排列组合二项式定理与概率统计(文理全)

m
n! n(n 1) (n m 1) (m≤n) (n m)!
An n =n! =n(n―1)(n―2) ·„·2·1. ②组合数公式： C n
m
n! n(n 1) (n m 1) m!(n m)! m (m 1) 2 1
r n r
(r=0,1,2,„,n).
n
n n 1 2 ； ②若 n 是偶数， 则中间项(第 1 项)的二项公式系数最大， 其值为 C n 若 n 是奇数， 则中间两项(第 2 2
n3 项和第 项)的二项式系数相等，并且最大，其值为 C n 2 = C n 2 . 2
1 2 n n ③所有二项式系数和等于 2n，即 C 0 n +C n ＋C n +„+C n =2 .
－ －n rຫໍສະໝຸດ r r+1 项是 Tr+1 =C r b. na
－
⑵ 二项展开式的通项公式
n r r 二项展开式的第 r+1 项 Tr+1=C r b (r=0,1,…n)叫做二项展开式的通项公式。 na
－
⑶ 二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 Cn = Cn
k k P( X k ) Cn p (1 p)nk， (k 0， 1 ， 2， ，n) ．此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X ~ B(n，p) ，并称 p 为成
功概率． 三、考点剖析 考点一：排列组合 1、解排列组合题的基本思路： ① 将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步 ② 对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法； ③ 是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反” ； 2、解排列组合题的基本方法： ① 优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； ② 排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。 ③ 分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论；注意：分类不 重复不遗漏。 ④ 分步处理：对某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决；在解题过程中， 常常要既要分类，以要分步，其原则是先分类，再分步。 ⑤ 插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件
n 1
n 1
④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，
2 1 3 n 1 即 C0 . n +C n +„=C n +C n +„=2
―
3.概率 （1）事件与基本事件：
随机事件 : 在条件S下,可能发生也可能不发生的事件 事件 不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件 确定事件 必然事件:在条件S下,一定会发生的事件
排列组合二项式定理与概率统计（文理全） [含知识点、例题、习题、测试题]
重点知识回顾 1.排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关， 分类计数原理与分类有关. ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的 问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关， 与顺序有关的属于排列问题， 与顺序无关的属于组合问题. ⑶ 排列与组合的主要公式 ①排列数公式： An
(m≤n).
m n m ③组合数性质：① Cn (m≤n). Cn 0 2 4 1 3 ③ Cn Cn Cn Cn Cn 2n1
0 1 2 n ② Cn Cn Cn Cn 2n
2.二项式定理 ⑴ 二项式定理
1 n 1 r n n r r n (a +b)n =C 0 b+…+C r b +…＋C n n a +C n a na n b ，其中各项系数就是组合数 C n ，展开式共有 n+1 项，第
A包含的基本事件的个数 ． 基本事件的总数 构成事件A的区域长度(面积或体积) ． 试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)
几何概型的概率计算公式： P( A)
两种概型概率的求法都是“求比例” ，但具体公式中的分子、分母不同． （6）概率基本性质与公式 ①事件 A 的概率 P ( A) 的范围为： 0 ≤ P( A) ≤1 ． ②互斥事件 A 与 B 的概率加法公式： P( A B) P( A) P( B) ． ③对立事件 A 与 B 的概率加法公式： P( A) P( B) 1． （7） 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是 pn(k)
k n k = Ck . n p (1―p)
―
实际上，它就是二项式[(1―p)+p]n 的展开式的第 k+1 项.
（8）独立重复试验与二项分布 ①．一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．注意这里强调了三点： （1）相同条 件； （2）多次重复； （3）各次之间相互独立； ②．二项分布的概念：一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为
基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两 个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示． （2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆 动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验 次数的变化而变化． （3）互斥事件与对立事件： （4）古典概型 与几何概型： 古典概型：具 有“等可能发生的 有限个基本事件” 的概率模型． 几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例． 两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限 个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个． （5）古典概型与几何概型的概率计算公式： 古典概型的概率计算公式： P( A) 对立事件 发生，且必有一个发生 互斥事件 发生 事件 A 与 B 不可能同时 两事件互补 一是对立事件 事件 定义 事件 A 与 B 不可能同时 两事件交集为空 与 B 必为互斥事件； 事件 A 与 B 互斥，但不 集合角度理解 关系 事件 A 与 B 对立，则 A