第13讲 分解质因数
分解质因数(一)(含详细解析)
1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；知识点拨教学目标5-3-4.分解质因数（一）200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数 【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。
分解质因数的方法与技巧(用例子讲解分解质因数的步骤)
最近，五年级正在学习因数与倍数知识，许多同学反映分解质因 数对于他们来说有点难，能不能给他们总结归纳一些方法，让他们高 效率做出题目，今天老师就给大家总结一些方法，希望同学们能快速 掌握。 一、知识铺垫 1、因数和倍数：在整数乘法里，如果 a×b=c，那么 a 和 b 是 c 的因数， c 是 a 和 b 的倍数。 2、 为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数(一 般不包括 0)。但是 0 也是整数。 3、一个数的最小因数是 1，最大因数是它本身。一个数的因数的个数 是有限的。 4、一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 一个数的倍数的 个数是无限的。 如果两个整数(a、b)都是另一个整数(c)的倍数，那么这两个整数的和 (a+b)也是另一个整数(c)的倍数。 5、 个位上是 0、2、4、6、8 的数都是 2 的倍数。 个位上是 0、5 的数都是 5 的倍数。 个位上是 0 数既是 2 的倍数，也是 5 的倍数。 一个数各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。
第十页
(1)利用乘法口诀 (2)抓住数的特点 (3)熟记质数表(见前两篇文章中——100 以内质数歌) 课后练习： 1， 把 12 分解质因数后求全部因数。 2.把 80 分解质因数后求全部 因数。 3.四个连续自然数的积是 360，求这四个自然数。 4.四个连续奇数的积 3465，求这四个数。 5，三个连续偶数的积是 960，这三的偶数的和是多少? 6，学区举行团体操表演，有 1430 名学生参加，分成人数相等的若干 队，要求每队人数在 题意，每队人数×队数=1430，每队人数在 100 至 200 之间，所以问题相当于求 1430 有多少个在 100 至 200 之间的约数。 先把 1430 分解质因数， 得 1430=2×5×11×13。 从这四个质数中选若干个，使其乘积在 100 到 200 之间，这是每队人 数，其余的质因数之积便是队数。 2×5×11=110，13; 2×5×13=130，11; 11×13=143，2×5=10。 好了，今天就分享到这里，希望孩子们能顺利掌握。
小五数学第13讲：质数和合数(教师版)——刘文静
第十三讲质数和合数1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
（3）1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。
把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。
例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。
具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；教学重点：质数和合数的概念。
分解质因数讲义
分解质因数【适用场景】沪教版--六年级上册--新课【知识定位】分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。
分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。
【知识梳理】1.质数、合数的定义：问：1的约数有：1；2的约数有：1，2；3的约数有：1，3；4的约数有：1，2，4；6的约数有：1，2，3，6；7的约数有：1，7；12的约数有：1，2，3，4，6，12；……从上面各数的约数的个数中我们可以看到：一个自然数的约数的个数有三种情况：①只有一个约数的，如1。
因此，1不是质数，也不是合数。
②只有两个约数的（1和它本身），如2，3，7……③有两个以上约数的，如4，6，12……所以，我们将属于第__②__种情况的，即：除了1和本身以外，不再有别的约数，这样的数叫做质数。
我们将属于第__③__种情况的，即：除了1和本身以外，还有别的约数，这样的数叫做合数。
2.质因数：如果某个质数是一个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。
我们观察下面这些式子：4=1×2×2；6=1×2×38=1×2×2×2；10=1×2×5；12=1×2×2×3；……从上面各数的约数的情况中我们可以看到：一个合数最终总是能被写成质数相乘的形式，这里，我们就将这些质数叫做这个合数的质因数。
例如：18=2×3×3这里的2、3、3都是18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。
这里需要注意的是：18也可以写成3与6的乘积，即：18=3×6，无疑3和6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数，而6是合数，则不能称做6是18的质因数。
3.互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1的时候，这两个或几个数，就叫做互质数（也叫互素数）。
五上13整数的整除
姓名：第十三讲整数的整除知识摘要：需要掌握的基础知识有：整除的意义、因数和倍数、奇数和偶数、数的整除特征、质数和合数、分解质因数、最大公因数和最小公倍数。
下面介绍几种数的整除特征：能被2整除的数：个位上是0、2、4、6、8；能被5整除的数：个位上是0、5；能被3（9）整除的数：各数字和是3（9）的倍数；能被4（25）整除的数：末两位数能被4（25）整除；能被8（125）整除的数：末三位数能被8（125）整除；能被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和之差（大减小）能被11整除。
能被7（11、13）整除的数：末三位数与前几位数之差（大减小）能被7（11、13）整除；能被A整除的数：能同时被A的几个互质因数整除。
例1、一个六位数43□57□能被72整除，这个六位数是。
例2、在532的后面添上三个数字，组成一个六位数，使这个六位数能同时被3、4、5整除，那么这个六位数最小是。
练习一1.六位数□3475□能被45整除，这个六位数最大是是。
2.相同字母代表相同的数，不同字母代表不同的数，四位数8A1B能同时被5、6整除，问这个最小的四位数是。
3.七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。
4.四位数3AA1能被9整除，求A= 。
5.已知整数5A6A7A8A9A能被11整除，满足这个条件的整数A有。
6.七位数22A333A能被4整除，且它的末两位数字组成的两位数3A是6的倍数，A是。
7.在254的后面添上三个数字，组成一个六位数，使这个六位数能同时被4、5、6整除，那么添上的三个数字的和最小是。
8.在123的后面添上2个数字，组成一个五位数，使这个五位数能同时被3、5、7整除，那么这个五位数是。
例3、将一个长60分米、宽45分米的长方形铁皮剪割成若干个相同的小正方形铁皮，如果铁皮正好没有剩余，那么每个正方形的面积最大是多少平方分米？至少剪割了多少个正方形？例4、用一些长12厘米、宽8厘米的长方形，拼一个正方形，这个正方形的面积最小是多少平方厘米？最少要用多少个长方形？练习二1.将一个长40分米、宽24分米的长方形铁皮，剪割成若干个大小相同的小正方形铁皮，要求铁皮正好没有剩余，那么每个正方形的面积最大是平方分米，至少剪割了个正方形。
【五升六】小学数学奥数第13讲：最小公倍数-教案
六年级备课教员：×××第13讲最小公倍数一、教学目标： 1. 理解公倍数和最小公倍数的意义。
2. 把问题转化成求最小公倍数的问题。
3. 学会用分解质因数法求最小公倍数。
4. 假设推理能力得到提升。
二、教学重点： 1. 用分解质因数法求最小公倍数。
2. 培养学生假设推理能力。
三、教学难点：转换问题成求最小公倍数问题。
四、教学准备：PPT、卡片五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：大家喜欢玩游戏吗？生：喜欢。
师：今天我们来玩一个新游戏——抢倍数。
左边分为小5组，右边分为小7组。
师：规则和分组：有7张数字卡片，这些数字分别是5、6、9的倍数。
每组快速派一名代表上来。
其他学生共同商讨，只能拿一张。
拿到它们倍数最多的小组为胜。
（PPT出示）（卡片为25、30、45、54、90、108、120）师：请获胜的队伍来说说你为什么选择这个数？生：90既是5的倍数,又是6的倍数，还是9的倍数。
师：说的真棒！90既是5的倍数,又是6的倍数，还是9的倍数，这里我们把 90叫做5、6、9的公倍数，今天我们就来学习“最小公倍数”。
板书：最小公倍数二、探索发现授课（40分）（一）例题一：（10分）有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1。
这个自然数最小是多少？（PPT出示)师：同学们，我们先来看看除数和余数，它们有什么关系？生：除数和余数的差都是3。
师：不错，如果我们把这个数加上3后，这个“新数”能被10、7、4整除。
那么这个问题转换成什么了呢？生：求4、7、10的最小公倍数。
师：是！4、7、10的最小公倍数是多少呢？快拿出你们的笔算一算。
生：140。
师：回答得又快又正确，请这位同学来告诉老师是怎么算的？生：4、10是合数，先把它们分解成4=2×2,10=2×5，它们有最大公约数是2。
所以三个数最小公倍数是2×2×5×7=140。
奥数讲座-第十三讲 分解质因数
奥数讲座第一讲一般复合应用题第二讲和差、和倍问题第三讲差倍、年龄问题第四讲盈亏问题第五讲鸡兔同笼问题第六讲容斥原理第七讲植树问题第八讲方阵问题第九讲平均数问题第十讲行程问题（一）第十一讲行程问题（二）第十二讲数的整除第十三讲分解质因数第十四讲求因数个数第十五讲最大公因数和最小公倍数第十六讲余数问题第十七讲周期问题第十八讲尾数与平方数第十九讲奇偶分析第二十讲数列第二十一讲幻方和数阵第二十二讲一笔画第二十三讲分数应用题第二十四讲比和比例第二十五讲还原问题第二十六讲牛吃草问题第十三讲分解质因数2009年03月09日星期一下午 07:411、有四个不同质因数的最小自然数是多少？2×3×5×7=2102、把232323的全部质因数的和表示为AB，那么A×B×AB的积是多少？232323=3×7×13×23×37 3＋7＋13＋23＋37=83 8×3×83=19923、31÷（）=（）…… 7，要在算式的括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？31－7=24 24=2×2×2×3 2×2×2=8 2×2×3=12 3种4、六（1）班同学买了310本本子，如果分给每个同学相同数量的本子后还余下37本，问：六（1）班有多少个同学？310－37=273 273=3×7×13 39人5、有四个小朋友，年龄逐个增加1岁，四人年龄的乘积是360，问：其中年龄最大的一个是几岁？360=2×2×2×3×3×5=3×4×5×66、某个院子里共有5个小朋友，每个小朋友的年龄都小于13岁，他们年龄的乘积是18480，这5个小朋友中年龄最小的最少是几岁？18480=2×2×2×2×3×5×7×11=4×6×10×7×11=8×6×5×7×11=2×12×10×7×11这5个小朋友中年龄最小的最少是2岁7、有三个学生，他们的年龄一个比一个大3岁，他们三人年龄数的乘积是1620，问这三个学生年龄各是多少岁？1620=2×2×3×3×3×3×5=9×12×158、在右面的算式里，四个小纸片各盖住一个数字，被盖住的四个数字之和是多少？1992=2×2×2×3×83=24×83 2＋4＋8＋3=179、将14、33、35、30、75、39、143、169八个数平均分成两组，使这两组的乘积相等。
五年级奥数分解质因数讲座及练习答案
五年级奥数集训专题讲座（四）——分解质因数把一个合数，用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。
我们课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。
其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题.例1:把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个,小于18个,一共有多少种不同的分法？分析:18的约数有1、2、3、6、9、18。
除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法.例2：写出若干个连续的自然数,使它的积是15120。
分析：先把15120分解质因数,进而组合因数，使几个因数成为连续的自然数。
15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7=5×（2×3）×（2×2×2)×（3×3）=5×6×7×8×9【巩固练习】:有四个孩子，恰好一个比一个大1岁,4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的几岁？解：3024=2×2×2×2×2×3×3×3×7=8×6×9×7答：这四个孩子中年龄最大的是9岁。
例3：将2、5、×14、24、27、55、56、99八个数平均分成两组,使这两组数的乘积相等。
分析：14=2×7 24=2×2×2×3 27=3×3×3 55=5×1156=2×2×2×7 99=3×3×11 2 5可以看出，这八个数中，共含有八个2,六个3,二个5,二个7和二个11，如果要把这八个数分成两组且积相等，那么,每组数中应含有四个2，三个3，一个5,一个7，一个11。
分解质因数
分解质因数同学们，你们好！在这一讲中，我们一起来研究“分解质因数”的知识。
（一）阅读思考同学们都知道：一个合数可以写成几个质数相乘的形式。
例如：，2、2、3都叫做合数12的质因数。
把一个合数写成质数相乘的形式，叫做分解质因数。
对于一个合数，它只有一种分解质因数的方法。
例1. 有两个两位数的乘积是3927，这两个两位数的和是多少？分析与解答：把这两个两位数相乘，也就等于把这两个数各自的质因数相乘。
我们可以先把3927分解质因数：，再把这4个质因数搭配组合成两个两位数：，那么，这两个两位数的和是：。
例2. 将55名同学用船渡过河，已知每条船载的人数相等，且最少载5人，最多载12人，问应有多少条船？每船载多少人？分析与解答：我们可以先看看55能被哪些数整除。
可以先把55分解质因数，所以55能被1、5、11和55整除，其中5和11在5~12之间。
所以有两种可能：11条船——每条载5人。
5条船——每条载11人。
例3. 求294000有几个约数？分析与解答：这是一个六位数，如果我们用列举法把它的约数一一找出来，会很麻烦。
所以今天就给同学们介绍一个很简单的方法，但要先把294000分解质因数。
，也就是有4个2，1个3，3个5，2个7。
根据294000各种质因数的个数，我们就可以计算出它有个约数。
如果总结一下方法，就是：一个大于1的整数的约数的个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的指数加上的和的连乘积。
（二）尝试体验：（答题时间：45分钟）1. 学校商店出售每支5角的铅笔，没有人买，但降价后，一下子把全部铅笔都卖光了，共计卖得31.93元，问每支降价多少元？共卖了多少支铅笔？2. 四个小朋友的年龄，一个比一个大1岁，他们年龄的乘积是11880，你能算出四个小朋友各多少岁吗？3. 把20、26、33、35、39、42、44、55、91这九个数分成三组，每每组三个数的乘积都相等。
4. 4410和924各有多少个约数？5. 12345678987654321的除本身以外最大的约数是多少？6. 有四个数相乘，（）要想使四个数的乘积末尾有5个0，括号中的数最少是多少？【试题答案】（二）尝试体验：1. 学校商店出售每支5角的铅笔，没有人买，但降价后，一下子把全部铅笔都卖光了，共计卖得31.93元，问每支降价多少元？共卖了多少支铅笔？有103支铅笔，每支降价19分，合0.19元。
分解质因数
分解质因数（练习）教学内容：P54页练习九8-13题。
教学目的：1、使学生进一步掌握质数、合数的概念，进一步认识质因数，能比较熟练地分解质因数。
2、进一步培养学生的比较、判断、推理等思维能力。
教学过程：一、揭示课题。
前两节课，我们学习了什么内容？今天，我们继续练习质数、合数和分解质因数的知识。
（板书课题）二、基本练习。
1、复习质数和合数。
⑴提问：什么是质数？什么是合数？1是质数还是合数？为什么？质数只有几个约数？合数至少有几个约数？怎样判断一个数是质数还是合数？（看它除了1和它本身两个约数外，还有没有第三个约数。
）⑵找一找，填一填：2 3 4 5 6 10 23 24 321①质数有（）②合数有（）③（）和（）是（）的质因数。
④（）和（）是（）的质因数。
⑤（）和（）是（）的因数。
⑥24的因数有（），其中质因数有（）。
2、复习分解质因数。
⑴口答。
下列各式里谁是积的因数？谁是积的质因数？为什么？1×7=7 5×3=15 6×2=122×5×4=40 7×8×2=112 6×3×5=90提问：哪几道式子中积的因数是质数？一个质数只有几个质因数？哪几个算式中积是合数？什么叫做分解质因数？质数为什么不能分解质因数？⑵把下列各数分解质因数。
（塔式分解）42 140 363人板演，其余座练，集体订正。
提问：用短除法怎样分解呢？⑶练习九第9题小黑板出示，让学生自己观察，找出错误，在书上改正。
三、综合练习。
1、做练习九第10题。
⑴学生首先指出哪些数是质数？哪些数是合数？⑵学生将合数分解，老师板书。
（注意连乘形式）2、做练习九第11题。
指名学生口答。
3、判断下列说法是否正确。
⑴6是由质数2和3相乘得到的。
（）⑵10是由质数1、2、5相乘得到的。
（）⑶因为13=13×1，所以13和1是13的因数。
（）⑷因为13=1×13，所以1和13是13的质因数。
新分解质因数
分解质因数1.【知识要点和基本方法】一．质因数和分解质因数（1）如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数（2）把一个合数用质因数相乘表示，叫做分解质因数，如把12分解质因数得12＝2×2×3＝22×3，这时并称2和3是12的质因数。
（3）质数与互质的区别：质数是指约数只有1和它本身的自然数；而两个数的公约数只有1时，这样两个数的关系称为互质。
（4）分解质因数的方法主要是短除法，（在小学阶段）：譬如分解675这个合数，试除时一般从最小质数开始所以，675＝33×52二、合数的约数个数与合数的约数和以前的例子为例可知：（1）675的约数有1、2、5、9、15、27、45、75、135、225、675共12个，而675的质因数分解式为：675＝33×52其中指数3时质因数3的个数，指数2时质因数5的个数，那么675的约数的个数12，恰好时各个质因数指数加1的和的乘积：（3+1）×（2+1）＝12（2）675的12个约数之和：1+3+5+9+15+25+27+45+75+135+225+675＝1240但由于675的质因数分解式为675＝33×52，那么675的所有约数之和与675的质因数3和5的方幂恰好有如下关系：1240＝（1+3+32+33）×（1+5+52）＝40×31＝1240我们再举一个例子，比如18000＝24×32×53，不妨我们自己验证一下：（1）合数18000的所有约数的个数为：（4+1）×（2+1）×（3+1）＝60个（2）合数18000的所有约数和为：（1+2+22+23+24）×（1+3+32）×（1+5+52+53）＝31×13×156＝62868当然，这不是偶然的，我们可以总结出求一个合数的所有约数的个数和所有约数和有如下结论。
分解质因数课件
4、6、8、9、10、12……
（合数）
现在学习的是第41页，共50页
从上面的例子看出，每个合数都可以 写成几个质数相乘的形式。其中每个质数 都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因
数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来 ，叫做分解质因数。
现在学习的是第42页，共50页
为了简便，通常用短除法来分解质因数。
现在学习的是第30页，共50页
例 6，28和60可以写成哪几个质数相乘的形式？
6 23
6=2×3
28
2
14
28=2×2×7
2
7
60
2
30
60=2×2×3×5
2
15
3
5
现在学习的是第31页，共50页
1、请观察(指塔式分解式和算式)每个合数都写成什么形式？ 每个合数都写成了几个质数相乘的形式。
2、这些质数，在式子里与原来的合数是什么关系？
这些质数都是原来合数的因数。
3、像这样，把一个合数写成几个质数相乘的形式， 其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个 合数的质因数。
4、请说一说上面三个算式中谁是谁的质因数。
5、讲质因数时，要说出这个质数是哪个合数的质因数，
不能单独说一个数是质因数。
6、把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，
叫做分解质因数。
例3 6、28和60可以写成哪几个质数相乘的形式？
6
2× 3
6 ＝2 X 3
现在学习的是第6页，共50页
28
4× 7
2×2 × 7
28 ＝ 2 X 2 X 7
现在学习的是第7页，共50页
60
6 × 10
2×3 × 2×5 60＝2X3X2X5
五年级奥数专题 质数、合数、分解质因数(学生版)
学科培优数学“质数、合数、分解质因数”学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及,并且多以判断题考察。
质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式,但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。
质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。
在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识,在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。
分解质因数法是一个数论重点方法,本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。
知识梳理一、质数与合数的基本概念1.质数：一个数除了1和它本身没有其他的约数,这个数就称为一个质数,也叫做素数2.合数：一个数除了1和它本身还有其他的约数,这个数就称为一个合数3.质因数：如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数二、质数和合数的一些性质和常用结论1. 0和1既不是质数也不是合数,因此,我们可以说,自然数可以分成三部分,即,0和1,质数,合数。
2. 最小的质数是2,最小的合数是4。
3. 常用的100以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,8 9,97其中2是唯一的偶数,5是唯一个位上数字是5的数,其余的数字个位只为1,3,7,94. 部分特殊数的分解：=⨯1000173137=⨯=⨯⨯1111141271=⨯100171113111337=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯200733223=⨯⨯⨯1998233337199535719=⨯⨯⨯+==⨯⨯10101371337 2008222251=⨯⨯⨯200720084015511735. 质数的判定方法判断一个数是否是质数,可以采用“连续小质数试除法”。
例如：判断251是否是质数,可以从最小的质数2开始依次除251,直到所得的商比除数小为止,可以断定251是质数。
251÷2=125...1, 251÷3=83...2, 251÷5=50...1, 251÷7=35...6, (251)17=14…13,此时除数17＞商14,由此说明251是质数。
小学思维数学讲义：分解质因数(一)-含答案解析
分解质因数（一）1.能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构，而且表达形式唯一”一、质因数与分解质因数（1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.（2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.（3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如：30235=⨯⨯.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=⨯⨯=⨯，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.（4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212263，（┖是短除法的符号） 所以12223=⨯⨯；二、唯一分解定理任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =⨯⨯⨯⨯其中为质数，12k a a a <<<为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7.三、部分特殊数的分解111337=⨯；100171113=⨯⨯；1111141271=⨯；1000173137=⨯；199535719=⨯⨯⨯；1998233337=⨯⨯⨯⨯；200733223=⨯⨯；2008222251=⨯⨯⨯；10101371337=⨯⨯⨯.模块一、分解质因数【例 1】 分解质因数20034= 。
【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第2题，10分【解析】 原式323753=⨯⨯⨯【答案】323753⨯⨯⨯例题精讲 知识点拨 教学目标【例 2】 三个连续自然数的乘积是210，求这三个数是多少？【考点】分解质因数 【难度】1星 【题型】填空【解析】 210分解质因数：2102357=⨯⨯⨯，可知这三个数是5、6和7。
数论分解质因数
数论分解质因数一个整数，它的约数只有1和它本身，就称为质数（也叫素数）.例如，2，5，7，101，….一个整数除1和它本身外，还有其他约数，就称为合数.例如，4，12，99，501，….1不是质数，也不是合数.也可以换一种说法，恰好只有两个约数的整数是质数，至少有3个约数的整数是合数，1只有一个约数，也就是它本身.质数中只有一个偶数，就是2，其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数，例如，15，33，….例9 ○＋（□+△）=209.在○、□、△中各填一个质数，使上面算式成立.解：209可以写成两个质数的乘积，即209＝11×19.不论○中填11或19，□+△一定是奇数，那么□与△是一个奇数一个偶数，偶质数只有2，不妨假定△内填2.当○填19，□要填9，9不是质数，因此○填11，而□填17.这个算式是 11×（17＋2）＝209，11×（2＋17）＝ 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积，特别是一些质数的乘积，是解决整数问题的一种常用方法，这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中，为质数的因数叫做这个整数的质因数，例如，2，3，7，都是42的质因数，6，14也是42的因数，但不是质因数.任何一个合数，如果不考虑因数的顺序，都可以唯一地表示成质因数乘积的形式，例如360＝2×2×2×3×3×5.还可以写成360＝23×32×5.这里23表示3个2相乘，32表示2个3相乘.在23中，3称为2的指数，读作2的3次方，在32中，2称为3的指数，读作3的2次方.例10 有四个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040，那么，他们的年龄各是多少？解：我们先把5040分解质因数5040＝24×32×5×7.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积：24×32×5×7＝7×8×9×10.所以，这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式，不难求出该数的约数个数（包括1和它本身）.为寻求一般方法，先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个：1，2，3，4，6，8，12，24.对于较大的数，如果一个一个地去找它的约数，将是很麻烦的事.因为24＝23×3，所以24的约数是23的约数（1，2，22，23）与3的约数（1，3）之间的两两乘积.1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.这里有4×2＝8个，即（3＋1）×（1＋1）个，即对于24＝23×3中的23，有（3＋1）种选择：1，2，22，23，对于3有（1＋1）种选择.因此共有（3＋1）×（1＋1）种选择. 这个方法，可以运用到一般情形，例如，144＝24×32.因此144的约数个数是（4＋1）×（2+1）＝15（个）.例11 在100至150之间，找出约数个数是8的所有整数.解：有8＝7＋1； 8＝（3＋1）×（1＋1）两种情况.（1）27＝128，符合要求，37＞150，所以不再有其他7次方的数符合要求.（2）23＝8，8×13＝104， 8×17＝136，符合要求.33＝27；只有27×5＝135符合要求.53＝135，它乘以任何质数都大于150，因此共有4个数合要求：128，104，135，136. 利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解，例如720＝24×32×5，168＝23×3×7.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数，上面两个整数都含有质因数2，较低指数次方是23，类似地都含有3，因此720与168的最大公约数是23×3＝ 24.在求最小公倍数时，很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5，而168中无5，可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是24×32×5×7＝5040.例12 两个数的最小公倍数是180，最大公约数是30，已知其中一个数是90，另一个数是多少？解：180＝22×32×5，30＝2×3×5.对同一质因数来说，最小公倍数是在两数中取次数较高的，而最大公约数是在两数中取次数较低的，从22与2就知道，一数中含22，另一数中含2；从32与3就知道，一数中含32，另一数中含3，从一数是90＝2×32×5.就知道另一数是22×3×5＝60.还有一种解法：另一数一定是最大公约数30的整数倍，也就是在下面这些数中去找30， 60， 90， 120，….这就需要逐一检验，与90的最小公倍数是否是180，最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验，有时会较费力.例13 有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？解：把420分解质因数420＝2×2×3×5×7.为了保证分子、分母不能约分（否则约分后，分子与分母的乘积不再是420了），相同质因数（上面分解中的2），要么都在分子，要么都在分母，并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1，3，4，5，7，12，15，20.分子再大就要超过分母了，它们相应的分数是两个整数，如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解，把一个整数分解成若干个整数的乘积，是非常基本又是很有用的方法，再举三个例题.例14 将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.解：要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.6＝2×3， 24＝23×3，45＝32×5， 65＝5×13，77＝7×11， 78＝2×3×13，105＝3×5×7， 110＝2×5×11.先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到第一组：24，65，77，45.第二组：6，78，110，105.在讲述下一例题之前，先介绍一个数学名词--完全平方数.一个整数，可以分解成相同的两个整数的乘积，就称为完全平方数.例如：4＝2×2， 9＝3×3， 144＝12×12， 625＝25×25.4，9，144，625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后，每一个质因数的次数，一定是偶数.例如：144＝32×42， 100＝22×52，…例15 甲数有9个约数，乙数有10个约数，甲、乙两数最小公倍数是2800，那么甲数和乙数分别是多少？解：一个整数被它的约数除后，所得的商也是它的约数，这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时，也就是这个数是完全平方数时，它的约数的个数才会是奇数.因此，甲数是一个完全平方数.2800＝24×52×7.在它含有的约数中是完全平方数，只有1，22，24，52，22×52，24×52.在这6个数中只有22×52＝100，它的约数是（2＋1）×（2+1）＝9（个）.2800是甲、乙两数的最小公倍数，上面已算出甲数是100＝22×52，因此乙数至少要含有24和7，而24×7＝112恰好有（4+1）×（1＋1）＝10（个）约数，从而乙数就是112.综合起来，甲数是100，乙数是112.例16 小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？解：35＝5×7.红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.记住：对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.笔价不能是35-17=18（元）的约数.如果笔价是18的约数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的约数：1，2，3，6，9.当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支 4元.。
分解质因数的三种方法分解质因数的方法与技巧互质数的意义和特征
互质数的特点互质数即两个或多个整数的公因数只有1的非零自然数。
公因数只有1的两个非零自然数，叫做互质数。
如：9和11的公约数只有1，则它们是互质数。
互质数的特点任何两个质数都是互质数。
例如:2与7互质。
互质的两个数不一定是质数。
如：6与25互质。
互质数规律判断法1.根据互质数的定义，可总结出一些规律，利用这些规律能迅速判断一组数是否互质。
2.两个不相同的质数一定是互质数。
如：7和11、17和31是互质数。
3.两个连续的自然数一定是互质数。
如：4和5、13和14是互质数。
4.相邻的两个奇数一定是互质数。
如：5和7、75和77是互质数。
5.1和其他所有的自然数一定是互质数。
如：1和4、1和13是互质数。
6.两个数中的较大一个是质数，这两个数一定是互质数。
如：3和19、16和97是互质数。
7.两个数中的较小一个是质数，而较大数是合数且不是较小数的倍数，这两个数一定是互质数。
如：2和15、7和54是互质数。
8.较大数比较小数的2倍多1或少1，这两个数一定是互质数。
如：13和27、13和25是互质数。
质数，互质数，分解质因数，合数一个数只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这样的数叫合数。
1既不是质数也不是合数。
公约数只有1的两个数叫做互质数。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数就叫做这个合数的质因数。
把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
分解质因数的三种方法分解质因数的三种方法：因式分解法、提取公因式法、十字相乘法因式分解法：数学中用以求解高次一元方程的一种方法。
把方程的一侧的数（包括未知数），通过移动使其值化成0，把方程的另一侧各项化成若干因式的乘积，然后分别令各因式等于0而求出其解的方法叫因式分解法。
提取公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
小五数学第13讲：质数和合数(教师版)
第十三讲质数和合数1、自然数按因数的个数来分：质数、合数、1、0四类.（1）质数（或素数）：只有1和它本身两个因数。
（2）合数：除了1和它本身还有别的因数（至少有三个因数：1、它本身、别的因数）。
（3）1：只有1个因数。
“1”既不是质数，也不是合数。
注：①最小的质数是2，最小的合数是4，连续的两个质数是2、3。
②每个合数都可以由几个质数相乘得到，质数相乘一定得合数。
③ 20以内的质数：有8个（2、3、5、7、11、13、17、19）④ 100以内的质数有25个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972、100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
关系：奇数×奇数=奇数质数×质数=合数3、常见最大、最小A的最小因数是：1；最小的奇数是：1；A的最大因数是：本身；最小的偶数是：0；A的最小倍数是：本身；最小的质数是：2；最小的自然数是：0；最小的合数是：4；4、分解质因数：把一个合数分解成多个质数相乘的形式。
树状图例：分析：先把36写成两个因数相乘的形式，如果两个因数都是质数就不再进行分解了；如果两个因数中海油合数，那我们继续分解，一直分解到全部因数都是质数为止。
把36分解质因数是：36=2×2×3×35、用短除法分解质因数（一个合数写成几个质数相乘的形式）。
例：分析：看上面两个例子，分别是用短除法对18,30分解质因数，左边的数字表示“商”，竖折下面的表示余数，要注意步骤。
具体步骤是：6、互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个质数的互质数：5和7两个合数的互质数：8和9一质一合的互质数：7和87、两数互质的特殊情况：⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质；⑶两个质数一定互质；⑷2和所有奇数互质；⑸质数与比它小的合数互质；教学重点：质数和合数的概念。
第13讲.数字谜综合一.吴昊.初稿
第13讲 数字谜综合一内容概述涉及小数、分数、循环小数的数字谜问题；需要利用数论知识解决的数学问题。
典型问题兴趣篇1. 有一个四位数，在它的某位数字后加上一个小数点，得到一个小数。
再把这个小数和原来的四位数相加，得数是4003.64。
求这个四位数。
［分析］首先分析，小数点加在了哪一位。
两数和小数点后有两位数字，那么可以判断，只能是.4003.64abcd ab cd +=或0.04003.64abc a bc +=。
如果是前一种情况，那么有：64cd =，.64.644003.64abcd ab cd abab +=+=39393964abab abcd ⇒=⇒=。
满足条件。
如果是后一种情况，那么有：64,0.000640.644003.64bc abc a bc a a =+=+=003363a a ⇒=，不满足条件。
因此，这个四位数是39642. 试将1、2、3、4、5、6、7分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：□□□（这是一个三位数），□□□（这是一个三位数），□（这是一个一位数）,使得这三个数中任意两个都互质。
已知其中一个三位数已填好，它是714，求另外两个数。
［分析］71423717=⨯⨯⨯，现在可以选的数字有：2,3,5,6。
先考虑一位数。
由于三个数两两互质，那么一位数只能是5。
剩下2,3,6组成一个三位数，那么个位只能是3。
623789=⨯，是7的倍数，因此三位数只能是263。
因此，另两个数是263,5。
3. 用1至9这9个数字各一次组成若干个数，这些数中最多有多少个合数？［分析］1-9中有合数4,6,8,9，剩余的5个数1,2,3,5,7共可组成最多2个合数，如123,57。
因此共能组成6个合数。
4. 如图13-1，4个小三角形的顶点处有6个圆圈。
在这些圆圈中分别填上6个质数（可以重复），使得它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上上的数之和相等。
请问：这6个质数的乘积是多少？［分析］因为每个三角形的顶点数之和形同，易知，这个和为10。
分解质因数
分解质因数观察和比较：下面这些数各有几个约数，哪些数的约数最少，哪些数有两个约数，哪些数有两个以上的约数。
1的约数有：1； 2的约数有：1、2；3的约数有：1、3； 4的约数有：1、2、4；6的约数有：1、2、3、6； 8的约数有：1、2、4、810的约数有：1、2、5、10； 13的约数有：1、13；18的约数有：1、2、3、6、9、18； 19的约数有：1、19；一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数)。
例如，2、3、13和19都是质数。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
例如，4、6、8、10和18都是合数。
1不是质数，也不是合数。
基本要求1．背100以内的质数表。
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、972．背下列分解质因数。
51=3×17 57=3×19 87=3×29 91=7×131001=7×11×13 10101=3×7×13×37即便是课本计算中也要用到前4个分解质因数，主要用于约分，后两个则常见于竞赛。
例题讲解例1四个小朋友一个比一个大一岁，四个人的年龄乘积是360，求四个人各多少岁？这里用的是最简单的“质因数重新组合”的方法。
例2 李爷爷今年84岁，他有4个孙子，其中老大的年龄等于老二，老三的年龄和，老二的年龄等于老三、老四的年龄和，四个孙子的年龄积也正好是84，这四个孙子各多少岁？解：在这里1不是质数，但它是84的约数，在本题中起到“凑数”的作用例3求144的约数个数，约数和。
分析与解：即求一个整数的约数个数的方法是：先分解质因数写成标准形式(乘方形式)，再用“指数加1，再相乘”即可得到约数个数约数和：练习题1．四个连续自然数的积是3024，求这四个数各是多少？2．三个连续自然数的积是32736，求这三个数各是多少？3．在射箭运动中每射一箭得到的环数或者是0(脱靶)，或者是不超过10的自然数，甲乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数乘积都是1764，但甲的总环数比乙少4环，求甲乙的总环数？4.在100至150之间找两个自然数，使这两个数的积等于77×195。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第13讲分解质因数
【专题精华】
一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。
把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。
应用分解质因数的方法，能启发我们寻找解决难题的突破口，从而顺利解题。
【教材深化】
[题1] 一个两位数除1477余49，这个数可以是多少？
[敏捷思维] 一个两位数除1477余49，如果1477减去49，差一定能被这个两位数整除，然后把差进行分解，分解时必须注意这个两位数必须比余数49大。
<全解> 1477-49=1428
1428=2×2×3×7×17
这样的两位数有：3×17=51 2×2×17=68 2×2×3×7=84
答：这个数可以是51、68或84。
<拓展探究> 利用分解质因数解决此题，关键要注意所求的两位数一定要比余数大。
[能力冲浪]
1、5100除以一个三位数，余数是95，这个三位数最大是多少？
2、两个质数的和是40，求这两个质数的乘积最大是多少？
3、有四个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们年龄相乘的积是360，其中年龄最大的一个是多少岁？
[题2] 班主任舒老师带领五（1）班同学去植树，学生按人数恰好平均分成三组，已知舒老师与学生共种了312棵树，老师与学生每人种的树一样多，并且不超过10棵。
这个班共有学生多少人？每人种树多少棵？
<敏捷思维> 312=23×3×13
若取312=3×104，104为师生总人数，则每人种树3棵，但104-1=103不是3的倍数，与题目中条件不符。
若取312=6×52，52为师生总人数，教师1人，学生51人，学生人数是3的倍数，则每人种树6棵。
若取312=8×39，39为师生总人数，教师1人，学生38人，学生人数不是3的倍数，与题目中学生按人数恰好平均分成三组不符。
<全解>因此，这个班共有学生51人，每人种树6棵。
<拓展探究> 知道两个数的积，要求这两个数，只要把这个积分解质因数，再根据题目中的条件适当组合就可以了。
[能力冲浪]
1、班主任李老师带领三（三）班同学去种树，学生人数恰好平均分成3组，如果老师与学生每人种树一样多，共种572棵树。
那么这个班共有学生多少人？每人种多少棵树？
2、有3个小朋友，他们的年龄恰好一个比一个大1岁，他们年龄之积为2184，3个小朋友的年龄各是多少？
3、张爷爷今年84岁，他告诉邻居：“我家有3个孙子，他们三个年龄的乘积才有我这么大，而且这三个孙子中，有两个孙子的年龄的和正好是另外一个孙子的年龄。
”问这三个孙子各几岁？
【生活数学】
[题3] 在射箭运动中，每射一箭的环数是0（脱靶）或者是不超过10的自然数，甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭的环数的积都是1764，但甲的总环数比乙的总环数多4环，求甲、乙两人的总环数各是多少？
<敏捷思维> 1764=9×7×7×4×1 1764=7×7×4×3×3
甲射的五箭环数是7环、7环、9环、4环、1环，乙射的五箭环数是7环、7环、4环、3环、3环。
<全解> 因此甲射的总环数是28环，乙射的总环数是24环。
<拓展探究>
将1764分解质因数1764=2×2×3×3×7×7，再经过试探组合成五个数的积，并且两组的和相差4，只有这两种环数是满足要求的。
[能力冲浪]
1、夏心怡是一名四年级的学生，她说：“这次考试，我的名次乘我的年龄再乘我的考试分数，结果是2910。
”你能算出夏心怡的名次、年龄与她这次考试的分数吗？
2、一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米。
那么，这个长方体的表面是多少平方厘米？
3、2002年哪几天，年数、月数、日数的乘积恰好等于120120？
[题4]饶向东用2.16元买一种画片若干张，如果每张画片的价钱便宜1分钱，那么他还能多买3张。
问饶向东买了多少张画片？
<敏捷思维> 由题意可知，画片的单价×张数=216分。
它们乘积的质因数与216的
质因数相同。
我们可以先把216分解质因数，216=23×33=8×27=9×24，显然216分可以买8分的画片27张，也可以买9分的画片24张，所以饶向东买了24张画片27张，符合题意。
[全解] 饶向东买了24张画片。
<拓展探究> 解此题的关键是会把总价进行转化。
要明白画片的单价乘张数等于总价，然后再根据分解的质因数适当组合就行了。
[能力冲浪]
1、一个质数加上6或者减去6得到的数仍是质数，在50以内有多少个这样的质数。
2、自然数a乘2376，所得的积正好是自然数b的平方，求a最小是多少？
3、把750元奖金平均分给若干个获奖者，如果每人所得的钱数化成角为单位的钱正好是得钱人数的12倍。
求获奖人数和每人分得的钱数。
【感受奥赛】
[题5]把若干自然数1、2、3、……乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？
<敏捷思维> 因为这个乘积末尾零的个数都是由这个数质因数中2的个数及5的个数决定的，所以要使乘积值末尾有13个零，就必须要13个因数2和13个因数5，显然，在若干个连续自然数中，2的个数比5的个数多，因此，只要凑够5的个数就行了。
<全解>在5、10、15、20中各含有一个因数5，25中含有两个因数5；30、35、40、45中各含有一个因数5，50中含有两个因数5；55含有一个因数5，即有13个5，因而最后出现的自然数最小应该是55。
<拓展探究> 积的末尾0的个数是由2和5的个数决定的。
[能力冲浪]
1、如果要使连乘积“745×32×20×a”算式积的末五位数都是0，a应填入的自然数最小应是。
2、把若干个自然数1、2、
3、
4、……乘在一起，如果已知这个乘积的最末十三位数恰好都是零，那么最后出来的自然数最大应该是几？
3、1×2×3×4×5×……×99×100的积的末尾连续有多少个的零？
13、分解质因数提高篇
1、扬长小学五（2）班同学在班主任饶老师带领下去种树，学生恰好平均分成三组，如果老师与学生种树一样多，共种了1073棵。
那么平均每人种了多少棵树？
2、一个数a与60的乘积为完全平方数，求a的最小值和这个完全平方数。
3、有1、2、3、
4、
5、
6、
7、
8、9九张牌，甲、乙、丙三人各拿了三张。
甲说：“我的三张牌的积是48。
”乙说：“我的三张牌的和是15。
”丙说：“我的三张牌的积是63。
”问他们各拿了哪三张牌？
4、要使4个数的积175×72×225×□的结果的最后六位数都是零，问□中的数最小填入几？
5、有3个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，而且3个数的乘积是15400。
试求这3个自然数。
6、已知五个数依次是13、12、15、25、20。
它们每相邻的两个数相乘得到四个数，这四个数每相邻两个相乘得到三个数，这三个数每相邻两个相乘得到两个数，这两个数相乘得一个数，请问最后这个数从个位起向左数，可以连续地数到几个0？
7、心怡和张颖计算甲、乙两个大于1的自然数的乘积，心怡把甲数的个位数字看错了，得乘积473，张颖把甲数的十位数字看错了，得乘积407。
那么甲、乙两数的乘积应是多少？
8、把111222个棋子排成一个长方阵，每一横行的棋子数比每一竖行的棋子数多1，这个长方阵每一横行有多少棋子？
9、将下面八个数分成二组，每组4个数，要求各组4个数的乘积相等：14，33，35，39，30，75，143，169。
10、武汉东湖公园用几条船分5次将150名游客渡过河去，已知每次船载的人数相等且至少载2人，每次应用多少条船？每条船载多少人？（2006年武汉某重点中学招生试题）。