层次分析法在项目风险分析中的应用

2 bn
Bn
1 bn
…
b
m n
ab
i 1
m
i i n
显然
i a b i n 1 j=1 i=1 n m
即层次总排序仍是归一化正规向量。
为评价层次总排序的计算结果的一致性如何，需要计 算与单排序类似的检验量。 CI为层次总排序一致性指标；RI为层次总排序平均随 机一致性指标；CR为层次总排序随机一致性比例。表 达式分别为： CI= aiCIi
该方法自1982年被介 绍到我国以来，以其 定性与定量相结合地 处理各种决策因素的 特点，以及其系统灵 活简洁的优点，迅速 地在我国社会经济各 个领域内，如能源系 统分析、城市规划、 经济管理、科研评价 等，得到了广泛的重 视和应用。
层次分析法的用途举例
例如，某人准备选购一台电冰箱，他对市 场上的6种不同类型的电冰箱进行了解后， 在决定买那一款式时，往往不是直接进行 比较，因为存在许多不可比的因素，而是 选取一些中间指标进行考察。例如电冰箱 的容量、制冷级别、价格、型式、耗电量、 外界信誉、售后服务等。然后再考虑各种 型号冰箱在上述各中间标准下的优劣排序。 借助这种排序，最终作出选购决策。在决 策时，由于6种电冰箱对于每个中间标准 的优劣排序一般是不一致的，因此，决策 者首先要对这7个标准的重要度作一个估 计，给出一种排序，然后把6种冰箱分别 对每一个标准的排序权重找出来，最后把 这些信息数据综合，得到针对总目标即购 买电冰箱的排序权重。有了这个权重向量， 决策就很容易了。
n 然后计算一致性指标 CI n 1 ，如果CI = 0, 则表明该判 断矩阵具有完全一致性,检验结束, 若CI≠0, 则需接着进行随 机一致性比率CI /R I的计算,其中R I指判断矩阵的平均随机 一致性指标,如表3. 若CI /R I < 0. 1,则认为判断矩阵和单排 序结果的一致性是可以接受的.否则,重新进行判断,写出新 的判断矩阵.
一、方法的来源及发展简史 二、方法在管理科学中的主要应用领域 三、方法的主要思想及优点 四、方法在项目风险管理中的应用案例
方法的来源及发展简史
AHP是匹兹堡大学教授Thomas L. Saaty在1970年所发 展出来的，它主要基础是线性代数 ( Linear Algebra ) 和图论 ( Graph Theory ) ( Saaty & Forman, 1996 )，藉由 绘图的概 念，分析问题和建立问题的阶层；运用 线性代数的矩阵观念，计算出各个方案的权重以 利决策。所以 AHP 除了可以帮助决策者弄清问题 的始末 和层层分析问题外，并藉由求得可供选择 的数个方案的相对重要性 ( 即其权重 ) ，供决策者 做决策的参考。其主要特征是，它合理地将定性 与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律 把决策过程层次化、数量化。
i i i b , b , , b 1 2 n
这里，若Bj与Ai无关，则 bij =0。层次总排序 如下：
层次
A1 a1
A2 a2
… … …
Am am
B层次的 总排序
B1
b

1 1 1 2
b
2 1 2 2
b b
m 1
ab
i 1 m
m
i i 1
B2
b

b
…
m 2
ab
i 1
i i 2
层次分析法的基本思路


先分解后综合的系统思想 整理和综合人们的主观判断，使 定性分析与定量分析有机结合， 实现定量化决策。 首先将所要分析的问题层次化， 根据问题的性质和要达到的总目 标，将问题分解成不同的组成因 素，按照因素间的相互关系及隶 属关系，将因素按不同层次聚集 组合，形成一个多层分析结构模 型，最终归结为最低层（方案、 措施、指标等）相对于最高层 （总目标）相对重要程度的权值 或相对优劣次序的问题。
i=1 m
式中，CIi为与ai对应的B层次中判断矩阵的一致性指标。 RI= aiRIi
i=1 m
式中，RIi为与ai对应的B层次中判断矩阵的平均随机一致性指标。 CI RI 同时当 CR= CR 0.10 时，我们认为层次总排序的计算结果具有满意的一致性。
AHP法计算的根本问题是如 何计算判断矩阵的最大特征 根λmax及其对应的特征向量W。 下面介绍两种常用的计算方 法： 1.和积法 2.方根法
层次分析法应用的程序
运用AHP 法进行决策时，需 经历以下4个步骤： 1) 建立系统的递阶层次结构; 2) 构造两两比较判断矩阵; 3) 计算权重向量并做一致性 检验; 4) 计算合成权重,求出总排序.
建立系统的递阶层次结构模型
运用AHP进行系统分析，首先将包含的因素分组， 每一组作为一个层次，按最高层、若干有关的中间层 和最底层的形式排列起来。如下图：
性，即判断矩阵是否满足如下关系：
aik aij , i, j, k 1, 2,, n a jk
上式完全成立，称判断矩阵具有完全一致性。此时矩阵的最大特征值 λmax=n,其余特征根为零。
在一般情况下，可以证明判断矩阵的最大特征根为单根，且λmax=n。 当判断矩阵具有满意的一致性时，λmax稍大于矩阵的阶数n，其余特征 根接近于零。这时基于AHP的结论才合理。由于事物的复杂性和人们 认识上的多样性，要求所有判断有完全的一致性是不可能的，但我们 要求一定程度上的判断一致性，因此对构造的判断矩阵需要进行一致 性检验。
方法的主要应用领域
AHP从1970年代发展迄今，日趋成熟，除Satty原先 使用在国防问题的决策分析外，其应用的领域更 扩展到文化资源、环境评估及教育领域中。目前 AHP主要可应用於解决以下十三类问题：1.决定优 先次序；2.产生交替方案；3.选择最佳方案；4.决 定需求；5.分配资源；6.预测结果；7.衡量绩效； 8.系统设计；9.确保系统稳定；10.最佳化；11.规划； 12.解决冲突；13.评估风险(Saaty & Forman, 1996 )。
判断矩阵表示针对上一层次某因素 而言，本层次与之有关的各因素之间 的相对重要性。假设A层次中因素Ak 与下层次中因素B1,B2, … ,Bn有联系， 则构造的判断矩阵如下：
Ak
B1 B2
…
B1
b11 b21
…
B2
b12 b22 bn2
…
Bn
b1n b2n bnn
… … …
…
…
Hale Waihona Puke BaiduBn
bn1
表中，bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表 示，通常bij取1,2,3, …,9及它们的倒数，具体含义见下 表：
AW maxW
求出正规化特征向量（假设西瓜重量为1），从 而得到每只西瓜的相对重量。 由此，我们想到对于其它复杂的问题，通过建立层 次分析结构模型，构造出判断矩阵，利用特征值方 法即可以确定各种方案和措施的重要性排序权值， 以供决策者参考。
使用AHP，判断矩阵的一致性是十分重要的。所谓判断矩阵的一致
max
平均随机一致性指标R I修正值表
维数 1 RI 0 2 0 3 0.52 4 5 6 7 8 1.41 9 10
0.89 1.12
1.26 1.36
1.46 1.49
层次总排序
利用同一层次中所有层次单排序的结果，就 可以计算针对上一层次而言本层次所有因素 重要性的权值，这就是层次总排序。层次总 排序需要从上到下逐层顺序进行，对于最高 层下面的第二层，其层次单排序即为总排序。 假定上一层次所有因素A1, A2, …, Am的总排序 已完成，得到的权值分别为a1, a2, …, am,与ai对 应的本层次因素B1, B2, …, Bn单排序的结果为：
和积法
(1)将判断矩阵每一列正规化。 bij bij n , i, j 1, 2, , n bkj
k 1
(2)每一列经正规化的判断矩阵按行相加。 W i bij , j 1, 2, , n
j 1 n
(3)对向量 W

W 1, W 2,


,
W1 W2 W2 W2 Wn W2

1 a ji
显然aii 1, aij
W1 Wn W2 Wn aij nn Wn Wn a , aij ik , i, j , k 1, 2, , n a jk
W1 W 1 W2 且AW W1 Wn W1
正规化。 W n

T
W
W W
i n j 1

, i 1, 2, , n
j
所得到的W W 1,

W 2,
,
W n 即为所求特征向量。
T
(4)计算判断矩阵的最大特征根max。
max
i 1
n
( AW )i 式中( AW )i 为向量AW的第i个分量。 nWi
W1 W2 W2 W2 Wn W2
W1 Wn W1 nW1 W2 W nW W2 2 2 nW Wn nWn Wn Wn
目标层A 目标A
风险层C
风险C1
风险C2
风险C3
方案层P
方案P1
方案P2
方案P3
方案P4
构造判断矩阵
任何系统分析都以一定的信息为 基础。AHP的信息基础主要是人们对 每一层次各因素的相对重要性给出的 判断，这些判断用数值表示出来，写 成矩阵形式就是判断矩阵。判断矩阵 是AHP工作的出发点，构造判断矩阵 是AHP的关键一步。
采用1至9的比例标度的 依据是：（1）心理学的研 究表明，大多数人对不同 事物在相同属性上差别的 分辨能力在5至9级之间，采 用1至9的标度反映了大多数 人的能力；（2）大量的社 会调查表明，1至9的比例标 度早已为人们所熟悉和采 用；（3）科学考察和实践 表明，1至9的比例标度已完 全能区分引起人们感觉差 别的事物的各种属性。
为了介绍AHP的基本原理，首先分析一个简单的事实： 假设我们已知n只西瓜的总重量为1，每只西瓜的重量分别为 W1,W2, … Wn。把这些西瓜两两比较（相除），很容易得到表示n 只西瓜的相对重量关系的比较矩阵（以后称之为判断矩阵）：
W1 W 1 W2 W A 1 Wn W1
即n是A的一个特征根，每只西瓜的重量是A 的对应于特征根n的特征向量的各个分量。
很自然，我们会提一个相反的问题，如果事先不 知道每只西瓜的重量，也没有量器去量，我们如能 设法得到判断矩阵（比较两只西瓜的重量是最容 易），能否导出西瓜的相对重量呢？显然可以的， 在判断矩阵的完全一致性的条件下，我们可以通过 解特征值问题
第十讲 层次分析法 在项目风险分析中的应用

本讲目标：

了解层次分析法的主要思想及优点； 掌握层次分析法应用的程序。
前言
小至个人的日常生活，大至 政府，都经常要做决策，而当 我们在做决策时，除了需要足 够的信息，有组织的思考，及 运用逻辑和经验外，个人优先 考量的更是深深影响决策的过 程。因此运用缜密的思考来看 清问题，和使用权重的观念来 辅助判断，将有助於我们的决 策。而在许多有关决策的方法 中， 层次分析法 ( The Analytic Hierarchy Process,AHP ) 颇受广泛应用。
方根法 为简化计算，也可以采用另一种近似方法。 (1) B的元素按行相乘。 uij bij
层次单排序
所谓层次单排序是指根据判断矩阵计算对于上一层某因 素而言本层次与之有联系因素的重要性次序的权值。它是 本层次所有因素相对上一层次而言的重要性进行排序的基 础。 层次单排序就是计算判断矩阵的特征值和特征向量，即 对判断矩阵B，计算满足:
BW maxW
的特征根与特征向量。式中λmax为B的最大特征根；W为对 应于λmax的正规特征向量；W的分量Wi即是相应元素单排 序的值。
风险因素对比标度
标度bij 1 3 5 7 9 2、 4、 6、 8 倒数 定义 i因素与j因素同样重要 i因素比j因素略重要 i因素比j因素较重要 i因素比j因素重要得多 i因素比j因素重要很多 i与j因素重要性比较结果处于以上结果的中间 j与i因素重要性比较结果是i与j因素重要性比较结果 的倒数