此时||1,||||===MF BF BM ，此时四边形AFBM 面积11222222△==⨯⨯⨯=BMF S S ， 故答案为12． 13．（陕西省宝鸡市宝鸡中学、西安三中等五校2020届高三上学期第一次联考数学）已知抛物线2C :2(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，且直线l 与圆222304x px y p -+-=交于,C D 两点，若3AB CD =,则直线l 的斜率为__________．【答案】【解析】由题意得，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由222304x px y p -+-=，配方为2222p x y p ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，可得2CD p =，所以直线l 过圆心,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，可设直线l 的方程为()()1122,,,,2p y k x A x y B x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化为222204p p x p x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，1222p x x p k ∴+=+， 12222p AB x x p p k∴=++=+， 由223,26p AB CD p p k =∴+=，可得212k k =⇒±，故答案为2±. 14．（四川省泸县泸州市第四中学2019-2020学年高三上学期期末考试数学）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则ABMN的最小值为____．【解析】如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ l ⊥于点Q ，BP l ⊥于点P ，由抛物线的定义可设：,AF AQ a BF BP b ====，由勾股定理可知：AB ==由梯形中位线的性质可得：2a bMN +=，则22AB a b MN=≥=+ 当且仅当a b =时等号成立.即ABMN. 15．（福建省高三毕业班第三次质量检查）已知抛物线C:y 2=2px(p >0)上的点M(x 0,y 0)到点N(2,0)距离的最小值为√3. (1)求抛物线C 的方程;(2)若x 0>2,圆E:(x −1)2+y 2=1,过M 作圆E 的两条切线分别交y 轴于A(0,a),B(0,b)两点,求MAB △面积的最小值.【解析】(1)|MN|=√(x 0−2)2+(y 0−0)2,∵y 02=2px 0,∴|MN|2=x 02−4x 0+4+2px 0=x 02−2(2−p)x 0+4=[x 0−(2−p)]2+4−(2−p)2. ∵x 0≥0,∴当2−p ≤0即p ≥2时,|MN|min =2， 不符合题意,舍去；则2−p >0，即0<p <2时,|MN|min =√4−(2−p)2=√3, ∴(2−p)2=1,得p =1或p =3(舍去), ∴y 2=2x .(2)由题意可知,00MA y ak x -=, 所以直线MA 的方程为00y ay x a x -=+,即(y 0−a)x −x 0y +ax 0=0, 则1=,∴(y 0−a)2+x 02=|y 0−a +ax 0|2,整理得()2000220a x ay x -+-=, 同理，()2000220bx by x -+-=,∴a,b 为方程(x 0−2)x 2+2y 0x −x 0=0的两根,则00002,22y xa b ab x x +=-=---, 则022x a b x -==-, ∵x 0>2,∴2200000000044144224822222x x S a b x x x x x x x -+=-⋅===++=-++≥----， 当且仅当x 0=4时,取得最小值. 故MAB △面积的最小值为8.16．（湖北省荆门市两校2019-2020学年高三9月月考）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q（0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值．【解析】（1）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2， 所以抛物线的方程为y 2=4x ．由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）．由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得()222410k x k x +-+=． 依题意()2224410=--⨯⨯>k k ∆，解得k <0或0<k <1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2），从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（1）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线P A 的方程为()112211y y x x --=--．令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-．由=QM QO λu u u u v u u u v ，=QN QO μu u u v u u u v得=1M y λ-，1N y μ=-．所以()()()2212121212122224211111111=21111111M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+-+--+=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y p p +=的一个焦点， 所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 2．（2016新课标全国I 理科）以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB|=|DE|=C 的焦点到准线的距离为 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】B【解析】如图，设抛物线方程为22y px =(p >0)，圆的半径为r ,,AB DE 分别交x 轴于,C F 点，则||AC =即A 点纵坐标为，则A 点横坐标为4p ，即4||OC p=，由勾股定理知2222||||||DF OF DO r +==，2222||||||AC OC AO r +==，即222()2p+=+24()p，解得4p =， 即C 的焦点到准线的距离为4，故选B ．【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.3．（2017新课标全国II 理科）已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________． 【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作MB l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-， 则||2,||4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线||||||32AN FF'BM +==，由抛物线的定义有：||||3MF MB ==，结合题意，有||||3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．4．（2016新课标全国III 理科）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l ，2l 分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR FQ P ；（2）若PQF △的面积是ABF △的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程． 【解析】由题可知)0,21(F ．设1:l y a =，2:l y b =，则0≠ab ，且2(,)2a A a ，2(,)2b B b ，1(,)2P a -，1(,)2Q b -，1(,)22a b R +-． 记过A ，B 两点的直线为l ，则直线l 的方程为0)(2=++-ab y b a x ． （1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab ．记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ， 则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ P ． （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则1111||||||||222ABF S b a FD b a x =-=--△，||2PQF a b S -=△．由题设可得11||||||22a b b a x ---=，所以01=x (舍去)或11=x ． 设满足条件的AB 的中点为),(y x E ． 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =，可得)1(12≠-=+x x y b a ， 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y ． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以所求轨迹方程为12-=x y ．。