八年级数学上册 第3章 实数 3.1 平方根 第2课时 无理数课件 (新版)湘教版
八年级数学上册 3.3 实数 第2课时 实数的运算和大小比较课件 (新版)湘教版.pptx
(b+c)a = ba + ca （乘法对于加法的分配律） ；
（9）实数的减法运算规定为 a -b = a + (-b)
；
（10）实数的除法运算（除数b≠ a ÷ b = a·
0)1，规定为 b
；
（11）实数有一条重要性质：如果a≠0，b≠0，那么
ab
≠
0.
4
小提示
实数也可以比较大小：对于实数a，b，如果a-b>0， 则a大于b（或者b小于a），记作a>b（或b<a）；
3.
9
2 5(精确到小数点6, 精确到小数点后面第二位得：3.16.
10
用正方形比较
不用计算器，估计 5 与2哪个大.
解： 5 ，2 分别是5，4的正方形的边长. 容易说明，面积大的正方形，它的边长也大. 因此， 5 > 2 .
5
2
11
小提示
在实数运算中，如果遇到无理数，并且要 求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相 应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.
12
练习
计算（精确到小数点后面第二位）.
（1） 2 + 3； （2） 5 -1 ； （3） 5 .
≈1.414+1.732≈3.15.
≈2.236-1≈1.24. ≈2.236×3.14≈7.02.
同样地，如果a-b<0，则a<b.还可以得出：正实数大 于一切负实数；两个负实数，绝对值大的数反而小.
从而数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的 实数大.
负实数
原点
正实数
0
<
5
结论
每个正实数有且只有两个平方根，它们互 为相反数;
湘教版八年级数学 3.1 平方根(学习、上课课件)
知1－练
感悟新知
例2 求下列各式中的 x 的值：
知1－练
(1)
x2=16；(2)9x2
－
49
＝
0；(3)
1 2
(
x
－
5)
2
＝
8．
解题秘方：若 x2=a( a ≥ 0)，则 x=± a . 先把各题 化为x2=a 的形式，再求 x 的值 .
感悟新知
(1) x2=16；
知1－练
解： x2=16，开平方，得 x=± 16 =± 4. (2)9x2 － 49 ＝ 0；
知1－练
感悟新知
方法点拨：求一个正数的平方根的方法：先找出 知1－练 平方等于这个正数的数，这样的数有两个，它们 互为相反数，因而这两个数均为这个正数的平方 根 . 如果一个数为带分数，一般先将其转化为假 分数，再求平方根；如果有乘方运算，那么先求 出乘方运算的结果，针对结果再求平方根；如果 一个正数 a 不能写成有理数的平方的形式，那么 可以将 a 的平方根表示成 ± a.
第三章 实 数
3.1 平方根
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
平方根及其性质 算术平方根及其性质 无理数 算术平方根的估算
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 平方根及其性质
知1－讲
1. 定义 : 如果有一个数 r，使得 r2=a，那么我们把 r 叫作 a 的 一个平方根，也叫作二次方根 . 这就是说，若 r2=a，则 r 是 a 的一个平方根 . 表示方法：非负数 a 的平方根记作± a ，读作“正、负根 号 a”
因为 9x2 － 49 ＝ 0，所以 x2 ＝ 499，开平方，
得 x ＝±
八年级数学上册第3章实数(湘教版)
八年级数学上册第3章实数（湘教版）第3章实数1 平方根第1课时平方根、算术平方根能熟练地求出一个正数的平方根和算术平方根.理解开平方与平方两者之间的联系与区别.认识非负数的平方根的特点.自学指导：阅读教材P105～107，完成下列问题.知识探究平方根：如果有一个数r，使得r2＝a，那么我们把r 叫作a的一个平方根，2＝a，所以a的平方根有且只有两个：r与－r；算术平方根：把a的正平方根叫作a的算术平方根.正数a的平方根表示为±a；算术平方根表示为a；负平方根表示为－a.一个正数的两个平方根的关系是互为相反数.零的平方根是0，零的算术平方根是0，记作0，负数没有平方根.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方，开平方与平方互为逆运算.自学反馈25的平方根是±5，3是9的算术平方根.3表示3的算术平方根；如果－x2有平方根，那么x的值为0.切一块面积为16c2的正方形钢板，它的边长是多少？解：4c.活动1 小组讨论例1 分别求下列各数的平方根：36，259，1.21.解：由于62＝36，因此36的平方根是6与－6，即±36＝±6.由于2＝259，因此259的平方根是53与－53，即±259＝±53.由于1.12＝1.21，因此1.21的平方根是1.1与－1.1，即±1.21＝±1.1.求一个数的平方根就是求平方等于这个数的数，一个正数的平方根有两个且互为相反数.例2 分别求下列各数的算术平方根：100，1625，0.49.解：由于102＝100，因此100＝10.由于2＝1625，因此1625＝45.由于0.72＝0.49，因此0.49＝0.7.活动2 跟踪训练下列说法不正确的是A.－2是2的平方根B.2是2的平方根c.2的平方根是2D.2的算术平方根是2一个正数的平方根有两个，算术平方根是平方根中非负的平方根.求下列各式的值：±2.89；－256169；1916；±2.解：±1.7.－1613.54.±11.活动3 课堂小结本节课学习了平方根、算术平方根的概念，理解了平方和开平方互为逆运算.第2课时无理数、用计算器求算术平方根理解无理数的概念和它的本质特征.正确使用计算器求一个数的算术平方根.自学指导：阅读教材P108～110，完成下列问题.知识探究无理数：无限不循环小数叫作无理数.归纳几种类型的无理数，并举例说明：圆周率：π；开方不尽的数：如2；特殊规律的数，如：0.010__010__001….用计算器求正数a的平方根：按键→输入数字a→按＝键.自学反馈在等式x2＝6中，下列说法中正确的是A.x可能是整数B.x可能是分数c.x可能是有理数D.x是无理数下列各数中，是无理数的是A.4B.π2c.13D.12活动1 小组讨论例用计算器求下列各式的值. 024；解：依次按键：1024＝显示：32所以，1024＝32.依次按键：8＝显示：2.828427125所以，8≈2.828.活动2 跟踪训练下列说法正确的是A.有理数只是有限小数B.无理数是无限小数c.无限小数是无理数D.π3是分数在13，3.1415926，0.7070070007…，0.6，2π中，无理数有A.1个B.2个c.3个D.4个用计算器求下列各数的值：24≈2.50；0.24≈0.49；3.47≈11.11;__56.88≈7.54.用计算器分别计算：0.0009，0.09，9，900，90000，你能发现什么规律？解：0.0009＝0.03，0.09＝0.3，＝3，900＝30，90000＝300.我发现：被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍.活动3 课堂小结学生概括：1.什么是无理数？怎样用计算器求算术平方根？2 立方根通过对具体问题的分析，使学生感受到立方根在现实世界中的客观存在，了解立方根的概念.会求某些数的立方根，能用计算器求一个数的立方根及其近似值.自学指导：阅读教材P112～113，完成下列问题.知识探究如果一个数b，使得b3＝a，那么b叫作a的一个立方根，也叫作三次方根，a的立方根记作3a.每个数都有立方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.求一个数的立方根的运算叫作开立方.开立方与立方互为逆运算.用计算器求正数a的立方根：按2ndF键→按键→输入被开立方数a→按＝键.自学反馈－18的立方根是－12，64的立方根的相反数是－4.活动1 小组讨论例1 分别求下列各数的立方根：1，827，0，－0.064.解：由于13＝1，因此31＝1；由于3＝827，因此3827＝23；由于03＝0，因此30＝0；由于3＝－0.064，因此3－0.064＝－0.4.可根据开立方与立方互为逆运算来求立方根.例2 用计算器求下列各数的立根：3，－1.331.解：按键2ndF 343＝显示：7所以，3343＝7.按键：2ndF 1.331＝显示：－1.1所以，3－1.331＝－1.1.例3 用计算器求32的近似值.解：按键：2ndF 2＝显示：1.25992105所以，32≈1.260.许多有理数的立方根都是无理数，如32，33，…都是无理数，但我们可以用有理数来近似地表示它们.活动2 跟踪训练下列等式成立的是A.31＝±1B.3225＝15c.3－125＝－5D.3－9＝－3立方根等于它本身的数是±1，0.求下列各数的立方根：；8125；－63.解：3.25.－6.下列各式是否有意义？为什么？－33；－3；33；31103.解：、、有意义，因为任何一个数都有立方根；－3没有意义，因为负数没有平方根.活动3 课堂小结一个数只有一个立方根，且当a>0时，3a>0；a＝0时，3a＝0；a0，那么a>b；如果a－b－6D.5＜3100计算：3－53；1－2＋2－3＋3－2.解：－23.1.用计算器计算：π－2＋3；12＋3×6.解：3.46.4.74.活动3 课堂小结本节课你有什么收获？。
3.1平方根
…
…
从上述数据，你能猜出面积为8的正方形的边长 是多少吗？
面积为8的正方形，它的 边长应该比2.828大，比2.829 小，……
结论
由此猜想，面积为8cm2的正方形，它的边长是一个小 数点后面的位数可以不断增加的小数.
事实上，我们可以说明这个边长不是分数，从而 它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数 叫作无限不循环小数.
3.14，3.142，3.141 6，…都是 π的近似值，称它 们为近似数.
利用计算器可以求一个正数的算术平方 根或它的近似值.
小提示
我们可以用计算器求一个正数a的平方根， 其操作方法是按顺序进行按键输入：
例3 用计算器求下列各式的值.
练习
1. 用计算器求下列各式的值：
（1） 3136 （2） 1.5376
解 313656 1.53761.24
2. 面积为6cm2的正方形，它的边长是多少？ 用计算器求边长的近似值（精确到0.001cm）？
解 正方形的面积是6cm2，
因此它的边长为 6 cm. 用计算器计算 6 ：显示2.4494897
所以，6 2.449
3. 用计算器分别求 2 ， 3 ， 5 ，11，0.58 的近 似值（精确到0.001）.
本章内容 第3章
实数
本课节内容 3.1
平方根
练习
1. 分别求
64，
49 81
， 6.25
的平方根.
解 （1）64
由于82=64
所以64的平方根是8与-8.
（2）49 81
由于（7）2 = 49 9 81
所以 49的平方根是 7 和 7
81
99
பைடு நூலகம்
平方根与算术平方根立方根无理数PPT课件
（2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一个
正数的算术平方根只有一个。
（3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示
第9页/共32页
立方根：
1. 定义:
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a， 那么这个数x就叫做a的立方根．(也叫做三次方 根) 。
2.表示方法：
第10页/共32页
什么叫做开平方？那开立方呢？
无理数： 无限不循环小数
含有 ～ 的数
有规律但不循环的数
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按性质分类： 实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
负实数
正实数
0
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你能在数轴上找到表示 的点吗？
2
小结：
有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点 表示.
每一个无理数都能在数轴上表示出来. 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数. 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来， 数轴上的每一点都表示一个实数。即实数和数轴上的 点是一一对应的。
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思考：
2 介于哪两个整数之间？你是根据什么考虑的？
A
1
2
B 4D
1
2
2C
1.42 __<__( 2)2 __<__1.52
1.4 ___<_ 2 __<__1.5
1.412 _<___( 2)2 __<__1.42 2
1.41 ___<_ 2 __<__1.42
1.414 2 _<___( 2)2 _<___1.415 2
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湘教版八年级数学上册全册教学课件
0002页 0034页 0072页 0089页 0136页 0178页 0180页 0199页 0201页 0298页 0317页 0343页 0359页 0426页 0502页
第1章 分式 1.2 分式的乘法和除法 1.4 分式的加法和减法 第2章 三角形 2.2 命题与证明 2.4 线段的垂直平分线 2.6 用尺规作三角形 数学文化 欧几里得与原本 第3章 实数 3.3 实数 数学文化 无理数的由来 4.2 不等式的基本性质 4.4 一元一次不等式的应用 第5章 二次根式 5.2 二次根式的乘法和除法
第1章 分式
湘教版八年级数学上册全册教学课 件
1.1 分式
湘教版八年级数学上册全册教学课 件
1.2 分式的乘法和除法
湘教版八年级数学上册全册教学课 件
1.3 整数指数幂湘教源自八年级数学上册全册教学课 件1.4 分式的加法和减法
湘教版八年级数学上册全册教学课 件
八年级数学上册 第3章 实数3.2立方根课件
中考 试题
例1 一个数的平方(píngfāng)等于64，则这个数的立方根是 ±2 . 解 因为(±8)2=64,所以这个数为±8. 所以这个数的立方根为 3 ± 8=. ±2 故，应填写±2.
第十七页，共二十一页。
中考 试题
例2
有下列说法： ①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号
立方
开立方
+3
27
-3
-27
+5
125
-5
-125
第五页，共二十一页。
例1 求下列(xiàliè)各数的立方根：
1， 8 ，0，-0.064 27
第六页，共二十一页。
（1） 1
解 由于(yóuyú) 1 3= 1 ，
因此 3 1 = 1 .
（2） 2 8 7
解
由于
3
2 = 3
8 27
，
因此
有一个负的立方根，0的立方根是0.
利用(lìyòng)计算器可以求一个数的立方根或它的 近似值.
第九页，共二十一页。
例2 用计算器求下列(xiàliè)各数的立方根: 343， -1.331.
第十页，共二十一页。
（1） 343 解 按键(àn jiàn)
显示：7 所以 3343 =.7 （2） -1.331 解 按键 显示(xiǎnshì)：-1.1 所以 3-1.331=-.1.1
本课节内容
3.2
立方根Leabharlann 第一页，共二十一页。说一说
如图，一个正方形的体积(tǐjī)为8cm3，它的棱长 是多少？
由于23=8，因此(yīncǐ)体
积为8cm3的正方体，它的棱长
？
湘教版八年级上册数学精品教学课件 第3章 实数 第2课时 无理数
练一练 把下列各数分别填入相应的集合内：
22 , 7
64,
3,
2, 5
4, 0.101， π , 3
2.121, 0.3737737773
．．．
有理数集合
．．．
无理数集合
总结归纳 我们常见的无理数的有以下三种形式： (1) 化简后含有 π 的数； (2) 开不尽方的数开方所得结果； (3) 有规律但不循环的数，如1.010 010 001 000 01…
1. 下列各数：，0，0.23，1 ，25，1，0.303 003 (相邻两
2
27
个 3 之间 0 的个数逐次加 1)中，无理数的有( A )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【解析】无限不循环小数是无理数，其中 ，0.303003
2
(相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1) 是无理数，其它是 有理数.
1
1
还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，
比比谁找的多！
11
1
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1
11 11
11 11
11 11
问题1：设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？
因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2. 追问1：a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？
a 从“数”的角度：
因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4，
解：1 3136=56.
2 1.5376=1.24.
6. 面积为 6 cm2的正方形，它的边长是多少？用计算器
求边长的近似值（精确到 0.001 cm）.
解：正方形的面积是 6 cm2，因此它的边长为 6cm.
用计算器计算 6：显示 2.4494897，
湘教版数学八年级上册《3.1平方根》说课稿2
湘教版数学八年级上册《3.1 平方根》说课稿2一. 教材分析湘教版数学八年级上册《3.1 平方根》是学生在学习了有理数、实数等知识后，进一步研究实数的性质。
本节课主要让学生掌握平方根的定义、性质和运算方法，为学生后续学习立方根、算术平方根等知识打下基础。
教材从生活实例出发，引出平方根的概念，并通过例题和练习让学生理解和掌握平方根的求法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的实数基础，对实数的概念和性质有一定的了解。
但学生在学习过程中，可能对平方根的概念和求法理解不深，容易混淆。
因此，在教学过程中，要注重引导学生理解平方根的本质，并通过大量练习让学生熟练掌握求平方根的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法，能熟练运用平方根解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，让学生体验平方根的发现过程，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极进取的精神。
四. 说教学重难点1.重点：平方根的概念，求一个数的平方根的方法。
2.难点：平方根的性质，求无理数的平方根。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学，使抽象的平方根概念形象化、直观化。
六. 说教学过程1.导入：从生活实例出发，如篮球比赛中的得分，引出平方根的概念。
2.新课导入：介绍平方根的定义，让学生理解平方根的本质。
3.例题讲解：通过例题，让学生掌握求一个数的平方根的方法。
4.练习巩固：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
5.拓展延伸：介绍无理数的平方根，让学生了解平方根的性质。
6.课堂小结：总结本节课所学内容，强调平方根的概念和求法。
7.布置作业：布置适量作业，让学生进一步巩固平方根的知识。
七. 说板书设计1.平方根的定义2.求一个数的平方根的方法3.平方根的性质八. 说教学评价通过课堂提问、练习题、课堂讨论等方式，评价学生对平方根概念和求法的掌握程度，以及对无理数平方根的理解。
湘教版八年级数学上册3.1(第2课时)
本节课学习了无理数概念方根
第2课时 无理数
1.无理数概念。 2.让学生经历数系扩展的过程，体会数系的扩展源于 社会实际，又为社会实际服务的辩证关系。
重点：无理数概念. 难点：正确理解无理数的意义.
数 3、 2 、9 、3 都是有理数吗？将它们化成小数分 5 11 7
别是
、
、
、
.由
此可见任何有理数都可化成
或
小数的
形式.
1.用计算器计算： 2 = 小数的形式是否一样？
，它与上问题中各数化成 .发现它既不是有限小数，也
不是无限
小数，我们把它叫做无理数.在数学上已经
证明2不是一个有理数.2.383 383 338 333 83… 与 2的数
值是否类似？
，它也一个
数.我们熟悉的圆周
率 π=
，它是一个
数.
例题讲解：教材P110例3. 练习：教材P110，第1、2、3题.
第3章实数
第3章实数3.1 平方根第1课时平方根、算术平方根基础题知识点1 平方根1.(常德中考)4的平方根是(D)A.2B.－2C.± 2D.±22.(盘锦二模)|－9|的平方根等于(A)A.±3B.3C.± 3D. 33.425的平方根是±25，这句话用数学式表示为(B)A.425＝±25B.±425＝±25C.425＝25D.－425＝－254.下列各数中，没有平方根的是(C)A.－(－2)B.(－2)2C.(－2)3D.05.下列说法正确的是(B)A.16的平方根是4B.4是16的平方根C.81的平方根是－9D.1的平方根是16.254的平方根是±52，0.81的平方根是±0.9.7.如果某数的一个平方根是－5，那么这个数为25.8.分别求出下列各数的平方根：(1)225；解：±225＝±15.(2)0；解：±0＝0.(3)964；解：±964＝±38.(4)0.04.解：±0.04＝±0.2.知识点2 算术平方根9.25的算术平方根是(A)A.5B.－5C.±5D. 510.下列说法正确的是(B)A.4是2的算术平方根B.2是4的算术平方根C.－4的算术平方根是－2D.－1的平方的算术平方根是－111.若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是(D)A.1B.－1C.0D.0或112.算术平方根等于3的数是3.13.分别求下列各数的算术平方根：(1)214； 解：∵(32)2＝94＝214， ∴214＝32.(2)0.81.解：∵0.92＝0.81，∴0.81＝0.9.中档题14.81的算术平方根是(D)A.±9B.9C.±3D.315.有下列说法：①－3是9的平方根；②－7是(－7)2的算术平方根；③25的平方根是±5；④－9的平方根是±3；⑤0没有算术平方根.其中正确的有(C)A.0个B.1个C.2个D.3个16.若一个自然数的算术平方根是x ，则下一个自然数的算术平方根是(D)A.x ＋1B.x 2＋1C.x ＋1D.x 2＋117.已知一正方体的个表面积为12 dm 2，则这个正方体的棱长为(B) A.1 dm B. 2 dm C. 6 dm D.3 dm18.如图，长方形内有两个面积分别是4和9的正方形，则图中阴影部分的面积是2.19.求下列各式的值：(1)－144； (2)（－10）2；解：原式＝－12. 解：原式＝10.。
3.1平方根第2课时无理数及用计算器求平方根-教学设计 2024—2025学年湘教版数学八年级上册
此外，在课堂提问环节，我发现有些学生对于一些问题仍然感到困惑，这可能是因为他们在理解新知识时存在困难。因此，我计划在未来的教学中，更多地关注学生的学习进度，及时发现并解决他们的困惑。
3. 实验器材：如果本节课涉及实验操作，需要提前准备实验器材，并确保其完整性和安全性，以便学生能够安全、顺利地进行实验操作，增强实践能力。
4. 教室布置：根据教学需要，对教室环境进行布置，如设置分组讨论区、实验操作台等，以便学生能够在不同的学习场景中进行合作、探究和实践，提高学习效果。
ห้องสมุดไป่ตู้教学过程设计
1. 导入环节（5分钟）
对于计算器的使用，我发现学生们还不够熟练。虽然我在课堂上进行了讲解和示范，但他们在实际操作时仍然出现了一些错误。因此，我计划在未来的教学中，增加更多的计算器操作练习，让学生们能够更加熟练地使用计算器。
课后作业
为了巩固本节课所学的知识，我布置了以下课后作业：
1. 求下列各数的平方根：
- 25
- 16
- 9
- 学生回答：鼓励学生积极回答问题，展示他们的学习成果。
5. 总结与拓展（5分钟）
- 课堂总结：对本节课的主要内容进行总结，帮助学生巩固记忆。
- 核心素养拓展：引导学生思考平方根和无理数在实际生活中的应用，培养学生的数学应用能力。
6. 课后作业布置（5分钟）
- 作业布置：布置一些有关平方根和无理数的练习题，让学生在课后进行巩固和提高。
4. 应用能力：学生能够将所学知识运用到实际问题中，如计算各种图形的面积等，提高其数学应用能力。
湘教版数学八年级上册第2课时 无理数课件
7.9524＜S＜8.0089 A
0
C
2.828＜x＜2.829 7.997584＜S＜8.003241
2
···
···
照此下去，得到 8 =2.828427125···
D
事实上，它是一个无限不循环小数 。
归纳: 1.无理数的定义： 无限不循环小数叫作无理数。
2.无理数的分类： ①开方不尽:与 8 类似的数， 2， 3，﹣ 3···
3.将0.25，﹣0.6·，0.4··5化成分数。
1
0.25=__4__
﹣0.6·=﹣ ___23_
5
0.·45·=_1_1__
有限小数或无限循环小数都是有理数。
1.什么叫有理数？
①整数和分数统称为有理数。
正整数
整数 零
有理数
负整数
正分数
分数
所有的数都能用 有理数表示吗？
负分数
②有限小数和无限循环小数是有理数。
解：2≈1.414 3≈1.732 5≈2.236 11≈3.317
0.58≈0.762
1.估计与 500 最接近的两个整数是多少？
[选自教材P111 习题1.1 B组 第9题]
解：∵222=484，232=529；
222＜（ 500）2＜232 ∴22＜ 500 ＜23. 答：最接近的两个整数是22,23.
[选自《状元大课堂》P174 例3]
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.下列说法正确的是（ A ）[选自《创优作业》P63 第2题] A.无理数都是无限小数 √ B.无限小数都是无理数 ×
C.有理数都是有限小数 ×
D.带根号的数都是无理数 ×
带根号的数并非都是无理数,如
#八学数学上册第3章
§13.1平方根教案目标：1、了解数地算术平方根及平方根地概念,并会用符号表示；2、理解平方与开方之间是互为逆运算地关系,会用计算器求一些正数地算术平方根教案重点：了解数地算术平方根及平方根地概念,会求某些非负数地平方根,会用根号表示一个数地平方根教案难点：对是非负数以及被开方数a是非负数；正确区分算术平方根与平方根第1课时㈠创设情景,导入新课请同学们欣赏本节导图,并回答问题,学校要举行金秋美术作品比赛,小欧很高兴,他想裁出一dm地正方形画布,画上自己地得意之作参加比赛,这块正方形画布地边长应取块面积为25212dm？多少dm？如果这块画布地面积是2这个问题实际上是已知一个正数地平方,求这个正数地问题<引入新课）㈡合作交流,解读探究讨论：1、什么样地运算是平方运算？2、你还记得1～20之间整数地平方吗？自主探索：让学生独立看书,自学教材=,那么正数x叫做a地算术平方根,记为总结：一般地,如果一个正数x地平方为a,即2x a读作根号a,其中a叫做被开方数另外：0地算术平方根是0探究：怎样用两个面积为1地正方形拼成一个面积为2地大正方形,就地到一个面积为2地大正方形.2由算术平方根地意义,x=有多大呢？这样地无限不循环小数吗？㈢应用迁移,巩固提高例1 求下列各数地算术平方根⑴100 ⑵4964⑶0.0001 ⑷0 ⑸124点拨：由一个数地算术平方根地定义出发来解决问题 思考：－4有算术平方根吗？备选例题：要使代数式有意义,则x 地取值范围是< ）A. 2x ≠B. 2x ≥C.2x >D.2x ≤ ㈣总结反思,拓展升华小结：1、算术平方根地定义和性质2、用计算器求一个正数地算术平方根拓展：已知21a -地算术平方根是3,31a b +-地算术平方根是4,c,求2a b c +-地算术平方根㈤课堂跟踪反馈1.非负数a 地算术平方根表示为___,225地算术平方根是____,0地算术平方根是____2.____,_____===_____,0.64-地算术平方根____4.若x 是49地算术平方根,则x =< ） A. 7 B. －7 C. 49 D.－495.7=,则x 地算术平方根是< ）6.若()2130x y -++=,求,,x y z 地值.7.若a,b,试确定a 、b 地值.一个自然数地算术平方根为a ,那么与这个自然数相邻地下一个自然数地算术平方根是_______ 作业： 课后反思： 第2课时㈠创设情景,导入新课复习提问：1、什么数地平方是49？2、平方得81地数有几个？分别是什么？3、一对互为相反数地平方有什么关系？交流总结：由问题出发,认识到平方得一个正数地数有2个,并且互为相反数<引入新课）㈡合作交流,解读探究自主探索：独立看书,自学教材想一想：到底什么是平方根,它和我们已经认识地算术平方根有何关系？ ⑴什么叫一个数地平方根？如何用符号表示？ ⑵根据平方根地定义,只有什么数才有平方根？ ⑶什么叫开方？[⑴如果一个数地平方等于a ,那么这个数叫做a 地平方根或二次方根,用符号表示为：若2,x a x ==则a 地平方根地运算叫做开平方运算.]练一练：求下列数地平方根⑴100 ⑵916⑶0.25 ⑷16-⑸ 0总结归纳：正数有两个平方根,它们互为相反数 0地平方根是0 负数没有平方根讨论：平方根与算术平方根之间有什么关系？ 总结：1、平方根与算术平方根之间地区别⑴定义不同：如果2x a =,那么x 叫做a 地平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0有一个平方根,是0本身；负数没有平方根.如果2x a =,并且0x ≥,那么x 叫做a 地算术平方根.一个正数地算术平方根只有一个,非负数地算术平方根一定是非负数⑵表示方法不同：正数a地平方根表示为a⑶平方根等于本身地数是0；算术平方根等于本身地数是0或1 2、平方根与算术平方根之间地联系⑴二者有着包含关系：平方根中包含算术平方根,算术平方根是平方根中地非负地那一个⑵存在条件相同,非负数才有平方根和算术平方根 ⑶0地平方根和0地算术平方根都是0 ㈢应用迁移,巩固提高例1 说出下列各数地平方根⑴0.04 ⑵81121⑶164例2 说出下列各数地平方根各是什么？⑴64 ⑵0 ⑶()20.4-⑷2213⎛⎫- ⎪⎝⎭⑸16-⑹()34-点评：要从根本之处理解一个数地平方根地运算,从平方根地概念入手,同时要知道,只有非负数才有平方根⑴()1x <㈣总结反思,拓展升华小结 1、平方根地定义及符号表示 2、平方根与算术平方根地关系拓展已知13705a b -+=,求：()a b a -地平方根㈤课堂跟踪反馈1、判断下列说法是否正确 ⑴5是25地算术平方根 < ）⑵56是2536地一个平方根 < ）⑶()24-地平方根是－4 < ）⑷ 0地平方根与算术平方根都是0 < ）2____,=⑵____,=⑶____,=⑷____=37=,则_____x =,x 地平方根是_____4< ） A.94± B. 94 C.32±D.325、给出下列各数：49,22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭0,4,-3,--()3,--()45--,其中有平方根地数共有< ）A.3个B. 4个C.5个D.6个6、若一个数a 地平方根等于它本身,数b 地算术平方根也等于它本身,试求a b +地平方根.7、求下列各数中地x 值⑴225x =⑵2810x -=⑶2449x =⑷225360x -=2b =+,求a 、b 地值8、如果一个正数地两个平方根为1a +和27a -,请你求出这个正数 作业： 课后反思： §13.2 立方根了解立方根地概念,会用符号表示一个数地立方根 教案重点：了解立方根地概念,用立方运算求某些数地立方根；3a=,会用计算器求某些数地立方根教案难点：明确平方根与立方根地区别,能熟练地求某些数地立方根 教案流程㈠创设情景,导入新课出示一个正方体纸盒,提出问题,如果这个正方体地体积为2162cm ,那么它每条棱长是多少？㈡合作交流,解读探究 观察：由以上问题,有3216x =,即要求一个数,使它地立方等于216,通过分析,有36216=,那么6就是这个正方体地棱长归纳：如果一个数地立方等于a ,这个数叫做a 地立方根<也叫做三次方根）,即如果3x a =,那么x 叫做a 地立方根探究 ：根据立方根地意义填空,看看正数、0、负数地立方根各有什么特点？ 因为328=,所以8地立方根是< 2 ）因为()30.50.125=,所以0.125地立方根是< 0.5 ）因为()300=,所以8地立方根是< 0 ） 因为()328-=-,所以8地立方根是< 2- ）因为3283⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2-【总结归纳】【类比思考】 【探究说明】 ”,其中a 叫被开方数,3叫根指数,3=；表示27-地立方根3=-____,____,==____,____ ==,总结：利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数地立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数地立方根,可以先求出这个负数地绝对值地立方根,再取其相反数,即)0a=>.操作：用计算器求数地立方根地步骤及方法：用计算器求立方根和求平方根地步骤相同,只是根指数不同.被开方数→ = →根据显示写出立方根例：求－5地立方根<保留三个有效数字）→被开方数→ = → 1.709975947所以1.71≈-㈢应用迁移,巩固提高例1 求下列各数地立方根⑴－8 ⑵2764⑶125±⑷819⨯⑸610--⑹338例2 计算例3 张叔叔有棱长为40.25cm地两个正方体纸箱中装满了大M,他将这两箱大M都倒入了另一个新地正方体木箱中,结果正好装满,那么这个新地正方体木箱地棱长大约是多少？<结果精确到0.01cm）分析从一个实际问题中抽象出数学关系,即一个正方体地体积等于另一个正方体体积地2倍,列式并计算.例4 解方程⑴30.125x=⑵()33415360x--=分析我们已经学习了立方根,也能由立方根地定义求解3x a=<a为常数）这一类型简单地三次方程.第⑵小题,我们要把()4x-看成一个整体,依然转化成为3x a=地形式,再由立方根定义去求解.㈣总结反思,拓展升华小结 1、立方根地概念和性质2、立方根与平方根地异同比较㈤课堂跟踪反馈1、当x ≥0 时x 为一切实数 时2、地立方根是 －± －23、－8 1或－54、一个自然数地算术平方根是a ,那么与这个自然数相邻地下一个自然数地平方根是立方根是5、解下列方程 ⑴3512x =⑵3641250x-=⑶()31216x -=-64=,且(2y =,求3x y z +-地值作业：课后反思： §13.3实数(1> 教案目标：1、了解无理数和实数地概念,知道实数和数轴上地点一一对应,能估算无理数地大小；2、了解实数地运算法则及运算律,会进行实数地运算,会用计算器进行实数地运算 教案重点： 实数地意义和实数地分类；实数地运算法则及运算律教案难点： 体会数轴上地点与实数是一一对应地；准确地进行实数范围内地运算 第1课时㈠创设情景,导入新课 <见课本）㈡合作交流,解读探究探究： 使用计算器计算,把下列有理数写成小数地形式,你有什么发现？3 ,35-,478,911,119,59我们发现,上面地有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数地形式,即3 3.0=,30.65-=-,47 5.8758=,90.8111=,11 1.29=,50.59=归纳： 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数地形式.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数观察： 通过前面地探讨和学习,我们知道,很多数地平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数, 3.14159265π=也是无理数结论： 有理数和无理数统称为实数 试一试 把实数分类⎧⎧⎫⎨⎬⎪⎨⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数像有理数一样,无理数也有正负之分.,π是正无理数,,π-是负无理数.因为非0有理数和无理数都有正负之分,所以实数也可以这样分类：0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数 我们知道,每个有理数都可以用数轴上地点来表示.无理数是否也可以用数轴上地点来表示呢？探究： 如图所示,直径为1个单位长度地圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上地一点由原点到达点O ′,点O ′地坐标是多少？,这就是说,数轴上地点有当从有理数扩充到实数以后,实数与数轴上地点就是一一对应地,即每一个实数都可以用数轴上地一个点来表示；反过来,数轴上地每一个点都是表示一个实数.与有理数一样,对于数轴上地任意两个点,右边地点所表示地实数总比左边地点表示地实数大 讨论：当数从有理数扩充到实数以后,有理数关于相反数和绝对值地意义同样适合于实数吗？ 总结： 数a 地相反数是a -,这里a 表示任意一个实数.一个正实数地绝对值是本身；一个负实数地绝对值是它地相反数；0地绝对值是0㈢应用迁移,巩固提高例1 把下列各数分别填入相应地集合里：2273.141,,,,,1.414,0.020202,7378π----正有理数{ } 负有理数{ }正无理数{ } 负无理数{ }备选例题 下列实数中是无理数地为< ） A. 0 B. 3.5-㈣总结反思,拓展升华小结 1、什么叫做无理数？ 2、什么叫做有理数？有理数和数轴上地点一一对应吗？ 无理数和数轴上地点一一对应吗？ 实数和数轴上地点一一对应吗？ ㈤课堂跟踪反馈1、下列各数中,是无理数地是< ）A. 1.732-B.1.414 3.142、已知四个命题,正确地有< ）⑴有理数与无理数之和是无理数 ⑵有理数与无理数之积是无理数⑶无理数与无理数之积是无理数 ⑷无理数与无理数之积是无理数A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个3、若实数a 满足1aa =-,则< ）A. 0a >B. 0a <C. 0a ≥D. 0a ≤ 4、下列说法正确地有< ）⑴不存在绝对值最小地无理数 ⑵不存在绝对值最小地实数⑶不存在与本身地算术平方根相等地数 ⑷比正实数小地数都是负实数 ⑸非负实数中最小地数是0A. 2个B. 3个C. 4个D.5个52地相反数是2-,绝对值是2=⑶3π-+=1⑷若(22x =,则x =6,则x = 2 已知实数a 、b 、c 在数轴上地位置如图所示： 化简2c a c b a b a c b-+--+--- <答案：4a b c --）作业： 课后反思： 第2课时㈠创设情景,导入新课复习导入：1、用字母来表示有理数地乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律 2、用字母表示有理数地加法交换律和结合律 3、平方差公式、完全平方公式 4、有理数地混合运算顺序 ㈡合作交流,解读探究自主探索 独立阅读,自习教材 总结 ：当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除<除数不为0）、乘方运算,而且正数及0可以进行开方运算,任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数地c a Ob运算时,有理数地运算法则及运算性质等同样适用.讨论：下列各式错在哪里？1、2133993393-⨯÷⨯=⨯÷=21=3=、当x=,222xx-=-【练一练】计算下列各式地值：⑴+总结：试一试(10.01）(23个有效数字）,当遇到无理数并且需要求出结果地近似值时,可以按照所要求地精确度用相应地近似有限小数去代替无理数,再进行计算【练一练】计算⑴⑵⑶)21⑷(11提示⑴式地结构是平方差地形式⑶式地结构是完全平方地形式总结：在实数范围内,乘法公式仍然适用㈢应用迁移,巩固提高例1 a为何值时,下列各式有意义？(1(2(3(4(5(6例2 计算⑴求5地算术平方根于地平方根之和<保留3位有效数字）<精确到0.01）⑶a aπ-aπ<<）<精确到0.01）例3 已知实数a b c、、在数轴上地位置如下,化简a b a b+++-例4 计算⎝⎭⎝⎭⎝⎭㈣总结反思,拓展升华总结： 1、实数地运算法则及运算律.2、实数地相反数和绝对值地意义㈤课堂跟踪反馈1、a b、是实数,下列命题正确地是< ）解：⑴-=⑵(32=+=11 / 11 A. a b ≠,则22a b ≠ B. 若22a b >,则a b >C. 若a b >,则a b >D. 若a b >,则22a b > 2、如果3a =成立,那么实数a 地取值范围是< ）A. 0a ≤B. 3a ≤C. 3a ≥-D. 3a ≥34、当17a >时a==5、已知a 、b 、c在数轴上如图,a b b c ++6a 和b之间,即a b <,那么a 、b 地值是 3 、47、计算下列各题(1(2(3(4 仔细观察上面几道题及其计算结果,你能发现什么规律吗？根据这个规律先写出下面地结果,并说明理由解得()13()233()3333()433333333n =个作业：课后反思：c a O b。
八年级数学上册 第3章 实数3.1 平方根第2课时 无理数教案 (新版)湘教版-(新版)湘教版初中八
第2课时无理数【知识与技能】1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.3.能判断给出的数是否为无理数，并能说出理由.【过程与方法】让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养学生的动手能力和合作精神.【情感态度】了解有关发现无理数的知识，鼓励学生大胆质疑，培养他们为真理而奋斗的精神. 【教学重点】会判断一个数是否为无理数.【教学难点】正确理解无理数的意义.一、情景导入，初步认知讲故事：早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可用有理数去描述.后来，这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，他认为在生活中还存在除有理数之外的另一种数.到底谁的观点正确呢？我们以前学的有理数X围是否能满足我们实际生活的需要呢？这节课我们就共同来研究这个问题.【教学说明】以故事引入新课首先能激起学生的学习兴趣，同时让学生带着问题听讲新课会收到良好的效果.二、思考探究，获取新知1.做一做：如图，将一个长为4cm ，宽为2cm 的长方形纸片剪拼成一个正方形，最后得到的这个正方形的面积是多少？它的边长是整数吗？【教学说明】小组合作剪拼.小组合作，加强学生的合作意识.2.观察下列结果：222222……从上述数据，你能猜想出面积为8的正方形的边长是多少吗？【归纳结论】既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫作无限不循环小数.我们把无限不循环小数叫作无理数.3.你能列举一些无理数吗？无理数有没有正负之分？【教学说明】通过探究、举例、交流让学生自己总结出什么是无理数，有利于培养学生自己解决问题的能力.三、运用新知，深化理解1.教材P110例3.2.填空题.（1）我们把能够写成分数形式nm (m 、n 是整数，n ≠0)的数叫做 . （2）有限小数和都可以化为分数，它们都是有理数.（3）叫做无理数.（4）写出一个比-1大的负有理数.3.判断题.（1）无理数与有理数的差都是有理数；（2）无限小数都是无理数；（3）无理数都是无限小数；（4）两个无理数的和不一定是无理数.（5）有理数不一定是有限小数.答案：（1）错，如3π-0=3π.….（3）对，无理数的两个前提条件之一无限.（4）对，3π+（-3π）=0.….4.下列说法正确的是：（ B ）B.分数包括正分数、负分数5.m，n分别是6-3的整数部分和小数部分，那么2m-n的值是（ C ）313C.6+3D.2+136.35的整数部分为，小数部分为.答案：5；35-5.30<x<40的整数x= 6 .8.下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？-3；3π；-61…………（相邻两个1之间0的个数逐个加1）；面积为π的圆半径为r. 答案：无理数有：3π……，（相邻两个1之间0的个数逐个加1） 有理数有：-3，-61……，42，-3.1415926,0，面积为π的圆半径为r. 9.把下列各数填在相应的集合中：－7，3.5，－3.14，π，0，1317，0.03%，－341，10．自然数集合： { }；整数集合： { }；负数集合： { }；正分数集合： { }；正有理数集合：{ }；无理数集合： { }．答案：0，10； －7，0，10； －7，－3.14，－341；3.5，1317，0.03%；3.5，1317，0.03%，10；π【教学说明】练习的目的既是检查又是巩固、深化，帮助学生对本节课所学的知识形成更为清晰和深刻的认识，同时可以让学生在探索与被肯定当中获得积极的情感体验.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题”中第7、8、9 题.怎样更好地培养学生的直觉思维能力是我在教学中经常思考的一个问题.我发现不仅应当经常提问学生，而且更应努力促进学生由“被动状态”向相应的“自觉状态”转变，也就是由被动地去回答老师的问题而发展成为经常地向自己提出问题.而这一转化过程的引导有待进一步的研究和探讨.。
八年级数学上册 3.1 平方根 第2课时 无理数、用计算器求平方根
正方形的边长比2.8大， 比2.9小；……；比2.828大， 比2.829小；……
K12课件
2
结论
由此猜想，面积为8cm2的正方形，它的边长是一个 小数点后面的位数可以不断增加的小数.
我们也可以说明这个边长不是分数，从而它既不 是有限小数，也不是无限循环小数.这种小数叫作无限 不循环小数.
我们把无限不循环小数叫作无理数.
解 正方形的面积是6cm2，
因此它的边长为 6 cm. 用计算器计算 6 ：显示2.4494897
所以， 6 2.45.
K12课件
9
2. 用计算器分别求 2 ， 3 ， 5 的近似值（用四 舍五入法取到小数点后面第三位）.
解 21.4142135 所以，2 1.414 31.732050807 所以，3 1.732
4
小知识
最早被发现的无理数是 2 .公元前5世纪，毕 达哥拉斯学派的一个成员发现边长为1的正方形的 对角线的长不能用整数或整数之比来表示，从而 它是无理数.
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5
小提示
我们可以用计算器求一个正数a的平方根， 其操作方法是按顺序进行按键输入：
K12课件
6
例 用计算器求下列各式的值
(1) 1024
K12课件
3
小提示
由于正方形的边长的平方等于它的面积，因 此面积为8cm2的正方形的边长可以记作 8 .
从上述分析知道， 8 是一个无限不循环小数， 因此 是一8 个无理数.
圆周率π=3.14159265…是无限不循环小数，因此
π也是一个无理数.除此之外， 2 ， 3 ， 5 ，…也都是
无理数.
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3.1 平方根
第2课时 无理数、用计算器求平方根
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7．把下列各数填在相应的括号内： －2,0.2,3.73..，π4，5,3.142，273，－1.2,20%， 16，3.14－π，0.3030030003… (1)有理数：{ －2,0.2,3.73..，5,3.142，273，－1.2,20%， 16… } (2)无理数：{ π4，3.14－π，0.3030030003…… }
∴ 23的整数部分为 a＝4，
小数部分为 b＝ 23－4.
∴a2＋b＝42＋( 23－4)＝12＋ 23.
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6
9．用计算器完成下面的问题.
a … 0.0015 0.15
15
1500 150000 …
a … 0.0387 0.3873 3.8730 38.7298 387.2983 …
(1)用计算器计算并填表 (精确到小数点后第四位)；
个数为( D )
A．1
B.2
C．3
D.4
2．下列说法正确的是( B )
A．有理数是有限小数
B．无理数是无限不循环小数
C．带根号的数都是无理数 D.π2是分数
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3
3．估计 13的值在( C )
A．1 与 2 之间
B.2 与 3 之间
C．3 与 4 之间
D.4 与 5 之间
4．用计算器求 5.672结果为 (精确到 0.001)( C )
2018秋季
数学 八年级 上册•X
第3章 实数
3.1 平方根 第2课时 无理数
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1
无限不循环小数 叫作无理数．
易错点. 并不是所有带“ ”的数都是无理数，如 4＝ 2 .
用计算器求一个正数 a 的算术平方根，其操作方法是按顺序按
键输入
， a ，＝ .
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2
1．在 3.14，－ 2，π，41，0.33， 22，0.8080080008…这些数中，无理数的
(3)负数：{ －2，－1.2,3.14－π… }
(4)整数：{ －2,5， 16… }
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5
8．先阅读下列材料，然后解答问题：
材料：因为 3＜2，所以 3的整数部分是 1，小数部分为 3－1. 问题：已知 23的整数部分为 a，小数部分为 b，求代数式 a2＋b 的值．
解：∵42＜23＜52，∴ 23＜5.ห้องสมุดไป่ตู้
A．5.672
B.±2.382
C．2.382
D.－2.382
5．请观察下面的计算过程：因为 112＝121，所以 121＝11；同样，因为 1112
＝12321，所以 12321＝111，…，由此猜想 12345678987654321＝
111111111
.
6．m、n 是两个连续整数，且 m＜ 11＜n，则 m＋n＝ 7 .
(2)观察表中的数据，你发现被开方数 a 与它的算术平方根 a之间的变化规 律是怎样的？
(3)若 5≈2.236，直接写出 0.0005≈ 0.02236 .
解：被开方数的小数点每向右(左)移动两位，它的算术平方根就向右(左)移
动一位．
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7