数学2004年高考理科试题解析

2004年浙江省高考数学卷(理科)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

1． 若U ={1,2,3,4}，M ={1,2}, N ={2,3}, 则U ð(M N )=
(A){1,2,3} (B){2} (C){1,3,4} (D){4} 2． 点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2+y 2=1按逆时针方向运动
23
π
弧长到达Q 点，则Q 的坐标为
(A)(-
21
,) (B) (
-21) (C)(-2
1,
(D)(
,21)
3． 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1,a 3,a 4成等比数列，则a 2=
(A)-4 (B)-6 (C)-8 (D)-10
4． 曲线y 2=4x 关于直线x =2对称的曲线方程是
(A)y 2=8-4x (B)y 2=4x -8 (C)y 2=16-4x (D)y 2=4x -16
5． 设z =x -y , 式中变量x 和y 满足条件30
20
x y x y +-≥⎧⎨-≥⎩， 则z 的最小值为
(A)1 (B)-1 (C)3 (D)-3
6． 已知复数z 1=3+4i , z 2=t +i , 且12z z 是实数，则实数t =
(A)
43 (B)34 (C)-34
(D)-4
3
7．
若n
展开式中存在常数项，则n 的值可以是 (A)8 (B)9 (C)10 (D)12
8． 在△ABC 中，“A ＞30︒”是“sin A ＞
2
1
”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
9． 若椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2=2bx 的
焦点分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为 (A)16
17
(C)45
10． 如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知AB =1，D 在棱BB 1上，
且BD =1，若AD 与平面AA 1C
C 所成的角为α，则α=
(A)3π
(B)4
π (C)
(D)
C
C 1 1
D
11．设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是
(A) (B)
(D)
12．若f(x)和g(x)都是定义在实数集R上的函数，且方程x-f[g(x)]=0有实数解，则g[f(x)]不可能是
(A)x2+x-
5
1
(B)x2+x+
5
1
(C)x2-
5
1
(D)x2+
5
1
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分。

把答案填在题中横线上。

13．已知f(x)=
1,0,
1,0,
x
x
≥
⎧
⎨
-<
⎩
,则不等式x+(x+2)·f(x+2)≤5的解集是__________.
14．已知平面上三点A、B、C满足|AB|=3, ||
BC=4, |CA|=5，则AB BC BC CA CA AB
++的值等于________.
15．设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有__________种（用数字作答）.
16．已知平面α与平面β交于直线l，P是空间一点，P A⊥α，垂足为A，PB⊥β，垂足为B，且P A=1，PB=2，若点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，则点P到l的距离为________.
三、解答题：本大题共6小题，满分74分。

解答应写出文字说明证明过程或演算步骤。

17．(本题满分12分)
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，且cos A=
3
1
(Ⅰ)求sin2
2
B C
+
+cos2A的值；
(Ⅱ)若a=3,求bc的最大值。

18． (本题满分12分)
盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个。

第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球（假设取到每个球的可能性都相同），记第一次与第二次取到球的标号之和为ξ。

（1）求随机变量ξ的分布列；
（2）求随机变量ξ的期望E ξ。

19． 如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互
相垂直，AB =2，AF =1，M 是线段EF 的中点。

（1）求证AM //平面BDE ；
（2）求二面角A -DF -B 的大小；
（3）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所
成的角是60︒。

20． 设曲线y =e -x (x ≥0)在点M (t ,e -t }处的切线l 与x 轴、y 轴围成的三角形面积为S (t ).
(1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的最大值。

21． 已知双曲线的中心在原点，右顶点为A (1,0)，点P 、Q 在双曲线的右支上，点M (m ,0)到
直线AP 的距离为1，
（1）若直线AP 的斜率为k ，且|k |∈
求实数m 的取值范围； （2）当m =2+1时，△APQ 的内心恰好是点M ，求此双曲线的方程。

22． 如图，△OBC 的三个顶点坐标分别为(0,0)、(1,0)、(0,2)，设P 1为线段BC 的中点，P 2
为线段CO 的中点，P 3为线段OP 1的中点，对于每一个正整数n ，P n +3为线段P n P n +1的
中点，令P n 的坐标为(x n ,y n )，a n =21
y n +y n +1+y n +2. （1）求a 1,a 2,a 3及a n ；
（2）证明4
14
n n y
y +=-,n ∈N *;
（3）若记b n =y 4n +4-y 4n ,n ∈N *，证明{b n }是等比数列。

数学答案(理科)
一.选择题: 本大题共12小题,每小题5分,共60分.
1. D
2.A
3.B
4.C
5.A
6.A
7.C
8.B
9.D 10.D 11.C 12.B 二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分. 13. ]2
3,(-∞ 14. 14 --25 15. 5 16. 5
三.解答题:本大题共6小题,满分74分. 17. (本题满分12分) 解: (Ⅰ)A C
B 2cos 2
sin
2
++ =)1cos 2()]cos(1[212-++-A C B
=)1cos 2()cos 1(212
-++A A
=)19
2
()311(21-++
= 9
1
-
(Ⅱ) ∵
3
1
cos 2222==-+A bc a c b ∴222223
2a bc a c b bc -≥-+=, 又∵3=a
∴.4
9
≤bc
当且仅当 b=c=23时,bc=49,故bc 的最大值是4
9
.
(18) (满分12分)
解: (Ⅰ)由题意可得,随机变量ε的取值是2、3、4、6、7、10。

E ε=2×0.09+3×0.24+4×0.13+6×0.18+7×0.24+10×0.09=5.2. (19) (满分12分) 方法一
解: (Ⅰ)记AC 与BD 的交点为O,连接OE,
∵O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形， ∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥OE 。

∵⊂OE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDE 。

(Ⅱ)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连结BS ，
∵AB ⊥AF ， AB ⊥AD ， ,A AF AD = ∴AB ⊥平面ADF ，
∴AS 是BS 在平面ADF 上的射影， 由三垂线定理得BS ⊥DF 。

∴∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角。

在RtΔASB 中，,2,3
6
==
AB AS ∴,60,3tan ︒=∠=∠ASB ASB
∴二面角A —DF —B 的大小为60º。

（Ⅲ）设CP=t （0≤t≤2）,作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ， ∵PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，A AF AB = ， ∴PQ ⊥平面ABF ，⊂QE 平面ABF ， ∴PQ ⊥QF 。

在RtΔPQF 中，∠FPQ=60º， PF=2PQ 。

∵ΔPAQ 为等腰直角三角形， ∴).2(2
2
t PQ -=
又∵ΔPAF 为直角三角形， ∴1)2(2+-=
t PF ，
∴).2(2
2
21)2(2
t t -⋅
=+- 所以t=1或t=3(舍去) 即点P 是AC 的中点。

方法二
（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。

设N BD AC = ，连接NE ， 则点N 、E 的坐标分别是（)0,2
2
,22、
（0,0,1）, ∴NE=()1,2
2,22--
, 又点A 、M 的坐标分别是
（022，，）、（
)1,22
,22 ∴ AM=（)1,2
2,22-- ∴NE=AM 且NE 与AM 不共线，
∴NE ∥AM 。

又∵⊂NE 平面BDE ， ⊄AM 平面BDE ， ∴AM ∥平面BDF 。

（Ⅱ）∵AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ,A AD =
∴AB ⊥平面ADF 。

∴)0,0,2(-=AB 为平面DAF 的法向量。

∵NE·DB=（)1,22
,22--·)0,2,2(-=0， ∴NE·NF=（)1,2
2,2
2
-
-·)0,2,2(=0得 NE ⊥DB ，NE ⊥NF ，
∴NE 为平面BDF 的法向量。

∴cos<AB,NE>=
2
1 ∴AB 与NE 的夹角是60º。

即所求二面角A —DF —B 的大小是60º。

（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤2)得
),1,2,2(t t PF --=
∴CD=（2，0，0）
又∵PF 和CD 所成的角是60º。

∴2
1)2()2(2)2(60cos 2
2
⋅+-+-⋅-=
︒t t t
解得22=
t 或2
2
3=t （舍去）， 即点P 是AC 的中点。

（20）（满分12分）
解：（Ⅰ）因为,)()(x x e e x f ---='='
所以切线l 的斜率为,1
--e 故切线l 的方程为).(t x e e y t t
--=---即0)1(1=+-+--t e y x e t 。

（Ⅱ）令y=0得x=t+1,
又令x=0得)1(+=-t e y t
所以S （t ）=
)1()1(21
1+⋅+-t e t =1
2)1(21-+e t
从而).1)(1(2
1)(1
t t e t S +-='-
∵当∈t （0，1）时，)(t S '>0, 当∈t （1,+∞）时,)(t S '<0,
所以S(t)的最大值为S(1)= (21) (满分12分)
解: (Ⅰ)由条件得直线AP 的方程),1(-=x k y 即.0=--k y kx
因为点M 到直线AP 的距离为1, ∵
,11
2
=+-k k mk
即221
111k
k k m +=+=-. ∵],3,3
3
[∈k ∴
,2133
2≤-≤m 解得332+1≤m ≤3或--1≤m ≤1--3
32.
∴m 的取值范围是].3,33
21[]3321,1[+--
(Ⅱ)可设双曲线方程为),0(1222
≠=-b b
y x
由),0,1(),0,12(A M +
得2=
AM .
又因为M 是ΔAPQ 的内心,M 到AP 的距离为1,所以∠MAP=45º,直线AM 是∠PAQ
的角平分线,且M 到AQ 、PQ 的距离均为1。

因此，1,1-==AQ AP k k （不妨设P 在第一象限）
直线PQ 方程为22+=x 。

直线AP 的方程y=x-1,
∴解得P 的坐标是（2+2，1+2），将P 点坐标代入122
2
=-b
y x 得，
3
21
22++=
b 所以所求双曲线方程为,11
2)32(2
2=++-y x
即.1)122(22=--y x
（22）（满分14分）
解：(Ⅰ)因为4
3
,21,153421==
===y y y y y ， 所以2321===a a a ，又由题意可知2
1
3+-+=n n n y y y
∴32112
1
++++++=n n n n y y y a
=2
21
121++++++n n n n y y y y
=
,2
1
21n n n n a y y y =++++ ∴{}n a 为常数列。

∴.,21*∈==N n a a n
(Ⅱ)将等式22
1
21=++++n n n y y y 两边除以2，得 ,12
41
21=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y
y y
∴.4
14n n y
y -=+
（Ⅲ）∵)41()41(44444341n n n n n y
y y y b ---=-=+++-
=)(41
444n n y y --+
=,41
n b -
又∵,041
431≠-=-=y y b
∴{}n b 是公比为4
1
-的等比数列。