第七节 自相关检验与修正

（2）
令Yt*= Yt- Yt-1 Xt*=Xt- Xt-1 ,t=2, ,n
此种变换称为广义差分变换。这种变换损失了一个观测
值，为避免损失，K.R.凯迪雅勒提出做如下变换：
Y1*= Y1 1 2 （2）式写成：
X1*= X1 1 2
Y1*= b1(1- )+b2 Xt*+ t
对于模型中含有滞后的被解释变量的情况，上 述方法不适用。
例：yt=b0+b1xt+b2yt-1+ut
此时即使模型存在自相关，DW值也经常接近2，
因此不能用D-W检验。杜宾提出了Durbin-h统计
量：
h (1 DW ) 2
n 1 n var(bˆ2 )
其中,
var(bˆ2
)是y
t
系数估计方差。
用t统计量检验 H:a3=0,
接受则无一阶自相关，否则存在一阶自相关。
3、高阶自回归形式检验 Breusch-Godfrey(布罗斯-戈弗雷）检验
或拉格朗日乘数检验 对模型y=b1+b2x2i+…+bkxki+ut 设自相关形式为： ut 1ut1 2ut2 put p vt
假设H0 : 1 2 p 0即不存在自相关
检验步骤：
1、用OLS估计模型，得残差et
2、作辅助回归模型et 1et1 2et2 pet p vt
计算样本决定系数R 2
3、在大样本与假定成立条件下，布罗斯和戈弗雷证明了
nR2渐进服从（2 p）分布
4、给定显著水平，若nR 2


2（p）, 则拒绝H
，即存在自相关
0
。
二、 自相关模型的修正方法
针对自相关产生的原因，可给出不同的处理方法。 如果是模型中省略了重要的解释变量，使随机项产生了 自相关，则应重新建立模型； 如果是模型建立不当，应重新建立模型； 如果是由于数据加工的原因，可增加样本容量、变换数 据处理形式等。 除了上述原因外还存在自相关，这就是真正的自相关。 如果模型存在真正自相关，其他假定都满足，则可采用广 义差分法、迭代法等估计参数。
计算D-W统计量
n
(et et1 )2
d t2 n
, et Yt Yˆt
et 2
t 1
可以证明此值约在0~4之间。根据样本容量n和解释变量数k查
D-W分布表，得到临界值dl和du，然后按照下列标准考察计算 得到的D-W值，以判断模型的自相关状态。
正不 自能 相确 关定
无一阶自 回归形式
x*t xt ˆ (1)xt1
4.用OLS法估计广义差分模型:y
* t

A

b2x*t

v
，
t
得到b1和b2的估计值，代入（1）中的一元线性回归模型，
求出残差et (2)和（ˆ 2）
et (2)et1 (2) et2 (2)
重复上述的3.和4.步骤,直至的前后两次估计值比较接近,
第七节 自相关检验与修正
一、自相关的检验方法 （一）图示法
1. 以t为横轴，et为纵轴作图，残差et随时间 的变化呈现有规律的变动，则et存在自相关， 即ut存在自相关。
2. 绘制et与et-1散点图 （二）解析法
1、Durbin-Watson检验（DW检验）。
适用于检验一阶自回归形式。
D-W检验内容：
yt a0 yt1 a1x t a 2x t1 vt 对上述模型应用OLS估计，得ˆ 再用的估计值ˆ进行广义差分变换，并估计广义差分模型。
此法也适用于多元线性回归模型。
（三）迭代估计或Cochranc-Orcutt
(科克伦-奥克特）估计
依据的近似估计公式, 进行一系列迭代,
即估计误差小于事先给定的精度 : ˆ (n 1) ˆ (n) ,
此时，以（ˆ n 1)作为的估计值并用广义差分变换，得
到回归系wenku.baidu.com的估计值。
（3）
这样就可对（3）应用OLS进行参数估计。
如果是多元线性回归模型，处理方法类似。
（二）自相关系数未知
(1)若未知,可利用DW统计量求ˆ
大样本下，ˆ 1 DW
2
小样本下，ˆ

n2 (1 DW / 2) (k n2 (k 1)2
1)2
k为解释变量的个数，当n 时，ˆ 1 DW/2
不负 能自 确相 定关
0 dl du
2 4-du 4-dl 4
注意：
（1）D-W检验只能判断是否存在一阶自相关， 对于高阶自相关或非自相关皆不适用。
（2）不适用于联立方程组中的各方程随机项 的序列相关检验。
（3）不适用于不含截距项的线性回归模型。 （4）不适用模型中含有滞后的被解释变量的
情况
2.杜宾-h(Durbin-h)检验
此外，ˆ
etet1 e2
t-1
或 ˆ
etet1 et2
(2)Durbin杜宾二步法 根据广义差分模型得
yt yt1 b0 (1 ) b1(x t x t1) vt 整理得 yt yt1 b0 (1 ) b1x t b1x t1 vt 令 a0 b0 (1 ),a1 b1 , a2 b1,则
1
杜宾证明：当一阶自相关系数 0 时，h统计量
近似服从标准正态分布，所以利用正态分布可 以对一阶自相关性进行检验。
显然，当 n var(bˆ2) 1 时，h统计量无法算出， 于是，杜宾建议采用渐进等价检验，即采用OLS估 计的残差et,建立如下线性回归模型
et=a0+a1xt+a2yt-1+a3et-1+vt
（一）若自相关系数已知----广义差分法
以一元为例，设模型为
Yt=b1+b2Xt+ut , t=1,2,
, n （1）
随机项具有一阶自回归形式：
ut= ut-1+ t ， t 是随机变量，满足前述假定。
将模型（1）减去（1）滞后一期并乘以 得：
Yt- Yt-1=b1(1- )+b2(Xt- Xt-1)+ t
逐步提高的近似估计精度.步骤如下:
1.利用OLS法估计模型yt b1 b2xt ut , 求出残差et (1);
2.根据残差计算的（第一轮）估计值：
（ˆ 1）
et (1)et1 (1)
e2 t-1
(1)
3.利用（ˆ 1）进行广义差分变换：
y
* t

yt

ˆ (1)yt1