2019-2020年高三12月联考数学理试题.docx

n
所以Tn
2
(n
1)
2n 1
n(n
1)
⋯⋯13分
2
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：
f ( x)
x(1 a
ax),
x
(
1,
).
依 意，令
f (2)
0，解得
a
1
.
x
1
3
，a
1
⋯⋯4分
，符合 意.
3
x
（Ⅱ）解：①
当a
0，f
(x)
.
x
1
故f ( x)的 增区 是(0,
)； 减区 是(
1,0).
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
内任取两个实数p, q，且p
q，
不等式f ( p1)f ( q1)1恒成立，则实数a的取值范围为.
pq
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤 ．
15．（本小题满分13分）
已知：在ABC中,a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且角C为锐角，
1
cos2C
4
（Ⅰ）求sin C的值；
1
3k2
1
所以MA
MB
(x17, y1)( x2
7, y2)
( x1
7)( x2
7)
y1y2
⋯⋯⋯⋯⋯11分
3
3
3
3
( x1
7)( x2
7) k2( x11)(x2
1)
3
3
(1
k2) x1x2
(7
k2)( x1
x2)
49
k2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
12分
(1 k2)3k2
3
6k2
9
5
(7
k2)(
P
E
A
D
BC
18．解：
19.解：
20.解：
东城区普通校2012-2013学年第一学期联考答案
高三数学（理科）
参考答案
（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）
一.
选择题
1.
A2.D
3. B
4. A
5.
C 6.D 7.
B
8.D
二.填空题
．
3
．
1
11．
120
9
10
2
4
12．（1，2），y
4x
2
13．①③⑤
14．[15,
)
15．（本小题满分
13分）
解：（Ⅰ）解：因
cos2C=1-2sin2C=
1
，及0
C
4
2
所以sinC=
10
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
.
4
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC
，由正弦定理
a
c
⋯⋯⋯7分
sin A
，得c=4
1
sin C
由cos2C=2cos2C-1=
，及0 C
1
1
⋯⋯⋯⋯⋯4分
所以an
1
2(an
1
1)，（n 2, n
N*）
⋯⋯⋯⋯⋯5分
又因a1
1
2
所以数列
an
1是首
2，公比2的等比数列
⋯⋯⋯⋯⋯6分
所以an
1
2n，即通 公式an
2n
1（n
N*）
⋯⋯⋯⋯⋯7分
（Ⅲ）bn
nan，所以bn
n(2n
1)
n 2n
n
所以
Tn
(1
21
1)
(2
22
2)
(3
23
3)
(
n
2n
(
1,
).
当a
1，
1 x2
0，f ( x)与f
( x)的情况如下：
x
( 1, x2)
x2
( x2, x1)
x1
( x1,
)
f ( x)
0
0
f (x)
↘
f ( x2)
↗
f ( x1)
↘
所以，f ( x)的 增区 是
(1
1,0)； 减区 是(
1,1
1)和(0,
).
a
a
③当a
0，f ( x)的 增区 是
(0,
上．
1.
若集合A
x x
0，且A
B
B，则集合B可能是（
）
A．1,2
B．x x
1
C．
1,0,1
D．R
2.
复数11
在复平面上对应的点的坐标是（
）
i
．
B
．（1，1）
．
．
A（1，1）
C（1,1）
D（1, 1）
3.
已知m, n是两条不同直线，
, ,
是三个不同平面，下列命题中正确的是（
）
A．若
,
,则‖
B．若m, n
（Ⅲ）如 ，以A坐 原点，AB, AD , AP所在直 分x，y，z建立空
直角坐 系．⋯⋯⋯8分
z
P
E
D
A
y
B
C
x
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐 分
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1)．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知sin
3
为第二象限角，则
tan
的值为
.
，且
5
10．已知向量a
(1,2),b
(1,0),c
(3,4)
．若
为实数，(a
b)∥c，则
的值为
.
11．椭圆x2
y2
1的焦点为F1, F2，点P在椭圆上，若| PF1
| 4，F1PF2
9
2
的小大为
.
12．若曲线y
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
a 0，f ( x)在(0,
)上 增，由
f (0)
0，知不合 意.
当0
a
1，f (x)在(0,
)的最大 是
f (1
1)，
由f (1
a
1)
f (0)
0，知不合 意.
a
当
a
，
f ( x)
在
(0,
)
减，
1
可得f
(x)在[0,
)上的最大 是
f ( 0)
0，符合 意.
所以，
f ( x)在[0,
（Ⅰ）求：a1，a2的值；
（Ⅱ）求：数列an的通项公式；
（Ⅲ）若数列bn的前n项和为Tn，且满足bnnan(nN*)，求数列bn的
前n项和Tn.
19．（本小题满分14分）
已知：函数
f ( x)
x
1
ax2
ln(1
x)，其中a
R.
2
（Ⅰ）若x
2
是f ( x)的极值点，求
a的值；
（Ⅱ）求f ( x)
的单调区间；
)
n
Tn
(1 21
2 22
3 23
n
2n) (1 2 3
n)⋯⋯9分
令S 121
2 22
3 23
n 2n
①
n
2Sn
1 22
2 23
(n 1) 2n
n 2n 1
②
①－②得
Sn
21
22
23
2n
n 2n 1
Sn
2(1
பைடு நூலகம்2n)
n
2n
1
⋯⋯⋯⋯⋯11分
1
2
S
2(1
2n)
n
2n
1
2
(n
1)
2n 1
⋯⋯⋯⋯⋯12分
)； 减区 是
(
1,0)
.
上，当
a
0，f (x)的增区 是
(0,
)，减区 是(
1,0)
；
当0
a
1
，f ( x)的增区 是(0,
11)，减区 是(
1,0)
和(1
1,
)；
a
a
当a
1，f ( x)的减区 是(
1,
)；
当a
1，f ( x)的增区 是(1
1,0)；减区 是( 1,1
1)和(0,
).
a
a
⋯⋯11分
3k2
3
(1
5
0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
6分
36k4
4(3k2
1)(3k2
5)
48k2
20
0
x1
x2
6k2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
3k
2
1
因AB中点的横坐
1
，所以
6k2
1，解得k
3
⋯⋯⋯⋯9分
2
3k2
1
2
3
（2）由（1）知x1
x2
6k2
，x1x2
3k2
5
3k2
平面AEC，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
∴PB//平面AEC．
（Ⅱ）P
E
A
D
BC
明：
PA⊥平面
ABCD
．
CD
平面
ABCD
，
∴PACD
又在正方形
∴CD平面
．
ABCD
PAD．
中CD
AD
且PA
AD
A，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
4分
5分
6分
又CD平面PCD，
∴平面PCD平面PAD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
10
8．设F1、F2分别为双曲线
x2
y2
1(a＞0, b＞0)
的左、右焦点.若在双曲线右支上存
a2
b2
在点P，满足
PF
FF
，且
F2
到直线
PF1
的距离等于双曲线的实轴长，则该双
2
1
2
曲线的渐近线方程为（
）
A．3x 4 y 0
B．3x 5y 0
C．5x 4y 0
D．4x 3 y 0
第Ⅱ卷(非选择题，共110分)
c
B
C
2
的取值范围．
17．（本小题满分13分）
已知：如图，在四棱锥
P
ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA
面ABCD，
P
且PA AB
2，E为PD中点．
（Ⅰ）证明：PB//平面AEC；
E
（Ⅱ）证明：平面PCD平面PAD；
A
D
（Ⅲ）求二面角EACD的正弦值．
18．（本小题满分13分）
BC
已知：数列an的前n项和为Sn，且满足Sn2ann，(nN*).
6．已知数列
{ an}为等比数列，a4
a7
2，a5a6
8，则a1
a10的值为（
）
A．7
B．
5
C．5
D．
7
．已知函数f ( x)在[ 0,
)上是增函数，
g ( x)
f ( x )
，若g(lg x) g (1)，则
x
的
7
取值范围是（
）
A．(10, )
B．(1,10)
10
C．(0,10)
D．(0,1)
(10, )
)
49
k2
3k2
1
3
3k2
1
9
) 1，又|
|
6
3
2
故
所以f ( x)
sin(2x
)⋯⋯⋯⋯⋯⋯
5
分
6
6
（Ⅱ）由(2a
c) cosB
bcosC得2 sin A
sin C ) cos B
sin B cosC
所以2 sin Acos B
sin( B C )
sin A⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
8分
因sin A
0
1
B
A
C
2
所以cos B
⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
得
4
2
cosC=
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
4
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得
2
－
6b-12=0
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
b
解得
b=26
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由 像知
M
1，f ( x)的最小正周期T
4(5
)，故2⋯⋯2
12
6
分
将点(
,1)代入f
( x)的解析式得sin(
2
3
3
f (A)
sin( A
)
0 A
2
6
A
5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
2
6
3
6
6
1
f (A) sin( A
)
1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
2
2
6
17．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）P
E
A
D
O
C
B
明：BD交AC于点O，EO．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分
OBD中点，E PD中点，
∴EO//PB．
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分
EO平面AEC，PB
（Ⅲ）若f ( x)
在[0,
)上的最大值是0，求a的取值范围.
20．（本小题满分
14
分）
已知椭圆C :x2
y2
1(a
b
0)的离心率为
6
，椭圆短轴的一个端点与两个焦
a2
b2
3
点构成的三角形的面积为
5
2
.
3
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知动直线
y
k (x
1)
与椭圆C相交于A、B两点.
①若线段AB中点的
横坐标为
)上的最大 是0，a的取 范 是[1,
).
⋯⋯⋯⋯14分
20．（本题满分
14分）
解：（Ⅰ）因x2
y2
1(a
b
0)足a2
b2
c2，
c
6
，⋯⋯⋯⋯2分
a2
b2
a
3
1
b
2c
5
2
。解得a2
5, b2
5
， 方程
x2
y2
1
⋯⋯⋯⋯⋯4分
2
3
3
5
5
3
（Ⅱ）（1）将y
k (x
1)代入x2
y2
1中得
5
5
3k2) x26k2x
2019-2020年高三12月联考数学理试题
命题校：125中
2012
年12月
本试卷分第Ⅰ卷 （选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分，共150分，考试用时120
分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的．选出符合题目要求的一项填在机读卡
⋯⋯⋯⋯⋯9分
PA
平面ABCD，∴AP是平面ABCD的法向量，AP=（0, 0, 2）．
平面
AEC的法向量n
( x, y, z),
AE (0, 1, 1), AC
(2, 2, 0),
n
AE
0,
0
y
z
0,
即
n
AC
0.
2x
2 y 0
0.
z
y,
∴
y.
x
∴令y
1,n
(1, 1,1)
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分
∴cos
,则m‖n
C．若m‖, n‖,则m‖n
D．若m‖, m‖,则‖
4.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），
则该棱锥的体积是（）
4
B．8
A．
3
C．4
8
D．
3
正视图侧视图
俯视图
2x
y 2
0
5
x, y
满足约束条件
x
2 y
4
0
，则目标函数
z 2 y
3x
的最大值为（
）
．设变量
x
1
0
A．
3
B．2
C．4
D．5
AP, n
AP
n
2
1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
|AP|
| n |
2
3
,
3
二面角E
AC
D的正弦
6
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13分
3
18．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）Sn
2an
n
令n
1，解得a1
1；令n
2，解得a2
3
⋯⋯⋯⋯⋯2分
（Ⅱ）Sn
2an
n
所以Sn 1
2an 1
( n 1)，（n
2, n N*）
两式相减得an
2an
3x2
x
1
的某一切线与直线y
4x
3平行，则切点坐标
2
2
为
，切线方程为
.
13.
若a 0, b
0, a
b
2
，则下列不等式对一切满足条件的
a, b恒成立的
是
.
(写出所有正确命题的编号
)．
①ab 1；
②
a
b
2；
③a2
b2
2；
④a3
b3
3；⑤11
2
a b
14.
已知函数f ( x)
a ln( x
1)
x2
在区间(0,1)
（Ⅱ）当a2，2sin Asin C时，求b及c的长．
16．（本小题满分13分）
已知：函数f ( x) M sin(
x
)( M
0,|
|
)的部分图象如图所示．
2
（Ⅰ）求 函 数f ( x)的 解 析 式；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的 对 边 分 别
是a、b、c，若(2
a
)cos
b
cos
,
求f
(A)
1
7
MB为定值.
，求斜率k的值；②若点M (
,0)，求证：MA
2
3
东城区普通校2012-2013学年第一学期联考试卷答题纸
高三 数学（理科）
命题校：125中
2012
年12月
第Ⅰ卷
请将1至8题的答案填涂在答题卡（即机读卡）相应的位置上.
第Ⅱ卷
9.10.
11.12.
13.14.
15．解：
16．解：
17．解：
②当a
0，令f
(x) 0，得x1
0，或x2
1
1.
当0
a
1
，f ( x)与f
(x)的情况如下：
a
x
( 1, x1)
x1
( x1, x2)
x2
(x2,
)
f ( x)
0
0
f (x)
↘
f ( x1)
↗
f (x2)
↘
所以，f ( x)的 增区 是
(0,1
1)； 减区 是(
1,0)
和(1
1,
).
a
a
当a
1，f ( x)的 减区 是