知识讲解对数及对数运算提高

【变式 2】（1）（2014 年浙江舟山月考）已知 2x 5y 10 ，则 x y
．
xy
（2）已知 log2 3 a, 3b 7 ，求 log12 56 ． 【答案】（1）1；（2） 3 ab
2 a 【解析】（1）∵ 2x 5y 10 ， ∴ x log2 10 ， y log5 10 ，
4．对数式与指数式的关系
由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可 由下图表示.
由此可见 a，b，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化.
要点二、对数的运算法则
已知 loga M，loga N a 0且a 1，M、N 0
(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
对数及对数运算 【学习目标】 1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2.了解常用对数与自然对数的意义； 3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算； 4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】 要点一、对数概念 1.对数的概念
3 4
log 2 log 2
3 8)(log3
2
log 3 log 3
2 )
9
(log 2 2
3
log 2 3
3 )(log3
2
log 3 2
2 )
5 6
log 2
3
3 2
log 3
2
5 4
；
(2) log 8 9 log 27
32
lg 9 lg 32 lg 8 lg 27
2 lg 3 5lg 2 3lg 2 3lg 3
a lg18 2 lg18
b lg18 a lg18
a 2
b a
．
9
解法四： log18 9 a ，18a 9. 又 18b 5,45 5 9 18b 18a 18ab ．
令 log36 45 x ，则 36x 45 18ab ，
即 36x
(18
18)x
18ab
,
182 (
)
(1) log2 16
4 ；(2) log1
3
27
3 ；(3) log
3
x
3 ；(4) 53
125 ；(5) 21
1 2
；(6)
1 3
2
9.
【解析】运用对数的定义进行互化.
(1) 24
16
；(2)
1 3
3
27 ；(3)
3
3
x ；(4) log5 125 3 ；(5) log2
1 2
∴ x y 1 1 lg 5 lg 2 lg10 1 ． xy y x
故答案为：1．
（2） log2 3 a ，2a 3 ，又 3b 7 ，故 7 (2a )b 2ab
3ab
3ab
故 56 23ab ，又12 3 4 2a 4 2a2 ，从而 56 2a2 2a 12 2a ，
(1)0 和负数没有对数，即 N 0 ； (2)1 的对数为 0，即 loga 1 0 ； (3)底的对数等于 1，即 loga a 1.
3．两种特殊的对数
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， log10 N简记作 lg N .以 e（e 是一个无理数， e 2.7182 ） 为底的对数叫做自然对数， loge N简记作ln N .
45 36
log18 (9 5) log18 (18 2)
log18 9 log18 1 log18 2
5
ab
1
log18
18 9
ab 2a
．
解法二： log18 9 a,18b 5 ，log18 5 b ，
于是 log36
45
log18 log18
45 36
log18 (9 5)
log18
举一反三：
【变式
1】求值：(1)
(log
4
3
log
8
3)(log
3
2
log
9
2)
；(2)
log
8
9
log
27
32
；(3)
91 2
log3
5
.
【答案】（1） 5 ；（2） 10 ；（3） 3 ．
4
9
25
【解析】(1) (log 4 3 log 8 3)(log 3 2 log 9 2)
( log 2 log 2
(2)
log a M
log c M log c a
(c 0, c 1) ，令 logaM=b，则有 ab=M，则有 log c ab log c M (c 0, c 1)
即 b log c
a
log c
M
，
即b
log c M log c a
，即 log a
M
log c M log c a
loga MN loga M loga N 推广： loga N1N2 Nk loga N1 loga N2 loga Nk N1、N2、 、Nk 0
(2) 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；
loga
M N
loga
M
loga
N
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
1 9
(2) lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
(3) log 2 (log2 32 log 1
3 4
log 4
36)
2
(4) log2 125 log4 25 log8 5(log125 8 log25 4 log5 2)
x yz
loga
百度文库
x
loga ( yz)
1 2
log
a
x loga
y
loga
z
；
（4） loga
x2
3
y z
= loga (x2 y) loga
3
z
2 loga
x
1 2 loga
y
1 3 loga
z
．
【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们
必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数
1；(6) log1 9 2 .
3
【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决
问题的重要手段.
举一反三：
【变式 1】求下列各式中 x 的值：
(1)
log16
x
1 2
(2) logx 8 6
(3)lg1000=x
【答案】（1） 1 ；（2） 2 ；（3）3；（4）-4． 4
(4) -2 ln e2 x
【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出 x.
(1) x
1
(16) 2
(42
)
1 2
2( 1 )
42
41
1
；
4
1
1
1
1
(2) x6 8，所以x (x6 )6 (8)6 (23 )6 22 2 ；
(3)10x=1000=103，于是 x=3；
(4)由
故 log12 56
3ab
log12 12 2a
3 ab 2a
．
类型四、换底公式的运用
例 4.已知 log18 9 a,18b 5 ，求 log36 45 ．
【答案】 a b 2 a
【解析】
解法一： log18 9 a,18b 5 ，log18 5 b ，
于是 log36
45
log18 log18
2．换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 a>0， a≠1， M>0 的前提下有:
(1) log a M log an M n (n R)
令 logaM=b， 则有 ab=M， (ab)n=Mn，即 (a n )b M n ， 即 b log an M n ，即: log a M log an M n .
如果 ab N a 0，且a 1 ，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作:logaN=b.其中 a 叫做对数的底
数，N 叫做真数. 要点诠释： 对数式 logaN=b 中各字母的取值范围是：a>0 且 a1， N>0， bR.
2.对数 loga N a 0，且a 1 具有下列性质：
【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
aloga blogb clogc N (aloga b )logb c logc N (blogb c )logc N clogc N N .
类型三、积、商、幂的对数
【高清课堂：对数及对数运算 369068 例 3】
例 3. 用log a x, log a y, log a z 表示下列各式
运算对应着对数的和、差、积得运算．
举一反三：
【变式 1】求值
(1) 2 log 5 25 3log 2 64 8log10 1
【答案】（1）22；（2）1；（3）2．
(2)lg2·lg50+(lg5)2
(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【解析】(1) 2 log 5 25 3log 2 64 8log10 1 2 log 5 52 3log 2 26 8 0 4 18 0 22.
(c
0, c
1)
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以
得到一个重要的结论:
log
a
b
1 log b
a
(a 0, a 1,b 0, b 1) .
【典型例题】
类型一、指数式与对数式互化及其应用
例 1.将下列指数式与对数式互化：
(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1
(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2
=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.
2 ln
e2
x，得
x
ln
e2，即e
x 2
e2
所以x 4 .
2
【高清课堂：对数及对数运算 369068 例 1】
【变式 2】计算： log2 4; log2 8; log2 32 并比较．
【答案】2 3 5
【解析】 log2 4 log2 22 2; log2 8 log2 23 3; log2 32 log2 25 5 ．
loga M loga M
要点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能
成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与 log2(-5)是 不存在的.
（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误
的：
loga(MN)=logaMlogaN，
loga(M·N)=logaM·logaN，
M
loga
log a M
.
N log a N
要点三、对数公式
1．对数恒等式：
ab N
aloga
N
N
loga N b
类型二、利用对数恒等式化简求值
例 2．求值： 71log7 5
【答案】35
【解析】 71log7 5 7 7log7 5 7 5 35 . 【总结升华】对数恒等式 aloga N N 中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其
值为真数.
举一反三：
【变式 1】求 aloga blogb clogc N 的值(a，b，c∈R+，且不等于 1，N>0) 【答案】 N
10 9
；
1
(3)法一： 92log3 5
32
(
1 2
log3
5)
31log3 25
3log3
3 25
3
25
1
1
法二： 92log3 5
91 2
log9
25
92 9log9 25
3
.
25
类型五、对数运算法则的应用
例 5.求值
(1)
log 64
32 log 2
1 25
log3
1 8
log5
182 9
log18 9 log18 5 2 log18 18 log18 9
a 2
b a
.
解法三： log18 9 a,18b 5 ，lg 9 a lg18, lg 5 b lg18，
log36
45
lg 45 lg 36
lg(9 5) lg 182
lg 9 lg 5 2 lg18 lg 9
x
18ab ,
33
9
x
log18
182 9
a b.
x
log18
ab 182 log18
9
a 2
b a
．
【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的
性质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“ loga a 1”的灵活运用．
(1) loga
xy z
;(2) loga (x3 y5);(3) loga
x yz
;
(4)
log
a
x2 y 3z
【解析】（1） loga
xy z
loga
x loga
y loga
z
；
（2） loga (x3 y5 ) loga x3 loga y5 3loga x 5 loga y ；
（3） loga