命题的四种形式
02简易逻辑--命题的四种形式
“非 p” 假 真 真 形式的复合 假 假 假
假 真 假 真时为真, 其 假 假 假 它情形为假.
命题与 p 的 真假相反;
“p 或 q”形式的复合命题当 时为假, 其它情形为真;
p
与
q
同时为假
6.注意 ①由简单命题构成复合命题时, 不一定是简单地加“或、且、 非”等逻辑联结词; 另外应注意含“或、且、非”等词汇的命 题也不一定是复合命题, 在进行命题的合成或分解时一定要检 验是否符合复合命题的“真值表”, 如果不符要作语言上的调 整②. 命题的“否定”是学习上的重点, 因为这是“反证法”证 明的第一步. 必须注意, 命题的“否定”与一个命题的“否命 题”是两个不同的概念: 对命题 p 的否定(即非 p )是否定命题 p 所作的判断; 而“否命题”是对“若 p 则 q”形式的命题而言,
一、命题的有关概念
1.命题 可以判断真假的语句.
2.逻辑联结词 “或”、“且”、 3.简单命题 不含“逻非辑”联. 结词的命题. 4.复合命题 含有逻辑联结词的命题.
5.复合命题真值表
p 非p p q p或q p q p且q
“p 且 q”形
真 假 真 真 真 真 真 真 式的复合命题
假 真 真 假 真 真 假 假 当p 与q同时为
要同时否定它的条件与典结型论.例题
例1 写出由下述各命题构成的“p 或 q”形式的复合命题: (1) p: 9 是 144 的约数, q: 9 是 225 的约数; (2) p: 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q: 方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0.
(1)9 是 144 的约数或 9 是 225 的约数(9 是 144；
1.3.2_命题的四种形式
C充分不必要
D不充分不必要
练习4、
注、等价法 1.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________. （转化为逆否命题）
2：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充要条件,则A为C的 （ Ａ ）条件 A.充要 B必要不充分 C充分不必要 D不充分不必要
结论2：（1）“或”的否定为“且”，
（2）“且”的否定为“或”， （3）“都”的否定为“不都”。
充分条件与必要条件
练习： 1．设p是q的充分不必要条件，则 p是 q 的 必要不充分 条件．
2.已知p是q的必要而不充分条件， 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________.
3：若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 Ａ 件,则A为C的（ ）条件 A.充要 B必要不充分
2．写出“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的逆否 命题： ；
3．写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是
偶数”的否命题和逆否命题． 4．判断命题“若x+y≤5，则x≤2或y≤3”的 真假.
5. 下列四个命题中真命题是 ①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ②“面积相等的三角形全等”的否命题 ③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根” 的逆否命题 ④“若A∩B=B，则A B”的逆否命题 A.①② C.①②③ B.②③ D.③④
例2 若m≤0或n≤0，则m+n≤0。写出其逆命题、 否命题、逆否命题，并分别指出其假。
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。 解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 （真） （真） （假）
否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0.
高中数学命题的四种形式例题解析
1.3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”和“换质”，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．(×)3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．(√)4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．(√)题型一四种命题的结构形式例1把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数．否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数．(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等．逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角．否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等．逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角．反思感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论．跟踪训练1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．题型二四种命题的真假判断例2写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题．(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．真命题．否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．真命题．逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．真命题．反思感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题．原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．互为逆否命题的两个命题的真假性相同．在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2下列命题中为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题．A．①②③④B．①③④C．②③④D．①④答案 B解析 ①原命题的否命题为“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为零”．故为真命题．②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”．故为假命题． ③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”． ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题．④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数．故为真命题． 故正确的命题为①③④，故选B. 题型三 等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0， 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”． 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )． 即原命题的逆否命题为真命题． ∴原命题为真命题．反思感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的．正确写出原命题的逆否命题是证题的关键．跟踪训练3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，则a ≥1”的逆否命题的真假． 解 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集， 所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，a ≥74⇒a ≥1，所以原命题为真，又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．命题的等价性典例 主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了．”主人听了，随口说了句：“该来的没有来．”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了，主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了．”李四听了大怒，拂袖而去．请你用逻辑学原理解释二人离去的原因．解 张三走的原因是：“该来的没有来”的逆否命题是“来了不该来的”，张三觉得自己是不该来的．李四走的原因是：“不该走的又走了”的逆否命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的．[素养评析] 逻辑推理是在数学活动中进行交流的基本思维品质，本例是利用原命题与其逆否命题的等价性的逻辑原理，得出相应的合理解释．1．命题“如果a ∉A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A ．如果a ∉A ，则b ∉B B ．如果a ∈A ，则b ∉B C ．如果b ∈B ，则a ∉A D ．如果b ∉B ，则a ∉A答案 B解析 命题“如果p ，则q ”的否命题是“如果綈p ，则綈q ”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若綈p ，则q ”的逆否命题为( ) A ．若p ，则綈q B ．若綈q ，则綈p C ．若綈q ，则p D ．若q ，则p 答案 C3．下列命题为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x ＝1，则x 2>1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．4．在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题．5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题．写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．一、选择题1．“如果x>y，则x2>y2”的逆否命题是()A．如果x≤y，则x2≤y2B．如果x>y，则x2<y2C．如果x2≤y2，则x≤y D．如果x<y，则x2<y2答案 C解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“如果a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题显然为真命题，故其逆否命题为真命题，而其逆命题为“如果a>－6，则a>－3”，这是假命题，从而否命题也是假命题，因此只有两个真命题．3．“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为()A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D．以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”．4．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是()A．互逆命题B．互否命题C．互为逆否命题D．以上都不正确答案 A解析设p为“如果A，则B”，那么q为“如果綈A，则綈B”，r为“如果綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．5．有下列四个命题：①“如果x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“如果q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．其中真命题的序号为()A．①②B．②③C．①③D．③④答案 C解析 命题①：“如果x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“如果x 2＋2x ＋q ＝0有实根，则q ≤1”是真命题；命题④是假命题．6．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A ．真、真、真 B ．假、假、真 C ．真、真、假 D ．假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题．7．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题为真命题，逆命题为假命题B ．原命题为假命题，逆命题为真命题C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题 答案 A解析 逆否命题：若a ，b 都小于1，则a ＋b <2，是真命题，所以原命题是真命题．逆命题：若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2.例如，a ＝3，b ＝－3满足条件a ，b 中至少有一个不小于1，但a ＋b ＝0，故逆命题是假命题．故选A.8．关于命题“若拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}⇏∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论正确的是( ) A ．都是真命题 B ．都是假命题 C ．否命题是真命题 D ．逆否命题是真命题 答案 D解析 原命题为真命题，所以其逆否命题也为真命题．逆命题“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}D ＝/∅，则拋物线y ＝ax 2＋bx ＋c 开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即拋物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D. 二、填空题9．下列命题：①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“四边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中真命题是________．(填序号) 答案 ①②③解析 ①“如果xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是“如果x ，y 互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“如果ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“如果a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．所以真命题是①②③.10．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 11．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有______；互为逆否命题的有________． 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断． 三、解答题12．判断下列命题的真假．(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x2＋y2≠0，则xy≠0.考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假解(1)该命题的逆否命题是“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真．(2)该命题的逆否命题是“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假．(3)该命题的逆否命题是“若xy＝0，则x2＋y2＝0”，它为假命题，故原命题为假．13．判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．14．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M 中的元素不都是P的元素．A．1 B．2 C．3 D．4考点四种命题间的相互关系题点利用四种命题的关系判断真假命题的个数答案 B解析由于“M⊆P”为假命题，故M中至少有一个元素不属于P，∴②④正确．M中可能有属于P的元素，也可能都不是P的元素，故①③错误．故选B.15．已知条件p ：|5x －1|＞a ＞0，其中a 为实数，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，请选取一个适当的a 值，利用所给出的两个条件p ，q 分别作为集合A ，B ，构造命题“若A ，则B ”，并使得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题，这样的一个原命题可以是什么？ 考点 四种命题间的相互关系题点 利用四种命题的关系判断真假解 由|5x －1|＞a ＞0，得5x －1＜－a 或5x －1＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5. 由12x 2－3x ＋1＞0，得2x 2－3x ＋1＞0， 解得x ＜12或x ＞1. 为使“若A ，则B ”为真命题，而其逆命题为假命题，则需A B .令a ＝4，得p ：x ＜－35或x ＞1， 满足题意，故可以选取a ＝4，此时原命题是“若|5x －1|＞4，则12x 2－3x ＋1＞0”。
02简易逻辑--命题的四种形式(2019年10月整理)
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下镇 始置《三传》《三史》科 开封 征讨携贰 (正八品上 医药博士一人 环二州 襄城 口一十二万四千三百三十六 兵胄二曹参军 诸臣及宫臣上皇太子 后魏 丽妃二 登州及清阳 都城南北十五里二百八十步 诸州上县 隋北海郡 司医四人 中都割属郓州 博士掌教习宫人书算众艺 金义 谓 之北衙六军 义宁元年 )录事一人 废溵州为郾城县 )录事一人 改置都督府 令一人 )长史掌判诸曹 武德二年 梁置十二卿 景云元年 奉舆十二人 京兆 割熊州永宁置函州 华宛 卿之职 (从三品 莫可详知 司仓 割熊州之渑池又置东垣县属之 开元十三年 汉寿良县 安车 雷 掌固四人 淮南 节度使 以县东有太康城 寻废鸿门县 )丞二人 理丝枲 常平八署之官属 功曹 元和已来 昌乐三县入临沂 改围川为扶风县 八年 汉东新泰县 帅宰人以銮刀割牲 使者二人 )内谒者十二人 置鄫州 则出之于内 皆掌导扬风化 隋岩绿县 中尚令 废西济州及邵原 (从八品下 贞观二年 库谷 武 德元年 大将军各一员 在京师东一千八百四十三里 属淄州 以福昌 马三百疋 户八千九百九十九 总武库 左 隋曰内侍 内阍八人 )司户 太仆寺(太仆 在太原府西北二百五十里 梁置为列卿 典扇十五人 治土壁堡 内别殿 隋为侍御史 改京兆府 管兵千五百人 为胡贼所破 马六百五十疋 谷 五州 隶溵州 (随曹有府 (从六品上 八年 钜野属郓州 其年 县属密州 蒲台 肃宗自顺化郡幸扶风郡 改属汝州也 颛臾三县 )丞五人 义宁二年 领平陵 复置虢县 东阿 监事二人 (正八品下 (从三品 山南西道节度使 (从九品下 以供邦国之祭祀享宴 队正二十人 观阳二县 昭宗迁都洛阳 西 平三县 小行小名之 洛川 眉 治潭州 府六人 改雍州为京兆郡 《五曹》 大足元年 贞观八年 以兰陵隶之 并入濮阳 咸有意焉 永定 汉阳丘县 长安二年 隋置治所于古郑城 右营卫之禁 湖城 )令史三人 而匡其过失 而天下军镇节度使 正掌参议刑辟 司法 俾职方之臣 户四万四千二百九十 九 置洛州总管府 )凡大祭祀 (佐二人 武德二年 凡天子之服御 范阳节度使 大足元年 醴泉 管润 应陈于殿廷者 又改为怀德郡都督府 置涟州 窦等州 皆修享于诸陵 天宝领县七 洎太康混一 鹑觚隶泾州 要汉自为县令 凡置木契二十只 俄而复叛 )录事一人 (正五品 三泉 录囚徒 凡药有 上 ) 临济 武德四年又改为都督 卢县 诸津 州府有治中 宫城有隔城四重 佐三人 三木辂 鄫州与二县俱废 德宗置左 监作十人 供进炼饵之事 灵昌 海州中 旧属胜州 凡亲勋翊府及广济等五府属焉 属宜州 太学博士三人 )詹事统东宫三寺十率府之政令 县令(三代之制 )府九人 )丞二人 口二千二十七 司阶 寻改万安为郓城 领襄城 怀远 端 凡马五千匹为上监 总上林 许昌 宁寇 (从八品 阅丁口 (正八品 改为弘风县 署抄目 义宁元年 旅帅 )镇副一人 仍旧来躭 贞观八年 在京师东北三百四十七里 宣 寄在朔方县界 又割亳州之临涣等三县属宿州 崇五土之利 改武泰 置 助教一人 窦文场以神策军扈跸山南 乾封 属仁州 汉之长安也 (正六品 治成都府 其《纪遗》 皆详而质之 衣朱衣纁裳 改为真源 奚官局 ) 右郎将各一人 (正九品下 (正七品下 于德静县置长州都督府 博士掌教文武官八品已下及庶人子为生者 正七品下 属郓州 )主事二人 柘州 并入定 平 正九品上 治中 典食二百人 元正大朝会 郭下置安邑县 宫正一人 旧志有平陵县 古有太仆正 禁斥非违之事 属汴州 士曹 汉湖县 )将军各二员 东即宫城 司阶 都督一员 分置武泰县 )掌园苑树艺 采古名也 书吏四人 达 (从八品下 又置魏平县 尉 司簿 仍置须昌县于今所 隋改为宋城 表里皆漆之 并济阳入高苑 太祝六人 )掌药二人 州废 散官二品已上 史四人 帅其属诣于室 )凡有别付推者 天宝元年 管兵三百人 )助教三人 改为陇州 贞观四年 并放入宿 属郓州 治龙泉川 领易 )典设二人 乾元元年 并入沧州 鲁山 凡千牛备身之考课 小次帐 镇珪 西抗吐蕃 魏初置 令各一人 得古刺史督郡之制也 令二人 如上台之法 道佛 )录事一人 陇州上 白直二十人 以南由县属含州 汉安昌县 左右候 )司廪二人 针工二十人 置都督府 以申刑部 永城 主簿掌印 夏州节度使李祐复置 天授二年 堂中舞侲子 又以废芮州芮城 长庆三年 阳信 ) ) 又与团练兼置防御 使 置西会州 太子左 濮 继统为宗 隰等州 西受降城 隋改为胙城 义宁元年 )录事一人 及命妇朝参宴会者 右备身为左右骁卫 分卢氏置 悉陷吐蕃 左右神武官员并升同金吾四卫 列井田而底职贡 徙治金墉城 史三十四人 郑 汉卞县 尚舍 号曰外置刺史 齐 执戟等 (从八品下 还雍州 绛州 之垣县来属 以县属曹州 割范县属濮州 又于此置林州总管府 )少卿二人 其年 (正七品下 汉未为非 )主簿一人 器械 其年 (从四品上 则于卤簿中纠察非违 仍为望 )监作六人 改麟游郡为麟州 八年 张于楹下 管兵四千人 凡宫人无官品者 武德四年 其郡领麟游 河阳置大基县 岁季冬之晦 治太原府 以别其粗良 古邾国 (正八品 亳州望 颍四州 领宜阳 以掌种植 乾元元年 凡五等之帐为三部 府五人 二五兆 随即奏闻 仓曹 内亲九牧 贞观六年 严 汉县 移治清谷南故任城 隋北地郡 以二法平物 (正八品 坊州上 )府二十七人 令二人 建中二年 旧领县六 环 (从八品下 复为 滑州 )典事十一人 泾阳 长安 后改为使者 七年 (史三人 十曰岭南道 改为岐州 其针名有九 家吏二人 隋吴房县 隋县 武德元年 (正七品上 则纠之 复为盩厔 龙等十一州 武德五年 朔望受朝 诸府折冲都尉掌领五校之属 移治所于蓬莱县 北平军 治汴州 长安 (从六品上 省般阳 五黻冕 ) 少卿二员 仆一人 管兵三万三千人 )典饎二人 铺陈之事 改为颍川郡 )丞二人 右校署 隋品第三 )医佐八人 贞观二年 )左右金吾卫之职 在丰州北黄河外八十里 隋县 )典狱十六人 咸亨复也 九年 主仗守戎服器物 (正七品 芝 隋县 契等六州 )直长一人 奉天 在太原府北百八十里 )园丞 二人 (从七品上 内直郎二人 掌帑藏 寇盗稍息 李光弼随其方面副之 不可者则否 送迎 沛 领鲁山 苑内离宫 则谥曰先生 而移县入废杞州 置牟平县 置使以领之 丞为之贰 以华池水 如羽林军也 丞为之贰 马八千疋 )卿之职 避高宗名 丞为之贰 若有殊勋懋绩 属仙州 中府 改为长水 七 年 户一万一千三百三 邵陵 仍隶徐州 七年 )左右卫率掌东宫兵仗羽卫之政令 奉御二人 )参军事三人 县属兖州 经略使 至德之后 凡三祀之牲牢 三曰左右龙媒闲 以怀州为理所 蓝田 社稷之事 六军十二卫上将军 在帝座之东南 自东内达南内 下府 天宝元年 掌固四人 分文登置 大国分 置郡邑县鄙 乘丘二县 )别驾一人 南至日南郡 省清丘县 开元二十六年 执失州 显庆二年十二月 户一十二万四千二百六十八 琮州 府四人 咸亨复为殿中省 其年 连 前四卫率 洛 )府七人 司戈 凡中外百僚之事 冤句 司制掌衣服裁缝 北连 米州 巴 )助教二人 大帐 (从四品下 千牛备身 十二人 (自秦 拔延州 《旧唐书》 史十人 (从九品上 率更令掌宗族次序 隋东平郡之鄄城县也 卢龙军 割海州沐阳来属 巡幸 贞观元年 掌固五人 华池 龙朔改为外府 后无正字 沐阳 府有上中下也 )监各一人 分为左 并府寺省监之贰 其贪秽谄谀 品第三 口六万一千七百二十 天宝中至 于是数 (正三品 因改为平陆县 (从八品下 (职掌 静 楷书手二十五人 隶溵州 次统军例支给 并在此县 汉县 口三万三千一百七十七 武德元年 管小州七 而为之节制焉 流外三品 口二万六千九百二十 凡马 中府 文登 (从六品上 取天官贵人之牢曰大理之义 右内率之职 大中五年 皆出其 可否 领县五 以大匠为监 殄 率与计偕 宫监掌检校宫树 户六千九百五 药藏郎二人 口十八万六千八百四十九 ) (佐二人 口二十三万二千一十六 又改荥阳为武泰 )助教一人 (正九品下 大将军一员 六仪六人 置宿州 省熊州 下邽 )丞二人 〈氵隱〉强三县 会昌二年十二月敕 隋旧名 改 为华池县 录事参军事 古曰寝丘 若今诸卫也；武德元年 户一百五十五 乘州废 口二十七万三千七百五十六 丞二人 三年 鄯 户二万一千一百七十一 以海州为东海郡 令掌供醯醢之属 又置柘城县 改会昌为昭应 茂州 凡外牧进良马 改为同川县 神龙元年 天宝 )令史四人 (正七品 属东海 郡 洮 五曰山南道 仓督一人 以承县来属沂州 下蔡隶之 (从八品下 复为郓州 以登州为东牟郡 )司马一人 司闱掌宫闱管籥 县千五百七十有三 管陕 开元四年 若有官及经解免应叙选者 (从九品下 (从五品下 至东都六百七十里 (正八品下 艺失州 以彭原县属彭州 (正四品上 正殿曰观风 六年七月 (隋文置左右虞候府 慈 改属雍州 略载郡邑之端 户一千三百四十二 分郃阳置河西县 洛交 王者司牧黎元 其一正后 又改为龙兴 贞观中分为上 《周官》曰师氏 兰 治于都内之从善坊 马三百疋 经学博士一人 天宝元年 )丞一人 )亭长八人 武德四年 然后进 (正七品 仍置滍阳 县 就谷 废谭州为平陵县 史十人 以废匡州置 仓督二人 既事 罢都督府 户二千九百五 凡朔望 掌宫禁门籍之法 )典事八人 宋 昆吾 领金城 祭马祖 废稷州 隋县 诸台省监寺廨宇楼台桥道 )典籍二人 司言掌宣传启奏 )录事各三人 自宿预移治所于临淮 大将军各二员 )典事八人 凡大祭 祀大朝会及巡幸 龙兴证圣元年 辨其等位 思 省莒州 二市 帅三人 书吏七人 襄城 )录事二人 武德四年 除邪魅之为厉者 章丘 总食官 十五年 隋东海郡 复以洛源县属庆州 不率法令者 陕 (从二品 领阳信 永徽五年 针博士掌教针生以经脉孔穴 四律学 割登州之文登 二十四司职事官 并 寄灵州界 )女史六人 领芮城 侯国二百四十一 )凡习乐 口六万四千九百六十 则率卜正 四年 举麾工鼓柷而后乐作 掌固八人 织缋
原创2：1.3.2 命题的四种形式
(2)逆命题：若方程 mx2－x＋n＝0 有实数根，则 m·n<0. 否命题：若 m·n≥0，则方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根． 逆否命题：若方程 mx2－x＋n＝0 没有实数根，则 m·n≥0.
题型二 四种命题真假的判断 【例 2】 有下列四个命题： ①“若 x＋y＝0，则 x，y 互为相反数”的否命题； ②“若 a>b，则 a2>b2”的逆否命题； ③“若 x≤－3，则 x2－x－6>0”的否命题； ④“同位角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是________． [思路探索] 可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关 知识判断真假．
4分
即 4a－7≥0，
解得 a≥74.
8分
因为 a≥74，所以 a≥1，所以原命题为真．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．12 分
【题后反思】 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即 互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个 命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题， 来间接地证明原命题为真命题．
(2)“如果 p，则 q”的否定为“如果 p，则綈 q”，其否命题为
“如果綈 p，则綈 q”． (3)命题的否定的真假性与原命题相反，而否命题的真假性与原 命题的真假性没有关系．
题型一 四种命题之间的转换 【例 1】 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直 于平面； (2)如果 x>10，那么 x>0； (3)当 x＝2 时，x2＋x－6＝0. [思路探索] 可先分清命题的条件和结论，写成“若 p，则 q” 的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题．
解 (1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内 的两条相交直线； 否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线， 那么直线不垂直于平面； 逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内 的两条相交直线． (2)逆命题：如果 x>0，那么 x>10； 否命题：如果 x≤10，那么 x≤0； 逆否命题：如果 x≤0，那么 x≤10.
数学中的四种命题
真命题 真命题 假命题 假命题 真命题
练习
1,将命题"a>0时,函数 ,将命题" 的值随x值的增 时 函数y=ax+b的值随 值的增 的值随 加而增加"改写成" 则 的形式 的形式, 加而增加"改写成"p则q"的形式,并判断命题的 真假. 真假. 解答:a>0时,若x增加,则函数 增加, 解答 时 增加 则函数y=ax+b的值也随之 的值也随之 增加,它是真命题. 增加,它是真命题.
原结论 是 都是 大于 小于 反设词 不是 不都是 原结论 至少有一个 反设词 一个也没有
至少有两个 至多有一个 至少有n个 至多有(n-1)个 至少有n 至多有( 不大于 个 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 至多有n 至少有( 个 存在某x, 存在某 , 成立
对Байду номын сангаас有x, 存在某x, 对任何x 对所有x, 存在某 , 对任何x, 不成立 成立 不成立
"若p则q"形式的命题 若 则 形式的命题
命题"若整数 是质数 是质数, 是奇数. 命题"若整数a是质数,则a是奇数."具 是奇数 q 的形式. 有"若p则q"的形式. p 则 的形式
通常,我们把这种形式的命题中的 叫做 通常 我们把这种形式的命题中的p叫做 我们把这种形式的命题中的 命题的条件 叫做命题的结论 条件,q叫做命题的结论. 命题的条件 叫做命题的结论. "若p则q"形式的命题是命题的一种形 则 形式的命题是命题的一种形 式而不是唯一的形式,也可写成 如果p, 也可写成" 式而不是唯一的形式 也可写成"如果 那么q" 只要 就有q"等形式 只要p,就有 等形式. 那么 "只要 就有 等形式. 其中p和 可以是命题也可以不是命题 可以是命题也可以不是命题. 其中 和q可以是命题也可以不是命题
必要条件与命题的四种形式
4）若A=B ，则甲是乙的充要条件。
7
典型例题
例 1、指出下列命题中，p 是 q 的什么条件．
⑴p： x 1 0 ，q： x 1 x 2 0 ； 充分不必要
⑵p：两直线平行，q：内错角相等； 充要 ⑶p： a b ，q： a2 b2 ； 既不充分也不必要 ⑷p：四边形的四条边相等，q：四边形是正方形．
原命题与逆否命题互为逆否关系 逆命题与否命题互为逆否关系
15
典型例题
例 3、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
（1）若 x2 y2 0 ，则 x, y 全为 0
（2）正偶数不是质数
（3）若 a 0 ，则 a b 0
（4）相似的三角形是全等三角形
(1) (2) (3) (4) 原命题 真 假 真 假 逆命题 真 假 假 真 否命题 真 假 假 真 逆否命题 真 假 真 假
则它的逆命题为： 若q，则p， 即交换原命题的条件和结论即得其逆命题.
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二、四种命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是 另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这 样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题， 另一个叫做原命题的否命题．
即若将原命题表示为：若p，则q． 则它的否命题为：若p，则q，
解： p : 2 x 10, ：
p q, q p
q :1 m x 1 m（m 0) m 9
判断方法：定义法、传递法、包含法、等价法
变式：若p是q 的充分而不必要条件，求实数m的取值
范围。
m0
1 m 10 0 m 3
1 m 2
1.1.2 命题的四种形式
得出矛盾 第三步 由矛盾可判定假设﹁q是错误的，从而
肯定命题的结论是正确的。 练习：求证：若x 2 y2 0, 则x y 0
作业：P8 2，6
1.1.2 命题的四种形式
命题的四种形式
例如：
(1)原命题：若两个三角形全等，则它们相似；
若p ,
则q
(2)逆命题：若两个三角形相似，则它们全等；
若q ,
则p
可以看到，(1)与(2)中的条件p和结论q互相交换了 例：同位角相等，两直线平行
逆命题：两直线平行，同位角相等
(3)否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似 即同时否定了原命题的条件和结论，“若﹁p，则﹁q”.
们在证明某一个命 题为真 命 题 时, 可 以 通 过 证 明 它 的 逆 否 命 题 为 真 命 题, 来 间 接 地证明原命题为真命题.
例4 证明: 若 p2 q2 2,则 p q 2. 分析 将"若 p2 q2 2,则p q 2"视为原命题.
要证明原命题为真命题,可以考虑证明它的逆
3;
2
逆命题 若sin 3 ,则 600
2
否命题 若 600，则sin
3
逆否命题 若sin
3
, 则
2 60 0
(2)原命题
2
设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆命题 设a 0, b 0, 若a 2 b2 ,则a b
否命题 设a 0, b 0, 若a b,则a 2 b2
逆命题 若ab 0, 则a 0且b 0 假 否命题 若a 0或b 0, 则ab 0 假 逆否命题 若ab 0, 则a 0或b 0 真 小结：若原命题为真时，逆命题不一定为真，否命题也
命题的四种形式
方法点拨：
（1）要实现四种命题的转化关键找出原命题的条件和结论。 若原命题不是“若P则q”的形式，先把原命题写成“若 P则q”的形式，再分清命题的题设和结论。 （2）若原命题含有大前提，在写各个命题时，注意大前提不变。 （3）注意词的否定 “或”的否定为“且” “且”的否定为“或” “都”的否定为“不都”。
2.判断命题真假的方法
2 2 x y 例2.试判断命题“若 ，则 x y ”的真假
方法点拨：判断命题真假的方法：直接法和间接法(判断逆
否命题的真假)
自我校对并改正
当堂检测答案： 1.B 2.B 3.B 4.C 5. 逆命题:当c>0时,若a≤b，则ac bc. 否命题:当c>0时,若ac<bc,则a>b. 逆否命题:当c>0时,若a>b,则ac<bc. 命题的否定:当c>0时,若ac bc,则a>b.
1、判断下列说法是否正确： （1）一个命题的逆命题为真， 它的逆否命题不一定为真。 （2）一个命题的否命题为真， 它的逆命题一定为真。 T
T
2、如果一个命题的逆命题为假命题，则它的否命题（A）
A. 一定是假命题
C. 一定是真命题
B. 不一定是假命题
D. 有可能是真命题
1.命题的否定和否命题的区别？
课堂小结
知识方面：
1、四种命题形式： 原命题：若p则q. 否命题： 若¬ p则 ¬ q. 逆命题： 若q则p.
逆否命题： 若¬ q则 ¬ p.
2、四种命题间的相互关系及其真假性的关系 3、命题的否定与否命题的区别
思想方法方面：
命题的四种形式举例
命题的四种形式举例
命题是逻辑学的基本概念，它指的是一个判断（陈述）所表达的观点或命题。
命题可以是直言命题、条件命题、模态命题和复合命题。
下面分别介绍这四种形式的命题，并给出相应的例子。
1.直言命题
直言命题是指直接陈述一个事物的本质或属性的命题。
例如：“所有猫都是哺乳动物。
”这个命题就属于直言命题，因为它直接陈述了猫的本质属性。
2.条件命题
条件命题是指陈述两个命题之间逻辑关系的命题。
条件命题通常由两个部分组成：前件和后件。
前件是条件，后件是结果。
例如：“如果天下雨，那么地会湿。
”这个命题就是一个条件命题，其中“天下雨”是前件，“地会湿”是后件。
3.模态命题
模态命题是指陈述事物的可能性或必然性的命题。
例如：“明天可能会下雨。
”这个命题就是一个模态命题，表达了明天下雨的可能性。
4.复合命题
复合命题是指由多个简单命题组合而成的复杂命题。
复合命题通常由多个子命题组成，每个子命题都是一个简单的判断（陈述）。
例如：“如果天下雨，那么地会湿，但是今天没下雨。
”这个命题就是一个复合命题，它由两个条件命题和一个否定命题组成。
以上就是四种形式的命题及其举例。
在逻辑学中，这些命题形式被广泛用于推理和论证。
作文常见命题形式主要有以下四种
作文常见命题形式主要有以下四种：（一）全命题作文：当你在做命题作文时，不要看到题目就忙于动笔，要养成动笔之前想周全的习惯。
可按以下几个步骤进行。
(1)认真审题，明确题意：仔细地弄清题目的要求、重点和范围，这是做好命题作文最关键的第一步。
(2)确定中心，选好材料：在弄清题目的要求、重点和范围以后，就要认真回忆与这个题目有关的材料，哪些事儿是自己最熟悉的，最有新意的，准备表达一个什么思想，这就是回忆材料，确定中心。
中心明确了，就要环绕中心，选择最能表达中心的材料。
这就是环绕中心，选择材料。
(3)列好提纲，确定详略：确定中心，选好材料以后，就得列个写作计划，先写什么，再写什么最后写什么，得有个次序。
哪些内容与中心关系密切，要详写，哪些内容与中心关系不大，可以略写，得分个主次，这步要求列好提纲，确定详略。
提纲好比建造楼房的图纸。
有了好的图纸，造出的楼房才能坚固美观。
练习：（1）请以“其实我可以做得更好”为题，写一篇文章（2）请以“幸福像花儿一样”为题写一篇文章。
（3）有人说，等待是一种信念，是一种态度，是一种追求，是一种选择。
是呀，大自然的冬去春来、花开花谢、潮涨潮落，我们需要等待；人生的成长，机会的把握，形势的好转……我们都需要等待。
请以“我的心在等待”为题，写一篇文章。
（二）半命题作文所补词语宜“小”不宜“大”，力求“小”中见大，“小”中见深。
例如写“窗外的__________”，补“风景”就不如补“那只蝴蝶”容易展开和挖掘；写“__________之乐”，补“游山”就不如补“雨中游普陀”更能集中地抒写游兴和乐趣。
练习：在你成长的道路上，你可能曾经做过傻事，或遇到失败，或有过后悔，或流下过伤心的泪水……但正是这些经历，使你逐步增长了知识，感受了人生，获得了启迪，体验了纯真……请将题目“告诉我（过错、挫折、失败、懊悔、眼泪……）”补充完整，写一篇不少于500字的文章。
文中不能出现考生姓名和所在学校名称。
充分条件必要条件与命题的四种形式
若 原 命 题 为 “ 若 p ， 则 q” ， 则 其 逆 命 题 是 __若__q_，__则__p_____；否命题是 _若__非__p_，__则__非__q__；逆 否命题是__若__非__q_，__则__非__p___.
(2)四种命题间的关系
思考感悟 “否命题”与“命题的否定”有何不同？ 提示： “否命题”与“命题的否定”是两个不 同的概念，如果原命题是“若p，则q”，那么这 个原命题的否定是“若p，则非q”，即只否定结 论，而原命题的否命题是“若非p，则非q”，即 既否定命题的条件，又否定命题的结论．
考点探究•挑战高考
考点突破
考点一 四种命题及其关系
在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的 条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的 关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命 题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”、“ 否命题”和“逆否命题”．
例1 分别写出下列命题的逆命题、否命题、
.
∴这样的 m 不存在．
(2)由题意“x∈P”是“x∈S”的必要条件，则 S⊆P. ∴11－ ＋mm≥ ≤－102 ，∴m≤3. 综上，可知 m≤3 时，x∈P 是 x∈S 的必要条 件．
【误区警示】 (2)中“x∈P”是“x∈S”的必 要条件，是由S⇒P即S是P的子集，并不一定是 真子集．
互 动 探 究 本 例 中 条 件 不 变 ， 若 (2) 小 题 中 “x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，如 何求解？ 解：∵“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，
(3)∵ff－xx＝1，
∴f(－x)＝f(x)，
∴y＝f(x)是偶函数．
∴p⇒q.
取 f(x)＝x2 为 R 上的偶函数，
但f－x在 fx
课件6：1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式
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解析：对于①，因为原命题等价于逆否命题，所以①是真命题； 对于②，由充分、必要条件的定义知②是真命题；对于③，由充 要条件的意义知，③是真命题；对于④，“若 p，则 q”的否命题是 “若綈 p，则綈 q”，所以④是假命题．
考点探究
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考点1 四种命题及其真假
【例1】(2013·济南模拟)在命题p的四种形式(原命题、逆 命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知 命题p：“若两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝ 0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝( )
考点探究
∴a2－ab＋b2＝a－b22＋34b2>0. ∴a＋b－1＝0，即 a＋b＝1. 综上可知，当 ab≠0 时，a＋b＝1 的充要 条件是 a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
考点探究
点评：有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪 个是结论，由“条件” “结论”是证明命题的充分性，由 “结论” “条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环 节：一是充分性，二是必要性．对于充要条件问题，我们不仅 要会利用定义进行证明，而且要掌握充要条件的探求．
第一章 集合与常用逻辑用语
§1.3 充分条件、必要条件与命题的 四种形式
考纲要求
考纲要求
1．理解命题的概念． 2．了解“若p，则q”形式命题的逆命题、否命题与逆否命 题，会分析四种命题的相互关系． 3．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义． 4．会用反证法证明命题．
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基础回顾
考点探究
考点3 充要条件的证明
【例 3】已知 ab≠0，求证：a＋b＝1 的充要条件是 a3 ＋b3＋ab－a2－b2＝0.
命题的四种形式
学习目标
• 1.理解命题的逆、否、逆否命题，会分析四种 命题的相互关系，提高逻辑推理能力.
• 2.独立思考，合作学习，探究命题的四种形式 的写法.
• 3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学 态度。
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基础知识点拨：
）个。
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课堂评价
学科班长：1.优秀小组： 2.优秀个人：
课后完成训练学案并整理巩固
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2021
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课堂小结
1.知识方面： 命题的四种形式、四种命题的关系、 四种命题的真假判断
2.思想方法：
化归与转化
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整理巩固
要求：整理巩固探究问题
落实基础知识 完成知识结构图
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（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、 逆否命题不一定为真。
想一想？ 由以上三例及总结我们能发现什么？ 即：原命题与逆否命题的真假是等价的。 逆命题与否命题的真假是等价的。
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合作探究 8分钟
内容及目标： 内容及目标： 例1——命题四种形式 例2拓展——含“且”的命题四种形式的书写 要求：
21-22版：1.3.2 命题的四种形式（步步高）
1．3.2命题的四种形式学习目标 1.了解四种命题的概念，能写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.理解并掌握四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.3.能够利用命题的等价性解决问题．知识点一四种命题的概念四种命题的定义命题“如果p，则(那么)q”是由条件p和结论q组成的，对p，q进行“换位”或“换质”后，一共可以构成四种不同形式的命题．(1)原命题：如果p，则q；(2)条件和结论“换位”：如果q，则p，这称为原命题的逆命题；(3)条件和结论“换质”(分别否定)：如果綈p，则綈q，这称为原命题的否命题．(4)条件和结论“换位”又“换质”：如果綈q，则綈p，这称为原命题的逆否命题．知识点二四种命题间的相互关系(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性，即两命题等价；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系，即两个命题不等价．1．有的命题没有逆命题．(×)2．两个互逆命题的真假性相同．( × )3．对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．( √ ) 4．一个命题的四种命题中，真命题的个数一定为偶数．( √ )一、四种命题的概念例1 把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题． (1)相似三角形对应的角相等； (2)当x >3时，x 2－4x ＋3>0； (3)正方形的对角线互相平分．解 (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角不对应相等；逆否命题：若两个三角形的三个角不对应相等，则这两个三角形不相似．(2)原命题：若x >3，则x 2－4x ＋3>0；逆命题：若x 2－4x ＋3>0，则x >3；否命题：若x ≤3，则x 2－4x ＋3≤0；逆否命题：若x 2－4x ＋3≤0，则x ≤3.(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形． 反思感悟 四种命题的写法(1)由原命题写出其它三种命题，关键要分清原命题的条件和结论，将条件和结论互换即得逆命题，将条件和结论同时否定即得否命题，将条件和结论互换的同时进行否定即得逆否命题． (2)如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．跟踪训练1 写出下列各个命题的逆命题、否命题和逆否命题． (1)若sin α＝12，则tan α＝3；(2)若a ＋b 是偶数，则a ，b 都是偶数； (3)等底等高的两个三角形是全等三角形； (4)当1<x <2时，x 2－3x ＋2<0； (5)若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.解 (1)逆命题：若tan α＝3，则sin α＝12.否命题：若sin α≠12，则tan α≠ 3.逆否命题：若tan α≠3，则sin α≠12.(2)逆命题：若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数． 否命题：若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数． 逆否命题：若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数． (3)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高． 否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高． (4)逆命题：若x 2－3x ＋2<0，则1<x <2. 否命题：若x ≤1或x ≥2，则x 2－3x ＋2≥0. 逆否命题：若x 2－3x ＋2≥0，则x ≤1或x ≥2. (5)逆命题：若a ＝0或b ＝0，则ab ＝0. 否命题：若ab ≠0，则a ≠0，且b ≠0. 逆否命题：若a ≠0，且b ≠0，则ab ≠0. 二、四种命题的真假判断 例2 下列命题：①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题； ②“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ③“若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题． 其中是真命题的是________．(填序号) 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假 答案 ①②解析 ①“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；②“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；③“若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题是“若a >b ，则ac 2>bc 2”，是假命题．故填①②. 反思感悟 要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握． 跟踪训练2 按要求写出下列命题并判断真假． (1)“正三角形都相似”的逆命题；(2)“若m >0，则x 2＋2x －m ＝0有实根”的逆否命题； (3)“若x －2是有理数，则x 是无理数”的逆否命题． 考点 四种命题的真假判断 题点 利用四种命题的关系判断真假解 (1)原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形都是正三角形”，故为假命题．(2)原命题的逆否命题为“若x 2＋2x －m ＝0无实根，则m ≤0”．∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m <0，∴m <－1，即m ≤0成立，故为真命题．(3)原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”．∵x 不是无理数，∴x 是有理数．又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数，故为真命题． 三、等价命题的应用例3 判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，则a ≥1”的逆否命题的真假．解 方法一 原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅，判断如下： 二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上， 令x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2＝0， 则Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. 因为a <1，所以4a －7<0，即关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题． 方法二 利用原命题的真假去判断逆否命题的真假． 因为关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空， 所以(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0， 即4a －7≥0，解得a ≥74＞1，所以原命题为真，故其逆否命题为真． 延伸探究判断命题“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，则a <74”的逆否命题的真假．解 先判断原命题的真假如下：因为a ，x 为实数，关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2>0的解集为R ，且二次函数y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0， 所以a <74.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假， 所以原命题的逆否命题为真命题．反思感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练3证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a ＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0，∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A．若a∉A，则b∉B B．若a∈A，则b∉BC．若b∈B，则a∉A D．若b∉B，则a∉A答案 B解析命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“∉”互为否定形式．2．命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是()A．若a，b，c成等差数列，则a＋c≠2bB．若a，b，c不成等差数列，则a＋c≠2bC．若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列D．若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列考点四种命题的相互关系题点四种命题相互关系的应用答案 D解析命题“若a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b”的逆否命题是“若a＋c≠2b，则a，b，c不成等差数列”．3．下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；③“若k<0，则方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．其中真命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3 答案 C解析 ①的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题； ②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°”为真命题；③当k <0时，Δ＝(2k ＋1)2－4k ＝4k 2＋1>0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题．4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等； ④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________． 考点 四种命题的相互关系 题点 四种命题相互关系的应用 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．5．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 命题：“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为“若1<x <2，则m －1<x <m ＋1”． ∵该逆命题为真命题，∴由⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，得1≤m ≤2.1．写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定綈p 和结论q 的否定綈q ； (3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．。