博弈论习题及解答

※第一章绪论§1.21. 什么是博弈论?博弈有哪些基本表示方法?各种表示法的基本要素是什么?（见教材）2. 分别用规范式和扩展式表示下面的博弈。

两个相互竞争的企业考虑同时推出一种相似的产品。

如果两家企业都推出这种产品，那么他们每家将获得利润400万元；如果只有一家企业推出新产品，那么它将获得利润700万元,没有推出新产品的企业亏损600万元；如果两家企业都不推出该产品，则每家企业获得200万元的利润。

企业B推出不推出企业A推出 (400,400) (700,-600) 不推出(-600,700) (-500,-500)3. 什么是特征函数? （见教材）4. 产生“囚犯困境”的原因是什么？你能否举出现实经济活动中囚徒困境的例子？原因：个体理性与集体理性的矛盾。

例子：厂商之间的价格战，广告竞争等。

※第二章完全信息的静态博弈和纳什均衡1. 什么是纳什均衡? （见教材）2. 剔除以下规范式博弈中的严格劣策略，再求出纯策略纳什均衡。

先剔除甲的严格劣策略3,再剔除乙的严格劣策略2,得如下矩阵博弈。

然后用划线法求出该矩阵博弈的纯策略Nash均衡。

乙甲1 31 2,0 4,22 3,4 2,33. 求出下面博弈的纳什均衡。

乙L R甲U 5,0 0,8 D 2,6 4,5由划线法易知，该矩阵博弈没有纯策略Nash均衡。

由表达式(2.3.13)~(2.3.16)可得如下不等式组Q=a+d-b-c=7,q=d-b=4,R=0+5-8-6=-9,r=-1将这些数据代入(2.3.19)和(2.3.22),可得混合策略Nash均衡((),()) 4. 用图解法求矩阵博弈的解。

解：设局中人1采用混合策略(x,1-x),其中x∈[0,1],于是有:,其中F(x)=min{x+3(1-x),-x+5(1-x),3x-3(1-x)}令z=x+3(1-x),z=-x+5(1-x),z=3x-3(1-x)作出三条直线，如下图，图中粗的折线，就是F(x)的图象由图可知，纳什均衡点与β1无关，所以原问题化为新的2*2矩阵博弈：由公式计算得：。

所以该博弈的纳什均衡点为（（2/3，1/3），（0，1/2，1/2）），博弈的值为1。

5. 用线性规划法求矩阵博弈的解。

将矩阵中的所有元素都加4,得将数据代入(2.4.34)和(2.4.35)可得局中人1的混合策略,(0.45,0.24,0.31), 将数据代入(2.4.36)和(2.4.37)可得局中人2的混合策略,((0.31,0.24,0.45)) 6. 某产品市场上有两个厂商，各自都可以选择高质量，还是低质量。

相应的利润由如下得益矩阵给出：(1) 该博弈是否存在纳什均衡？如果存在的话，哪些结果是纳什均衡?由划线法可知，该矩阵博弈有两个纯策略Nash均衡，即(低质量, 高质量)， (高质量,低质量)。

乙企业高质量低质量甲企业高质量 50,50 100,800 低质量900,600 -20,-30该矩阵博弈还有一个混合的纳什均衡Q=a+d-b-c= -970,q=d-b= -120,R= -1380,r= -630，可得??因此该问题的混合纳什均衡为。

(2) 如果各企业的经营者都是保守的，井都采用最大最小化策略，结果如何?乙企业高质量低质量甲企业高质量50,50 100,800 低质量900,600 -20,-30(高质量, 高质量),(低质量,低质量)。

7. 甲、乙两人就如何分100元钱进行讨价还价。

假设确定了以下规则：双方同时提出自己要求的数额s1和s2，0≤s1，s2≤100。

如果s1+s2≤100，则两人各自得到自己所提出的数额；如果s1+s2>100，双方均获得0元。

试求出该博弈的纳什均衡。

该博弈的纳什均衡为下图的线段AB：即：s1+s2=100,s1,s2∈[0,100]。

8. 假设古诺寡头垄断模型中有n个企业，令qi表示企业i的产量，且Q=q1+…+qn表示市场总产量，p表示市场出清价格，并假设逆需求函数由p(Q)=a-Q给出（设Q<a，其它情况下p=0）。

并设企业i生产产量qi的总成本Ci(qi)=cqi,这里c是常数，并假设c<a。

企业同时就产量进行决策。

求出该博弈的纳什均衡。

当n趋于无穷大时，会发生什么情况？解：厂商i的利润为：πi=p(Q)-cqi=(a-Q-c)qi令，则有：q=a-c-Q*? ?????????????（1）()组成该博弈的纯策略纳什均衡点。

式（1）两边同时求和，可得：，于是，，此时p*=a-Q*=，当n趋于无群大时，有Q*=a-c, q=0，p*=c，说明此时各厂商的产品价格等于边际成本，这时的市场已是完全竞争市场。

9. 对于下列的威慑进入博弈，首先计算垄断情况下的产量与价格组合，再计算存在竞争的情况下两企业的产量与价格组合，并对这两种情况下的结果作比较分析。

假定进入者相信垄断在位者在随后的阶段将会维持它的产量水平。

市场需求曲线由方程p=10-2Q给出，其中p是市场价格，Q是总的市场产量。

假定在位者和进入者有相同的总成本函数TCi=+4qi，其中i=1,2分别表示在位者和进入者。

解：设垄断在位者的产量策略为q1，价格为p1；进入者的产量为q2，价格为p2。

其利润分别为：π1,π2。

先讨论垄断在位者不威慑的情形。

若进入者进入，各自利润为求导得：解得均衡时q1=q2=1，则p=8，利润为：π1=π2=。

若进入者不进入，则q2=0。

由得q1=，则相应地有p=7, π1=4。

如果垄断在位者进行威慑，由以上分析可知，如果两者都生产，则最大产量为2。

所以垄断在位者采取威慑为永远取产量为2，此时，若进入者进入，均衡分析如下：,,则有q2=，p=5, π1=,π2=0.若进入者选择不进入：q2=0，p=6, π1=。

由以上计算分析可以看出，垄断在位者的威慑是可信的。

垄断在位者的产量为2，进入者进入后无利可图，所以选择不进入。

市场价格为6。

10. 甲、乙两企业分属两个国家，在开发某种新产品方面有如下收益矩阵表示的博弈关系。

试求出该博弈的纳什均衡。

如果乙企业所在国政府想保护本国企业利益，可以采取什么措施？乙企业开发不开发甲企业开发 -10,-10 100,0不开发 0,100 0,0解：用划线法找出问题的纯策略纳什均衡点。

所以可知该问题有两个纯策略纳什均衡点(开发,不开发)和(不开发,开发)。

该博弈还有一个混合的纳什均衡((),())。

如果乙企业所在国政府对企业开发新产品补贴a个单位,则收益矩阵变为：,要使(不开发,开发)成为该博弈的唯一纳什均衡点,只需a>10。

此时乙企业的收益为100+a。

11. 假设有一博弈G=[N,S,P]，其中N={1,2},S1=[10,20],S2=[0,15],，。

试求出最优反应函数，并求出均衡点。

解：令,，得最优反应函数：由此进一步可求得，它们在题设要求的可行域内,所以均衡点为（330/23,80/23）。

12. 证明教材中定理2.4.6。

证明:设矩阵博弈G1的纳什均衡为(X*,Y*),其中X*=(x1,x2,…,xm),Y*=(y1,y2,…,yn),由纳什均衡的定义,有,即。

由于d是常数,因此有。

显然不等式是成立的,此即为。

所以(X*,Y*)是矩阵博弈G2的纳什均衡点,并且※第三章纳什均衡的扩展与精炼1. 什么是完全信息和不完全信息？什么是完美信息和不完美信息？在海萨尼转换中，自然对局中人类型的确定都是有限的吗？举例说明。

(见教材)2. 什么是重复博弈中的策略?什么是一个重复博弈中的子博弈?什么是一个子博弈完美纳什均衡? (见教材)3. 以下（虚线框中的）子博弈的划分是否正确?答：两个扩展式中的子博弈划分均不正确，图1中的划分对同一信息集产生了分割，图2中的子博弈不是开始于单节信息集的决策结点。

4. 在双寡头古诺模型中,设逆需求函数为p=a-Q,其中Q=q1+q2为市场总需求,但a有aH和aL两种可能的情况,并且企业1知道a究竟是aH还是aL,而企业2只知道a=aH和a=aL的概率分别是θ和1-θ,该信息是双方都知道的。

双方的总成本函数分别是cq1和cq2。

如果两企业同时选择产量,双方的策略空间是什么？试计算出贝叶斯纳什均衡。

假设企业2的产量为q2，企业1将选择q1最大化利润函数（这里a取aH或aL）由此得：企业2将选择q2最大化它的期望利润由此得：在均衡时，q1，q2应满足由此得：企业1的策略为：企业2的策略为：因此博弈的贝叶斯纳什均衡是：当a=aH时，企业1生产；当a=aL时，企业1生产，企业2生产。

5. 在下面的静态贝叶斯博弈中,求出所有的纯策略贝叶斯纳什均衡。

(1) 自然决定收益情况是由博弈1给出，还是由博弈2给出，选择每一博弈的概率相等；(2) 局中人1了解到自然选择了博弈1，还是选择了博弈2，但局中人2不知道；(3) 局中人1选择行动T或B，同时局中人2选择行动L或R；(4) 根据自然选择的博弈，两局中人得到相应的收益。

L R L RT 1,1 0,0 T 0,0 0,0B 0,0 0,0 B 0,0 2,2博弈1 博弈2自然选择了博弈1时，局中人1选择T，自然选择了博弈2时，局中人1选择B。

局中人2的策略是根据期望收益最大的原则确定。

局中人2的选择策略L的期望收益为0.5×1+0.5×0=0.5，选择策略R的期望收益为0.5×0+0.5×2=1，因此局中人2会选择策略R。

该博弈的纯策略贝叶斯纳什均衡为：自然选择博弈1时，局中人1选择T，自然选择博弈2时，局中人1选择B；局中人2会选择策略R。

6. 在一个由三寡头操纵的垄断市场中，逆需求函数为p=a-q1-q2-q3，这里qi 是企业i的产量。

每一企业生产的单位成本为常数c。

三企业决定各自产量的顺序如下：(1)企业1首先选择q1≥0；(2)企业2和企业3观察到q1，然后同时分别选择q2和q3。

试解出该博弈的子博弈完美纳什均衡。

答：该博弈分为两个阶段，第一阶段企业1选择产量q1，第二阶段企业2和3观测到q1后，他们之间作一完全信息的静态博弈。

我们按照逆向递归法对博弈进行求解。

（1）假设企业1已选定产量q1，先进行第二阶段的计算。

设企业2，3的利润函数分别为：由于两企业均要追求利润最大，故对以上两式分别求一阶条件：（1）（2）求解（1）、（2）组成的方程组有：（3）（2）现进行第一阶段的博弈分析：对与企业1，其利润函数为；将（3）代入可得：（4）式（4）对q1求导：解得：（5）此时，（3）将式（5）代回（3）和（4）有该博弈的子博弈完美纳什均衡：,7. 如果将如下的囚徒困境博弈重复进行无穷次，惩罚机制为触发策略，贴现因子为δ。

试问δ应满足什么条件，才存在子博弈完美纳什均衡？坦白不坦白乙甲坦白4,4 0,5不坦白5,0 1,1由划线法求得该博弈的纯策略纳什均衡点为(不坦白,不坦白)，均衡结果为(1,1)，采用触发策略，局中人i的策略组合s的最好反应支付=5,Pi(s*)=4，Pi(sc)=1。