等比数列的性质终极版
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为：a ， a,aq.
q 再由方程组可得：q=2
1 或 2 既这三个数为2，4，8或8，4，2。
练习 已知三个数成等比数列，它们的积为27，
它们的平方和为91，求这三个数．
解：设这三个数为a , a, aq q
由题意得：
（
a
a a q ）2 a 2
aq 27 （aq）2
【解析】 (1)由等比数列性质 a2a4＝a23， a4a6＝a25， 把 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25 化为 a23＋2a3a5＋a25＝25 ⇒(a3＋a5)2＝25(an＞0) ⇒a3＋a5＝5.
(2)由题意得 a1a2a3…a15a16a17
＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9
且 m , n , s , t N+
若m+n=s+t ,则aman=asat
若m n 2s,则aman as2.
特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
证明 则an a1qn1, am a1qm1,
从而an am
a q2 mn2 1
同理可得as at
a q2 st2 1
等比数列的设法及求解
三个数成等比数列时，常设这三个数分别为 a， aq，aq2 或aq，a，aq； 四个数成等比数列时，常设这四个数分别为 a， aq，aq2，aq3 或qa3，aq，aq，aq3(公比为 q2)．
三个数成等比数列，它们的和等于14，它们 的积等于64，求这三个数。
若三个数成等比数列，则设这三个数
91
q
解得
源自文库
q
a 3 3或者
1 3
若 q＝3，则 a1＝1；q＝－3，则 a1＝－1；
若 q＝13，则 a1＝9；若 q＝－31，则 a1＝－9. 故这三个数为：1,3,9 或－1,3，－9 或 9,3,1 或－9,3， －1.
例4 有四个实数，前三个数成等比数列，且它 们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们 之和为12，求这四个数． 【思路点拨】 根据三个数成等比数列，可以设 三个数为aq，a，aq；根据三个数成等差数列且它 们之和为 12，可以设三个数为 4－d,4,4＋d.
【解】 法一：设前三个数为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216， ∴a3＝216.∴a＝6.因此前三个数为6q，6,6q. 由题意第 4 个数为 12q－6. ∴6＋6q＋12q－6＝12，解得 q＝23. 故所求的四个数为 9,6,4,2.
法二：设后三个数为 4－d,4,4＋d，则第一个数为
性质四：
如果 an,bn 是项数相同的等比数列，
那么
an
.bn
， abnn
也是等比数列。
公比分别为 q1.q2，qq12
性质五： 在等比数列中，序号成等差数列的新数列， 仍是等比数列。 等间隔的k项和(或积)仍成等比数列．即：
例如：{an}是等比数列，则 ①a1，a3，a5，…，a2n－1；②a1＋a2，a2＋a3， a3＋a4，…；③a1a2，a2a3，a3a4，…；④a1＋a2，a3 ＋a4，a5＋a6……均成等比数列．
14(4－d)2，由题意14(4－d)2·(4－d)·4＝216，解得 4
－d＝6.∴d＝－2.故所求得的四个数为 9,6,4,2.
{an}是公差为d的等差数列
性质１： an=am+(n-m)d
a a a a 性质２：若 n-k, n, n+k是{ n}中 的三项， 则2an=an-k+an+k
{bn}是公比为q的等比数列
5.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1·a2·a3＝5，a7·a8·a9
＝10，则 a4·a5·a6＝( )
A．5 2
B．7 C．6
D．4 2
[解题过程] a1·a2·a3＝a23＝5 a7·a8·a9＝a83＝10 a4·a5·a6＝a53 又∵a52＝a2·a8，∴a53＝(a2·a8)32 ∴a4·a5·a6＝(a23a83)12＝(5×10)12＝5 2.故选 A.
性质1：设an , am为等比数列an中任意两项，
且公比为q，则an
am q nm .
或q n m
an am
注：运用此公式，已知任意两项，
可求等比数列中的其他项
练习、在等比数列an中，已知 a2 5 ，
a4 10 ，则公比q的值为________
性质2： 若等比数列{an}的首项为a1 ，公比q，
又因为m n s t
所以aman asat .
要积极 思考哦
例1. 等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 （）
A.4 B.8 C.16
D.32
等比数列的性质
例2 (1)已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________． (2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之 积为________．
推广q)2
性质５: 若{cn}是公差为d′的等差数 ５：若{dn}是公比为q′的等
列 ， 则 数列 {an+cn} 是 公 差 为 d+d′ 比数列,则数列{bn•dn}是公比
的等差数列。
为q·q′的等比数列.
１： bm bn q mn
2：若an-k,an,an+k是{an}的
b b b 三项，则
2 n=
n-k•
n+k
性质３： 若n+m=p+q
3：若n+m=p+q
则am+an=ap+aq
性质４：从原数列中取出偶数项组 成的新数列公差为2d.(可推广)
则bn·bm=bp·bq,
４：从原数列中取出偶数项， 组成的新数列公比为 .(可
＝a197＝(－2)17＝－217.
性质三：{an}是等比数列，则{ an }{a2n}、 1
{ an}(an>0)、{an}、{|an|}均为等比数列．
公比分别为 q, q2, q, 1 , q q
若 {an} 是 正 项 等 比 数 列 ， 则 {lgan} 是 等 差 数 列．公比为 lgq
q 再由方程组可得：q=2
1 或 2 既这三个数为2，4，8或8，4，2。
练习 已知三个数成等比数列，它们的积为27，
它们的平方和为91，求这三个数．
解：设这三个数为a , a, aq q
由题意得：
（
a
a a q ）2 a 2
aq 27 （aq）2
【解析】 (1)由等比数列性质 a2a4＝a23， a4a6＝a25， 把 a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25 化为 a23＋2a3a5＋a25＝25 ⇒(a3＋a5)2＝25(an＞0) ⇒a3＋a5＝5.
(2)由题意得 a1a2a3…a15a16a17
＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9
且 m , n , s , t N+
若m+n=s+t ,则aman=asat
若m n 2s,则aman as2.
特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…
证明 则an a1qn1, am a1qm1,
从而an am
a q2 mn2 1
同理可得as at
a q2 st2 1
等比数列的设法及求解
三个数成等比数列时，常设这三个数分别为 a， aq，aq2 或aq，a，aq； 四个数成等比数列时，常设这四个数分别为 a， aq，aq2，aq3 或qa3，aq，aq，aq3(公比为 q2)．
三个数成等比数列，它们的和等于14，它们 的积等于64，求这三个数。
若三个数成等比数列，则设这三个数
91
q
解得
源自文库
q
a 3 3或者
1 3
若 q＝3，则 a1＝1；q＝－3，则 a1＝－1；
若 q＝13，则 a1＝9；若 q＝－31，则 a1＝－9. 故这三个数为：1,3,9 或－1,3，－9 或 9,3,1 或－9,3， －1.
例4 有四个实数，前三个数成等比数列，且它 们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们 之和为12，求这四个数． 【思路点拨】 根据三个数成等比数列，可以设 三个数为aq，a，aq；根据三个数成等差数列且它 们之和为 12，可以设三个数为 4－d,4,4＋d.
【解】 法一：设前三个数为aq，a，aq，则aq·a·aq＝216， ∴a3＝216.∴a＝6.因此前三个数为6q，6,6q. 由题意第 4 个数为 12q－6. ∴6＋6q＋12q－6＝12，解得 q＝23. 故所求的四个数为 9,6,4,2.
法二：设后三个数为 4－d,4,4＋d，则第一个数为
性质四：
如果 an,bn 是项数相同的等比数列，
那么
an
.bn
， abnn
也是等比数列。
公比分别为 q1.q2，qq12
性质五： 在等比数列中，序号成等差数列的新数列， 仍是等比数列。 等间隔的k项和(或积)仍成等比数列．即：
例如：{an}是等比数列，则 ①a1，a3，a5，…，a2n－1；②a1＋a2，a2＋a3， a3＋a4，…；③a1a2，a2a3，a3a4，…；④a1＋a2，a3 ＋a4，a5＋a6……均成等比数列．
14(4－d)2，由题意14(4－d)2·(4－d)·4＝216，解得 4
－d＝6.∴d＝－2.故所求得的四个数为 9,6,4,2.
{an}是公差为d的等差数列
性质１： an=am+(n-m)d
a a a a 性质２：若 n-k, n, n+k是{ n}中 的三项， 则2an=an-k+an+k
{bn}是公比为q的等比数列
5.已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1·a2·a3＝5，a7·a8·a9
＝10，则 a4·a5·a6＝( )
A．5 2
B．7 C．6
D．4 2
[解题过程] a1·a2·a3＝a23＝5 a7·a8·a9＝a83＝10 a4·a5·a6＝a53 又∵a52＝a2·a8，∴a53＝(a2·a8)32 ∴a4·a5·a6＝(a23a83)12＝(5×10)12＝5 2.故选 A.
性质1：设an , am为等比数列an中任意两项，
且公比为q，则an
am q nm .
或q n m
an am
注：运用此公式，已知任意两项，
可求等比数列中的其他项
练习、在等比数列an中，已知 a2 5 ，
a4 10 ，则公比q的值为________
性质2： 若等比数列{an}的首项为a1 ，公比q，
又因为m n s t
所以aman asat .
要积极 思考哦
例1. 等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于 （）
A.4 B.8 C.16
D.32
等比数列的性质
例2 (1)已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋ 2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5的值等于________． (2)等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之 积为________．
推广q)2
性质５: 若{cn}是公差为d′的等差数 ５：若{dn}是公比为q′的等
列 ， 则 数列 {an+cn} 是 公 差 为 d+d′ 比数列,则数列{bn•dn}是公比
的等差数列。
为q·q′的等比数列.
１： bm bn q mn
2：若an-k,an,an+k是{an}的
b b b 三项，则
2 n=
n-k•
n+k
性质３： 若n+m=p+q
3：若n+m=p+q
则am+an=ap+aq
性质４：从原数列中取出偶数项组 成的新数列公差为2d.(可推广)
则bn·bm=bp·bq,
４：从原数列中取出偶数项， 组成的新数列公比为 .(可
＝a197＝(－2)17＝－217.
性质三：{an}是等比数列，则{ an }{a2n}、 1
{ an}(an>0)、{an}、{|an|}均为等比数列．
公比分别为 q, q2, q, 1 , q q
若 {an} 是 正 项 等 比 数 列 ， 则 {lgan} 是 等 差 数 列．公比为 lgq