积分与路径的无关性
第二节 积分与路径的无关性
机动
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(3)
1 0
z cos z d z z d sin z
0
1
1 0
sin z d z
分部积分公式：
机动
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(4) 试沿区域 Im( z) 0 , Re( z) 0 内的圆弧 i ln( z 1) 计算积分 1 z 1 d z 的值. ln( z 1) 且 积函数在所设区域内解析， 被积函数 解： z 1 1 2 它的一个原函数为 ln ( z 1 ) , 所以 2 i ln( z 1) 1 1 2 [ ln 2 ( 1 i ) ln 2 2 ] 1 z 1 d z 2 ln ( z 1) 2 2 1 1 2 2 3 2 ln 2 [ ( ln 2 i ) ln 2 ] ln 2 i 2 2 4 32 8 8
内，
C2
C
2z dz 2 z 4
C1
2z 2z dz 2 dz 2 C2 z 4 z 4
C1
1 1 1 1 dz dz dz dz C1 z 2i C1 z 2i C2 z 2i C2 z 2i
2z 1 1 4 i 2 i 20 2ii z 2i z 4 0 z 2
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三、闭路变形定理和复闭路定理
对闭路作不经过被积函数 变成 奇点的连续变形
C3
f ( z) d z
C3
C2
f ( z) d z
f ( z) d z
平面曲线积分与路径无关的条件
y
x2 x sin y C .
B(•x, y)
•
O
•
C(x,0) x
图 11 1
例2. 设质点在力场
作用下沿曲线 L :
由 A( 0, )移动到
2
求力场所作的功W
y
A
解:
W
Fds
L
L
k r2
( ydx
x d y)
令
则有
o
L Bx
P y
k(x2 y2) r4
Q x
( x2 y2 0)
(iii)
是 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u(x, y) P dx Q d y (iv) 在 D 内处处成立 P Q .
y x
证明 (i)
(ii)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
B
Pd x Qd y Pd x Qd y L2
L1
L2
A
L1
则 Pdx Qdy 是某个函数u的全微分, 且
( x, y)
u(x, y) Pdx Qdy ( x0 , y0 )
(u的求法)
上述求原函数的过程称为全微分求积(分).
例 求 xdy ydx 的一个原函数, 并计算 x2 y2
( 3,3) xdy ydx (1,1) x2 y2
原函数的另一种求法:
du P dxQdy
则
u P( x, y), u Q( x, y)
x
y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 所以
从而在D内每一点都有
P Q y x
证明 (iv)
(i)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D
曲线积分及其与路径无关问题
曲线积分与路径无关问题1. 第一型曲线积分(1)对弧长的曲线积分的模型：设给定一条平面曲线弧L ：AB ,其线密度为),(y x ρ求弧AB 的质量m 。
⎰=Lds y x f m ),(,(2)若BA L AB L ==21,，则⎰1),(L ds y x f =⎰2),(L ds y x f ，即对弧长的曲线积分与积分弧段有关,但与积分弧段的方向无关。
(3)对弧长的曲线积分的计算设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，)(βα≤≤t ,其中)(t ϕ、)(t ψ在[]βα,上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，则曲线积分⎰Lds y x f ),(存在，且⎰Lds y x f ),(=[]dt t t t t f )()()(),(2'2'ψϕψϕβα+⋅⎰ )(βα<特别,当1),(=y x f 时,⎰Lds y x f ),(表示曲线弧L 的弧长。
当曲线弧L 的方程为)(x g y = )(b x a ≤≤，)(x g 在[]b a ,上有连续的导数，则⎰Lds y x f ),(=[]dx x g x g x f da)(1)(,2'+⋅⎰；把线弧L 的方程为)(x f y =化作参数方程⎩⎨⎧==)(x g y xx ，)(b x a ≤≤，⎰Lds y x f ),(=[]dy y h y y h f dc)(1),(2'+⋅⎰ )(d y c ≤≤2. 第二型曲线积分(1) 第二型曲线积分的模型: 设有一平面力场j y x Q i y x P y x F ),(),(),(+=，其中),(),,(y x Q y x P 为连续函数,一质点在此力场的力作用下，由点A 沿光滑曲线L 运动到点B ，求力场的力所作的功W 。
dy y x Q dx y x P W L),(),(+=⎰，(2)设L 为有向曲线弧，L -为与L 方向相反的有向曲线弧，则dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰dy y x Q dx y x P L),(),(+-=⎰-即第二型曲线积分方向无关(3)设xoy 平面上的有向曲线L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ ，当参数t 单调地由α变到β时,曲线的点由起点A 运动到终点B ,)(t ϕ、)(t ψ在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且0)()(2'2'≠+t t ψϕ，函数),(y x P 、),(y x Q 在L 上连续，则曲线积分dy y x Q dx y x P L),(),(+⎰存在，且⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=[][]{}dt t t t Q t t t P ⎰+βαψψϕϕψϕ)()(),()()(),(''这里的α是曲线L 的起点A 所对应的参数值，β是曲线L 的终点B 所对应的参数值，并不要求βα<。
第二型曲线积分与路径无关性的应用
过“ 微积分 ” 微元后 再乘。 第二型曲线积 分就 是函数和 坐标 乘。 当已知 ｘ ， ｙ两个方向的力 ， 求功 ， 或者 已知 ｘ ， ｙ ， Ｚ 分 别方向上 的流速 ， 求流
量时 ， 使 用第二 型曲线积分 法。 本文从 以下几个个方 面举例论述 了曲线积分与路径无关性的应用 ， 即求原 函数 、 计算曲线积分、 求微分
Ｌ Ｅ Ｂ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ｄ ｙ ＋ Ｌ Ｆ Ａ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ｄ ｙ ＝ ｑ 而 弧 脚和 弧 在 实 际 上
构 成了 一条 封闭 曲 线， 命名 为Ｌ 。 Ｌ Ｅ Ｂ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ｄ ｙ Ｊ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ａ ｙ ０ ，
可进一步转化为 Ｉ ， Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ａ ｙ ： ０ ， 设曲 线Ｌ 同 成的区域为 Ｄ ， Ｄ
＜ ２ ＞设 有 向 曲 线 弧 为 ， 与一 为 一 对 反 方 向 的 有 向 曲 线
弧， 贝 ０ 有， Ｊ Ｌ Ｐ （ ｘ ， ｙ ） ｄ ｘ ＋ Ｑ （ ｘ ， ） ａ ｙ 一 Ｊ － Ｌ Ｐ （ ｘ ， ｙ ） ｄ ｘ ＋ Ｑ （ ｘ ， ｙ ） ｄ ｙ
『 』 （ 一 蛐＝ 』 尸 ｄ ｘ ＋ Ｑ ａ ｙ ， 由 于 Ｊ ， 肋＋ 劬： ０ ， 从 而 得 ，
此得出 Ｊ Ｉ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ｄ ｙ —Ｉ Ｐ ｄ ｘ ＋ Ｑ ａ ｙ ＝ ０ ， 可转化为，
Ａ Ｅ Ｂ Ｊ ＡＦ Ｂ
、
第 二 型 曲线 积 分 与路 径 无 关性 的应 用
（ 一） 第二型 曲线积分与路径无关的模型介绍
例 ｌ ＜ １ ＞设 有 某 一 平 面 力 场 Ｆ （ ｘ ， ） ＝Ｐ （ ｘ ， ｙ ） ｉ ＋Ｑ （ ｘ ， Ｙ ） Ｊ， 公 式
例 ２设 弧 Ａ Ｅ Ｂ 和弧Ａ Ｆ Ｂ分 别 为 平 面上 的 单 连 通 区 域 （ Ｇ ） 内 的
4.路径无关
∂P ∂Q = ∂y ∂x
17 证明 (1) (2) 设 L , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 1
线, 则
∫L Pdx + Qdy − ∫L
1
Pdx + Qdy
2
L2
B
L1
+∫
=∫
L1+L− 2
L− 2
Pdx + dy
A
Pdx + Qdy
L2
(根据条件(1))
= ∫ Pdx + Qdy
说明: 说明 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
∫AB Pdx + Qdy = ∫A Pdx + Qdy
B
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
16
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y )
A(x0, y0 )
( x+∆x, y)
C(x + ∆x, y )
则
∆xu = u(x + ∆x, y) − u (x, y)
L
y = 2 x − x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧； 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧； (0,0)到点(1,1)的一段弧
4
2、求曲线积分 I 1 =
I2 =
∫
AMB
( x + y ) 2 dx − ( x − y ) 2 dy 和
∫
ANB
的差. ( x + y ) 2 dx − ( x − y ) 2 dy 的差.其中 AMB
解
P ( x , y ) = xy 2 ,
Q ( x , y ) = yϕ( x ),
高等数学 第二类曲线积分与路径无关问题1
∫
C
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy = ∫
C + c0
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy − ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy
C0
=
∫∫ ( 2 − 3 y
D
2
)dxdy − ∫ (1 + 0 3 ) dx =
π
=
3a 2 2
∫
2π
0
3 sin 2 t cos 2 tdt = πa 2 . 8
例 3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 y = a sin x 中，求一条曲线Ｃ，使沿 该曲 线从Ｏ到Ａ的线积分 ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy 的值最小。
C
解 本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。 令 C 0 : y = 0, x : π → 0 ，即 AO 直线段。
xdy − ydx ,其中 L 为: L x2 + y2
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周. 解 这里 P ( x, y ) =
−y x , Q ( x, y ) = 2 , 2 x +y x + y2
2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 = ,且 P ( x, y ) 与 Q ( x, y ) 在不含原点的任意一个区域内具有一 2 2 ∂x ( x + y ) ∂x 阶连续偏导数. （1） 这个曲线积分与路径无关,所以
I =∫ xdy − ydx = 0. x2 + y2
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
曲线积分路径无关四个条件
曲线积分路径无关四个条件曲线积分是高等数学中的一个重要概念，它可以描述一个向量场沿着一个曲线的积分。
路径无关是指无论沿着哪条路径进行曲线积分，得到的结果都是相同的。
而要满足路径无关，曲线必须满足以下四个条件。
第一个条件是曲线必须是光滑的。
也就是说，曲线必须是连续可导的，而且导数在曲线上不存在跳跃或间断点。
只有在这种情况下，才能确保曲线积分有意义且可计算。
第二个条件是曲线的起点和终点必须相同。
这意味着曲线必须是一条闭合曲线，它可以是一个圆、椭圆、心形等等。
如果曲线不是闭合曲线，那么路径无关的条件可能不成立。
第三个条件是曲线的向量场必须是有界的。
也就是说，在曲线上的任意一点，向量场的模长必须小于一个有限的值。
如果向量场无界，那么对于某些路径，曲线积分可能会变得无穷大，导致路径无关的条件不再成立。
最后一个条件是曲线的向量场必须是无旋的。
也就是说，曲线上的每一点都满足旋度为零。
这意味着曲线上的向量场对于不同的路径积分结果是相同的。
只有在旋度为零的情况下，才能确保曲线积分的路径无关性。
在实际应用中，路径无关的条件会被广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
例如，在电磁感应和流体力学中，曲线积分需要满足路径无关的条件才能得到正确的结果。
而在计算机图形学中，曲线积分的路径无关性可以用来实现纹理映射、法线平滑和光照效果等视觉效果。
总之，路径无关是曲线积分的一个重要性质，只有当曲线满足光滑、闭合、有界和无旋四个条件时才成立。
这对于实际应用具有指导意义，也为我们深入理解曲线积分的本质提供了新的途径。
曲线积分与路径无关的条件
并求出这个函数．
证明 : 令P( x, y ) = xy 2 , Q( x, y ) = x 2 y, 则
∂P ∂Q ∂P ∂Q P , Q, 和 在整个xoy面上连续，且 = 2 xy = . ∂x ∂x ∂x ∂x
故表达式xy 2 dx + x 2 ydy是某个二元函数的全微分.
L
(2)对于D内任意一条分段光滑曲线L, 积分∫ Pdx + Qdy
L
与路径无关 ;
(3)存在某一函数u = u ( x, y )定义在D上, 使得 du = Pdx + Qdy
在D内恒成立;
∂P ∂Q (4)在D内才处处有 = . ∂y ∂x 证明路线图 : (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).
(2) L是从点A(1,0)沿上半圆y = 1 − x 2 到点B (−1,0)的圆弧；
(3) L是从点A(1,0)到点M (0,−1)再到点B (−1,0)的折线.
y
解: 在(1),(2)和(3)的各自条件下
1
I = ∫ (3 x 2 + y )dx + ( x − 2 y )dy = −2
L
−1
说明: 说明
(1)比较此定理的条件与格林公式条件的差别；
(2)应用判别积分与路径无关的条件 : ∂P ∂Q = ; ∂y ∂x
(3)二元函数的＂原函数＂及其求法．
方法(i) 方法
u ( x, y ) = ∫ P ( x, y 0 ) dx
x0
x
y
• A( x0 , y0 )
• B ( x, y )
由点A(0, )移动到点B ( ,0), 求此力场所作的功.(其中r = x + y ) 2 2
格林公式曲线积分与路径的无关性
y
M
解 曲线 ¼ AMO 由函数 y ax x , x [0, a]
O
N A(a,0) x
图 21 17
表示, ONA 为直线 y 0 , 于是
SD
1 2
Ñ x dy
y dx
1
2
x dy y dx 1
ONA
2
¼ AMO x dy y dx
1
2
¼ AMO x dy y dx
»AB P dx Q dy
与路线的选择无关, 故当
B( x, y) 在 D 内变动时, 其
积分值是 B( x, y) 的函数, 即有
u( x, y) P dx Q dy . »AB
取 x 充分小, 使 C( x x , y) D , 则函数
u( x , y)
对于 x 的偏增量(图21-20)
值定理可得
xu
P dx Q dy
BC
xx
x P(t , y)dt P( x x , y)x ,
其中 0 1. 根据 P( x , y) 在 D 上连续, 于是有
u lim xu lim P( x x , y) P( x , y).
x x0 x x0
同理可证
u Q( x , y). 所以证得 y
(
x
x 1.5 0.5)2
1
dx
4arctan 0.5 2arctan 2.
注1 定理 21.12 中对“单连通区域”的要求是重要 的.如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 , 虽 然算起来很简单,但却不可用.因为任何包含 的单连通区域必定含有奇点 E . 又如本节例 2,对任 何不包含原点的单连通区域, 已证得在这个区域内 的任何封闭曲线 L 上, 皆有
曲线曲面积分与路径形状无关性
曲线曲⾯积分与路径形状⽆关性
在计算⼆型曲线/曲⾯积分时，若曲线/曲⾯积分与路径/形状⽆关则会⼤⼤减少计算量。
下⾯给出⼆型曲线/曲⾯积分与路径/形状⽆关性的定理。
平⾯曲线积分
设函数P(x,y)和Q(x,y)在区域D内可微，且满⾜下列条件：
则曲线积分：
其积分值在区域D内与路径l⽆关。
空间曲线积分
设函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在区域Ω内可微，且满⾜下列条件：
则曲线积分：
其积分值在区域Ω内与路径l⽆关。
曲⾯积分
设函数X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z)在区域Ω内可微，且满⾜下列条件：
则曲⾯积分：
其积分值在区域Ω内与曲⾯Σ的形状⽆关（仅与张成曲⾯Σ的空间曲线C有关）。
什么叫做积分与路径无关
什么叫做积分与路径无关在数学和物理学领域中，积分是一个非常重要且常见的概念。
在微积分中，我们经常要处理的问题是如何计算函数的积分，从而求得曲线下面积或者函数在某个区间的平均值等。
然而在一些情况下，我们会遇到一个有趣的性质，即积分与路径无关。
什么是积分与路径无关积分与路径无关是指对于一个函数或者矢量场，在同一个开集上取两个不同的路径进行积分，得到的积分值是相等的。
这个性质在数学中也称为路径无关积分或者良定积分。
具体地说，如果一个函数在某个区域内的积分值与路径无关，那么这个函数可以被称为具有路径无关积分的性质。
示例为了更好地理解积分与路径无关，我们来看一个简单的例子：考虑一个简单的标量场f(x,y)，在平面上的一个区域内，我们要计算其沿着两条不同的路径C1和C2的曲线积分。
假设C1和C2都起点为A，终点为B，则有：$$ \\int_{C_1} f(x,y) ds = \\int_{A}^{B} f(x,y) ds = I_1 $$$$ \\int_{C_2} f(x,y) ds = \\int_{A}^{B} f(x,y) ds = I_2 $$如果I1=I2，那么我们称f(x,y)在该区域内具有路径无关积分的性质。
独立于路径的场具有路径无关积分的性质的场在物理学中有着广泛的应用，特别是在电磁学和势场的研究中。
例如，在静电学中，电场的功率贡献和势能常常是路径无关的，这使得我们能够更容易地计算电场的能量和势能分布。
贝萨定理贝萨定理是路径无关积分的一个重要定理，通常用于计算平面和曲面上的积分。
贝萨定理可以帮助我们将曲线积分转化为二重积分或者三重积分，从而简化计算过程。
结语积分与路径无关是一个重要而有趣的数学概念，在数学和物理学领域中有着广泛的应用。
通过理解和掌握这一概念，我们能够更深刻地理解函数或者场在空间中的性质，从而更好地解决实际问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解什么是积分与路径无关。
第22章第2节曲线积分和路径的无关性
P( x, y)dx Q( x, y)dy
l
1
§22.2 曲线积分和路径的无关性
如果对于平面区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
L1
Pdx Qdy
y
L2
Pdx Qdy
L1
B
G
则称曲线积分 L Pdx Qdy
Q P 由格林公式 dxdy C Pdx Qdy y x
即推出了1。
0
9
§22.2 曲线积分和路径的无关性
定义：当第二类曲线积分和路径无关时，点A x0 , y0 固定， 称U x , y
x, y
x0 , y0
A '' l
B ''
A
B
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
定义：只环绕奇点M一周的闭路上的积分值 叫做区域D的循环常数,记为 .
20
§22.2 曲线积分和路径的无关性
xdy ydx 例5. 求 2 关于奇点(0,0)的循环常数. 2 x y
y x 解：P 2 , Q 2 . 2 2 x y x y
故
xy dx y ( x ) dy ( 0,0)
2
( 1 ,1 )
0 0dx 0
1
1
1 ydy . 2
19
§22.2 曲线积分和路径的无关性
区域内有一个奇点M的情况.
闭路中有一奇点，格林公式不能应用。
B'
A'
L
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
一曲线积分与路径无关的定义二曲线积分与路径无关的条
例 1验 证(eyx)dx (xye2y)d. y与 路 径 无 关 ，
L
并 求 之 。 其 中L为 过 三 点 o(0,0)， A(0,1)， B(1,2)
的 圆 周 ， 由 o(0,0)到 B(1,2)的 曲 线 弧 .
解 设 P ( x ,y ) e y x ,Q ( x ,y ) x y 2 e y .
A
则 称 曲 线 积 分 L P d Q xdoy
x
在G内与路径无关,否则与路径有关.
L1PdxQdyL2PdxQdyLPdQ x d 0y.
LL 1(L 2)
二、曲线积分与路径无关的条件
定理 2 设 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 , 函 数 P ( x , y ),
因此，在 xoy 面内， xy2dxx2ydy是某个函数
u (x, y) 的全微分。 取 x 0 0 ,y 0 0 .
u (x ,y)0 xx0 2 d x 0 yx 2ydyx
2y 2
2
.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D 上 P (x ,y)Q ,(x ,y)具 有 连 件 续 的 一 阶 偏 导 数 , 则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
C 所围的闭区域为 D。
G
G 是单连通的，因此， DG .
于是，在 D 内
P y
Q x
.
CD
应用格林公式，有
C P (x ,y )d x Q (x ,y )d y ( Q x P y)d0. D
即，在 G 内曲线积分 L P (x ,y)d x Q (x ,y)dy
等 (1) 在 D 内 LPdQ x 与 dy路径无关 价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
ch21.3 格林公.曲线积分与路径的无关性
8
例2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线 证明 是一条分段光滑的闭曲线,
∫L
2xy dx + x2 dy = 0
证: 令 P = 2xy, Q = x2 , 则
3) 可用积分法求 u = P d x + Q d y在域 D 内的原函数 可用积分法求d 在域 内的原函数: 取定点 ( x0, y0 ) ∈D及动点 ( x, y ) ∈D, 则原函数为
u ( x, y) = ∫
( x, y )
= ∫ P(x, y0 )dx +∫ Q(x, y)dy
或 u (x, y) =∫ Q(x0 , y)dy + ∫ P(x, y)dx
L
在D 内
与路径无关, 只与起止点有关(全微分式的积分 全微分式的积分). 与路径无关 只与起止点有关 全微分式的积分 (3) 的全微分, 的全微分 在 D 内是某一函数
d u(x, y) = P dx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x
即
13
证明 (1)
(2)
15
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
du = P dx + Qdy ∂u ∂u = P(x, y), = Q(x, y) ∂x ∂y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 从而在 内每一点都有 ∂P ∂Q = ∂y ∂x
16
证明 (4)
L
3
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
格林公式·曲线积分与路线的无关性
解 ONA 为直线 y 0 .
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y ax x , x [0, a ]表示, 1 A xdy ydx 2 L 1 1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx AMO xdy ydx 2 2 2 1 0 a a a 1 2 a x ( 1)dx ( ax x )dx 0 xdx 6 a . 2 2 ax 4
xu u lim lim P ( x x , y ) P ( x , y ). x x 0 x x 0
u Q ( x , y ). 所以证得 同理可证 y
du P dx Q dy .
(iii) P dx Q dy 是 D 内某一函数 u( x , y ) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Q dy ;
D D
单连通区域
复连通区域
定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P ( x , y ),
Q( x , y ) 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以
下四个条件两两等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
P dx Q dy 0;
L
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
§3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系.
一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性
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一、格林公式
边界曲线L的正向: 当观察 者沿边界行走时,区域D总 在他的左边. 与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 L .
曲面积分与路径无关条件
曲面积分与路径无关条件1. 引言曲面积分是多元微积分中的一个重要概念，它描述了一个向量场在曲面上的总体效应。
在某些情况下，曲面积分的结果与路径有关，即积分的结果会随着路径的选择而发生变化。
然而，在一些特殊情况下，我们可以得到曲面积分与路径无关的条件。
本文将详细介绍曲面积分与路径无关条件及其应用。
2. 曲面积分基本概念回顾在开始讨论曲面积分与路径无关条件之前，我们先回顾一下曲面积分的基本概念。
2.1 曲面积分定义设有一个平滑曲面S，其上每一点都有一个法向量n。
对于一个向量场F，其在曲面S上的曲面元素dS可以表示为：dS = n · dS其中，n是单位法向量，dS是曲面元素的大小。
2.2 第一类和第二类曲面积分根据被积函数的不同类型，我们可以将曲面积分划分为第一类和第二类。
第一类曲面积分表示对标量函数f在曲面S上的积分，可以表示为：∬f(x, y, z) dS第二类曲面积分表示对向量场F在曲面S上的积分，可以表示为：∬F · dS3. 曲面积分与路径无关条件一般情况下，曲面积分的结果与路径有关，这是因为不同路径上的法向量可能不同，从而导致曲面积分结果的变化。
然而，在某些情况下，我们可以得到曲面积分与路径无关的条件。
3.1 梯度场如果一个向量场F可以写成一个标量函数f的梯度场，即F = ∇f，那么对于任意闭合曲线C和包围该曲线的任意平滑曲面S，有：∮F · dr = 0其中，dr是C上的切向量。
3.2 散度场如果一个向量场F是一个散度场，即存在一个标量函数φ使得 F = ∇·φ ，那么对于任意闭合曲面S有：∬F · dS = 0其中dS是S上的法向量。
3.3 旋度为零如果一个向量场F的旋度为零，即∇ × F = 0，则对于任意闭合曲面S有：∬F · dS = 03.4 Green公式对于一个平面区域R，如果向量场F在R上的偏导数连续，那么有Green公式：∬(∇·F) dA = ∮F · dr其中，dA是R上的面积元素，dr是R的边界上的切向量。
曲线积分与路径无关的问题之证明
曲线积分与路径无关的问题之证明第一篇：曲线积分与路径无关的问题之证明设平面上的单连通区域G内分别以A和B两点为起点和终点的弧ρρρ有连续向量函数F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j，要使该函数的曲线积分与路径无关，就有⋯AFB，AEB和弧⋯⎰⋯AEBPdx+Qd=y⎰⋯AFBP+dx,于Qdy是有即⎰⎰⋯AEBPdx+Qdy-⎰⋯Pdx+Qdy=0,AFB⋯AEB⋯Pdx+Qdy+⎰⋯Pdx +Qdy=0,实际上弧⋯AEB和弧BFABFA构成了一封闭曲线L，上式等价为内可以取⋯⎰Pdx+Qdy=0L任意大小。
，记L围起的区域为D，D 在G用格林公式∂Q∂P(-)dxdy=⋯Pdx+Qdy⎰⎰⎰L∂x∂yD，因为⋯⎰∂Q∂PPdx+Qdy=0，得到⎰⎰(-)dxdy=0，又因为L∂x∂yD∂Q∂P∂Q∂P=-=0D可以取任意小，于是有，或者∂x∂y。
这就得到了函数∂x∂y曲面积分与路径无关的条件。
第二篇：曲线积分与格林公式总结一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量:设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上,已知曲线形构件在点(x, y)处的线密度为μ(x, y).求曲线形构件的质量.把曲线分成n小段,∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn(∆si也表示弧长);任取(ξi ,ηi)∈∆si,得第i小段质量的近似值μ(ξi ,ηi)∆si;整个物质曲线的质量近似为M≈∑μ(ξi,ηi)∆si;i=1n令λ=max{∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn}→0,则整个物质曲线的质量为M=lim∑μ(ξi,ηi)∆si.λ→0i=1n这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数f(x,y)在L上有界.在L 上任意插入一点列M1, M2,⋅⋅⋅, Mn-1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为∆si,又(ξi,ηi)为第i个小段上任意取定的一点,作乘积f(ξi,ηi)∆si,(i=1, 2,⋅⋅⋅, n),并作和∑f(ξi,ηi)∆si,如果当各小弧i=1n段的长度的最大值λ→0,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x, y)在曲线弧L上对弧长n的曲线积分或第一类曲线积分,记作lim∑f(ξi,ηi)∆si.⎰Lf(x,y)ds,即⎰Lf(x,y)ds=λ→0i=1其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.设函数f(x, y)定义在可求长度的曲线L上,并且有界.将L任意分成n个弧段:∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn,并用∆si表示第i段的弧长;在每一弧段∆si上任取一点(ξi,ηi),作和∑f(ξi,ηi)∆si;i=1n令λ=max{∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn},如果当λ→0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作n⎰Lf(x,y)ds,即lim∑f(ξi,ηi)∆si.⎰Lf(x,y)ds=λ→0i=1其中f(x, y)叫做被积函数, L 叫做积分弧段.曲线积分的存在性:当f(x, y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分是存在的.以后我们总假定f(x, y)在L上是连续的.⎰Lf(x,y)ds根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分⎰Lμ(x,y)ds的值,其中μ(x, y)为线密度.对弧长的曲线积分的推广:lim∑f(ξi,ηi,ζi)∆si.⎰Γf(x,y,z)ds=λ→0i=1n如果L(或Γ)是分段光滑的,则规定函数在L(或Γ)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定⎰L+L12f(x,y)ds=⎰f(x,y)ds+⎰f(x,y)ds.L1L2闭曲线积分:如果L是闭曲线,那么函数f(x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作⎰Lf(x,y)ds.对弧长的曲线积分的性质:性质1 设c1、c2为常数,则⎰L[c1f(x,y)+c2g(x,y)]ds=c1⎰Lf(x,y)ds+c2⎰Lg(x,y)ds;性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则⎰Lf(x,y)ds=⎰Lf(x,y)ds+⎰L1f(x,y)ds;2性质3设在L上f(x, y)≤g(x, y),则⎰Lf(x,y)ds≤⎰Lg(x,y)ds.⎰Lf(x,y)ds|≤⎰L|f(x,y)|ds 特别地,有|二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密度为f(x, y),则曲线形构件L的质量为⎰Lf(x,y)ds.x=ϕ(t), y=ψ(t)(α≤t≤β),另一方面,若曲线L的参数方程为则质量元素为f(x,y)ds=f[ϕ(t), ψ(t)]曲线的质量为即ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt,⎰αβf[ϕ(t), ψ(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt.f(x,y)ds=⎰f[ϕ(t), ψ(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt.αβ⎰L定理设f(x, y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为x=ϕ(t), y=ψ(t)(α≤t≤β),其中ϕ(t)、ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导数,且ϕ'2(t)+ψ'2(t)≠0,则曲线积分且⎰Lf(x,y)ds存在,⎰Lf(x,y)ds=⎰f[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)dt(ααβ证明（略）应注意的问题:定积分的下限α一定要小于上限β.讨论:(1)若曲线L的方程为y=ψ(x)(a≤x≤b),则提示:L的参数方程为x=x, y=ψ(x)(a≤x≤b),⎰Lf(x,y)ds=? ⎰Lf(x,y)ds=⎰f[x,ψ(x)]1+ψ'2(x)dx.ab(2)若曲线L的方程为x=ϕ(y)(c≤y≤d),则提示:L的参数方程为x=ϕ(y), y=y(c≤y≤d),⎰Lf(x,y)ds=? ⎰Lf(x,y)ds=⎰cdf[ϕ(y),y]ϕ'2(y)+1dy.(3)若曲Γ的方程为x=ϕ(t), y=ψ(t), z=ω(t)(α≤t≤β),则⎰Γf(x,y,z)ds=?提示:⎰Γf(x,y,z)ds=⎰f[ϕ(t),ψ(t),ω(t)]ϕ'2(t)+ψ'2(t)+ω'2(t)dt.αβ例1 计算⎰Lyds,其中L是抛物线y=x2上点O(0, 0)与点B(1, 1)之间的一段弧.解曲线的方程为y=x2(0≤x≤1),因此⎰L11yds=⎰x21+(x2)'2dx=⎰x1+4x2dx=1(55-1).0012例2 计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为μ=1).解取坐标系如图所示,则I=曲线L的参数方程为x=Rcosθ, y=Rsinθ(-α≤θ于是I=α⎰Ly2ds.⎰Ly2ds=⎰R2sin2θ(-Rsinθ)2+(Rcosθ)2dθ-α=R3⎰-αsin2θdθ=R(α-sinα cosα).3α例3 计算曲线积分⎰Γ(x2+y2+z2)ds,其中Γ为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2π的一段弧.解在曲线Γ上有x2+y2+z2=(a cos t)2+(a sin t)2+(k t)2=a2+k 2t 2,并且ds=(-asint)2+(acost)2+k2dt=a2+k2dt,于是⎰Γ(x2+y2+z2)ds=⎰(a2+k2t2)a2+k2dt02π=2πa2+k2(3a2+4π2k2).3小结:用曲线积分解决问题的步骤:(1)建立曲线积分;(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程),确定参数的变化范围;(3)将曲线积分化为定积分;(4)计算定积分.§10.对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质变力沿曲线所作的功:设一个质点在xOy面内在变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B,试求变力F(x, y)所作的功.用曲线L上的点A=A0, A1, A2,⋅⋅⋅, An-1, An=B把L分成n个小弧段,设Ak=(xk , yk),有向线段AkAk+1的长度为∆sk,它与x轴的夹角为τk ,则AkAk+1={cosτk,sinτk}∆sk(k=0, 1, 2,⋅⋅⋅, n-1).→→)显然,变力F(x,y)沿有向小弧段Ak Ak+1所作的功可以近似为F(xk,yk)⋅AkAk+1=[P(xk,yk)cosτk+Q(xk,yk)sinτk]∆sk;于是,变力F(x, y)所作的功W=∑从而W=⎰[P(x,y)cosτ+Q(x,y)sinτ]ds.L这里τ=τ(x, y), {cosτ, sinτ}是曲线L在点(x, y)处的与曲线方向一致的单位切向量.n-1→F(xk,yk)⋅AkAk+1k=1n-1→≈∑[P(xk,yk)cosτk+Q(xk,yk)sinτk]∆sk,k=1把L分成n个小弧段: L1,L2,⋅⋅⋅,Ln;变力在Li上所作的功近似为:F(ξi,ηi)⋅∆si=P(ξi,ηi)∆xi+Q(ξi,ηi)∆yi ;变力在L上所作的功近似为:∑[P(ξi,ηi)∆xi+Q(ξi,ηi)∆yi];i=1nn变力在L上所作的功的精确值:W=limλ→0∑[P(ξi,ηi)∆xi+Q(ξi,ηi)∆yi],i=1其中λ是各小弧段长度的最大值.提示:用∆si={∆xi,∆yi}表示从Li的起点到其终点的的向量.用∆si表示∆si 的模.对坐标的曲线积分的定义:定义设函数f(x, y)在有向光滑曲线L上有界.把L分成n个有向小弧段L1,L2,⋅⋅⋅,Ln;小弧段Li的起点为(xi-1,yi-1),终点为(xi,yi),∆xi=xi-xi-1,∆yi=yi-yi-1;(ξi,η)为Li上任意一点,λ为各小弧段长度的最大值.如果极限limλ→0∑f(ξi,ηi)∆xi总存在,则称此极限为函数i=1n f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作⎰Lf(x,y)dx,即lim∑f(ξi,ηi)∆xi,⎰Lf(x,y)dx=λ→0i=1如果极限limnλ→0∑f(ξi,ηi)∆yi总存在,则称此极限为函数i=1n f(x, y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,记作⎰Lf(x,y)dy,即lim∑f(ξi,ηi)∆yi.⎰Lf(x,y)dy=λ→0i=1设L为xOy面上一条光滑有向曲线, {cosτ, sinτ}是与曲线方向一致的单位切向量,函数P(x, y)、Q(x, y)在L上有定义.如果下列二式右端的积分存在,我们就定义n⎰LP(x,y)dx=⎰LP(x,y)cosτds,⎰LQ(x,y)dy=⎰LQ(x,y)sinτds,前者称为函数P(x,y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分,后者称为函数Q(x, y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分,对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分.定义的推广:设Γ为空间内一条光滑有向曲线, {cosα, cosβ, cosγ}是曲线在点(x, y,z)处的与曲线方向一致的单位切向量,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x, y, z)在Γ上有定义.我们定义(假如各式右端的积分存在) ⎰ΓP(x,y,z)dx=⎰ΓP(x,y,z)cosαds,⎰ΓQ(x,y,z)dy=⎰ΓQ(x,y,z)cosβds,⎰ΓR(x,y,z)dz=⎰ΓR(x,y,z)cosγds.nlim∑f(ξi,ηi,ζi)∆xi,⎰Lf(x,y,z)dx=λ→0i=1lim∑f(ξi,ηi,ζi)∆yi,⎰Lf(x,y,z)dy=λ→0i=1lim∑f(ξi,ηi,ζi)∆zi.⎰Lf(x,y,z)dz=λ→0i=1对坐标的曲线积分的简写形式:nn⎰LP(x,y)dx+⎰LQ(x,y)dy=⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy;⎰ΓP(x,y,z)dx+⎰ΓQ(x,y,z)dy+⎰ΓR(x,y,z)dz⎰ΓP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz.=对坐标的曲线积分的性质:(1)如果把L分成L1和L2,则⎰LPdx+Qdy=⎰LPdx+Qdy+⎰LPdx+Qdy.2(2)设L是有向曲线弧,-L是与L方向相反的有向曲线弧,则⎰-LP(x,y)dx+Q(x,y)d=-⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy.两类曲线积分之间的关系:设{cosτi, sinτi}为与∆si同向的单位向量,我们注意到{∆xi,∆yi}=∆si,所以∆xi=cosτi⋅∆si,∆yi=sinτi⋅∆si,lim∑f(ξi,ηi)∆xi ⎰Lf(x,y)dx=λ→0i=1n=limf(ξi,ηi)cosτi∆si=⎰f(x,y)cosτds,∑Lλ→0i=1nnlim∑f(ξi,ηi)∆yi⎰Lf(x,y)dy=λ→0i==limλ→0∑f(ξi,ηi)sinτi∆si=⎰Lf(x,y)sinτds.i=1n即⎰LPdx+Qdy=⎰L[Pcosτ+Qsinτ]ds,⎰LA⋅dr=⎰LA⋅tds.或其中A={P, Q}, t={cosτ, sinτ}为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=tds={dx, dy}.类似地有或⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=⎰Γ[Pcosα+Qcosβ+Rcosγ]ds,⎰ΓA⋅dr=⎰ΓA⋅tds=⎰ΓAtds.其中A={P, Q, R}, T={cosα, cosβ, cosγ}为有向曲线弧Γ上点(x, y, z)处单们切向量, dr=T ds ={dx, dy, dz }, A t为向量A在向量t上的投影.二、对坐标的曲线积分的计算:定理:设P(x, y)、Q(x, y)是定义在光滑有向曲线 L: x=ϕ(t), y=ψ(t),上的连续函数,当参数t单调地由α变到β时,点M(x, y)从L的起点A沿L运动到终点B,则讨论:提示:β⎰LP(x,y)dx=⎰αP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)dt,⎰LQ(x,y)dy=⎰Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ'(t)dt.αβ⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=？⎰LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=⎰{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ'(t)}dt.αβ定理:若P(x, y)是定义在光滑有向曲线L:x=ϕ(t), y=ψ(t)(α≤t≤β)上的连续函数, L的方向与t的增加方向一致,则β⎰LP(x,y)dx=⎰αP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)dt.简要证明:不妨设α≤β.对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{ϕ'(t),ψ'(t)},所以cosτ=ϕ'(t),22ϕ'(t)+ψ'(t)从而⎰LP(x,y)dx=⎰LP(x,y)cosτds=β⎰αβP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)ϕ'2(t)+ψ'2(t)dtϕ'2(t)+ψ'2(t)=⎰αP[ϕ(t),ψ(t)]ϕ'(t)dt.应注意的问题:下限a对应于L的起点,上限β对应于L的终点,α不一定小于β.例1.计算⎰Lxydx,其中L为抛物线y=x上从点A(1,-1)到点B(1, 1)的一段弧.2解法一:以x为参数. L分为AO和OB两部分:AO的方程为y=-x, x从1变到0; OB 的方程为y=x, x从0变到1.因此⎰Lxydx=⎰AOxydx+⎰OBxydx=⎰1x(-10x)dx+⎰xxdx=2⎰0113x2dx=4. 05第二种方法:以y为积分变量. L的方程为x=y2, y从-1变到1.因此.22'4xydx=yy(y)dy=2ydy=⎰L⎰-1⎰-151例2.计算⎰Ly2dx.(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 ;(2)从点A(a, 0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段.解(1)L 的参数方程为 x=a cosθ, y=a sinθ,θ从0变到π.因此4a3.22232ydx=asinθ(-asinθ)dθ=a(1-cosθ)dcosθ=-⎰L⎰0⎰032-aππ(2) L的方程为y=0, x从a变到-a.因此⎰Lydx=⎰a0dx=0.2例3计算⎰L2xydx+x2dy.(1)抛物线y=x上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧;(2)抛物线x=y2上从O(0, 0)到B(1, 1)的一段弧;(3)从O(0, 0)到A(1, 0),再到R(1, 1)的有向折线OAB .解(1)L: y=x2, x从0变到1.所以⎰L2xydx+x2dy=⎰(2x⋅x2+x2⋅2x)dx=4⎰x3dx=1.0021211(2)L: x=y2, y从0变到1.所以⎰L2xydx+xdy=⎰0(2y⋅y⋅2y+y)dy=5⎰y4dy=1 .041(3)OA: y=0, x从0变到1; AB: x=1, y从0变到1.⎰L2xydx+x2dy=⎰OA2xydx+x2dy+⎰AB2xydx+x2dy=(2x⋅0+x2⋅0)dx+(2y⋅0+1)dy=0+1=1.⎰01⎰01例4.计算⎰Γx3dx+3zy2dy-x2ydz,其中Γ是从点A(3, 2, 1)到点B(0,0, 0)的直线段AB.解:直线AB的参数方程为x=3t, y=2t, x=t,t从1变到0.所以所以I=87.3223[(3t)⋅3+3t(2t)⋅2-(3t)⋅2t]dt=87tdt=-⎰1⎰1400例5.设一个质点在M(x, y)处受到力F的作用, F的大小与M到原点O的距离成正比, Fx2+y2=1的方向恒指向原点.此质点由点A(a,0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点B(0,b),2ab 求力F所作的功W.x2+y2=1例5.一个质点在力F的作用下从点A(a, 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点ab2B(0, b), F的大小与质点到原点的距离成正比,方向恒指向原点.求力F所作的功W.解:椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint , t从0变到→π.r=OM=xi+yj, F=k⋅|r|⋅(-其中k>0是比例常数.r)=-k(xi+yj),|r|)xdx+ydy.于是W=⎰)-kxdx-kydy=-k⎰A ABB=-k⎰02(-a2costsint+b2sintcost)dt⎰ππ=k(a2-b2)02sintcostdt=k(a2-b2).三、两类曲线积分之间的联系由定义,得⎰LPdx+Qdy=⎰L(Pcosτ+Qsinτ)ds ⎰L⎰L={P,Q}⋅{cosτ,sinτ}ds=F⋅dr,其中F={P, Q}, T={cosτ, sinτ}为有向曲线弧L上点(x, y)处单位切向量, dr=Tds={dx, dy}.类似地有⎰ΓPdx+Qdy+Rdz=⎰Γ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds ⎰Γ⎰Γ={P,Q,R}⋅{cosα,cosβ,cosγ}ds=F⋅dr.其中F={P, Q, R}, T={cosα, cosβ, cosγ}为有向曲线弧Γ上点(x, y, z)处单们切向量, dr=T ds ={dx, dy, dz }.一、格林公式单连通与复连通区域:设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.对平面区域D的边界曲线L,我们规定L的正向如下:当观察者沿L 的这个方向行走时, D内在他近处的那一部分总在他的左边.区域D的边界曲线L的方向:定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数,则有⎰⎰(D∂Q∂P-)dxdy=⎰Pdx+Qdy,L∂x∂y其中L是D的取正向的边界曲线.简要证明:仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明.设D={(x, y)|ϕ1(x)≤y≤ϕ2(x), a≤x≤b}.因为∂P连续,所以由二重积分的计算法有∂y∂Pdxdy=b{ϕ2(x)∂P(x,y)dy}dx=b{P[x,ϕ(x)]-P[x,ϕ(x)]}dx.21⎰⎰∂y⎰a⎰ϕ1(x)∂y⎰aD另一方面,由对坐标的曲线积分的性质及计算法有⎰LPdx=⎰LPdx+⎰LPdx=⎰aP[x,ϕ1(x)]dx+⎰bP[x,ϕ2(x)]dx12ba={P[x,ϕ1(x)]-P[x,ϕ2(x)]}dx.因此-⎰ab∂Pdxdy=Pdx.⎰⎰∂y⎰LD设D={(x, y)|ψ1(y)≤x≤ψ2(y), c≤y≤d}.类似地可证∂Q⎰⎰∂xdxdy=⎰LQdx.D由于D即是X－型的又是Y－型的,所以以上两式同时成立,两式合并即得⎛∂Q∂P⎫-⎪dxdy=⎰Pdx+Qdy.⎰⎰L∂x∂y⎭D⎝应注意的问题:对复连通区域D,格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分,且边界的方向对区域D来说都是正向.设区域D的边界曲线为L,取P=-y, Q=x,则由格林公式得2⎰⎰dxdy=⎰Lxdy-ydx,或A=⎰⎰dxdy=2⎰Lxdy-ydx.D1D例1.椭圆x=a cosθ, y=b sinθ所围成图形的面积A.分析:只要∂Q∂P∂Q-=1,就有⎰⎰(-∂P)dxdy=⎰⎰dxdy=A.∂x∂y∂x∂yDD解:设D是由椭圆x=acosθ, y=bsinθ所围成的区域.令P=-1y, Q=1x,则∂Q-∂P=1+1=1.∂x∂y2222于是由格林公式,A=1ydx+1xdy=1-ydx+xdy dxdy=-⎰⎰⎰L222⎰LD=2π112π(absin22θ+abcosθ)dθ=ab⎰dθ=πab.⎰0220例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线,证明⎰L2xydx+x2dy=0.∂Q∂P-=2x-2x=0.∂x∂y证:令P=2xy,Q=x2,则因此,由格林公式有⎰L2xydx+x2dy=±⎰⎰0dxdy=0.(为什么二重积分前有“±”号？) D2例3.计算⎰⎰e-ydxdy,其中D是以O(0, 0), A(1, 1), B(0, 1)为顶点的三角形闭区域.D分析:要使∂Q∂P-y22-=e,只需P=0, Q=xe-y.∂x∂y2解:令P=0, Q=xe-y,则∂Q∂P-y2-=e.因此,由格林公式有∂x∂y-y2⎰⎰eD-y2dxdy=OA+AB+BO⎰xedy=⎰xeOA-y2dy=⎰xe-xdx=1(1-e-1).0212例4 计算xdy-ydx⎰Lx2+y2,其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.-y∂Qy2-x2∂Px22解:令P=2, Q=2.则当x+y≠0时,有.==∂x(x2+y2)2∂yx+y2x+y2记L 所围成的闭区域为D.当(0,0)∉D 时,由格林公式得xdy-ydx⎰Lx2+y2=0;当(0, 0)∈D时,在D内取一圆周l: x2+y2=r 2(r>0).由L及l围成了一个复连通区域D 1,应用格林公式得xdy-ydxxdy-ydx⎰Lx2+y2-⎰lx2+y2=0,其中l的方向取逆时针方向.2πr2cos2θ+r2sin2θxdy-ydxxdy-ydxdθ=2π.=⎰22 =⎰于是⎰0Lx2+y2lx+yr2解记L 所围成的闭区域为D.当(0, 0)∉D时,由格林公式得xdy-ydx∂Q∂P=(⎰Lx2+y2⎰⎰∂x-∂y)dxdy=0.D当(0, 0)∈D时,在D内取一圆周l: x2+y2=r2(r>0).由L及l围成了一个复连通区域D1,应用格林公式得xdy-ydx∂Q∂P=(⎰L+lx2+y2⎰⎰∂x-∂y)dxdy=0,D1即xdy-ydxxdy-ydx⎰Lx2+y2+⎰lx2+y2=0,其中l的方向取顺时针方向.于是xdy-ydxxdy-ydx2πr2cos2θ+r2sin2θdθ=2π.=⎰Lx2+y2⎰l-x2+y2=⎰0r2-y∂Qy2-x2∂Px22分析:这里P=2,Q=2,当x+y≠0时,有.==∂x(x2+y2)2∂yx+y2x+y2第三篇：曲线积分与曲面积分重点总结+例题高等数学教案曲线积分与曲面积分第十章曲线积分与曲面积分【教学目标与要求】1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。
应用曲线积分与路径无关性求解恰当方程
［摘要］恰当方程求解是常微分方程的一个重要知识点，而在常微分教材中往往只介绍积分求解法和分项组合法，这两种方法有时候不容易解出方程的通解，在这里介绍应用曲线积分与路径无关性求原函数的方法来求解恰当方程的通解，方法简便，学生容易掌握.［关键词］恰当方程；曲线积分；路径无关；通解［中图分类号］O151［文献标志码］A ［文章编号］2096-0603（2020）10-0192-02应用曲线积分与路径无关性求解恰当方程李祖雄（重庆三峡学院数学与统计学院，重庆404130）一、基本概念定1[1]：方程M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy =0中左端正好为某函数u （x ，y ）的全微分，也就是M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy =du（x ，y ）=əu əx dx +əu əy dy ，则方程M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy =0是恰当方程.由此可得方程M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy =0的通解是u （x ，y ）=c ，其中c 是任意常数.定2[2]：如果D ⊂R 2为单连通闭区域，又函数M （x ，y ）和N （x ，y ）在闭区域D 内为连续函数，并且其一阶偏导数也连续，就有下列四个等价条件：（1）曲线积分∮L M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy =0，这里曲线L 是沿D 内的任意分段光滑的闭曲线.（2）曲线积分∫L M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy 与路径无关，只和曲线L 的起点与终点相关，其中封闭曲线L 是D 内的任意分段光滑的曲线.（3）在D 内有du （x ，y ）=M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy ，也就是M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy 是D 内某个函数的全微分.（4）对于D 内任意一点处都有əM （x ，y ）əy =əN （x ，y ）əx .二、积分求解法和分项组合法由常微分方程教材可知方程M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy =0是恰当方程的充要条件为：əM （x ，y ）əy =əN （x ，y ）əx .积分求解法的一般步骤为：（1）判断M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy =0是否为恰当方程，若是则进入下一步；（2）求u （x ，y ）=∫M （x ，y ）dx +φ（y ）；（3）由əu （x ，y ）əy =N （x ，y ）求出φ（y ）；（4）写出通解u （x ，y ）=∫M （x ，y ）dx +Ø（y ）=c .分项组合法基本步骤为：（1）判断M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy =0是否为恰当方程，若是则进入下一步；（2）分出已构成全微分的那些项；（3）将剩下的项通过拆项、增减项凑出全微分；（4）求得全微分，写出通解u （x ，y ）=c .此方法还需要熟记一些常用的简单二元函数的全微分.三、曲线积分与路径无关性方法解恰当方程由əM （x ，y ）əy =əN （x ，y ）əx 可得知微分方程M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy =0是恰当方程，由定理［2］可得存在可微函数u （x ，y ）满足du （x ，y ）=M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy ，同样可得曲线积分∫L M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy 与路径无关，所以可获得微分M （x ，y ）dx +N （x ，y ）dy 的（一个）原函数为：u （x ，y ）=xx 0∫M （x ，y 0）dx +y y 0∫N （x ，y ）dy ，（沿（x 0，y 0）→（x ，y 0）→（x ，y ）方向）；作者简介：李祖雄（1972—），男，土家族，博士，重庆三峡学院数学与统计学院副教授。
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证明：如果C 是光滑曲线，)(t z z =
例1.求⎰
C
zdz cos ，
其中C 如图：
解：因为对任意的z ，被积函数有原函数，z z F sin )(=，不必再求C 的参数表示，由定理1
⎰C
zdz cos i
z +-=21sin
例2.求
dz z C
⎰1
，其中C 分别如下图：
解：（1）在去掉负实轴的区域1D 内取对数函数的分支：,arg ||ln )(z i z z F +=（ππ<<-z arg ） 则在 区域1D z z F 1)(=
'，于是dz z C
⎰1=i i z F i
i πππ=+=-)22()(
推论1：若()f z 在区域D 内连续，且在D 内有原函数，则对D 内的任意环线C ， 有
⎰C
fdz =0
这个推论提供了 当1-≠n 时，积分dz a z C
n
⎰
-)(的另一求法。
推论2. 若()
f z在区域D内连续，且在D内有原函数，则它沿D内的周线积分只依赖与周线的端点，即积分与连接这两点的路径无关。
如下图：
至此，我们将建立已讨论的三个性质的等价性：
定理2. 设()
f z在区域D内连续，则以下结论等价：
（1）()
f z在D内的原函数
（2）f沿D内的任意环线C的积分为零。
即对D内的任意环线C，有⎰
C
fdz=0
（3）f沿D内的周线积分与路径无关。
，即对于D内任意两点0z与1z，积分值1
()
z
z
f z dz
⎰与连接起点0z与终点1z的路径无关
证明：(2)⇒(3)设1C与2C是D内连接0z与1z的两条曲线，则正方向曲线1C与负方向曲线
2
C-就连接成D内的一条闭曲线C，从而由定理及§１的性质（３）有
12
0()()()
C C C
f z dz f z dz f z dz
-
==+
⎰⎰⎰
因此
12
()()
C C
f z dz f z dz
=
⎰⎰
(3)⇒(1)()
C
f z dz
⎰只其起点和终点有关，因而当起点0z固定时，对于一个z D
∈，就唯一地确
定了一个积分值1
()
z
z
f d
ξξ
⎰，这说明当0z固定时，积分1
()
z
z
f d
ξξ
⎰就定义了D内的一个单值函数，
记为1
()()
z
z
F z f d
ξξ
=⎰(3.5)
z D
∀∈，作一个以z为心，以充分小的ρ为半径的圆Cρ，使得C D
ρ
⊂，在C
ρ
内取动点
(0)
z z z
+∆∆≠，则
00
()()1
[()()]
z z z
z z
F z z F z
f d f d
z z
ξξξξ
+∆
+∆-
=-
∆∆
⎰⎰
由于积分与路径无关，因而我们可取
()
z z
z
f d
ξξ
+∆
⎰的积分路径为由0z沿与
()
z
z
f d
ξξ
⎰相同的路径到z，再从z沿直线段到z z
+∆（图３.3）
图3.3
从而有
()()1
()
z z
z
F z z F z
f d
z z
ξξ
+∆
+∆-
=
∆∆
⎰
于是
()()1
()()()
z z
z
F z z F z
f z f d f z
z z
ξξ
+∆
+∆-
-=-
∆∆
⎰
000
111
()()[()()]
z z z z z z
z z z
f d f z d f d f z d
z z z
ξξξξξξ
+∆+∆+∆
=-=-
∆∆∆
⎰⎰⎰
但已知()
f z在D内连续，所以对0
ε
∀>，可取上述的ρ充分小，使得在C
ρ
内的一切点ξ均有()()
f f z
ξε
-<，从而由定理3.2有
()()1
()[()()]
z z
z
z
F z z F z
f z f f z d
z z z
ξξεε
+∆∆
+∆-
-=-≤=
∆∆∆
⎰
即
()()
()lim()
z
F z z F z
F z f z
z
∆→
+∆-
'==
∆
现在看来，定理2的作用不大，我们甚至怀疑能否验证一个函数沿这任何闭曲线的积分为零。
在下一节中我们将得到一个令人惊讶的定理：Cauchy定理。
它给出了使上述性质成立的简单条件。
思考题、讨论题、作业。