知识讲解对数及对数运算提高

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知识讲解_对数及对数运算_基础

(2)
log a
M

logc M logc a
(c 0, c 1) ，
令
logaM=b，
则有 ab=M，
则有
logc ab logc M (c 0, c 1)
即 b logc
a

log c
M
，
即b

logc M logc a
，即 log a
M

logc M logc a
(c
(1)0 和负数没有对数，即 N 0 ； (2)1 的对数为 0，即 loga 1 0 ； (3)底的对数等于 1，即 loga a 1.
3．两种特殊的对数
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， log10 N作作作为底的对数叫做自然对数， loge N简记作 ln N .
4．对数式与指数式的关系
质．
（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．
（3）解决这类问题要注意隐含条件“ loga a 1”的灵活运用．
举一反三：
【变式
1】求值：(1)
(log 4
3

log8
3)(log3
2

log 9
27
32
；(3)
91 2
log3
2

log 3 2
2 )

5 6

log 2
3
3 2
log 3
2

5 4
；
(2) log8
loga
M N
loga M
loga
N
(3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；

对数与对数函数知识点及例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4），可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0；（2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】（2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。

对数与对数函数的基础知识梳理

课堂互动讲练
(2)原式＝(llgg23＋llgg29)·(llgg34＋llgg38) ＝(llgg23＋2llgg23)·(2llgg32＋3llgg32) ＝32llgg23·56llgg32＝54； (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2 ＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3；分母＝(lg6＋2)－lg 130600×110 ＝lg6＋2－lg1060＝4； ∴原式＝34.
课堂互动讲练
自我挑战
(3)当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)，要使f(x)>0，须f(1)≥0，∴a－b≥1.12分
规律方法总结
1．比较两个对数的大小的基本方法是构造相应的对数函数，若底数不相同时，可运用换底公式化为同底数的对数，还要注意与0比较或与1比较．
规律方法总结
2．把原函数做变量代换化归为二次函数，然后用配方法求指定区间上的最值是求对数函数的常见题型．在给定条件下，求字母的取值范围也是常见题型，尤其是与对数函数结合在一起的高考试题更是屡见不鲜．
课堂互动讲练
跟踪训练
(2)法一：∵loga2＝m，∴am＝2. ∵loga3＝n，∴an＝3. 故a2m＋n＝(am)2·an＝4×3＝12. 法二：∵loga2＝m，loga3＝n， ∴a2m＋n＝a2loga2＋loga3= aloga12＝12.
课堂互动讲练
考点二
对数函数的图象
要正确识别函数图象，一是熟悉各种基本函数的图象，二是把握图象的性质，根据图象的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性．
函数值分布
1，则 y<0 ； ②当0＜a＜1时：若x＞1，
则 y<0 ；若x＝1，则 y＝0 ；

对数及对数函数知识点总结及题型分析

对数及对数函数1、对数的基本概念（1）一般地，如果a （1,0≠>a a ）的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a=log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式（2）常用对数：N 10log ，记作N lg ；自然对数N e log （e =2.71828…），记作N ln .（3）指数式与对数式的关系：log xa a N x N =⇔=（0>a ，且1≠a ，0N >）（4）对数恒等式：2、对数的性质（1）负数和零没有对数，即0>N ；（2）1的对数是零，即01log =a ；（3）底的对数等于1，即1log =a a3、对数的运算性质（1）如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么①N M MN a a a log log )(log +=； ②N M NMa a alog log log -=； ③M n M a n alog log =（2）换底公式：推论：① b N N b log 1log =； ② ； ③ 1log log =⋅a b b a4、对数函数的定义：函数叫做对数函数，其中x 是自变量（1）研究对数函数的图象与性质：由于对数函数与指数函数互为反函数，所以的图像和的图像关于直线对称。

（2）复习)10(≠>=a a a y x且的图象和性质()010log >≠>=N a a N aNa ，且bNN a a b log log log =b mn b a na m log log =a y log x =(a 0a 1)>≠且a y log x =x y a =a y log x=xy a =y x =2．对数函数的图像：3．对数函数的性质：【回顾一下】① 定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为；2) 函数的值域为； 3) 当____ __时，函数为减函数，当_________时为增函数； 4) 函数与函数 ______ 互为反函数.① 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当时，图象向上无限接近y 轴；当时，图象向下无限接近y 轴)； 4) 函数y ＝log a x 与的图象关于x 轴对称． ① 函数值的变化特征：题型一、对数式的运算例题1：填空（1）[])81(log loglog 346＝_____ ___；（2）19lg 3lg 2+-＝；（3）04.0log 10log 222+＝_____ ___；（4）3log 28log 316161+＝_____ ___；（5）=⋅⋅⋅4log 5log 7log 3log 7352例题2：若a y x =-lg lg ，则=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛332lg 2lg y x （）.A a 3 .Ba 23 .C a .D 2a 题型二变式、对数运算性质运用变式1：计算变式2：3128x y ==，则11x y-= .xy a log =)1,0(≠>=a a a y x 且10<<a 1>a 2(lg 2)lg 2lg 50lg 25+⋅+题型三、解对数式方程例题1：已知216log =x ，则=x （）.A 2 .B 4 .C 8 .D 32例题2：已知 ① 3log 1log 266-=x ，求x 的值； ② 2)25(log 22=--x x ，求x 的值。

数学高一对数的知识点归纳

数学高一对数的知识点归纳在高中数学中，对数是一个非常重要的概念，它在很多数学题目中都扮演着重要的角色。

本文将对高一数学中对数的相关知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握对数的基本概念和性质。

一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数是指数运算的逆运算。

设 a 为正实数，且a≠1，b 为正实数，则满足 a^x = b 的方程 x 称为以 a 为底 b 的对数，记作x=logₐb。

2. 对数的性质（1）对数的底数不得为 0 或 1。

（2）对数可以转化为指数形式，即 a^x = b 等价于x=logₐb。

（3）对数运算中常用的性质有对数之和等于取对数之积、对数之差等。

（4）常用对数的底数是10，自然对数的底数是e≈2.718，其中e 是自然对数的底数。

二、对数的运算1. 对数的乘除法（1）对数的乘法性质：logₐ(mn) = logₐm + logₐn。

（2）对数的除法性质：logₐ(m/n) = logₐm - logₐn。

2. 对数的幂次法则（1）对数的幂法则：logₐ(m^k) = klogₐm。

（2）对数的根法则：logₐ√(m) = 0.5 * logₐm。

3. 对数的换底公式（1）换底公式1：logₐm = logᵦm / logᵦa。

（2）换底公式2：logₐm = logc(m) / logca。

三、对数方程和对数不等式1. 对数方程的解法对数方程是形如logₐm = n 的方程，可以通过变换为指数形式求解。

例如，对于方程 log₃(2x+1) = 2，可以转化为 3^2 = 2x+1，进而求得 x 的值。

2. 对数不等式的解法对数不等式是形如logₐm < n 或logₐm > n 的不等式，可以通过构造指数形式来解决。

例如，对于不等式 log₂(x+1) > 2，可以转化为 2^(x+1) > 2^2，通过求解不等式得到 x 的取值范围。

四、常用对数和自然对数1. 常用对数常用对数是以 10 为底的对数，记作 log(m) 或 log10(m)。

对数与对数运算说课稿（精选5篇）

对数与对数运算说课稿（精选5篇）以下是网友分享的关于对数与对数运算说课稿的资料5篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。

篇一§2.2.1对数与对数运算说课稿大家好，我是。

，我今天的讲课内容是对数与对数的运算。

我将从以下5个方面来进行今天的说课，第一是教学内容分析，第二是学生的学情分析，第三是教学方法的策略，第四是教学过程的设计，第五的教学反思。

一、教学内容分析对数与对数的运算是人教版高中教材必修一第二章第二节第一课时的内容。

本节课是第一课时，主要讲的就是认识对数和对数的一些基本运算性质。

本节课的学习蕴含着转化化规的数学思想，类比与对比等基本数学方法。

在上节课，我们学习了指数函数以及指数函数的性质，是本节课学习对数与对数的运算的基础，而下节课，我们又将学习对数函数与对数函数的性质，这节课恰好为下节课的学习做了一个铺垫。

二、学生学情分析接下来我将从认知、能力、情感三个方面来进行学生的学情分析。

首先是认知，该阶段的高中生已经学习了指数及指数函数的性质，具备了学习对数的基础知识；在能力方面，高一的学生已经初步具备运用所学知识解决问题的能力，但是大多数同学还缺乏类比迁移的能力；而在情感方面，大多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究，但是还有部分的学生还是需要老师来加以引导的。

三、教学方法的策略根据教材的要求以及本阶段学生的具体学习情况，我制定了一下的教学目标。

首先是知识与技能，理解对数与指数的关系，能进行指对数互化并可利用对数的简单性质求值；接着是过程与方法，通过探究对数和指数之间的互化，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力；最后是情感态度与价值观，通过对问题转化过程的引导，培养学生敢于质疑、勇于开拓的创新精神。

基于以上的分析，我制定了本节课的重难点。

本节课的教学重点是对数的定义，对数式与指数式的互化，对数的运算法则及其推导和应用；本节课的难点是对数概念的理解和对数运算法则的探究和证明；本节课我所采用的教学方法是探究式教学法，分为以下几个环节：教师创设问题情境，启发式地讲授，讲练结合，引导学生思考，最后鼓励学生自主探究学习。

人教A版必修1对数与对数运算知识点总结与例题讲解

对数与对数运算知识点总结与例题讲解本节知识点(1)对数的概念.(2)对数式与指数式的互化.(3)对数的性质.(4)对数的运算性质.(5)对数的换底公式.知识点一对数的概念一般地，如果a =N (d>0且GHl),那么数X叫做以"为底N的对数，记作X = Iog41 N.其中"叫做对数的底数,N叫做真数.例如,因为16二4,所以］就是以16为底4的对数,记作log164 = -∙2 2对对数概念的理解：(1)底数d必须满足d>0且a≠∖∙,(2)真数N大于O (负数和O没有对数).规定底数"> O且(心1的原因：当"V O时,N取某些值时，X的值不存在.例如,log(.3)9 = 2,但IOg(_J) 27 却不存在.当Q = O时：①若N≠0,则X的值不存在；②若/V = 0,则A-的值是任意正数.(注意:0的负指数弄和0次胳都没有意义)当G = I时：①若N≠∖,则X的值不存在；②若N = I,则X的值是任意实数.所以在对数的定义里,规定底数“ > 0且a≠∖.常用对数与自然对数将以10为底的对数叫做常用对数,记作IgN ;将以无理数e (ea 2.71828…)为底的对数叫做自然对数,记作InN.根据对数概念,可以求參数的取值范围例1.求下列各式中X的取值范围.(1)IOg oS(X-3); (2) IOg(X.n(2-x).分析:对数的概念,对底数和真数都作出了规定,要使对数式有意义,必须满足:(1)底数。

>0且a≠∖i(2)真数∕V>0.解：(1) ⅛题意可知:x-3>0,解之得:x>3.∙∙∙x的取值范圉是(3,乜)；x-l>O(2)由题意可知:«Λ--1 ≠1 ,W-之得:l<x<2.2-x>0・・・x的取值范围是(1,2).例2.求下列对数式中X的取值范围.(1)IOg2(5 - x); (2) 1Ogz 3.解：(1)由题意可知:5-x>0,解之得:x<5..∙∙x的取值范圉是(-s,5);(2)由题意可知:『7>°,解之得：兀<2且心1.2-x ≠ 1■・・・x的取值范围是(-叫1)U(1,2).例3.使IOg U(X+ 1) (“> O且a≠∖)有意义的尤的取值范围是【】(A) [-l,-κ≈c)(B) (-1,S(C) [O,-KX)) (D) (O,-KX))解:由题意可知:x+l>0,解之得:x>-l.・・・x的取值范围是(-1,1).选择【B】. 例4.求IOg lA_3>(4-x)中X的取值范围. 解:山题意可知：x - 3 > O< x-3≠l ,解之得:3vxv4.4-x>0∙∙∙x的取值范围是(3,4)∙例5•使右-log2Cv + 2)有意义的兀的取值范围是(A) [-2,2) (B) [-2,2](C) (-2,2) (D) (-2,2]解:由题意可知:<P^^Λ解之得:_2vx<2.x + 2>0・・・x的取值范围是(-2,2).i⅛择[C ].知识点二指数式与对数式的互化在I=N与X = IOg “ N中，gx、N是同一个代表符号,只是名称不同.例如,将指数式26 =64化为对数式为6 = Iog2 64.表达形式名称a X N指数式a x =N底数指数S对数式X = IOg a N底数对数Xft知识点三对数的性质(1)负数和O没有对数.⑵1的对数等于α即IOgJ = O仪>0且GH1).⑶ 底数的对数等于亿即logι√∕ = l (。

备战高考数学复习考点知识与题型讲解14---对数与对数函数

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第14讲对数与对数函数考向预测核心素养以比较对数函数值大小的形式考查函数的单调性；以复合函数的形式考查对数函数的图象与性质，各种题型均可能出现，中档难度.数学抽象、数学运算一、知识梳理1．对数的概念(1)定义：一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．(2)常用对数与自然对数2．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N．(2)log a MN＝log a M－log a N．(3)log a M n ＝n log a M(n∈R)．3．换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．4．对数函数的概念一般地，函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．5．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象性质定义域(0，＋∞)值域R定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数常用结论1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nmlog a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d. 2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到此规律：在第一象限内与y ＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 126练习T 3(2)改编)(log 43＋log 83)·log 32＝________．解析：(log 43＋log 83)·log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2·lg 2lg 3＝56. 答案：562．(人A 必修第一册P 131练习T 1改编)函数y ＝log 711－3x的定义域为________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <133．(人A 必修第一册P 135练习T 2改编)比较下列两个值的大小： (1)log 0.56________log 0.54； (2)log 213________log 123.答案：(1)< (2)＝一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝log a x 2与函数y ＝2log a x 是同一个函数．( ) (4)若M >N >0，则log a M >log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏1．(对数函数图象不清致误)函数f (x )＝log a |x |＋1(0<a <1)的图象大致为( )解析：选A.由函数f (x )的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g (x )＝log a |x |，先画出当x >0时，g (x )的图象，然后根据g (x )的图象关于y 轴对称画出x <0时g (x )的图象，最后由函数g (x )的图象向上整体平移一个单位长度即得f (x )的图象，结合图象知选A.2．(对数函数单调性不清致误)函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________________．解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，13．(忽视对底数的讨论致误)若log a 34<1(a >0且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，所以0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，所以a >1.综上所述，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34∪(1，＋∞)考点一对数式的化简与求值(自主练透)复习指导：理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．1．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12.答案：122．计算：(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：23．(2022·德州高三期中)声音大小(单位：分贝)取决于声波通过介质时，所产生的压力变化(简称声压，单位：N/m 2)．已知声音大小y 与声压x 的关系式为y ＝10×lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52，且根据我国《城市区域环境噪音标准》规定，在居民区内，户外白昼噪声容许标准为50分贝，夜间噪声容许标准为40分贝，则在居民区内，户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的________倍．解析：当y ＝50时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝5，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝105，解得x ＝2×10－52，当y ＝40时，lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2×10－52＝104，解得x ＝2×10－3，所以户外白昼噪声容许标准的声压是户外夜间噪声容许标准的声压的2×10－522×10－3＝1012＝10倍．答案：104．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝________．解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10.因为1a ＋1b＝2，所以log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10.答案：10对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”：将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”：将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．考点二对数函数的图象及应用(思维发散)复习指导：理解对数函数概念，掌握对数函数图象的特征并求解有关问题．(1)(链接常用结论2)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1 B.a >1，0<c <1 C ．0<a <1，c >1D.0<a <1，0<c <1(2)方程4x＝log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以0<a <1；因为图象与x 轴的交点在区间(0，1)之间，所以该函数的图象是由函数y ＝log a x的图象向左平移不到1个单位长度后得到的，所以0<c <1.(2)若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎨⎧0<a <1，log a12≤2，解得0<a ≤22. 【答案】 (1)D (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22本例(2)改为若4x <log a x 在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<x ≤12时，函数y ＝4x的图象在函数y ＝log a x 图象的下方．又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入y ＝log a x ，得a ＝22.若函数y ＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去．所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．|跟踪训练|1．(2022·河北高三考试)函数y ＝1ln （x ＋1）的大致图象为( )解析：选A.当x ＝1时，y ＝1ln 2>0，排除C ，D. 当x ＝－12时，y ＝1ln12＝1－ln 2<0，排除B.故选A.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)考点三对数函数的性质及应用(多维探究)复习指导：利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a ＞0，a ≠1)．角度1 单调性的应用(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a <c 1的实数x 的取值范围是________．【解析】 (1)因为a ＝13log 323<13log 39＝23＝c ，b ＝13log 533>13log 525＝23＝c ，所以a <c 0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1，同时2a >1，得a >12，所以12<a <1.(3)由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 4m ＝12log 2m ＝12log 22－23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－13；由于m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<1，由log n m >1可得m <n <1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＝2－23<22x <1，则－23<2x <0，解得－13<x <0.【答案】 (1)A (2)C (3)－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0角度2 和对数函数有关的复合函数已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求a 的值．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1，所以f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1]上单调递增，在[1，3)上单调递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1]，单调递减区间是[1，3)．(2)若f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎨⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.对数函数性质的应用利用对数函数的性质，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用．|跟踪训练|1．(2022·宁夏月考)已知函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.(－∞，2] C ．[5，＋∞)D.[3，＋∞)解析：选D.由题意，得x <－1或x >3，设g (x )＝x 2－2x －3，根据二次函数的性质，可得函数g (x )在(3，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性的判定方法，可得函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)，又由函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)在(a ，＋∞)上单调递增，可得a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．2．不等式log 2(2x ＋3)>log 2(5x －6)的解集为________．解析：由⎩⎨⎧2x ＋3>0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65<x <3，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪65<x <3 3．函数f (x )＝log a (ax －3)在[1，3]上单调递增，则a 的取值范围是________．解析：由于a >0，且a ≠1，所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f (x )为增函数，则y ＝log a u 必为增函数，所以a >1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正，所以a －3>0，即a >3. 答案：(3，＋∞)4．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则0<m <1，n >1，所以log 12m＝－log 12n ，所以mn ＝1，所以m ＋3n ＝m ＋3m .令h (m )＝m ＋3m，则易知h (m )在(0，1)上单调递减．当m ＝1时，m ＋3n ＝4，所以m ＋3n >4.答案：(4，＋∞)[A 基础达标]1．设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a 30.7＝a >1，所以c <a 32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，故选A.3．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞) B.(－∞，0) C ．(2，＋∞)D.(－∞，－2)解析：选D.函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．4．(2021·高考全国卷甲)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V 满足L ＝5＋lg V ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(1010≈1.259)( )A ．1.5 B.1.2 C.0.8D.0.6解析：选C.由题意知4.9＝5＋lg V ，得lg V ＝－0.1，得V ＝10－110≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.5．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫log 12x 2＋a log 12x ＋4，若对任意的x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，f (x )≤6恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－1 B.1 C.－2D.2解析：选A.令t ＝log 12x ，因为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1，所以t ∈(0，2]，则问题可转化为对任意的t ∈(0，2]，t 2＋at ＋4≤6恒成立，即a ≤2－t 2t＝2t－t 对任意的t ∈(0，2]恒成立．因为y ＝2t－t 在t ∈(0，2]上单调递减，所以y min ＝1－2＝－1，所以a ≤－1，即实数a 的最大值为－1.6．(2022·四川南充月考)已知a ＝213，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，则log 2(ab )＝________．解析：由题意，得log 2(ab )＝log 2(213·2－23)＝log 22－13＝－13.答案：－137．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则m ＝________，n ＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |＝⎩⎨⎧－log 3x ，0<x <1，log 3x ，x ≥1，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0<m <n 且f (m )＝f (n )，可得⎩⎨⎧0<m <1，n >1，log 3n ＝－log 3m ，则⎩⎨⎧0<m <1，n >1，mn ＝1，所以0<m 2<m <1，则f (x )在[m 2，1)上单调递减，在(1，n ]上单调递增，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，则f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝－log 3m 2＝2，解得m ＝13，则n ＝3.答案：1338．(2022·甘肃平凉月考)已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3，4]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝ax 2－x ，当a >1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≥4，g （4）＝16a －4>0，无解，当0<a <1时，由题意得⎩⎨⎧12a ≤3，g （3）＝9a －3>0，解得13<a <1，综上，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，19．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若－1<f (1)<1，求实数a 的取值范围．解：(1)当x <0时，－x >0，由题意知f (－x )＝log a (－x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以当x <0时，f (x )＝log a (－x ＋1)，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log a （x ＋1），x ≥0，log a （－x ＋1），x <0.(2)因为－1<f (1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a1a<log a2<log aa .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎨⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2. 由⎩⎨⎧1＋x >0，3－x >0，解得－1<x <3，所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈[1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 综合应用]11．(多选)(2022·湖南长沙期末)设函数f (x )＝log 12x ，下列四个命题正确的是( )A ．函数f (x )为偶函数B ．若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1C ．函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数D ．若0<a <1，则|f (1＋a )|>|f (1－a )|解析：选BC.A 选项，f (x )的定义域为(0，＋∞)，所以f (x )是非奇非偶函数，A 错误．B 选项，由于f (a )＝|f (b )|，a ≠b ，a >0，b >0，所以log 12a ＝－log 12b ，log 12a ＋log 12b ＝0，log 12ab ＝0，ab ＝1，B 正确．C 选项，f (－x 2＋2x )＝log 12(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，又y ＝－x 2＋2x 的开口向下，对称轴为x ＝1，根据复合函数单调性同增异减可知函数f (－x 2＋2x )在(1，2)上为单调递增函数，C 正确．D 选项，由于0<a <1，所以1＋a >1>1－a ，所以|f (1＋a )|>|f (1－a )|，则－log 12(1＋a )>log 12(1－a )，即log 12(1－a )(1＋a )＝log 12(1－a 2)<0，由于1－a2∈(0，1)，所以log1(1－a2)>0，所以|f(1＋a)|>|f(1－a)|不成立，D错2误．12．(多选)已知函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)，则下列结论中正确的是2( )A．函数f(x)的定义域是[－4，2]B．函数y＝f(x－1)是偶函数C．函数f(x)在区间[－1，2)上是减函数D．函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称解析：选BD.函数f(x)＝log1(2－x)－log2(x＋4)＝－log2(2－x)－log2(x＋4)＝－2[(2－x)(4＋x)]，由2－x>0，x＋4>0，可得－4<x<2，即函数f(x)的定义域为(－log24，2)，故A错误；由y＝f(x－1)＝－log2[(3－x)(3＋x)]＝－log2(9－x2)，定义域为(－3，3)，显然y＝f(x－1)为偶函数，B正确；由x∈[－1，2)，f(－1)＝－log29，f(0)＝－log8知f(－1)<f(0)，故C错误；y＝f(x－1)为偶函数，y＝f(x－1)向左平移1个2单位得y＝f(x)，故y＝f(x)的图象关于x＝－1对称，D正确，故选BD.13．若函数y＝log a(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是( )A．0<a<1 B.0<a<2，a≠1C．1<a<2 D.a≥2解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＞0中Δ<0，即a2－4<0，所以1<a<2.当0<a<1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.14．已知函数f(x)＝x2＋ln(|x|＋1)，若对于x∈[1，2]，f(ax2)<f(3)恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：易知f (x )＝x 2＋ln(|x |＋1)是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，故原问题等价于|ax 2|<3对x ∈[1，2]恒成立，即|a |<3x 2对x ∈[1，2]恒成立，所以|a |<34，解得－34<a <34.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，34[C 素养提升]15．(2022·日照高三联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <－12，log a（2x ＋3），x ≥－12的值域为R ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的取值范围是________．解析：当x <－12时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1，而f (x )的值域是R ，所以当x ≥－12时，f (x )＝log a (2x ＋3)的取值范围应包含(－∞，－1)，又x ≥－12时，2x ＋3≥2，所以0<a ≤12.此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log a 4∈[－2，0)．答案：[－2，0)16．已知奇函数f (x )＝log a b ＋ax1－ax (a >0且a ≠1)．(1)求b 的值，并求出f (x )的定义域；(2)若存在区间[m ，n ]，使得当x ∈[m ，n ]时，f (x )的取值范围为[log a 6m ，log a 6n ]，求a 的取值范围．解：(1)由已知f (x )＋f (－x )＝0，得b ＝±1，当b ＝－1时，f (x )＝log a －1＋ax 1－ax＝log a (－1)，舍去，当b ＝1时，f (x )＝log a 1＋ax 1－ax ，定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a . 故f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a .(2)当0<a <1时，f (x )＝log a 1＋ax1－ax ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递减．故有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am ＝log a6n ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6m ，而y ＝1＋ax1－ax ＝21－ax －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上单调递增，所以1＋am1－am <1＋an1－an ，又6m <6n 与⎩⎪⎨⎪⎧1＋am1－am ＝6n ，1＋an1－an ＝6m矛盾，故a >1，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝log a 1＋am1－am＝log a 6m ，f （n ）＝log a 1＋an 1－an ＝log a 6n .故方程1＋ax1－ax ＝6x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根，即6ax 2＋(a －6)x ＋1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，1a 上有两个不等实根．设g (x )＝6ax 2＋(a －6)x ＋1(a >1)，则⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧Δ＝（a －6）2－24a >0，－1a <－a －612a <1a，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝12a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2>0，化简得⎩⎨⎧a 2－36a ＋36>0，0<a <18，解得0<a <18－122，又a >1，故1<a <18－12 2. 所以a 的取值范围是(1，18－122)．。

知识讲解_对数及对数运算_基础

对数及对数运算编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2.了解常用对数与自然对数的意义；3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．【要点梳理】要点一、对数概念 1.对数的概念如果()01ba N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R.2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即0N >； (2)1的对数为0，即log 10a =； (3)底的对数等于1，即log 1a a =.3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作.以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作.4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示.由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>L L L 、、、 (2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log 2(-3)(-5)=log 2(-3)+log 2(-5)是不成立的，因为虽然log 2(-3)(-5)是存在的，但log 2(-3)与log 2(-5)是不存在的.（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a (M ±N)=log a M ±log a N ， log a (M·N)=log a M·log a N ，log aNM N M a a log log =. 要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a ≠1， M>0的前提下有: (1) )(loglog R n M M n aa n∈=令 log a M=b ，则有a b=M ， (a b )n=M n，即nb n M a =)(，即n aM b nlog =，即:n a a M M n log log =.(2) )1,0(log log log ≠>=c c aM M c c a ，令log a M=b ，则有a b =M ，则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c bc即M a b c c log log =⋅，即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a .【典型例题】类型一、对数的概念例1.求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-．【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求．（2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且．（3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为．【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且类型二、指数式与对数式互化及其应用例2.将下列指数式与对数式互化： (1)2log 164=；(2)13log 273=-；(3)3x =；(4)35125=；(5)1122-=；(6)2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭.【解析】运用对数的定义进行互化.(1)4216=；(2)31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(3)3x =；(4)5log 1253=；(5)21log 12=-；(6)13log 92=-. 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：(1)161log 2x =-(2)log 86x = (3)lg1000=x (4)2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x. (1)1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；(2)111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以；(3)10x =1000=103，于是x=3；(4)由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以.高清课程：对数及对数运算例1【变式2】计算：222log 4;log 8;log 32并比较．【解析】222log 4log 22;==322log 8log 23;== 522log 32log 25==．类型三、利用对数恒等式化简求值例3．求值：71log 57+ 【答案】35【解析】771log 5log 57777535+=⋅=⨯=. 【总结升华】对数恒等式log a Na N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求log log log a b c b c Na ⋅⋅的值(a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0) 【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c Nb cc N N aa b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦.类型四、积、商、幂的对数高清课程：对数及对数运算例3例4.z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z 【解析】（1）log log log log a a a a xyx y z z =+-；（2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2a a a a a a yz x y z yz ==--；（4）log a211log ()log 2log log log 23a aa a a x y x y z -=+-．【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三：【变式1】求值(1)1log 864log 325log 21025-+ (2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】(1) 1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2. 类型五、换底公式的运用例5.已知18log 9,185ba ==，求36log 45．【答案】2a ba+- 【解析】解法一：Q 18log 9,185ba ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+．解法二：Q 18log 9,185ba ==，18log 5b ∴=，于是1818181836218181818log 45log (95)log 9log 5log 45.18log 362log 18log 92log 9a ba ⨯++====-- 解法三：Q 18log 9,185ba ==，lg9lg18,lg5lg18ab ∴==，362lg 45lg(95)lg9lg5lg18lg18log 4518lg362lg18lg92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++∴=====---．解法四：18log 9a =Q ，189.a ∴=又185,4559181818b b a a b+=∴=⨯==Q g．令36log 45x =，则364518x a b +==，即218181836()18,()18,339xx a bx a b ++==∴=g 21818log .9x a b ∴=+21818log 18log 92a b a bx a++∴==--．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用．举一反三：【变式1】求值：(1))2log 2)(log 3log 3(log 9384++；(2)32log 9log 278⋅；(3)31log 529-.【答案】（1）54；（2）109；（3）325．【解析】(1))2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=；(2)32log 9log 278⋅9103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =⋅=⋅=； (3)法一：31log 529-33331log 2(log 5)1log 25252333325--====法二：31log 529-99112log 252log 25939925-===. 类型六、对数运算法则的应用例6.求值 (1) 91log 81log 251log 32log 53264⋅⋅⋅ (2) 7lg142lglg 7lg183-+- (3))36log 43log 32(log log 42122++(4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++ 【答案】（1）-10；（2）0；（3）3；（4）13 【解析】(1)原式=103log 2log 5log 2log 253322526-=---(2) 原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--= (3)原式=38log )6log 43log 5(log )6log 43log5(log 2222222221==+-=++-(4)原式135log 2log 3313)2log 3)(5log 315log 5log 3(255222=⋅=++= 举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++g ；（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++g ．【答案】（1）3；（2）1．【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；（2）原式=()()22lg 2lg 5lg 2lg 2lg 5(lg 5)⎡⎤+-+⎣⎦g +3lg 2lg5g =()22lg 22lg 2lg5(lg5)++g=()2lg 2lg51+=．【变式2】求值：107lg 2lg )21(7⋅ 【答案】2【解析】107lg 2lg )21(7⋅77log 2log 10lg7117()2-=⋅7777111log 2log 10log 10log 101111(7)()()(2)2 2.222-=⋅⋅=⋅⋅= 另解：设 107lg 2lg )21(7⋅=m (m>0).∴m lg )21lg(7lg 107lg 2lg =+， ∴m lg 21lg 107lg 7lg 2lg =⋅+⋅，∴m lg )2lg )(17(lg 7lg 2lg =--+⋅，∴ lg2=lgm ， ∴ 2=m ，即2)21(7107lg 2lg =⋅.。

对数函数及其性质,对数的公式互化,详尽的讲解

§2.2对数函数2．2.1对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝a x的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式a x＝N⇔x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即log a1＝0；③底的对数等于1，即log a a＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a(MN)＝log a M＋log a N (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a MN＝log a M－log a N(a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n＝n·log a M (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M>0，N>0，例如log a[(－3)×(－4)]是存在的，但是log a(－3)与log a(－4)均不存在，故不能写成log a[(－3)×(－4)]＝log a(－3)＋log a(－4)．②防止出现以下错误：log a(M±N)＝log a M±log a N，log a(M·N)＝log a M·log a N，log a M N＝log a Mlog a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c Nlog c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b ＝log c N .所以x ＝log c N log c b ，即log b N ＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N ＝1log N b 或log b N ·log N b ＝1 (N >0，且N ≠1；b >0，且b ≠1)；(2)log bn N m ＝mnlog b N (N >0；b >0，且b ≠1；n ≠0，m ∈R ).题型一正确理解对数运算性质对于a >0且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①与③B ．②与④C ．②D ．①、②、③、④解析在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立．在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立．在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立．所以，只有②成立．答案 C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53；(2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3)log 52·log 79log 513·log 734.分析利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3 ＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2 ＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3.(3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32.点评对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值．解方法一原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝⎛⎭⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13.方法二原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13.点评方法一是先将括号换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，数x 的值．错解由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3. 解得x ＝1或x ＝－3.错因分析对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解由对数的性质知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________．解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0 ∴(3x －7)(3x ＋1)＝0 ∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去) ∴x ＝log 37. 答案 log 372．(高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝____. 解析 g ⎝⎛⎭⎫12＝ln 12<0，g ⎝⎛⎭⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝⎛⎭⎫g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7)D ．(3，＋∞) 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1 答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2. 3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2答案 C解析原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5.4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1 D ．(1，＋∞) 答案 C解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1.5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5B ．lg35C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 135∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________. 答案 2解析令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝212＝ 2.8．log (2－1)(2＋1)＝________. 答案－1解析 log 2－1(2＋1)＝log 2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________. 答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3，即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2xy的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ，又∵⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a. 11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x ＝b y ＝c z ，1x ＋1y ＋1z ＝0，求abc 的值．解令a x ＝b y ＝c z ＝t (t >0且t ≠1)，则有1x ＝log t a ，1y ＝log t b ，1z ＝log t c ，又1x ＋1y ＋1z＝0，∴log t abc ＝0，∴abc ＝1. 12．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根，试判定△ABC 的形状．解 ∵关于x 的方程x 2－2x ＋lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1＝0有等根， ∴Δ＝0，即4－4[lg(c 2－b 2)－2lg a ＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是a b＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x 的不等式(组)，解之即可．解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2. (3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值围是( ) A ．a >5或a <2 B ．2<a <5 C ．2<a <3或3<a <5 D ．3<a <4 答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3. 分析利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化．解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵log 128＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8. (3)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2. (4)∵log 101 000＝3，∴103＝1 000.点评指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.(4)由x ＝log 2719，得27x ＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝⎛⎭⎫12x ＝16，即2－x ＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．解 (1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( ) A.5－2 B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析方法一令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3.5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________．答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________．答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值(1)若log 3⎝⎛⎭⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值．解 (1)∵log 3⎝⎛⎭⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3 ∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝±210．求x 的值：(1)x ＝log224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75； (4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解 (1)由已知得：⎝⎛⎭⎫22x ＝4，∴2－12x ＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x ＝3，即32x ＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8，即⎝⎛⎭⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12. (5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116.2.2.1 对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( ) ①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A解析对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50. 分析利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.(3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622 ＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y ＝log 364， ∴2x ＋1y ＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.(2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b .∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b2－a .点评指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值．解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9.(2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a3－a .∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a 3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3. 2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( ) A.a ＋b a B.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b 答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋bb.3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg ab 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝⎛⎭⎫lg ab 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.4．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005|＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________.答案 a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____．答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg10＝1. 方法二原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1.10．若26a ＝33b ＝62c ，求证：1a ＋2b ＝3c .证明设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k ＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3 ＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c. 2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数．对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y＝log a x中，log a x前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a>0，且a≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lg x，以e为底的对数函数为y＝ln x.实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y ＝log m n 有以下规律：(1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一求函数定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1；(2)y ＝11－log a (x ＋a ) (a >0，a ≠1)．分析定义域即使函数解析式有意义的x 的围．解 (1)要使函数有意义，必须{2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎨⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0，即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}；当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba ，logb a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1，log 4334＝log 43⎝⎛⎭⎫43－1＝－1， ∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba ∈(0,1)，logb a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba<log b a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评比较对数的大小，一般遵循以下几条原则：①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较． ②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．已知log a 12<1，那么a 的取值围是________．分析利用函数单调性或利用数形结合求解．解析由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12. 故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1；(2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，数a 的取值围．解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax 的图象在⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减．又loga21>2=log 2a a ，∴a2>21，即a>2221⎪⎭⎫ ⎝⎛.∴所求的a 的取值围为2221⎪⎭⎫⎝⎛<a<1.点评原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a 的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，数a的取值围．错解∵f(x)的值域是R，∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立，即{a>0Δ<0⇔{a>04－4a<0⇔a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别．正解函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域是R⇔真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数．当a＝0时，只要x>－12，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a≠0时，必须有{a>0Δ≥0⇔{a>04－4a≥0⇔0<a≤1.∴f(x)的值域为R时，实数a的取值围为[0,1]．本节容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(高考)已知函数f(x)＝11－x的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于()A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}．故M ∩N ＝{x |－1<x <1}．答案 C2．(高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数，∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a 0.∴a >b . c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <1 D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 1－a －1＝－lg 1－a 1＋a＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c 1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ；又因为2>3，则log 32>log 33＝12，而log 42＝log 22＝12，所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数答案 D解析已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f (－x )＝lg|－x |＝lg|x |＝f (x )，所以它是偶函数．又当x >0时，|x |＝x ，即函数y ＝lg|x |在区间(0，＋∞)上是增函数．又f (x )为偶函数，所以f (x )＝lg|x |在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y ＝a x 与y ＝－log a x (a >0，且a ≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析方法一若0<a <1，则曲线y ＝a x 下降且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 上升且过(1,0)；若a >1，则曲线y ＝a x 上升且过(0,1)，而曲线y ＝－log a x 下降且过(1,0)．只有选项A 满足条件．方法二注意到y ＝－log a x 的图象关于x 轴对称的图象的表达式为y ＝log a x ，又y ＝log a x 与y ＝a x 互为反函数(图象关于直线y ＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值围为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫12，1 D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D 解析已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x －1)<0答案 {x |1<x <2}解析由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2，又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]；故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1，即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值围为__________．答案 ⎣⎡⎭⎫17，13解析函数f (x )为实数集R 上的减函数，一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数，因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值．解 ∵f (x )的定义域为[1,4]， ∴g (x )的定义域为[1,2]．∵g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 2x )2＋(1＋log 2x 2) ＝(log 2x ＋2)2－2，又1≤x ≤2，∴0≤log 2x ≤1. ∴当x ＝1时，g (x )min ＝2；当x ＝2时，g (x )max =7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x _(a >0且a ≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( )A.101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34 D ．53,101,3,34 答案 A解析方法一因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a 值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a 值依次为101,53,34,3. 方法二过(0,1)作平行于x 轴的直线，与C1，C2，C3，C4的交点的横坐标为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分别为各对数的底，显然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小．点评函数y=logax (a>0，且a ≠1)的底数a 的变化对图象位置的影响如下：①上下比较：在直线x=1的右侧，底数大于1时，底数越大，图象越靠近x 轴；底数大于0且小于1时，底数越小，图象越靠近x 轴．②左右比较：(比较图象与y=1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．变式迁移1 借助图象比较m ，n 的大小关系：(1)若logm5>logn5，则m n ；(2)若logm0.5>logn0.5，则m n.答案 (1)< (2)>二、求函数的定义域例2 求下列函数的定义域：(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log (x ＋1)(2－x )．分析定义域即使函数解析式有意义的x 的围．解 (1)∵该函数是奇次根式，要使函数有意义，只要对数的真数是正数即可， ∴定义域是{x |x >0}．(2)要使函数y ＝log 0.5(4x －3)有意义，必须log 0.5(4x －3)≥0＝log 0.51，∴0<4x －3≤1.解得34<x ≤1. ∴定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |34<x ≤1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0x ＋1≠12－x >0，得⎩⎨⎧ x >－1x ≠0，x <2即0<x <2或－1<x <0，所求定义域为(－1,0)∪(0,2)．点评求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式．变式迁移2 求y ＝log a (4x －3)(a >0，a ≠1)的定义域．解 log a (4x －3)≥0.(*)当a >1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴4x －3≥1，x ≥1.当0<a <1时，(*)可化为log a (4x －3)≥log a 1，∴0<4x －3≤1，34<x ≤1. 综上所述，当a >1时，函数定义域为[1，＋∞)，当0<a <1时，函数定义域为⎝⎛⎦⎤34，1.三、对数函数单调性的应用例3 比较大小：(1)log 0.81.5与log 0.82；(2)log 35与log 64.分析从比较底数、真数是否相同入手．解 (1)考查对数函数y ＝log 0.8x 在(0，＋∞)是减函数，∵1.5<2，∴log 0.81.5>log 0.82.(2)log 35和log 64的底数和真数都不相同，找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性，即可求解．∵log 35>log 33＝1＝log 66>log 64，∴log 35>log 64.点评比较两个对数值的大小，常用方法有：①底数相同真数不同时，用函数的单调性来比较；②底数不同而真数相同时，常借助图象比较，也可用换底公式转化为同底数的对数后比较；③底数与真数都不同，需寻求中间值比较．变式迁移3 比较下列各组中两个值的大小：(1)log 0.52.7，log 0.52.8； (2)log 34，log 65；(3)log a π，log a e (a >0且a ≠1)．解 (1)∵0<0.5<1，∴对数函数y ＝log 0.5x 在(0，＋∞)上是减函数．又∵2.7<2.8，∴log 0.52.7>log 0.52.8.(2)∵y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 34>log 33＝1.∵y ＝log 6x 在(0，＋∞)上是增函数，∴log 65<log 66＝1.∴log 34>log 65.(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．∵π>e ，∴log a π>log a e.当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数．∵π>e ，∴log a π<log a e.综上可知，当a >1时，log a π>log a e ；当0<a <1时，log a π<log a e.例4 若－1<log a 34<1，求a 的取值围．分析此不等式为对数不等式且底数为参数．解答本题可根据对数函数的单调性转化为一般不等式求解，同时应注意分类讨论．解－1<log a 34<1⇔log a 1a <log a 34<log a a . 当a >1时，1a <34<a ，∴a >43. 当0<a <1时，1a >34>a ，∴0<a <34. ∴a 的取值围是⎝⎛⎭⎫0，34∪⎝⎛⎭⎫43，＋∞. 点评 (1)解对数不等式问题通常转化为不等式组求解，其依据是对数函数的单调性．(2)解决与对数函数相关的问题时要遵循“定义域优先”原则．(3)若含有字母，应考虑分类讨论．变式迁移4 已知log a (2a ＋1)<log a 3a <0，求a 的取值围．解 log a (2a ＋1)<log a 3a <0(*)当a >1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 0<2a ＋1<10<3a <12a ＋1<3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －12<a <00<a <13a >1，∴此时a 无解．当0<a <1时，(*)可化为⎩⎨⎧ 2a ＋1>13a >12a ＋1>3a ，解得⎩⎨⎧ a >0a >13a <1，∴13<a <1. 综上所述，a 的取值围为⎝⎛⎭⎫13，1.1．求对数函数定义域要注意底数中是否含有自变量，此时底数大于0且不等于1.2．应用对数函数的图象和性质时要注意a >1还是0<a <1。

18知识讲解_对数及对数运算_基础

对数及对数运算【学习目标】1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2．了解常用对数与自然对数的意义；3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．【要点梳理】要点一、对数概念 1．对数的概念如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b ．其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．要点诠释：对数式log a N=b 中各字母的取值范围是：a>0 且a ≠1， N>0， b ∈R ．2．对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N >；（2）1的对数为0，即log 10a =；（3）底的对数等于1，即log 1a a =．3．两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作．以e （e 是一个无理数， 2.7182e =⋅⋅⋅）为底的对数叫做自然对数， log ln e N N 简记作．4．对数式与指数式的关系由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a ，b ，N 三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．要点二、对数的运算法则已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()log log log a a a MN M N =+推广：()()121212log log log log 0a k a a a k k N N N N N N N N N =+++>L L L 、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；log log log aa a MM N N=- （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；log log a a M M αα=要点诠释：（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log 2（-3）（-5）=log 2（-3）+log 2（-5）是不成立的，因为虽然log 2（-3）（-5）是存在的，但log 2（-3）与log 2（-5）是不存在的．（2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ， log a （M·N ）=log a M·log a N ，log aNMN M a a log log =．要点三、对数公式 1．对数恒等式：log log a b Na a Na N Nb ⎫=⇒=⎬=⎭2．换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: （1）)(loglog R n M M n aa n∈=令 log a M=b ，则有a b =M ，（a b ）n =M n ，即nbn M a =)(，即n aM b nlog=，即:n a a M M n log log =．（2）)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a ，令log a M=b ，则有a b =M ，则有)1,0(log log ≠>=c c M a c b c即M a b c c log log =⋅，即a M b c c log log =，即)1,0(log log log ≠>=c c aMM c c a 当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论:)1,0,1,0(log 1log ≠>≠>=b b a a ab b a ．【典型例题】类型一、对数的概念例1．求下列各式中x 的取值范围：（1）2log (5)x -；（2）(1)log (2)x x -+；（3）2(1)log (1)x x +-．【答案】（1）5x >；（2）1,2x x >≠且；（3）1x >-且0,1x x ≠≠ 【解析】（1）由题意50x ->，5x ∴>，即为所求．（2）由题意20,10,11,x x x +>⎧⎨->-≠⎩且即2,1,2,x x x >-⎧⎨>≠⎩且1,2x x ∴>≠且．（3）由题意2(1)0,10,11,x x x ⎧->⎨+>+≠⎩且解得1x >-且0,1x x ≠≠．【总结升华】在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1．举一反三：【变式1】函数21log (2)x y x -=+的定义域为．【答案】1|12x x x ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且类型二、指数式与对数式互化及其应用例2．将下列指数式与对数式互化：（1）2log 164=；（2）13log 273=-；（3）3x =；（4）35125=；（5）1122-=；（6）2193-⎛⎫= ⎪⎝⎭．【解析】运用对数的定义进行互化．（1）4216=；（2）31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（3）3x =；（4）5log 1253=；（5）21log 12=-；（6）13log 92=-．【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段．举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值：（1）161log 2x =- （2）log 86x = （3）lg1000=x （4）2-2ln e x =【答案】（1）14；（2；（3）3；（4）-4．【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x ．（1）1112()212221(16)(4)444x --⋅--=====；（2）111166366628()(8)(2)2x x x ======，所以；（3）10x =1000=103，于是x=3；（4）由22222ln ln 42x x e x e e e x --=-===-，得，即所以．【高清课堂：对数及对数运算369068例1】【变式2】计算：222log 4;log 8;log 32并比较．【解析】222log 4log 22;==322log 8log 23;== 522log 32log 25==．类型三、利用对数恒等式化简求值例3．不用计算器计算：7log 203log lg25lg47(9.8)+++-【答案】132【解析】原式323log 3lg(254)21=+⨯++23lg1032=++ 3132322=++=【总结升华】对数恒等式log a Na N =中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数．举一反三：【变式1】求log log log a b c b c Na ⋅⋅的值（a ，b ，c ∈R +，且不等于1，N>0）【答案】N【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算．log log log log log log log log log ()()c a b c a b b c c Nb c N b cc N N a a b c N ⋅⋅⎡⎤====⎣⎦．类型四、积、商、幂的对数【高清课堂：对数及对数运算369068 例3】例4． z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式35(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a xy x y z 【解析】（1）log log log log a a a a xyx y z z =+-；（2）3535log ()log log 3log 5log a a a a a x y x y x y =+=+；（3）1log log log ()log log log 2a a a a a a yz x y z yz ==--；（4）log a211log ()log 2log log log 23a aa a a x y x y z -=+-．【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算．举一反三：【变式1】求值（1）1log 864log 325log 21025-+ （2）lg2·lg50+（lg5）2 （3）lg25+lg2·lg50+（lg2）2 【答案】（1）22；（2）1；（3）2．【解析】（1）1log 864log 325log 21025-+.220184082log 35log 26225=-+=⨯-+⋅=（2）原式=lg2（1+lg5）+（lg5）2=lg2+lg2lg5+（lg5）2=lg2+lg5（lg2+lg5）=lg2+lg5=1 （3）原式=2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2=2lg5+lg2+lg2lg5+（lg2）2=1+lg5+lg2（lg5+lg2）=1+lg5+lg2=2．类型五、换底公式的运用例5．已知18log 9,185ba ==，求36log 45．【答案】2a ba+- 【解析】解法一：Q 18log 9,185ba ==，18log 5b ∴=，于是181818183618181818log 45log (95)log 9log 5log 4518log 36log (182)1log 221log 9a b a ba ⨯+++=====⨯+-+．解法二：Q 18log 9,185ba ==，18log 5b ∴=，于是1818181836218181818log 45log (95)log 9log 5log 45.18log 362log 18log 92log 9a ba ⨯++====--解法三：Q 18log 9,185ba ==，lg9lg18,lg5lg18ab ∴==，362lg 45lg(95)lg9lg5lg18lg18log 4518lg362lg18lg92lg18lg182lg 9a b a ba a ⨯+++∴=====---．解法四：18log 9a =Q ，189.a∴=又185,4559181818b b a a b+=∴=⨯==Q g．令36log 45x =，则364518x a b+==，即218181836()18,()18,339xx a bx a b ++==∴=g 21818log .9x a b ∴=+21818log 18log 92a b a bx a++∴==--．【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．（2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式．（3）解决这类问题要注意隐含条件“log 1a a =”的灵活运用．举一反三：【变式1】求值：（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++；（2）32log 9log 278⋅；（3）31log 529-．【答案】（1）54；（2）109；（3）325．【解析】（1）)2log 2)(log 3log 3(log 9384++452log 233log 65)22log 2)(log 33log 23log ()9log 2log 2)(log 8log 3log 4log 3log (3233223332222=⋅⋅=++=++=；（2）32log 9log 278⋅9103lg 32lg 52lg 33lg 227lg 32lg 8lg 9lg =⋅=⋅=；（3）法一：31log 529-33331log 2(log 5)1log 25252333325--====法二：31log 529-99112log 252log 25939925-===．类型六、对数运算法则的应用例6．（2016春陕西期中）计算（1）34331654()log log 8145-++（2）7lg142lglg 7lg183-+- （3）)36log 43log 32(log log 42122++（4）353log 21log 235++-【思路点拨】根据对数和批数的运算性质计算即可．【答案】（1）278；（2）0；（3）3；（4）44．【解析】（1）334()4433316542542727()log log ()log 0814534588-⨯-++=+⨯=+=（2）原式=2lg(27)2(lg 7lg 3)lg 7lg(32)⨯--+-⨯ =lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20+-++--= （3）原式=38log )6log 43log 5(log )6log 43log 5(log 2222222221==+-=++-（4）35353log 21log 2log 2log 2313533552725244++-=⋅-⋅=⨯-⨯=．举一反三：【变式1】计算下列各式的值（1）()222lg5lg8lg5lg 20lg 23+++g ；（2）33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)++g ．【答案】（1）3；（2）1．【解析】（1）原式=()22lg52lg 2lg5(2lg 2lg5)lg 2++++=22lg10(lg 5lg 2)++=2+1=3；（2）原式=()()22lg 2lg 5lg 2lg 2lg 5(lg 5)⎡⎤+-+⎣⎦g +3lg 2lg5g =()22lg 22lg 2lg5(lg5)++g=()2lg 2lg51+=．【变式2】已知1,(1,0)()44,(0,1)x x x f x x ⎧∈-⎪=⎨⎪∈⎩，则4(log 3)f = ．【思路点拨】判断出40log 31<<，根据分段函数的式子求解，再利用对数运算求解．【答案】3【解析】∵1,(1,0)()44,(0,1)x x x f x x ⎧∈-⎪=⎨⎪∈⎩，40log 31<<∴4log 34(log 3)43f ==，故答案为：3。

知识讲解_对数函数及其性质_提高

对数函数及其性质编稿：丁会敏审稿：王静伟【学习目标】1.理解对数函数的概念，体会对数函数是一类很重要的函数模型；2.探索对数函数的单调性与特殊点，掌握对数函数的性质，会进行同底对数和不同底对数大小的比较；3．了解反函数的概念，知道指数函数xy a =与对数函数log a y x =互为反函数()0,1a a >≠．【要点梳理】要点一、对数函数的概念1．函数y=log a x(a>0，a ≠1)叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞，值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：（1）系数为1；（2）底数为大于0且不等于1的常数；（3）对数的真数仅有自变量x ．要点诠释：（1）只有形如y=log a x(a>0，a ≠1)的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的，都不是对数函数．（2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零，底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论．a ＞00＜a ＜1图象性质定义域：（0，+∞）值域：R过定点（1，0），即x=1时，y=0 在（0，+∞）上增函数在（0，+∞）上是减函数当0＜x ＜1时，y ＜0，当x ≥1时，y ≥0当0＜x ＜1时，y ＞0，当x ≥1时，y ≤0要点诠释：关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.以1为分界点，当a ，N 同侧时，log a N>0；当a ，N 异侧时，log a N<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1．底数制约着图象的升降．如图要点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2．底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)要点四、反函数 1．反函数的定义设,A B 分别为函数()y f x =的定义域和值域，如果由函数()y f x =所解得的()x y ϕ=也是一个函数（即对任意的一个y B ∈，都有唯一的x A ∈与之对应），那么就称函数()x y ϕ=是函数()y f x =的反函数，记作1()x fy -=，在1()x f y -=中，y 是自变量，x 是y 的函数，习惯上改写成1()y f x -=（,x B y A ∈∈）的形式．函数1()x fy -=（,y B x A ∈∈）与函数1()y f x -=（,x B y A ∈∈）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B ，对应法则都为1f-．由定义可以看出，函数()y f x =的定义域A 正好是它的反函数1()y f x -=的值域；函数()y f x =的值域B 正好是它的反函数1()y fx -=的定义域．要点诠释：并不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如2y x =．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数图象上，则(),a b 必在原函数图象上．【典型例题】类型一、函数的定义域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.例1. 求下列函数的定义域：(1)2log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且.【答案】（1）{|0}x x ≠；（2）{|4}x x <．【解析】由对数函数的定义知：20x >，40x ->，解出不等式就可求出定义域.(1)因为20x >，即0x ≠，所以函数2log {|0}a y x x x =≠的定义域为； (2)因为40x ->，即4x <，所以函数log (4-){|4}a y x x x =<的定义域为.【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域：求定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1．若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义．一般地，判断类似于log ()a y f x =的定义域时，应首先保证()0f x >．举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=1)1(log 12133---x x (2) ln(2)x xy a k =-g （0a >且1,a k R ≠∈）.【答案】（1）(1，23)Y (23，2)；（2）略【解析】(1)因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≠->->-1)1(log 0)1(log 012121x x x ，所以101132x x x ⎧⎪>⎪<-<⎨⎪⎪≠⎩，所以函数的定义域为(1，23)Y (23，2). （2）因为20xxa k ->g ，所以2xa k ⎛⎫> ⎪⎝⎭.①当0k ≤时，定义域为R ； ②当0k >时，(i)若2a >，则函数定义域为(2log a k ，+∞)；(ii)若02a <<，且1a ≠，则函数定义域为(-∞，2log a k )；(iii)若2a =，则当01k <<时，函数定义域为R ；当1k ≥时，此时不能构成函数，否则定义域为∅.【变式2】函数(2)xy f =的定义域为[-1，2]，求2(log )y f x =的定义域. 【答案】[2，16].【答案】由12x -≤≤，可得()y f x =的定义域为[21，4]，再由21log 42x ≤≤得2(log )y f x =的定义域为[2，16].类型二、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.例2. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9；(2)0.20.2log 1.9,log 3.5； (3)2log 5与7log 5； (4)3log 5与6log 4．(5)log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。

对数的概念教案最终版

对数的概念教案最终版一、教学目标：1. 让学生理解对数的定义和性质，能够正确地运用对数解决实际问题。

2. 培养学生对数的概念和运算能力，提高逻辑思维和解决问题的能力。

二、教学重点与难点：1. 重点：对数的定义、性质和对数运算。

2. 难点：对数的运算法则和应用。

三、教学准备：1. 教师准备PPT、教案、练习题等相关教学材料。

2. 学生准备笔记本、笔等学习用品。

四、教学过程：1. 导入：通过引入自然对数与指数函数的关系，激发学生学习对数的兴趣。

2. 新课导入：讲解对数的定义、性质和对数运算的基本法则。

3. 案例分析：举例讲解对数在实际问题中的应用，如人口增长、放射性衰变等。

4. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。

5. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，布置课后作业，引导学生思考对数在实际生活中的应用。

五、课后作业：1. 复习本节课所学内容，整理笔记。

2. 完成课后练习题，巩固对数的概念和运算。

3. 探索对数在其他领域的应用，如科学计算、经济学等。

4. 准备下一节课的学习内容。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、练习题和课后作业，评估学生对对数概念的理解和运用能力。

2. 关注学生在解决问题时的思维过程，培养学生的创新意识和解决问题的能力。

3. 鼓励学生参与课堂讨论，提高学生的表达能力和合作精神。

七、教学策略：1. 采用直观演示、案例分析等教学方法，让学生形象地理解对数概念。

2. 通过循序渐进的练习，培养学生对数运算的熟练程度。

3. 创设问题情境，引导学生运用对数解决实际问题，培养学生的应用能力。

八、教学实践：1. 课堂讲解：详细讲解对数的定义、性质和对数运算的法则。

2. 练习巩固：安排适量练习题，让学生在课堂上完成，及时巩固所学知识。

3. 课后作业：布置针对性的课后作业，巩固对数的概念和运算。

九、教学反思：1. 课后认真总结课堂教学，反思教学效果，发现问题并及时调整教学方法。

2. 关注学生的学习反馈，了解学生对对数概念的理解程度，针对性地进行辅导。

高中数学对数和对数函数知识点与例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.（2）指数式与对数式的关系：a b=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a（MN）=log a M+log a N.②log aMN=log a M－log a N.③logaM n=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）④对数换底公式：logbN= l oglogaaNb（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.2.对数函数（1）对数函数的定义函数y=log a x（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里a<0,或=1的时候是会有相应b的值的。

但是，根据对数定义:log a a=1；如果a=1或=0那么log a a就可以等于一切实数（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n=nlogaM如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log(-2)4^(-2)就不等于(-2)*log(-2)4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象yyy =l ogxa>(1)a1O1xOxy =l o g a x (<a <1) 0底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R.③过点（1，0），即当x=1时，y=0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题题型1（对数的计算） 1．求下列各式的值．（1）35 log ＋25log2－1 21 50log － 514 log ；（2）log5 2 1 25 ×lo g 3 1 8 ×lo g 5 1 9. 练习题1．计算：lg 1 2 －lg5 8 ＋lg12.5－log 89·log 278；3.log535＋21log2－log51502 －log514；3.log2125×log318×log519.1loglog4log3 4.399222．5.lg5lg2lg41(6).log24lglog27lg2log33222 7.2lg2lg3111lg0.36lg823例2．已知实数x、y、z满足3x＝4y＝6z＞1.(1)求证：2x＋1y＝2z；(2)试比较3x、4y、6z的大小．练习题．已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log3645.题型二：（对数函数定义域值域问题）例1．已知函数fxlog22xx1aax的定义域为集合A，关于x的不等式22 的解集为B，若AB，求实数a的取值范围．2．设函数2ylog(ax2x2)定义域为A．2（1）若AR，求实数a的取值范围；（2）若2log(ax2x2)2在x[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围．2练习题1．已知函数2 fxlgax2x1（1）若fx的定义域是R,求实数a的取值范围及fx的值域；（2）若fx的值域是R，求实数a的取值范围及fx的定义域2求函数y=2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.题型三（奇偶性及性）例题1．已知定义域为R 的函数f (x )为奇函数足f(x ＋2)＝－f(x)，当x ∈[0,1]时，f(x)＝2x －1.(1)求f(x)在[－1,0)上的解析式； (2)求f(1 log24)的值． 2 4.已知f （x ）=l o g 1［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域.3 5.已知y =l o g a （3－a x ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的围.4．已知函数f(x)lg(2x)lg(2x).（Ⅰ）求函数yf(x)的定义域；（Ⅱ）判断函数yf(x)的奇偶性；（Ⅲ）若f(m2)f(m)，求m的取值范围.练习题1．已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)(a＞0，a≠1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)当a＞1时，求使f(x)＞0的x的取值范围2．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)0，当x0时，1f(x)logx.2 （1）求函数f(x)的解析式；（2）解不等式2f(x1)2；3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x0时，1f(x)log(x1)．2 （Ⅰ）求f(0)，f(1)；（Ⅱ）求函数f(x)的表达式；（Ⅲ）若f(a1)1，求a的取值范围．题型4（函数图像问题）例题1.函数f（x）=|log2x|的图象是yy111x-11xOOAByy111x1xOOCD6.求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.f(x)＝|lgx|，a，b为实数，且0＜a＜b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2fa b2，求证：a·b＝1，a b2 ＞1.练习题：1．已知a0且a1，函数f(x)log(x1)a，1g(x)log a，记F(x)2f(x)g(x)1x（1）求函数F(x)的定义域及其零点；（2）若关于x的方程2 F2．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log44xa?237.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于题型五：函数方程1方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________.5.已知函数f（x）= 1()2x,x4,则f（2+log23）的值为f(x1),x4,4．已知函数f(x)log a(axx)(a0,a1为常数）. （Ⅰ）求函数f(x)的定义域；（Ⅱ）若a2，x1,9,求函数f(x)的值域；（Ⅲ）若函数f(x)ya的图像恒在直线y2x1的上方，求实数a的取值范围.1xxyloglog(2x8).5．已知函数22242（Ⅰ）令tlog2x，求y关于t的函数关系式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数的值域，并求函数取得最小值时的x的值.8.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。

对数指数运算知识点总结

对数指数运算知识点总结1. 对数的基本概念对数是一种数学概念，它用来描述一个数是另一个数的几次幂。

通常情况下，我们用log 表示对数运算，其中log_a(b)表示底数为a的对数运算，b是真数。

对数的定义如下：log_a(b) = c => a^c = b在这个定义中，a被称为对数的底数，b被称为真数，c被称为指数。

例如，log_2(8) = 3，表示2的多少次方等于8，即2^3 = 8。

2. 对数的性质对数具有一些重要的性质，这些性质可以帮助我们简化对数运算，提高计算效率。

对数的性质包括以下几点：（1）对数的底数不能为0或1。

对数的底数不能为0或1，因为0和1的幂次方都为1，这样就无法确定一个数是0或1的几次幂。

（2）对数的底数为a时，真数为a^0时，对数等于0。

这是因为a^0 = 1，任何数的1次幂都等于1，所以log_a(1) = 0。

（3）对数的底数为a时，真数为a^1时，对数等于1。

这是因为a^1 = a，所以log_a(a) = 1。

（4）对数运算可以化简为指数运算。

例如，log_a(b) = c可以化简为a^c = b。

（5）对数运算的底数可以相互转化。

对数运算的底数可以相互转化，即log_a(b) = c可以化简为log_b(a) = 1/c。

（6）对数运算可以分解为加减法。

对数运算可以分解为加减法，即log_a(b) + log_a(c) = log_a(b * c)。

（7）对数运算可以分解为乘除法。

对数运算可以分解为乘除法，即log_a(b) - log_a(c) = log_a(b / c)。

（8）对数运算的指数是可以具体化的。

对数运算的指数是可以具体化的，即log_a(b^c) = c * log_a(b)。

（9）对数运算的常数倍。

对数运算的指数可以乘以一个常数，即log_a(b)^c = c * log_a(b)。

这些性质对于解决对数运算的问题非常有用，能够帮助我们简化计算，提高解题效率。

高中数学对数与对数函数知识点及经典例题讲解

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b .（2）指数式与对数式的关系：a b =N log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化.（3）对数运算性质:①log a （MN ）=log a M +log a N .②log a =log a M －log a N .NM ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =（a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.bN a a log log 2.对数函数（1）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）.注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: log a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立（比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16）（2）对数函数的图象11))底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.（3）对数函数的性质:①定义域：（0，+∞）.②值域：R .③过点（1，0），即当x =1时，y =0.④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数.基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是?2.若f－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f－1（x ）的值域为___________________.3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log（3－x ）］的定21义域是__________.4.若log x =z ，则x 、y 、z 之间满足7y A.y 7=x z B.y =x 7z C.y =7x zD.y =z x5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于A.B.C. D.422241217.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于 (x=-2非解)A.B.－C.2D.－221218.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是AB9.设f－1（x ）是f （x ）=log 2（x +1）的反函数，若［1+ f－1（a ）］［1+ f －1（b ）］=8，则f （a +b ）的值为A.1B.2C.3D.log 2310.方程lg x +lg （x +3）=1的解x =___________________.典型例题【例1】已知函数f （x ）=则f （2+log 23）的值为⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,21(x x f x xA.B.C.D.3161121241【例2】求函数y ＝log 2｜x ｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间.【例3】已知f （x ）=log ［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单31调区间.【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围.【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小.【例6】求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值.【例7】在f 1（x ）=x ，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log x 四2121个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使［f （x 1）+f （x 2）］＜f （）成21221x x 立的函数是A.f 1（x ）=x(平方作差比较)B.f 2（x ）21=x 2C.f3（x）=2xD.f4（x）=log x12探究创新1.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）.（1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？2.已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数y=f －1（x）图象上的点.（1）求实数k的值及函数f－1（x）的解析式；（2）将y= f－1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f－1（x+－3）－g（x）≥1恒成立，试求m实数m的取值范围.。

中考数学复习技巧如何提高对数运算的熟练度

中考数学复习技巧如何提高对数运算的熟练度数学是中考必考科目之一，对数运算是其中一个重要的知识点。

为了在中考中取得好成绩，学生需要提高对数运算的熟练度。

本文将介绍一些复习技巧，帮助学生提高对数运算的能力。

一、理解对数的概念对数是指一个数以另一个特定的数为底的幂等于这个数，即loga(b) = c，其中a为底数，b为真数，c为对数。

要提高对数运算的熟练度，首先要理解对数的概念。

通过多次阅读教材中对数的定义和例题，加深对对数的理解。

二、掌握对数运算的基本性质掌握对数运算的基本性质对于解题非常重要。

对数运算有以下几个基本性质：1. 对数与指数的互换性质：loga(b^c) = c * loga(b)2. 对数的加减性质：loga(b * c) = loga(b) + loga(c)3. 对数的乘除性质：loga(b / c) = loga(b) - loga(c)通过不断做题和总结经验，加深对这些性质的理解和掌握，能够更加灵活地应用到实际解题中。

三、多做对数运算的练习题熟能生巧，只有通过大量的练习才能提高对数运算的熟练度。

找到适合自己水平的练习题，进行反复练习。

可以从容易到难，由浅入深地进行，逐渐提高难度。

在做题的过程中，可以结合对数的基本性质，灵活运用，尝试不同的解题方法，培养自己对数运算的感觉和直觉。

通过反复练习，不仅可以加深对数运算的理解，还可以熟练掌握解题方法，提高解题效率。

四、总结解题技巧和方法在复习对数运算的过程中，及时总结解题技巧和方法也是非常重要的。

可以将经典的解题方法整理成思维导图或者笔记，方便随时翻阅和复习。

同时，还可以将一些典型题目进行分类整理，针对不同类型的题目，总结解题的思路和关键点。

通过总结，不仅可以帮助学生加深对数运算的理解，还能够提高解题的速度和准确性。

在复习阶段，多次总结和复习解题技巧和方法，使其变成自己的技能和思维模式。

五、寻求帮助和合作如果在复习对数运算的过程中遇到困难，可以向老师、同学或家长寻求帮助。

进阶初中数学如何理解和应用对数运算

进阶初中数学如何理解和应用对数运算对数运算是数学中一项基础而重要的运算，它在解决各种实际问题中发挥着重要的作用。

在初中阶段，学生已经初步了解了对数的概念和性质，接下来应该进一步深入理解和应用对数运算。

本文将讨论进阶初中数学中如何理解和应用对数运算。

一、对数的概念和性质回顾在初中数学中，我们已经学习了对数的概念和性质。

对于一个正数a和正数b，满足b = a^x，其中x称为以a为底b的对数，记作x=log_a(b)。

我们知道对数具有以下性质：1. 对数与指数的互逆关系：如果b = a^x，那么x = log_a(b)。

2. 对数的换底公式：对于任意正数a、b和c，log_a(b)=log_c(b)/log_c(a)。

这些性质是进一步理解和应用对数运算的基础。

二、理解对数的本质对数运算实际上是指数运算的逆运算。

在刚学习指数时，我们知道指数运算是一种快速增长的运算，而对数运算则是指数运算的逆过程，通过对数运算可以将指数运算转换为等价的加法或减法运算，使得问题更容易计算。

例如，假设有一个指数运算2^3=8，那么对数运算log_2(8)=3，即以2为底8的对数是3。

在这个例子中，对数运算将指数运算2^3转换为等价的对数运算log_2(8)，使得问题更直观和易解。

三、对数的应用1. 计算乘方运算对数运算可以用来计算乘方运算中的指数。

例如，假设要计算5^8，如果没有计算器，可以利用对数运算进行近似计算。

首先，我们可以找到一个近似的底数，例如10，那么问题可以转换为计算log_10(5^8)。

然后，利用对数运算的性质，我们可以将问题进一步转换为8*log_10(5)。

虽然这个问题仍然需要计算，但是它比直接计算5^8要简单得多。

2. 求解指数方程对数运算可以应用于求解指数方程。

指数方程是指形如a^x=b的方程，其中a和b为已知数，求解x的值。

利用对数的换底公式，可以将指数方程转化为对数方程，然后通过对数运算求解。

例如，要求解方程2^x=16，我们可以将它转化为对数方程，即x=log_2(16)。

知识讲解_对数及对数运算_提高

对数及对数运算【学习目标】1. 理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化；2. 了解常用对数与自然对数的意义；3 •能够熟练地运用对数的运算性质进行计算；4 •了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明.5 •能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用.【要点梳理】要点一、对数概念1. 对数的概念如果a^ N a 0,且a"，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数.要点诠释：对数式log a N=b中各字母的取值范围是：a>0 且a=1, N>0, b R.2. 对数log a N a・0,且a = 1具有下列性质：(1) 0和负数没有对数，即N .0 ;(2) 1的对数为0,即log a1 =0 ；(3) 底的对数等于1，即log a a =1.3 .两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10 N简记作lg N .以e (e是一个无理数，e = 2.7182…) 为底的对数叫做自然对数，log e N简记作ln N .4 .对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化•它们的关系可由下图表示.指数式对数式指数对数需真数I |a b=N 1og a N=b底叛由此可见a, b, N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化要点二、对数的运算法则已知log a M ,log a N a 0且a T, M、N 0(1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；log a MN i； = log a M log a N推广：log a 叫怡lIN k = log a N1 log a N2 log a N k 叫、N2、|||、心0(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；Mlog a log a M - log a NN(3) 正数的幕的对数等于幕的底数的对数乘以幕指数；log a M log a M要点诠释：(1 )利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log 2(-3)(-5)=log 2(-3)+log 2(-5)是不成立的，因为虽然log 2(-3)(-5) 是存在的，但log 2(-3)与log 2(-5)是不存在的. (2 )不能将和、差、积、商、幕的对数与对数的和、差、的： log a (M _N)=log a M log a N, log a (M • N)=log a M- log a N,log M log a Mlog a.N log a N要点三、对数公式 1 .对数恒等式：八N二.alogaN=Nlog a N =b2 .换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在 (1) log a M令 log a M=b, 积、商、幕混淆起来，即下面的等式是 a>0, a 工1, M>0的前提下有：错误⑵ log a M = log a n M a则有a b =M n (n R)(a b )n =M ,即(a n )b =M ,即 b = log n M n ，即：log a M = log n M n . a alog c M log c a(c 0,c 严 1),令 log a M=b 则有a"=M, 贝U 有 log c a b 二 log c M (c 0,c = 1) , —log c M ，即 logaM = /c log c a log c a 当然，细心一些的同学会发现 (1)可由⑵ 推出，但在解决某些问题以得到一个重要的结论： 1 log a b (a 0, a =1,b 0, b = 1). 即 b log c a = log c M , (c 0,c = 1) (1)又有它的灵活性•而且由(2)还可 log b a 【典型例题】类型一、指数式与对数式互化及其应用例1.将下列指数式与对数式互化：3 1(1) log 216=4;⑵ log 127 —3 ；⑶ log 3x=3 ；⑷ 5 "25 ；⑸ 23 【解析】运用对数的定义进行互化 .4 1 ” (1) 2 =16 ; (2)- 13丿 -2=9. F ；⑶乜 J ；(4)log 5125=3;⑸吨… 而对数形式和指数形式的互化又是解决问;(6) log 〕9 一2. 3 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，题的重要手段. 举一反三：【变式1】求下列各式中x 的值： 1 (1) log 16x =2(2) log x 8=6 (3)lg1000=x (4) -2ln e 2 = x -；(2)2 ; (3) 3; (4) -4 .【答案】(1) 4【解析】将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出1 1 1一22 一22C —2) .4 1(1) x = (16) 2 = (4 ) 2 = 424 :411丄丄x 3(3) 10 =1000=10，于是 x=3;x(4) 由—2ln e 2二 x,得-X= In e 2,即 e 2= e 所以 x = -4 .2高清课程：对数及对数运算例1【变式2】计算：log 2 4;log 28;log 2 32并比较. 【答案】2 3 5【解析】log 24 = log 2 22 = 2;3log 28=log 22 = 3; 5log 2 32 = log 2 2 =5 .类型二、利用对数恒等式化简求值例 2 .求值:71 log7 5 【答案】35【解析】71网5 =7 7叫5 =7 5 =35.【总结升华】对数恒等式a loga "二N 中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求alogablogbClogcN的值(a , b , c € R +,且不等于1, N>0)【答案】N【解析】将幕指数中的乘积关系转化为幕的幕，再进行运算log a b log b c log c N- log a b、log b c "|logc Nlog b log c N log c Na (a )(b ) c N .类型三、积、商、幕的对数高清课程：对数及对数运算例 3例3.用log a x, log a y, log a z 表示下列各式(1)log a 爭⑵log a (x3y5);⑶loga 吕;⑷叽逹(1)log a xyJog a X log a y - log a Z ； z log a (x 3y 5) Tog a X 3 log a y 5l 依 log a - yz _ , x 2 寸 y 2 3 厂 ± 1 1 log a —3• =log a (x y) Tog a z =2log a X log a y _ log a Z .3 z 2 3【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，须准确地把握它们•在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幕的对数运算对应着对数的和、差、积得运算. 举一反三：【变式1】求值(1) 2log 5 25 3log 2 64 -8log 101【答案】(1) 22； (2) 1； ( 3) 2. 【解析】(1) 2log 5 25 3log 2 64 -8log 101【解析】 (2) (3) (4) = 3log a x 5log a y ； = log a .X — log a (yz) H^log a X — log a y - log a z ； 2(2)lg2 • lg50+(lg5)(3)lg25+lg2因此我们必-lg50+(lg2)_ 1log 36 4'3 -ab 2 a3 ab2 a【答a b2 —a 【解析】解法一:log 189 = a,18b =5 , log 185 = b ，log 18 45 log 18(9 5) 切淞 log/于是 log 36 45a b 181 Iog 18石解法二:log 189 = a,18b =5 ,log 185 = b ，log 18 45 log 18(9 5) log^ log" 于疋 log 36 452_'厂…2log 1818 — log 189log 普解法三：-Tog 189 二a,18b =5 , - lg9 = alg18,lg5 = blg18 , log i8 362—a求 log 36 45 .= 2」og 5 52 3log 226 -8 0 =4 18 -0 = 22.2 2⑵原式=lg2(1 +lg5)+(lg5)=lg2+lg2lg5+(lg5) =lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1 +lg5)+(lg2)2 =2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.2 1 【变式2】(1)设3^4^36，求-•丄的值.x y(2)已知 Iog 2 3=a,3b =7,求 log 12 56 . 【答案】(1) 1 ； (2)匕旦 2 +a【解析】(1)由已知分别求出x 和y：3x =36,4y =36, • r x=log336, y=log 436,由换底公式得：log 3636 1log3636x', y- log 363 log363 log 36 41 1log 36 3, log 36 4, x y2 1 2log 363 log 364 x y2= log 36(3 4)=log 36 3^1(2) Tlog ? 3 a , 2^=3，又 3=7，故 7 = (2丁二 2ab3-!ab 故 56 = 23，ab ，又 12=3 4 = 2a 4 = 2a 2，从而 56 =[2a 2 2 a3 ab故 log 12 56 = log 1212 2 a类型四、换底公式的运用例 4.已知 log 189 =a,18b=5 ,log36 lg 45 lg(9 5) lg 9 lg 5 a lg18 blg18 a bA ------------------- ----------------------- ---- ---------------------------- ---- --------------------------------- ----------------- ~ w — — n — — —lg36厝2l心9…g18 2 a：如89 = a , 18a= 9.= 5,. 45 = 5 9 =18b 」8a =18a b.令 log 36 45 二 x ,解法四：又 7183则 36x =45 = 18a b , F b ,爭廿进一步应用对数运算的性 1log 3 5⑶92谿+器隔2 +器捋log 2 3 log 2 3 2log 3 2、5丁叫丁)花lg 9 lg 32 2 lg 3⑵ log 8 9 log 27 32 -lg 8 lg 27 3lg 21 2( log 3 5)-3 21、丄2现35⑶法一：92=31 -Jog 3 25 5lg2 3lg3 3log3-25=32510 ；9=3 251叫5法二：11-log 9 25=92192 g log 9 25325 (1)b.x—log 1818 log 18 92 - a【总结升华】(1)利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，质. (2) 题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式.(3)解决这类问题要注意隐含条件“log a a1 ”的灵活运用.举一反三:【变式 1 】求值：(1) (log 4 3 log 8 3)(log 3 2 log 9 2) ； (2) log 8 9 log 27 32 ；【答案】(1)5；( 2)10；( 3)— •4925【解析】⑴(log 4 3 log 8 3)(log 3 2 log 9 2)类型五、对数运算法则的应用例5.求值 1log 64 32 log 2 log 3 25 lg14 -2lg7lg 7 -lg18(4) log 2l25 log 4 25 log s 5 (log^ log 2s 4 log 52)(3) log 2 (log 2 32 log 14即 36―(【变式1】求值：7Ig2 1昇 (j) 10【解另解：设 Ig217g (;)2 7^ (1) lo g 72log 7101xlg7 Jlog 7 2 log 710 =7(?)=(7 )1/1、时，1、」 (才池 7.7 lg1Ig10=m (m>0). ••• Ig 7g+lg(?) 10= Ig m ,lg ；log 710 1 一 1(2)=(2?)log 7 102 = 2.ab 二丄35【总结升华】解决本题的关键是要分清楚 .次方程，这样就可以得到原方程的两根是【答案】(1) -10 ; ( 2) 0; ( 3) 3; ( 4) 13 【解析】 ⑴ 原式=log 26 2 5log 252 log 32^log 53^.10⑵ 原式= lg(2 7)-2(lg7 -Ig3) Ig7 -lg(32 2)=lg 2 Ig7 -2lg7 2lg3 Ig7 -2lg3 _Ig2=0、323⑶ 原式= log 2(5 log 2jlog 22 6 ) =log 2(5 - log 2 log 2 6) = log 2 8 = 324 2 4113 (4)原式=(3log 25 log 25 丄log 25)(3log 52)3log 5 2log 2 5 =1333举一反三:【答案】71■- Ig 2 Ig 7 Ig lglg m, • Ig 2 Ig7 (Ig 7 -1)( -Ig 2) = Ig m ,1021 \g —•• Ig2=lgm ,• 2=m ,即 7Ig2■(-) 10 =22'例6.若方程Ig 2 x (Ig7 Ig5)lgx Ig7」g5二0的两根是a , b ,求ab 的值.1【答案】丄35【解析】设 Ig x 二 t ，则 t 2 (Ig7 Ig5)t Ig7 Ig5 =0二lga,lg b 是原方程的两个根，Iga Igb »(lg7 Ig5) — Ig35 = Ig — 351lg ab = lg 35 35a ,b 是哪个方程的根，所以首先利用换元法把方程化成一元 lga,lg b . 举一反三：【变式1】若a,b 是方程2(lg x)2 Tg x 4 • 1 = 0的两个实根，求lg(ab)L(log a b • log b a)的值.【答案】12【解析】原方程可化为2(lg x)2 - 4lg x • 1 = 0 ，设Ig x二t ，则原方程化为2 1 2t-4t 1=0 . - 1 t2=2,址2：由已知a,b是原方程的两个根,_ 1"2，lga x lgb 」lgb lga则 t | = lg at = lg b ，即 lg a lg b =2,lg a|_lg b.lg(ab)L(log a b log b a) =(lga lgb)_ lga lg b *lgb 2 lg a 2 lg a lg b2= gb 7ga -Ngagblga lgb22一2 1=2 2=1212即 lg ab L log a b log b a [=12 .。

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45 36
log18 (9 5) log18 (18 2)
log18 9 log18 1 log18 2
5
ab
1
log18
18 9
ab 2a
．
解法二： log18 9 a,18b 5 ，log18 5 b ，
于是 log36
45
log18 log18
45 36
log18 (9 5)
log18
运算对应着对数的和、差、积得运算．
举一反三：
【变式 1】求值
(1) 2 log 5 25 3log 2 64 8log10 1
【答案】（1）22；（2）1；（3）2．
(2)lg2·lg50+(lg5)2
(3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2
【解析】(1) 2 log 5 25 3log 2 64 8log10 1 2 log 5 52 3log 2 26 8 0 4 18 0 22.
(1) log2 16
4 ；(2) log1
3
27
3 ；(3) log
3
x
3 ；(4) 53
125 ；(5) 21
1 2
；(6)
1 3
2
9.
【解析】运用对数的定义进行互化.
(1) 24
16
；(2)
1 3
3
27 ；(3)
3
3
x ；(4) log5 125 3 ；(5) log2
1 2
(c
0, c
1)
当然，细心一些的同学会发现(1)可由(2)推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2)还可以
得到一个重要的结论:
log
a
b
1 log b
a
(a 0, a 1,b 0, b 1) .
【典型例题】
类型一、指数式与对数式互化及其应用
例 1.将下列指数式与对数式互化：
a lg18 2 lg18
b lg18 a lg18
a 2
b a
．
9
解法四： log18 9 a ，18a 9. 又 18b 5,45 5 9 18b 18a 18ab ．
令 log36 45 x ，则 36x 45 18ab ，
即 36x
(18
18)x
18ab
,
182 (
)
x yz
loga
x
loga ( yz)
1 2
log
a
x loga
y
loga
z
；
（4） loga
x2
3
y z
= loga (x2 y) loga
3
z
2 loga
x
1 2 loga
y
1 3 loga
z
．
【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们
必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数
1 9
(2) lg14 2 lg 7 lg 7 lg18 3
(3) log 2 (log2 32 log 1
3 4
log 4
36)
2
(4) log2 125 log4 25 log8 5(log125 8 log25 4 log5 2)
3 4
log 2 log 2
3 8)(log3
2
log 3 log 3
2 )
9
(log 2 2
3
log 2 3
3 )(log3
2
log 3 2
2 )
5 6
log 2
3
3 2
log 3
2
5 4
；
(2) log 8 9 log 27
32
lg 9 lg 32 lg 8 lg 27
2 lg 3 5lg 2 3lg 2 3lg 3
2 ln
e2
x，得
x
ln
e2，即e
x 2
e2
所以x 4 .
2
【高清课堂：对数及对数运算 369068 例 1】
【变式 2】计算： log2 4; log2 8; log2 32 并比较．
【答案】2 3 5
【解析】 log2 4 log2 22 2; log2 8 log2 23 3; log2 32 log2 25 5 ．
loga M loga M
要点诠释：
（1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能
成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然 log2(-3)(-5)是存在的，但 log2(-3)与 log2(-5)是不存在的.
(1)0 和负数没有对数，即 N 0 ； (2)1 的对数为 0，即 loga 1 0 ； (3)底的对数等于 1，即 loga a 1.
3．两种特殊的对数
通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， log10 N简记作 lg N .以 e（e 是一个无理数， e 2.7182 ）为底的对数叫做自然对数， loge N简记作ln N .
故 log12 56
3ab
log12 12 2a
3 ab 2a
．
类型四、换底公式的运用
例 4.已知 log18 9 a,18b 5 ，求 log36 45 ．
【答案】 a b 2 a
【解析】
解法一： log18 9 a,18b 5 ，log18 5 b ，
于是 log36
45
log18 log18
类型二、利用对数恒等式化简求值
例 2．求值： 71log7 5
【答案】35
【解析】 71log7 5 7 7log7 5 7 5 35 . 【总结升华】对数恒等式 aloga N N 中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其
值为真数.
举一反三：
【变式 1】求 aloga blogb clogc N 的值(a，b，c∈R+，且不等于 1，N>0) 【答案】 N
【变式 2】（1）（2014 年浙江舟山月考）已知 2x 5y 10 ，则 x y
．
xy
（2）已知 log2 3 a, 3b 7 ，求 log12 56 ．【答案】（1）1；（2） 3 ab
2 a 【解析】（1）∵ 2x 5y 10 ， ∴ x log2 10 ， y log5 10 ，
10 9
；
1
(3)法一： 92log3 5
32
(
1 2
log3
5)
31log3 25
3log3
3 25
3
25
1
1
法二： 92log3 5
91 2
log9
25
92 9log9 25
3
.
25
类型五、对数运算法则的应用
例 5.求值
(1)
log 64
32 log 2
1 25
log3
1 8
log5
【解析】将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.
aloga blogb clogc N (aloga b )logb c logc N (blogb c )logc N clogc N N .
类型三、积、商、幂的对数
【高清课堂：对数及对数运算 369068 例 3】
例 3. 用log a x, log a y, log a z 表示下列各式
对数及对数运算【学习目标】 1.理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2.了解常用对数与自然对数的意义； 3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算； 4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明． 5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用．【要点梳理】要点一、对数概念 1.对数的概念
∴ x y 1 1 lg 5 lg 2 lg10 1 ． xy y x
故答案为：1．
（2） log2 3 a ，2a 3 ，又 3b 7 ，故 7 (2a )b 2ab
3ab
3ab
故 56 23ab ，又12 3 4 2a 4 2a2 ，从而 56 2a2 2a 12 2a ，
举一反三：
【变式
1】求值：(1)
(log
4
3
log
8
3)(log
3
2
log
9
2)
；(2)
log
8
9
log
27
32
；(3)
91 2
log3
5
.
【答案】（1） 5 ；（2） 10 ；（3） 3 ．
4
9
25
【解析】(1) (log 4 3 log 8 3)(log 3 2 log 9 2)
( log 2 log 2
(2)
log a M
log c M log c a
(c 0, c 1) ，令 logaM=b，则有 ab=M，则有 log c ab log c M (c 0, c 1)
即 b log c
a
log c
M
，
即b
log c M log c a
，即 log a
M
log c M log c a
182 9
log18 9 log18 5 2 log18 18 log18 9
a 2
b a
.
解法三： log18 9 a,18b 5 ，lg 9 a lg18, lg 5 b lg18，