高考数学--导数中二次求导的运用

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巧用二次求导解决函数单调性和极值问题

2
g ( x) 2(1 x) ln(1 x) x 2x
g ' ( x) 2 ln(1 x) 2 x
2x [ g ' ( x)]' 1 x
ห้องสมุดไป่ตู้型例题讲解
当当
1 x 0时， [ g ' ( x)]' 0, g ' ( x)在（ 1,0）上是增函数； x 0 时 [ g ' ( x)]' 0, g ' ( x)在（ 0，）上为减函数 .
f ( x ) 的单调递增区间是 (1,0) ，递减区间是 (0,) .
典型例题讲解

例题2、设函数 f x e 1 x ax
x
2
（Ⅰ）若 a
0求 f
x 的单调区间；
（Ⅱ）若当 x
0时，f x 0。求 a的取值范围。

2 0, （2）、解：当 a＜ 0时，在区间上显然 ax 0 ，综上(1) x 2 0, f x e 1 x ax 0 成立。故 a＜ 0满足可得在区间上
x
x x g x e 2x 2a g x e 2
0,ln 2
g x
——
ln 2 0
ln 2,
+
增
g x
减
极小值
典型例题讲解

g ln 2 eln 2 2ln 2 2a 2 2ln 2 2a 2 a ln 2 1
2
典型例题讲解

例题3、已知函数 f ( x) ( x 1) ln x x 1 . 2 （Ⅰ）若 xf '( x) x ax 1 ，求 a 的取值范围；（Ⅱ）证明：( x 1) f ( x) 0 解：第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。采用分离参数法解决恒成立问题就行了。而第二问是属于运用导数工具证明不等式问题。用 f x 去分析 f x 的单调性受阻。

导数中的二次求导问题

2019高考数学热点难点突破技巧第03讲：导数中的二次求导问题【知识要点】1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高考考查的重点，也是难点和必考点.利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导”，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题• “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径•【方法讲评】【例1】（理・2010全国卷I第20题）已知函数' .（I）若「一「宀厂〔求；的取值范围；（H）证明：'■【解析】由于⑴二（卄L）Sr+1可知函数/V）的定义域为易得Z（v）= ln,v^（x+l）--l=lnA+lX Xr /' Il i则由h d）< ” +n.v+ 冋知x' tn - < f + ov + L化简得二;L…，丄所以两边同乘••可得工卞兰汎一二，所以有二三二厂一丁，在对二_ '求导有= J即当0＜工＜1时，£⑴〉0, 区（刃在区间上为增函数；当云二1时,GF U O；当I v K时，叫刘＜0, 在区间（JZ上为减函数.所以•'在応—1时有最大值，即L■■- -;j:- - - - 1: 1.又因为丄二丄.1 •:，所以J工一［（2）要证只殒证当0＜斗幻时』/（x）＜0}当T＞1B寸』即可.由上Sn/{jf）= lnx+-,再对y（x） = ln A -F—求导'设g（x） = ln^+-,则0（力二丄一^ 二匕丿，显X TA AT y" X然当O＜MI时，如5 当el时,ffV-）＞o7 Hp ff（x）=hix+1 在区间（o.i）l MMW 所以有当0＜.v＜l时』^fx）＞-11） = 1 ,所決当0＜K G时八兀比"0』则亢"在区间01］上为増函数』gn/（.v）＜/（i）=o,临£贝q有u-ii/a沦o成茁当八匚时，同理，当—厂时，一 '＞■,即」'■在区间一上为增函数，则此时，/（H）为增函数，所以，何之/（】）=°，易得也成立•综上得证.方法二：（（I）八gin工+ ：,则右幼+阮+ 1题设m 2 +曲+ 1等价于hi x-x＜a.令訴真,则思內工当〔＜：：＜〔时，・'^ ；当疋时，=：「一一，疋匚】是—的最大值点，所以£（力盂g（l）=・l综上，二的取值范围是-一 .7：.( 1 ]j ix)=lnx-F(xlnz-j^l) = lnx4*x In r+—1IJ= lnz-zfln--- + l <0因为上■< 0,所以此时■；「-x+l)=lnx-A[ln--- + l|>0 \ x J(x-ivw>o【点评】（i ）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂, 自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出 •（ 2）大家一定要理解二次求导的使用情景，是一次求导得到 -■' 之后，一'•’「一解答难度较大甚至解不出来（3）二次求导之后，设 — ■'，再求「一，求出的解，即得到函数--J-'的单调性，得到函数二八的最值，即可得到-■二的正负情况，即可得到函数【例2】设函数'' ' 11' ' ' '•（I ）若|：-'-在点处的切线为・-卩，求八的值；（n ）求八7的单调区间; （川）若厂，求证：在「时」-“尸f _ 1 -们【解析】（I ）：「廿亠二［-' =丄''， •••」八在点处的切线为L 叮十7，即i 在点的切线的斜率为芒，(□)由(I) 知,= -1，即i n J -J +1 <0 .<〔时，/ (z ) =ln x4-(rlnz当上二•时，思路来得2将切点代入切线方程・一=7_；，得：•一所以"，—匕；（【I）由（I ）加= =^（.¥>0）,下面对盒的正员情况曲亍讨X X（ra^<ofl寸，r（^<o*（o, d 上恒成土m/（.v）在（o,険）上单雌威；②当心w 『（廿在（0丄）上单调递癘川工）在（丄，皿）上单调递増孑a c综上所述』当心0时，于仕）的单调递减区间为W,山儿些心0时，孑⑴的单调递馮区间为卩丄” /（£的里趣詹区间为（—+巧』a a（出）… /懐）=盘工_ 2T D工（肚g R） g〔x）三处_护•••要证：当工匸:-时，匚• i •〉」「-,即证：，」匚_：「，令山住）三計一In賣-2讥 > 可，则只需证：方Uhin > 0，衬⑴二才一丄^-1>0 *-1沪0由于•’，（由于不等式•；是超越不等式，所以此处解不等式丄解答不出，所以要构造函数二次求导.）七⑸二/_2（工n0） ■ HxXJ*丄：>0设. ' 上”所以函数在■ ■' 1"" 单调递增，又因为内存在唯一的零点, 即'：；；在-…丁）内存在唯一的零点，设这个零点为所以2,•••切点为--,（这个雾点#垮点的区间找到很关键很重更必须找到，直接关系到拝（©的单调性和hg"Fjf以丹3在（打）內存在唯一的雲冃即厅（Q在①十巧内存在唯一的零点，设这个雲点为心昆卩j 3则/--= 0 :.e1=-（| J fifi以方CQ胚®0罡涮画数，在（『严h）是增函埶f t 3PMA 力（；0 工-=7<f）=tf f-lnr-2 = --ln4-- = -+^--^--^ = Or e r故等号不成立，二"⑺九址A（h即当:VA O时，/（A-）>g（x）.-1 >0 别⑴二/一丄沁【点评】（1）由于不等式“是超越不等式，所以不等式亠解答不出，所以要构造函数二次求导•这是要二次求导的起因• （2）仅得到函数「：•“在单调递增是不够的，因为此时：："「’ l，所以；-：1甘，所以.■<的单调性还是不知道，所以无法求一’.所以必须找到这个零点和零点所在区间，这个零点和零点的区间找到很关键很重要，直接关系到••丿的单调性和…」■-1-.【反馈检测1】【2017课标II，理】已知函数‘‘亠丄丄，且....!_ -.⑴ 求出；⑵ 证明：存在唯一的极大值点°,且；，''：.【反馈检测2】已知函数/：/' 宀R在点处的切线方程为z- 2y-2 = 0/（x）+ - <0（1）求― 的值；（2）当—时，- 恒成立，求实数的取值范围；1 1 1 捕—M—2_ •- --- 十----H ----- H ----- > ------ 2 ------（3）证明：当兀E N，且冷工己时，21口2 ?1口3 泌n附加+2科.高考数学热点难点突破技巧第 03讲:导数中二次求导问题参考答案【反馈检测1答案】（1）二；（2）证明略.【反馈检测1详细解析】（1） *「丿的定义域为'1'■：设并”…・讪，则『历二殆⑴J 讨＞ o 等价于訂” “呂（1）=山 & E ＞ 0, （1 1=4 而鼠‘杠 || = H - 丄「計'1 |=£2 - lr 得血=1因为若"1,则'、_「当时，—「― I 单调递减；当八：时，」「〉 o , -「单调递增.所以■■ = ■-是二一‘：的极小值点，故--:-，综上1.2 -由（1/ 知 F I 不 I =才一拓一芒 In 简 £r （^r ） = Z Y — 2 - ・设加职=- 2 - 111胳则笊胡=2 -—x11、 1、 f T当用「G 「时打胡V0 j 当X 益了，+« ；时，打* ＞0」所以血石I 在Q 「单调递减，在齐P I 单调逼増1 ' —r +co，在段丿有唯一零因为’「 T'；,所以二二是「■ ■的唯一极大值点【反馈检测2详细解析】（1）解：•••「'一亠—_"：1fl_.11•••直线工6-2 = 0的斜率为龙，且过点I 2丿,又—r n叽AT点1,且当■- 11■'时,「一；当―（%1）时，匕）＜0，当 JT E门坨)=Ofl- In唤・山故巩斗）■¥・％）因为h 二心是在（0,1 ）的最大值点，由，所以严心）＜2"【反馈检测2答案】 (1)£1； ( 2)(1 -00 一I 2；（3）见解析.，所以’ 有唯一零点"，由’•(2) 解法“由(1)得 f(x)=lnx^.* v jr ¥■* 当兀》1时，/（力+ —二^恒成立，^ln.v-- + -<0,等价于上艺一一工也厂x 2. x 1令总(x) =--xlnx f 则『(x) =x-(lnx + l) = :v-4-hif ,] 兀一令飆pE-u ,则血m-〒二当“j 时，「， ■ 1,函数：「在—「上单调递增，故•• u 「_ I从而，当-1时，—"亠，即函数 ■''在.二上单调递增，故■' '■' 1-.k - xln Ai < -因此，当时，-恒成立，则 -.（11-00, _ •••所求丘的取值范围是I 2-./(x) = lnx--解法2:由(1得一-.y (+— < oiti^ — — + — <o当f 1时，'■■ 恒成立，即]丄恒成立.$ 、 .K k打 \ I 1 上J 3 -2x+2t呂⑴=1“-亍一 g (X ] = _--—令2 葢，贝yx 2 x2x方程「暑 -< '■ (*)的判别式1-'< .（i ）当 _」，即.[时，则•；、1 时，〃二-■-< '■，得「’、- 故函数■•在 "'上单调递减1- 2_ -h 1- 2 --1lr竄⑴二一一+比=氏琴（2）二 In 2 — 1* — a 0 由于- 二 _-故函数—在―「上单调递减，则-- 1''，符合题意.（mi J >O ,寸，方程 ⑷ 的两根为工产1-JT 丟弋1也=1十旷丟汀』dia则咒貞 1丹）时,ff r （x ）>0, XEf^.-Ko^rJ,故函数凶力往（1应I 上单调递増，在也h 却上单调递减, V i~从Jt 圉数小貂在角4沁）上的最大值为列列=由站-丸亠壬.2 為 g (眄)二也勺一 =+ — <ltuc 2-2 /（11 -C0,-综上所述，疋的取值范围是I 2-.-■|. — 1In --I-——< 0j^lri x < --------（3）证明：由（2）得，当a 时，-二，可化为二12 11---- > ——二 ------- - ---- 又 xl 门庄 >。

二次求导问题

二次求导问题导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容．近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现． [典例] 若函数f (x )＝sin x x，0<x 1<x 2<π. 设a ＝f (x 1)，b ＝f (x 2)，试比较a ，b 的大小． [思路点拨]此题可联想到研究函数f (x )＝sin x x在(0，π)的单调性．函数图象虽然可以直观地反映出两个变量之间的变化规律，但大多数复合的函数作图困难较大．导数的建立拓展了应用图象解题的空间．导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供了简单、程序化的方法，具有很强的可操作性．当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0时，函数f (x )单调递减．[方法演示]解：由f (x )＝sin x x ，得f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，设g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x .∵0<x <π，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0，π)上是减函数．∴g (x )<g (0)＝0，因此f ′(x )<0，故函数f (x )在(0，π)是减函数，∴当0<x 1<x 2<π，有f (x 1)>f (x 2)，即a >b .[解题师说]从本题解答来看，为了得到f (x )的单调性，须判断f ′(x )的符号，而f ′(x )＝x cos x －sin x x 2的分母为正，只需判断分子x cos x －sin x 的符号，但很难直接判断，故可通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题．[应用体验]1．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，求f (x )的解析式及单调区间．解：因为f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，所以f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x . 令x ＝1，得f (0)＝1. 所以f (x )＝f ′(1)e x －1－x ＋12x 2，所以f (0)＝f ′(1)e －1＝1，解得f ′(1)＝e. 所以f (x )＝e x －x ＋12x 2.设g (x )＝f ′(x )＝e －1＋x ，则g ′(x )＝e ＋1>0，所以y ＝g (x )在R 上单调递增．因为f ′(0)＝0，所以f ′(x )>0＝f ′(0)⇔x >0，f ′(x )<0＝f ′(0)⇔x <0.所以f (x )的解析式为f (x )＝e x －x ＋12x 2，且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0).[典例] (1)若x ＝23为y ＝f (x )的极值点，求实数a 的值； (2)若y ＝f (x )在[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝－1时，方程f (1－x )－(1－x )3＝b x有实根，求实数b 的取值范围． [方法演示]解：(1)f ′(x )＝a ax ＋1＋3x 2－2x －a . 由题意，知f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，所以a 23a ＋1＋43－43－a ＝0，解得a ＝0. 当a ＝0时，f ′(x )＝x (3x －2)，从而x ＝23为y ＝f (x )的极值点． (2)因为f (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )＝a ax ＋1＋3x 2－2x －a ＝x [3ax 2＋(3－2a )x －(a 2＋2)]ax ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立．当a ＝0时，f ′(x )＝x (3x －2)，此时f (x )在[1，＋∞)上为增函数恒成立，故a ＝0符合题意；当a ≠0时，由ax ＋1>0对x >1恒成立，知a >0.所以3ax 2＋(3－2a )x －(a 2＋2)≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝3ax 2＋(3－2a )x －(a 2＋2)，其对称轴为x ＝13－12a ，因为a >0，所以13－12a <13，所以g (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以只需g (1)≥0即可，即－a 2＋a ＋1≥0，解得0<a ≤1＋52. 综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋52. (3)由已知得，x >0，∴b ＝x (ln x ＋x －x 2)＝x ln x ＋x 2－x 3.令g (x )＝x ln x ＋x 2－x 3，则g ′(x )＝ln x ＋1＋2x －3x 2.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝1x ＋2－6x ＝－6x 2－2x －1x. 当0<x <1＋76时，h ′(x )>0，∴函数h (x )＝g ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋76上递增；又g ′(1)＝0，∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋76，使得g ′(x 0)＝0. 当0<x <x 0时，g ′(x )<0，∴函数g (x )在(0，x 0)上递减；当x 0<x <1时，g ′(x )>0，∴函数g (x )在(x 0,1)上递增；当x >1时，g ′(x )<0，∴函数g (x )在(1，＋∞)上递减．又当x →＋∞时，g (x )→－∞.又g (x )＝x ln x ＋x 2－x 3＝x (ln x ＋x －x 2)≤x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋14，当x →0时，ln x ＋14<0，则g (x )<0，且g (1)＝0， ∴b 的取值范围为(－∞，0]．[解题师说]本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b 的范围问题，实际上是求g (x )＝x (ln x ＋x －x 2)极值问题，问题是g ′(x )＝ln x ＋1＋2x －3x 2＝0这个方程求解不易，这时我们可以尝试对h (x )＝g ′(x )再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法．(文)已知函数f (x )＝e x －x ln x ，g (x )＝e x －tx 2＋x ，t ∈R ，其中e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若g (x )≥f (x )对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，求t 的取值范围．[方法演示]解：(1)由f (x )＝e x －x ln x ，知f ′(x )＝e －ln x －1，则f ′(1)＝e －1，而f (1)＝e ，则所求切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋1.(2)∵f (x )＝e x －x ln x ，g (x )＝e x －tx 2＋x ，t ∈R ，∴g (x )≥f (x )对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立等价于e x －tx 2＋x －e x ＋x ln x ≥0对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，即t ≤e x ＋x －e x ＋x ln x x 2对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立．令F (x )＝e x ＋x －e x ＋x ln x x 2，则F ′(x )＝x e x ＋e x －2e x －x ln x x 3＝1x2⎝⎛⎭⎫e x ＋e －2e xx －ln x ，令G (x )＝e x＋e －2e x x －ln x ，则G ′(x )＝e x －2(x e x －e x )x 2－1x ＝e x (x －1)2＋e x －x x 2＞0对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立．∴G (x )＝e x＋e －2e xx －ln x 在(0，＋∞)上单调递增，且G (1)＝0，∴当x ∈(0,1)时，G (x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，G (x )＞0，即当x ∈(0,1)时，F ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＞0，∴F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴F (x )≥F (1)＝1，∴t ≤1，即t 的取值范围是(－∞，1]．[解题师说]本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(2)问要求参数t 的范围问题，实际上是求F (x )＝e x ＋x －e x ＋x ln x x 2极值问题，问题是F ′(x )＝1x 2e x ＋e －2e x x－ln x 这个方程求解不易，这时我们可以尝试对G (x )＝F ′(x )再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法．[应用体验]2．设k ∈R ，函数f (x )＝e x －(1＋x ＋kx 2)(x >0)．(1)若k ＝1，求函数f (x )的导函数f ′(x )的极小值；(2)若对任意的t >0，存在s >0，使得当x ∈(0，s )时，都有f (x )<tx 2，求实数k 的取值范围．解：(1)当k ＝1时，函数f (x )＝e x －(1＋x ＋x 2)，则f (x )的导数f ′(x )＝e x －(1＋2x )，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x －2，当0<x <ln 2时，g ′(x )<0；当x >ln 2时，g ′(x )>0，从而f ′(x )在(0，ln 2)上递减，在(ln 2，＋∞)上递增．故导数f ′(x )的极小值为f ′(ln 2)＝1－2ln 2.(2)对任意的t >0，记函数F (x )＝f (x )－tx 2＝e x －[1＋x ＋(k ＋t )x 2]，x >0，根据题意，存在s >0，使得当x ∈(0，s )时，F (x )<0. 易得F (x )的导数F ′(x )＝e x －[1＋2(k ＋t )x ]，令h (x )＝F ′(x )，则h ′(x )＝e x －2(k ＋t )．①若h ′(x )≥0，注意到h ′(x )在(0，s )上递增，故当x ∈(0，s )时，h ′(x )>h ′(0)≥0，于是F ′(x )在(0，s )上递增，则当x ∈(0，s )时，F ′(x )>F ′(0)＝0，从而F (x )在(0，s )上递增．故当x ∈(0，s )时，F (x )>F (0)＝0，与已知矛盾；②若h ′(x )<0，因为h ′(x )在(0，s )上连续且递增，故存在s >0，使得当x ∈(0，s )，h ′(x )<0，从而F ′(x )在(0，s )上递减，于是当x ∈(0，s )时，F ′(x )<F ′(0)＝0，因此F (x )在(0，s )上递减．故当x ∈(0，s )时，F (x )<F (0)＝0，满足已知条件．综上所述，对任意的t >0，都有h ′(x )<0，所以1－2(k ＋t )<0，即k >12－t ，故实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12－t ，＋∞.[典例] 证明当x >0时，sin x >x －x 6. [方法演示]证明：令f (x )＝sin x －x ＋x 36，则f ′(x )＝cos x －1＋x 22，所以f ″(x )＝－sin x ＋x . 易知当x >0时，sin x <x ，所以在(0，＋∞)上f ″(x )>0，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(0)＝0，所以在(0，＋∞)有f ′(x )>f ′(0)＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．故当x >0时，f (x )＝sin x －x ＋x 36>f (0)＝0. 所以sin x >x －x 36(x >0)．[解题师说]本题是应用导数证明不等式．证明的关键在于构造适当的函数，然后在相应区间上用二次求导的方法判定导数的符号，得到导函数的单调性，再利用单调性证明不等式．[应用体验]3．(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝m e x －ln x －1.(1)当m ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当m ≥1时，证明：f (x )>1.解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－ln x －1，则f ′(x )＝－1x，所以f (1)＝－1，f ′(1)＝－1. 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－1)＝－(x －1)，即x ＋y ＝0.(2)证明：当m ≥1时，f (x )＝m e x －ln x －1≥e x －ln x －1.要证f (x )>1，只需证e x －ln x －2>0. 设g (x )＝e x －ln x －2，则g ′(x )＝e x －1x. 设h (x )＝e x －1x ，则h ′(x )＝e x ＋1x 2>0. 所以函数h (x )＝g ′(x )＝e x －1x在(0，＋∞)上单调递增．因为g ′⎝⎛⎭⎫12＝e 12－2<0，g ′(1)＝e －1>0，所以函数g ′(x )＝e x －1x在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1. 因为g ′(x 0)＝0，所以e x 0＝1x 0，即ln x 0＝－x 0. 当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，所以当x ＝x 0时，g (x )取得极小值也是最小值g (x 0)．故g (x )≥g (x 0)＝e x 0－ln x 0－2＝1x 0＋x 0－2>0. 综上可知，当m ≥1时，f (x )>1.证明：设f (x )＝1＋x ln(x ＋1＋x 2)－1＋x 2，∵f ′(x )＝ln(x ＋1＋x 2)＋x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1＋x 2x ＋1＋x 2－x 1＋x 2＝ln(x ＋1＋x 2)，设h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝1＋x1＋x 2x ＋1＋x 2＝1＋x 2＋x 1＋x 2(x ＋1＋x 2)＝11＋x2>0，所以f ′(x )在(－∞，＋∞)上是增函数．由f ′(x )＝0，即ln(x ＋1＋x 2)＝0，得x ＝0.所以当x <0时，f ′(x )<0，则f (x )在(－∞，0)上为减函数；当x >0时，f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝0处有极小值，所以f (x )≥f (0)＝0，即1＋x ln(x ＋1＋x 2)≥1＋x 2.(文)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －ax ，当x 0∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝1ex －e. (1)求a 的值；(2)求证：函数f (x )在定义域内单调递增．解：(1)由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1x＋1－a ，所以函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，即y －(x 0＋1)ln x 0＋ax 0＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a (x －x 0)，即y ＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a x ＋ln x 0－x 0－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，x 0－ln x 0＋1＝e.令g (x )＝x －ln x ＋1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递增．又因为g (e)＝e ，所以x 0＝e ，将x 0＝e 代入ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e，得a ＝2. (2)证明：由a ＝2，得f ′(x )＝ln x ＋1x －1(x >0)．令h (x )＝ln x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2. 当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故当x ∈(0,1)时，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，故h (x )≥h (1)＝1.因此当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝h (x )－1≥0，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0.所以f (x )在定义域内单调递增．2．已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28……为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．解：由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ∈(0,1)．当g ′(x )<0时，0≤x <ln 2a ；当g ′(x )>0时，ln 2a <x ≤1，所以函数g (x )在区间[0，ln 2a )上单调递减，在区间(ln 2a,1]上单调递增，于是g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln 2a )＝2a －2a ln 2a －b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln 2a )＝2a －2a ln 2a －b ；当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . 3．已知函数F (x )＝e x ＋sin x －ax ，当x ≥0时，函数y ＝F (x )的图象恒在y ＝F (－x )的图象上方，求实数a 的取值范围．解：设φ(x )＝F (x )－F (－x )＝e x －e －x ＋2sin x －2ax . 则φ′(x )＝e x ＋e －x ＋2cos x －2a . 设S (x )＝φ″(x )＝e x －e －x －2sin x . ∵S ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ≥0在x ≥0时恒成立，∴函数S (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴S (x )≥S (0)＝0在x ∈[0，＋∞)时恒成立，因此函数φ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴φ′(x )≥φ′(0)＝4－2a 在x ∈[0，＋∞)时恒成立．当a ≤2时，φ′(x )≥0，∴φ(x )在[0，＋∞)单调递增，即φ(x )≥φ(0)＝0. 故a ≤2时F (x )≥F (－x )恒成立．当a >2时，φ′(x )<0，又∵φ′(x )在[0，＋∞)单调递增，∴存在x 0∈(0，＋∞)，使得在区间[0，x 0)上φ′(x )<0. 则φ(x )在[0，x 0)上递减，而φ(0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，φ(x )<0，这与F (x )－F (－x )≥0对x ∈[0，＋∞)恒成立不符，∴a >2不合题意．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．4．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝a x，a 为实常数． (1)设F (x )＝f (x )－g (x )，当a >0时，求函数F (x )的单调区间；(2)当a ＝－e 时，直线x ＝m ，x ＝n (m >0，n >0)与函数f (x )，g (x )的图象共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．求证：(m －1)(n －1)<0.解：(1)F (x )＝e x －a x ，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．而F ′(x )＝e x ＋a x 2，当a >0时，F ′(x )>0，故F (x )的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：因为直线x ＝m 与x ＝n 平行，故该四边形为平行四边形等价于f (m )－g (m )＝f (n )－g (n )且m >0，n >0，m ≠n .当a ＝－e 时，F (x )＝f (x )－g (x )＝e x ＋e x，则F ′(x )＝e x －e x 2. 设h (x )＝F ′(x )＝e x －e x 2(x >0)，则h ′(x )＝e x ＋2e x 3>0，故F ′(x )＝e x －e x 2在(0，＋∞)上单调递增．又F ′(1)＝e －e ＝0，故当x ∈(0,1)时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，而F (m )＝F (n )，故0<m <1<n 或0<n <1<m ，所以(m －1)(n －1)<0.。

2023新高考二卷数学导数

2023新高考二卷数学导数【引言】导数是数学中非常重要的概念，它在许多应用领域都起着重要作用。

对于要参加2023年新高考的学生来说，熟练掌握导数的相关知识是非常关键的。

本文将围绕导数展开论述，从导数的定义、求导法则以及导数的应用三个方面进行详细介绍，帮助学生深入理解导数的概念和运用。

【正文】一、导数的定义导数是描述函数在切点的瞬时变化率的概念。

数学上，给定函数f(x)，若存在常数k，当x无限趋近于某个实数a时，f(x)与f(a)+k(x-a)之差与x-a的差的比值趋近于0，则称函数f(x)在点a处可导，常数k称为函数f(x)在点a处的导数，记作f'(a)或dy/dx|_(x=a)。

导数的计算方法包括极限法、定义法和利用求导法则等。

二、求导法则1. 常数倍法则：(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数；2. 和差法则：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)；3. 乘法法则：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；4. 商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2；5. 反函数求导法则：若y=f(x)在点x对应的y=f^(-1)(y)上可导，且f'(x)≠0，则(f^(-1)(y))' = 1/[f'(x)]。

三、导数的应用导数在许多应用中起着重要作用，其中常见的应用包括极值问题、函数图像的描绘以及曲线的切线方程的求解等。

1. 极值问题：导数可以帮助我们找到一个函数的极大值和极小值点。

当导数在某点为0时，可能是函数的极值点，而导数的正负性可以帮助我们进一步确定是极大值点还是极小值点。

2. 函数图像的描绘：通过研究函数的导数，可以得到函数的增减性、凹凸性以及拐点等信息，从而帮助我们更加准确地描绘函数的图像。

(完整版)导数中的二次求导问题

高三数学二次求导知识点

高三数学二次求导知识点目录二阶导数一阶导数与二阶导数一次求导函数求导的意义● 高三数学二次求导知识点一.二阶导数定义二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。

一般的，函数y=f(x)的导数yˊ=fˊ(x)仍然是x的函数，则y′′=f′′(x)的导数叫做函数y=f(x)的二阶导数。

在图形上，它主要表现函数的凹凸性。

几何意义1、切线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率。

2、函数的凹凸性(例如加速度的方向总是指向轨迹曲线凹的一侧)。

函数凹凸性设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，(1)若在(a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。

(2)若在(a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

●高三数学二次求导知识点二.一阶导数与二阶导数简单来说，一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。

连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。

一阶导数大于0，则递增;一阶倒数小于0，则递减;一阶导数等于0，则不增不减。

而二阶导数可以反映图象的凹凸。

二阶导数大于0，图象为凹;二阶导数小于0，图象为凸;二阶导数等于0，不凹不凸。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。

当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点;当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点;当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。

●高三数学二次求导知识点三.一次求导函数1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2●高三数学二次求导知识点四.求导的意义1.导数的实质：导数是函数的局部性质。

高考数学热点必会题型第7讲导数之二阶导数的应用(解析版)

高考数学热点必会题型第5讲导数之二阶导数的应用——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性【题型】三、利用二阶导数求参数的范围【题型】四、利用二阶导数证明不等式【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、利用二阶导数求函数的极值（极大值或极小值）例1．（2022·广西北海·一模（理））已知()12,,x x m ∈+∞()0m >，若12x x <，121112x x x x -->恒成立，则正数m 的最小值是（） A ．1eB ．1C ．11e+D ．e【答案】B 【分析】不等式121112x x x x -->化简可得()()11221ln 1ln x x x x ->-，利用导数研究函数()()1ln f x x x =-的单调性，结合已知条件和函数的单调性可求m 的最小值.【详解】由121112x x x x -->，化简可得121112ln ln x x x x -->，即()()11221ln 1ln x x x x ->-．令()()1ln f x x x =-，则原不等式可化为()()12f x f x >，由已知()f x 在(),m +∞上为单调递减函数，又()11ln ln 1x f x x x x x -=-+=-+-'，令()1ln 1u x x x =-+-，则()2110u x x x-'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以()u x 在()0,∞+上单调递减，又()10u =，所以当()0,1x ∈时，()0u x >，当()1,x ∈+∞时，()0u x <．故当()0,1x ∈时，0fx，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<．即()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减．所以m 1≥．所以正数m 的最小值是1，故选：B ．例2．（2022·湖南·高二期中）已知二次函数()2f x ax bx c =++的图象过点()0,1-，且当0x >时，()ln f x x ≥，则ba的最小值为（）A ．2-B ．12-C ．e -D ．1e-【答案】D【分析】将元不等式变形为ln 1()x ax b g x x++≥=，利用导数研究()g x 的单调性可得当直线y ax b =+与()g x 相切时ba取得最小值，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程求出切线方程，进而得出(2ln 1)()b x x h x a x+-==，利用二次求导研究()h x 的单调性，求出max ()h x 即可.【详解】由()1f x =-知1c =-，∴()21f x ax bx =+-，∴()ln 1ln x f x x ax b x +≥⇔+≥，令ln 1()(0)x g x x x +=>，则1()0eg =， 2ln ()xg x x-'=，令()01g x x '>⇒<，令()01g x x '<⇒>，所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，如图，若y ax b =+图象在()g x 图象上方，则01x <<，要使y ax b =+图象在()g x 图象上方，则ba表示x 轴截距的相反数，ba的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线y ax b =+与()g x 相切，记切点为00(,)x y ，则0020ln ()x g x a x -'==，又00ln 1()x g x x +=，所以00000220000ln ln 1ln 2ln 1()x x x x y x x x x x x x -+-+=-+=+，有()0002ln 1ln x x b a x +-=，设()()2ln 1(01)ln x x h x x x+=<<，则()()2222ln 1ln 12(ln )ln 1()(ln )(ln )x x x x h x x x -++-'==，故当1(0,)ex ∈时，函数()0h x '>，当1(,1)e x ∈时，()0h x '<，故当(0,1)x ∈时，函数()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,1)e 上单调递减，此时max 11()()e eh x h ==，综上，b a的最小值为1e -.故选：D.例3．（2021·江苏·高二专题练习）设函数()()(1)(3,4)x x kf x e e x k -=--=，则（）A ．3k =时，()f x 在0x =处取得极大值B ．3k =时，()f x 在1x =处取得极小值C ．4k =时，()f x 在0x =处取得极大值D ．4k =时，()f x 在1x =处取得极小值【答案】D【分析】先对()f x 求导并整理，当3k =时，令2()(2)4x g x x e x =++-，对()g x 二次求导判断其单调性，得()g x 在R 上单调递增，由函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得()f x 的单调性即可判断；当4k =时，令2()(3)5x h x x e x =++-，同理求导，判断单调性即可判断.【详解】解：由()()(1)x x k f x e e x -=--，得 1()()(1)()(1)x x k x x k f x e e x k e e x ---'=+-+--12(1)(1)1k x x x x k e x k e--⎡⎤=-++--⎣⎦，当3k =时，22(1)()(2)4x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦，令2()(2)4x g x x e x =++-，222()2(2)1(25)1x x x g x e x e x e '=+++=++， 222()22(25)(412)x x x g x e x e x e ''=++=+，所以当3x <-时，()0g x ''<，()g x '在(),3-∞-上单调递减；当3x >-时，()0g x ''>，()g x '在()3,-+∞上单调递增，所以6()(3)10g x g e -''≥-=->，所以()g x 在R 上单调递增，又2(0)240,(1)330g g e =-<=->，则()g x 在区间()0,1上存在唯一零点0x ，当0x x <时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 在()0,x -∞单调递减；当0x x >时，()0g x >，即()0f x '>，()f x 在()0,x +∞单调递增；所以()f x 在0x x =处取得唯一极值，故选项A 、B 错误；当4k =时32(1)()(3)5x x x f x x e x e-'⎡⎤=++-⎣⎦，令2()(3)5x h x x e x =++-，则222()2(3)1(27)1x x x h x e x e x e '=+++=++， 222()22(27)(416)x x x h x e x e x e ''=++=+，所以当<4x -时，()0h x ''<，()h x '在(),4-∞-上单调递减；当4x >-时，()0h x ''>， ()h x '在()4,-+∞上单调递增；所以8()(4)10h x h e -''≥-=->，则()h x 在R 上单调递增，又(0)0,(1)0h h <>，则()h x 在区间()0,1上存在唯一零点t ，则令()0f x '=，得1x =或(0,1)x t =∈，当x t <或1x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，当1t x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在x t =处取得极大值，在1x =处取得极小值，选项C 错误，选项D 正确. 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是，利用二次求导判断导函数的单调性，然后再利用函数零点存在定理确定零点所在区间，从而得原函数的单调性.例4．（2022·重庆市育才中学模拟预测）已知函数()()32012xa f x ae x ax a =--->，若函数()y f x =与()()y f f x =有相同的最小值，则a 的最大值为（）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】首先利用导数求解函数的单调性，再根据函数值域与定义域的关系即可得出结论.【详解】根据题意，求导可得，()()204x a f x ae x a a '=-->， ∴()1022xx a f x ae x a e x ⎛⎫''=-=-> ⎪⎝⎭（ x e x >），∴f x 在R 上单调递增，又∴当0x =时，()00f '= ∴当0x <时，0f x，即函数()f x 在,0上单调递减，当0x >时，0fx，即函数()f x 在0,上单调递增，故有()()min 02f x f a ==-，即得()[)2,f x a ∈-+∞，所以根据题意，若使()()min 2f f x a =-，需使()f x 的值域中包含[)0,+∞，即得202a a -≤⇒≤，故a 的最大值为2. 故选：B.【点睛】求函数最值和值域的常用方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 例5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值.【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.【题型】二、利用二阶导数求函数的单调性例5．（2022·湖北·竹溪县第二高级中学高三阶段练习）若19ln sin a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln9b =-，ln(ln 0.9)c =-，则（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c <<D ．a c b <<【答案】A【分析】先由对数的运算法则把,,a b c 转化成同底的对数，再构造函数，利用导数判断单调性，进而,,a b c 的真数的大小关系，最后利用ln y x =的单调性判断,,a b c 的大小. 【详解】由对数的运算法则得1ln 9ln 9b =-=，10ln(ln 0.9)ln ln 9c ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.令函数()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 在R 是单调递减.11sin 99∴<令函数()()sin ln 1,0,6g x x x x π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 1g x x x '=-+，令函数()1cos ,0,16h x x x x π⎛⎫=-∈ ⎪+⎝⎭，则()()21sin 1h x x x '=-++，()h x '在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且()211010,06216h h ππ⎛⎫''=>=-+< ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()000,,06x h x π⎛⎫'∴∃∈= ⎪⎝⎭，所以()h x 在()00,x 上单调递增，在0,6x π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又()1600,06616h h πππ⎛⎫===-> ⎪+⎝⎭+ ()0h x ∴>在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立 ()0g x '∴>，即()g x 在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 ()()0=0g x g ∴>，则()sin ln 1x x >+ 当19x =时，1110sinln 1ln 999⎛⎫>+= ⎪⎝⎭. 又ln y x =在()0,∞+上单调递增10ln19∴> 1011ln ln ln sin ln 999⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ c a b ∴<<故选：C【点睛】利用导数判断函数值大小应注意的问题：在构造函数时需要视具体情况而定在判断导函数的正负时，尽量不要求二阶导数，而是把原导函数令为一个新函数，再求导判断正负来得到原导函数的单调性.例6．（2022·河南·模拟预测（理））己知22e 2e e e a a b b a b -=-，则（） A ．0a b +≥ B ．0a b +≤C ．0ab ≥D ．0ab ≤【答案】C【分析】变形()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，构造函数()2e 2e x xf x x =-，通过二次求导可知函数单调性，然后利用单调性可得a 、b 符号.【详解】()()22e e 2e e 2e b a a b b b a b =---，设()2e 2e x xf x x =-，则()()()22e 21e 2e e 1x x x xf x x x =-+=--'，设()e 1xg x x =--，则()e 1x g x '=-，当0x <时，()0g x '<，()g x 单调递减，当0x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()00g x g ≥=，所以()()2e 0xf xg x '=≥，()f x 单调递增．当a b ≥时，()()e 0bb f a f b =-≥，故此时0a b ≥≥；当a b ≤时，()()e 0bb f a f b =-≤，故此时0a b ≤≤，所以0ab ≥.故选：C ．例7．（2022·黑龙江·嫩江市第一中学校高三期末（理））若22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a ，则（） A ．2a b > B ．2a b < C ．|||2|>a b D ．|||2|<a b【答案】C【分析】构造函数2()sin f x x x x =+，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小. 【详解】令2()sin f x x x x =+，∴22()sin()()sin ()-=--+-=+=f x x x x x x x f x ，∴()f x 是偶函数， ∴()sin cos 2(cos 1)(sin )=++=+++'f x x x x x x x x x ，令()sin g x x x =+，则()cos 10='+≥g x x ，∴()g x 在(0,)+∞上单调递增，当0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，此时()0f x '>，∴()f x 在(0,)+∞上单调递增.由22sin 4sin cos 41-=-+a a b b b b a 可得22sin 2sin 2(2)1+=++a a a b b b ，即()(2)1=+f a f b ，∴()(2)>f a f b ，∴()f x 是偶函数，则(||)(|2|)>f a f b ，∴|||2|>a b . 故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.例8．（2022·浙江省春晖中学模拟预测）在关于x 的不等式()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>（其中e=2.71828为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数a 的取值范围为（） A ．4161,5e 2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．391,4e 2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．42164,5e 3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】将不等式转化为()()22e 21e x x a x ->-，分别研究两个函数的性质，确定a 的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小a 的取值范围，列出不等式组，求出结果.【详解】由()2222e e 4e e 4e 0x x x a x a -+++>，化简得：()()22e 21e x x a x ->-，设()()22e 2f x x =-，()()1e xg x a x =-，则原不等式即为()()f x g x >.若0a ≤，则当2x >时，()0f x >，()0g x <， ∴原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴0a >.∴()20f =，()22e 0g a =>，∴()()22f g <.当()()33f g ≤，即12ea ≥时，设()()()()4h x f x g x x =-≥，则()()()22e 2e 2e 2e 22exxx h x x ax x '=--≤--. 设()()()2e 2e 242e x x x x x ϕ=--≥，则()()21e 2e 2ex x x ϕ+'=-在[)3,+∞单调递减，所以()()()21e 2e302ex x x ϕϕ+''=-≤=，所以()()2e 2e 22ex x x x ϕ=--在[)4,+∞单调递减，∴()()()242e 2e 0x ϕϕ≤=-<，∴当4x ≥时，()0h x '<，∴()h x 在[]4,+∞上为减函数，即()()2423e 44e 3e e 402h x h a ⎛⎫≤=-≤-< ⎪⎝⎭，∴当4x ≥时，不等式()()f x g x <恒成立， ∴原不等式的解集中没有大于2的整数.∴要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则()()()()()()334455f g f g f g ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，即232425e 2e 4e 3e 9e 4e a a a ⎧>⎪>⎨⎪≤⎩，解得32944e 3e a ≤<. 则实数a 的取值范围为3294,4e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：D【点睛】已知整数零点个数，求参数的取值范围，要从特殊点，特殊值缩小参数的取值范围，再利用导函数及放缩法进行求解，最终得到关于参数的不等关系，进行求解.第二天学习及训练【题型】三、利用二阶导数求参数的范围例9．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（） A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【答案】C【分析】利用导数求切线方程，结合两条切线平行，得到12x x ，的取值区间；再利用一阶导数求出相应点的切线方程，再求y 轴上的截距，然后确定12b b - 的单调性，然后就可以确定它的取值范围. 【详解】因为()2ln f x x x =+而()121206x x x x ∈<，，，，所以()22212x f x x x x-'=-+=，在点1112ln A x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，处的切线方程为：()112111221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；在点2222ln B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，处的切线方程为：()222222221ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以()1111211112124ln ln 1b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；2224ln 1b x x =+-；令()4ln 1b x x x =+- ，则()22414x b x x x x-'=-+= 11212121224444ln 1ln 1ln xb b x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为12l l ∥ ，所以2211222121x x x x -+=-+，且124x x << 所以211112x x +=，112102x x x =-> ，12x > ，12246x x <<<< 所以112122224482ln 2ln 2x b b x x x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪-⎝⎭，令()12822ln2g x b b x x =-=-+- ，()46x ∈，则()()()222481022x g x x x x x -'=-=-<-- 所以()12822ln 2g x b b x x =-=-+-在()46，单调递减. 所以()122ln 203b b ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，. 故选：C例10．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若关于x 的不等式32ln 42x x x x ax +≤++恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[)1,-+∞B ．[)1,+∞C ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[),e +∞【答案】B 【分析】等价于2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，利用导数求出函数()f x 的最大值即得解.【详解】解：依题意，2ln 42x a x x x x≥-+-，设函数()2ln 42x f x x x x x =-+-，则()224ln 3x x x f x x---+='，令()24ln 3h x x x x =---+，故()21420h x x x x'=---<，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递减，而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，故函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()max ()11==f x f ，则1a ≥. 故选：B ．例11．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()22e 1ln x f x x kx x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若函数()f x 有唯一极值点，则实数k 的取值范围为（）A ．()(]{}2,00,4e 2e ∞-⋃⋃B ．(),4e ∞-C ．()4e,∞+D ．[)4e,∞+【答案】A【分析】求出原函数的导函数并化简得到()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=-⎪⎝⎭，1x =为导函数的零点，进而设()()22e 10xg x x kx=->，然后再通过导数方法判断出函数()g x 的零点，进一步得到函数()f x 的单调区间，最终确定出极值点个数求出答案.【详解】由题意，()22e 10,ln x x f x x kx x ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，则()()223222e 1112e 1x x x x x f x kx x x kx -⎛⎫--'=-=- ⎪⎝⎭，设()()22e 10xg x x kx=->，()22221e x x g x k x -'=⋅⋅.当0k >时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，()min 14e12g x g k⎛⎫==- ⎪⎝⎭ （1）若04e k <≤，则()()min 0g x g x ≥≥，则()0,1x ∈时，()()0,f x f x '<单调递减，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增，所以()f x 有唯一极值点1x =. （2）若24e<2e k <，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=->，22211212ee e 22212e 2e 112e 10112e 2e 2e g k k ⋅⎛⎫=-=->-> ⎪⎝⎭⋅⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在110,,,122⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上存在唯一一个零点12,x x ，于是()10,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()12,x x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()2,1x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递增，所以()f x 有12,,1x x 三个极值点；（3）若22e k =，则()min102g x g ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()22e 110g k=-=，221212e e 2212e 12e 1012e 2e g k ⋅⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭⋅，结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个零点3x ，于是()30,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()3,1x x ∈时，0f x ，()f x 单调递增，()1,x ∈+∞时，0fx ，()f x 单调递增，所以()f x 有3x x =唯一一个极值点；（4）若22e k >，则()22e 110g k=-<，又102x <<时，()22e 211x g x kx kx =->-，所以102x <<且2x k<时，()0g x >.设()()e 1xh x x x =->，()e 1e 10x h x '=->->，所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()221e 10e e xxh x h x x >=->⇒>⇒>，于是1x >时，()22211x xg x kx k>-=-，所以1x >且2kx >时，()0g x >. 结合函数()g x 的单调性可知，函数()g x 分别在()10,,1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上存在唯一一个零点45,x x ，于是()40,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，()4,1x x ∈时，0fx，()f x 单调递增，()51,x x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ()5,x x ∈+∞时，0f x，()f x 单调递增，所以()f x 有45,1,x x 三个极值点.当0k <时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>单调递增，1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<单调递减，()max 14e102g x g k⎛⎫==-< ⎪⎝⎭，即()0g x <恒成立，于是()0,1x ∈时，()()0,f x f x '>单调递增，()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减，所以()f x 有唯一极值点1x =.综上所述：k 的取值范围为(){}2,0(0,4e]2e -∞⋃⋃.故选：A.【点睛】本题非常复杂，注意以下两个方面：∴对函数求完导之后一定要因式分解，()2212e 1x x f x x kx ⎛⎫-'=- ⎪⎝⎭，现在只需要考虑()()22e 10xg x x kx =->的零点即可；∴因为导函数()f x '有一个零点1，所以在讨论函数()()22e 10xg x x kx=->的零点时一定要注意它的零点是否为1，方法是将x =1代入得到()222e 1102e g k k=-=⇒=，以此作为讨论的一个分界点. 例12．（2021·江苏·高二单元测试）若关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，则实数m 的取值范围是（）A ．15,4ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．15,8ln 2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．15,4ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】把给定不等式转化为214ln x m x -≤在[]2,4上有解，构造函数()214ln x g x x-=，[]2,4x ∈，探讨该函数最大值即可得解.【详解】由[]2,4x ∈，得ln 0x >，又关于x 的不等式2112ln 022x m x --≥在[]2,4上有解，所以214ln x m x -≤在[]2,4上有解，即2max14ln x m x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，令()214ln x g x x -=，[]2,4x ∈，则()()()()2224124ln 12ln 4ln 4ln x x x x x x x x g x x x ⋅--⋅-+'==，设()12ln h x x x x x=-+，[]2,4x ∈，则()22112ln 212ln 10h x x x x x '=+--=+->，即()h x 在[]2,4上单调递增，则()()13324ln 224ln 220222h x h ≥=-+=->->，于是有()0g x '>，从而得()g x 在[]2,4上单调递增，因此，()()max 161151544ln 44ln 48ln 2g x g -====，则158ln 2m ≤，所以m 的取值范围是15,8ln 2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】思路点睛：涉及不等式在给定区间上有解求参数范围问题，常常采用分离参数，构造函数，再求函数最值的思路来解决问题. 【题型】四、利用二阶导数证明不等式例13．（2022·辽宁朝阳·高二期末）已知函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，2()e cos x f x x x =+-，则不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为（） A ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,2)-∞-C ．(2,)-+∞D ．4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】结合导数以及函数的奇偶性判断出()f x 的单调性，由此化简不等式(3)(21)0f x f x ---<来求得不等式的解集.【详解】当0x ≥时，()()()'''2sin s 2cos 0,2,in x x x e x f x f x e x x e x x =++>=++++单调递增，()'01f =，所以()()'0,f x f x >单调递增.因为()f x 是偶函数，所以当0x <时，()f x 单调递减.(3)(21)0,(3)(21)f x f x f x f x ---<-<-，()()22321,321x x x x -<--<-，22269441,3280x x x x x x -+<-++->，()()23402x x x +->⇒<-或43x >. 即不等式(3)(21)0f x f x ---<的解集为4(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.故选：D例14．（2022·全国·高二专题练习）已知123a =，()11e b e =+，134c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）． A ．b a c >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D【分析】根据题中a ，b ，c 的形式构造函数()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，利用二次求导的方法判断函数()f x 的单调性，根据单调性即可比较大小. 【详解】因为()1212a =+，()11e b e =+，()1313c =+，所以令()()()1ln 1,0f x x x x=⋅+>，则()()2ln 11xx x f x x -++'=，令()()()ln 1,01x g x x x x =-+>+，则()()201x g x x -'=<+， ∴()g x 在()0,∞+上单调递减，()()00g x g <=，∴()0f x '<恒成立，∴()f x 在()0,∞+上单调递减． ∴23e <<，∴()()()23f f e f >>，即()()()111ln 12ln 1ln 1323e e +>+>+，所以()()()11123ln 12ln 1ln 13e e +>+>+，所以()11132314e e >+>，即a b c >>，故选：D ．例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln 2f x x x x =+，若k Z ∃∈，使得()21f x kk x+>+在()2,x ∈+∞恒成立，则k 的最大值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】首先参变分离得ln 2x x x k x +<-，再设函数()ln 2x x x h x x +=-，求导数()()242ln 2x x h x x --'=-，再设()42ln g x x x =--，再求导数，通过函数()g x '恒正，判断函数()g x 的单调性，并判断()h x 的极值点所在的区间，求得函数的最小值，同时求得k 的最大值. 【详解】依题意，ln 2x x x k x +<-，令()ln 2x x x h x x +=-，则()()242ln 2x x h x x --'=-．令()42ln g x x x =--，()21g x x'=-，∴2x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，∴()4242ln8l n 8n l 80g e =-=-<，()52952ln9ln ln90g e =-=->，设42ln 0x x --=并记其零点为0x ，故089x <<．且004ln 2x x -=，所以当02x x <<时，()0g x <，即()0h x '<，()h x 单调递减；当0x x >时，()0g x >即()0h x '>，()h x 单调递增，所以()()0000000min 0004ln 2222x x x x x x x h x h x x x -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭====--，因此02x k <，由于Z k ∈且089x <<，即09422x <<，所以max 4k =，故选:C【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，考查考生逻辑推理、数学运算的核心素养，本题的关键是构造函数，并求两次导数，通过导数，逐级判断函数的单调性和最值.例16．（2023·全国·高三专题练习）已知()f x 是R 上的偶函数，当[)0,x ∈+∞时，()2cos 12x f x x =-+，且()()21f x a f x +<+对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】利用二次求导法，结合偶函数的性质进行求解即可.【详解】()()()()2cos 1sin 1cos 02x f x x g x f x x x g x x ''=-+⇒==-+⇒=-≥，故()g x 为增函数，当0x ≥时，()()00g x g ≥=，可得()f x 为增函数. 又()f x 为偶函数，故()()f x a f x a +=+，()()22221111f x a f x x a x x x a x x +<+⇔+<+⇔---<<-+恒成立. 因为221331()244x x x -+=-+≥，221331()244x x x -+-=---≤-，所以有3344a -<<，故答案为：33,44⎛⎫- ⎪⎝⎭第三天学习及训练【题型】五、利用二阶导数与函数的对称性求值例17．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））对于三次函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122014201520152015g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）A ．2014B ．2013C ．20155D ．1007【答案】A【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解. 【详解】()3211533212g x x x x =-+-，所以()()23,21g x x x g x x '''=-+=-，令12102x x -=⇒=，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()3211533212g x x x x =-+-的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭ ，()()1220141201412,20152015201520152015g x g x g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=∴++⋅⋅⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22013100710081007220142015201520152015g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：A例18．（2022·广东广州·高二期末）对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，现给出定义：设()f x '是函数()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数()3232g x x x =-+，则1231910101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．0 B ．1C ．32-D ．32【答案】A【分析】对函数()3232g x x x =-+求导，再求导()g x ''，然后令()0g x ''=，求得对称点即可.【详解】依题意得，()236g x x x '=-，()66g x x ''=-，令()0g x ''=，解得x ＝1，∴()10g =，∴函数()g x 的对称中心为()1,0，则()()20g x g x -+=， ∴11921831791121010101010101010+=+=+==+= ∴12319010101010g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：A.例19．（2022·全国·高三专题练习）设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数，经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠的图象都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=，已知函数()3272392f x x x x =-+-，则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2021 B ．20212C ．2022D ．40212【答案】B【分析】通过条件，先确定函数()f x 图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和. 【详解】由()3272392f x x x x =-+-，可得()2669f x x x '=-+，()126f x x ''=-，令()1260f x x ''=-=，得12x =，又32111171239222222f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以对称中心为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，所以12021220201,12022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…，11010102022202122f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1201011222f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 所以12320211202110101202220222022202222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：B.例20．（2016·湖南衡阳·高三阶段练习（文））设函数()y f x ''=是()y f x '=的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=．已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（） A ．2013 B ．2014 C ．2015 D ．2016【答案】D【分析】先求出()f x ''，结合题意求得函数()f x 的对称中心，进而得到()()12f x f x +-=，进而求出1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可. 【详解】由题意得，()()23,21f x x x f x x '''=-+=-，令()0f x ''=，解得12x =，又3211111153123222212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的对称中心为1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()12f x f x +-=，1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1120162201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=. 故选：D ．【题型】六、利用二阶导数与函数的凹凸性求值例21．（2022·陕西渭南·高二期末（理））给出定义:若函数()f x 在D 上可导，即()f x '存在，且导函数()f x '在D 上也可导，则称()f x 在D 上存在二阶导函数.记()()()f x f x ''''=，若()0f x ''<在D 上恒成立，则称()f x 在D 上为凸函数.以下四个函数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是凸函数的有（）∴()sin cos f x x x =+，∴()e x f x x -=-，∴()ln 2f x x x =-，∴3()21f x x x =-+-. A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个【答案】B【分析】根据题意，分别验证各个选项中的函数的二阶导数在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是否是负数即可.【详解】∴()sin cos f x x x =+,则()sin cos f x x x ''=--，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin 0,cos 0x x >>，则()sin cos 0f x x x ''=--<，选项∴满足；∴()e x f x x -=-，则()(2)x f x x e -''=-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，20x ->，即()0f x ''>，∴不符题意； ∴()ln 2f x x x =-，则21()0f x x ''=-<，选项∴满足； ∴3()21f x x x =-+-，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()60f x x ''=-<，选项∴满足.综上有3个函数符合题意. 故选：B例22．（2023·全国·高三专题练习）设函数f （x ）在区间I 上有定义，若对12,x x I ∀∈和()0,1λ∀∈，都有()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-，那么称f （x ）为I 上的凹函数，若不等号严格成立，即“<”号成立，则称f （x ）在I 上为严格的凹函数.对于上述不等式的证明，19世纪丹麦数学家琴生给出了如下的判断方法：设定义在（a ，b ）上的函数f （x ），其一阶导数为()f x '，其二阶导数为()f x ''（即对函数()f x '再求导，记为()f x ''），若()0f x ''>，那么函数f （x ）是严格的凹函数（()f x '，()f x ''均可导）.试根据以上信息解决如下问题：函数()21ln f x m x x x=++在定义域内为严格的凹函数，则实数m 的取值范围为___________.【答案】(-∞【分析】对函数()f x 求导，并对其导函数再次求导，将问题转化为函数最值问题，利用导数求最值即可.【详解】由()21ln f x m x x x=++，得()212m f x x x x '=-+，令()212m h x xx x =-+，则()2322m h x x x'=-++，令23220m x x-++>恒成立，即222m x x <+恒成立，令()()2220g x x x x =+>，则()()32214224x g x x x x-'=-+=，当x ⎛∈ ⎝时，()0g x '<，g （x ）单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()0g x '>，g （x ）单调递增，所以()2221g x g ≥=+=所以m <故答案为：(-∞.例23．（2021·江苏扬州·高三阶段练习）函数()y g x =在区间[a ，]b 上连续，对[a ，]b 上任意二点1x 与2x ，有1212()()()22x x g x g x g ++<时，我们称函数()g x 在[a ，]b 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即()0g x ''>.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（） A ．2()log (0)f x x x => B ．()2x f x e x -=+C ．3()2(0)f x x x x =-+<D ．2()sin (0)f x x x x π=-<<【答案】BC【分析】根据题目中定义，逐个判断各函数是否满足条件二阶导函数大于零，即可解出．【详解】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足()0f x ''>在定义域内恒成立．对于A ，2()log (0)f x x x =>，则2111()()0ln 2ln 2f x x x '''==-⋅<在0x >时恒成立，不符合题意，故选项A 错误；对于B ，()2x f x e x -=+，则()(21)20x x f x e e --'''=-+=>恒成立，符合题意，故选项B 正确；对于C ，3()2(0)f x x x x =-+<，则2()(32)60f x x x '''=-+=->在0x <时恒成立，符合题意，故选项C 正确；对于D ，2()sin (0)f x x x x π=-<<，则()(cos 2)sin 20f x x x x ''=-'=--<在0πx <<时恒成立，不符合题意，故选项D 错误. 故选：BC.。

二次求导问题【范本模板】

二次求导问题导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容．近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现．利用二次求导求函数的单调性［典例］ 1212［思路点拨］此题可联想到研究函数f (x ）＝错误!在（0，π）的单调性．函数图象虽然可以直观地反映出两个变量之间的变化规律，但大多数复合的函数作图困难较大．导数的建立拓展了应用图象解题的空间．导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供了简单、程序化的方法,具有很强的可操作性．当f ′(x ）〉0时，函数f （x )单调递增；当f ′(x )<0时，函数f （x )单调递减．［方法演示］解：由f (x )＝错误!，得f ′（x )＝错误!,设g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′（x ）＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x .∵0〈x <π，∴g ′（x ）<0，即函数g (x ）在（0，π)上是减函数．∴g （x )<g （0）＝0，因此f ′（x )<0,故函数f （x ）在(0，π）是减函数，∴当0〈x 1<x 2〈π,有f (x 1）>f （x 2），即a >b 。

[解题师说］从本题解答来看，为了得到f (x )的单调性，须判断f ′(x )的符号，而f ′（x ）＝错误!的分母为正，只需判断分子x cos x －sin x 的符号，但很难直接判断,故可通过二次求导,判断出一次导函数的符号，并最终解决问题．[应用体验］1．已知函数f (x ）满足f （x )＝f ′（1）e x －1－f (0)x ＋12x 2，求f （x )的解析式及单调区间．解：因为f （x )＝f ′（1)e x －1－f （0)x ＋错误!x 2，所以f ′（x )＝f ′（1)e x －1－f (0)＋x 。

2020届高三数学之函数与导数(文理通用)二次求导函数处理(二阶导数)(解析版)

专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。

利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。

本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

3、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。

二、经验分享方法二次求导使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B ．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1=x 时，m m ≤+⨯-+21)1(21ln 2化简：34≥m ；令2=x 时，m m 422)1(22ln 2≤+⨯-+，化简42ln 22+≥m 你还可以在算出3,4，选择题排除法。

2024高考数学二轮专题复习——二次求导、虚设零点

同构、二次求导、虚设零点在导数中的应用1.（2022·新高考Ⅰ卷T22）已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．2.（2022·全国乙（理）T21）已知函数()()ln 1exf x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围．3.（2022·新高考Ⅱ卷T22）已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设n *∈Nln(1)n ++>+ ．4、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<05．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知函数2()e x f x ax x =+-．(1)当a =1时，讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≥12x 3+1，求a 的取值范围．6．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．(1)求b ．(2)若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．7．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <，当0x >时，()0f x >；(2)若0x =是()f x 的极大值点，求a ．8．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥．(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．9．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)(I )讨论函数2()2xx f x e x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；(II )证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax ag x x -->（）有最小值．设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．10．(2013高考数学新课标2理科)已知函数()ln()x f x e x m =-+．(1)设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性；(2)当2m ≤时，证明()0f x >．类型一、虚设零点基础知识：在求解函数问题时，很多时候都需要求函数f (x )在区间I 上的零点，但所述情形都难以求出其准确值，导致解题过程无法继续进行时，可这样尝试求解：先证明函数f (x )在区间I 上存在唯一的零点(例如，函数f (x )在区间I 上是单调函数且在区间I 的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点)，这时可设出其零点是x 0.因为x 0不易求出(当然，有时是可以求出但无需求出)，所以把零点x 0叫做隐零点；若x 0容易求出，就叫做显零点，而后解答就可继续进行．实际上，此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法．基本题型：1．（虚设零点研究函数最值）已知函数op =ln −x +B(∈p .（1）若函数op 在[1,+∞)上单调递减，求实数的取值范围；（2）若=1，求op 的最大值.2.（虚设零点研究双变量问题）设函数()ln xf x x ae =+，1()(0)xg x axe a e=<<.（1）设函数()()()h x f x g x =-，判断()y h x =的零点的个数；（2）设1x 是()h x 的极值点，2x 是()h x 的一个零点，且12x x <，求证：1232x x ->.3.（虚设零点研究不等式恒成立）已知函数()ln 11x f x x x=++.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意()0,x ∈+∞都有()e xa f x ≥，求实数a 的取值范围.类型二、二次构造二次求导基础题型：1、（二次构造二次求导研究函数单调性）讨论函数f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1的单调性．2.（二次构造二次求导研究不等式恒成立）设函数1()e ,()ln x f x m g x x n -==+,m n 、为实数,若()()g x F x x=有最大值为21e （1）求n 的值；（2）若2()()e f x xg x >,求实数m 的最小整数值.3．（二次构造二次求导求最值）已知函数()()ln 1xf x ae x a R -=+-∈.（1）当a e ≤时，讨论函数()f x 的单调性：（2）若函数()f x 恰有两个极值点()1212,x x x x <，且122ln 3x x +≤，求21x x 的最大值.4.（二次构造二次求导证明不等式）若关于x 的方程x ln x ＝m 有两个不相等的实数解x 1，x 2，求证：x 1·x 2<1e 2(e是自然对数的底数)．5.（二次构造二次求导解决不等式恒成立）已知函数12()ln x f x e x ax a -=++-，且1,x a R >∈.（1）若0a =，证明：()f x 单调递增；（2）若1()f x x<，求a 的取值范围.类型三、同构基础知识：1、同构式指除了变量不同，其余地方均相同的表达式．2、同构式的应用(1)在方程中的应用：如果方程f(a)＝0和f(b)＝0呈现同构特征，则a ，b 可视为方程f(x)＝0的两个根．(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式3、常见的同构变形有：(1)ax e ax ≥x ln x ⇒ax e ax ≥ln x ·e ln x ，可构造函数f (x )＝x e x 来进行研究．(2)x 2ln x ＝a ln a －a ln x ⇒x 2ln x ＝a ln a x ⇒x ln x ＝a x ln ax，可构造函数f (x )＝x ln x 来进行研究．(3)e x a ＋1>ln(ax －a )(a >0)⇒e x a ＋1>ln a ＋ln(x －1)⇒e x a －ln a ＋x >ln(x －1)＋x －1⇒e x a ＋ln e xa>ln(x －1)＋(x －1)，可构造函数f (x )＝x ＋ln x 来进行研究．(4)x ＋1e x ≥x α－ln x α(x >0)⇒1e x －ln 1ex ≥x α－ln x α(x >0)，可构造函数f (x )＝x －ln x 来进行研究．(5)x α＋1e x ≥－αln x ⇒x e x ≥－αln x x α⇒x e x≥－αln x ·e －αln x ，可构造函数f (x )＝x e x 来进行研究．基本题型：1．已知函数()21ln 2f x a x x =+，在其图象上任取两个不同的点()11,P x y 、()()2212,Q x y x x >，总能使得()()12122f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围为（）A ．()1,+∞B ．[)1,+∞C ．()1,2D ．[]1,22．（多选）若1201x x <<<，则下列不等式成立的是（）A ．1221xx x e x e >B ．1221xx x e x e <C ．2121ln ln x x ee x x ->-D ．1221ln ln xx e ex x -<-3、已知函数()()1ln f x kx x =-，其中k 为非零实数.（1）求()f x 的极值；（2）当4k =时，在函数()()22g x f x x x =++的图象上任取两个不同的点()11,M x y 、()22,N x y .若当120x x t <<<时，总有不等式()()()12124g x g x x x -≥-成立，求正实数t 的取值范围：4．已知函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1.(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)如果对任意的x 1>x 2>0，总有f (x 1)－f (x 2)1－x 2≥2，求a 的取值范围．基本方法：1、同构法构造函数的策略(1)指对各一边，参数是关键；(2)常用“母函数”：f(x)＝xe x ，f(x)＝e x ±x ；寻找“亲戚函数”是关键；(3)信手拈来凑同构，凑常数、x 、参数；(4)复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数范围2、（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立；（2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立；（3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立；（5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.新预测1．（多选题）已知函数()xf x xe =，若120x x <<，则下列选项中正确的是（）A ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦B ．()()1221x f x x f x >C ．()()121f x f x e-<D ．()()1221f x f x x x -<-2．若对任意a ，b 满足0<a <b <t ，都有b ln a <a ln b ，则t 的最大值为________．3．已知曲线f (x )＝b e x ＋x 在x ＝0处的切线方程为ax －y ＋1＝0.(1)求a ，b 的值；(2)当x 2>x 1>0时，f (x 1)－f (x 2)<(x 1－x 2)(mx 2＋1)恒成立，求实数m 的取值范围．4．设函数f (x )＝(x －1)e x －kx 2(k ∈R )．当k 1时，求函数f (x )在[0，k ]上的最大值M .5、设函数()ln ,k R kf x x x=+∈．（1）若曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线与直线20x -=垂直，求()f x 的单调递减区间和极小值（其中e 为自然对数的底数）；（2）若对任何()()1212120,x x f x f x x x >>-<-恒成立，求k的取值范围．6．已知函数()()222ln f x x mx x m m R =+++∈.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）函数()f x 有两个不同的极值点()1212,x x x x <，求()211f x x x +的取值范围.7.已知22()5ln f x ax bx x =++-.（1）若()f x 在定义域内单调递增，求a b +的最小值.（2）当0a =时，若()f x 有两个极值点1x ，2x ，求证：122x x e +>.8.已知函数()211ln )f x x x x a a=+-,()0a ≠．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）令()()2Fx af x x =-,若()12F x ax <-在()1,∈+∞x 恒成立,求整数a 的最大值．(参考数据：4ln33<,5ln44>9.已知函数()xf x xe =，()ln (0)g x ax a x a =+>.（1）求函数()f x 的极值.（2）若关于x 的不等式()()f x g x <的解集不是空集，求实数a 的取值范围.10．设函数()cos ,()x f x e x ax a R =+∈.（1）当0a =时，求函数()f x 在区间[0,]π上的最小值；（2）若5[0,4x π，()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围.11．已知函数()()221ln 2a f x x a x x-+=+⋅-，其中a 为常数.（1）若0a =，求函数()f x 的极值；（2）若1a =-，证明：函数()f x 在(0,1)上有唯一的极值点0x ，且()02f x <-.12．已知函数()tan 2f x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3g x ax x =-.（1）求函数()y f x =的极值；（2）当13a ≤时，证明：()()g x f x <在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立.13．已知函数()()()211ln 02f x ax a x x a =+--≠.（1）当1a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）当1a <-时，判断函数()()()1ln 1g x x x x f x =--+-的零点个数.14.已知函数()22ln f x mx x x =-+，其中m 为正实数.（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；（2）当1[,1]2x ∈时，()2f x mx ≥-，求m 的取值范围.15.形如()()k x y h x =的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得()ln ln ()()ln ()k x y h x k x h x ==，两边对x 求导数，得()()ln ()()()y h x k x h x k x y h x '''=+，于是()()()[()ln ()()]()k x h x y h x k x h x k x h x '''=+.已知()x f x x =（(0,)x ∈+∞），21()()22a g x x a R =+∈.（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若(0,)x ∀∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.16.已知函数()(ln )(ln )(0)x f x e a a x x a =-⋅>，其中 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数（1）当a e =时，求函数()f x 的导函数()f x '的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同极值点12,x x 且12x x <；①求实数a 的取值范围；②证明：21x x -≤.17．已知函数()ln ()xx mf x m R e +=∈.（1）若()f x 在[]1,e 上单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若2m =，证明：()f x <18．已知函数f (x )＝ax e x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋x ＋1.若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．。

高考专题：导数中的二次求导问题

导数中的二次求导问题一.考情分析：高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高考考查的重点，也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大. 二.知识要点（为什么二次求导：）在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题， “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径。

三、解这类题的步骤为： ①求函数的定义域；②求函数的导函数f ´(x)，无法判断导函数正负； ③构造求g(x)= f ´(x)，求g ´(x)；④求g ´(x)>0和g ´(x)<0的解，即得函数()g x 的单调性，得函数()g x 的最值，； ⑤根据列表解答问题。

四、典型例题：例1.求函数()cos f x x x ax a =-+，π[0,]2x ∈（1a ≥）的单调区间；解：依题意 ()cos sin f x x x x a '=--．令()cos sin g x x x x a =--，π[0,]2x ∈，则()2sin cos 0g x x x x '=--≤．所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．因为 (0)10g a =-≤，所以 ()0g x ≤，即 ()0f x '≤，所以()f x 的单调递减区间是π[0,]2，没有单调递增区间．例2.求证：函数2()ln(1)f x x x ax =+-（0a <）存在极小值；解：因为()ln(1)+21xf x x ax x '=+-+ 设()()ln(1)21xg x f x x a x x '==++-+ 211()+21(1)g x a x x '=-++ 因为1x >-且0a <，所以101x >+，210(1)x >+，20a -> 从而得到()0g x '>在(1,)-+∞上恒成立所以()0f x '>在(1,)-+∞上单调递增且(0)0f '=，所以x ，'()f x ，()f x 在区间(1,)-+∞ 的变化情况如下表:所以0x =时，()f x 取得极小值，问题得证例3.求函数f(x)=sinxlnx 在区间(1,)π内的极大值的个数．解：因为()sin ln f x x x =，所以sin ()cos ln xf x x x x'=+，（1）当(1,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 无极大值．（2）当(,)2x π∈π时，设sin ()()cos ln '==+x g x f x x x x ，则22cos sin ()sin ln 0x x g x x x x x '=-+-<，所以()f x '在(,)2ππ内单调递减．又因为2()02f π'=>π， ()ln 0f 'π=-π<，所以在(,)2ππ内存在唯一的0(,)2x π∈π，使得0()0f x '=．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 在0(1,)x 内单调递增，在0(,)x π内单调递减，此时()f x 有唯一极大值．综上所述，()f x 在(1,)π内的极大值的个数为1． ………10分检测：1.已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.解：ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =，则21'()=a g x xx -.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增. 因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )a x -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分2、已知函数()()ln f x x a x =+（0a >）有极小值，求实数a 的取值范围．解： ()f x 有极小值⇔函数()f x '有左负右正的变号零点.()1()ln ln 1af x x x a x x x'=++=++令()()g x f x '=，则221()a x a g x x x x-'=-= 令()0g x '=，解得x a =. ,(),()x g x g x '的变化情况如下表：①若ln 20a +≥，即2a e -≥，则()0g x ≥，所以()f x '不存在变号零点，不合题意.②若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，(1)10g a =+>.所以0(,1)x a ∃∈，使得0()0g x =；且当0(,)x a x ∈时，()0g x <，当0(,1)x x ∈时，()0g x >. 所以当(,1)x a ∈时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：所以20a e -<<.3.已知函数2()()x f x e ax a =-∈R 在[0,1]上的最大值不小于2，求a 的取值范围；解：∵ ()e 2xf x ax '=-，当0a ≤时，因为[0,1],x ∈e 0,x>20ax -≥，故()0f x '>，即()f x 单调递增，因此max ()(1)e f x f a ==-．依题意，当0a ≤时，max ()e e 2f x a =-≥>，所以0a ≤符合题意．当0a >时，()e 2xf x a ''=-，令()0f x ''=，有ln 2x a =，变化如下：-+故．当时，即时，，单调递增，因此．依题意，令，有．当时，即时，，，故存在唯一使．此时有，即，，变化如下：若，则在上的最大值小于2，所以a 的取值范围为．。

二次求导法在解决问题中的常见类型-高考数学复习

则 F （ x －1）＞0，
即得 x －1＞1，
高中总复习·数学
所以 ax －1＝ x －1，即ln
ln（−1）
a＝
，
−1

1−ln
令 Q （ x ）＝（ x ＞1），则Q'（ x ）＝ 2 ，

当 x ＞e时，Q'（ x ）＜0，当1＜ x ＜e时，Q'（ x ）＞0，
所以函数 Q （ x ）在（1，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单
，从而当0＜ x ＜
2

2−1
时，h'（ x ）＞0，

2−1
此时g'（ x ）在（0，
）内单调递增，g'（ x ）＞g'（0）＝0，

2−1
∴ g （ x ）在（0，
）内单调递增， g （ x ）＞ g （0）＝0， f

（ x ）≤
不恒成立.
+1
1
综上可知， a 的取值范围为［0，］.
易得g'（ x ）＝1－ cos x ，则当 x ∈（0，1）时，g'（ x ）＝1－
cos x ＞0，所以 g （ x ）在（0，1）上单调递增，
所以 g （ x ）＞ g （0）＝0，所以 sin x ＜ x .
由 h （ x ）＝ sin x － x ＋ x 2，得h'（ x ）＝ cos x －1＋2 x .
4
2
高中总复习·数学
g （ x ）＜0，即f'（ x ）＞0， f （ x ）单调递增.在 x ∈（ x 0，＋∞）时，
g （ x ）＞0，即f'（ x ）＜0， f （ x ）单调递减，∴当 x ＝ x 0时， f （ x ）

巧用导数　高效解题——以“二次求导”在函数问题中的应用为例

巧用导数㊀高效解题以二次求导在函数问题中的应用为例陈雯娜(福建省宁德市高级中学ꎬ福建宁德３５２１００)摘㊀要:本文针对二次求导在函数解题中的应用展开了讨论ꎬ简述了二阶导数的数学意义ꎬ详细介绍了二阶导数在求函数单调性㊁极值㊁参数取值范围中的具体应用方法.关键词:导数ꎻ解题ꎻ函数问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０９－００５２－０３收稿日期:２０２３－１２－２５作者简介:陈雯娜(１９９５.１０ )ꎬ女ꎬ福建省宁德人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀从高考形势来看ꎬ二次求导被频繁应用在综合题型的解决中ꎬ对学生考试成绩的影响非常大.所以ꎬ教师要重视二次求导知识点的教学.１二阶导数二次求导是指通过观察一阶导数的变化率ꎬ确定图像的凹凸性.在部分指数式㊁对数式的函数问题中ꎬ求导之后无法判断原函数单调性时才会进行二次求导ꎬ找到导数正负ꎬ确定函数单调性.如果函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上连续ꎬ且二次可导ꎬ若在该区间上函数二阶导数大于零ꎬ则函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上的图形是凹的ꎻ若在该区间上函数二阶导数小于零ꎬ则函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上的图形是凸的[１].另外ꎬ部分函数问题需要先构造函数后才能二次求导.整体来说ꎬ二次求导虽能降低解题难度㊁提高解题效率ꎬ但是对学生思维的灵活性要求比较高.因此ꎬ教师要多锻炼㊁启发学生思维ꎬ保证学生能熟练掌握二次求导的方法ꎬ拥有更加灵活的思维.２二次求导在函数问题中的应用２.１在函数单调性问题中的应用如果要判断原函数的单调性ꎬ则要先观察二次导数在定义域内的取值.当其值恒大于零或恒小于零时ꎬ则可推出一阶导函数在定义域内的单调性ꎬ同时ꎬ考虑一阶导数的最大值或最小值ꎬ两者结合判断原函数的单调性.若一阶导函数是单调递增的ꎬ且最小值大于零ꎬ则证明原函数单调递增ꎻ若一阶导函数是单调递减的ꎬ且最大值小于零ꎬ则证明原函数单调递减.这一结论在其他函数综合题型中也有着极其重要的应用ꎬ如极值㊁含参问题.所以教师应当要求学生打好基础ꎬ熟练掌握通过二次求导判断函数单调性的方法ꎬ以便后续解决问题时能随时调用[２].２.１.１直接讨论函数单调性相对来说ꎬ讨论不含参数的函数单调性问题时ꎬ直接进行求导㊁化简㊁在定义域内讨论导数符号进而判断单调性即可ꎬ其解题难度一般.例１㊀讨论函数ｆｘ()＝ｌｎ２(１＋ｘ)－ｘ２１＋ｘ的单调性.分析㊀针对这道题目来说ꎬ可以先确定该函数的定义域为－１ꎬ＋ɕ().对该函数求导可得:ｆᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)ｘ＋１－ｘ２＋２ｘ１＋ｘ()２ꎬ通分得到ｆᶄｘ()＝２(１＋ｘ)ｌｎ(１＋ｘ)－ｘ２－２ｘ１＋ｘ()２.仔细观察该函数不难发２５现ꎬ分母大于零ꎬ但是分子符号不确定ꎬ所以要进一步讨论.此时ꎬ假设ｇｘ()＝２(１＋ｘ)ｌｎ(１＋ｘ)－ｘ２－２ｘꎬ若想确定该函数的正负ꎬ则要对其求导ꎬ判断其单调性或最值ꎬ以此确定一阶导数符号ꎬ反推原函数单调区间.对ｇｘ()求导可得到ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘꎬ再二次求导可得ｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘꎬ这时就可以分情况讨论.第一种情况:当－１<ｘ<０时ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘ>０ꎬ那么ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在该区间上是增函数ꎻ第二种情况:当ｘ>０时ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘ<０ꎬ那么ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在该区间上是单调减函数ꎬ综合考虑这两种情况ꎬｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在ｘ＝０时有最大值ꎬ又因为ｇᶄ０()＝０ꎬ所以ꎬｇᶄｘ()ɤ０.反推可知函数ｇｘ()在－１ꎬ＋ɕ()上是单调减函数ꎬ在－１<ｘ<０时ꎬｇｘ()>ｇ０()＝０ꎬ则ｆᶄｘ()>０ꎬ函数ｆｘ()是单调递增的ꎻ当ｘ>０时ꎬｇｘ()<ｇ０()＝０ꎬ则ｆᶄｘ()<０ꎬ函数ｆｘ()是单调递减的.综上ꎬ可知函数ｆｘ()的单调递增区间为－１ꎬ０()ꎬ单调递减区间为０ꎬ＋ɕ().从这道题目的解析中能够看出ꎬ应用二阶导数判断函数单调区间的关键是要合理化简函数表达式ꎬ合理分类讨论自变量的范围.２.１.２带有参数函数单调性的讨论通常ꎬ在含有参数的函数单调性问题中ꎬ应用二阶导数的解题思路与直接讨论函数单调性的解题思路相反ꎬ需要根据题干结论反推ꎬ分类讨论参数的取值范围.结合历年高考试题来看ꎬ真题中多是出现与对数㊁指数有关的函数ꎬ总体上来说ꎬ含参数函数单调性的主要解题思路为对带有对数㊁指数的函数进行化简ꎬ尽可能地使其表达式简洁㊁规整ꎬ之后再根据函数定义域ꎬ进行分类讨论.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１－ｅ－ｘꎬ当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１ꎬ求ａ的取值范围.这道题目的解决可以采用放缩代换法ꎬ这一方法对学生的思维能力㊁解题能力的要求比较高ꎬ部分学生是无法达到要求的[３].所以ꎬ可以尝试利用二阶导数ꎬ降低解题难度ꎬ提高解题准确率.那么针对问题②来说ꎬ可按照以下步骤进行解题:根据题意ｘȡ０ꎬｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１ꎬ显然ａ的取值范围不确定ꎬ所以要分成两种情况进行讨论.当ａ<０时ꎬ若ｘ>－１ａꎬ则ｘａｘ＋１<０ꎬ那么ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１不成立ꎻ当ａȡ０时ꎬａｘ＋１>０ꎬ由ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１移项可得ａｘ＋１()１－ｅ－ｘ()－ｘɤ０.此时ꎬ令ｇｘ()＝ａｘ＋１()１－ｅ－ｘ()－ｘꎬ则ｇᶄｘ()＝ｅ－ｘａｘ＋１－ａ()＋ａ－１ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ().根据题干ｘȡ０ꎬ当ａɪ０ꎬ１２[]时可判断出ｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()ɤ０ꎬ此时ｇᶄｘ()在定义域内是递减的ꎬｇᶄｘ()ɤｇᶄ０()＝０ꎬ则ｇｘ()单调递减ꎬｇｘ()ɤｇ０()＝０ꎬ可知原不等式成立.进一步分类讨论ａ的取值范围ꎬ若ａɪ１２ꎬ＋ɕæèçöø÷ꎬ２ａ－１>０ꎬ令ｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()＝０ꎬ计算可得ｘ＝２ａ－１ａꎬ当０<ｘ<２ａ－１ａꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()>０ꎬ此时ｇᶄｘ()在该区间上单调递增ꎬｇᶄｘ()>ｇᶄ０()＝０ꎬ则ｇｘ()在０ꎬ２ａ－１ａæèçöø÷上单调递增ꎬｇｘ()>ｇ(０)＝０ꎬ不符合题意ꎬ所以ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１不恒成立.所以ａɪ０ꎬ１２[].从这道题目的解析中能够看出ꎬ利用二次求导的方法判断函数单调性更高效ꎬ尤其在含有对数或指数的导函数中ꎬ二次求导更有利于判断导数符号ꎬ进而判断原函数的增减情况.２.２在函数极值问题中的应用一般地ꎬ函数极值问题可以按照确定函数定义域㊁求导㊁计算驻点㊁分析单调性㊁确定极值的步骤进行求解.如果需要利用二阶导数解题ꎬ当一阶导数为零ꎬ而二阶导数大于零时ꎬ所求的点为极小值点ꎻ当一阶导数为零ꎬ二阶导数小于零时ꎬ则所求的点为极大值点ꎻ当一阶㊁二阶导数均为零时ꎬ则所求得的点为驻点.概括地说ꎬ函数ｆ(ｘ)在点ｘ处具有二阶导数ꎬ且ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬｆᵡｘ()ʂ０ꎬ那么当ｆᵡ(ｘ)>０时ꎬ函数３５在点ｘ处取得极小值ꎻ当ｆᵡ(ｘ)<０时ꎬ函数在点ｘ处取得极大值.例３㊀已知函数ｆｘ()＝１２ｘ２－ｅｘ＋２ｘ－１ꎬ求函数ｆｘ()极值点的个数.分析㊀针对这道题目来说ꎬ若想求解函数极值点的个数ꎬ需要先判断函数的单调性.具体来说ꎬ其解题步骤为:ｆｘ()的定义域为Ｒꎬｆᶄｘ()＝ｘ－ｅｘ＋２ꎬ此时一阶导数的驻点及符号不好判断ꎬ因此构造函数ｇｘ()＝ｘ－ｅｘ＋２ꎬ求导可得ｇᶄｘ()＝１－ｅｘ.当ｘ<０时ꎬｇᶄｘ()>０ꎬ当ｘ>０时ꎬｇᶄｘ()<０ꎬ所以ｇｘ()在－ɕꎬ０()上单调递增ꎬ在０ꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬ即ｆᶄｘ()在－ɕꎬ０()上单调递增ꎬ在０ꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)ｍａｘ＝ｆᶄ０()＝１>０.又ｆᶄ－２()＝－ｅ－２<０ꎬｆᶄ２()＝４－ｅ２<０ꎬ则ｆᶄ－２() ｆᶄ０()<０ꎬｆᶄ０() ｆᶄ２()<０ꎬ由零点存在定理可知存在唯一的ｘ１ɪ－２ꎬ０()ꎬｘ２ɪ０ꎬ２()ꎬ使ｆᶄｘ１()＝ｆᶄｘ２()＝０ꎬ且当ｘɪ－ɕꎬｘ１()和ｘɪｘ２ꎬ＋ɕ()时ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ函数单调递减ꎻ当ｘɪｘ１ꎬｘ２()时ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ函数单调递增ꎬ故ｆｘ()在ｘ１处取得极小值ꎬ在ｘ２处取得极大值ꎬ即函数ｆｘ()的极值点的个数为２.从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导可以更好地判断原函数的单调性ꎬ进而得到函数的极值点情况ꎬ大大简化了解题的过程.２.３在函数的参数范围中的应用应用二次求导求解函数参数范围的关键是要根据函数满足的条件倒推ꎬ得到函数的单调性ꎬ并依据性质倒推参数范围.如果有必要ꎬ还应构造函数ꎬ进行推导㊁计算.例４㊀已知关于ｘ的不等式２ｌｎｘ＋２(１－ｍ)ｘ＋２ɤｍｘ２在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ则整数ｍ的最小值为(㊀㊀).分析㊀针对这道题目来说ꎬ因为２ｌｎｘ＋２(１－ｍ)ｘ＋２ɤｍｘ２ꎬ进行移项㊁化简可得到ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ.此时ꎬ构造函数ｆｘ()＝２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘꎬ求导可得ｆᶄｘ()＝－２ｘ＋１()ｘ＋２ｌｎｘ()ｘ２＋２ｘ()２ꎬ令ｆᶄｘ()＝０ꎬ则可得到ｘ＋２ｌｎｘ＝０.继续构造函数ꎬ令ｇｘ()＝ｘ＋２ｌｎｘꎬ对其求导可得到ｇᶄｘ()＝１＋２ｘꎬ当ｘɪ０ꎬ＋ɕ()ꎬｇᶄｘ()＝１＋２ｘ>０ꎬ则ｇ(ｘ)在ｘɪ０ꎬ＋ɕ()是单调递增函数.又ｇ１２æèçöø÷<０ꎬｇ１()>０ꎬ所以存在一个点ｔɪ１２ꎬ１æèçöø÷ꎬ满足ｔ＋２ｌｎｔ＝０ꎬ当０<ｘ<ｔ时ꎬｇ(ｘ)<０ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ则ｆｘ()在０ꎬｔ()上单调递增ꎻ当ｘ>ｔ时ꎬｇ(ｘ)>０ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ则ｆｘ()在ｔꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬｆ(ｘ)ｍａｘ＝２(ｌｎｔ＋ｔ＋１)ｔ２＋２ｔ＝１ｔ１ꎬ２().因为ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ所以ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ][ｍａｘꎬ故ｍȡ２ꎬ则整数ｍ的最小值为２[４].从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导判断参数的取值范围仍然需要分析导数与零之间的关系ꎬ不同的是要根据函数的最大值倒推参数.３结束语二次求导在函数问题的解决中有着极其重要的应用ꎬ教师应当加大专题教学的力度ꎬ力求学生能深入理解㊁掌握二次求导的方法ꎬ而且能够熟练应用二次求导解决各种函数难题.参考文献:[１]许国庆.二次求导在解题中的妙用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２２(１５):５０－５１.[２]白亚军.利用二次求导突破函数综合问题[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２０(０７):１５－１６.[３]毛芹.利用二次求导简化函数综合问题的策略[Ｊ].语数外学习(高中版中旬)ꎬ２０１９(０４):３９.[４]石家屹.小构造再求导大智慧:浅谈函数问题中二次求导的应用[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１８(０９):３６.[责任编辑:李㊀璟]４５。

高中数学二次求导经典例题

高中数学二次求导经典例题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，求导是一个非常重要的概念，而二次求导则是求导的一个更深入的概念。

二次求导的经典例题是一种常见的练习题目，通过这些例题，可以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

本文将为大家整理一些关于高中数学二次求导的经典例题，希望对大家的学习有所帮助。

1. 求函数y=x^3-2x^2+5x-7 的二次导数。

y'=3x^2-4x+5接下来，我们继续对一次导数进行求导，即求二次导数。

根据求导法则，我们有：y''=6x-4我们求得函数y=2x^4-3x^3+4x^2-5x+6 的一次导数。

根据求导法则，我们有：通过上面两个例题，我们可以看到，在求二次导数的过程中，我们需要先求得一次导数，然后再对一次导数进行求导，这样才能得到函数的二次导数。

求导是高中数学中的一个重要知识点，通过不断练习和理解，我们可以更好地掌握这一知识，从而在数学学习中取得更好的成绩。

希望以上例题对大家有所帮助，希望大家能够在数学学习中取得更好的成绩！第二篇示例：高中数学中的二次求导是一个重要的概念，在求解函数的极值、凹凸区间等问题时起着至关重要的作用。

在这篇文章中，我们将主要介绍高中数学中二次求导的经典例题，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

一、求函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-5的二次导数。

我们需要求出函数f(x)的一次导数。

根据求导公式，我们可以得到：f'(x)=6x^2-6x+4y'=3x^2+4x+3然后，我们再对一阶导数进行求导，即可得到函数y的二阶导数。

按照求导公式，我们可以计算得到：y''=6x+4接下来，将x=-1代入y''=6x+4中，即可求得函数y=x^3+2x^2+3x-1在x=-1处的二阶导数值为y''(x=-1)=6*(-1)+4=-2。

通过以上两个例题，我们可以看到，在进行二次求导的过程中，我们需要先求得一次导数，然后再对一次导数进行求导。

二次函数的导数与导数的应用

二次函数的导数与导数的应用二次函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学和实际生活中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的导数及其应用，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

1. 什么是二次函数的导数二次函数可用一般式表示为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 为常数，且a ≠ 0。

导数是函数在某一点上的变化率，也表示函数曲线在该点的切线斜率。

对于二次函数而言，其导数可以通过求导公式直接计算得出。

2. 求二次函数的导数公式要求二次函数 f(x) = ax² + bx + c 的导数，可以使用一般的求导规则。

根据求导公式，可以得到二次函数的导数为 f'(x) = 2ax + b。

3. 导数的意义及性质二次函数的导数具有以下重要的意义和性质：- 导数表示函数的变化率，即函数在某一点的瞬时变化速度。

- 导数的符号表示了函数的增减性。

当导数大于零时，函数递增；当导数小于零时，函数递减。

- 导数的绝对值代表了函数曲线的斜率大小。

4. 二次函数导数的图像分析通过分析二次函数的导数的图像，可以更直观地理解导数的性质。

以二次函数 f(x) = ax² + bx + c 为例，其导数图像可以绘制出以下几种情况：- 当导数 f'(x) > 0 时，函数 f(x) 递增，对应导数图像的斜率大于零的部分。

- 当导数 f'(x) < 0 时，函数 f(x) 递减，对应导数图像的斜率小于零的部分。

- 当导数 f'(x) = 0 时，函数 f(x) 达到极值点，对应导数图像的斜率为零的部分。

5. 导数在二次函数图像分析中的应用导数在分析二次函数的图像中有重要的应用，可以帮助我们判断函数的性质和特点。

以下是一些常见的应用场景：- 判断顶点坐标：由于二次函数的导数 f'(x) 的根即为函数曲线的拐点和极值点，因此可以通过求导并解方程，找到函数的顶点坐标。

高考数学专题解法：导函数中二次求导

高考数学专题解法：导函数二次求导问题第一部分：解法设计二次求导的条件：（Ⅰ）决定导函数的正负为指数函数与其他函数组成；例题：xe xf x 1)('-=；（Ⅱ）决定导函数的正负为对数函数与其他函数组成；例题：x x x f 2ln )('-=；（Ⅲ）决定导函数的正负为三角函数与其他函数组成；例题：x x x f -=sin )('。

题型描述：假设：函数)(x f 的导函数)()('x g x f =。

求解：函数)(x f 在区间],[n m x ∈上的单调性。

解法设计：第一种情况：当],[n m x ∈时：0)('>x g当],[n m x ∈时：0)('>x g ⇒当],[n m x ∈时：函数)(x g 单调递增。

第一种：0)(≥m g)()('x g x f =的图像如下图所示：当],[n m x ∈时：⇒≥0)('x f 当],[n m x ∈时：函数)(x f 单调递增。

第二种：0)(<m g ，0)(>n g)()('x g x f =的图像如下图所示：假设：],[0n m x ∈，0)('0=x f 。

如下表所示：第三种：0)(≤n g)()('x g x f =的图像如下图所示：当],[n m x ∈时：⇒≤0)('x f 当],[n m x ∈时：函数)(x f 单调递减。

第二种情况：当],[n m x ∈时：0)('<x g当],[n m x ∈时：0)('<x g ⇒当],[n m x ∈时：函数)(x g 单调递减。

第一种：0)(≥n g)()('x g x f =的图像如下图所示：当],[n m x ∈时：⇒≥0)('x f 当],[n m x ∈时：函数)(x f 单调递增。

第二种：0)(≤m g)()('x g x f =的图像如下图所示：第三种：0)(>n g ，0)(<m g)()('x g x f =的图像如下图所示：假设：],[0n m x ∈，0)('0=x f 。

函数二次求导的意义

函数二次求导的意义函数的二次求导在数学中具有重要的意义。

在微积分中，函数的一阶导数描述了函数的变化率，而函数的二阶导数则描述了这个变化率的变化率。

换句话说，二次求导可以告诉我们函数的曲率和凸凹性质。

让我们回顾一下一阶导数的定义。

对于一个函数f(x)，它的一阶导数f'(x)可以通过以下公式来计算：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h这个公式表示了当自变量x的变化量h趋近于0时，函数f(x)在x 点的变化率。

一阶导数告诉我们函数在每个点的斜率，从而可以帮助我们理解函数的变化趋势。

然而，一阶导数只能告诉我们函数的变化率，而无法提供更多的信息。

这时就需要二次导数登场了。

函数f(x)的二阶导数f''(x)可以通过对一阶导数f'(x)再次求导得到：f''(x) = lim(h->0) [f'(x+h) - f'(x)] / h二阶导数可以告诉我们函数的斜率的变化率。

如果二阶导数为正，那么函数在该点附近呈现凸起的形状；如果二阶导数为负，那么函数在该点附近呈现凹陷的形状。

通过观察函数的二阶导数，我们可以得知函数的凸凹性质。

举个例子，考虑函数f(x) = x^2。

该函数的一阶导数为f'(x) = 2x，二阶导数为f''(x) = 2。

我们可以发现，二阶导数恒为正，说明该函数在整个定义域上都是凸起的。

这与我们直观上对函数x^2的认知是相符的。

再举个例子，考虑函数f(x) = sin(x)。

该函数的一阶导数为f'(x) = cos(x)，二阶导数为f''(x) = -sin(x)。

我们可以发现，二阶导数在不同的位置上有正负变化，说明该函数在不同的位置上既有凸起的形状，又有凹陷的形状。

这与我们对正弦函数的直观认识是相符的。

除了凸凹性质，二次求导还能提供更多的信息。

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高考数学--导数中二次求导的运用
【理·2010全国卷一第20题】已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.
（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；
（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥
解析：先看第一问，首先由()(1)ln 1f x x x x =+-+可知函数()f x 的定义域为()0,+∞，易得()()
11ln 11ln f x x x x x x '=++-=+ 则由2'()1xf x x ax ≤++可知21ln 1x x x ax x ⎛
⎫+
≤++ ⎪⎝⎭，化简得 2ln x x x ax ≤+，
这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x ，而x 又大于零，所以两边同乘1x
可得ln x x a ≤+，所以有ln a x x ≥-，在对()ln g x x x =-求导有 ()11g x x
'=-，即当0＜x ＜1时，()g x '＞0，()g x 在区间()0,1上为增函数；当1x =时，()0g x =；当1＜x 时，()g x '＜0，()g x 在区间()1,+∞上为减函数。

所以()g x 在1x =时有最大值，即()()ln 11g x x x g =-≤=-。

又因为ln a x x ≥-，所以1a ≥-。

应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。

再看第二问。

要证(1)()0x f x -≥，只须证当0＜x 1≤时，()0f x ≤；当1＜x 时，()f x ＞0即可。

由上知()1ln f x x x
'=+
，但用()f x '去分析()f x 的单调性受阻。

我们可以尝试再对()1ln f x x x '=+求导，可得()211f x x x
''=-，显然当0＜x 1≤时，()0f x ''≤；当1＜x 时，()f x ''＞0，即()1ln f x x x '=+在区间()1,+∞上为减函数，所以有当0＜x 1≤时， ()()11f x f ''≥=，我们通过二次求导分析()f x '的单调性，得出当0＜x 1≤时()1f x '≥，则()f x 在区间(]0,1上为增函数，即()()10f x f ≤=，此时，则有(1)()0x f x -≥成立。

下面我们在接着分析当1＜x 时的情况，同理，当1＜x 时，()f x ''＞0，即()f x '在区间()1,+∞上为增函数，则()()11f x f ''≥=，此时，()f x 为增函数，所以()()10f x f ≥=，易得(1)()0x f x -≥也成立。

综上，(1)()0x f x -≥得证。

下面提供一个其他解法供参考比较。

解：（Ⅰ）()1ln f x x x '=+
，则()ln 1xf x x x '=+ 题设2'()1xf x x ax ≤++等价于ln x x a -≤。

令()ln g x x x =-，则()11g x x
'=-。

当0＜x ＜1时，()g x '＞0；当1x ≥时，()0g x '≤，1x =是()g x 的最大值点，所以 ()()11g x g ≤=-。

综上，a 的取值范围是[)1,-+∞。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()()11g x g ≤=-，即ln 10x x -+≤。

当0＜x ＜1时，()()1ln ln 1ln ln 1f x x x x x x x x x ⎛
⎫=+-+=++- ⎪⎝⎭
11ln ln 10x x x x ⎛
⎫=--+≤ ⎪⎝⎭
因为1x -＜0，所以此时(1)()0x f x -≥。

当1x ≥时，()()11ln ln 1ln ln
10f x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+=--+≥ ⎪⎝⎭。

所以(1)()0x f x -≥
比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。

不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！
【理·2010安徽卷第17题】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x R =-+∈。

（Ⅰ）求()f x 的单调区间与极值；
（Ⅱ）求证：当a ＞ln21-且x ＞0时，x e ＞221x ax -+。

解析：第一问很常规，我们直接看第二问。

首先要构造一个新函数()221x g x e x ax =-+-，如果这一着就想不到，那没辙了。

然后求导，结果见下表。

()22x g x e x a '=-+，继续对()g x '求导得()2x g x e ''=-
由上表可知()()ln 2g x g ''≥，而
()()ln2ln 22ln 2222ln 222ln 21g e a a a '=-+=-+=-+，由a ＞ln21-知 ()ln 2g '＞0，所以()g x '＞0，即()g x 在区间()0,+∞上为增函数。

于是有()g x ＞()0g ，而()02
002010g e a =-+⨯-=，故()g x ＞0，即当a ＞ln21-且x ＞0时，x e ＞2
21x ax -+。