导数中的二次求导问题

二次函数的求导与导数应用

二次函数的求导与导数应用二次函数是指函数的形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b 和c为常数且a ≠ 0。

在数学中，二次函数是一种重要的函数类型，它在经济学、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的求导方法以及导数在实际问题中的应用。

一、二次函数的求导方法二次函数的导数求解较为简单，我们可以根据导数的定义以及基本求导法则来进行求解。

假设二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b 和c为常数。

首先，根据求导法则可知，常数函数的导数为0，即d(c)/dx = 0。

因此，常数项c对函数f(x)的导数没有影响。

其次，根据乘法法则可知，对任意常数k，导数满足d(kf(x))/dx = k * d(f(x))/dx。

因此，在求解二次函数的导数时，我们可以将常数项提取出来。

即f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b，其中2a为二次项的系数。

综上所述，二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的导数为f'(x) = 2ax + b，其中a为二次项的系数。

二、导数在实际问题中的应用导数在实际问题中具有广泛的应用，下面将介绍导数在二次函数相关问题中的具体应用。

1. 极值点的判定对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0，可以通过求导并令导数为0的方法来判定函数的极值点。

具体地，当f'(x) = 2ax + b = 0时，可以求解得到x = -b / (2a)。

将该值代入函数f(x)中可以得到相应的y值，即为函数的极值点。

2. 函数的单调性二次函数的单调性可以通过导数的正负来判断。

当导数f'(x) > 0时，表示函数递增；当导数f'(x) < 0时，表示函数递减。

利用导数的正负可以确定二次函数在不同区间上的单调性。

3. 曲线的凹凸性曲线的凹凸性可以通过导数的变号来判断。

巧用二次求导解决函数单调性和极值问题

2
g ( x) 2(1 x) ln(1 x) x 2x
g ' ( x) 2 ln(1 x) 2 x
2x [ g ' ( x)]' 1 x
ห้องสมุดไป่ตู้型例题讲解
当当
1 x 0时， [ g ' ( x)]' 0, g ' ( x)在（ 1,0）上是增函数； x 0 时 [ g ' ( x)]' 0, g ' ( x)在（ 0，）上为减函数 .
f ( x ) 的单调递增区间是 (1,0) ，递减区间是 (0,) .
典型例题讲解

例题2、设函数 f x e 1 x ax
x
2
（Ⅰ）若 a
0求 f
x 的单调区间；
（Ⅱ）若当 x
0时，f x 0。求 a的取值范围。

2 0, （2）、解：当 a＜ 0时，在区间上显然 ax 0 ，综上(1) x 2 0, f x e 1 x ax 0 成立。故 a＜ 0满足可得在区间上
x
x x g x e 2x 2a g x e 2
0,ln 2
g x
——
ln 2 0
ln 2,
+
增
g x
减
极小值
典型例题讲解

g ln 2 eln 2 2ln 2 2a 2 2ln 2 2a 2 a ln 2 1
2
典型例题讲解

例题3、已知函数 f ( x) ( x 1) ln x x 1 . 2 （Ⅰ）若 xf '( x) x ax 1 ，求 a 的取值范围；（Ⅱ）证明：( x 1) f ( x) 0 解：第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。采用分离参数法解决恒成立问题就行了。而第二问是属于运用导数工具证明不等式问题。用 f x 去分析 f x 的单调性受阻。

导数中的二次求导问题

2019高考数学热点难点突破技巧第03讲：导数中的二次求导问题【知识要点】1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高考考查的重点，也是难点和必考点.利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导”，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题• “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径•【方法讲评】【例1】（理・2010全国卷I第20题）已知函数' .（I）若「一「宀厂〔求；的取值范围；（H）证明：'■【解析】由于⑴二（卄L）Sr+1可知函数/V）的定义域为易得Z（v）= ln,v^（x+l）--l=lnA+lX Xr /' Il i则由h d）< ” +n.v+ 冋知x' tn - < f + ov + L化简得二;L…，丄所以两边同乘••可得工卞兰汎一二，所以有二三二厂一丁，在对二_ '求导有= J即当0＜工＜1时，£⑴〉0, 区（刃在区间上为增函数；当云二1时,GF U O；当I v K时，叫刘＜0, 在区间（JZ上为减函数.所以•'在応—1时有最大值，即L■■- -;j:- - - - 1: 1.又因为丄二丄.1 •:，所以J工一［（2）要证只殒证当0＜斗幻时』/（x）＜0}当T＞1B寸』即可.由上Sn/{jf）= lnx+-,再对y（x） = ln A -F—求导'设g（x） = ln^+-,则0（力二丄一^ 二匕丿，显X TA AT y" X然当O＜MI时，如5 当el时,ffV-）＞o7 Hp ff（x）=hix+1 在区间（o.i）l MMW 所以有当0＜.v＜l时』^fx）＞-11） = 1 ,所決当0＜K G时八兀比"0』则亢"在区间01］上为増函数』gn/（.v）＜/（i）=o,临£贝q有u-ii/a沦o成茁当八匚时，同理，当—厂时，一 '＞■,即」'■在区间一上为增函数，则此时，/（H）为增函数，所以，何之/（】）=°，易得也成立•综上得证.方法二：（（I）八gin工+ ：,则右幼+阮+ 1题设m 2 +曲+ 1等价于hi x-x＜a.令訴真,则思內工当〔＜：：＜〔时，・'^ ；当疋时，=：「一一，疋匚】是—的最大值点，所以£（力盂g（l）=・l综上，二的取值范围是-一 .7：.( 1 ]j ix)=lnx-F(xlnz-j^l) = lnx4*x In r+—1IJ= lnz-zfln--- + l <0因为上■< 0,所以此时■；「-x+l)=lnx-A[ln--- + l|>0 \ x J(x-ivw>o【点评】（i ）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂, 自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出 •（ 2）大家一定要理解二次求导的使用情景，是一次求导得到 -■' 之后，一'•’「一解答难度较大甚至解不出来（3）二次求导之后，设 — ■'，再求「一，求出的解，即得到函数--J-'的单调性，得到函数二八的最值，即可得到-■二的正负情况，即可得到函数【例2】设函数'' ' 11' ' ' '•（I ）若|：-'-在点处的切线为・-卩，求八的值；（n ）求八7的单调区间; （川）若厂，求证：在「时」-“尸f _ 1 -们【解析】（I ）：「廿亠二［-' =丄''， •••」八在点处的切线为L 叮十7，即i 在点的切线的斜率为芒，(□)由(I) 知,= -1，即i n J -J +1 <0 .<〔时，/ (z ) =ln x4-(rlnz当上二•时，思路来得2将切点代入切线方程・一=7_；，得：•一所以"，—匕；（【I）由（I ）加= =^（.¥>0）,下面对盒的正员情况曲亍讨X X（ra^<ofl寸，r（^<o*（o, d 上恒成土m/（.v）在（o,険）上单雌威；②当心w 『（廿在（0丄）上单调递癘川工）在（丄，皿）上单调递増孑a c综上所述』当心0时，于仕）的单调递减区间为W,山儿些心0时，孑⑴的单调递馮区间为卩丄” /（£的里趣詹区间为（—+巧』a a（出）… /懐）=盘工_ 2T D工（肚g R） g〔x）三处_护•••要证：当工匸:-时，匚• i •〉」「-,即证：，」匚_：「，令山住）三計一In賣-2讥 > 可，则只需证：方Uhin > 0，衬⑴二才一丄^-1>0 *-1沪0由于•’，（由于不等式•；是超越不等式，所以此处解不等式丄解答不出，所以要构造函数二次求导.）七⑸二/_2（工n0） ■ HxXJ*丄：>0设. ' 上”所以函数在■ ■' 1"" 单调递增，又因为内存在唯一的零点, 即'：；；在-…丁）内存在唯一的零点，设这个零点为所以2,•••切点为--,（这个雾点#垮点的区间找到很关键很重更必须找到，直接关系到拝（©的单调性和hg"Fjf以丹3在（打）內存在唯一的雲冃即厅（Q在①十巧内存在唯一的零点，设这个雲点为心昆卩j 3则/--= 0 :.e1=-（| J fifi以方CQ胚®0罡涮画数，在（『严h）是增函埶f t 3PMA 力（；0 工-=7<f）=tf f-lnr-2 = --ln4-- = -+^--^--^ = Or e r故等号不成立，二"⑺九址A（h即当:VA O时，/（A-）>g（x）.-1 >0 别⑴二/一丄沁【点评】（1）由于不等式“是超越不等式，所以不等式亠解答不出，所以要构造函数二次求导•这是要二次求导的起因• （2）仅得到函数「：•“在单调递增是不够的，因为此时：："「’ l，所以；-：1甘，所以.■<的单调性还是不知道，所以无法求一’.所以必须找到这个零点和零点所在区间，这个零点和零点的区间找到很关键很重要，直接关系到••丿的单调性和…」■-1-.【反馈检测1】【2017课标II，理】已知函数‘‘亠丄丄，且....!_ -.⑴ 求出；⑵ 证明：存在唯一的极大值点°,且；，''：.【反馈检测2】已知函数/：/' 宀R在点处的切线方程为z- 2y-2 = 0/（x）+ - <0（1）求― 的值；（2）当—时，- 恒成立，求实数的取值范围；1 1 1 捕—M—2_ •- --- 十----H ----- H ----- > ------ 2 ------（3）证明：当兀E N，且冷工己时，21口2 ?1口3 泌n附加+2科.高考数学热点难点突破技巧第 03讲:导数中二次求导问题参考答案【反馈检测1答案】（1）二；（2）证明略.【反馈检测1详细解析】（1） *「丿的定义域为'1'■：设并”…・讪，则『历二殆⑴J 讨＞ o 等价于訂” “呂（1）=山 & E ＞ 0, （1 1=4 而鼠‘杠 || = H - 丄「計'1 |=£2 - lr 得血=1因为若"1,则'、_「当时，—「― I 单调递减；当八：时，」「〉 o , -「单调递增.所以■■ = ■-是二一‘：的极小值点，故--:-，综上1.2 -由（1/ 知 F I 不 I =才一拓一芒 In 简 £r （^r ） = Z Y — 2 - ・设加职=- 2 - 111胳则笊胡=2 -—x11、 1、 f T当用「G 「时打胡V0 j 当X 益了，+« ；时，打* ＞0」所以血石I 在Q 「单调递减，在齐P I 单调逼増1 ' —r +co，在段丿有唯一零因为’「 T'；,所以二二是「■ ■的唯一极大值点【反馈检测2详细解析】（1）解：•••「'一亠—_"：1fl_.11•••直线工6-2 = 0的斜率为龙，且过点I 2丿,又—r n叽AT点1,且当■- 11■'时,「一；当―（%1）时，匕）＜0，当 JT E门坨)=Ofl- In唤・山故巩斗）■¥・％）因为h 二心是在（0,1 ）的最大值点，由，所以严心）＜2"【反馈检测2答案】 (1)£1； ( 2)(1 -00 一I 2；（3）见解析.，所以’ 有唯一零点"，由’•(2) 解法“由(1)得 f(x)=lnx^.* v jr ¥■* 当兀》1时，/（力+ —二^恒成立，^ln.v-- + -<0,等价于上艺一一工也厂x 2. x 1令总(x) =--xlnx f 则『(x) =x-(lnx + l) = :v-4-hif ,] 兀一令飆pE-u ,则血m-〒二当“j 时，「， ■ 1,函数：「在—「上单调递增，故•• u 「_ I从而，当-1时，—"亠，即函数 ■''在.二上单调递增，故■' '■' 1-.k - xln Ai < -因此，当时，-恒成立，则 -.（11-00, _ •••所求丘的取值范围是I 2-./(x) = lnx--解法2:由(1得一-.y (+— < oiti^ — — + — <o当f 1时，'■■ 恒成立，即]丄恒成立.$ 、 .K k打 \ I 1 上J 3 -2x+2t呂⑴=1“-亍一 g (X ] = _--—令2 葢，贝yx 2 x2x方程「暑 -< '■ (*)的判别式1-'< .（i ）当 _」，即.[时，则•；、1 时，〃二-■-< '■，得「’、- 故函数■•在 "'上单调递减1- 2_ -h 1- 2 --1lr竄⑴二一一+比=氏琴（2）二 In 2 — 1* — a 0 由于- 二 _-故函数—在―「上单调递减，则-- 1''，符合题意.（mi J >O ,寸，方程 ⑷ 的两根为工产1-JT 丟弋1也=1十旷丟汀』dia则咒貞 1丹）时,ff r （x ）>0, XEf^.-Ko^rJ,故函数凶力往（1应I 上单调递増，在也h 却上单调递减, V i~从Jt 圉数小貂在角4沁）上的最大值为列列=由站-丸亠壬.2 為 g (眄)二也勺一 =+ — <ltuc 2-2 /（11 -C0,-综上所述，疋的取值范围是I 2-.-■|. — 1In --I-——< 0j^lri x < --------（3）证明：由（2）得，当a 时，-二，可化为二12 11---- > ——二 ------- - ---- 又 xl 门庄 >。

二次求导问题

二次求导问题导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容．近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现． [典例] 若函数f (x )＝sin x x，0<x 1<x 2<π. 设a ＝f (x 1)，b ＝f (x 2)，试比较a ，b 的大小． [思路点拨]此题可联想到研究函数f (x )＝sin x x在(0，π)的单调性．函数图象虽然可以直观地反映出两个变量之间的变化规律，但大多数复合的函数作图困难较大．导数的建立拓展了应用图象解题的空间．导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供了简单、程序化的方法，具有很强的可操作性．当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0时，函数f (x )单调递减．[方法演示]解：由f (x )＝sin x x ，得f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，设g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′(x )＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x .∵0<x <π，∴g ′(x )<0，即函数g (x )在(0，π)上是减函数．∴g (x )<g (0)＝0，因此f ′(x )<0，故函数f (x )在(0，π)是减函数，∴当0<x 1<x 2<π，有f (x 1)>f (x 2)，即a >b .[解题师说]从本题解答来看，为了得到f (x )的单调性，须判断f ′(x )的符号，而f ′(x )＝x cos x －sin x x 2的分母为正，只需判断分子x cos x －sin x 的符号，但很难直接判断，故可通过二次求导，判断出一次导函数的符号，并最终解决问题．[应用体验]1．已知函数f (x )满足f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，求f (x )的解析式及单调区间．解：因为f (x )＝f ′(1)e x －1－f (0)x ＋12x 2，所以f ′(x )＝f ′(1)e x －1－f (0)＋x . 令x ＝1，得f (0)＝1. 所以f (x )＝f ′(1)e x －1－x ＋12x 2，所以f (0)＝f ′(1)e －1＝1，解得f ′(1)＝e. 所以f (x )＝e x －x ＋12x 2.设g (x )＝f ′(x )＝e －1＋x ，则g ′(x )＝e ＋1>0，所以y ＝g (x )在R 上单调递增．因为f ′(0)＝0，所以f ′(x )>0＝f ′(0)⇔x >0，f ′(x )<0＝f ′(0)⇔x <0.所以f (x )的解析式为f (x )＝e x －x ＋12x 2，且单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0).[典例] (1)若x ＝23为y ＝f (x )的极值点，求实数a 的值； (2)若y ＝f (x )在[1，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝－1时，方程f (1－x )－(1－x )3＝b x有实根，求实数b 的取值范围． [方法演示]解：(1)f ′(x )＝a ax ＋1＋3x 2－2x －a . 由题意，知f ′⎝⎛⎭⎫23＝0，所以a 23a ＋1＋43－43－a ＝0，解得a ＝0. 当a ＝0时，f ′(x )＝x (3x －2)，从而x ＝23为y ＝f (x )的极值点． (2)因为f (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x )＝a ax ＋1＋3x 2－2x －a ＝x [3ax 2＋(3－2a )x －(a 2＋2)]ax ＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立．当a ＝0时，f ′(x )＝x (3x －2)，此时f (x )在[1，＋∞)上为增函数恒成立，故a ＝0符合题意；当a ≠0时，由ax ＋1>0对x >1恒成立，知a >0.所以3ax 2＋(3－2a )x －(a 2＋2)≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝3ax 2＋(3－2a )x －(a 2＋2)，其对称轴为x ＝13－12a ，因为a >0，所以13－12a <13，所以g (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以只需g (1)≥0即可，即－a 2＋a ＋1≥0，解得0<a ≤1＋52. 综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋52. (3)由已知得，x >0，∴b ＝x (ln x ＋x －x 2)＝x ln x ＋x 2－x 3.令g (x )＝x ln x ＋x 2－x 3，则g ′(x )＝ln x ＋1＋2x －3x 2.令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝1x ＋2－6x ＝－6x 2－2x －1x. 当0<x <1＋76时，h ′(x )>0，∴函数h (x )＝g ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋76上递增；又g ′(1)＝0，∴存在x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋76，使得g ′(x 0)＝0. 当0<x <x 0时，g ′(x )<0，∴函数g (x )在(0，x 0)上递减；当x 0<x <1时，g ′(x )>0，∴函数g (x )在(x 0,1)上递增；当x >1时，g ′(x )<0，∴函数g (x )在(1，＋∞)上递减．又当x →＋∞时，g (x )→－∞.又g (x )＝x ln x ＋x 2－x 3＝x (ln x ＋x －x 2)≤x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋14，当x →0时，ln x ＋14<0，则g (x )<0，且g (1)＝0， ∴b 的取值范围为(－∞，0]．[解题师说]本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(3)问要求参数b 的范围问题，实际上是求g (x )＝x (ln x ＋x －x 2)极值问题，问题是g ′(x )＝ln x ＋1＋2x －3x 2＝0这个方程求解不易，这时我们可以尝试对h (x )＝g ′(x )再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法．(文)已知函数f (x )＝e x －x ln x ，g (x )＝e x －tx 2＋x ，t ∈R ，其中e 为自然对数的底数．(1)求函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若g (x )≥f (x )对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，求t 的取值范围．[方法演示]解：(1)由f (x )＝e x －x ln x ，知f ′(x )＝e －ln x －1，则f ′(1)＝e －1，而f (1)＝e ，则所求切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ＋1.(2)∵f (x )＝e x －x ln x ，g (x )＝e x －tx 2＋x ，t ∈R ，∴g (x )≥f (x )对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立等价于e x －tx 2＋x －e x ＋x ln x ≥0对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，即t ≤e x ＋x －e x ＋x ln x x 2对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立．令F (x )＝e x ＋x －e x ＋x ln x x 2，则F ′(x )＝x e x ＋e x －2e x －x ln x x 3＝1x2⎝⎛⎭⎫e x ＋e －2e xx －ln x ，令G (x )＝e x＋e －2e x x －ln x ，则G ′(x )＝e x －2(x e x －e x )x 2－1x ＝e x (x －1)2＋e x －x x 2＞0对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立．∴G (x )＝e x＋e －2e xx －ln x 在(0，＋∞)上单调递增，且G (1)＝0，∴当x ∈(0,1)时，G (x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，G (x )＞0，即当x ∈(0,1)时，F ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＞0，∴F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴F (x )≥F (1)＝1，∴t ≤1，即t 的取值范围是(－∞，1]．[解题师说]本题从题目形式来看，是极其常规的一道导数考题，第(2)问要求参数t 的范围问题，实际上是求F (x )＝e x ＋x －e x ＋x ln x x 2极值问题，问题是F ′(x )＝1x 2e x ＋e －2e x x－ln x 这个方程求解不易，这时我们可以尝试对G (x )＝F ′(x )再一次求导并解决问题．所以当导数值等于0这个方程求解有困难，考虑用二次求导尝试不失为一种妙法．[应用体验]2．设k ∈R ，函数f (x )＝e x －(1＋x ＋kx 2)(x >0)．(1)若k ＝1，求函数f (x )的导函数f ′(x )的极小值；(2)若对任意的t >0，存在s >0，使得当x ∈(0，s )时，都有f (x )<tx 2，求实数k 的取值范围．解：(1)当k ＝1时，函数f (x )＝e x －(1＋x ＋x 2)，则f (x )的导数f ′(x )＝e x －(1＋2x )，令g (x )＝f ′(x )，则g ′(x )＝e x －2，当0<x <ln 2时，g ′(x )<0；当x >ln 2时，g ′(x )>0，从而f ′(x )在(0，ln 2)上递减，在(ln 2，＋∞)上递增．故导数f ′(x )的极小值为f ′(ln 2)＝1－2ln 2.(2)对任意的t >0，记函数F (x )＝f (x )－tx 2＝e x －[1＋x ＋(k ＋t )x 2]，x >0，根据题意，存在s >0，使得当x ∈(0，s )时，F (x )<0. 易得F (x )的导数F ′(x )＝e x －[1＋2(k ＋t )x ]，令h (x )＝F ′(x )，则h ′(x )＝e x －2(k ＋t )．①若h ′(x )≥0，注意到h ′(x )在(0，s )上递增，故当x ∈(0，s )时，h ′(x )>h ′(0)≥0，于是F ′(x )在(0，s )上递增，则当x ∈(0，s )时，F ′(x )>F ′(0)＝0，从而F (x )在(0，s )上递增．故当x ∈(0，s )时，F (x )>F (0)＝0，与已知矛盾；②若h ′(x )<0，因为h ′(x )在(0，s )上连续且递增，故存在s >0，使得当x ∈(0，s )，h ′(x )<0，从而F ′(x )在(0，s )上递减，于是当x ∈(0，s )时，F ′(x )<F ′(0)＝0，因此F (x )在(0，s )上递减．故当x ∈(0，s )时，F (x )<F (0)＝0，满足已知条件．综上所述，对任意的t >0，都有h ′(x )<0，所以1－2(k ＋t )<0，即k >12－t ，故实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12－t ，＋∞.[典例] 证明当x >0时，sin x >x －x 6. [方法演示]证明：令f (x )＝sin x －x ＋x 36，则f ′(x )＝cos x －1＋x 22，所以f ″(x )＝－sin x ＋x . 易知当x >0时，sin x <x ，所以在(0，＋∞)上f ″(x )>0，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(0)＝0，所以在(0，＋∞)有f ′(x )>f ′(0)＝0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．故当x >0时，f (x )＝sin x －x ＋x 36>f (0)＝0. 所以sin x >x －x 36(x >0)．[解题师说]本题是应用导数证明不等式．证明的关键在于构造适当的函数，然后在相应区间上用二次求导的方法判定导数的符号，得到导函数的单调性，再利用单调性证明不等式．[应用体验]3．(2018·西安八校联考)已知函数f (x )＝m e x －ln x －1.(1)当m ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)当m ≥1时，证明：f (x )>1.解：(1)当m ＝0时，f (x )＝－ln x －1，则f ′(x )＝－1x，所以f (1)＝－1，f ′(1)＝－1. 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(－1)＝－(x －1)，即x ＋y ＝0.(2)证明：当m ≥1时，f (x )＝m e x －ln x －1≥e x －ln x －1.要证f (x )>1，只需证e x －ln x －2>0. 设g (x )＝e x －ln x －2，则g ′(x )＝e x －1x. 设h (x )＝e x －1x ，则h ′(x )＝e x ＋1x 2>0. 所以函数h (x )＝g ′(x )＝e x －1x在(0，＋∞)上单调递增．因为g ′⎝⎛⎭⎫12＝e 12－2<0，g ′(1)＝e －1>0，所以函数g ′(x )＝e x －1x在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1. 因为g ′(x 0)＝0，所以e x 0＝1x 0，即ln x 0＝－x 0. 当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，所以当x ＝x 0时，g (x )取得极小值也是最小值g (x 0)．故g (x )≥g (x 0)＝e x 0－ln x 0－2＝1x 0＋x 0－2>0. 综上可知，当m ≥1时，f (x )>1.证明：设f (x )＝1＋x ln(x ＋1＋x 2)－1＋x 2，∵f ′(x )＝ln(x ＋1＋x 2)＋x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1＋x 2x ＋1＋x 2－x 1＋x 2＝ln(x ＋1＋x 2)，设h (x )＝f ′(x )，则h ′(x )＝1＋x1＋x 2x ＋1＋x 2＝1＋x 2＋x 1＋x 2(x ＋1＋x 2)＝11＋x2>0，所以f ′(x )在(－∞，＋∞)上是增函数．由f ′(x )＝0，即ln(x ＋1＋x 2)＝0，得x ＝0.所以当x <0时，f ′(x )<0，则f (x )在(－∞，0)上为减函数；当x >0时，f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上为增函数．故f (x )在x ＝0处有极小值，所以f (x )≥f (0)＝0，即1＋x ln(x ＋1＋x 2)≥1＋x 2.(文)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －ax ，当x 0∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝1ex －e. (1)求a 的值；(2)求证：函数f (x )在定义域内单调递增．解：(1)由题意，得f ′(x )＝ln x ＋1x＋1－a ，所以函数f (x )的图象在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，即y －(x 0＋1)ln x 0＋ax 0＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a (x －x 0)，即y ＝⎝⎛⎭⎫ln x 0＋1x 0＋1－a x ＋ln x 0－x 0－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e ，x 0－ln x 0＋1＝e.令g (x )＝x －ln x ＋1，则g ′(x )＝1－1x ＝x －1x ，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＞0，故当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递增．又因为g (e)＝e ，所以x 0＝e ，将x 0＝e 代入ln x 0＋1x 0＋1－a ＝1e，得a ＝2. (2)证明：由a ＝2，得f ′(x )＝ln x ＋1x －1(x >0)．令h (x )＝ln x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2. 当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故当x ∈(0,1)时，h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )单调递增，故h (x )≥h (1)＝1.因此当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＝h (x )－1≥0，当且仅当x ＝1时，f ′(x )＝0.所以f (x )在定义域内单调递增．2．已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28……为自然对数的底数．设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值．解：由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ∈(0,1)．当g ′(x )<0时，0≤x <ln 2a ；当g ′(x )>0时，ln 2a <x ≤1，所以函数g (x )在区间[0，ln 2a )上单调递减，在区间(ln 2a,1]上单调递增，于是g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln 2a )＝2a －2a ln 2a －b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln 2a )＝2a －2a ln 2a －b ；当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . 3．已知函数F (x )＝e x ＋sin x －ax ，当x ≥0时，函数y ＝F (x )的图象恒在y ＝F (－x )的图象上方，求实数a 的取值范围．解：设φ(x )＝F (x )－F (－x )＝e x －e －x ＋2sin x －2ax . 则φ′(x )＝e x ＋e －x ＋2cos x －2a . 设S (x )＝φ″(x )＝e x －e －x －2sin x . ∵S ′(x )＝e x ＋e －x －2cos x ≥0在x ≥0时恒成立，∴函数S (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴S (x )≥S (0)＝0在x ∈[0，＋∞)时恒成立，因此函数φ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，∴φ′(x )≥φ′(0)＝4－2a 在x ∈[0，＋∞)时恒成立．当a ≤2时，φ′(x )≥0，∴φ(x )在[0，＋∞)单调递增，即φ(x )≥φ(0)＝0. 故a ≤2时F (x )≥F (－x )恒成立．当a >2时，φ′(x )<0，又∵φ′(x )在[0，＋∞)单调递增，∴存在x 0∈(0，＋∞)，使得在区间[0，x 0)上φ′(x )<0. 则φ(x )在[0，x 0)上递减，而φ(0)＝0，∴当x ∈(0，x 0)时，φ(x )<0，这与F (x )－F (－x )≥0对x ∈[0，＋∞)恒成立不符，∴a >2不合题意．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．4．(2018·长沙模拟)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝a x，a 为实常数． (1)设F (x )＝f (x )－g (x )，当a >0时，求函数F (x )的单调区间；(2)当a ＝－e 时，直线x ＝m ，x ＝n (m >0，n >0)与函数f (x )，g (x )的图象共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．求证：(m －1)(n －1)<0.解：(1)F (x )＝e x －a x ，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．而F ′(x )＝e x ＋a x 2，当a >0时，F ′(x )>0，故F (x )的单调递增区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：因为直线x ＝m 与x ＝n 平行，故该四边形为平行四边形等价于f (m )－g (m )＝f (n )－g (n )且m >0，n >0，m ≠n .当a ＝－e 时，F (x )＝f (x )－g (x )＝e x ＋e x，则F ′(x )＝e x －e x 2. 设h (x )＝F ′(x )＝e x －e x 2(x >0)，则h ′(x )＝e x ＋2e x 3>0，故F ′(x )＝e x －e x 2在(0，＋∞)上单调递增．又F ′(1)＝e －e ＝0，故当x ∈(0,1)时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增，而F (m )＝F (n )，故0<m <1<n 或0<n <1<m ，所以(m －1)(n －1)<0.。

高中数学导数多次求导难题及解法

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(完整版)导数中的二次求导问题

2019高考数学热点难点突破技巧第03讲：导数中的二次求导问题【知识要点】1、高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高考考查的重点，也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导”，不能求出原函数的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径.【方法讲评】【例1】(理·2010全国卷Ⅰ第20题)已知函数. （Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）证明：化简得，所以两边同乘可得，所以有，在对求导有，即当＜＜时，＞0，在区间上为增函数；当时，；当＜时，＜0，在区间上为减函数.所以在时有最大值，即.又因为，所以.当时，同理，当时，＞，即在区间上为增函数，则，此时，为增函数，所以，易得也成立.综上，得证.方法二：（Ⅰ），则题设等价于. 令，则.当＜＜时，＞；当时，，是的最大值点，所以.综上，的取值范围是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，即.当＜＜时，因为＜0，所以此时.当时，. 所以【点评】（1）比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出.（2）大家一定要理解二次求导的使用情景，是一次求导得到之后，解答难度较大甚至解不出来. （3）二次求导之后，设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性.【例2】设函数（Ⅰ）若在点处的切线为，求的值；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）若，求证：在时，＞．【解析】（Ⅰ）∵∴，∵在点处的切线为，即在点的切线的斜率为，∴，∴，∴切点为，将切点代入切线方程，得，所以，；（Ⅲ）∵，，∴要证：当时，＞，即证：，令，则只需证：，由于，（由于不等式是超越不等式,所以此处解不等式解答不出，所以要构造函数二次求导.）设所以函数在单调递增，又因为.所以在内存在唯一的零点，即在内存在唯一的零点，设这个零点为.【点评】（1）由于不等式是超越不等式,所以不等式解答不出，所以要构造函数二次求导.这是要二次求导的起因. （2）仅得到函数在单调递增是不够的，因为此时，所以，所以。

二次求导问题【范本模板】

二次求导问题导数既是高中数学的一个重要内容，又是高考的一个必考内容．近几年高考中，出现了一种新的“导数”，它是对导函数进行二次求导而产生的新函数，尤其是近几年作为高考的压轴题时常出现．利用二次求导求函数的单调性［典例］ 1212［思路点拨］此题可联想到研究函数f (x ）＝错误!在（0，π）的单调性．函数图象虽然可以直观地反映出两个变量之间的变化规律，但大多数复合的函数作图困难较大．导数的建立拓展了应用图象解题的空间．导数这个强有力的工具对函数单调性的研究提供了简单、程序化的方法,具有很强的可操作性．当f ′(x ）〉0时，函数f （x )单调递增；当f ′(x )<0时，函数f （x )单调递减．［方法演示］解：由f (x )＝错误!，得f ′（x )＝错误!,设g (x )＝x cos x －sin x ，则g ′（x ）＝－x sin x ＋cos x －cos x ＝－x sin x .∵0〈x <π，∴g ′（x ）<0，即函数g (x ）在（0，π)上是减函数．∴g （x )<g （0）＝0，因此f ′（x )<0,故函数f （x ）在(0，π）是减函数，∴当0〈x 1<x 2〈π,有f (x 1）>f （x 2），即a >b 。

[解题师说］从本题解答来看，为了得到f (x )的单调性，须判断f ′(x )的符号，而f ′（x ）＝错误!的分母为正，只需判断分子x cos x －sin x 的符号，但很难直接判断,故可通过二次求导,判断出一次导函数的符号，并最终解决问题．[应用体验］1．已知函数f (x ）满足f （x )＝f ′（1）e x －1－f (0)x ＋12x 2，求f （x )的解析式及单调区间．解：因为f （x )＝f ′（1)e x －1－f （0)x ＋错误!x 2，所以f ′（x )＝f ′（1)e x －1－f (0)＋x 。

2020届高三数学之函数与导数(文理通用)二次求导函数处理(二阶导数)(解析版)

专题03 二次求导函数处理（二阶导数）一、考情分析1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。

利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。

本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。

3、解决这类题的常规解题步骤为： ①求函数的定义域；②求函数的导数)('x f ，无法判断导函数正负； ③构造求)(')(x f x g =，求'(x)g ； ④列出)(),(',x g x g x 的变化关系表； ⑤根据列表解答问题。

二、经验分享方法二次求导使用情景对函数()f x 一次求导得到()f x '之后，解不等式()0()0f x f x ''><和难度较大甚至根本解不出.解题步骤设()()g x f x '=，再求()g x '，求出()0()0g x g x ''><和的解，即得到函数()g x 的单调性，得到函数()g x 的最值，即可得到()f x '的正负情况，即可得到函数()f x 的单调性.三、题型分析(一) 利用二次求导求函数的极值或参数的范围例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）已知关于x 的不等式()22ln 212x m x mx +-+≤在()0,∞上恒成立，则整数m 的最小值为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B ．【解析】【第一种解法（排除法）（秒杀）】：令1=x 时，m m ≤+⨯-+21)1(21ln 2化简：34≥m ；令2=x 时，m m 422)1(22ln 2≤+⨯-+，化简42ln 22+≥m 你还可以在算出3,4，选择题排除法。

高考专题：导数中的二次求导问题

导数中的二次求导问题一.考情分析：高中数学课程标准对导数的应用提出了明确的要求，导数在研究函数中的应用，既是高考考查的重点，也是难点和必考点. 利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现. 常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大. 二.知识要点（为什么二次求导：）在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。

需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题. 若遇这类问题， “再构造，再求导”是破解函数综合问题的有效工具，为高中数学教学提供了数学建模的新思路和“用数学”的新意识和新途径。

三、解这类题的步骤为： ①求函数的定义域；②求函数的导函数f ´(x)，无法判断导函数正负； ③构造求g(x)= f ´(x)，求g ´(x)；④求g ´(x)>0和g ´(x)<0的解，即得函数()g x 的单调性，得函数()g x 的最值，； ⑤根据列表解答问题。

四、典型例题：例1.求函数()cos f x x x ax a =-+，π[0,]2x ∈（1a ≥）的单调区间；解：依题意 ()cos sin f x x x x a '=--．令()cos sin g x x x x a =--，π[0,]2x ∈，则()2sin cos 0g x x x x '=--≤．所以()g x 在区间π[0,]2上单调递减．因为 (0)10g a =-≤，所以 ()0g x ≤，即 ()0f x '≤，所以()f x 的单调递减区间是π[0,]2，没有单调递增区间．例2.求证：函数2()ln(1)f x x x ax =+-（0a <）存在极小值；解：因为()ln(1)+21xf x x ax x '=+-+ 设()()ln(1)21xg x f x x a x x '==++-+ 211()+21(1)g x a x x '=-++ 因为1x >-且0a <，所以101x >+，210(1)x >+，20a -> 从而得到()0g x '>在(1,)-+∞上恒成立所以()0f x '>在(1,)-+∞上单调递增且(0)0f '=，所以x ，'()f x ，()f x 在区间(1,)-+∞ 的变化情况如下表:所以0x =时，()f x 取得极小值，问题得证例3.求函数f(x)=sinxlnx 在区间(1,)π内的极大值的个数．解：因为()sin ln f x x x =，所以sin ()cos ln xf x x x x'=+，（1）当(1,)2x π∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 无极大值．（2）当(,)2x π∈π时，设sin ()()cos ln '==+x g x f x x x x ，则22cos sin ()sin ln 0x x g x x x x x '=-+-<，所以()f x '在(,)2ππ内单调递减．又因为2()02f π'=>π， ()ln 0f 'π=-π<，所以在(,)2ππ内存在唯一的0(,)2x π∈π，使得0()0f x '=．当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 在0(1,)x 内单调递增，在0(,)x π内单调递减，此时()f x 有唯一极大值．综上所述，()f x 在(1,)π内的极大值的个数为1． ………10分检测：1.已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+在区间(1)+∞,上存在极值点，求实数a 的取值范围.解：ln +'()ln a x x a f x x xx=+=.若0a ≥，则当(1)x ∈∞,+时，'()0f x >，()f x 在区间(1)∞,+上单调递增，此时无极值.若0a <，令()'()g x f x =，则21'()=a g x xx -.因为当(1)x ∈∞,+时，'()0g x >，所以()g x 在(1)∞,+上单调递增. 因为(1)0g a =<，而(e )e (e 1)0a a ag a a a -=-+=->，所以存在0(1e )a x -∈,，使得0()0g x =.'()f x 和()f x 的情况如下：因此，当0x x =时，()f x 有极小值0()f x .综上，a 的取值范围是0()-∞,. …………15分2、已知函数()()ln f x x a x =+（0a >）有极小值，求实数a 的取值范围．解： ()f x 有极小值⇔函数()f x '有左负右正的变号零点.()1()ln ln 1af x x x a x x x'=++=++令()()g x f x '=，则221()a x a g x x x x-'=-= 令()0g x '=，解得x a =. ,(),()x g x g x '的变化情况如下表：①若ln 20a +≥，即2a e -≥，则()0g x ≥，所以()f x '不存在变号零点，不合题意.②若ln 20a +<，即2a e -<时，()ln 20g a a =+<，(1)10g a =+>.所以0(,1)x a ∃∈，使得0()0g x =；且当0(,)x a x ∈时，()0g x <，当0(,1)x x ∈时，()0g x >. 所以当(,1)x a ∈时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：所以20a e -<<.3.已知函数2()()x f x e ax a =-∈R 在[0,1]上的最大值不小于2，求a 的取值范围；解：∵ ()e 2xf x ax '=-，当0a ≤时，因为[0,1],x ∈e 0,x>20ax -≥，故()0f x '>，即()f x 单调递增，因此max ()(1)e f x f a ==-．依题意，当0a ≤时，max ()e e 2f x a =-≥>，所以0a ≤符合题意．当0a >时，()e 2xf x a ''=-，令()0f x ''=，有ln 2x a =，变化如下：-+故．当时，即时，，单调递增，因此．依题意，令，有．当时，即时，，，故存在唯一使．此时有，即，，变化如下：若，则在上的最大值小于2，所以a 的取值范围为．。

巧用导数　高效解题——以“二次求导”在函数问题中的应用为例

巧用导数㊀高效解题以二次求导在函数问题中的应用为例陈雯娜(福建省宁德市高级中学ꎬ福建宁德３５２１００)摘㊀要:本文针对二次求导在函数解题中的应用展开了讨论ꎬ简述了二阶导数的数学意义ꎬ详细介绍了二阶导数在求函数单调性㊁极值㊁参数取值范围中的具体应用方法.关键词:导数ꎻ解题ꎻ函数问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０９－００５２－０３收稿日期:２０２３－１２－２５作者简介:陈雯娜(１９９５.１０ )ꎬ女ꎬ福建省宁德人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀从高考形势来看ꎬ二次求导被频繁应用在综合题型的解决中ꎬ对学生考试成绩的影响非常大.所以ꎬ教师要重视二次求导知识点的教学.１二阶导数二次求导是指通过观察一阶导数的变化率ꎬ确定图像的凹凸性.在部分指数式㊁对数式的函数问题中ꎬ求导之后无法判断原函数单调性时才会进行二次求导ꎬ找到导数正负ꎬ确定函数单调性.如果函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上连续ꎬ且二次可导ꎬ若在该区间上函数二阶导数大于零ꎬ则函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上的图形是凹的ꎻ若在该区间上函数二阶导数小于零ꎬ则函数ｆ(ｘ)在区间ａꎬｂ[]上的图形是凸的[１].另外ꎬ部分函数问题需要先构造函数后才能二次求导.整体来说ꎬ二次求导虽能降低解题难度㊁提高解题效率ꎬ但是对学生思维的灵活性要求比较高.因此ꎬ教师要多锻炼㊁启发学生思维ꎬ保证学生能熟练掌握二次求导的方法ꎬ拥有更加灵活的思维.２二次求导在函数问题中的应用２.１在函数单调性问题中的应用如果要判断原函数的单调性ꎬ则要先观察二次导数在定义域内的取值.当其值恒大于零或恒小于零时ꎬ则可推出一阶导函数在定义域内的单调性ꎬ同时ꎬ考虑一阶导数的最大值或最小值ꎬ两者结合判断原函数的单调性.若一阶导函数是单调递增的ꎬ且最小值大于零ꎬ则证明原函数单调递增ꎻ若一阶导函数是单调递减的ꎬ且最大值小于零ꎬ则证明原函数单调递减.这一结论在其他函数综合题型中也有着极其重要的应用ꎬ如极值㊁含参问题.所以教师应当要求学生打好基础ꎬ熟练掌握通过二次求导判断函数单调性的方法ꎬ以便后续解决问题时能随时调用[２].２.１.１直接讨论函数单调性相对来说ꎬ讨论不含参数的函数单调性问题时ꎬ直接进行求导㊁化简㊁在定义域内讨论导数符号进而判断单调性即可ꎬ其解题难度一般.例１㊀讨论函数ｆｘ()＝ｌｎ２(１＋ｘ)－ｘ２１＋ｘ的单调性.分析㊀针对这道题目来说ꎬ可以先确定该函数的定义域为－１ꎬ＋ɕ().对该函数求导可得:ｆᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)ｘ＋１－ｘ２＋２ｘ１＋ｘ()２ꎬ通分得到ｆᶄｘ()＝２(１＋ｘ)ｌｎ(１＋ｘ)－ｘ２－２ｘ１＋ｘ()２.仔细观察该函数不难发２５现ꎬ分母大于零ꎬ但是分子符号不确定ꎬ所以要进一步讨论.此时ꎬ假设ｇｘ()＝２(１＋ｘ)ｌｎ(１＋ｘ)－ｘ２－２ｘꎬ若想确定该函数的正负ꎬ则要对其求导ꎬ判断其单调性或最值ꎬ以此确定一阶导数符号ꎬ反推原函数单调区间.对ｇｘ()求导可得到ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘꎬ再二次求导可得ｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘꎬ这时就可以分情况讨论.第一种情况:当－１<ｘ<０时ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘ>０ꎬ那么ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在该区间上是增函数ꎻ第二种情况:当ｘ>０时ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝－２ｘ１＋ｘ<０ꎬ那么ｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在该区间上是单调减函数ꎬ综合考虑这两种情况ꎬｇᶄｘ()＝２ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ在ｘ＝０时有最大值ꎬ又因为ｇᶄ０()＝０ꎬ所以ꎬｇᶄｘ()ɤ０.反推可知函数ｇｘ()在－１ꎬ＋ɕ()上是单调减函数ꎬ在－１<ｘ<０时ꎬｇｘ()>ｇ０()＝０ꎬ则ｆᶄｘ()>０ꎬ函数ｆｘ()是单调递增的ꎻ当ｘ>０时ꎬｇｘ()<ｇ０()＝０ꎬ则ｆᶄｘ()<０ꎬ函数ｆｘ()是单调递减的.综上ꎬ可知函数ｆｘ()的单调递增区间为－１ꎬ０()ꎬ单调递减区间为０ꎬ＋ɕ().从这道题目的解析中能够看出ꎬ应用二阶导数判断函数单调区间的关键是要合理化简函数表达式ꎬ合理分类讨论自变量的范围.２.１.２带有参数函数单调性的讨论通常ꎬ在含有参数的函数单调性问题中ꎬ应用二阶导数的解题思路与直接讨论函数单调性的解题思路相反ꎬ需要根据题干结论反推ꎬ分类讨论参数的取值范围.结合历年高考试题来看ꎬ真题中多是出现与对数㊁指数有关的函数ꎬ总体上来说ꎬ含参数函数单调性的主要解题思路为对带有对数㊁指数的函数进行化简ꎬ尽可能地使其表达式简洁㊁规整ꎬ之后再根据函数定义域ꎬ进行分类讨论.例２㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１－ｅ－ｘꎬ当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１ꎬ求ａ的取值范围.这道题目的解决可以采用放缩代换法ꎬ这一方法对学生的思维能力㊁解题能力的要求比较高ꎬ部分学生是无法达到要求的[３].所以ꎬ可以尝试利用二阶导数ꎬ降低解题难度ꎬ提高解题准确率.那么针对问题②来说ꎬ可按照以下步骤进行解题:根据题意ｘȡ０ꎬｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１ꎬ显然ａ的取值范围不确定ꎬ所以要分成两种情况进行讨论.当ａ<０时ꎬ若ｘ>－１ａꎬ则ｘａｘ＋１<０ꎬ那么ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１不成立ꎻ当ａȡ０时ꎬａｘ＋１>０ꎬ由ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１移项可得ａｘ＋１()１－ｅ－ｘ()－ｘɤ０.此时ꎬ令ｇｘ()＝ａｘ＋１()１－ｅ－ｘ()－ｘꎬ则ｇᶄｘ()＝ｅ－ｘａｘ＋１－ａ()＋ａ－１ꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ().根据题干ｘȡ０ꎬ当ａɪ０ꎬ１２[]时可判断出ｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()ɤ０ꎬ此时ｇᶄｘ()在定义域内是递减的ꎬｇᶄｘ()ɤｇᶄ０()＝０ꎬ则ｇｘ()单调递减ꎬｇｘ()ɤｇ０()＝０ꎬ可知原不等式成立.进一步分类讨论ａ的取值范围ꎬ若ａɪ１２ꎬ＋ɕæèçöø÷ꎬ２ａ－１>０ꎬ令ｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()＝０ꎬ计算可得ｘ＝２ａ－１ａꎬ当０<ｘ<２ａ－１ａꎬｇᶄｘ()[]ᶄ＝ｅ－ｘ２ａ－１－ａｘ()>０ꎬ此时ｇᶄｘ()在该区间上单调递增ꎬｇᶄｘ()>ｇᶄ０()＝０ꎬ则ｇｘ()在０ꎬ２ａ－１ａæèçöø÷上单调递增ꎬｇｘ()>ｇ(０)＝０ꎬ不符合题意ꎬ所以ｆ(ｘ)ɤｘａｘ＋１不恒成立.所以ａɪ０ꎬ１２[].从这道题目的解析中能够看出ꎬ利用二次求导的方法判断函数单调性更高效ꎬ尤其在含有对数或指数的导函数中ꎬ二次求导更有利于判断导数符号ꎬ进而判断原函数的增减情况.２.２在函数极值问题中的应用一般地ꎬ函数极值问题可以按照确定函数定义域㊁求导㊁计算驻点㊁分析单调性㊁确定极值的步骤进行求解.如果需要利用二阶导数解题ꎬ当一阶导数为零ꎬ而二阶导数大于零时ꎬ所求的点为极小值点ꎻ当一阶导数为零ꎬ二阶导数小于零时ꎬ则所求的点为极大值点ꎻ当一阶㊁二阶导数均为零时ꎬ则所求得的点为驻点.概括地说ꎬ函数ｆ(ｘ)在点ｘ处具有二阶导数ꎬ且ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬｆᵡｘ()ʂ０ꎬ那么当ｆᵡ(ｘ)>０时ꎬ函数３５在点ｘ处取得极小值ꎻ当ｆᵡ(ｘ)<０时ꎬ函数在点ｘ处取得极大值.例３㊀已知函数ｆｘ()＝１２ｘ２－ｅｘ＋２ｘ－１ꎬ求函数ｆｘ()极值点的个数.分析㊀针对这道题目来说ꎬ若想求解函数极值点的个数ꎬ需要先判断函数的单调性.具体来说ꎬ其解题步骤为:ｆｘ()的定义域为Ｒꎬｆᶄｘ()＝ｘ－ｅｘ＋２ꎬ此时一阶导数的驻点及符号不好判断ꎬ因此构造函数ｇｘ()＝ｘ－ｅｘ＋２ꎬ求导可得ｇᶄｘ()＝１－ｅｘ.当ｘ<０时ꎬｇᶄｘ()>０ꎬ当ｘ>０时ꎬｇᶄｘ()<０ꎬ所以ｇｘ()在－ɕꎬ０()上单调递增ꎬ在０ꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬ即ｆᶄｘ()在－ɕꎬ０()上单调递增ꎬ在０ꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)ｍａｘ＝ｆᶄ０()＝１>０.又ｆᶄ－２()＝－ｅ－２<０ꎬｆᶄ２()＝４－ｅ２<０ꎬ则ｆᶄ－２() ｆᶄ０()<０ꎬｆᶄ０() ｆᶄ２()<０ꎬ由零点存在定理可知存在唯一的ｘ１ɪ－２ꎬ０()ꎬｘ２ɪ０ꎬ２()ꎬ使ｆᶄｘ１()＝ｆᶄｘ２()＝０ꎬ且当ｘɪ－ɕꎬｘ１()和ｘɪｘ２ꎬ＋ɕ()时ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ函数单调递减ꎻ当ｘɪｘ１ꎬｘ２()时ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ函数单调递增ꎬ故ｆｘ()在ｘ１处取得极小值ꎬ在ｘ２处取得极大值ꎬ即函数ｆｘ()的极值点的个数为２.从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导可以更好地判断原函数的单调性ꎬ进而得到函数的极值点情况ꎬ大大简化了解题的过程.２.３在函数的参数范围中的应用应用二次求导求解函数参数范围的关键是要根据函数满足的条件倒推ꎬ得到函数的单调性ꎬ并依据性质倒推参数范围.如果有必要ꎬ还应构造函数ꎬ进行推导㊁计算.例４㊀已知关于ｘ的不等式２ｌｎｘ＋２(１－ｍ)ｘ＋２ɤｍｘ２在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ则整数ｍ的最小值为(㊀㊀).分析㊀针对这道题目来说ꎬ因为２ｌｎｘ＋２(１－ｍ)ｘ＋２ɤｍｘ２ꎬ进行移项㊁化简可得到ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ.此时ꎬ构造函数ｆｘ()＝２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘꎬ求导可得ｆᶄｘ()＝－２ｘ＋１()ｘ＋２ｌｎｘ()ｘ２＋２ｘ()２ꎬ令ｆᶄｘ()＝０ꎬ则可得到ｘ＋２ｌｎｘ＝０.继续构造函数ꎬ令ｇｘ()＝ｘ＋２ｌｎｘꎬ对其求导可得到ｇᶄｘ()＝１＋２ｘꎬ当ｘɪ０ꎬ＋ɕ()ꎬｇᶄｘ()＝１＋２ｘ>０ꎬ则ｇ(ｘ)在ｘɪ０ꎬ＋ɕ()是单调递增函数.又ｇ１２æèçöø÷<０ꎬｇ１()>０ꎬ所以存在一个点ｔɪ１２ꎬ１æèçöø÷ꎬ满足ｔ＋２ｌｎｔ＝０ꎬ当０<ｘ<ｔ时ꎬｇ(ｘ)<０ꎬｆᶄｘ()>０ꎬ则ｆｘ()在０ꎬｔ()上单调递增ꎻ当ｘ>ｔ时ꎬｇ(ｘ)>０ꎬｆᶄｘ()<０ꎬ则ｆｘ()在ｔꎬ＋ɕ()上单调递减ꎬｆ(ｘ)ｍａｘ＝２(ｌｎｔ＋ｔ＋１)ｔ２＋２ｔ＝１ｔ１ꎬ２().因为ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ在０ꎬ＋ɕ()上恒成立ꎬ所以ｍȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１()ｘ２＋２ｘ][ｍａｘꎬ故ｍȡ２ꎬ则整数ｍ的最小值为２[４].从这道题目的解析中能够看出ꎬ通过二次求导判断参数的取值范围仍然需要分析导数与零之间的关系ꎬ不同的是要根据函数的最大值倒推参数.３结束语二次求导在函数问题的解决中有着极其重要的应用ꎬ教师应当加大专题教学的力度ꎬ力求学生能深入理解㊁掌握二次求导的方法ꎬ而且能够熟练应用二次求导解决各种函数难题.参考文献:[１]许国庆.二次求导在解题中的妙用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２２(１５):５０－５１.[２]白亚军.利用二次求导突破函数综合问题[Ｊ].中学生理科应试ꎬ２０２０(０７):１５－１６.[３]毛芹.利用二次求导简化函数综合问题的策略[Ｊ].语数外学习(高中版中旬)ꎬ２０１９(０４):３９.[４]石家屹.小构造再求导大智慧:浅谈函数问题中二次求导的应用[Ｊ].中学生数理化(学习研究)ꎬ２０１８(０９):３６.[责任编辑:李㊀璟]４５。

二次求导公式

二次求导公式二次求导公式是微积分中的重要概念之一，它可以帮助我们求解函数的曲率、凹凸性、极值等问题。

在这篇文章中，我们将详细介绍二次求导公式的推导和应用。

一、二次求导公式的推导为了方便起见，我们先给定一个函数y=f(x)，其中f(x)是一个可导函数。

我们的目标是求解函数f(x)的二阶导数，即f''(x)。

步骤1：求解一阶导数f'(x)根据导数的定义，一阶导数f'(x)表示函数f(x)在某一点x处的斜率，可以通过极限的方式求得。

具体而言，我们可以使用以下公式来计算一阶导数：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]步骤2：对一阶导数f'(x)再次求导根据导数的定义，我们可以将一阶导数f'(x)看作是函数f(x)的斜率函数。

而二阶导数f''(x)则代表了斜率函数的斜率，也就是函数f(x)的曲率。

为了求解二阶导数，我们只需要对一阶导数再次求导即可。

根据导数的定义，我们可以写出二阶导数的表达式：f''(x) = lim(h->0) [(f'(x+h) - f'(x))/h]将一阶导数f'(x)的表达式代入上述公式，得到二阶导数的另一种表达式：f''(x) = lim(h->0) [(f(x+2h) - 2f(x+h) + f(x))/h^2]这就是二次求导公式的推导过程。

二次求导公式在微积分中有着广泛的应用。

下面我们将介绍一些常见的应用场景。

1. 凹凸性的判断通过计算函数的二阶导数，我们可以判断函数在某一区间内的凹凸性。

具体而言，如果函数的二阶导数大于零，则函数在该区间内是凸函数；如果二阶导数小于零，则函数在该区间内是凹函数。

2. 极值点的判断通过计算函数的一阶导数和二阶导数，我们可以判断函数的极值点。

具体而言，如果函数在某一点的一阶导数为零，并且二阶导数大于零，那么该点是函数的极小值点；如果二阶导数小于零，则该点是函数的极大值点。

二次求导的几何意义

二次求导的几何意义摘要：一、二次求导的基本概念1.导数与微分的定义2.二次导数的意义二、二次求导的几何意义1.切线的斜率与曲线的凹凸性2.曲线的拐点与凸凹性变化三、二次求导的应用1.利用二次导数研究函数的极值2.利用二次导数研究函数的凹凸性四、总结与拓展1.二次导数的计算方法2.二次导数在实际问题中的应用正文：二次求导的几何意义主要涉及到导数与微分的定义，以及二次导数在研究函数性质中的应用。

首先，我们需要了解导数与微分的定义。

导数表示的是函数在某一点的变化率，而微分则表示的是函数在某一点的局部变化。

在此基础上，二次导数具有更丰富的几何意义。

二次求导的几何意义主要表现在以下两个方面：1.切线的斜率与曲线的凹凸性：二次导数可以用来判断曲线在某一点的切线斜率。

如果二次导数大于零，表示曲线在该点上升；如果二次导数小于零，表示曲线在该点下降；如果二次导数等于零，表示曲线在该点取到极值。

此外，二次导数还可以用来判断曲线的凹凸性。

如果二次导数大于零，表示曲线凹的一侧；如果二次导数小于零，表示曲线凸的一侧。

2.曲线的拐点与凸凹性变化：二次导数可以用来找到曲线的拐点，即曲线凸凹性发生变化的地方。

拐点处的二次导数等于零。

通过研究拐点，我们可以了解曲线在不同区间的凸凹性变化，从而更好地理解曲线的形状。

二次求导在实际问题中的应用非常广泛。

例如，在研究函数的极值时，我们可以利用二次导数判断函数的单调性和极值点；在研究函数的凹凸性时，我们可以利用二次导数判断函数的凹凸区间和拐点。

总之，二次求导的几何意义主要体现在切线的斜率与曲线的凹凸性，以及曲线的拐点与凸凹性变化。

通过研究二次导数，我们可以更好地理解函数的性质，从而为实际问题的解决提供有力的理论支持。

y导的二次方的导数

y导的二次方的导数引言在微积分中，导数是描述函数变化率的重要概念。

而导数的二次方，即二次导数，是导数的导数。

本文将深入探讨y导的二次方的导数，探讨其定义、性质以及在实际问题中的应用。

二次导数的定义二次导数是指函数的导数的导数。

对于函数y=f(x)，其一阶导数为f’(x)，二阶导数为f’’(x)。

二次导数可以表示为：f’’(x) = (d2y)/(dx2)二次导数的计算方法要计算二次导数，可以通过连续求导两次来实现。

首先计算一阶导数，然后再对一阶导数求导即可得到二阶导数。

例如，对于函数y=x^3，首先计算一阶导数：f’(x) = 3x^2然后对一阶导数求导，即可得到二阶导数：f’’(x) = 6x二次导数的性质二次导数具有一些重要的性质，我们将逐一介绍。

1. 二次导数的对称性对于任意可导函数f(x)，其二次导数具有对称性。

即f’‘(x) = f’’(-x)。

2. 二次导数与函数的凹凸性二次导数与函数的凹凸性密切相关。

如果函数的二次导数大于0，则函数在该区间上是凸的；如果二次导数小于0，则函数在该区间上是凹的。

3. 二次导数与函数的极值点函数的极值点可以通过二次导数进行判断。

如果函数在某一点的二次导数大于0，则该点为函数的极小值点；如果二次导数小于0，则该点为函数的极大值点。

4. 二次导数与函数的拐点函数的拐点可以通过二次导数进行判断。

如果函数在某一点的二次导数发生变号，即从正变为负或从负变为正，则该点为函数的拐点。

二次导数的应用二次导数在实际问题中有广泛的应用，我们将介绍其中的几个应用。

1. 曲线的凹凸性分析二次导数可以帮助我们分析曲线的凹凸性。

通过计算二次导数，我们可以确定曲线在不同区间上的凹凸性，并进一步研究曲线的特性。

2. 最速下降法最速下降法是一种求解优化问题的方法，它利用函数的二次导数信息来确定下降的方向。

通过迭代计算二次导数，最速下降法可以逐步逼近函数的最小值点。

3. 物体的运动分析二次导数在物体的运动分析中也有应用。

高中数学二次求导经典例题

高中数学二次求导经典例题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，求导是一个非常重要的概念，而二次求导则是求导的一个更深入的概念。

二次求导的经典例题是一种常见的练习题目，通过这些例题，可以帮助学生更好地理解和掌握这一概念。

本文将为大家整理一些关于高中数学二次求导的经典例题，希望对大家的学习有所帮助。

1. 求函数y=x^3-2x^2+5x-7 的二次导数。

y'=3x^2-4x+5接下来，我们继续对一次导数进行求导，即求二次导数。

根据求导法则，我们有：y''=6x-4我们求得函数y=2x^4-3x^3+4x^2-5x+6 的一次导数。

根据求导法则，我们有：通过上面两个例题，我们可以看到，在求二次导数的过程中，我们需要先求得一次导数，然后再对一次导数进行求导，这样才能得到函数的二次导数。

求导是高中数学中的一个重要知识点，通过不断练习和理解，我们可以更好地掌握这一知识，从而在数学学习中取得更好的成绩。

希望以上例题对大家有所帮助，希望大家能够在数学学习中取得更好的成绩！第二篇示例：高中数学中的二次求导是一个重要的概念，在求解函数的极值、凹凸区间等问题时起着至关重要的作用。

在这篇文章中，我们将主要介绍高中数学中二次求导的经典例题，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。

一、求函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-5的二次导数。

我们需要求出函数f(x)的一次导数。

根据求导公式，我们可以得到：f'(x)=6x^2-6x+4y'=3x^2+4x+3然后，我们再对一阶导数进行求导，即可得到函数y的二阶导数。

按照求导公式，我们可以计算得到：y''=6x+4接下来，将x=-1代入y''=6x+4中，即可求得函数y=x^3+2x^2+3x-1在x=-1处的二阶导数值为y''(x=-1)=6*(-1)+4=-2。

通过以上两个例题，我们可以看到，在进行二次求导的过程中，我们需要先求得一次导数，然后再对一次导数进行求导。

二次函数的导数计算

二次函数的导数计算在数学中，二次函数是指由二次多项式表达的函数，其一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数在数学和物理等领域中被广泛应用，研究二次函数的导数可以帮助我们了解它的曲线性质和变化规律。

本文将详细介绍二次函数导数的计算方法。

导数的定义和基本性质导数描述了函数在某一点上的变化速率。

对于函数y = f(x)，它在点x处的导数可以记作f'(x)或dy/dx。

导数的定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]/h其中，lim表示极限，h表示自变量x的一个增量。

根据导数的定义，我们可以推导出一些基本性质，如导数的线性性、乘法法则、链式法则等，这些基本性质在计算二次函数导数时非常有用。

二次函数导数的计算方法对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以使用导数的定义或基本性质来进行计算。

首先，我们使用导数的定义来计算。

1. 使用导数的定义计算二次函数导数将二次函数表示为f(x) = ax^2 + bx + c，根据导数的定义有：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)]/h代入二次函数的表达式：f'(x) = lim(h->0) [a(x+h)^2 + b(x+h) + c - (ax^2 + bx + c)]/h化简并求极限：f'(x) = lim(h->0) [2axh + ah^2 + bh]/h可以发现，当取极限h->0时，ah^2/h = 0，因此上式可以简化为：f'(x) = lim(h->0) [2axh + bh]/h应用极限运算，得出：f'(x) = 2ax + b这就是二次函数在任意点x处的导数表达式。

2. 使用基本性质计算二次函数导数根据导数的基本性质，我们可以通过求导法则直接计算二次函数的导数。

二次函数的导数与最值点的求解

二次函数的导数与最值点的求解在数学中，二次函数是一种具有以下形式的函数：$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$和$c$是常数，$x$是变量。

二次函数的图像通常呈现出抛物线的形态，它在数学和物理问题的建模、解决中都有重要的应用。

本文将重点研究二次函数的导数与最值点的求解方法。

一. 二次函数的导数二次函数的导数表示了抛物线在某一点的斜率，它的求解可以通过对函数进行求导来实现。

以下是求解二次函数导数的步骤：1. 首先，将二次函数表示为标准形式：$f(x)=ax^2+bx+c$。

2. 其次，根据导数的定义，对二次函数应用求导法则。

对于二次函数，我们有以下导数公式：$f'(x)=2ax+b$其中$f'(x)$表示二次函数的导数。

3. 利用上述导数公式，我们可以求解特定点的导数。

例如，要求解二次函数在$x=2$处的导数，我们将$x$的值代入导数公式中得到： $f'(2)=2a \cdot 2 + b$这样，我们就得到了$x=2$处的斜率，也就是二次函数在该点的导数。

二. 二次函数的最值点求解二次函数的最值点是指函数图像的顶点或者谷底，也就是抛物线的最高点或者最低点。

求解二次函数的最值点可以通过求导和解方程的方法来实现。

以下是求解二次函数最值点的步骤：1. 首先，计算二次函数的导数。

根据上一节的内容，我们可以得到二次函数的导数为$f'(x)=2ax+b$。

2. 接下来，解方程$f'(x)=0$，该方程的解将给出函数图像的最值点的横坐标。

将导数$f'(x)$设为0，然后解方程可以得到：$2ax+b=0$解得$x=-\frac{b}{2a}$所以，$-\frac{b}{2a}$即为二次函数的最值点的横坐标。

3. 最后，将$x=-\frac{b}{2a}$代入原始函数$f(x)=ax^2+bx+c$中，可以得到最值点的纵坐标。

将$x=-\frac{b}{2a}$代入原始函数$f(x)=ax^2+bx+c$可以得到：$f\left(-\frac{b}{2a}\right)=a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2+b\left(-\frac{b}{2a}\right)+c$化简后可得函数图像的最值点的纵坐标。

偏导数的二次求导

偏导数的二次求导偏导数是多元函数中常用的一种计算方法，是指将函数中的某一个自变量看作常数，对其余变量进行普通的一元微分运算。

偏导数在生产和科技领域中有着非常广泛的应用，如在物理中的牛顿运动定理、电磁学中的麦克斯韦方程等等。

而偏导数的二次求导则是指对一个具有两个或以上自变量的函数进行变量的二次微分，这篇文章将重点介绍偏导数的二次求导及其在实践中的应用。

偏导数的二次求导是对函数中的自变量进行两次微分运算，即对函数中每个自变量分别求偏导数得到一组新函数，然后对每个新函数再次求偏导数，如下所示：$$ \frac{\partial^2f}{\partial x^2}=\frac{\partial(\frac{\partialf}{\partial x})}{\partial x} $$在实际运用中，偏导数的二次求导需要采用一些公式进行计算。

下面是一些重要的二次求导公式：1. 长度为$1$的向量$\bold{\vec{u}}$对$x$求二次导数：$$ \frac{\partial^2\bold{\vec{u}}}{\partialx^2}+\frac{\partial^2\bold{\vec{u}}}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial \bold{\vec{u}}}{\partialx}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial\bold{\vec{u}}}{\partial y}\right) $$1. 函数的极值问题在$r$维空间中定义了一个含有$r$个变量$x_1,x_2,…,x_r$的函数$f(x_1,x_2,…,x_r)$，如果对于所有满足$\bold{\vec{x}}=(x_1,x_2,…,x_r)$的向量$\bold{\vec{x}}$，对于任意的$\bold{\vec{u}}$长度为$1$的向量，都有：2. 电场和电势的计算在物理学中，电场可以用三个坐标量$x,y,z$来描述，即：其中，$V(x,y,z)$表示电势函数。

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