典中点图形的相似专训4 证比例式或等积式的技巧

典中点图形的相似专训4 证比例式或等积式的技巧
◐名师点金◑
证比例式或等积式,若所遇问题中无平行线或相似三角形,则需构造平行线或相似三角形,得到成比例线段;若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中,可尝试证这两个三角形相似;若不在两个三角形中,可先将它们转化到两个三角形中,再证这两个三角形相似;若在两个明显不相似的三角形中,可运用中间比代换。

技巧1：构造平行线法
1.如图,在△ABC 中,D 为AB 的中点,DF 交AC 于点E,交BC 的延长线于点F 。

求证:AE ·CF=BF ·EC.
2.如图,已知△ABC 的边AB 上有一点D,边BC 的延长线上有一点E,且AD=CE,DE 交AC 于点F 。

求证:AB ·DF=BC.EF
技巧2：三点定型法
3.如图,在□ABCD 中,E 是AB 延长线上的一点,DE 交BC 于F 。

求证:AD CF AE DC
4.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,M为BC的中点,DM⊥BC交CMA的延长线于D,交AB于E。

AM=MD·ME.
求证:2
技巧3：构造相似三角形法
5.如图,在等边三角形ABC中,点P是BC边上任意点,AP的垂直平分线分别交AB,AC于点M,N。

求证:BP·CP=BM·CN
技巧4：等积代换法
6.如图,在△ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC上,DF与BE相交于点G,且∠EDF=∠ABE。

求证:(1)△DEF∽△BDE； (2)DG·DF=DB·EF
7.如图,CE 是Rt △ABC 斜边上的高,在EC 的延长线上任取一点P,连结AP,作BC ⊥AP 于点C,交CE 于 点D 。

求证:2CE =DE ·PE
8.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F 。

求证:AB AC AE =AF
技巧5：两次相似法
9.如图,在□ABCD 中,AM ⊥BC,AN ⊥CD,垂足分别为M,N.求证:
(1)△AMB ∽△AND (2)
AC MN AB AM =
技巧6：等比代换法
10.如图,在Rt △ABC 中,AD 是斜边BC 上的高,∠ABC 的平分线BE 交AC 于E,交AD 于F 。

求证：
BC
AB BE BF =
技巧7：等线段代换法
11.如图,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC 于点D,点P 是AD 上一点,CF ∥AB,延长BP 交AC 于点
BP=PE·PF
E,交CF于点F。

求证:2
FD=FB·FC 12.如图,已知AD平分∠BAC,AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点F。

求证:2。