对数与对数知识点教学内容
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对数与对数运算
（1）对数的定义
①若(0,1)x
a
N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x
N =，其中a 叫做底数，
N 叫做真数．
②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x
N a N a a N =⇔=>≠>．
（2）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．
（3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N
；自然对数：ln N ，即log e
N
（其中
2.71828e =…）
． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a
a M N >≠>>，那么
①加法：log log log ()a
a a M N MN +=
②减法：log log log a a a M
M N N
-=
③数乘：log log ()n a
a n M M n R =∈
④
log a N a N = ⑤log log (0,)b
n a a n
M M b n R b
=
≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N
N b b a
=
>≠且
对数函数及其性质
（5）对数函数
值域 R
过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，
0y =．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在(0,)+∞上是增函数
在(0,)+∞上是减函数
函数值的 变化情况
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x >>==<<<
log 0(1)
log 0(1)log 0(01)
a a a x x x x x x <>==><<
a 变化对 图
象的影响
在第一象限内，a 越大图象越靠低，越靠近x 轴 在第四象限内，a 越大图象越靠高，越靠近y 轴 在第一象限内，a 越小图象越靠低，越靠近x 轴 在第四象限内，a 越小图象越靠高，越靠近y 轴
基础练习：
1.将下列指数式与对数式互化：
(1)2－
2＝14； (2)102＝100； (3)e a ＝16； (4)64－13＝14；
2. 若log 3x ＝3，则x ＝_________
3.计算：2
lg 25lg 2lg 50(lg 2)++= 。
4.（1）
log 29
log 23
＝________． 5. 设a ＝log 310，b ＝log 37，则3a －
b ＝_________.
6.若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为______________.
7.(1)如图2－2－1是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，1
10，则图象C 1，
C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是______________
(2)函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )
4. 求下列各式中的x 的值： (1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝3
4；
8.已知函数f (x )＝1＋log 2x ，则f (1
2)的值为__________.
9. 在同一坐标系中，函数y ＝log 3x 与y ＝lg 13
x 的图象之间的关系是_______________
10. 已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧3x （x ≤0），log 2x （x >0），那么f (f (1
8))的值为___________.
例题精析：
例1.求下列各式中的x 值：
（1）log 3x ＝3； (2)log x 4＝2； (3)log 28＝x ； (4)lg(ln x )＝0.
变式突破：
求下列各式中的x 的值：
(1)log 8x ＝－23； (2)log x 27＝3
4； (3)log 2(log 5x )＝0； (4)log 3(lg
x )＝1.
例2.计算下列各式的值：
(1)2log 510＋log 50.25; (2)12lg 3249－43lg 8＋lg 245 (3)lg 25＋2
3lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg
2)2.
变式突破：
计算下列各式的值：
(1)312
log
34；
(2)32＋log 35； (3)71－log 75； (4)41
2
(log 29
－log 25)．
例3.求下列函数的定义域：
(1)y ＝lg （2－x ）； (2)y ＝1
log 3（3x －2）； (3)y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)．
变式突破：
求下列函数的定义域：
(1)y ＝
log 12
（2－x ）;
例4.比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2； (2)log a 3.1，log a 5.2(a >0，且a ≠1)； (3)log 30.2，log 40.2； (4)log 3π，log π3.
变式突破：
若a ＝log 0.20.3，b ＝log 26，c ＝log 0.24，则a ，b ，c 的大小关系为________．
2设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(1
2
)－1.5，则( )
A ．y 3>y 1>y 2
B ．y 2>y 1>y 3
C ．y 1>y 2>y 3
D ．y 1>y 3>y 2